Spectral Emissive Power and Wien's Displacement Law Questions in Hindi

(C) पृथ्वी अपेक्षाकृत कम तापमान (लगभग $288 \ K$) पर एक कृष्णिका (black body) के रूप में कार्य करती है। वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम स्पेक्ट्रल उत्सर्जन शक्ति के अनुरूप तरंगदैर्ध्य $\lambda_{max}$ निरपेक्ष तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे संबंध $\lambda_{max} T = b$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ वीन का नियतांक $(2.898 \times 10^{-3} \ m \cdot K)$ है। पृथ्वी के तापमान के लिए,यह तरंगदैर्ध्य विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के अवरक्त क्षेत्र में आती है। इसलिए,वीन का नियम विकिरण स्पेक्ट्रम के शिखर के विस्थापन का सही वर्णन करता है।

(A) वीन का विस्थापन नियम बताता है कि एक कृष्णिका (black body) की अधिकतम वर्णक्रमीय उत्सर्जन शक्ति $(\lambda_m)$ के संगत तरंगदैर्घ्य उसके परम ताप $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,इसे $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें $\lambda_m T = b$ संबंध प्राप्त होता है,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ कृष्णिका के परम ताप $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अर्थात $\lambda_m T = \text{नियतांक}$.
चूंकि लाल रंग की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_r)$ सबसे अधिक, पीले रंग की $(\lambda_y)$ मध्यवर्ती और नीले रंग की $(\lambda_b)$ सबसे कम होती है $(\lambda_r > \lambda_y > \lambda_b)$, इसलिए उनके तापमान का क्रम इसके विपरीत होगा।
अतः, $T_r < T_y < T_b$.
दिया गया है कि तारा $A$ लाल रंग में, $B$ नीले रंग में और $C$ पीले रंग में अधिकतम तीव्रता उत्सर्जित करता है, इसलिए $T_A < T_C < T_B$.
इस प्रकार, $B$ का तापमान अधिकतम है, $A$ का न्यूनतम है और $C$ मध्यवर्ती है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता की तरंगदैर्घ्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक होता है: $\lambda_m T = b$.
इसलिए,सूर्य और चंद्रमा के लिए,$\lambda_{sun} T_{sun} = \lambda_{moon} T_{moon}$ होगा।
उनके तापमान का अनुपात $\frac{T_{sun}}{T_{moon}} = \frac{\lambda_{moon}}{\lambda_{sun}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{T_{sun}}{T_{moon}} = \frac{10^{-4} \ m}{0.5 \times 10^{-6} \ m} = \frac{10^{-4}}{0.5 \times 10^{-6}} = \frac{100}{0.5} = 200$.
अतः,उनके तापमान का अनुपात $200$ है।

(C) वीन के विस्थापन नियम (Wien's Displacement Law) के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा उत्सर्जित विकिरण की अधिकतम तीव्रता वाली तरंगदैर्घ्य उसके परम तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\lambda_m T = b$,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
अतः,किसी पिंड द्वारा उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्घ्य उसकी सतह के तापमान पर निर्भर करती है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_m T = \text{नियतांक}$ होता है।
जैसे-जैसे तार का तापमान $T$ बढ़ता है, अधिकतम स्पेक्ट्रल उत्सर्जन शक्ति के अनुरूप तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ कम हो जाती है।
कम तापमान पर, उत्सर्जित विकिरण मुख्य रूप से लंबी तरंगदैर्ध्य सीमा (लाल) में होता है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, उत्सर्जन स्पेक्ट्रम का शिखर छोटी तरंगदैर्ध्य (पीला, फिर नीला/सफेद) की ओर स्थानांतरित हो जाता है।
इसलिए, तापमान बढ़ने के साथ देखा गया रंग लाल से पीले और अंत में सफेद में बदल जाता है।

(C) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ वस्तु के परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे $\lambda_m T = b$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है। चूंकि तारे का रंग उस प्रकाश की तरंगदैर्ध्य पर निर्भर करता है जिसे वह सबसे अधिक तीव्रता से उत्सर्जित करता है,इसलिए देखा गया रंग तारे के सतही तापमान का सीधा संकेत है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जित ऊर्जा की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और वस्तु के परम तापमान $(T)$ का गुणनफल स्थिर रहता है।
$\lambda_m T = b$ (स्थिरांक)
दिया गया है:
$T_1 = 700 \ K$,$\lambda_{m1} = 4.08 \ \mu m$
$T_2 = 1400 \ K$,$\lambda_{m2} = ?$
संबंध $\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_{m2} = \frac{\lambda_{m1} T_1}{T_2}$
$\lambda_{m2} = \frac{4.08 \times 700}{1400}$
$\lambda_{m2} = 4.08 \times 0.5 = 2.04 \ \mu m$.

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम ऊर्जा उत्सर्जन के संगत तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक होता है।
$\lambda_m T = b$ (नियतांक)
दिया गया है:
$T_1 = 200 K$,$\lambda_{m1} = 14 \mu m$
$T_2 = 1000 K$,$\lambda_{m2} = ?$
$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$ संबंध का उपयोग करने पर:
$\lambda_{m2} = \frac{\lambda_{m1} T_1}{T_2}$
$\lambda_{m2} = \frac{14 \mu m \times 200 K}{1000 K}$
$\lambda_{m2} = \frac{2800}{1000} \mu m = 2.8 \mu m$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और वस्तु के परम तापमान $(T)$ का गुणनफल स्थिर होता है: $\lambda_m T = b$.
इसलिए,$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$.
इसका अर्थ है कि तापमान का अनुपात उनकी तरंगदैर्ध्य के अनुपात के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_{m2}}{\lambda_{m1}}$.
यहाँ $\lambda_{m1} = 3600 \mathring A$ और $\lambda_{m2} = 4800 \mathring A$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{4800}{3600} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3}$.
अतः,उनके तापमान का अनुपात $4:3$ है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m T = \text{नियतांक}$,इसलिए $\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$.
दिया गया है: $\lambda_{m1} = 5000 \mathring A$,$T_1 = 1227 + 273 = 1500 \ K$.
तापमान $1000^{\circ}C$ बढ़ाया जाता है,इसलिए नया तापमान $T_2 = 1227 + 1000 + 273 = 2500 \ K$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\lambda_{m2} = \frac{T_1}{T_2} \times \lambda_{m1}$.
$\lambda_{m2} = \frac{1500}{2500} \times 5000 = 0.6 \times 5000 = 3000 \mathring A$.

(A) वीन के विस्थापन नियम (Wien's Displacement Law) के अनुसार, उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य वस्तु के परम तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(\lambda_m \propto 1/T)$.
जैसे-जैसे वस्तु का तापमान बढ़ता है, उत्सर्जित विकिरण की मुख्य तरंगदैर्ध्य स्पेक्ट्रम के छोटी तरंगदैर्ध्य (नीले/बैंगनी) छोर की ओर स्थानांतरित हो जाती है।
तापमान बढ़ने के साथ देखे जाने वाले रंगों का क्रम इस प्रकार है: लाल $\to$ नारंगी $\to$ पीला $\to$ सफेद।
अतः, सफेद रंग का लोहे का टुकड़ा सबसे अधिक तापमान पर है।

(B) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(\lambda_m \propto 1/T)$।
जैसे-जैसे कृष्णिका का तापमान बढ़ता है,उत्सर्जित विकिरण स्पेक्ट्रम का शिखर छोटी तरंगदैर्ध्य की ओर स्थानांतरित हो जाता है।
कम तापमान पर,वस्तु लाल दिखाई देती है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,यह पीले और नीले रंग से होकर गुजरती है।
बहुत उच्च तापमान पर,वस्तु पूरे दृश्य स्पेक्ट्रम में महत्वपूर्ण तीव्रता के साथ विकिरण उत्सर्जित करती है,जिससे यह सफेद दिखाई देती है।

(B) वीन के विस्थापन नियम (Wien's Displacement Law) के अनुसार,अधिकतम विकिरण उत्सर्जन के संगत तरंगदैर्ध्य परम तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है: ${\lambda _{max}} \propto \frac{1}{T}$।
यह दिया गया है कि सूर्य का वर्तमान तापमान $T$ है,तब अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य ${\lambda _{max}} \approx 4753 \mathring{A}$ है,जो दृश्य क्षेत्र (बैंगनी रंग के निकट) में स्थित है।
यदि तापमान $T' = 2T$ हो जाता है,तो अधिकतम उत्सर्जन की नई तरंगदैर्ध्य ${\lambda '_{max}} = \frac{{\lambda _{max}}}{2} = \frac{4753 \mathring{A}}{2} \approx 2376.5 \mathring{A}$ होगी।
चूंकि यह तरंगदैर्ध्य दृश्य सीमा से छोटी है,इसलिए विकिरणित ऊर्जा मुख्य रूप से पराबैंगनी (ultraviolet) क्षेत्र में होगी।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और वस्तु के परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक $(b)$ होता है:
$\lambda_m T = b$
दिया गया है:
$\lambda_m = 2.93 \times 10^{-10} \ m$
$b = 2.93 \times 10^{-3} \ m \cdot K$
सूत्र में मान रखने पर:
$T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2.93 \times 10^{-3}}{2.93 \times 10^{-10}}$
$T = 10^{-3 - (-10)} \ K = 10^7 \ K$
अतः,प्राप्त अधिकतम तापमान $10^7 \ K$ की कोटि का है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और परम ताप $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक होता है।
$\lambda_m T = b$ (नियतांक)
अतः,$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$.
दिया गया है: $T_1 = 2000\;K$,$\lambda_{m1} = 4\;\mu m$,$T_2 = 2400\;K$.
मान रखने पर:
$4 \times 2000 = \lambda_{m2} \times 2400$
$\lambda_{m2} = \frac{4 \times 2000}{2400} = \frac{8000}{2400} = \frac{80}{24} = \frac{10}{3} = 3.33\;\mu m$.

(B) तारों से उत्सर्जित विकिरण का विश्लेषण करके विभिन्न तरंगदैर्ध्यों पर ऊर्जा का वितरण प्राप्त किया जा सकता है।
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता वाले विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda_{max}$ तारे के परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
यह संबंध $\lambda_{max} T = b$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
जिस तरंगदैर्ध्य पर तारा अधिकतम विकिरण उत्सर्जित करता है,उसे मापकर खगोलशास्त्री तारे की सतह के तापमान की गणना कर सकते हैं।

(A) जैसे-जैसे पदार्थ का तापमान बढ़ता है, वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law, $\lambda_m T = \text{constant}$) के अनुसार उत्सर्जित विकिरण की अधिकतम तरंग दैर्ध्य कम तरंग दैर्ध्य की ओर स्थानांतरित हो जाती है।
प्रारंभ में, कम तापमान पर, पदार्थ अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र में विकिरण उत्सर्जित करता है, जो अदृश्य होता है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, यह दृश्य प्रकाश उत्सर्जित करना शुरू कर देता है, जो लाल रंग से शुरू होता है, फिर नारंगी, पीले और अंत में बहुत उच्च तापमान पर सफेद रंग में बदल जाता है।

तापमान	रंग
$525^{\circ}C$	हल्का लाल
$900^{\circ}C$	चेरी लाल
$1100^{\circ}C$	नारंगी लाल
$1200^{\circ}C$	पीला
$1300^{\circ}C$	हरा
$1600^{\circ}C$	सफेद

चूंकि प्रश्न में तापमान बढ़ने के साथ दिखाई देने वाले रंगों के क्रम के बारे में पूछा गया है, इसलिए विकल्पों में सबसे उच्च तापमान पर दिखाई देने वाला अंतिम रंग सफेद है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{m} T = b$,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
यह नियम बताता है कि अधिकतम वर्णक्रमीय उत्सर्जन शक्ति के अनुरूप तरंगदैर्घ्य $\lambda_{m}$ कृष्णिका के निरपेक्ष तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
चूंकि तारे का रंग उस प्रकाश की तरंगदैर्घ्य पर निर्भर करता है जिसे वह सबसे तीव्रता से उत्सर्जित करता है,इसलिए इसकी सतह का तापमान सीधे इसके रंग से संबंधित होता है।
उदाहरण के लिए,लाल तारों की तरंगदैर्घ्य अधिक होती है और इसलिए उनका तापमान कम होता है,जबकि नीले तारों की तरंगदैर्घ्य कम होती है और तापमान अधिक होता है।

(C) वीन के विस्थापन नियम (Wien's Displacement Law) के अनुसार,एक कृष्णिका के लिए अधिकतम उत्सर्जन के संगत तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल नियत रहता है।
$\lambda_m T = b$ (नियत)
अतः,$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$।
दिया गया है:
$T_1 = 1640 \ K$
$\lambda_{m1} = 1.75 \ \mu m$
$\lambda_{m2} = 14.35 \ \mu m$
मान रखने पर:
$1.75 \times 1640 = 14.35 \times T_2$
$T_2 = \frac{1.75 \times 1640}{14.35}$
$T_2 = \frac{2870}{14.35} = 200 \ K$।
अतः,चंद्रमा का तापमान $200 \ K$ है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और परम ताप $(T)$ का गुणनफल नियत रहता है।
$\lambda_m T = b$ (नियत)
अतः,$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
दिया गया है: $\lambda_1 = 4\,\mu m$,$T_1 = 900\,K$,$T_2 = 1200\,K$.
मान रखने पर:
$4\,\mu m \times 900\,K = \lambda_2 \times 1200\,K$
$\lambda_2 = \frac{4 \times 900}{1200}\,\mu m$
$\lambda_2 = \frac{3600}{1200}\,\mu m = 3\,\mu m$.

(B) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,अधिकतम तीव्रता के संगत तरंग दैर्ध्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक होता है।
$\lambda_m T = \text{नियतांक}$
अतः,$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$.
दिया गया है: $\lambda_{m1} = 4800 \ \mathring{A}$,$T_1 = 6000 \ K$,$T_2 = 3000 \ K$.
मान रखने पर:
$4800 \times 6000 = \lambda_{m2} \times 3000$
$\lambda_{m2} = \frac{4800 \times 6000}{3000}$
$\lambda_{m2} = 4800 \times 2 = 9600 \ \mathring{A}$.

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक होता है, अर्थात $\lambda_m T = b$।
इसलिए, तापमान का अनुपात उनकी तरंगदैर्ध्य के अनुपात के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_{m2}}{\lambda_{m1}}$।
यहाँ $\lambda_{m1} = 140 \mathring{A}$ और $\lambda_{m2} = 4200 \mathring{A}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{4200}{140} = \frac{30}{1}$।
अतः, तापमान का अनुपात $30:1$ है।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,जिस तरंगदैर्ध्य पर वर्णक्रमीय ऊर्जा घनत्व अधिकतम होता है $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक स्थिरांक होता है।
$\lambda_m T = \text{स्थिरांक}$
यह दिया गया है कि $T$ तापमान पर,अधिकतम मान $\lambda_0$ पर है,इसलिए:
$\lambda_0 T = \lambda' (2T)$
$\lambda'$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lambda' = \frac{\lambda_0 T}{2T} = \frac{\lambda_0}{2}$
अतः,$2T$ तापमान पर,अधिकतम मान $\lambda_0/2$ पर होगा।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन के संगत तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और परम ताप $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक होता है,अर्थात $\lambda_m T = b$।
अतः,$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$।
यहाँ $T_1 = 2000 \ K$ और $T_2 = 3000 \ K$ दिया गया है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_{m1}}{\lambda_{m2}} = \frac{T_2}{T_1}$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{\lambda_{m1}}{\lambda_{m2}} = \frac{3000 \ K}{2000 \ K} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता की तरंग दैर्ध्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक स्थिरांक होता है।
$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2$
दिया गया है:
$\lambda_{m1} = 5.5 \times 10^{-7} \ m$
$T_1 = 5500 \ K$
$\lambda_{m2} = 11 \times 10^{-7} \ m$
सूत्र में मान रखने पर:
$5.5 \times 10^{-7} \times 5500 = 11 \times 10^{-7} \times T_2$
$T_2 = \frac{5.5 \times 10^{-7} \times 5500}{11 \times 10^{-7}}$
$T_2 = \frac{5.5}{11} \times 5500$
$T_2 = 0.5 \times 5500 = 2750 \ K$
अतः,भट्टी का तापमान $2750 \ K$ है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक स्थिरांक $(b)$ होता है।
$\lambda_m T = b$
दिया गया है:
$T = 5 \times 10^4 \ K$
$b = 0.0029 \ mK$
मान रखने पर:
$\lambda_m = \frac{b}{T} = \frac{0.0029}{5 \times 10^4}$
$\lambda_m = \frac{2.9 \times 10^{-3}}{5 \times 10^4} = 0.58 \times 10^{-7} \ m$
$\lambda_m = 58 \times 10^{-9} \ m$
चूंकि $1 \ nm = 10^{-9} \ m$,इसलिए:
$\lambda_m = 58 \ nm$.

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम ऊर्जा उत्सर्जन के संगत तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और कृष्णिका के परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक $(b)$ होता है।
$\lambda_m T = b$
यहाँ,$\lambda_m = 4000 \mathring A = 4000 \times 10^{-10} \ m = 4 \times 10^{-7} \ m$.
वीन नियतांक $b \approx 2.93 \times 10^{-3} \ m \cdot K$ है।
मान रखने पर:
$T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2.93 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-7}}$
$T = 0.7325 \times 10^4 \ K = 7325 \ K$.

(B) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ और कृष्णिका के परम तापमान $(T)$ का गुणनफल नियत रहता है।
$\lambda_{\max} T = b$ (नियत)
अतः,$T \propto \frac{1}{\lambda_{\max}}$.
माना सूर्य के लिए तापमान और अधिकतम तरंगदैर्ध्य $T_S$ और $\lambda_S$ हैं,तथा उत्तर तारे के लिए $T_N$ और $\lambda_N$ हैं।
दिया गया है: $\lambda_S = 510\;nm$ और $\lambda_N = 350\;nm$.
सतह के तापमान का अनुपात:
$\frac{T_S}{T_N} = \frac{\lambda_N}{\lambda_S} = \frac{350}{510} \approx 0.686$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.69$ प्राप्त होता है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम स्पेक्ट्रल उत्सर्जन शक्ति के अनुरूप तरंगदैर्ध्य ${\lambda _m}T = b$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को रखने पर,हमें प्राप्त होता है ${\lambda _m} = \frac{b}{T} = \frac{2.88 \times {10^6}}{2880} = 1000\;nm$.
इसका अर्थ है कि कृष्णिका विकिरण वक्र का शिखर $1000\;nm$ पर स्थित है।
एक छोटे तरंगदैर्ध्य अंतराल $\Delta \lambda$ में उत्सर्जित ऊर्जा $U$,उस अंतराल में $E_{\lambda} - \lambda$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है।
चूंकि वक्र का शिखर $1000\;nm$ पर है,इसलिए स्पेक्ट्रल उत्सर्जन शक्ति $E_{\lambda}$ का मान $1000\;nm$ पर अधिकतम है।
अंतरालों की तुलना करने पर,${U_2}$ के लिए अंतराल ($999\;nm$ से $1000\;nm$) शिखर तरंगदैर्ध्य के सबसे निकट है,जबकि ${U_1}$ के लिए अंतराल ($499\;nm$ से $500\;nm$) उससे दूर है।
इसलिए,${U_2}$ के लिए वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ${U_1}$ के क्षेत्रफल से अधिक है,जिसका अर्थ है कि ${U_2} > {U_1}$।

(B) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ परम तापमान $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$।
दिए गए ग्राफ से,हम तीन तापमानों के लिए $\lambda_m$ के मान देख सकते हैं:
$(\lambda_m)_1 < (\lambda_m)_3 < (\lambda_m)_2$।
चूंकि $\lambda_m$,$T$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए छोटी $\lambda_m$ उच्च तापमान के संगत होती है।
अतः,तापमानों के बीच संबंध $T_1 > T_3 > T_2$ है।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, अधिकतम विकिरण ऊर्जा उत्सर्जन के अनुरूप तरंग दैर्ध्य $\lambda_m$ वस्तु के निरपेक्ष तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, अर्थात $\lambda_m T = \text{स्थिरांक}$.
इसका अर्थ है कि जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है, अधिकतम तरंग दैर्ध्य $\lambda_m$ छोटी तरंग दैर्ध्य की ओर स्थानांतरित हो जाती है।
तापमान की तुलना करने पर: सूर्य का तापमान लगभग $6000 \ K$ है, वेल्डिंग आर्क का तापमान लगभग $4000 \ K$ है और टंगस्टन फिलामेंट का तापमान लगभग $3000 \ K$ है।
इसलिए, $T_{\text{सूर्य}} > T_{\text{वेल्डिंग आर्क}} > T_{\text{टंगस्टन फिलामेंट}}$.
ग्राफ से, जैसे-जैसे हम $T_1$ से $T_3$ की ओर बढ़ते हैं, अधिकतम तरंग दैर्ध्य बाईं ओर (छोटी $\lambda$) स्थानांतरित हो जाती है। अतः, $T_3 > T_2 > T_1$.
इनका मिलान करने पर, हमें प्राप्त होता है: सूर्य $T_3$ के अनुरूप है, टंगस्टन फिलामेंट $T_2$ के अनुरूप है और वेल्डिंग आर्क $T_1$ के अनुरूप है।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$,जहाँ $\lambda_m$ अधिकतम ऊर्जा उत्सर्जन के संगत तरंगदैर्ध्य है।
जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है,$E - \lambda$ वक्र के शिखर के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ घटती है,जिसका अर्थ है कि शिखर बाईं ओर (छोटी तरंगदैर्ध्य की ओर) स्थानांतरित हो जाता है।
इसके अतिरिक्त,स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय उत्सर्जित कुल ऊर्जा $T^4$ के समानुपाती होती है। इसलिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल बढ़ता है और वक्र का शिखर ऊंचा हो जाता है।
अतः,उच्चिष्ठ बाईं ओर स्थानांतरित होगा और ऊंचा हो जाएगा।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम ऊर्जा उत्सर्जन के संगत तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और कृष्णिका के परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक $(b)$ होता है।
$\lambda_m T = b$
ग्राफ से,अधिकतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_m = 1.5 \ \mu m = 1.5 \times 10^{-6} \ m$ है।
वीन नियतांक $b \approx 2.89 \times 10^{-3} \ m \cdot K$ है।
मान रखने पर:
$T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{2.89 \times 10^{-3}}{1.5 \times 10^{-6}} \ K$
$T \approx 1.926 \times 10^3 \ K \approx 2000 \ K$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम स्पेक्ट्रमी उत्सर्जन शक्ति के संगत तरंगदैर्ध्य परम ताप के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$.
चूंकि आवृत्ति $\nu_m$ तरंगदैर्ध्य से $\nu_m = \frac{c}{\lambda_m}$ द्वारा संबंधित है,इसलिए $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$ प्रतिस्थापित करने पर हमें $\nu_m \propto T$ प्राप्त होता है।
यह संबंध $\nu_m = kT$ (जहाँ $k$ एक नियतांक है) मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
दिए गए ग्राफ को देखने पर,रेखा $B$,$\nu_m$ और $T$ के बीच एक सीधा रैखिक संबंध दर्शाती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) तापीय संतुलन में एक कृष्णिका (Black body) विद्युत चुम्बकीय विकिरण उत्सर्जित करती है जिसे कृष्णिका विकिरण कहा जाता है।
वीन के विस्थापन नियम और कृष्णिका विकिरण के स्पेक्ट्रल वितरण के अनुसार,जैसे-जैसे वस्तु का तापमान बढ़ता है,उसके उत्सर्जन स्पेक्ट्रम का शिखर छोटी तरंग दैर्ध्य की ओर स्थानांतरित हो जाता है।
$500^{\circ}C$ से नीचे के तापमान पर,उत्सर्जित विकिरण मुख्य रूप से अवरक्त (इन्फ्रारेड) क्षेत्र में होता है,जो मानव आंख के लिए अदृश्य है।
जब तापमान लगभग $500^{\circ}C$ से $525^{\circ}C$ तक पहुँच जाता है (जिसे अक्सर ड्रेपर पॉइंट कहा जाता है),तो वस्तु एक हल्की धुंधली लाल चमक उत्सर्जित करना शुरू कर देती है,जो दृश्य प्रकाश स्पेक्ट्रम की शुरुआत है।
इसलिए,वह न्यूनतम तापमान जिस पर कोई पिंड दृश्य प्रकाश उत्सर्जित करना शुरू करता है,लगभग $500^{\circ}C$ है।

(D) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार, अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{max})$ कृष्णिका के तापमान $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, जिसे $\lambda_{max} \propto 1/T$ द्वारा दर्शाया जाता है।
पीले या लाल प्रकाश की तुलना में नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य कम होती है।
चूंकि एक नीला तारा कम तरंगदैर्ध्य वाला प्रकाश उत्सर्जित करता है, इसलिए इसका सतही तापमान पीले दिखाई देने वाले तारे (जैसे हमारा सूर्य) या लाल तारे की तुलना में काफी अधिक होना चाहिए।
अतः, जो तारा नीला दिखाई देता है, वह सूर्य से कहीं अधिक गर्म होता है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम ऊर्जा उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक $(b)$ होता है:
$\lambda_m T = b$
दिया गया है:
$\lambda_m = 2.93 \times 10^{-10} \ m$
$b = 2.93 \times 10^{-3} \ m \ K$
सूत्र में मान रखने पर:
$(2.93 \times 10^{-10} \ m) \times T = 2.93 \times 10^{-3} \ m \ K$
$T = \frac{2.93 \times 10^{-3}}{2.93 \times 10^{-10}} \ K$
$T = 10^7 \ K$
अतः,प्राप्त अधिकतम तापमान $10^7 \ K$ की कोटि का है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम तीव्रता वाले उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ तारे के तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे $\lambda_m \propto \frac{1}{T}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
जैसे-जैसे तापमान $T$ बढ़ता है,तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ घटती जाती है।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य लाल प्रकाश की तुलना में कम होती है,इसलिए एक अत्यंत गर्म तारा कम तरंगदैर्ध्य वाला विकिरण उत्सर्जित करता है,जिससे वह नीला दिखाई देता है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य कृष्णिका के परम ताप के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\lambda_{max} \propto \frac{1}{T}$.
मान लीजिए $T_S$ और $\lambda_S$ सूर्य का तापमान और अधिकतम तरंगदैर्ध्य हैं,और $T_X$ और $\lambda_X$ तारे $X$ का तापमान और अधिकतम तरंगदैर्ध्य हैं।
दिया गया है: $\lambda_S = 510 \, nm$ और $\lambda_X = 350 \, nm$.
तापमान का अनुपात इस प्रकार है: $\frac{T_S}{T_X} = \frac{\lambda_X}{\lambda_S}$.
मान रखने पर: $\frac{T_S}{T_X} = \frac{350}{510} \approx 0.686$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,अनुपात $0.68$ प्राप्त होता है।

(A) वीन के विस्थापन नियम (Wien's Displacement Law) के अनुसार, अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{max})$ तारे के पूर्ण तापमान $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, जिसे $\lambda_{max} \propto 1/T$ द्वारा दर्शाया जाता है।
लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य सफेद प्रकाश (जिसमें सभी दृश्य तरंगदैर्ध्य शामिल हैं, जिनमें छोटी नीली/बैंगनी तरंगदैर्ध्य भी शामिल हैं) की तुलना में लंबी होती है।
चूंकि तारा $P$ लाल दिखाई देता है, यह लंबी तरंगदैर्ध्य पर प्रकाश उत्सर्जित करता है, जिसका अर्थ है कि इसका सतही तापमान कम है।
चूंकि तारा $Q$ सफेद दिखाई देता है, यह दृश्य स्पेक्ट्रम में प्रकाश उत्सर्जित करता है, जिसमें छोटी तरंगदैर्ध्य भी शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि इसका सतही तापमान अधिक है।
इसलिए, तारे $Q$ का तापमान तारे $P$ से अधिक है।

(C) किसी दूरस्थ तारे का तापमान वीन के विस्थापन नियम का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।
इस नियम के अनुसार,उत्सर्जन की अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $({\lambda _m})$ और कृष्णिका (black body) के परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक नियतांक होता है।
गणितीय रूप से,इसे ${\lambda _m} \cdot T = b$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
उस तरंगदैर्ध्य को मापकर जिस पर तारा अधिकतम विकिरण उत्सर्जित करता है,उसके पृष्ठीय तापमान की गणना की जा सकती है।

(C) वीन के विस्थापन नियम (Wien's Displacement Law) के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) से उत्सर्जित विकिरण की अधिकतम तरंगदैर्ध्य उसके परम तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे संबंध ${\lambda _m}T = b$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है। चूंकि तारे का रंग उस प्रकाश की तरंगदैर्ध्य द्वारा निर्धारित होता है जिसे वह सबसे तीव्रता से उत्सर्जित करता है,इसलिए देखा गया रंग सीधे तारे की सतह के तापमान को इंगित करता है। अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,कृष्णिका (black body) द्वारा उत्सर्जित विकिरण की अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ उसके परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\lambda_m \propto 1/T$।
दृश्य स्पेक्ट्रम के तरंगदैर्ध्य का क्रम है: $\lambda_{\text{red}} > \lambda_{\text{yellow}} > \lambda_{\text{blue}}$।
चूंकि तारा $A$ लाल रंग (सबसे अधिक तरंगदैर्ध्य) पर अधिकतम तीव्रता उत्सर्जित करता है,इसलिए इसका तापमान सबसे कम है।
चूंकि तारा $B$ नीले रंग (सबसे कम तरंगदैर्ध्य) पर अधिकतम तीव्रता उत्सर्जित करता है,इसलिए इसका तापमान सबसे अधिक है।
चूंकि तारा $C$ पीले रंग (मध्यम तरंगदैर्ध्य) पर अधिकतम तीव्रता उत्सर्जित करता है,इसलिए इसका तापमान मध्यम है।
अतः,तापमान का क्रम $T_B > T_C > T_A$ है।

(A) वीन का विस्थापन नियम बताता है कि परम तापमान $T$ और वह तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\max}$ जिस पर स्पेक्ट्रल उत्सर्जन शक्ति अधिकतम होती है,का गुणनफल एक स्थिरांक होता है।
गणितीय रूप से,इसे $\lambda_{\max} T = b$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $b$ वीन का स्थिरांक है।
अतः,यह नियम अधिकतम ऊर्जा के अनुरूप तरंगदैर्ध्य और कृष्णिका (black body) के परम तापमान के बीच संबंध को व्यक्त करता है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम ऊर्जा उत्सर्जन के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ परम ताप $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\lambda_m T = b$ (नियतांक)।
चूंकि आवृत्ति $v_m$ तरंगदैर्ध्य से $v_m = c / \lambda_m$ द्वारा संबंधित है,हम विस्थापन नियम में $\lambda_m = c / v_m$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
इससे $(c / v_m) T = b$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $v_m = (c / b) T$ मिलता है।
चूंकि $c$ (प्रकाश की गति) और $b$ (वीन नियतांक) स्थिर हैं,इसलिए $v_m$ सीधे $T$ के समानुपाती है $(v_m \propto T)$।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
दिए गए ग्राफ में,रेखा $B$ मूल बिंदु से गुजरने वाला एक रैखिक संबंध दर्शाती है।
अतः,सही ग्राफ $B$ है।

(B) वीन के विस्थापन नियम (Wien's Displacement Law) के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ निरपेक्ष तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे $\lambda_m T = b$ द्वारा दर्शाया जाता है (जहाँ $b$ वीन का नियतांक है)।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य से कम होती है $(\lambda_{blue} < \lambda_{red})$,इसलिए नीला प्रकाश उत्सर्जित करने वाली गेंद का तापमान अधिक होना चाहिए।
अतः,$T_A > T_B$ क्योंकि गेंद $A$ नीली दिखाई देती है और गेंद $B$ लाल दिखाई देती है।

(D) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,एक कृष्णिका की अधिकतम वर्णक्रमीय उत्सर्जन शक्ति के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_{m}$ उसके परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
वीन के विस्थापन नियम का गणितीय व्यंजक इस प्रकार है:
$\lambda_{m} = \frac{b}{T}$
यहाँ '$b$' वीन का नियतांक है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि:
$\lambda_{m} \propto T^{-1}$

(D) वीन के विस्थापन नियम (Wien's Displacement Law) के अनुसार, अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ कृष्णिका के परम तापमान $(T)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, जिसे $\lambda_m T = b$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ $b$ वीन का नियतांक है。
चूंकि लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य से अधिक होती है $(\lambda_{red} > \lambda_{blue})$, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि लाल तारे का तापमान नीले तारे के तापमान से कम होना चाहिए $(T_{red} < T_{blue})$。
अतः, नीले तारे का तापमान अधिक है।