Heat Conduction and Thermal Conductivity Questions in Hindi

(A) दी गई धातुओं की ऊष्मीय चालकता लगभग इस प्रकार है:
$Al \approx 205 \ W/m\cdot K$,
$Cu \approx 385 \ W/m\cdot K$,
$Ag \approx 406 \ W/m\cdot K$.
इन मानों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि ऊष्मीय चालकता $Al < Cu < Ag$ के क्रम में बढ़ती है।
अतः,$Al, Cu, Ag$ का क्रम ऊष्मीय चालकता का बढ़ता हुआ क्रम दर्शाता है।

(D) ऊष्मा चालन की दर का सूत्र है: $\frac{Q}{t} = \frac{KA \Delta \theta}{l}$.
चूंकि सभी छड़ों के लिए पदार्थ $(K)$ और तापमान का अंतर $(\Delta \theta)$ समान है,इसलिए ऊष्मा चालन की दर $\frac{A}{l}$ के समानुपाती होती है।
चूंकि $A = \pi r^2$,इसलिए $\frac{Q}{t} \propto \frac{r^2}{l}$ होगा।
प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{r^2}{l}$ की गणना करने पर:
$(a)$ $\frac{1^2}{1} = 1$
$(b)$ $\frac{1^2}{2} = 0.5$
$(c)$ $\frac{2^2}{2} = 2$
$(d)$ $\frac{2^2}{1} = 4$
मानों की तुलना करने पर,विकल्प $(d)$ में $\frac{r^2}{l}$ का मान अधिकतम है,इसलिए यह सबसे अधिक ऊष्मा का चालन करेगी।

(D) एक छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H = Q/t)$ सूत्र द्वारा दी जाती है: $H = \frac{KA \Delta \theta}{l}$.
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए ऊष्मीय चालकता $K$ स्थिर है। यह देखते हुए कि तापमान का अंतर $\Delta \theta$ भी समान है,हमारे पास $H \propto \frac{A}{l}$ है।
चूंकि $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$,इसलिए $A \propto d^2$ है। अतः,$H \propto \frac{d^2}{l}$ होगा।
दिए गए अनुपात: $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}$ और $\frac{l_1}{l_2} = \frac{2}{1}$।
ऊष्मा प्रवाह दरों का अनुपात ज्ञात करने पर: $\frac{H_1}{H_2} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 \times \left( \frac{l_2}{l_1} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \times \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$।
इस प्रकार,अनुपात $1:8$ है।

(D) खाना पकाने के बर्तनों के लिए,कम विशिष्ट ऊष्मा वाली सामग्री को प्राथमिकता दी जाती है क्योंकि इसके तापमान को बढ़ाने के लिए कम ऊष्मा ऊर्जा की आवश्यकता होती है,जिससे यह जल्दी गर्म हो जाते हैं।
इसके अतिरिक्त,इसमें उच्च तापीय चालकता होनी चाहिए ताकि स्रोत से मिलने वाली ऊष्मा कुशलतापूर्वक और तेजी से भोजन तक स्थानांतरित हो सके।
इसलिए,सही संयोजन कम विशिष्ट ऊष्मा और उच्च चालकता है।

(D) ऊष्मीय चालकता गुणांक,जिसे $k$ द्वारा दर्शाया जाता है,पदार्थ का एक आंतरिक गुण है। यह किसी पदार्थ की ऊष्मा का संचालन करने की क्षमता को दर्शाता है। यह पूरी तरह से पदार्थ की प्रकृति और उसकी स्थिति (जैसे तापमान) पर निर्भर करता है,लेकिन यह प्लेट के क्षेत्रफल,प्लेट की मोटाई या सतहों के बीच तापमान के अंतर जैसे ज्यामितीय आयामों से स्वतंत्र है। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) छड़ के माध्यम से ऊष्मा चालन की दर $H$ को सूत्र $H = \frac{KA \Delta T}{L}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta T$ तापमान का अंतर है और $L$ छड़ की लंबाई है।
पहली छड़ के लिए:
$H_1 = \frac{KA(90 - 60)}{0.6} = \frac{KA(30)}{0.6} = 50KA$.
दूसरी छड़ के लिए:
$H_2 = \frac{KA(150 - 110)}{0.8} = \frac{KA(40)}{0.8} = 50KA$.
चूंकि $H_1 = H_2$,इसलिए दोनों छड़ों के लिए ऊष्मा चालन की दर समान है।

(C) प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{dQ}{dt \cdot A} = K \cdot \frac{d\theta}{dx}$.
यहाँ,$\frac{dQ}{dt \cdot A}$ ऊष्मा फ्लक्स है,जो $10 \ cal/sec-cm^2$ दिया गया है।
$K$ ऊष्मीय चालकता है,जो $0.4 \ cal/sec-cm-^oC$ है।
$\frac{d\theta}{dx}$ ऊष्मीय प्रवणता है।
ऊष्मीय प्रवणता के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{d\theta}{dx} = \frac{(dQ/dt \cdot A)}{K}$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{d\theta}{dx} = \frac{10}{0.4} = 25 \ ^oC/cm$.

(A) स्थिर अवस्था में,ब्लॉक $A$ से ऊष्मा प्रवाह की दर ब्लॉक $B$ से ऊष्मा प्रवाह की दर के बराबर होनी चाहिए।
मान लीजिए $K_1$ और $K_2$ क्रमशः ब्लॉक $A$ और $B$ की ऊष्मीय चालकता हैं,$L$ उनकी लंबाई है और $A$ उनका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिया गया है: $\frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{3}$,इसलिए $K_2 = 3K_1$.
मान लीजिए जंक्शन का तापमान $\theta$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
ऊष्मा प्रवाह दरों की तुलना करने पर: $\frac{K_1 A (100 - \theta)}{L} = \frac{K_2 A (\theta - 0)}{L}$.
चूंकि दोनों के लिए $A$ और $L$ समान हैं,हमें प्राप्त होता है $K_1(100 - \theta) = K_2\theta$.
$K_2 = 3K_1$ प्रतिस्थापित करने पर: $K_1(100 - \theta) = 3K_1\theta$.
$100 - \theta = 3\theta$.
$100 = 4\theta$.
$\theta = 25^{\circ}C$.

(A) किसी पदार्थ से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र $Q = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)t}{l}$ है,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ क्षेत्रफल है,$l$ मोटाई है और $t$ लिया गया समय है।
चूँकि पात्र आकार में समान हैं,इसलिए $A$ और $l$ स्थिर हैं। तापमान का अंतर $(\theta_1 - \theta_2)$ और ऊष्मा की मात्रा $Q$ (समान मात्रा की बर्फ पिघलाने के लिए आवश्यक) भी स्थिर हैं।
इसलिए,$K \cdot t = \text{स्थिरांक}$,जिसका अर्थ है $K_1 t_1 = K_2 t_2$.
अतः,ऊष्मीय चालकता का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{t_2}{t_1}$ होगा।
यहाँ $t_1 = 20 \text{ मिनट}$ और $t_2 = 30 \text{ मिनट}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{K_1}{K_2} = \frac{30}{20} = 1.5$।

(B) चालन द्वारा छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(T_{1} - T_{2})}{l}$
दोनों छड़ों के लिए,ऊष्मा हानि की दरें हैं:
$(\frac{dQ}{dt})_{1} = \frac{K_{1}A_{1}(T_{1} - T_{2})}{l}$
$(\frac{dQ}{dt})_{2} = \frac{K_{2}A_{2}(T_{1} - T_{2})}{l}$
यह दिया गया है कि दोनों छड़ों के लिए ऊष्मा हानि की दर समान है:
$(\frac{dQ}{dt})_{1} = (\frac{dQ}{dt})_{2}$
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{K_{1}A_{1}(T_{1} - T_{2})}{l} = \frac{K_{2}A_{2}(T_{1} - T_{2})}{l}$
चूंकि दोनों छड़ों के लिए लंबाई $l$ और तापमान का अंतर $(T_{1} - T_{2})$ समान है,इसलिए हम इन पदों को दोनों पक्षों से काट सकते हैं:
$K_{1}A_{1} = K_{2}A_{2}$

(B) इंगेन हॉज़ प्रयोग में,वह लंबाई $l$ जहाँ तक छड़ पर मोम पिघलता है,ऊष्मीय चालकता गुणांक $K$ के साथ $K \propto l^2$ संबंध द्वारा संबंधित होती है।
इसलिए,लंबाइयों $l_1$ और $l_2$ का अनुपात $\frac{l_1}{l_2} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{K_1}{K_2} = \frac{10}{9}$,इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\frac{l_1}{l_2} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3}$.
अतः,लंबाइयों का अनुपात $\sqrt{10} : 3$ है।

(C) ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{Q}{t} = \frac{KA(\Delta \theta)}{l}$
दिए गए मान:
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{Q}{t} = 50 \ \text{cal/s}$
क्षेत्रफल $A = 5 \ cm^2$
तापमान अंतर $\Delta \theta = 20^{\circ}C$
मोटाई $l = 0.4 \ cm$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$50 = \frac{K \times 5 \times 20}{0.4}$
$50 = \frac{100K}{0.4}$
$50 \times 0.4 = 100K$
$20 = 100K$
$K = \frac{20}{100} = 0.2 \ \text{cal} \cdot \text{cm}^{-1} \cdot \text{s}^{-1} \cdot ^{\circ}C^{-1}$
अतः,ऊष्मीय चालकता गुणांक $0.2$ है।

(C) सियरल का उपकरण एक धातु की छड़ की ऊष्मीय चालकता को स्थिर अवस्था (steady state) में मापने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
स्थिर अवस्था में,छड़ के किसी भी बिंदु पर तापमान समय के साथ नहीं बदलता है।
ऊष्मा चालन के नियम के अनुसार,ऊष्मा प्रवाह की दर $dQ/dt = -kA(dT/dx)$ होती है।
चूंकि छड़ अपनी लंबाई के अनुदिश ऊष्मीय रूप से कुचालक होती है,इसलिए ऊष्मा प्रवाह की दर पूरी छड़ में स्थिर रहती है।
चूंकि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और ऊष्मीय चालकता $k$ स्थिर हैं,इसलिए ताप प्रवणता $dT/dx$ भी छड़ के सभी बिंदुओं पर समान होनी चाहिए।

(A) स्थिर अवस्था में,दोनों दीवारों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है। मान लीजिए कि संपर्क सतह का तापमान $\theta$ है।
ऊष्मा चालन के सूत्र $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_{high} - T_{low})}{d}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{k_1 A(T_1 - \theta)}{d_1} = \frac{k_2 A(\theta - T_2)}{d_2}$
क्षेत्रफल $A$ को हटाने और पदों को व्यवस्थित करने पर:
$k_1 d_2 (T_1 - \theta) = k_2 d_1 (\theta - T_2)$
$k_1 d_2 T_1 - k_1 d_2 \theta = k_2 d_1 \theta - k_2 d_1 T_2$
$k_1 d_2 T_1 + k_2 d_1 T_2 = \theta (k_1 d_2 + k_2 d_1)$
$\theta = \frac{k_1 T_1 d_2 + k_2 T_2 d_1}{k_1 d_2 + k_2 d_1}$

(A) माना प्रत्येक परत की मोटाई $d$ है। माना तांबे की ऊष्मीय चालकता $K_c$ है और पीतल की ऊष्मीय चालकता $K_b$ है। दिया गया है कि $K_c : K_b = 1 : 4$,इसलिए $K_b = 4K_c$.
स्थिर अवस्था में,तांबे की परत से ऊष्मा प्रवाह की दर पीतल की परत से ऊष्मा प्रवाह की दर के बराबर होनी चाहिए।
माना इंटरफ़ेस का तापमान $\theta$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(\Delta T)}{d}$ है।
तांबे के लिए: $H_c = \frac{K_c A(\theta - 0)}{d}$.
पीतल के लिए: $H_b = \frac{K_b A(100 - \theta)}{d}$.
चूंकि $H_c = H_b$,इसलिए $\frac{K_c A \theta}{d} = \frac{4K_c A(100 - \theta)}{d}$.
समान पदों $K_c, A, d$ को काटने पर: $\theta = 4(100 - \theta)$.
$\theta = 400 - 4\theta$.
$5\theta = 400$.
$\theta = 80^\circ C$.

(D) छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{dQ}{dt} = -KA \frac{d\theta}{dx}$।
पूरी छड़ का तापमान समान रहने के लिए,तापमान प्रवणता (temperature gradient) $\frac{d\theta}{dx}$ शून्य होनी चाहिए।
समीकरण से,यदि $\frac{dQ}{dt}$ एक निश्चित मान है और $K = \infty$ है,तो $\frac{d\theta}{dx}$ शून्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\theta$,$x$ से स्वतंत्र है,जिसका अर्थ है कि पूरी छड़ में तापमान स्थिर या समान है।

(B) बर्फ ऊष्मा की कुचालक होती है (बहुत कम तापीय चालकता)।
जब झील की सतह पर बर्फ की एक परत जम जाती है,तो यह ठंडे वातावरण और उसके नीचे के गर्म पानी के बीच एक इन्सुलेटिंग बाधा के रूप में कार्य करती है।
इस कम तापीय चालकता के कारण,पानी से ऊष्मा आसानी से वातावरण में बाहर नहीं निकल पाती है,जो आगे बर्फ बनने की प्रक्रिया को काफी धीमा कर देती है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(D) ऊष्मा चालन की दर का सूत्र है: $\frac{Q}{t} = \frac{KA\Delta \theta}{l}$।
चूंकि ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{Q}{t}$,लंबाई $l$,और तापांतर $\Delta \theta$ दोनों तारों के लिए समान हैं,इसलिए: $K_A A_A = K_B A_B$।
चूंकि अनुप्रस्थ काट वृत्ताकार हैं,क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होगा। अतः,$A_A = \pi r_A^2$ और $A_B = \pi r_B^2$।
दी गई शर्त $r_A = 2r_B$ को रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $A_A = \pi (2r_B)^2 = 4\pi r_B^2 = 4A_B$।
अब,इस मान को समीकरण में रखने पर: $K_A (4A_B) = K_B A_B$।
दोनों पक्षों को $4A_B$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $K_A = \frac{K_B}{4}$।

(B) छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $(Q)$ का सूत्र है: $Q = \frac{kA(T_1 - T_2)}{l}$,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
अतः,$Q \propto \frac{r^2}{l}$।
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ और लंबाई $l_1 = l$ है। प्रारंभिक ऊष्मा प्रवाह $Q_1 \propto \frac{r^2}{l}$ है।
जब दोनों को दोगुना किया जाता है,तो $r_2 = 2r$ और $l_2 = 2l$ हो जाता है।
नया ऊष्मा प्रवाह $Q_2 \propto \frac{(2r)^2}{2l} = \frac{4r^2}{2l} = 2 \left( \frac{r^2}{l} \right)$ है।
इसलिए,$Q_2 = 2 Q_1$।
अतः,ऊष्मा के प्रवाह की दर $2$ गुना बढ़ जाती है।

(C) इकाई क्षेत्रफल के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{Q}{At} = K \left( \frac{\Delta \theta}{l} \right)$.
यह दिया गया है कि ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{Q}{At}$ सभी के लिए समान है,इसलिए $K \left( \frac{\Delta \theta}{l} \right) = \text{स्थिरांक}$.
यहाँ,$\frac{\Delta \theta}{l}$ तापमान प्रवणता $X$ को दर्शाता है। अतः,$K \cdot X = \text{स्थिरांक}$,जिसका अर्थ है कि $X \propto \frac{1}{K}$.
चूंकि ऊष्मीय चालकता गुणांक $K_c > K_m > K_g$ दिए गए हैं,व्युत्क्रमानुपाती संबंध के कारण उनके संबंधित तापमान प्रवणता $X_c < X_m < X_g$ होंगे।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) जब समान मोटाई $l$ और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ वाली दो प्लेटों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत ऊष्मीय प्रतिरोधों $R_1$ और $R_2$ के योग के बराबर होता है।
$R_{eq} = R_1 + R_2$
चूंकि ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{l}{KA}$ होता है,इसलिए:
$\frac{2l}{K_{eq} A} = \frac{l}{K_1 A} + \frac{l}{K_2 A}$
दोनों पक्षों को $\frac{l}{A}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{K_2 + K_1}{K_1 K_2}$
$K_{eq} = \frac{2 K_1 K_2}{K_1 + K_2}$

(A) छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta \theta}{l} = \frac{K(\pi r^2) \Delta \theta}{l}$।
यह दिया गया है कि ऊष्मीय चालकता $(K_s:K_l)$,त्रिज्या $(r_s:r_l)$ और लंबाई $(l_s:l_l)$ का अनुपात $1:2$ है,इसलिए:
$\frac{K_s}{K_l} = \frac{1}{2}$,$\frac{r_s}{r_l} = \frac{1}{2}$,और $\frac{l_s}{l_l} = \frac{1}{2}$।
तापमान का अंतर $\Delta \theta$ दोनों के लिए समान है।
ऊष्मा प्रवाह दर का अनुपात लेने पर:
$\frac{(dQ/dt)_s}{(dQ/dt)_l} = \frac{K_s}{K_l} \times \left(\frac{r_s}{r_l}\right)^2 \times \frac{l_l}{l_s} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{2}{1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{4}$।
दिया गया है कि $(dQ/dt)_l = 4 \; cal/sec$,इसलिए $(dQ/dt)_s = \frac{1}{4} \times 4 = 1 \; cal/sec$।

(D) ऊष्मा प्रवाह की दर $Q/t = (KA \Delta \theta) / l$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Q$ बर्फ पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है,$K$ ऊष्मीय चालकता है,$l$ दीवार की मोटाई है और $\Delta \theta$ तापमान का अंतर है।
चूंकि बर्फ सतह पर पिघल रही है,$Q \propto A \propto r^2$।
अतः,$t \propto (Q \cdot l) / (K \cdot A) \propto (r^2 \cdot l) / (K \cdot r^2) = l / K$।
इस प्रकार,$K \propto l / t$।
दिया गया है कि $l_l = (1/4)l_s$,$t_l = 25 \ min$ और $t_s = 16 \ min$।
अतः,$K_l / K_s = (l_l / l_s) \cdot (t_s / t_l) = (1/4) \cdot (16/25) = 1/25$।

(D) छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ को सूत्र $H = \frac{Q}{t} = \frac{kA(\Delta \theta)}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए ऊष्मीय चालकता $k$ स्थिर है। यह दिया गया है कि तापांतर $\Delta \theta$ भी समान है,इसलिए $H \propto \frac{A}{l}$ होगा।
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,हम लिख सकते हैं $H \propto \frac{r^2}{l}$।
व्यासों का अनुपात $d_1 : d_2 = 2 : 1$ है,इसलिए त्रिज्याओं का अनुपात $r_1 : r_2$ भी $2 : 1$ होगा। लंबाइयों का अनुपात $l_1 : l_2 = 1 : 4$ है।
अतः,ऊष्मा प्रवाह की दर का अनुपात: $\frac{H_1}{H_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \times \left( \frac{l_2}{l_1} \right) = \left( \frac{2}{1} \right)^2 \times \left( \frac{4}{1} \right) = 4 \times 4 = 16$।
इस प्रकार,अनुपात $16 : 1$ है।

(A) समान अनुप्रस्थ काट और सतह क्षेत्र वाली छड़ों के लिए,जिस लंबाई $l$ तक मोम पिघलता है,वह ऊष्मीय चालकता $K$ के वर्गमूल के समानुपाती होती है,अर्थात $l \propto \sqrt{K}$ या $K \propto l^2$।
दिया गया है:
तांबे की ऊष्मीय चालकता $(K_1)$ = $0.92$
तांबे के लिए लंबाई $(l_1)$ = $8.4 \ cm$
लोहे के लिए लंबाई $(l_2)$ = $4.2 \ cm$
संबंध $\frac{K_1}{K_2} = \frac{l_1^2}{l_2^2}$ का उपयोग करने पर:
$K_2 = K_1 \times \left( \frac{l_2}{l_1} \right)^2$
$K_2 = 0.92 \times \left( \frac{4.2}{8.4} \right)^2$
$K_2 = 0.92 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2$
$K_2 = 0.92 \times \frac{1}{4} = 0.23$
अतः,लोहे की ऊष्मीय चालकता $0.23$ है।

(C) मिट्टी ऊष्मा की कुचालक होती है।
अपनी कम ऊष्मीय चालकता के कारण,यह एक अवरोधक (insulator) के रूप में कार्य करती है।
यह गर्मियों में बाहर की गर्मी को अंदर आने से रोकती है और सर्दियों में अंदर की गर्मी को बाहर जाने से रोकती है।

(C) स्थायी अवस्था में,दोनों छड़ों से होकर गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए।
माना $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$L_1 = 1 \ cm$,$L_2 = 2 \ cm$,$K_1 = K$,$K_2 = 3K$,$T_1 = 0^{\circ}C$,$T_2 = 100^{\circ}C$,और $\phi$ अंतरापृष्ठ का तापमान है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_{high} - T_{low})}{L}$ द्वारा दी जाती है।
पहली छड़ के लिए: $H_1 = \frac{K \cdot A \cdot (\phi - 0)}{1}$.
दूसरी छड़ के लिए: $H_2 = \frac{3K \cdot A \cdot (100 - \phi)}{2}$.
चूंकि $H_1 = H_2$,हमें प्राप्त होता है:
$K \cdot A \cdot \phi = \frac{3K \cdot A \cdot (100 - \phi)}{2}$
$\phi = \frac{3(100 - \phi)}{2}$
$2\phi = 300 - 3\phi$
$5\phi = 300$
$\phi = 60^{\circ}C$.

(C) ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ का सूत्र है: $H = \frac{KA \Delta \theta}{l}$.
दिया गया है:
लंबाई $l = 10 \ cm = 0.1 \ m$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 100 \ cm^2 = 100 \times 10^{-4} \ m^2 = 10^{-2} \ m^2$.
ऊष्मा चालकता $K = 400 \ W/m \cdot ^\circ C$.
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = 4000 \ J/s$.
तापान्तर $\Delta \theta$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\Delta \theta = \frac{H \times l}{K \times A}$.
मान रखने पर:
$\Delta \theta = \frac{4000 \times 0.1}{400 \times 10^{-2}} = \frac{400}{4} = 100 \ ^\circ C$.

(B) जब आप किसी सतह को छूते हैं,तो यदि सतह आपके शरीर से ठंडी है,तो ऊष्मा आपके शरीर से सतह की ओर प्रवाहित होती है।
धातुएँ ऊष्मा की अच्छी सुचालक होती हैं,जिसका अर्थ है कि उनकी ऊष्मीय चालकता उच्च होती है।
इस उच्च ऊष्मीय चालकता के कारण,ऊष्मा आपकी त्वचा से धातु में बहुत तेजी से स्थानांतरित होती है।
इसके विपरीत,लकड़ी ऊष्मा की कुचालक (अचालक) होती है,इसलिए यह आपकी त्वचा से ऊष्मा को बहुत धीमी गति से दूर ले जाती है।
इसलिए,धातु ठंडी महसूस होती है क्योंकि यह आपके शरीर से ऊष्मा को बहुत तेज दर से खींचती है।

(C) इंजेन हॉज़ के प्रयोग में, एक धातु की छड़ पर मोम की परत चढ़ाई जाती है और एक सिरे को गर्म किया जाता है। मोम छड़ पर $l$ लंबाई तक पिघलता है।
स्थायी अवस्था ऊष्मा चालन समीकरण के अनुसार, छड़ से प्रवाहित ऊष्मा मोम की परत द्वारा नष्ट हो जाती है।
छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $H = KA \frac{dT}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
$l$ लंबाई की छड़ की सतह से नष्ट हुई ऊष्मा सतह के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है, जो $2\pi r l$ है।
चालन द्वारा प्रवाहित ऊष्मा और नष्ट हुई ऊष्मा की तुलना करने पर, हमें $KA \frac{\Delta T}{l} \propto P \cdot l$ प्राप्त होता है, जहाँ $P$ परिधि है।
इसे सरल करने पर $K \propto l^2$ या $K/l^2 = \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है।

(B) छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{Q}{t} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{l}$.
दिया गया है: $K = 100 \ W/m-K$,$A = 100 \ cm^2 = 100 \times 10^{-4} \ m^2 = 10^{-2} \ m^2$,$l = 1.0 \ m$,$\theta_1 = 100^{\circ}C$,$\theta_2 = 0^{\circ}C$.
मान रखने पर: $\frac{Q}{t} = \frac{100 \times 10^{-2} \times (100 - 0)}{1} = 1 \times 100 = 100 \ J/s$.
चूंकि $1 \ minute = 60 \ seconds$,इसलिए प्रति मिनट प्रवाहित ऊष्मा $Q = 100 \ J/s \times 60 \ s = 6000 \ J = 6 \times 10^3 \ J$ होगी।

(C) स्थिर अवस्था में ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र $\frac{Q}{t} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{l}$ है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए ऊष्मीय चालकता $K$ नियत है। दिया गया है कि तापमान का अंतर $(\theta_1 - \theta_2)$ भी नियत है,इसलिए $\frac{Q}{t} \propto \frac{A}{l}$ होगा।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है,इसलिए $\frac{Q}{t} \propto \frac{r^2}{l}$ प्राप्त होता है।
दिए गए अनुपात: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{2}$ और $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$।
अतः,ऊष्मा प्रवाह का अनुपात $\frac{(Q/t)_1}{(Q/t)_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{l_2}{l_1}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{2}{1}\right) = \frac{4}{9} \times 2 = \frac{8}{9}$ होगा।

(B) किसी पदार्थ से ऊष्मा प्रवाह की दर $Q = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)t}{l}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि बर्तन समान हैं,इसलिए दोनों के लिए क्षेत्रफल $A$,मोटाई $l$ और तापमान का अंतर $(\theta_1 - \theta_2)$ समान है।
साथ ही,दोनों स्थितियों में बर्फ की मात्रा $Q$ भी समान है।
इसलिए,$K_1 t_1 = K_2 t_2$ होगा।
इसका अर्थ है $\frac{K_1}{K_2} = \frac{t_2}{t_1}$।
यहाँ $t_1 = 20 \text{ मिनट}$ और $t_2 = 35 \text{ मिनट}$ दिया गया है।
अतः,$\frac{K_1}{K_2} = \frac{35}{20} = \frac{7}{4}$।
इस प्रकार,ऊष्मीय चालकता के गुणांकों का अनुपात $7:4$ है।

(A) इंजेन-हौज़ के प्रयोग में,वह लंबाई $l$ जहाँ तक छड़ पर मोम पिघलता है,उसकी ऊष्मीय चालकता $K$ से $l^2 \propto K$ संबंध द्वारा संबंधित होती है।
दी गई लंबाइयाँ $l_1 = 10 \ cm$ और $l_2 = 25 \ cm$ हैं।
ऊष्मीय चालकता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{l_1^2}{l_2^2}$
$\frac{K_1}{K_2} = \left( \frac{10}{25} \right)^2$
$\frac{K_1}{K_2} = \left( \frac{2}{5} \right)^2 = \frac{4}{25} = \frac{1}{6.25}$
अतः,अनुपात $1:6.25$ है।

(A) एक छड़ के माध्यम से ऊष्मा धारा $H$ को $H = \frac{\Delta T}{R_{th}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta T$ तापमान का अंतर है और $R_{th}$ ऊष्मीय प्रतिरोध है।
ऊष्मीय प्रतिरोध को $R_{th} = \frac{L}{kA}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $k$ सामग्री की ऊष्मीय चालकता है।
चूंकि सभी छड़ें समान आयामों की हैं ($L$ और $A$ स्थिर हैं),ऊष्मीय प्रतिरोध ऊष्मीय चालकता $k$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
तांबे की ऊष्मीय चालकता स्टील की तुलना में बहुत अधिक होती है $(k_{Cu} > k_{Steel})$,जिसका अर्थ है कि तांबे की छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध स्टील की छड़ की तुलना में काफी कम होता है।
संयुक्त छड़ों (श्रेणी संयोजन) के लिए,कुल ऊष्मीय प्रतिरोध व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग होता है $(R_{total} = R_{Cu} + R_{Steel})$,जो एक तांबे की छड़ के प्रतिरोध से अधिक होगा।
इसलिए,शुद्ध तांबे की छड़ के लिए ऊष्मीय प्रतिरोध न्यूनतम होता है,जिसके परिणामस्वरूप ऊष्मा धारा अधिकतम होती है।

(C) स्थायी अवस्था में,दोनों छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होनी चाहिए।
ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र $H = \frac{KA(\Delta T)}{l}$ है।
मान लीजिए कि सामान्य जंक्शन का तापमान $\theta$ है। चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं,इसलिए पहली छड़ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धारा दूसरी छड़ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धारा के बराबर होगी:
$\frac{K_1 A (\theta_1 - \theta)}{l} = \frac{K_2 A (\theta - \theta_2)}{l}$
चूंकि लंबाई $(l)$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ समान हैं,इसलिए वे कट जाएंगे:
$K_1(\theta_1 - \theta) = K_2(\theta - \theta_2)$
$K_1 \theta_1 - K_1 \theta = K_2 \theta - K_2 \theta_2$
$K_1 \theta_1 + K_2 \theta_2 = \theta(K_1 + K_2)$
$\theta = \frac{K_1 \theta_1 + K_2 \theta_2}{K_1 + K_2}$

(D) स्थिर अवस्था में,घन $A$ से गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर घन $B$ से गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर के बराबर होनी चाहिए।
मान लीजिए कि इंटरफ़ेस का तापमान $T$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि घन समान आकार के हैं,इसलिए उनका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और लंबाई $L$ समान है।
घन $A$ के लिए: $H_A = \frac{K_A A (100 - T)}{L}$
घन $B$ के लिए: $H_B = \frac{K_B A (T - 0)}{L}$
$H_A = H_B$ को बराबर करने पर:
$\frac{K_A A (100 - T)}{L} = \frac{K_B A (T - 0)}{L}$
$K_A (100 - T) = K_B T$
$300(100 - T) = 200T$
$3(100 - T) = 2T$
$300 - 3T = 2T$
$5T = 300$
$T = 60^{\circ}C$
अतः,इंटरफ़ेस का तापमान $60^{\circ}C$ है।

(B) एक बेलनाकार छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_1 - T_2)}{L}$,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
अतः,ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{r^2}{L}$ के समानुपाती होती है।
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1$ और लंबाई $L_1$ है। तब $Q_1 \propto \frac{r_1^2}{L_1}$।
जब सभी रैखिक आयामों को दोगुना किया जाता है,तो नई त्रिज्या $r_2 = 2r_1$ और नई लंबाई $L_2 = 2L_1$ हो जाती है।
ऊष्मा प्रवाह की नई दर $Q_2 \propto \frac{r_2^2}{L_2} = \frac{(2r_1)^2}{2L_1} = \frac{4r_1^2}{2L_1} = 2 \left( \frac{r_1^2}{L_1} \right)$।
इसलिए,$Q_2 = 2Q_1$।

(B) ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{Q}{t} = \frac{KA \Delta \theta}{l}$.
दिए गए मान हैं: $l = 1 \; m$,$A = 0.75 \; m^2$,$\frac{Q}{t} = 6000 \; J/s$,और $K = 200 \; J \cdot m^{-1} \cdot s^{-1} \cdot K^{-1}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$6000 = \frac{200 \times 0.75 \times \Delta \theta}{1}$.
$\Delta \theta$ के लिए हल करने पर:
$\Delta \theta = \frac{6000}{200 \times 0.75} = \frac{6000}{150} = 40 \; ^\circ C$.

(B) स्थायी अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी परतों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है।
मान लीजिए कि इंटरफ़ेस पर तापमान $\theta$ है। परत $A$ के आर-पार तापमान का अंतर $(\theta_1 - \theta)$ है और परत $B$ के आर-पार $(\theta - \theta_2)$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(\Delta T)}{l}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $H_A = H_B$ और दोनों परतों के लिए क्षेत्रफल $A$ और मोटाई $l$ समान है:
$\frac{K_A A (\theta_1 - \theta)}{l} = \frac{K_B A (\theta - \theta_2)}{l}$
$K_A (\theta_1 - \theta) = K_B (\theta - \theta_2)$
दिया गया है $K_A = 3K_B$,इसलिए:
$3K_B (\theta_1 - \theta) = K_B (\theta - \theta_2)$
$3(\theta_1 - \theta) = (\theta - \theta_2)$
मान लीजिए $\Delta T_A = (\theta_1 - \theta)$ और $\Delta T_B = (\theta - \theta_2)$ है।
तब $3 \Delta T_A = \Delta T_B$ होगा।
कुल तापमान अंतर $\Delta T_A + \Delta T_B = 20^\circ C$ है।
$\Delta T_B = 3 \Delta T_A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta T_A + 3 \Delta T_A = 20^\circ C$
$4 \Delta T_A = 20^\circ C$
$\Delta T_A = 5^\circ C$.

(B) छड़ के माध्यम से ऊष्मा चालन की दर $H$ सूत्र $H = \frac{kA \Delta T}{l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta T$ तापमान का अंतर है और $l$ लंबाई है।
चूंकि पदार्थ समान है,$k$ स्थिर है। चूंकि तापमान का अंतर $\Delta T$ समान है,इसलिए $H \propto \frac{A}{l}$ होगा।
वृत्ताकार छड़ के लिए,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,इसलिए $H \propto \frac{r^2}{l}$ होगा।
प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{r^2}{l}$ अनुपात का मूल्यांकन करने पर:
$(a) \frac{(2r_0)^2}{2l_0} = \frac{4r_0^2}{2l_0} = 2 \frac{r_0^2}{l_0}$
$(b) \frac{(2r_0)^2}{l_0} = \frac{4r_0^2}{l_0} = 4 \frac{r_0^2}{l_0}$
$(c) \frac{r_0^2}{l_0} = 1 \frac{r_0^2}{l_0}$
$(d) \frac{r_0^2}{2l_0} = 0.5 \frac{r_0^2}{l_0}$
इन मानों की तुलना करने पर,विकल्प $(b)$ का अनुपात सबसे अधिक है,जिसका अर्थ है कि यह सबसे अधिक ऊष्मा का चालन करेगी।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक परत की मोटाई $x$ है। मान लीजिए कि $B$ की ऊष्मीय चालकता $K$ है,तो $A$ की ऊष्मीय चालकता $2K$ होगी।
स्थिर अवस्था में,दोनों परतों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(\Delta T)}{x}$ है।
परत $A$ के लिए: $H_A = \frac{(2K)A(\theta_1 - \theta)}{x}$।
परत $B$ के लिए: $H_B = \frac{KA(\theta - \theta_2)}{x}$।
चूंकि $H_A = H_B$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2KA(\theta_1 - \theta)}{x} = \frac{KA(\theta - \theta_2)}{x}$
$2(\theta_1 - \theta) = (\theta - \theta_2)$
मान लीजिए $\Delta T_A = (\theta_1 - \theta)$ और $\Delta T_B = (\theta - \theta_2)$ है।
तब $2\Delta T_A = \Delta T_B$ होगा।
हमें कुल तापमान अंतर $\Delta T_A + \Delta T_B = 36^{\circ}C$ दिया गया है।
समीकरण में $\Delta T_B = 2\Delta T_A$ रखने पर:
$\Delta T_A + 2\Delta T_A = 36^{\circ}C$
$3\Delta T_A = 36^{\circ}C$
$\Delta T_A = 12^{\circ}C$।
अतः,परत $A$ के आर-पार तापमान का अंतर $12^{\circ}C$ है।

(D) हीटर द्वारा प्रति इकाई समय में उत्पन्न ऊष्मा $P = \frac{V^2}{R} = \frac{200^2}{20} = 2000 \ W = 2000 \ J/s$ है।
कांच की खिड़की से चालन द्वारा बाहर जाने वाली ऊष्मा का दर $H = \frac{K A (T_{in} - T_{out})}{d}$ है।
यहाँ, $K = 0.2 \ W/(m \cdot K)$, $A = 1 \ m^2$, $d = 0.2 \ cm = 0.002 \ m$, और $T_{in} = 20^{\circ}C$ है।
उत्पन्न ऊष्मा और चालित ऊष्मा को बराबर करने पर: $2000 = \frac{0.2 \times 1 \times (20 - T_{out})}{0.002}$.
$2000 = 100 \times (20 - T_{out})$.
$20 = 20 - T_{out}$.
$T_{out} = 0^{\circ}C$। चूंकि यह परिणाम विकल्पों में नहीं है, इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) $x$ मोटाई की बर्फ की परत से ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA\theta}{x}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे बर्फ $dt$ समय में $dx$ मोटी होती है,मुक्त हुई ऊष्मा $dQ = L \cdot dm = L \cdot A \cdot \rho \cdot dx$ होती है।
दोनों को बराबर करने पर,$\frac{kA\theta}{x} = L A \rho \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $dt = \frac{\rho L}{k\theta} x \, dx$ मिलता है।
$x$ से $y$ तक समाकलन करने पर $t = \int_{x}^{y} \frac{\rho L}{k\theta} x \, dx = \frac{\rho L}{k\theta} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{x}^{y} = \frac{\rho L}{2k\theta} (y^2 - x^2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि मोटाई $x$ से $y$ तक बढ़ती है,इसलिए $t = \frac{\rho L(y^2 - x^2)}{2k\theta} = \frac{\rho L(y - x)(y + x)}{2k\theta}$।

(B) स्थिर अवस्था में,छड़ $BC$ से प्रवाहित ऊष्मा छड़ $CA$ से प्रवाहित ऊष्मा के बराबर होनी चाहिए क्योंकि वे $BCA$ पथ पर श्रेणीक्रम में हैं।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_{high} - T_{low})}{L}$ द्वारा दी जाती है।
छड़ $BC$ के लिए,लंबाई $L_{BC} = a$,तापमान का अंतर $(\sqrt{2}T - T_C)$ है।
छड़ $CA$ के लिए,लंबाई $L_{CA} = a\sqrt{2}$,तापमान का अंतर $(T_C - T)$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दरों को बराबर करने पर:
$\frac{kA(\sqrt{2}T - T_C)}{a} = \frac{kA(T_C - T)}{a\sqrt{2}}$
$\sqrt{2}(\sqrt{2}T - T_C) = T_C - T$
$2T - \sqrt{2}T_C = T_C - T$
$3T = T_C(1 + \sqrt{2})$
$\frac{T_C}{T} = \frac{3}{1 + \sqrt{2}}$

(C) बर्फ की परत के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{x}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे बर्फ की मोटाई $dt$ समय में $dx$ बढ़ती है,मुक्त हुई ऊष्मा $dQ = L \cdot dm = L \cdot \rho \cdot A \cdot dx$ होती है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें मिलता है $\frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{x} dt = L \rho A dx$।
$x_1 = 5 \ cm$ से $x_2 = 10 \ cm$ तक समाकलन करने पर:
$t = \frac{L \rho}{K(\theta_1 - \theta_2)} \int_{5}^{10} x \, dx = \frac{L \rho}{K(\theta_1 - \theta_2)} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{5}^{10}$।
मान रखने पर: $t = \frac{80 \times 0.92}{0.004 \times (0 - (-10))} \times \frac{100 - 25}{2} = \frac{73.6}{0.04} \times 37.5 = 1840 \times 37.5 \text{ सेकंड}$।
घंटों में बदलने पर: $t = \frac{1840 \times 37.5}{3600} \approx 19.1 \ \text{घंटे}$।

(C) बेलनाकार छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{Q}{t} = \frac{KA\Delta \theta}{l}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि ऊष्मा का उपयोग बर्फ को पिघलाने के लिए किया जाता है,$\frac{Q}{t} = \frac{mL}{t}$,जहाँ $L$ गलन की गुप्त ऊष्मा है।
अतः,$\frac{mL}{t} = \frac{K(\pi r^2)\Delta \theta}{l}$।
यह दर्शाता है कि बर्फ के पिघलने की दर,$\frac{m}{t} \propto \frac{Kr^2}{l}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक दर $R_1 = \left(\frac{m}{t}\right)_1 = 0.1 \ gm/sec$ है।
दूसरी छड़ के लिए,$K_2 = \frac{1}{4}K_1$,$r_2 = 2r_1$,और $l_2 = \frac{1}{2}l_1$ है।
नई दर $R_2 = R_1 \times \left(\frac{K_2}{K_1}\right) \times \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 \times \left(\frac{l_1}{l_2}\right)$ होगी।
मान रखने पर: $R_2 = 0.1 \times \left(\frac{1}{4}\right) \times (2)^2 \times (2) = 0.1 \times \frac{1}{4} \times 4 \times 2 = 0.2 \ gm/sec$।

(C) समय $t$ में छड़ के माध्यम से स्थानांतरित ऊष्मा का सूत्र: $Q = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)t}{l}$ है।
यह ऊष्मा बर्फ को पिघलाने में उपयोग की जाती है,इसलिए $Q = mL$,जहाँ $m$ पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान है और $L$ बर्फ की गलन की गुप्त ऊष्मा है।
दोनों को बराबर करने पर: $mL = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)t}{l}$।
दिए गए मान: $K = 92 \; cal/(m \cdot s \cdot ^\circ C)$,$A = 10^{-3} \; m^2$,$l = 1.0 \; m$,$\theta_1 = 100^\circ C$,$\theta_2 = 0^\circ C$,$t = 60 \; s$,और $L = 8 \times 10^4 \; cal/kg$।
मान रखने पर: $m = \frac{92 \times 10^{-3} \times (100 - 0) \times 60}{1.0 \times 8 \times 10^4}$।
$m = \frac{92 \times 10^{-3} \times 100 \times 60}{8 \times 10^4} = \frac{552}{8000} = 6.9 \times 10^{-3} \; kg$।

(D) दीवारों के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta \theta}{l}$.
दिया गया है: $K = 0.01\;J/(m\cdot s\cdot ^\circ C)$,$A = 1\;m^2$,$l = 5.0\;cm = 0.05\;m$,और $\Delta \theta = 30^\circ C - 0^\circ C = 30^\circ C$.
मान रखने पर: $\frac{dQ}{dt} = \frac{0.01 \times 1}{0.05} \times 30 = 6\;J/s$.
एक दिन $(t = 86400\;s)$ में स्थानांतरित कुल ऊष्मा: $Q = \frac{dQ}{dt} \times t = 6 \times 86400 = 518400\;J$.
पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान $Q = mL$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $L = 334 \times 10^3\;J/kg$.
$m = \frac{Q}{L} = \frac{518400}{334 \times 10^3} = 1.552\;kg$.
ग्राम में बदलने पर: $m = 1.552 \times 1000 = 1552\;g$.

(B) केंद्रीय छड़ ($C$ और $D$ को जोड़ने वाली) से ऊष्मा का प्रवाह न हो,इसके लिए $C$ और $D$ पर तापमान समान होना चाहिए,अर्थात $\theta_C = \theta_D$।
चूंकि छड़ों के आयाम (लंबाई $l$ और क्षेत्रफल $A$) समान हैं,इसलिए प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{l}{KA}$ है।
ऊपरी शाखा $(A-C-B)$ के लिए,ऊष्मा प्रवाह है:
$\frac{Q}{t} = \frac{\theta_A - \theta_C}{R_1} = \frac{\theta_C - \theta_B}{R_2}$
$\Rightarrow \frac{\theta_A - \theta_C}{\theta_C - \theta_B} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{l/K_1 A}{l/K_2 A} = \frac{K_2}{K_1}$ ... $(i)$
निचली शाखा $(A-D-B)$ के लिए,ऊष्मा प्रवाह है:
$\frac{Q}{t} = \frac{\theta_A - \theta_D}{R_3} = \frac{\theta_D - \theta_B}{R_4}$
$\Rightarrow \frac{\theta_A - \theta_D}{\theta_D - \theta_B} = \frac{R_3}{R_4} = \frac{l/K_3 A}{l/K_4 A} = \frac{K_4}{K_3}$ ... $(ii)$
चूंकि $\theta_C = \theta_D$,समीकरण $(i)$ और $(ii)$ के बाएं पक्ष समान हैं। इसलिए:
$\frac{K_2}{K_1} = \frac{K_4}{K_3}$
$\Rightarrow K_1 K_4 = K_2 K_3$