Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Gujarati

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg_0$ છે,જ્યાં $g_0 = \frac{GM}{R^2}$.
$h = \frac{R}{2}$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$g' = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{(R + R/2)^2} = \frac{GM}{(3R/2)^2} = \frac{GM}{9R^2/4} = \frac{4}{9} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{4}{9} g_0$.
તેથી,$h$ ઊંચાઈએ વજન $W' = mg' = m \left( \frac{4}{9} g_0 \right) = \frac{4}{9} W$ થશે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ,ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g(1 - \frac{h}{R})$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$g' = \frac{g}{n}$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{g}{n} = g(1 - \frac{h}{R})$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{n} = 1 - \frac{h}{R}$.
$h$ માટે પદ ગોઠવતા: $\frac{h}{R} = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$.
તેથી,$h = \frac{R(n-1)}{n}$.

(B) પૃથ્વીના પરિભ્રમણને કારણે $\lambda$ અક્ષાંશ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g^{\prime} = g - R_{E} \omega^2 \cos^2 \lambda$
વિષુવવૃત્ત પર,અક્ષાંશ $\lambda = 0^{\circ}$ છે. કારણ કે $\cos(0^{\circ}) = 1$,તેથી:
$g_E = g - R_{E} \omega^2 (1)^2 = g - R_{E} \omega^2$
ધ્રુવો પર,અક્ષાંશ $\lambda = 90^{\circ}$ છે. કારણ કે $\cos(90^{\circ}) = 0$,તેથી:
$g_P = g - R_{E} \omega^2 (0)^2 = g$
હવે,તફાવત $(g_P - g_E)$ ની ગણતરી કરતા:
$g_P - g_E = g - (g - R_E \omega^2) = R_E \omega^2$

(B) પૃથ્વીની સપાટીની નીચે જતાં ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય ઘટે છે। પદાર્થનું વજન $(W)$ એ તેના દળ $(m)$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નો ગુણાકાર છે, એટલે કે $W = mg$.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$g' = g \left(1 - \frac{h}{R}\right)$
બંને બાજુ દળ $m$ વડે ગુણતા, આપણને $h$ ઊંડાઈએ વજન મળે છે:
$W' = W \left(1 - \frac{h}{R}\right)$
અહીં $W' = 250 \,N$, $W = 500 \,N$, અને $R = 6400 \,km$ આપેલ છે:
$250 = 500 \left(1 - \frac{h}{6400}\right)$
$0.5 = 1 - \frac{h}{6400}$
$\frac{h}{6400} = 0.5$
$h = 0.5 \times 6400 = 3200 \,km$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left(1 + \frac{h}{R}\right)^{-2}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $g' = \frac{g}{9}$,તેથી:
$\frac{g}{9} = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R})^2}$.
બંને બાજુથી $g$ દૂર કરતા: $\frac{1}{9} = \frac{1}{(1 + \frac{h}{R})^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{3} = \frac{1}{1 + \frac{h}{R}}$.
આથી: $1 + \frac{h}{R} = 3$.
$h$ માટે ઉકેલતા: $\frac{h}{R} = 2$,જે દર્શાવે છે કે $h = 2R$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g^{\prime} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
આપેલ છે કે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $\frac{g}{n}$ છે,તેથી આપણે સમીકરણમાં કિંમત મૂકીએ:
$\frac{g}{n} = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$
$d = \frac{R(n-1)}{n}$

(A) પૃથ્વીની સપાટીની નીચે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$d$ ઊંડાઈએ પ્રવેગનું મૂલ્ય સપાટી પરના મૂલ્ય કરતાં $\frac{1}{n}$ ગણું છે,તેથી $g' = \frac{g}{n}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{g}{n} = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$.
$d$ માટે પદ ગોઠવતા: $\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$.
તેથી,$d = R\left(\frac{n-1}{n}\right)$.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી '$h$' ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $g' = \frac{g}{3}$,તેથી:
$\frac{g}{3} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ '$g$' વડે ભાગતા:
$\frac{1}{3} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{R}{R+h}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$R + h = \sqrt{3} R$.
'$h$' ને કર્તા બનાવતા:
$h = \sqrt{3} R - R = (\sqrt{3} - 1) R$.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g' = \frac{GM}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,સપાટીથી અંતર $R$ છે,તેથી કેન્દ્રથી અંતર $r_1 = R + R = 2R$ થાય. આપેલ છે કે $g_1 = \frac{g}{4}$.
બીજા કિસ્સામાં,સપાટીથી અંતર $\frac{R}{2}$ છે,તેથી કેન્દ્રથી અંતર $r_2 = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ થાય.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{g_2}{g_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{2R}{3R/2}\right)^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$.
તેથી,$g_2 = \frac{16}{9} \times g_1 = \frac{16}{9} \times \frac{g}{4} = \frac{4g}{9}$.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$
અહીં આપેલ છે કે ઊંચાઈ $h = R$,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$g' = g \left( \frac{R}{R+R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{R}{2R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{1}{2} \right)^2$
$g' = \frac{g}{4}$
આમ,પૃથ્વીની સપાટીથી $R$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $\frac{g}{4}$ થાય છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g' = g(1 - \frac{d}{R})$
જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $g' = 60\% \text{ of } g$,તેથી:
$g' = 0.6g$
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$0.6g = g(1 - \frac{d}{R})$
$0.6 = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ માટે પદ ગોઠવતા:
$\frac{d}{R} = 1 - 0.6$
$\frac{d}{R} = 0.4$
$\frac{d}{R} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
તેથી,$d = \frac{2}{5}R$.

(D) કોઈપણ અક્ષાંશ $\phi$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર: $g_{\phi} = g - \omega^2 R \cos^2 \phi$ છે,જ્યાં $g$ એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,$\omega$ એ પૃથ્વીનો કોણીય વેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
વિષુવવૃત્ત પર,$\phi = 0^{\circ}$ હોવાથી,$\cos 0^{\circ} = 1$,જે $g_{eq} = g - \omega^2 R$ (ન્યૂનતમ મૂલ્ય) આપે છે.
ધ્રુવો પર,$\phi = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\cos 90^{\circ} = 0$,જે $g_{pole} = g$ (મહત્તમ મૂલ્ય) આપે છે.
વધુમાં,પૃથ્વી એક ચપટો ગોળો છે,જેનો અર્થ છે કે વિષુવવૃત્ત પરની ત્રિજ્યા ધ્રુવોની ત્રિજ્યા કરતા મોટી છે $(R_{eq} > R_{pole})$.
ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ $g = \frac{GM}{R^2}$,ધ્રુવો પર ત્રિજ્યા ઓછી હોવાથી $g$ નું મૂલ્ય વધારે મળે છે.
તેથી,જેમ આપણે વિષુવવૃત્તથી ધ્રુવો તરફ જઈએ છીએ,તેમ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું મૂલ્ય વધે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
સપાટીથી '$h$' ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ '$g_h$' નું સૂત્ર $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ છે.
આપેલ છે કે $g_h = \frac{g}{3}$,તેથી:
$\frac{g}{3} = \frac{GM}{(R+h)^2}$.
$g = \frac{GM}{R^2}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{3} \left( \frac{GM}{R^2} \right) = \frac{GM}{(R+h)^2}$.
$\frac{1}{3R^2} = \frac{1}{(R+h)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{\sqrt{3}R} = \frac{1}{R+h}$.
$R+h = \sqrt{3}R$.
$h = \sqrt{3}R - R$.
$h = R(\sqrt{3}-1)$.

(D) આપેલ છે કે,પૃથ્વીની સપાટીથી કાણાના તળિયાનું અંતર $d = \frac{R_e}{2}$ છે,જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 300 \ N$ છે.
સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g(1 - \frac{d}{R_e})$ છે.
સૂત્રમાં $d = \frac{R_e}{2}$ મૂકતા:
$g' = g(1 - \frac{R_e/2}{R_e}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
કાણાના તળિયે પદાર્થનું વજન $W' = mg' = m(\frac{g}{2}) = \frac{mg}{2}$ થશે.
$mg = 300 \ N$ કિંમત મૂકતા:
$W' = \frac{300}{2} = 150 \ N$.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થને $\lambda$ અક્ષાંશ પરના બિંદુ $P$ પર દોરી વડે લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે પદાર્થ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે પરિભ્રમણ કરે છે. પદાર્થ પર લાગતું અસરકારક બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળનો તફાવત છે.
દોરીમાં તણાવ $T$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$T = mg - mr\omega^2 \cos \lambda$
અહીં $g = \frac{GM}{R^2}$ અને $\lambda$ અક્ષાંશ પર વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = R \cos \lambda$ છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = m \left( \frac{GM}{R^2} \right) - m(R \cos \lambda) \omega^2 \cos \lambda$
$T = \frac{GMm}{R^2} - mR\omega^2 \cos^2 \lambda$
વિષુવવૃત્ત પર,અક્ષાંશ $\lambda = 0^{\circ}$ હોય છે.
$\lambda = 0^{\circ}$ અને $\cos 0^{\circ} = 1$ મૂકતા:
$T = \frac{GMm}{R^2} - mR\omega^2 (1)^2$
$T = \frac{GMm}{R^2} - mR\omega^2$

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ $g$ નું મૂલ્ય $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$g$ માં થતો ફેરફાર $\Delta g_h = g - g_h = g(\frac{2h}{R})$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $x$ ઊંડાઈએ $g$ નું મૂલ્ય $g_x = g(1 - \frac{x}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$g$ માં થતો ફેરફાર $\Delta g_x = g - g_x = g(\frac{x}{R})$ છે.
આપેલ છે કે ઊંચાઈ $h$ અને ઊંડાઈ $x$ પર $g$ માં થતો ફેરફાર સમાન છે,તેથી આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$g(\frac{2h}{R}) = g(\frac{x}{R})$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 2h$ મળે છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g' = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$
આપેલ છે કે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ સપાટી પરના મૂલ્ય કરતાં $\frac{1}{n}$ ગણો છે,તેથી:
$g' = \frac{g}{n}$
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{g}{n} = g\left(1 - \frac{d}{R}\right)$
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{n} = 1 - \frac{d}{R}$
$d$ માટે પદ ગોઠવતા:
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{n}$
$\frac{d}{R} = \frac{n-1}{n}$
$d = R\left(\frac{n-1}{n}\right)$

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષી પ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
આપેલ છે કે $g' = \frac{g}{4}$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{g}{4} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{4} = \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{1}{2} = \frac{R}{R+h}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $R + h = 2R$ મળે છે.
તેથી,$h = 2R - R = R$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g^{\prime} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^{2}$
અહીં ઊંચાઈ $h = nR$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$g^{\prime} = g \left( \frac{R}{R+nR} \right)^{2}$
$g^{\prime} = g \left( \frac{R}{R(1+n)} \right)^{2}$
$g^{\prime} = g \left( \frac{1}{1+n} \right)^{2}$
હવે,પૃથ્વીની સપાટી પરના ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ અને તે ઊંચાઈ પરના પ્રવેગ $(g^{\prime})$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{g}{g^{\prime}} = \frac{g}{g \left( \frac{1}{1+n} \right)^{2}}$
$\frac{g}{g^{\prime}} = (1+n)^{2}$
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $(n+1)^{2}$ છે.

(C) પૃથ્વીનું દળ $M$ તેના કદ $V$ અને સરેરાશ ઘનતા $\rho$ ના સંદર્ભમાં નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$M = V \rho = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ ... $(i)$
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર:
$g = \frac{GM}{R^2}$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $M$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$g = \frac{G}{R^2} \times \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right)$
$g = \frac{4}{3} \pi R G \rho$
સરેરાશ ઘનતા $\rho$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\rho = \frac{3 g}{4 \pi R G}$

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
પૃથ્વીનું દળ $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ મૂકતા,જ્યાં $\rho$ એ સરેરાશ ઘનતા છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે:
$g = \frac{G}{R^2} \cdot \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right) = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
અહીં $G$,$\pi$ અને $R$ પૃથ્વી માટે અચળાંક હોવાથી,$g \propto \rho$ મળે છે.
તેથી,સરેરાશ ઘનતા $\rho$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(A) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર: $g = \frac{4}{3} \pi G R \rho$ છે, જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે, $R$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
અહીં ગ્રહ અને પૃથ્વી બંને માટે ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી, $g \propto R$ થાય.
ધારો કે પૃથ્વી પરનો પ્રવેગ $g$ છે અને ગ્રહ પરનો પ્રવેગ $g^{\prime}$ છે.
આપેલ છે કે $R^{\prime} = 0.2 R$, તેથી:
$\frac{g^{\prime}}{g} = \frac{R^{\prime}}{R} = 0.2$
આમ, $g^{\prime} = 0.2 g$.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર: $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ હોવાથી,આપણે આને $g$ ના સૂત્રમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$g = \frac{G (\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi \rho G R$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે ત્રિજ્યા $R$ અચળ હોય ત્યારે $g \propto \rho$ થાય.
તેથી,$\frac{g_2}{g_1} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$.
આપેલ છે કે ઘનતા બમણી કરવામાં આવે છે,એટલે કે $\rho_2 = 2\rho_1$.
આમ,$g_2 = 2 \times g_1 = 2 \times 9.8 \ m/s^2 = 19.6 \ m/s^2$.

(A) પૃથ્વી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રહ માટે, દળ $M' = 4M$ છે અને ત્રિજ્યા $R' = R$ છે.
તેથી, ગ્રહ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{GM'}{R'^2} = \frac{G(4M)}{R^2} = 4g$ થશે.
આપેલ છે કે $g = 10 \,ms^{-2}$, તેથી ગ્રહ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = 4 \times 10 = 40 \,ms^{-2}$ થશે.
$m = 5 \,kg$ દળના પદાર્થને $h = 2 \,m$ ઊંચાઈ સુધી ઊંચકવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = m g' h$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $W = 5 \,kg \times 40 \,ms^{-2} \times 2 \,m = 400 \,J$ મળે છે.

(C) વિષુવવૃત્ત પર,અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g'$ એ $g' = g - R\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થનું વજન શૂન્ય થવા માટે,અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $g' = 0$.
તેથી,$g - R\omega^2 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $R\omega^2 = g$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 = \frac{g}{R}$
$\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$
અહીં $g = 10 \,ms^{-2}$ અને $R = 6400 \,km = 6.4 \times 10^6 \,m$ આપેલ છે.
$\omega = \sqrt{\frac{10}{6.4 \times 10^6}}$
$\omega = \sqrt{\frac{10}{64 \times 10^5}} = \sqrt{\frac{1}{64 \times 10^4}}$
$\omega = \frac{1}{8 \times 10^2} = \frac{1}{800} \,rad/s$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ધારો કે $g_m, M_m, R_m$ એ ચંદ્રનું ગુરુત્વાકર્ષણ,દળ અને ત્રિજ્યા છે,અને $g_e, M_e, R_e$ એ પૃથ્વી માટે છે.
આપેલ છે: $g_m = \frac{1}{6} g_e$ અને $M_m = \frac{1}{8} M_e$.
આપણને ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{g_m}{g_e} = \frac{M_m}{M_e} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{6} = \frac{1}{8} \times \left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2$.
ગોઠવતા: $\left(\frac{R_e}{R_m}\right)^2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{R_e}{R_m} = \sqrt{\frac{4}{3}}$.
આમ,પૃથ્વીની ત્રિજ્યા એ ચંદ્રની ત્રિજ્યાના $\sqrt{4/3}$ ગણી છે.

(B) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g' = g - \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,$\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે વિષુવવૃત્ત પરનું વજન તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{3}{5}$ ગણું થાય છે,તેથી $g' = \frac{3}{5}g$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{3}{5}g = g - \omega^2 R$.
પદોને ગોઠવતા: $\omega^2 R = g - \frac{3}{5}g = \frac{2}{5}g$.
તેથી,$\omega = \sqrt{\frac{2g}{5R}}$.
આપેલ છે $g = 10 \ m/s^2$ અને $R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$.
$\omega = \sqrt{\frac{2 \times 10}{5 \times 6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{20}{32 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{1.6 \times 10^6}} = \sqrt{0.625 \times 10^{-6}} \approx 0.791 \times 10^{-3} \ rad/s = 7.91 \times 10^{-4} \ rad/s$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈ પર,નવો આવર્તકાળ $T' = xT$ છે.
$h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ છે.
$h = R$ હોવાથી,$g_h = \frac{GM}{(R+R)^2} = \frac{GM}{(2R)^2} = \frac{GM}{4R^2} = \frac{g}{4}$ થાય.
હવે,આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T'}{T} = \frac{2\pi \sqrt{l/g_h}}{2\pi \sqrt{l/g}} = \sqrt{\frac{g}{g_h}}$ છે.
$g_h = \frac{g}{4}$ મૂકતા,આપણને $x = \sqrt{\frac{g}{g/4}} = \sqrt{4} = 2$ મળે છે.

(B) સાદા લોલકની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$f = F = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$.
સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ,ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ થાય છે.
અહીં $d = \frac{R}{3}$ આપેલ હોવાથી,અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g(1 - \frac{R/3}{R}) = g(1 - \frac{1}{3}) = \frac{2g}{3}$ થાય.
ઊંડાઈ $d$ પર આવૃત્તિ $f_d = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g_d}{l}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2g}{3l}}$ મળે.
સપાટી પરની આવૃત્તિ સાથે સરખામણી કરતા:
$f_d = \sqrt{\frac{2}{3}} \times \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} \right) = \sqrt{\frac{2}{3}} F$.
કારણ કે $\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{1.5}} = \frac{1}{\sqrt{1.5}}$,તેથી આવૃત્તિ $\frac{F}{\sqrt{1.5}}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે ગ્રહ $A$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ એ ગ્રહ $B$ કરતા $9$ ગણો છે:
$g_{A} = 9g_{B}$ $(i)$
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા, $v^2 = u^2 + 2gh$. કૂદકા માટે પ્રારંભિક વેગ $u$ બંને ગ્રહો પર સમાન છે અને મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $v = 0$ હોવાથી, $u^2 = 2gh$, અથવા $h = \frac{u^2}{2g}$ મળે.
તેથી, $h \propto \frac{1}{g}$
આથી, $\frac{h_{B}}{h_{A}} = \frac{g_{A}}{g_{B}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{h_{B}}{2} = \frac{9g_{B}}{g_{B}} = 9$
$h_{B} = 9 \times 2 = 18 \,m$.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષી પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ગ્રહ માટે,દળ $M_p = 2M_e$ અને ત્રિજ્યા $R_p = 2R_e$ છે.
તેથી,ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષી પ્રવેગ $g_p$ નીચે મુજબ થશે:
$g_p = \frac{G(2M_e)}{(2R_e)^2} = \frac{2GM_e}{4R_e^2} = \frac{1}{2} g_e$.
લોલકનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પૃથ્વી પર સેકન્ડ લોલક માટે,$T_e = 2 \ s$ અને પ્રવેગ $g_e$ છે.
ગ્રહ પર,નવો સમયગાળો $T_p$ નીચે મુજબ થશે:
$T_p = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_p}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_e/2}} = \sqrt{2} \times (2\pi \sqrt{\frac{l}{g_e}}) = \sqrt{2} \times T_e$.
$T_e = 2 \ s$ મૂકતા,આપણને $T_p = 2\sqrt{2} \ s$ મળે છે.

(C) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વી પર સેકન્ડ લોલક માટે,$T = 2 \text{ s}$ છે.
ગ્રહ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{GM'}{R'^2}$ છે.
આપેલ છે કે $M' = 3M$ અને $R' = 3R$,તેથી:
$\frac{g'}{g} = \frac{M'}{M} \cdot \frac{R^2}{R'^2} = 3 \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
ગ્રહ પર આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ છે.
તેથી,$\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{3}$.
$T' = T \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} \text{ સેકન્ડ}$.

(A) સરળ લોલકની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$.
સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ,ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું મૂલ્ય $g' = g(1 - \frac{d}{R})$ છે.
અહીં $d = \frac{R}{2}$ આપેલ હોવાથી,$g' = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
ઊંડાઈ $d$ પર નવી આવૃત્તિ $n' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g'}{l}}$ થાય.
$g' = \frac{g}{2}$ મૂકતા,$n' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g/2}{l}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} \right)$.
તેથી,$n' = \frac{n}{\sqrt{2}}$.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $ d $ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $ g_d $ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$ g_d = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right) $
જ્યાં $ g $ એ સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $( 9.8 \,ms^{-2} )$ છે,$ d $ એ ઊંડાઈ $( 1600 \,km )$ છે,અને $ R $ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $( 6400 \,km )$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$ g_d = 9.8 \left( 1 - \frac{1600}{6400} \right) $
$ g_d = 9.8 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) $
$ g_d = 9.8 \times \frac{3}{4} $
$ g_d = 7.35 \,ms^{-2} $
તેથી,$ 1600 \,km $ ની ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $ 7.35 \,ms^{-2} $ છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર: $g_h = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R})^2}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે ઊંચાઈ $h = \frac{R}{2}$,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
સૂત્રમાં $h$ ની કિંમત મૂકતા:
$g_h = \frac{g}{(1 + \frac{R/2}{R})^2} = \frac{g}{(1 + \frac{1}{2})^2} = \frac{g}{(\frac{3}{2})^2}$.
$g_h = \frac{g}{9/4} = \frac{4}{9}g$.
$g = 9.8 \ m/s^2$ લેતા:
$g_h = \frac{4}{9} \times 9.8 \approx 4.355 \ m/s^2 \approx 4.4 \ m/s^2$.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$1$. પૃથ્વીની અંદર $(x < R)$: $g = \frac{GMx}{R^3}$,જે સૂચવે છે કે $g \propto x$. આ એક રેખીય સંબંધ છે.
$2$. પૃથ્વીની બહાર $(x \ge R)$: $g = \frac{GM}{x^2}$,જે સૂચવે છે કે $g \propto \frac{1}{x^2}$. આ એક વ્યસ્ત વર્ગનો સંબંધ છે.
આમ,આલેખ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી શરૂ થાય છે,$x = R$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે,અને ત્યારબાદ $x > R$ માટે વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ મુજબ ઘટે છે.

(A) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $M_e$ અને $R_e$ એ પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે,અને $g_e = \frac{GM_e}{R_e^2}$ એ પૃથ્વી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
વિચિત્ર ગ્રહ માટે,આપણને $g_p = 2g_e$ આપેલ છે.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: જો $M_p = \frac{M_e}{2}$ અને $R_p = \frac{R_e}{2}$ હોય,તો $g_p = \frac{G(M_e/2)}{(R_e/2)^2} = \frac{GM_e/2}{R_e^2/4} = 2 \frac{GM_e}{R_e^2} = 2g_e$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = \frac{GM}{(R+h)^2}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા,$\frac{g'}{g} = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$ મળે.
આપેલ છે કે $g' = \frac{g}{2}$,તેથી:
$\frac{1}{2} = \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{R}{R+h}$.
પદોને ગોઠવતા:
$R+h = R\sqrt{2}$.
$h = R(\sqrt{2}-1)$.

(B) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી '$r$' અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ '$g$' નું મૂલ્ય નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$1$. પૃથ્વીની અંદર $(r < R)$: $g = \frac{GMr}{R^3}$,જે સૂચવે છે કે $g \propto r$. આ એક સુરેખ સંબંધ છે.
$2$. પૃથ્વીની બહાર $(r \geq R)$: $g = \frac{GM}{r^2}$,જે સૂચવે છે કે $g \propto \frac{1}{r^2}$. આ એક અરેખીય,વ્યસ્ત-વર્ગનો ઘટાડો છે.
તેથી,આલેખ કેન્દ્ર $(r=0)$ થી સપાટી $(r=R)$ સુધી સુરેખ વધારો અને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(r > R)$ કરતા વધુ અંતર માટે અરેખીય ઘટાડો દર્શાવે છે. આલેખ $B$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) $h = 10 \,km$ ની ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $g_h = g(1 - \frac{2h}{R_e}) = x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે।
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $g_d = g(1 - \frac{d}{R_e}) = x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$x$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$g(1 - \frac{2h}{R_e}) = g(1 - \frac{d}{R_e})$
$1 - \frac{2h}{R_e} = 1 - \frac{d}{R_e}$
$\frac{2h}{R_e} = \frac{d}{R_e}$
$d = 2h$.
અહીં $h = 10 \,km$ આપેલ હોવાથી,$d = 2 \times 10 \,km = 20 \,km$ મળે છે।

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$,જ્યાં $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
$h = R/2$ ઊંચાઈ પર,ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ એ $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
$h = R/2$ મૂકતા,આપણને $g' = g \left( \frac{R}{R + R/2} \right)^2 = g \left( \frac{R}{3R/2} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$ મળે છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{(4/9)g}} = \frac{3}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \right) = \frac{3}{2}T$ થશે.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર: $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$,જ્યાં $g$ એ પૃથ્વીની સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $h = (\sqrt{2}-1)R$ અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
સૂત્રમાં $h$ ની કિંમત મૂકતા:
$g' = g \left( \frac{R}{R + (\sqrt{2}-1)R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{R}{R + \sqrt{2}R - R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{R}{\sqrt{2}R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2$
$g' = g \times \frac{1}{2}$
$g' = \frac{10}{2} = 5 \ m \ s^{-2}$.

(A) આપેલ છે: $h_1 = 6400 \,km$ ઊંચાઈએ $g_1 = 2.5 \,ms^{-2}$. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R = 6400 \,km$.
ઊંચાઈ $h$ પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{(R+h)^2}$ છે.
આથી $g \propto \frac{1}{(R+h)^2}$.
ઊંચાઈ $h_1 = 6400 \,km$ માટે, કેન્દ્રથી અંતર $r_1 = R + h_1 = 6400 + 6400 = 12800 \,km = 2R$.
ઊંચાઈ $h_2 = 12800 \,km$ માટે, કેન્દ્રથી અંતર $r_2 = R + h_2 = 6400 + 12800 = 19200 \,km = 3R$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{g_2}{g_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{2R}{3R} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$.
તેથી, $g_2 = \frac{4}{9} \times g_1 = \frac{4}{9} \times 2.5 = \frac{10}{9} \approx 1.11 \,ms^{-2}$.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g_h = g \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$ છે,જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $R_E$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $g_h = \frac{g}{4}$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{g}{4} = g \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$
$\frac{1}{4} = \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{2} = \frac{R_E}{R_E + h}$
$R_E + h = 2R_E$
$h = R_E$
$R_E = 6400 \ km$ આપેલ હોવાથી,$h = 6400 \ km$ થાય.

(C) $\text{પૃથ્વીની સપાટીથી } h \text{ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ } g' \text{ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:}$
$g' = g \left( \frac{R_E}{R_E + h} \right)^2$
$\text{અહીં ઊંચાઈ } h = 4 R_E \text{ અને પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ } g = 10 \,ms^{-2} \text{ આપેલ છે.}$
$\text{સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:}$
$g' = 10 \left( \frac{R_E}{R_E + 4 R_E} \right)^2$
$g' = 10 \left( \frac{R_E}{5 R_E} \right)^2$
$g' = 10 \left( \frac{1}{5} \right)^2$
$g' = 10 \times \frac{1}{25} = \frac{10}{25} = 0.4 \,ms^{-2}$

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી,તેની ત્રિજ્યા $R$ ધ્રુવો પર ન્યૂનતમ અને વિષુવવૃત્ત પર મહત્તમ હોય છે. $g \propto \frac{1}{R^2}$ હોવાથી,ધ્રુવો પર $g$ નું મૂલ્ય વધારે હોય છે.
જ્યારે આપણે સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર જઈએ છીએ,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g^{\prime} = \frac{g}{(1 + h/R)^2}$ દ્વારા મળે છે. જેમ $h$ વધે છે,તેમ $g^{\prime}$ ઘટે છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,વિધાનો $A$ અને $B$ સાચા છે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન ઘન ગોળાના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $(r \ge R)$ ગુરુત્વીય પ્રવેગ $g = \frac{GM}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટી પર,$r = R$ હોવાથી,$a_o = \frac{GM}{R^2}$ થાય.
આપણે તે અંતર $r$ શોધવું છે જ્યાં પ્રવેગ $a = \frac{a_o}{4}$ થાય.
સમીકરણો મૂકતા,$\frac{GM}{r^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{GM}{R^2} \right)$ મળે.
બંને બાજુથી $GM$ દૂર કરતા,$\frac{1}{r^2} = \frac{1}{4R^2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$r^2 = 4R^2$,જેનું સાદું રૂપ $r = 2R$ થાય.
આમ,ગોળાના કેન્દ્રથી અંતર $2R$ છે.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ હોવાથી,આપણે ત્રિજ્યા $R$ ને $R = \left( \frac{3M}{4\pi \rho} \right)^{1/3}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
$R$ ની કિંમત $g$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$g = \frac{GM}{(\frac{3M}{4\pi \rho})^{2/3}} = G M^{1/3} (\frac{4\pi \rho}{3})^{2/3}$.
આ દર્શાવે છે કે $g \propto M^{1/3} \rho^{2/3}$.
ગ્રહ માટે આપેલ છે: $M^{\prime} = 8M$ અને $\rho^{\prime} = 27\rho$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{g^{\prime}}{g} = \left( \frac{M^{\prime}}{M} \right)^{1/3} \left( \frac{\rho^{\prime}}{\rho} \right)^{2/3}$.
$\frac{g^{\prime}}{g} = (8)^{1/3} \times (27)^{2/3} = 2 \times (3^3)^{2/3} = 2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$.
તેથી,$g^{\prime} = 18g$.