Thermal Resistance and it's Combination Questions in Hindi

(A) मान लीजिए प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{l}{KA}$ है।
चित्र $(i)$ में,छड़ें श्रेणीक्रम में हैं। समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_S = R + R = 2R$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{Q}{t_S} = \frac{\Delta \theta}{R_S} = \frac{\Delta \theta}{2R}$ है।
दिया गया है $t_S = 4 \text{ मिनट}$,इसलिए $\frac{Q}{4} = \frac{\Delta \theta}{2R} \implies Q = \frac{2 \Delta \theta}{R}$।
चित्र $(ii)$ में,छड़ें समानांतर क्रम में हैं। समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_P = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{Q}{t_P} = \frac{\Delta \theta}{R_P} = \frac{\Delta \theta}{R/2} = \frac{2 \Delta \theta}{R}$ है।
चूंकि ऊष्मा की मात्रा $Q$ और तापमान का अंतर $\Delta \theta$ समान है,हम दरों की तुलना करते हैं:
$\frac{Q}{t_P} = \frac{Q}{t_S} \times \frac{R_S}{R_P} \implies t_P = t_S \times \frac{R_P}{R_S} = 4 \times \frac{R/2}{2R} = 4 \times \frac{1}{4} = 1 \text{ मिनट}$।

(D) छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \frac{l}{KA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लंबाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
यह दिया गया है कि दोनों छड़ों के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान है $(A_1 = A_2 = A)$ और ऊष्मीय प्रतिरोध समान है $(R_1 = R_2 = R)$,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$R_1 = \frac{l_1}{K_1 A}$ और $R_2 = \frac{l_2}{K_2 A}$.
चूंकि $R_1 = R_2$,इसलिए $\frac{l_1}{K_1 A} = \frac{l_2}{K_2 A}$ होगा।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{l_1}{l_2} = \frac{K_1}{K_2}$ प्राप्त होता है।
ऊष्मीय चालकता का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{5}{4}$ दिया गया है,इसलिए उनकी लंबाई का अनुपात $\frac{l_1}{l_2} = \frac{5}{4}$ होगा।

(A) ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ को सूत्र $R = \frac{l}{KA}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $l$ लंबाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है और $A$ क्षेत्रफल है।
लंबाई $l$ की विमा $= [L]$.
क्षेत्रफल $A$ की विमा $= [L^2]$.
ऊष्मीय चालकता $K$ की विमा $= [MLT^{-3}K^{-1}]$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$R = \frac{[L]}{[MLT^{-3}K^{-1}] \times [L^2]} = \frac{[L]}{[ML^3T^{-3}K^{-1}]} = [M^{-1}L^{-2}T^3K]$.

(B) माना पदार्थ की ऊष्मीय चालकता $K$ है, प्रत्येक छड़ का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है और लंबाई $l$ है। तापमान का अंतर $\Delta \theta$ है।
स्थिति $1$: जब सिरे से सिरा जोड़ा जाता है, तो कुल लंबाई $2l$ और क्षेत्रफल $A$ होता है। तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq1} = \frac{2l}{KA}$ है।
स्थानांतरित ऊष्मा $Q = \frac{\Delta \theta}{R_{eq1}} \times t_1 = \frac{\Delta \theta \cdot KA}{2l} \times 12 = \frac{6KA\Delta \theta}{l}$ है।
स्थिति $2$: जब लंबाई के अनुदिश (समांतर) जोड़ा जाता है, तो लंबाई $l$ और कुल क्षेत्रफल $2A$ होता है। तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq2} = \frac{l}{K(2A)} = \frac{l}{2KA}$ है।
स्थानांतरित ऊष्मा $Q = \frac{\Delta \theta}{R_{eq2}} \times t_2 = \frac{\Delta \theta \cdot 2KA}{l} \times t_2$ है।
दोनों स्थितियों में ऊष्मा $Q$ की तुलना करने पर:
$\frac{6KA\Delta \theta}{l} = \frac{2KA\Delta \theta}{l} \times t_2$
$6 = 2t_2$
$t_2 = 3 \text{ s}$.

(B) जब समान मोटाई $d$ और ऊष्मीय चालकता $K_1$ और $K_2$ वाली दो प्लेटों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य ऊष्मीय चालकता $K_{eq}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$K_{eq} = \frac{2K_1K_2}{K_1 + K_2}$
यहाँ $K_1 = 2$ और $K_2 = 3$ दिया गया है:
$K_{eq} = \frac{2 \times 2 \times 3}{2 + 3} = \frac{12}{5} = 2.4$
अतः,संयुक्त प्लेट की ऊष्मीय चालकता $2.4$ होगी।

(B) चूंकि बेलन श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए स्थिर अवस्था में दोनों बेलनों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए।
मान लीजिए $K_P = 2K$ और $K_Q = 3K$ ऊष्मीय चालकताएँ हैं,$L$ लंबाई है और $A$ प्रत्येक बेलन का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
मान लीजिए इंटरफ़ेस पर तापमान $\theta$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
बेलन $P$ के लिए: $H_P = \frac{2KA(100 - \theta)}{L}$.
बेलन $Q$ के लिए: $H_Q = \frac{3KA(\theta - 0)}{L}$.
चूंकि $H_P = H_Q$,इसलिए:
$\frac{2KA(100 - \theta)}{L} = \frac{3KA(\theta - 0)}{L}$.
$2(100 - \theta) = 3\theta$.
$200 - 2\theta = 3\theta$.
$5\theta = 200$.
$\theta = 40^{\circ}C$.

(B) समान मोटाई की दो परतें जब समानांतर में व्यवस्थित होती हैं,तो कुल क्षेत्रफल $A$,व्यक्तिगत क्षेत्रफलों $A_1$ और $A_2$ का योग होता है। चूंकि परतें समान मोटाई की हैं,हम मान सकते हैं कि $A_1 = A_2 = A/2$ है।
समानांतर संयोजन के लिए समतुल्य ऊष्मीय चालकता $K$,क्षेत्रफल के आधार पर चालकता के भारित औसत द्वारा दी जाती है:
$K = \frac{K_1 A_1 + K_2 A_2}{A_1 + A_2}$
$A_1 = A_2 = A/2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \frac{K_1 (A/2) + K_2 (A/2)}{A/2 + A/2} = \frac{(K_1 + K_2)(A/2)}{A} = \frac{K_1 + K_2}{2}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) समान मोटाई $d$ और ऊष्मीय चालकता $K_1$ तथा $K_2$ वाले दो पदार्थों से बनी संयुक्त स्लैब के श्रेणी संयोजन के लिए,समतुल्य ऊष्मीय चालकता $K_{eq}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$K_{eq} = \frac{2K_1K_2}{K_1 + K_2}$
यहाँ $K_1 = K$ और $K_2 = 2K$ दिया गया है,इसलिए मानों को सूत्र में रखने पर:
$K_{eq} = \frac{2(K)(2K)}{K + 2K}$
$K_{eq} = \frac{4K^2}{3K}$
$K_{eq} = \frac{4}{3}K$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) स्थायी अवस्था में,दोनों छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए।
मान लीजिए ऊष्मीय चालकता $K_1 = 5K$ और $K_2 = 3K$ है।
मान लीजिए लंबाई $L_1 = L_2 = L$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_1 = A_2 = A$ है।
मान लीजिए जंक्शन का तापमान $\theta$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में हैं,$H_1 = H_2$.
$\frac{K_1 A (100 - \theta)}{L} = \frac{K_2 A (\theta - 20)}{L}$.
मान रखने पर: $5K(100 - \theta) = 3K(\theta - 20)$.
$500 - 5\theta = 3\theta - 60$.
$8\theta = 560$.
$\theta = \frac{560}{8} = 70^{\circ}C$.

(B) छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ सूत्र $R = \frac{l}{KA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लंबाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता गुणांक है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
यह दिया गया है कि दोनों पदार्थों के लिए ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है,इसलिए:
$R_1 = R_2$
$\frac{l_1}{K_1 A_1} = \frac{l_2}{K_2 A_2}$
चूंकि $A_1 = A_2$,समीकरण सरल होकर यह हो जाता है:
$\frac{l_1}{K_1} = \frac{l_2}{K_2}$
लंबाई का अनुपात $\frac{l_1}{l_2}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{K_1}{K_2}$
ऊष्मीय चालकता का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{5}{3}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{l_1}{l_2} = \frac{5}{3}$
अतः,लंबाई का अनुपात $5:3$ है।

(B) मान लीजिए कि जंक्शन का तापमान $\theta$ है।
चूंकि छड़ें $B$ और $C$ छड़ $A$ के साथ समानांतर में जुड़ी हुई हैं,इसलिए हम $B$ और $C$ के समानांतर संयोजन के समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध की गणना कर सकते हैं।
मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है।
चूंकि छड़ें $B$ और $C$ समानांतर में हैं,उनका समतुल्य प्रतिरोध $R_p$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$,जिसका अर्थ है $R_p = \frac{R}{2}$।
अब,यह प्रणाली दो प्रतिरोधों $R$ और $\frac{R}{2}$ के श्रेणी संयोजन के रूप में कार्य करती है।
जंक्शन से गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt}$ संरक्षित रहनी चाहिए।
इस प्रकार,$90^{\circ}C$ के सिरों से समानांतर संयोजन के माध्यम से बहने वाली ऊष्मा,$0^{\circ}C$ के सिरे की ओर छड़ $A$ के माध्यम से बहने वाली ऊष्मा के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{dQ}{dt} = \frac{\Delta T}{R_{eq}}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{90 - \theta}{R/2} = \frac{\theta - 0}{R}$
$2(90 - \theta) = \theta$
$180 - 2\theta = \theta$
$3\theta = 180$
$\theta = 60^{\circ}C$.

(B) माना $K_{\text{Ni}} = K$. तब $K_{\text{Al}} = 3K$ और $K_{\text{Cu}} = 2K_{\text{Al}} = 6K$.
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में हैं,ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt}$ सभी भागों के लिए समान है।
प्रत्येक भाग का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{l}{KA}$ है।
$R_{\text{Cu}} = \frac{25}{6KA}$,$R_{\text{Ni}} = \frac{10}{KA}$,$R_{\text{Al}} = \frac{15}{3KA} = \frac{5}{KA}$.
कुल प्रतिरोध $R_{\text{eq}} = R_{\text{Cu}} + R_{\text{Ni}} + R_{\text{Al}} = \frac{1}{KA} (\frac{25}{6} + 10 + 5) = \frac{95}{6KA}$.
कुल तापमान अंतर $100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100^{\circ}C$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{100}{R_{\text{eq}}} = \frac{600KA}{95} = \frac{120KA}{19}$.
$\text{Cu-Ni}$ जंक्शन तापमान $\theta_1$ के लिए: $\frac{100 - \theta_1}{R_{\text{Cu}}} = \frac{dQ}{dt} \Rightarrow 100 - \theta_1 = \frac{120KA}{19} \cdot \frac{25}{6KA} = \frac{500}{19} \approx 26.32^{\circ}C$.
$\theta_1 = 100 - 26.32 = 73.68^{\circ}C$.
दिए गए विकल्प $B$ के अनुसार,सही उत्तर $B$ है।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है। ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{dQ}{dt} = \frac{\Delta T}{R_{eq}}$ द्वारा दी जाती है। बर्फ के पिघलने की दर $q = \frac{1}{L} \frac{dQ}{dt}$ है,जहाँ $L$ बर्फ की गलन की गुप्त ऊष्मा है।
स्थिति $1$: छड़ों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है। तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H_1 = \frac{100 - 0}{R/2} = \frac{200}{R}$ है।
अतः,$q_1 = \frac{H_1}{L} = \frac{200}{RL}$ होगा।
स्थिति $2$: छड़ों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है। तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_s = R + R = 2R$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H_2 = \frac{100 - 0}{2R} = \frac{100}{2R} = \frac{50}{R}$ है।
अतः,$q_2 = \frac{H_2}{L} = \frac{50}{RL}$ होगा।
अनुपात लेने पर,$\frac{q_1}{q_2} = \frac{200/RL}{50/RL} = \frac{200}{50} = \frac{4}{1}$।

(C) ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ को $H = \frac{\Delta \theta}{R_{th}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_{th} = \frac{l}{KA}$ ऊष्मीय प्रतिरोध है।
$PRQ$ पथ के लिए,${K_1}$ और ${K_2}$ चालकता वाली छड़ें श्रेणीक्रम में हैं। उनका तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{PRQ} = \frac{l}{{K_1}A} + \frac{l}{{K_2}A} = \frac{l}{A} \left( \frac{1}{{K_1}} + \frac{1}{{K_2}} \right) = \frac{l}{A} \left( \frac{{K_1} + {K_2}}{{K_1}{K_2}} \right)$ है।
$PQ$ पथ के लिए,${K_3}$ चालकता वाली छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{PQ} = \frac{l}{{K_3}A}$ है।
यह दिया गया है कि ऊष्मा दोनों पथों पर समान दर से प्रवाहित होती है,इसलिए ऊष्मीय प्रतिरोध समान होने चाहिए: $R_{PRQ} = R_{PQ}$।
अतः,$\frac{l}{A} \left( \frac{{K_1} + {K_2}}{{K_1}{K_2}} \right) = \frac{l}{{K_3}A}$।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{1}{{K_3}} = \frac{{K_1} + {K_2}}{{K_1}{K_2}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि ${K_3} = \frac{{{K_1}{K_2}}}{{{K_1} + {K_2}}}$।

(A) मान लीजिए कि बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच तापांतर $100^{\circ}C$ है,ताकि $\theta_A > \theta_B$ हो।
ऊष्मा धारा $H$,$A$ से $B$ तक दो समानांतर पथों $ACB$ और $ADB$ के माध्यम से प्रवाहित होती है।
चूंकि चारों छड़ें एकसमान हैं,इसलिए प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ समान है।
पथ $ACB$ के लिए,कुल प्रतिरोध $2R$ है। पथ $ADB$ के लिए भी कुल प्रतिरोध $2R$ है।
चूंकि पथ समानांतर हैं और समान प्रतिरोध रखते हैं,इसलिए ऊष्मा धारा समान रूप से विभाजित हो जाती है: $H/2$,$ACB$ से और $H/2$,$ADB$ से प्रवाहित होती है।
प्रत्येक छड़ पर तापमान में गिरावट $\Delta \theta = (H/2) \times R$ है।
इस प्रकार,$\theta_A - \theta_C = \theta_A - \theta_D$,जिसका अर्थ है कि $\theta_C = \theta_D$ है।
इसलिए,बिंदुओं $C$ और $D$ के बीच तापांतर $\theta_C - \theta_D = 0^{\circ}C$ होगा।

(D) स्थिर अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी दो सामग्रियों के संयुक्त स्लैब से ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{A(T_2 - T_1)}{R_1 + R_2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R_1 = \frac{x}{KA}$ और $R_2 = \frac{4x}{(2K)A} = \frac{2x}{KA}$ है।
कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{x}{KA} + \frac{2x}{KA} = \frac{3x}{KA}$ है।
अतः,ऊष्मा स्थानांतरण की दर $H = \frac{A(T_2 - T_1)}{\frac{3x}{KA}} = \frac{1}{3} \frac{AK(T_2 - T_1)}{x}$ है।
इसे दिए गए समीकरण $\left( \frac{A(T_2 - T_1)K}{x} \right)f$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{dQ}{dt} = \frac{T_1 - T_2}{R}$,जहाँ $R$ ऊष्मीय प्रतिरोध है।
$R$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $R = \frac{\Delta T}{dQ/dt}$।
तापमान अंतर $(\Delta T)$ की विमा $[\theta]$ है।
ऊष्मा $(dQ)$ की विमा $[M L^2 T^{-2}]$ है।
समय $(dt)$ की विमा $[T]$ है।
अतः,$R$ की विमा होगी: $[R] = \frac{[\theta]}{[M L^2 T^{-2}] / [T]} = \frac{[\theta]}{[M L^2 T^{-3}]} = [M^{-1} L^{-2} T^3 \theta^1]$।

(B) छड़ें श्रेणी क्रम में जुड़ी हुई हैं। ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ का सूत्र $R = \frac{l}{KA}$ है।
श्रेणी संयोजन के लिए,समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2$ होता है।
मान लीजिए कि दोनों छड़ों की लंबाई $l$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है,तो कुल लंबाई $2l$ के लिए समतुल्य ऊष्मीय चालकता $K_{eq}$ इस प्रकार होगी:
$\frac{2l}{K_{eq}A} = \frac{l}{K_1A} + \frac{l}{K_2A}$
दोनों पक्षों को $\frac{l}{A}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2}$
$K_{eq} = \frac{2 K_1 K_2}{K_1 + K_2}$

(B) छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{th}$ सूत्र $R_{th} = \frac{\ell}{KA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\ell$ लंबाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
प्रश्न के अनुसार,ऊष्मीय प्रतिरोध समान हैं,इसलिए $(R_{th})_1 = (R_{th})_2$ है।
चूंकि मोटाई समान है,इसलिए दोनों छड़ों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ स्थिर रहेगा।
अतः,$\frac{\ell_1}{K_1 A} = \frac{\ell_2}{K_2 A}$ होगा।
इसे सरल करने पर $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{K_1}{K_2}$ प्राप्त होता है।
ऊष्मीय चालकता का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{5}{3}$ दिया गया है,इसलिए लंबाई का अनुपात $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{5}{3}$ होगा।

(A) माना तांबे की ऊष्मीय चालकता $k_1$ और पीतल की $k_2$ है। दिया गया है कि $k_1 : k_2 = 1 : 4$,इसलिए $k_2 = 4k_1$ है।
चूंकि परतें श्रेणीक्रम में हैं और उनकी मोटाई $d$ समान है,इसलिए स्थिर अवस्था में दोनों परतों से गुजरने वाली ऊष्मा की दर $H$ समान होगी।
$H = \frac{k_1 A (\theta - 0)}{d} = \frac{k_2 A (100 - \theta)}{d}$
यहाँ,$\theta$ संपर्क सतह का तापमान है।
दोनों पक्षों से $A$ और $d$ को हटाने पर: $k_1 \theta = k_2 (100 - \theta)$.
$k_2 = 4k_1$ प्रतिस्थापित करने पर: $k_1 \theta = 4k_1 (100 - \theta)$.
$\theta = 400 - 4\theta$.
$5\theta = 400$.
$\theta = 80^{\circ}C$.

(A) स्थिर अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी दोनों दीवारों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है।
मान लीजिए कि इंटरफ़ेस पर तापमान $\theta$ है।
$\frac{dQ}{dt} = \frac{k_1 A (T_1 - \theta)}{d_1} = \frac{k_2 A (\theta - T_2)}{d_2}$
दोनों पक्षों से क्षेत्रफल $A$ को हटाने पर:
$\frac{k_1 (T_1 - \theta)}{d_1} = \frac{k_2 (\theta - T_2)}{d_2}$
$k_1 d_2 (T_1 - \theta) = k_2 d_1 (\theta - T_2)$
$k_1 d_2 T_1 - k_1 d_2 \theta = k_2 d_1 \theta - k_2 d_1 T_2$
$k_1 d_2 T_1 + k_2 d_1 T_2 = \theta (k_1 d_2 + k_2 d_1)$
$\theta = \frac{k_1 d_2 T_1 + k_2 d_1 T_2}{k_1 d_2 + k_2 d_1}$

(A) मान लीजिए कि चार समान छड़ें एक वर्ग $ABCD$ बनाती हैं,जहाँ $AC$ और $BD$ विकर्ण हैं।
मान लीजिए बिंदु $A$ पर तापमान $T_{A} = T^{\circ}C$ है और बिंदु $C$ पर तापमान $T_{C} = T + 100^{\circ}C$ है।
चूंकि छड़ें समान हैं,प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध समान है,मान लीजिए $R$ है।
ऊष्मा $A$ से $C$ तक दो समानांतर पथों के माध्यम से प्रवाहित होती है: पथ $ABC$ और पथ $ADC$।
पथ $ABC$ के लिए,$B$ पर तापमान $A$ और $C$ के बीच विभव पतन का मध्य बिंदु है क्योंकि $AB$ और $BC$ के प्रतिरोध समान हैं।
$T_{B} = \frac{T_{A} + T_{C}}{2} = \frac{T + (T + 100)}{2} = T + 50^{\circ}C$।
इसी प्रकार,पथ $ADC$ के लिए,$D$ पर तापमान $A$ और $C$ के बीच विभव पतन का मध्य बिंदु है।
$T_{D} = \frac{T_{A} + T_{C}}{2} = \frac{T + (T + 100)}{2} = T + 50^{\circ}C$।
विकर्ण $BD$ पर तापमान का अंतर $\Delta T_{BD} = |T_{B} - T_{D}| = |(T + 50) - (T + 50)| = 0^{\circ}C$ होगा।

(B) समान मोटाई $d$ के दो पदार्थों से बने संयुक्त स्लैब के श्रेणी संयोजन के लिए,समतुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग होता है: $R_{eq} = R_1 + R_2$.
चूंकि $R = \frac{d}{KA}$,इसलिए $\frac{2d}{K_{eq}A} = \frac{d}{K_1A} + \frac{d}{K_2A}$.
इसे सरल करने पर,$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$,जिससे $K_{eq} = \frac{2K_1K_2}{K_1 + K_2}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $K_1 = K$ और $K_2 = 2K$ दिया गया है,मान रखने पर:
$K_{eq} = \frac{2 \times K \times 2K}{K + 2K} = \frac{4K^2}{3K} = \frac{4}{3}K$.

(D) स्लैब का ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{th} = \frac{L}{KA}$ द्वारा दिया जाता है।
श्रेणीक्रम में जुड़े दो स्लैब के लिए,कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2$ होता है।
$R_1 = \frac{x}{KA}$ और $R_2 = \frac{4x}{(2K)A} = \frac{2x}{KA}$ है।
इसलिए,$R_{eq} = \frac{x}{KA} + \frac{2x}{KA} = \frac{3x}{KA}$ होगा।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{T_2 - T_1}{R_{eq}} = \frac{T_2 - T_1}{3x / KA} = \frac{1}{3} \frac{KA(T_2 - T_1)}{x}$ है।
दिए गए व्यंजक $f \left( \frac{A(T_2 - T_1)K}{x} \right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f = 1/3$ प्राप्त होता है।

(A) इस निकाय में,दोनों पदार्थ ऊष्मा प्रवाह की दिशा के समानांतर व्यवस्थित हैं।
समानांतर संयोजन के लिए,समतुल्य ऊष्मीय चालकता $K_{eq}$ का सूत्र $K_{eq} = \frac{K_1 A_1 + K_2 A_2}{A_1 + A_2}$ है।
आंतरिक बेलन का क्षेत्रफल $A_1 = \pi R^2$ है।
बाहरी बेलनाकार खोल का क्षेत्रफल $A_2 = \pi (2R)^2 - \pi R^2 = 4\pi R^2 - \pi R^2 = 3\pi R^2$ है।
कुल क्षेत्रफल $A = A_1 + A_2 = \pi R^2 + 3\pi R^2 = 4\pi R^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$K_{eq} = \frac{K_1(\pi R^2) + K_2(3\pi R^2)}{4\pi R^2}$.
$K_{eq} = \frac{K_1 + 3K_2}{4}$.

(A) ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{Q}{t} = \frac{KA\Delta\theta}{L}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $L$ लंबाई है।
स्थिति $(a)$ के लिए,छड़ें श्रेणीक्रम में हैं। समतुल्य लंबाई $L_{eq} = L + L = 2L$ है और क्षेत्रफल $A$ है। ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{th,a} = \frac{2L}{KA}$ है।
अतः,$H_a = \frac{\Delta\theta}{R_{th,a}} = \frac{\Delta\theta KA}{2L}$.
दिया गया है कि $H_a = \frac{Q}{t_a} = \frac{20}{4} = 5 \text{ cal/min}$.
स्थिति $(b)$ के लिए,छड़ें समानांतर क्रम में हैं। लंबाई $L$ है और समतुल्य क्षेत्रफल $A_{eq} = A + A = 2A$ है। ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{th,b} = \frac{L}{K(2A)} = \frac{L}{2KA}$ है।
अतः,$H_b = \frac{\Delta\theta}{R_{th,b}} = \frac{\Delta\theta 2KA}{L} = 4 \times H_a$.
चूंकि $H_b = 4 \times H_a$,समान ऊष्मा $Q$ के लिए लिया गया समय $t_b = \frac{t_a}{4} = \frac{4}{4} = 1 \text{ मिनट}$ होगा।

(A) ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{Q}{t} = \frac{kA\Delta T}{L} = \frac{\Delta T}{R}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R = \frac{L}{kA}$ ऊष्मीय प्रतिरोध है।
चूँकि $Q$ और $\Delta T$ स्थिर हैं,इसलिए $t \propto R$ होगा।
पहले मामले में (श्रेणीक्रम),कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_s = R + R = 2R$ है।
दूसरे मामले में (समानांतर क्रम),कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ है।
श्रेणीक्रम के लिए $t_s = 4 \ min$ दिया गया है।
अनुपात लेने पर: $\frac{t_p}{t_s} = \frac{R_p}{R_s} = \frac{R/2}{2R} = \frac{1}{4}$.
अतः,$t_p = \frac{1}{4} \times t_s = \frac{1}{4} \times 4 = 1 \ min$.

(D) मान लीजिए $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $\ell$ प्रत्येक छड़ की लंबाई है। ऊष्मा प्रवाह की दर पिघलने की दर के समानुपाती होती है,इसलिए $Q \propto \frac{dH}{dt}$.
स्थिति $1$: समानांतर संयोजन।
तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_p = \frac{R}{2} = \frac{\ell}{2KA}$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H_p = \frac{\Delta T}{R_p} = \frac{2KA \Delta T}{\ell}$ है। अतः,$Q_1 \propto \frac{2KA \Delta T}{\ell}$.
स्थिति $2$: श्रेणीक्रम संयोजन।
तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_s = R + R = \frac{2\ell}{KA}$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H_s = \frac{\Delta T}{R_s} = \frac{KA \Delta T}{2\ell}$ है। अतः,$Q_2 \propto \frac{KA \Delta T}{2\ell}$.
अनुपात की गणना:
$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{KA \Delta T / 2\ell}{2KA \Delta T / \ell} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(D) चूंकि दोनों बेलन समानांतर क्रम में व्यवस्थित हैं,इसलिए कुल ऊष्मीय चालकता व्यक्तिगत ऊष्मीय चालकताओं का योग होगी।
ऊष्मीय चालकता $C = \frac{kA}{l}$.
समानांतर संयोजन के लिए,$C_{eq} = C_1 + C_2$.
$\frac{k_{eq} A_{total}}{l} = \frac{k_1 A_1}{l} + \frac{k_2 A_2}{l}$.
चूंकि लंबाई $l$ समान है,इसलिए $k_{eq} A_{total} = k_1 A_1 + k_2 A_2$.
यहाँ,$A_1 = \pi r^2$ और $A_2 = \pi ((2r)^2 - r^2) = 3\pi r^2$.
कुल क्षेत्रफल $A_{total} = A_1 + A_2 = 4\pi r^2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $k_{eq} (4\pi r^2) = k_1 (\pi r^2) + k_2 (3\pi r^2)$.
$4 k_{eq} = k_1 + 3k_2$.
$k_{eq} = \frac{1}{4} (k_1 + 3k_2)$.

(A) मध्य वाली छड़ ($C$ और $D$ को जोड़ने वाली) से ऊष्मा का प्रवाह न होने के लिए,$C$ और $D$ पर तापमान समान होना चाहिए,अर्थात $\theta_C = \theta_D$।
ऊपरी पथ $ACB$ के लिए,ऊष्मा प्रवाह की दर:
$\left( \frac{Q}{t} \right)_{AC} = \left( \frac{Q}{t} \right)_{CB} \implies \frac{k_1 A (\theta_A - \theta_C)}{\ell} = \frac{k_2 A (\theta_C - \theta_B)}{\ell}$
$\implies \frac{\theta_A - \theta_C}{\theta_C - \theta_B} = \frac{k_2}{k_1} \quad \dots(i)$
निचले पथ $ADB$ के लिए,ऊष्मा प्रवाह की दर:
$\left( \frac{Q}{t} \right)_{AD} = \left( \frac{Q}{t} \right)_{DB} \implies \frac{k_3 A (\theta_A - \theta_D)}{\ell} = \frac{k_4 A (\theta_D - \theta_B)}{\ell}$
$\implies \frac{\theta_A - \theta_D}{\theta_D - \theta_B} = \frac{k_4}{k_3} \quad \dots(ii)$
चूँकि $\theta_C = \theta_D$,समीकरण $(i)$ और $(ii)$ के बाएँ पक्ष समान हैं।
अतः,$\frac{k_2}{k_1} = \frac{k_4}{k_3} \implies k_1 k_4 = k_2 k_3$।

(B) एक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R = l/KA$ द्वारा दिया जाता है।
शाखा $A-B-C$ के लिए,श्रेणीक्रम में दो तांबे की छड़ें हैं,इसलिए ऊष्मीय प्रतिरोध $R_1 = l/(K_1 A) + l/(K_1 A) = 2l/(K_1 A)$ है।
शाखा $A-D-C$ के लिए,श्रेणीक्रम में दो स्टील की छड़ें हैं,इसलिए ऊष्मीय प्रतिरोध $R_2 = l/(K_2 A) + l/(K_2 A) = 2l/(K_2 A)$ है।
चूंकि शाखाएं $A-B-C$ और $A-D-C$ बिंदु $A$ और $C$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं,इसलिए तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा:
$1/R_{eq} = 1/R_1 + 1/R_2 = (K_1 A)/(2l) + (K_2 A)/(2l) = A(K_1 + K_2)/(2l)$।
अतः,$R_{eq} = 2l / (A(K_1 + K_2))$।

(B) श्रेणीक्रम में रखी प्लेटों से ऊष्मा प्रवाह की दर इस प्रकार है:
$\frac{Q}{t} = \frac{K_1 A (\theta_1 - \theta)}{L_1} = \frac{K_2 A (\theta - \theta_2)}{L_2}$
चूंकि प्लेटें एक ही पदार्थ की हैं,इसलिए $K_1 = K_2 = K$। साथ ही,क्षेत्रफल $A$ समान है।
दिया गया है: $\theta_1 = -20^{\circ}C$,$\theta_2 = 20^{\circ}C$,$L_1 = 2 \, cm$,$L_2 = 5 \, cm$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{K A (-20 - \theta)}{2} = \frac{K A (\theta - 20)}{5}$
$\frac{-20 - \theta}{2} = \frac{\theta - 20}{5}$
$5(-20 - \theta) = 2(\theta - 20)$
$-100 - 5\theta = 2\theta - 40$
$7\theta = -60$
$\theta = -\frac{60}{7} \approx -8.6^{\circ}C$
अतः,संपर्क सतह का तापमान $-8.6^{\circ}C$ है।

(C) जब समान मोटाई $l$ लेकिन अलग-अलग अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A_1$ और $A_2$ वाली दो प्लेटें समानांतर में जुड़ी होती हैं,तो कुल ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt}$ प्रत्येक प्लेट से ऊष्मा प्रवाह की दरों के योग के बराबर होती है।
एक प्लेट से ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = k A \frac{(T_1 - T_2)}{l}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्लेटें समानांतर में हैं,कुल ऊष्मा प्रवाह दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{dQ_1}{dt} + \frac{dQ_2}{dt}$ है।
प्रत्येक के लिए मान रखने पर:
$k (A_1 + A_2) \frac{(T_1 - T_2)}{l} = k_1 A_1 \frac{(T_1 - T_2)}{l} + k_2 A_2 \frac{(T_1 - T_2)}{l}$.
दोनों पक्षों से सामान्य पद $\frac{(T_1 - T_2)}{l}$ को हटाने पर:
$k (A_1 + A_2) = k_1 A_1 + k_2 A_2$.
अतः,तुल्य ऊष्मीय चालकता $k$ है:
$k = \frac{k_1 A_1 + k_2 A_2}{A_1 + A_2}$.

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक परत की मोटाई $x$ है और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है। यदि $B$ की ऊष्मीय चालकता $K$ है,तो $A$ की ऊष्मीय चालकता $2K$ होगी।
स्थिर अवस्था में,दोनों परतों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है: $\frac{Q}{t} = \frac{K_A A (\Delta T_A)}{x} = \frac{K_B A (\Delta T_B)}{x}$.
चूंकि क्षेत्रफल और मोटाई समान हैं,इसलिए $K_A (\Delta T_A) = K_B (\Delta T_B)$ होगा।
मान रखने पर: $(2K) (\Delta T_A) = K (\Delta T_B) \Rightarrow \Delta T_B = 2 \Delta T_A$.
कुल तापमान अंतर $\Delta T_A + \Delta T_B = 36^{\circ}C$ है।
$\Delta T_B$ का मान रखने पर: $\Delta T_A + 2 \Delta T_A = 36^{\circ}C \Rightarrow 3 \Delta T_A = 36^{\circ}C$.
अतः,$\Delta T_A = 12^{\circ}C$।

(C) स्थिर ऊष्मीय अवस्था में,दोनों छड़ों से गुजरने वाली ऊष्मा की दर समान होती है।
मान लीजिए कि तांबे और स्टील की ऊष्मीय चालकता क्रमशः $k_1$ और $k_2$ है। दिया गया है कि $k_1 = 9k_2$ है।
तांबे की छड़ की लंबाई $L_1 = 18 \ cm$ और स्टील की छड़ की लंबाई $L_2 = 6 \ cm$ है।
मान लीजिए जंक्शन पर तापमान $T_x$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{kA(T_H - T_L)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए $H_{copper} = H_{steel}$ होगा।
$\frac{k_1 A (100 - T_x)}{L_1} = \frac{k_2 A (T_x - 0)}{L_2}$.
मान रखने पर: $\frac{9k_2 (100 - T_x)}{18} = \frac{k_2 (T_x)}{6}$.
$\frac{100 - T_x}{2} = T_x$.
$100 - T_x = 2T_x$.
$3T_x = 100$.
$T_x = \frac{100}{3} \approx 33.33 \ ^\circ C$.

(B) प्लेट का ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{th} = \frac{\ell}{KA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\ell$ मोटाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
चूंकि प्लेटें श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं,कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों का योग है: $R_{eq} = R_1 + R_2$.
मान लीजिए कि प्रत्येक प्लेट की मोटाई $\ell$ है। संयुक्त प्लेट की कुल मोटाई $2\ell$ होगी।
मान रखने पर: $\frac{2\ell}{K_{eq} A} = \frac{\ell}{K_1 A} + \frac{\ell}{K_2 A}$.
दोनों पक्षों से $\frac{\ell}{A}$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$.
दाहिनी ओर को सरल करने पर: $\frac{2}{K_{eq}} = \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2}$.
अतः,समतुल्य ऊष्मीय चालकता $K_{eq} = \frac{2 K_1 K_2}{K_1 + K_2}$ है।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक स्लैब की मोटाई $L$ है और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है।
चूंकि स्लैब श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ व्यक्तिगत प्रतिरोधों $R_1$ और $R_2$ के योग के बराबर होगा।
$R_{eq} = R_1 + R_2$
सूत्र $R = \frac{L}{KA}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2L}{K_{eq}A} = \frac{L}{KA} + \frac{L}{2KA}$
दोनों पक्षों को $\frac{L}{A}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{2K}$
$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{2+1}{2K} = \frac{3}{2K}$
$K_{eq} = \frac{4}{3} K$

(A) ऊष्मीय प्रतिरोध $R_H$ का सूत्र $R_H = \frac{L}{kA}$ है,जहाँ $L$ लंबाई है,$k$ ऊष्मीय चालकता है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिए गए अनुपात: $\frac{k_1}{k_2} = \frac{1}{2}$,$\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{2}$ और $\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{1}$.
ऊष्मीय प्रतिरोध का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{L_1}{k_1 A_1} \times \frac{k_2 A_2}{L_2} = \left( \frac{L_1}{L_2} \right) \times \left( \frac{k_2}{k_1} \right) \times \left( \frac{A_2}{A_1} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{2}{1} \right) \times \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$.
अतः,उनके ऊष्मीय प्रतिरोध का अनुपात $1 : 2$ है।

(B) माना जंक्शन का तापमान $\theta$ है। ऊष्मा प्रवाह की स्थिर अवस्था के सिद्धांत के अनुसार,जंक्शन पर आने वाली ऊष्मा धाराओं का योग शून्य होना चाहिए।
माना छड़ों $A$,$B$ और $C$ में ऊष्मा धाराएं क्रमशः $H_A$,$H_B$ और $H_C$ हैं।
$H_A + H_B + H_C = 0$
चूंकि सभी छड़ें समान पदार्थ $(K)$,लंबाई $(L)$ और क्षेत्रफल $(A)$ की हैं,इसलिए उनका ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{L}{KA}$ समान होगा।
$\frac{\theta - 0}{R} + \frac{\theta - 90}{R} + \frac{\theta - 90}{R} = 0$
$\theta + \theta - 90 + \theta - 90 = 0$
$3\theta = 180$
$\theta = 60^oC$.

(C) छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA\Delta \theta}{l}$ द्वारा दी जाती है।
छड़ $PQ$ के लिए,जिसकी ऊष्मीय चालकता $K_3$,लंबाई $l$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है,ऊष्मा प्रवाह की दर:
$H_{PQ} = \frac{K_3 A \Delta \theta}{l} \quad ...(i)$
पथ $PRQ$ के लिए,छड़ें $PR$ और $RQ$ श्रेणीक्रम में हैं। कुल लंबाई $2l$ के लिए उनकी समतुल्य ऊष्मीय चालकता $K_s$ इस प्रकार है:
$\frac{2l}{K_s A} = \frac{l}{K_1 A} + \frac{l}{K_2 A} \Rightarrow K_s = \frac{2K_1 K_2}{K_1 + K_2}$
$PRQ$ से ऊष्मा प्रवाह की दर:
$H_{PRQ} = \frac{K_s A \Delta \theta}{2l} = \left( \frac{2K_1 K_2}{K_1 + K_2} \right) \frac{A \Delta \theta}{2l} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2} \frac{A \Delta \theta}{l} \quad ...(ii)$
यह दिया गया है कि $H_{PQ} = H_{PRQ}$,इसलिए समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{K_3 A \Delta \theta}{l} = \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2} \frac{A \Delta \theta}{l}$
अतः,${K_3} = \frac{{{K_1}{K_2}}}{{{K_1} + {K_2}}}$.

(B) स्थिर अवस्था में,दोनों परतों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए।
मान लीजिए कि संपर्क सतह का तापमान $\theta$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{\Delta \theta}{R}$ द्वारा दी जाती है।
परत $A$ के लिए (प्रतिरोध $R_1$ और तापमान $\theta$ और $\theta_1$): $H = \frac{\theta - \theta_1}{R_1}$.
परत $B$ के लिए (प्रतिरोध $R_2$ और तापमान $\theta_2$ और $\theta$): $H = \frac{\theta_2 - \theta}{R_2}$.
दोनों दरों को बराबर करने पर: $\frac{\theta - \theta_1}{R_1} = \frac{\theta_2 - \theta}{R_2}$.
$R_2(\theta - \theta_1) = R_1(\theta_2 - \theta)$.
$R_2\theta - R_2\theta_1 = R_1\theta_2 - R_1\theta$.
$\theta(R_1 + R_2) = R_1\theta_2 + R_2\theta_1$.
$\theta = \frac{R_1\theta_2 + R_2\theta_1}{R_1 + R_2}$.

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है।
परिपथ में $R$ प्रतिरोध वाली छड़ $AB$,$B$ और $C$ के बीच दो शाखाओं के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है।
$B$ और $C$ के बीच प्रत्येक शाखा में दो छड़ें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए प्रत्येक शाखा का प्रतिरोध $R + R = 2R$ है।
$B$ और $C$ के बीच दो समानांतर शाखाओं का समतुल्य प्रतिरोध $R_{BC} = \frac{2R \times 2R}{2R + 2R} = R$ है।
अंत में,श्रेणीक्रम में $R$ प्रतिरोध वाली छड़ $CD$ है।
$A$ और $D$ के बीच कुल समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_{AB} + R_{BC} + R_{CD} = R + R + R = 3R$ है।
निकाय से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धारा $H = \frac{T_A - T_D}{R_{eq}} = \frac{200 - 20}{3R} = \frac{180}{3R} = \frac{60}{R}$ है।
जंक्शन $B$ पर तापमान छड़ $AB$ के सिरों के बीच तापमान के अंतर का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:
$H = \frac{T_A - T_B}{R_{AB}} \Rightarrow \frac{60}{R} = \frac{200 - T_B}{R} \Rightarrow 60 = 200 - T_B \Rightarrow T_B = 140^oC$.

(D) दीवार ऊष्मा प्रवाह की दिशा (बाएं से दाएं) के सापेक्ष समानांतर में व्यवस्थित ब्लॉकों से बनी है। प्रत्येक ब्लॉक की लंबाई $d$ और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ समान है।
समानांतर में जुड़े ब्लॉकों के लिए,समतुल्य ऊष्मीय चालकता $K_{eq}$ उनके अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल के आधार पर व्यक्तिगत चालकताओं के भारित औसत द्वारा दी जाती है:
$K_{eq} = \frac{\sum K_i A_i}{\sum A_i}$
इस व्यवस्था में,$K_1$ चालकता वाले तीन ब्लॉक और $K_2$ चालकता वाले तीन ब्लॉक हैं,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $A$ है। कुल क्षेत्रफल $6A$ है।
$K_{eq} = \frac{K_1 A + K_2 A + K_1 A + K_2 A + K_1 A + K_2 A}{A + A + A + A + A + A}$
$K_{eq} = \frac{3K_1 A + 3K_2 A}{6A} = \frac{3(K_1 + K_2)A}{6A} = \frac{K_1 + K_2}{2}$
अतः,समतुल्य ऊष्मीय चालकता गुणांक $\frac{K_1 + K_2}{2}$ है।

(D) दिए गए चित्र में,दोनों छड़ें समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं क्योंकि वे समान लंबाई $d$ पर समान तापांतर $(T_1 - T_2)$ साझा करती हैं।
मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ का अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_0$ है। कुल क्षेत्रफल $A = A_1 + A_2 = A_0 + A_0 = 2A_0$ होगा।
समानांतर क्रम में जुड़ी छड़ों के लिए समतुल्य ऊष्मीय चालकता $K$ का सूत्र है:
$K = \frac{K_1A_1 + K_2A_2}{A_1 + A_2}$
$A_1 = A_0$ और $A_2 = A_0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \frac{K_1A_0 + K_2A_0}{A_0 + A_0} = \frac{(K_1 + K_2)A_0}{2A_0} = \frac{K_1 + K_2}{2}$

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है। दी गई व्यवस्था में एक छड़ $AB$ श्रेणीक्रम में है और इसके साथ दो शाखाओं का समांतर संयोजन है,जिसमें प्रत्येक शाखा में दो छड़ें श्रेणीक्रम में हैं।
$1$. ऊपरी शाखा का ऊष्मीय प्रतिरोध (दो छड़ें श्रेणीक्रम में) $R + R = 2R$ है।
$2$. निचली शाखा का ऊष्मीय प्रतिरोध (दो छड़ें श्रेणीक्रम में) $R + R = 2R$ है।
$3$. ये दो शाखाएं जंक्शन $B$ और बिंदु $C$ के बीच समांतर क्रम में हैं। तुल्य प्रतिरोध $R_{BC}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{BC}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{2}{2R} = \frac{1}{R}$,अतः $R_{BC} = R$।
$4$. अब,यह निकाय $A$ और $C$ के बीच दो प्रतिरोधों $R_{AB} = R$ और $R_{BC} = R$ के श्रेणी संयोजन के समान है।
$5$. श्रेणी संयोजन में प्रवाहित ऊष्मा धारा $H$ स्थिर रहती है: $H = \frac{T_A - T_B}{R_{AB}} = \frac{T_B - T_C}{R_{BC}}$।
$6$. मान रखने पर: $\frac{120 - \theta}{R} = \frac{\theta - 20}{R}$।
$7$. $\theta$ के लिए हल करने पर: $120 - \theta = \theta - 20 \implies 2\theta = 140 \implies \theta = 70^\circ C$।

(D) श्रेणीक्रम में जुड़ी दो कुचालक शीटों के लिए,ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ दोनों में समान रहती है।
$H_1 = H_2$
चूंकि $H = \frac{\Delta T}{R_{th}}$,हमारे पास है:
$\frac{100 - \theta}{R} = \frac{\theta - 20}{3R}$
दोनों पक्षों को $3R$ से गुणा करने पर:
$3(100 - \theta) = \theta - 20$
$300 - 3\theta = \theta - 20$
$320 = 4\theta$
$\theta = 80 ^oC$

(A) ऊष्मा धारा $H$ को $H = \frac{\Delta \theta}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ ऊष्मीय प्रतिरोध है।
एक छड़ के लिए,ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{l}{KA}$ होता है।
माना $R_A = \frac{l}{(3K)A}$ और $R_B = \frac{l}{KA}$ है।
श्रेणीक्रम संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_S = R_A + R_B = \frac{l}{3KA} + \frac{l}{KA} = \frac{l + 3l}{3KA} = \frac{4l}{3KA}$ है।
श्रेणीक्रम में ऊष्मा धारा $H_S = \frac{\Delta \theta}{R_S} = \frac{\Delta \theta \cdot 3KA}{4l}$ है।
समांतर क्रम संयोजन में,तुल्य प्रतिरोध $R_P = \frac{R_A R_B}{R_A + R_B} = \frac{(\frac{l}{3KA})(\frac{l}{KA})}{\frac{l}{3KA} + \frac{l}{KA}} = \frac{\frac{l^2}{3K^2 A^2}}{\frac{4l}{3KA}} = \frac{l}{4KA}$ है।
समांतर क्रम में ऊष्मा धारा $H_P = \frac{\Delta \theta}{R_P} = \frac{\Delta \theta \cdot 4KA}{l}$ है।
समांतर और श्रेणीक्रम में ऊष्मा धारा का अनुपात $\frac{H_P}{H_S} = \frac{\frac{\Delta \theta \cdot 4KA}{l}}{\frac{\Delta \theta \cdot 3KA}{4l}} = \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$ है।

(B) मान लीजिए परत $B$ की ऊष्मीय चालकता $k$ है और परत $A$ की $2k$ है। मान लीजिए प्रत्येक परत की मोटाई $x$ है और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है।
स्थिर अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी दोनों परतों से ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ समान होती है।
$H = \frac{A(\Delta T)_A}{R_A} = \frac{A(\Delta T)_B}{R_B}$
चूंकि $R = \frac{x}{kA}$,इसलिए $R_A = \frac{x}{(2k)A}$ और $R_B = \frac{x}{kA}$ है।
अतः,$R_B = 2R_A$ है।
कुल तापमान अंतर $(\Delta T)_A + (\Delta T)_B = 60 \ K$ है।
चूंकि $H$ स्थिर है,$(\Delta T)_A / R_A = (\Delta T)_B / R_B$,जिसका अर्थ है कि $(\Delta T)_B = (\Delta T)_A \times (R_B / R_A) = 2(\Delta T)_A$।
इस मान को कुल तापमान अंतर के समीकरण में रखने पर:
$(\Delta T)_A + 2(\Delta T)_A = 60 \ K$
$3(\Delta T)_A = 60 \ K$
$(\Delta T)_A = 20 \ K$.

(C) मान लीजिए $A_1$ और $A_2$ क्रमशः आंतरिक बेलन और बाहरी खोल के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल हैं।
$A_1 = \pi R^2$
$A_2 = \pi (2R)^2 - \pi R^2 = 3\pi R^2$
कुल क्षेत्रफल $A = A_1 + A_2 = 4\pi R^2$.
चूंकि दोनों सिरे अलग-अलग तापमान पर हैं और निकाय स्थिर अवस्था में है,इसलिए दोनों भागों से ऊष्मा का प्रवाह समानांतर में होता है।
तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{eq}$ को $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$R = \frac{l}{kA}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{kA}{l} = \frac{k_1 A_1}{l} + \frac{k_2 A_2}{l}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$k(4\pi R^2) = k_1(\pi R^2) + k_2(3\pi R^2)$
$4k = k_1 + 3k_2$
$k = \frac{k_1 + 3k_2}{4}$