Radiation by Stefan's Boltzmann Law Questions in Hindi

(C) स्टीफन का नियम $E = \sigma T^4$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ प्रति इकाई क्षेत्रफल उत्सर्जित शक्ति है।
$\sigma$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sigma = \frac{E}{T^4}$ प्राप्त होता है।
$E$ (प्रति इकाई क्षेत्रफल शक्ति) का मात्रक $\frac{\text{Watt}}{\text{m}^2} = W\,m^{-2}$ है।
तापमान $T$ का मात्रक केल्विन $(K)$ है।
अतः,$\sigma$ का मात्रक $\frac{W\,m^{-2}}{K^4} = W\,m^{-2}\,K^{-4}$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकिरित शक्ति का सूत्र है:
$P = \sigma A T^4$
यहाँ $P$ शक्ति है (प्रति इकाई समय में ऊर्जा,$J\,s^{-1}$ या $W$),$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है,$A$ सतह का क्षेत्रफल $(m^2)$ है,और $T$ परम ताप $(K)$ है।
$\sigma$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\sigma = \frac{P}{A T^4}$
मात्रक रखने पर:
$\sigma$ का मात्रक = $\frac{W}{m^2 \cdot K^4} = W\,m^{-2}\,K^{-4}$
चूँकि $W = J\,s^{-1}$,इसलिए मात्रक को $J\,s^{-1}\,m^{-2}\,K^{-4}$ या $J\,m^{-2}\,s^{-1}\,K^{-4}$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही मात्रक है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका की प्रति इकाई सतह क्षेत्र से प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा $E$ उसके परम तापमान $T$ की चतुर्थ घात के सीधे समानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,इसे $E = \sigma T^4$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक है।
अतः,उत्सर्जित विकिरण की मात्रा आदर्श गैस पैमाने पर तापमान की चतुर्थ घात के समानुपाती होती है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार ऊष्मा हानि की दर $P = \sigma e A (T^4 - T_0^4)$ है।
दिया गया है:
पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 200 \; cm^2 = 200 \times 10^{-4} \; m^2 = 0.02 \; m^2$.
उत्सर्जकता $e = 0.4$.
गोले का तापमान $T = 527^{\circ}C = 527 + 273 = 800 \; K$.
परिवेश का तापमान $T_0 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \; K$.
स्टीफन नियतांक $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \; J/(m^2 \cdot s \cdot K^4)$.
मान रखने पर:
$P = 5.67 \times 10^{-8} \times 0.4 \times 0.02 \times (800^4 - 300^4)$.
$P = 5.67 \times 10^{-8} \times 0.008 \times (4096 \times 10^8 - 81 \times 10^8)$.
$P = 5.67 \times 0.008 \times (4015)$.
$P = 0.04536 \times 4015 \approx 182.12 \; J/s$.
अतः,ऊष्मा हानि की दर लगभग $182 \; J/s$ है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,विकिरण की दर $E$ परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto T^4$।
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 0^{\circ}C = 0 + 273 = 273 \ K$।
अंतिम तापमान $T_2 = 273^{\circ}C = 273 + 273 = 546 \ K$।
प्रारंभिक विकिरण दर = $E$।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$।
मान रखने पर: $\frac{E}{E_2} = \left( \frac{273}{546} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$।
अतः,$E_2 = 16 \ E$।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में विकीर्ण ऊर्जा (उत्सर्जक शक्ति) परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$।
मान लीजिए प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = E$ तापमान $T_1 = T$ पर है।
मान लीजिए अंतिम ऊर्जा $E_2$ तापमान $T_2 = \frac{T}{2}$ पर है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,हमारे पास है: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$।
मान रखने पर: $\frac{E_2}{E} = \left( \frac{T/2}{T} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4$।
$\frac{E_2}{E} = \frac{1}{16}$।
अतः,$E_2 = \frac{E}{16}$।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई समय में विकीर्ण ऊर्जा $E$ परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto T^4$.
दिया गया है,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 400^{\circ}C = 400 + 273 = 673\;K$.
मान लीजिए कि अंतिम तापमान $T_2$ है।
हमें दिया गया है कि विकीर्ण ऊर्जा दोगुनी हो जाती है,इसलिए $E_2 = 2E_1$.
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
मान रखने पर: $2 = \left( \frac{T_2}{673} \right)^4$.
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर: $T_2 = 673 \times 2^{1/4}$.
चूंकि $2^{1/4} \approx 1.189$,इसलिए $T_2 \approx 673 \times 1.189 \approx 800\;K$.

(B) $MKS$ प्रणाली में स्टीफन नियतांक $\sigma$ का मात्रक $\frac{J}{m^2 \cdot s \cdot K^4}$ है।
हम जानते हैं कि $1 \ J = 10^7 \ erg$ और $1 \ m^2 = 10^4 \ cm^2$ होता है।
इन मानों को मात्रक के व्यंजक में रखने पर:
$\sigma_{MKS} = \frac{1 \ J}{1 \ m^2 \cdot 1 \ s \cdot 1 \ K^4} = \frac{10^7 \ erg}{10^4 \ cm^2 \cdot 1 \ s \cdot 1 \ K^4}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\sigma_{MKS} = 10^3 \frac{erg}{cm^2 \cdot s \cdot K^4}$.
अतः,$CGS$ प्रणाली में गुणक कारक $1000$ है।

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका से ऊर्जा विकिरण की दर $P$ उसके परम तापमान $T$ (केल्विन में) की चौथी घात के समानुपाती होती है।
$P \propto T^4$
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 7^oC = 7 + 273 = 280 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 287^oC = 287 + 273 = 560 \ K$.
ऊर्जा विकिरण की दरों का अनुपात:
$\frac{P_2}{P_1} = (\frac{T_2}{T_1})^4$
मान रखने पर:
$\frac{P_2}{P_1} = (\frac{560}{280})^4 = (2)^4 = 16$.
अतः,ऊर्जा विकिरण की दर $16$ गुना बढ़ जाएगी।

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,ऊर्जा विकिरण की दर $E$ परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto T^4$।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$ दिया गया है।
अंतिम तापमान $T_2 = 151^{\circ}C = 151 + 273 = 424 \text{ K}$ है।
विकिरण दरों का अनुपात $\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{E_2}{Q} = \left( \frac{424}{300} \right)^4$।
अनुपात की गणना करने पर: $\frac{424}{300} \approx 1.413$।
अतः,$1.413^4 \approx 3.99 \approx 4$।
इसलिए,विकिरण की नई दर लगभग $4Q \text{ kW m}^{-2}$ होगी।

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,विकिरण के उत्सर्जन की दर $E$ परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto T^4$।
सेल्सियस में दिए गए तापमान: $T_A = 727^{\circ}C$ और $T_B = 127^{\circ}C$।
इन्हें केल्विन में बदलने पर: $T_A = 727 + 273 = 1000 \ K$ और $T_B = 127 + 273 = 400 \ K$।
उत्सर्जन दर का अनुपात $\frac{E_A}{E_B} = \left( \frac{T_A}{T_B} \right)^4$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{E_A}{E_B} = \left( \frac{1000}{400} \right)^4 = \left( \frac{10}{4} \right)^4 = \left( \frac{5}{2} \right)^4$।
घात की गणना करने पर: $\frac{5^4}{2^4} = \frac{625}{16}$।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P = A \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: क्षेत्रफल $A = 1 \text{ m}^2$,शक्ति $P = 1 \text{ J/s}$,और स्टीफन नियतांक $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \text{ W/m}^2\text{K}^4$.
मान रखने पर: $1 = 1 \times 5.67 \times 10^{-8} \times T^4$.
$T^4 = \frac{1}{5.67 \times 10^{-8}} \approx 0.176 \times 10^8 = 1.76 \times 10^7$.
$T = (1.76 \times 10^7)^{1/4} \approx 64.7 \text{ K} \approx 65 \text{ K}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, विकिरित शक्ति $P = \varepsilon \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 10^{-4} \ m^2$,
उत्सर्जकता $\varepsilon = 0.80$,
स्टीफन नियतांक $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W/(m^2 \cdot K^4)$,
विकिरित ऊष्मा $Q = 1.58 \times 10^5 \ \text{कैलोरी} = 1.58 \times 10^5 \times 4.2 \ J = 6.636 \times 10^5 \ J$,
समय $t = 1 \ \text{घंटा} = 3600 \ s$.
शक्ति $P = Q/t = (6.636 \times 10^5) / 3600 \approx 184.33 \ W$.
$P = \varepsilon \sigma A T^4$ का उपयोग करने पर:
$184.33 = 0.80 \times 5.67 \times 10^{-8} \times 10^{-4} \times T^4$.
$184.33 = 4.536 \times 10^{-12} \times T^4$.
$T^4 = 184.33 / (4.536 \times 10^{-12}) \approx 4.06 \times 10^{13}$.
$T \approx (406 \times 10^{11})^{1/4} \approx 2520 \ K \approx 2500 \ K$.

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा प्रति इकाई समय में विकिरित कुल ऊर्जा $E = A \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ सतह का क्षेत्रफल है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और $T$ परम तापमान है।
गोले के लिए,सतह का क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ होता है।
अतः,विकिरित ऊर्जा $E \propto r^2 T^4$ है।
गोले $P$ और $Q$ द्वारा विकिरित ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{E_P}{E_Q} = \left( \frac{r_P}{r_Q} \right)^2 \left( \frac{T_P}{T_Q} \right)^4$.
दिया गया है: $r_P = 8 \; cm$,$r_Q = 2 \; cm$.
केल्विन में तापमान: $T_P = 127 + 273 = 400 \; K$ और $T_Q = 527 + 273 = 800 \; K$.
मान रखने पर:
$\frac{E_P}{E_Q} = \left( \frac{8}{2} \right)^2 \left( \frac{400}{800} \right)^4 = (4)^2 \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 16 \times \frac{1}{16} = 1$.

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक पिंड द्वारा विकरित शक्ति $P = A \varepsilon \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $A$,$\varepsilon$,और $\sigma$ स्थिरांक हैं,इसलिए $P \propto T^4$ है।
अतः,$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$ है।
दिया गया है कि $P_1 = 5 \ W$,$T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$,और $T_2 = 927 + 273 = 1200 \ K$ है।
मान रखने पर: $\frac{P_2}{5} = \left( \frac{1200}{400} \right)^4$ है।
$\frac{P_2}{5} = (3)^4 = 81$ है।
$P_2 = 5 \times 81 = 405 \ W$ है।

(B) विकिरित ऊर्जा की दर (शक्ति) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम द्वारा दी जाती है: $P = A \varepsilon \sigma T^4$.
यहाँ,वर्गाकार प्लेट का क्षेत्रफल $A = (10 \text{ cm})^2 = (0.1 \text{ m})^2 = 0.01 \text{ m}^2$ है।
उत्सर्जकता $\varepsilon = 1$ और स्टीफन नियतांक $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \text{ W m}^{-2} \text{ K}^{-4}$ है।
दिया गया है $P = 1134 \text{ W}$.
मान रखने पर: $1134 = 0.01 \times 1 \times 5.67 \times 10^{-8} \times T^4$.
$1134 = 5.67 \times 10^{-10} \times T^4$.
$T^4 = \frac{1134}{5.67 \times 10^{-10}} = 200 \times 10^{10} = 2 \times 10^{12}$.
$T = (2 \times 10^{12})^{1/4} = (2)^{1/4} \times 10^3 \approx 1.189 \times 1000 = 1189 \text{ K}$.

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,ऊष्मा विकिरण की दर $H$ परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है $(H \propto T^4)$।
सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_A = 727 + 273 = 1000 \ K$
$T_B = 327 + 273 = 600 \ K$
विकिरित ऊष्मा की दरों का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{H_A}{H_B} = \left( \frac{T_A}{T_B} \right)^4$
$\frac{H_A}{H_B} = \left( \frac{1000}{600} \right)^4 = \left( \frac{10}{6} \right)^4 = \left( \frac{5}{3} \right)^4$
$\frac{H_A}{H_B} = \frac{5^4}{3^4} = \frac{625}{81}$
अतः,अनुपात $625:81$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा $(P)$ का सूत्र $P = A\sigma T^4$ है,जहाँ $A$ सतह का क्षेत्रफल है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
चूंकि $A$ और $\sigma$ नियतांक हैं,इसलिए $P \propto T^4$ होगा।
दिया गया है कि $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300\;K$ और $P_1 = 10\;J/s$.
नया तापमान $T_2 = 327^{\circ}C = 327 + 273 = 600\;K$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
मान रखने पर: $P_2 = P_1 \left( \frac{600}{300} \right)^4 = 10 \times (2)^4 = 10 \times 16 = 160\;J/s$.
अतः,प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा $160\;J$ होगी।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा उत्सर्जित विकिरण ऊर्जा उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto T^4$।
माना $E_1$ पृथ्वी पर आपतित प्रारंभिक विकिरण ऊर्जा है और $T_1$ सूर्य का प्रारंभिक तापमान है।
दिया गया है $E_1 = 20 \, kcal/(m^2 \cdot min)$।
माना कि जब सूर्य का तापमान $T_2 = 2T_1$ हो जाता है,तो नई विकिरण ऊर्जा $E_2$ है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
मान रखने पर:
$\frac{E_2}{20} = \left( \frac{2T_1}{T_1} \right)^4$
$\frac{E_2}{20} = (2)^4 = 16$
अतः,$E_2 = 16 \times 20 = 320 \, kcal/(m^2 \cdot min)$।

(D) कृष्णिका द्वारा विकीर्ण शक्ति स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम द्वारा दी जाती है: $P = A\sigma T^4$,जहाँ $A = 4\pi r^2$ सतह का क्षेत्रफल है।
अतः,$P \propto r^2 T^4$.
प्रारंभिक स्थिति: $P_1 = 440\;W$,$r_1 = 24\;cm$,$T_1 = 500\;K$.
अंतिम स्थिति के लिए: $r_2 = r_1 / 2 = 12\;cm$ और $T_2 = 2T_1 = 1000\;K$.
समानुपातिक अनुपात का उपयोग करने पर:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{P_2}{440} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{2}{1} \right)^4$
$\frac{P_2}{440} = \frac{1}{4} \times 16 = 4$
$P_2 = 440 \times 4 = 1760\;W$.

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकिरित शक्ति $P$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $P \propto T^4$।
चूंकि पृथ्वी पर प्राप्त ऊर्जा की दर सूर्य द्वारा विकिरित शक्ति के सीधे समानुपाती होती है,इसलिए $E \propto T^4$ है।
यदि तापमान दोगुना कर दिया जाए $(T' = 2T)$,तो ऊर्जा की नई दर $E'$ का मान $E' \propto (2T)^4 = 16T^4$ होगा।
अतः,प्राप्त होने वाली ऊर्जा की दर $16$ गुना बढ़ जाएगी।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा $E$ उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$।
दिए गए तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$ और $T_2 = 927^{\circ}C = 927 + 273 = 1200 \ K$ हैं।
उत्सर्जित ऊर्जा का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$
मान रखने पर:
$\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{300}{1200} \right)^4 = \left( \frac{1}{4} \right)^4 = \frac{1}{256}$।
अतः,अनुपात $1:256$ है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित शक्ति उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$।
सेल्सियस में दिए गए तापमान को केल्विन में बदलने पर:
$T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_2 = 327^{\circ}C = 327 + 273 = 600 \ K$
उत्सर्जित विकिरण का अनुपात:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
मान रखने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{600}{300} \right)^4 = (2)^4 = 16$
अतः,उत्सर्जित विकिरण $16$ गुना बढ़ जाएगा।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,ऊर्जा उत्सर्जन की दर $P = A \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ क्षेत्रफल है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियतांक है,और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
प्रारंभिक स्थिति: $A_1 = 8 \text{ cm} \times 4 \text{ cm} = 32 \text{ cm}^2$,$T_1 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$। दर $P_1 = E$।
अंतिम स्थिति: लंबाई और चौड़ाई आधी कर दी जाती है,इसलिए $A_2 = (8/2) \text{ cm} \times (4/2) \text{ cm} = 4 \text{ cm} \times 2 \text{ cm} = 8 \text{ cm}^2$। ध्यान दें कि $A_2 = A_1 / 4$। $T_2 = 327 + 273 = 600 \text{ K}$।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{A_2}{A_1} \times \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$।
$\frac{P_2}{E} = \frac{1}{4} \times \left( \frac{600}{400} \right)^4 = \frac{1}{4} \times \left( \frac{3}{2} \right)^4 = \frac{1}{4} \times \frac{81}{16} = \frac{81}{64}$।
अतः,$P_2 = \frac{81}{64}E$।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकिरित शक्ति $P$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के सीधे समानुपाती होती है।
$P \propto T^4$
दिया गया है कि तापमान $T_1 = T$ पर,विकिरित शक्ति $P_1 = Q$ है।
हमें तापमान $T_2 = 3T$ पर विकिरित शक्ति $P_2$ ज्ञात करनी है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
मान रखने पर:
$\frac{P_2}{Q} = \left( \frac{3T}{T} \right)^4$
$\frac{P_2}{Q} = (3)^4$
$\frac{P_2}{Q} = 81$
$P_2 = 81Q$
अतः,$3T$ तापमान पर विकिरित शक्ति $81Q$ होगी।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,$A$ सतह क्षेत्र और $T$ तापमान वाली एक कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P = A \sigma T^4$ होती है।
गोलाकार पिंड के लिए सतह का क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ होता है।
अतः,$P = 4 \pi r^2 \sigma T^4$.
दिया गया है कि दोनों पिंड समान शक्ति का विकिरण करते हैं,इसलिए $P_1 = P_2$.
$4 \pi r_1^2 \sigma T_1^4 = 4 \pi r_2^2 \sigma T_2^4$.
इसे सरल करने पर,हमें $r_1^2 T_1^4 = r_2^2 T_2^4$ प्राप्त होता है।
अनुपात $\frac{r_1}{r_2}$ के लिए व्यवस्थित करने पर,$(\frac{r_1}{r_2})^2 = (\frac{T_2}{T_1})^4$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{r_1}{r_2} = (\frac{T_2}{T_1})^2$ प्राप्त होता है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकिरित ऊर्जा उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $Q \propto T^4$.
दिया गया प्रारंभिक तापमान $T_1 = 327^{\circ}C = 327 + 273 = 600 \ K$.
दिया गया अंतिम तापमान $T_2 = 927^{\circ}C = 927 + 273 = 1200 \ K$.
प्रारंभिक ऊर्जा $Q_1 = 2 \ kJ$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
$\frac{Q_2}{2} = \left( \frac{1200}{600} \right)^4$.
$\frac{Q_2}{2} = (2)^4 = 16$.
$Q_2 = 16 \times 2 = 32 \ kJ$.

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित कुल विकिरण ऊर्जा $Q$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $Q \propto T^4$.
दिया गया है कि प्रारंभिक तापमान $T_1 = 727^{\circ}C = 727 + 273 = 1000 \ K$.
हमें नया तापमान $T_2$ ज्ञात करना है ताकि विकिरण ऊर्जा दोगुनी हो जाए,अर्थात $Q_2 = 2Q_1$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
मान रखने पर: $2 = \left( \frac{T_2}{1000} \right)^4$.
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर: $\frac{T_2}{1000} = (2)^{1/4}$.
चूंकि $(2)^{1/4} \approx 1.1892$,इसलिए $T_2 = 1000 \times 1.1892 = 1189.2 \ K$.
निकटतम पूर्णांक में,$T_2 \approx 1190 \ K$.

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,$r$ त्रिज्या और $T$ तापमान वाले गोले द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा $(P)$ $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = 4 \pi r^2$ सतह का क्षेत्रफल है और $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।
अतः,$P = \sigma (4 \pi r^2) T^4$.
दोनों गोलों द्वारा उत्सर्जित ऊर्जा का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{\sigma (4 \pi r_1^2) T_1^4}{\sigma (4 \pi r_2^2) T_2^4} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ है।
दिया गया है कि $r_1 = 1 \; m$,$r_2 = 4 \; m$,$T_1 = 4000 \; K$,और $T_2 = 2000 \; K$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \left( \frac{4000}{2000} \right)^4 = \left( \frac{1}{16} \right) \times (2)^4 = \frac{16}{16} = 1$.
इसलिए,अनुपात $1:1$ है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m T = \text{नियतांक}$.
यहाँ प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_{m1} = \lambda_o$ और अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{m2} = \frac{3\lambda_o}{4}$ है।
संबंध $\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$ का उपयोग करने पर,$T_2 = \frac{\lambda_{m1}}{\lambda_{m2}} T_1 = \frac{\lambda_o}{3\lambda_o/4} T_1 = \frac{4}{3} T_1$ प्राप्त होता है।
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,विकिरित शक्ति $P$,तापमान के चतुर्थ घात $(T^4)$ के समानुपाती होती है,अर्थात $P \propto T^4$।
अतः,शक्तियों का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$ होगा।
$T_2$ का मान रखने पर,$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{4/3 T_1}{T_1} \right)^4 = \left( \frac{4}{3} \right)^4 = \frac{256}{81}$ प्राप्त होता है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका के प्रति इकाई पृष्ठीय क्षेत्रफल से प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा $E$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,$E \propto T^4$।
यहाँ तापमान $T = 300 K$ दिया गया है,इसलिए ऊर्जा उत्सर्जन की दर $(300)^4$ के समानुपाती होगी।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकिरित शक्ति उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $Q \propto T^4$.
मान लीजिए प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ है और प्रारंभिक ऊष्मा विकिरण $Q_1 \propto T^4$ है।
तापमान में $50\%$ की वृद्धि की जाती है,इसलिए नया तापमान $T_2 = T + 0.5T = 1.5T = \frac{3}{2}T$ होगा।
नया ऊष्मा विकिरण $Q_2 \propto T_2^4 = (1.5T)^4 = (\frac{3}{2})^4 T^4 = \frac{81}{16} T^4$ होगा।
अतः,$Q_2 = \frac{81}{16} Q_1 = 5.0625 Q_1$.
उत्सर्जित ऊष्मा विकिरण की मात्रा में प्रतिशत वृद्धि:
$\text{प्रतिशत वृद्धि} = \frac{Q_2 - Q_1}{Q_1} \times 100\%$
$= \frac{5.0625 Q_1 - Q_1}{Q_1} \times 100\%$
$= 4.0625 \times 100\% = 406.25\%$.
नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम उत्तर $400\%$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,$T$ तापमान पर एक निकाय द्वारा $T_0$ तापमान वाले परिवेश में विकिरण द्वारा शुद्ध ऊष्मा हानि की दर $P = A\varepsilon \sigma (T^4 - T_0^4)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गोले समान हैं,इसलिए $A$ और $\varepsilon$ दोनों के लिए समान हैं।
अतः,शुद्ध ऊष्मा हानि $Q$,$(T^4 - T_0^4)$ के समानुपाती है।
यहाँ $T_1 = 200^{\circ}C = (200 + 273) K = 473 K$ है।
यहाँ $T_2 = 400^{\circ}C = (400 + 273) K = 673 K$ है।
यहाँ $T_0 = 27^{\circ}C = (27 + 273) K = 300 K$ है।
शुद्ध ऊष्मा हानि का अनुपात $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4}$ होगा।
मान रखने पर,हमें $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{473^4 - 300^4}{673^4 - 300^4}$ प्राप्त होता है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,किसी पिंड द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊष्मा विकिरण ऊर्जा $(Q)$ का सूत्र $Q = A \varepsilon \sigma T^4$ है।
चूंकि दोनों गोले समान पदार्थ से बने हैं,इसलिए उनकी उत्सर्जकता $(\varepsilon)$ समान है। यह दिया गया है कि वे समान तापमान $(T)$ पर हैं,इसलिए $Q \propto A$ होगा।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $(A)$ $4 \pi r^2$ होता है,इसलिए $Q \propto r^2$ होगा।
अतः,प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊष्मा ऊर्जा का अनुपात $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ होगा।
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{Q_1}{Q_2} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अनुपात $1:4$ है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,ऊष्मा विकिरण की दर $E$ परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto T^4$।
दिया गया है:
$T_1 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \ K$
$E_1 = 1 \ cal/cm^2 \cdot s$
$T_2 = 527^{\circ}C = 527 + 273 = 800 \ K$
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{E_2}{1} = \left( \frac{800}{400} \right)^4$
$\frac{E_2}{1} = (2)^4 = 16$
अतः,$E_2 = 16 \ cal/cm^2 \cdot s$।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P = A\sigma T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ सतह का क्षेत्रफल है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है,और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
दिया गया है:
$P_1 = 20\,W$
$T_1 = 227^{\circ}C = 227 + 273 = 500\,K$
$T_2 = 727^{\circ}C = 727 + 273 = 1000\,K$
चूंकि $P \propto T^4$,इसलिए:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
मान रखने पर:
$\frac{P_2}{20} = \left( \frac{1000}{500} \right)^4$
$\frac{P_2}{20} = (2)^4$
$\frac{P_2}{20} = 16$
$P_2 = 16 \times 20 = 320\,W$
अतः,विकिरण शक्ति $320\,W$ होगी।

(C) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक गोले द्वारा विकिरित शक्ति $P = A \varepsilon \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = 4\pi r^2$ सतह का क्षेत्रफल है,$\varepsilon$ उत्सर्जन क्षमता है,और $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।
चूंकि दोनों गोले एक ही पदार्थ से बने हैं,इसलिए $\varepsilon$ दोनों के लिए समान है।
अतः,$P \propto r^2 T^4$।
पहले गोले के लिए $(P_1)$: $P_1 \propto (1)^2 \times (4000)^4 = 1 \times (4000)^4$।
दूसरे गोले के लिए $(P_2)$: $P_2 \propto (4)^2 \times (2000)^4 = 16 \times (2000)^4$।
अनुपात की गणना करने पर: $\frac{P_1}{P_2} = \frac{1^2}{4^2} \times \left( \frac{4000}{2000} \right)^4 = \frac{1}{16} \times (2)^4 = \frac{1}{16} \times 16 = 1$।
इसलिए,$P_1 = P_2$,जिसका अर्थ है कि प्रति सेकंड विकिरित ऊर्जा दोनों स्थितियों में समान है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित शक्ति उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $P \propto T^4$।
माना प्रारंभिक शक्ति $P_1 = W$ है जब तापमान $T_1 = T$ है।
माना अंतिम शक्ति $P_2$ है जब तापमान $T_2 = T/3$ है।
अनुपात विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
मान रखने पर:
$\frac{P_2}{W} = \left( \frac{T/3}{T} \right)^4$
$\frac{P_2}{W} = \left( \frac{1}{3} \right)^4$
$\frac{P_2}{W} = \frac{1}{81}$
अतः,$P_2 = \frac{W}{81}$ वाट।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक तारे द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = 4\pi r^2$ सतह का क्षेत्रफल है और $T$ सतह का तापमान है।
अतः,$P \propto r^2 T^4$.
तारे $A$ के लिए: $P_A \propto r^2 T^4$.
तारे $B$ के लिए: $P_B \propto (4r)^2 (T/2)^4 = 16r^2 \times (T^4 / 16) = r^2 T^4$.
इसलिए,अनुपात $P_A : P_B = (r^2 T^4) : (r^2 T^4) = 1:1$.

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकिरित कुल शक्ति (प्रति इकाई समय में उत्सर्जित ऊर्जा) $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = 4\pi r^2$ सतह का क्षेत्रफल है।
इसलिए,$P \propto r^2 T^4$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1$ और प्रारंभिक तापमान $T_1$ है। मान लीजिए अंतिम त्रिज्या $r_2 = 100r_1$ और अंतिम तापमान $T_2 = T_1 / 2$ है।
अंतिम उत्सर्जित ऊर्जा $(P_2)$ और प्रारंभिक उत्सर्जित ऊर्जा $(P_1)$ का अनुपात है:
$\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \times \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
मान रखने पर:
$\frac{P_2}{P_1} = (100)^2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4$
$\frac{P_2}{P_1} = 10000 \times \frac{1}{16} = 625$.
इस प्रकार,कुल उत्सर्जित ऊर्जा $625$ के गुणक से बढ़ जाएगी।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,$R$ त्रिज्या और $T$ तापमान वाले एक गोलाकार पिंड द्वारा विकीर्ण कुल शक्ति $P = \sigma (4\pi R^2) T^4$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि पृथ्वी पर प्राप्त विकिरण ऊर्जा $Q$ सूर्य द्वारा विकीर्ण शक्ति के समानुपाती होती है,इसलिए $Q \propto R^2 T^4$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक ऊर्जा $Q_1 = k R^2 T^4$ है और अंतिम ऊर्जा $Q_2 = k (2R)^2 (2T)^4$ है।
अनुपात लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{2R}{R} \right)^2 \times \left( \frac{2T}{T} \right)^4$।
$\frac{Q_2}{Q_1} = (2)^2 \times (2)^4 = 4 \times 16 = 64$।
अतः,पृथ्वी पर प्राप्त विकिरण ऊर्जा का अनुपात $64$ है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई समय में विकिरित ऊर्जा (शक्ति) $P$ परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $P \propto T^4$.
यहाँ $P_1 = 2.7 \times 10^{-3} \text{ J/s}$ और $T_1 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400 \text{ K}$ है।
$P_2 = 4.32 \times 10^{6} \text{ J/s}$ दिया गया है।
अनुपात लेने पर: $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$.
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{1/4} = \left( \frac{4.32 \times 10^{6}}{2.7 \times 10^{-3}} \right)^{1/4}$.
$\frac{T_2}{T_1} = (1.6 \times 10^9)^{1/4} = (1600 \times 10^6)^{1/4} = 200$.
अतः,$T_2 = 200 \times T_1 = 200 \times 400 \text{ K} = 80000 \text{ K}$.

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में विकिरित ऊर्जा $(E)$,परम तापमान $(T)$ की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^4$.
दिया गया है:
$E_1 = 1 \times 10^5 \ J/s \cdot m^2$
$T_1 = 227^\circ C = 227 + 273 = 500 \ K$
$E_2 = 1 \times 10^9 \ J/s \cdot m^2$
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
मान रखने पर:
$\frac{1 \times 10^9}{1 \times 10^5} = \left( \frac{T_2}{500} \right)^4$
$10^4 = \left( \frac{T_2}{500} \right)^4$
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर:
$10 = \frac{T_2}{500}$
$T_2 = 10 \times 500 = 5000 \ K$

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा $P$ परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $P \propto T^4$।
सबसे पहले,तापमान को सेल्सियस से केल्विन में बदलें:
$T_1 = -73 + 273 = 200 \ K$
$T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$
अब,प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा का अनुपात ज्ञात करें:
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{200}{600} \right)^4$
$\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^4 = \frac{1}{81}$
अतः,प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा का अनुपात $1:81$ है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा उत्सर्जित शक्ति उसके परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $Q \propto T^4$.
माना प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ है और प्रारंभिक विकिरण $Q_1 \propto T^4$ है।
यदि तापमान में $10\%$ की वृद्धि की जाती है,तो नया तापमान $T_2 = T + 0.1T = 1.1T$ होगा।
नया उत्सर्जित विकिरण $Q_2 \propto (1.1T)^4$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{1.1T}{T} \right)^4 = (1.1)^4 = 1.4641$.
इस प्रकार,$Q_2 = 1.4641 Q_1$.
विकिरण में प्रतिशत वृद्धि: $\frac{Q_2 - Q_1}{Q_1} \times 100 = (1.4641 - 1) \times 100 = 46.41\%$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम पूर्णांक $46\%$ है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका की प्रति इकाई क्षेत्रफल उत्सर्जित शक्ति (emissive power) $E$ को $E = \sigma T^4$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और $T$ परम तापमान है।
दिया गया है: $E = 6.3 \times 10^7 \ W m^{-2}$ और $\sigma = 5.7 \times 10^{-8} \ W m^{-2} K^{-4}$।
सूत्र को $T$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $T^4 = \frac{E}{\sigma}$।
मान रखने पर: $T^4 = \frac{6.3 \times 10^7}{5.7 \times 10^{-8}} = \frac{6.3}{5.7} \times 10^{15} \approx 1.105 \times 10^{15} = 1105 \times 10^{12}$।
चतुर्थ मूल लेने पर: $T = (1105 \times 10^{12})^{1/4} \approx 5.77 \times 10^3 \ K$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$T \approx 5.8 \times 10^3 \ K$ प्राप्त होता है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,ठंडे होने की दर $H$ वस्तु के तापमान और परिवेश के तापमान की चौथी घात के अंतर के समानुपाती होती है: $H \propto (T^4 - T_0^4)$.
यहाँ $T_1 = 600\,K$,$T_0 = 200\,K$ और प्रारंभिक दर $H$ है।
अतः,$H = k(600^4 - 200^4)$.
जब तापमान घटकर $T_2 = 400\,K$ हो जाता है,तो नई दर $H'$ होगी: $H' = k(400^4 - 200^4)$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{H'}{H} = \frac{400^4 - 200^4}{600^4 - 200^4} = \frac{(400^2 - 200^2)(400^2 + 200^2)}{(600^2 - 200^2)(600^2 + 200^2)}$
$= \frac{(160000 - 40000)(160000 + 40000)}{(360000 - 40000)(360000 + 40000)} = \frac{120000 \times 200000}{320000 \times 400000} = \frac{12 \times 20}{32 \times 40} = \frac{240}{1280} = \frac{3}{16}$.
अतः,$H' = \frac{3}{16}H$.

(A) स्टीफन नियतांक,जिसे $\sigma$ द्वारा दर्शाया जाता है,एक भौतिक नियतांक है जो स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम में आता है।
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) की सतह के प्रति इकाई क्षेत्रफल से उत्सर्जित कुल शक्ति उसके ऊष्मागतिक तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $P = \sigma A T^4$।
स्टीफन नियतांक का मान लगभग $5.67 \times 10^{-8} \text{ W}/\text{m}^2\text{K}^4$ होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।