Heat Conduction and Thermal Conductivity Questions in Hindi

(A) ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta \theta}{l}$ द्वारा दी जाती है।
साथ ही,अवस्था परिवर्तन की दर $\frac{dQ}{dt} = L \frac{dm}{dt}$ है,जहाँ $L$ गुप्त ऊष्मा है।
इन दोनों को बराबर करने पर,$\frac{dm}{dt} = \frac{KA}{l} \left( \frac{\Delta \theta}{L} \right)$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि यह बिंदु $100^{\circ}C$ वाले सिरे से $x$ दूरी पर है। इस बिंदु पर तापमान $200^{\circ}C$ है।
$100^{\circ}C$ और $200^{\circ}C$ के बीच के भाग के लिए (लंबाई $x$),ऊष्मा प्रवाह भाप उत्पन्न करता है: $\left( \frac{dm}{dt} \right)_{steam} = \frac{KA}{x} \left( \frac{200 - 100}{540} \right)$.
$200^{\circ}C$ और $0^{\circ}C$ के बीच के भाग के लिए (लंबाई $3.1 - x$),ऊष्मा प्रवाह बर्फ को पिघलाता है: $\left( \frac{dm}{dt} \right)_{ice} = \frac{KA}{3.1 - x} \left( \frac{200 - 0}{80} \right)$.
चूंकि द्रव्यमान परिवर्तन की दर समान है,$\frac{100}{540x} = \frac{200}{80(3.1 - x)}$.
इस समीकरण को हल करने पर,$x = 0.4 \ m = 40 \ cm$ प्राप्त होता है।

(A) आकृति में दिखाए अनुसार $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले एक संकेंद्रित गोलाकार कवच पर विचार करें।
स्थिर अवस्था में,इस कवच से होकर ऊष्मा के प्रवाह की त्रिज्यीय दर $H$ फूरियर के ऊष्मा चालन नियम द्वारा दी जाती है:
$H = \frac{{dQ}}{{dt}} = - KA\frac{{dT}}{{dr}}$
चूंकि गोलाकार कवच का क्षेत्रफल $A = 4\pi {r^2}$ है,इसलिए हमारे पास है:
$H = - K(4\pi {r^2})\frac{{dT}}{{dr}}$
समाकलन करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{{dr}}{{{r^2}}} = - \frac{{4\pi K}}{H}dT$
$r_1$ से $r_2$ और $T_1$ से $T_2$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{{r_1}}^{{r_2}} \frac{{dr}}{{{r^2}}} = - \frac{{4\pi K}}{H} \int_{{T_1}}^{{T_2}} dT$
$\left[ - \frac{1}{r} \right]_{{r_1}}^{{r_2}} = - \frac{{4\pi K}}{H} (T_2 - T_1)$
$\left( \frac{1}{{{r_1}}} - \frac{1}{{{r_2}}} \right) = \frac{{4\pi K}}{H} (T_1 - T_2)$
$\frac{{{r_2} - {r_1}}}{{{r_1}{r_2}}} = \frac{{4\pi K}}{H} (T_1 - T_2)$
$H$ के लिए हल करने पर:
$H = \frac{{4\pi K{r_1}{r_2}({T_1} - {T_2})}}{{{r_2} - {r_1}}}$
अतः,ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{{{r_1}{r_2}}}{{{r_2} - {r_1}}}$ के समानुपाती है।

(C) बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = m L_f$ द्वारा दी जाती है。
स्लैब के माध्यम से प्रवाहित ऊष्मा $Q = \frac{K A (T_1 - T_2) t}{L}$ है。
दोनों को बराबर करने पर, $\frac{K A (T_1 - T_2) t}{L} = m L_f$ प्राप्त होता है。
ऊष्मीय चालकता $K$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $K = \frac{m L_f L}{A (T_1 - T_2) t}$。
दिए गए मान: $m = 4.8\, kg$, $L_f = 3.36 \times 10^5\, J/kg$, $L = 0.1\, m$, $A = 0.36\, m^2$, $(T_1 - T_2) = 100^{\circ} C$, और $t = 1\, \text{घंटा} = 3600\, s$。
मान रखने पर: $K = \frac{4.8 \times 3.36 \times 10^5 \times 0.1}{0.36 \times 100 \times 3600}$。
$K = \frac{4.8 \times 3.36 \times 10^4}{0.36 \times 3.6 \times 10^5} = 1.24\, J/m/s/^{\circ} C$。

(B) जब हम किसी सतह को छूते हैं,तो यदि सतह का तापमान हमारे शरीर के तापमान से कम होता है,तो ऊष्मा हमारे शरीर से सतह की ओर प्रवाहित होती है।
ऊष्मीय चालकता किसी पदार्थ की ऊष्मा का संचालन करने की क्षमता का माप है।
धातुएं ऊष्मा की सुचालक होती हैं,जिसका अर्थ है कि उनकी ऊष्मीय चालकता बहुत अधिक होती है,जबकि लकड़ी एक कुचालक है जिसकी ऊष्मीय चालकता बहुत कम होती है।
ठंडी सुबह में,दोनों सतहें एक ही तापमान (शरीर के तापमान से कम) पर होती हैं।
चूंकि धातु की ऊष्मीय चालकता बहुत अधिक होती है,इसलिए यह लकड़ी की तुलना में हमारे हाथ से ऊष्मा को बहुत तेजी से खींच लेती है।
हमारी त्वचा से ऊष्मा की इस तीव्र हानि के कारण धातु की सतह छूने पर अधिक ठंडी महसूस होती है।

(A) खाना पकाने के बर्तन को अंदर रखे भोजन में कुशलतापूर्वक ऊष्मा स्थानांतरित करनी चाहिए,जिसके लिए उच्च ऊष्मीय चालकता $(K)$ की आवश्यकता होती है।
इसके अतिरिक्त,बर्तन को स्वयं आवश्यक तापमान तक पहुँचने के लिए अधिक ऊष्मा का अवशोषण नहीं करना चाहिए,जिसके लिए कम विशिष्ट ऊष्मा $(S)$ की आवश्यकता होती है।
यदि विशिष्ट ऊष्मा अधिक होगी,तो बर्तन भोजन के बजाय खुद को गर्म करने में अधिक ऊर्जा खर्च करेगा,जिससे खाना पकाने की प्रक्रिया की समग्र दक्षता कम हो जाएगी।
इसलिए,खाना पकाने के बर्तन के लिए आदर्श सामग्री में उच्च $K$ और निम्न $S$ होनी चाहिए।

(B) ऊष्मा चालन की दर $Q$ का सूत्र है: $Q = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$।
यहाँ,$K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $L$ छड़ की लंबाई है।
चूंकि छड़ बेलनाकार है,क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है। यदि सभी आयामों (त्रिज्या $r$ और लंबाई $L$) को दोगुना कर दिया जाए,तो नई त्रिज्या $r' = 2r$ और नई लंबाई $L' = 2L$ होगी।
नया क्षेत्रफल $A' = \pi (r')^2 = \pi (2r)^2 = 4\pi r^2 = 4A$ होगा।
ऊष्मा चालन की नई दर $Q_2$ है: $Q_2 = \frac{KA'(T_1 - T_2)}{L'} = \frac{K(4A)(T_1 - T_2)}{2L} = 2 \times \frac{KA(T_1 - T_2)}{L} = 2 Q_1$।
अतः,$Q_2 = 2 Q_1$।

(A) $Ingen-Hauz$ प्रयोग में,वह लंबाई $l$ जहाँ तक छड़ पर मोम पिघलता है,उसकी ऊष्मीय चालकता $K$ से $l \propto \sqrt{K}$ संबंध द्वारा जुड़ी होती है।
इसका अर्थ है कि $K \propto l^2$.
अतः,ऊष्मीय चालकता का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \left( \frac{l_1}{l_2} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान $l_1 = 10 \ cm$ और $l_2 = 25 \ cm$ रखने पर:
$\frac{K_1}{K_2} = \left( \frac{10}{25} \right)^2 = \frac{100}{625} = \frac{1}{6.25}$.
इस प्रकार,अनुपात $1 : 6.25$ है।

(A) बर्फ के द्रव्यमान $m$ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = mL_f$ है,जहाँ $L_f$ गलन की गुप्त ऊष्मा है।
चूंकि दोनों पात्रों में बर्फ का द्रव्यमान समान है,इसलिए बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q$ दोनों के लिए समान होगी।
दीवार के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(\Delta T)}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है,$\Delta T$ तापमान का अंतर है,और $d$ मोटाई है।
समय $t$ में स्थानांतरित कुल ऊष्मा $Q = Ht = \frac{KA(\Delta T)t}{d}$ है।
चूंकि $Q, A, \Delta T$ और $d$ दोनों पात्रों के लिए समान हैं,इसलिए $K_1 t_1 = K_2 t_2$ होगा।
अतः,ऊष्मीय चालकता का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{t_2}{t_1}$ है।
दिया गया है कि $t_1 = 10 \text{ min}$ और $t_2 = 25 \text{ min}$,इसलिए $\frac{K_1}{K_2} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.

(B) छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ का सूत्र है:
$H = \frac{KA \Delta T}{L}$
जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta T$ तापमान का अंतर है,और $L$ छड़ की लंबाई है।
यह दिया गया है कि दोनों छड़ों के लिए ऊष्मा प्रवाह की दर समान है $(H_1 = H_2)$,लंबाई समान है $(L_1 = L_2 = L)$,और तापमान का अंतर भी समान है $(\Delta T_1 = \Delta T_2 = \Delta T)$।
ऊष्मा प्रवाह की दरों को बराबर करने पर:
$\frac{K_1 A_1 \Delta T}{L} = \frac{K_2 A_2 \Delta T}{L}$
दोनों पक्षों से समान पदों $\Delta T$ और $L$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$K_1 A_1 = K_2 A_2$
अतः,आवश्यक स्थिति $K_1 A_1 = K_2 A_2$ है।

(C) $x$ मोटाई की बर्फ बनने की दर इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{dx}{dt} = \frac{K\theta}{\rho L x}$, जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है, $\theta$ तापमान का अंतर है, $\rho$ बर्फ का घनत्व है और $L$ गलन की गुप्त ऊष्मा है。
इसका समाकलन करने पर, $x$ मोटाई की बर्फ बनने में लगा समय $t = \frac{\rho L}{2K\theta} x^2$ प्राप्त होता है。
पहली $1 \ cm$ $(x_1 = 1 \ cm)$ बर्फ के लिए लगा समय $t_1 = 7 \ \text{घंटे}$ है。
अतः, $7 = \frac{\rho L}{2K\theta} (1)^2 \implies \frac{\rho L}{2K\theta} = 7$.
अब, $2 \ cm$ $(x_2 = 2 \ cm)$ की मोटाई तक पहुँचने के लिए आवश्यक कुल समय $t_2 = \frac{\rho L}{2K\theta} (2)^2 = 7 \times 4 = 28 \ \text{घंटे}$ होगा。
अतः, बर्फ की मोटाई $1 \ cm$ से $2 \ cm$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक अतिरिक्त समय $\Delta t = t_2 - t_1 = 28 - 7 = 21 \ \text{घंटे}$ होगा。

(C) प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{dQ}{dt} = KA \frac{d\theta}{dx}$.
यहाँ,$\frac{dQ/dt}{A}$ ऊष्मा फ्लक्स है,जो $10 \ cal/s \cdot cm^2$ दिया गया है।
ऊष्मीय चालकता $K = 0.5 \ cal/cm \cdot s \cdot ^\circ C$ है।
ताप प्रवणता $\frac{d\theta}{dx}$ है।
सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{d\theta}{dx} = \frac{(dQ/dt)/A}{K}$.
मान रखने पर: $\frac{d\theta}{dx} = \frac{10}{0.5} = 20 \ ^\circ C/cm$.

(C) ऊष्मा प्रवाह की दर (ऊष्मा फ्लक्स) का सूत्र है: $H = \frac{KA \Delta \theta}{\ell}$.
दिया गया है:
ऊष्मा फ्लक्स $H = 4000 \, J/s = 4000 \, W$.
लंबाई $\ell = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
क्षेत्रफल $A = 100 \, cm^2 = 100 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-2} \, m^2$.
ऊष्मीय चालकता $K = 400 \, W/m^{\circ}C$.
तापमान अंतर $\Delta \theta$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\Delta \theta = \frac{H \times \ell}{K \times A}$.
मान रखने पर:
$\Delta \theta = \frac{4000 \times 0.1}{400 \times 10^{-2}} = \frac{400}{4} = 100^{\circ}C$.
अतः,तापमान का अंतर $100^{\circ}C$ है।

(B) $m$ द्रव्यमान की बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = mL_f$ है।
ऊष्मीय चालन के नियम के अनुसार,पात्र की दीवार से स्थानांतरित ऊष्मा $Q = \frac{KA(\Delta \theta)t}{d}$ है।
चूंकि दोनों पात्रों के लिए बर्फ का द्रव्यमान,सतह का क्षेत्रफल $A$,मोटाई $d$ और तापमान का अंतर $\Delta \theta$ समान है,इसलिए ऊष्मा $Q$ स्थिर रहती है।
अतः,$K_1 t_1 = K_2 t_2$।
इसका अर्थ है $\frac{K_1}{K_2} = \frac{t_2}{t_1}$।
यहाँ $t_1 = 20 \text{ min}$ और $t_2 = 35 \text{ min}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{K_1}{K_2} = \frac{35}{20} = \frac{7}{4}$ होगा।

(C) गोलाकार कवच को $dr$ मोटाई और $r$ त्रिज्या वाली कई पतली संकेंद्रित गोलाकार परतों से बना माना जा सकता है।
$r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाली एक पतली परत के लिए,तापमान प्रवणता $-dT/dr$ है।
इस पतली परत का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ है।
इस परत से गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह दर $\frac{dQ}{dt} = -kA \frac{dT}{dr} = -k(4\pi r^2) \frac{dT}{dr}$ द्वारा दी जाती है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $dT = -\frac{dQ/dt}{4\pi k} \frac{dr}{r^2}$ प्राप्त होता है।
$r_1$ से $r_2$ तक तापमान $T_1$ से $T_2$ के लिए समाकलन करने पर:
$\int_{T_1}^{T_2} dT = -\frac{dQ/dt}{4\pi k} \int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r^2}$.
$T_2 - T_1 = -\frac{dQ/dt}{4\pi k} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_1}^{r_2} = \frac{dQ/dt}{4\pi k} \left[ \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right]$.
$T_1 - T_2 = \frac{dQ/dt}{4\pi k} \left[ \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right]$.
अतः,ऊष्मा प्रवाह दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{4\pi k(T_1 - T_2)}{\left[ \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right]}$ है।

(A) बेलनाकार सतह से ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{Q}{t} = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,सतह का क्षेत्रफल $A = 2\pi r l = 2 \times \pi \times 0.1 \times 2 = 0.4\pi \, m^2$ है।
दिया गया है: $K = 390 \, W m^{-1} K^{-1}$,$T_1 = 373 \, K$,$T_2 = 273 \, K$,$L = 5 \, mm = 0.005 \, m$,और $t = 1 \, s$।
मान रखने पर:
$Q = \frac{390 \times 0.4\pi \times (373 - 273) \times 1}{0.005}$
$Q = \frac{390 \times 0.4 \times 3.14159 \times 100}{0.005}$
$Q = \frac{156 \times 3.14159 \times 100}{0.005} \approx 98 \times 10^5 \, J$.

(B) स्थिर अवस्था में,दोनों परतों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है।
मान लीजिए $A$ की ऊष्मीय चालकता $K_A = 2K$ है और $B$ की ऊष्मीय चालकता $K_B = K$ है।
मान लीजिए प्रत्येक परत की मोटाई $x$ है और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA \Delta T}{x}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि परतें श्रेणीक्रम में हैं,ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ स्थिर रहती है:
$H = \frac{K_A A \Delta T_A}{x} = \frac{K_B A \Delta T_B}{x}$
मान रखने पर: $\frac{2K A \Delta T_A}{x} = \frac{K A \Delta T_B}{x} \Rightarrow 2 \Delta T_A = \Delta T_B$.
कुल तापमान अंतर $\Delta T_A + \Delta T_B = 36 ^\circ C$ दिया गया है।
समीकरण में $\Delta T_B = 2 \Delta T_A$ रखने पर: $\Delta T_A + 2 \Delta T_A = 36 ^\circ C$.
$3 \Delta T_A = 36 ^\circ C \Rightarrow \Delta T_A = 12 ^\circ C$.

(A) स्थायी अवस्था में,दोनों प्लेटों से गुजरने वाली ऊष्मा की दर समान होती है।
$\frac{Q}{t} = \frac{K_1 A (\theta - \theta_1)}{L_1} = \frac{K_2 A (\theta_2 - \theta)}{L_2}$
दिया गया है: $\theta_1 = -20^{\circ}C$,$\theta_2 = 20^{\circ}C$,$L_1 = 2 \ cm$,$L_2 = 5 \ cm$,और $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{5}$.
मान लीजिए कि संपर्क सतह का तापमान $\theta$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{K_1}{L_1} (\theta - (-20)) = \frac{K_2}{L_2} (20 - \theta)$
$\frac{K_1}{K_2} \cdot \frac{L_2}{L_1} = \frac{20 - \theta}{\theta + 20}$
$\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{20 - \theta}{\theta + 20}$
$1 = \frac{20 - \theta}{\theta + 20}$
$\theta + 20 = 20 - \theta$
$2\theta = 0$
$\theta = 0^{\circ}C$.

(A) माना उभयनिष्ठ सतह का तापमान $T$ है।
स्थिर अवस्था में,दोनों दीवारों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए।
$\frac{k_1 A (T_1 - T)}{d_1} = \frac{k_2 A (T - T_2)}{d_2}$
$\frac{k_1 (T_1 - T)}{d_1} = \frac{k_2 (T - T_2)}{d_2}$
$k_1 d_2 (T_1 - T) = k_2 d_1 (T - T_2)$
$k_1 d_2 T_1 - k_1 d_2 T = k_2 d_1 T - k_2 d_1 T_2$
$k_1 d_2 T_1 + k_2 d_1 T_2 = T (k_1 d_2 + k_2 d_1)$
$T = \frac{k_1 T_1 d_2 + k_2 T_2 d_1}{k_1 d_2 + k_2 d_1}$

(C) मान लीजिए स्टील की ऊष्मीय चालकता $K_s = K$ है। तो तांबे की ऊष्मीय चालकता $K_{cu} = 9K$ होगी।
तांबे की छड़ की लंबाई $L_{cu} = 18 \ cm$ और स्टील की छड़ की लंबाई $L_s = 6 \ cm$ है।
सिरों पर तापमान $T_1 = 100 \ ^oC$ और $T_2 = 0 \ ^oC$ हैं।
स्थिर अवस्था में,दोनों छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है:
$\frac{K_{cu} A (T_1 - T)}{L_{cu}} = \frac{K_s A (T - T_2)}{L_s}$
जहाँ $T$ जंक्शन का तापमान है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
मान रखने पर:
$\frac{9K (100 - T)}{18} = \frac{K (T - 0)}{6}$
$\frac{100 - T}{2} = T$
$100 - T = 2T$
$3T = 100$
$T = \frac{100}{3} \approx 33.33 \ ^oC$.

(C) स्थायी अवस्था में,दोनों छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए।
माना जंक्शन का तापमान $\phi$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
पहली छड़ के लिए: $H_1 = \frac{K A (\phi - 0)}{1}$।
दूसरी छड़ के लिए: $H_2 = \frac{(3K) A (100 - \phi)}{2}$।
चूंकि $H_1 = H_2$:
$\frac{KA\phi}{1} = \frac{3KA(100 - \phi)}{2}$
$\phi = \frac{3}{2}(100 - \phi)$
$2\phi = 300 - 3\phi$
$5\phi = 300$
$\phi = 60^{\circ}C$।

(B) स्थायी अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी प्लेटों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है।
माना $A$ क्षेत्रफल है,$k_1, k_2$ ऊष्मीय चालकताएँ हैं,और $d_1, d_2$ मोटाई हैं।
दिया गया है: $d_1/d_2 = 2/3$ और $k_1/k_2 = 2/3$।
माना $k_1 = 2k, k_2 = 3k$ और $d_1 = 2d, d_2 = 3d$।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_H - T_L)}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों प्लेटों के लिए ऊष्मा प्रवाह की दर को बराबर करने पर:
$\frac{k_1 A (100 - T_0)}{d_1} = \frac{k_2 A (T_0 - 0)}{d_2}$
मान रखने पर:
$\frac{(2k) A (100 - T_0)}{2d} = \frac{(3k) A (T_0 - 0)}{3d}$
$k \frac{A}{d} (100 - T_0) = k \frac{A}{d} (T_0)$
$100 - T_0 = T_0$
$2T_0 = 100$
$T_0 = 50 ^\circ C$।

(D) स्थिर अवस्था में,घन $A$ से गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर,घन $B$ से गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर के बराबर होनी चाहिए।
मान लीजिए $K_A = 300 \, W/m \, ^\circ C$,$K_B = 200 \, W/m \, ^\circ C$,$L_A = L_B = L$,और $A_A = A_B = A$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों के लिए ऊष्मा प्रवाह की दरों को बराबर करने पर: $\frac{K_A A (100 - t)}{L} = \frac{K_B A (t - 0)}{L}$।
$300(100 - t) = 200(t)$।
$3(100 - t) = 2t$।
$300 - 3t = 2t$।
$5t = 300$।
$t = 60 \, ^\circ C$।

(D) ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta \theta}{L}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $K = 0.01 \, J/(m \cdot s \cdot ^\circ C)$,$A = 1 \, m^2$,$L = 5.0 \, cm = 0.05 \, m$,$\Delta \theta = 30 \, ^\circ C - 0 \, ^\circ C = 30 \, ^\circ C$.
$\frac{dQ}{dt} = \frac{0.01 \times 1 \times 30}{0.05} = 6 \, J/s$.
एक दिन में $(t = 86400 \, s)$ स्थानांतरित कुल ऊष्मा: $Q = \frac{dQ}{dt} \times t = 6 \times 86400 = 518400 \, J$.
पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान $m = \frac{Q}{L_f}$,जहाँ $L_f = 334 \times 10^3 \, J/kg$.
$m = \frac{518400}{334000} \approx 1.552 \, kg$.

(D) ऊष्मा प्रवाह की दर $Q = \frac{kA(T_1 - T_2)t}{l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Q$ बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा है,$k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है,$l$ मोटाई है और $t$ समय है।
चूँकि $Q = mL = \rho V L$,और $V = 4\pi r^2 l$,इसलिए $Q \propto r^2 l$ होता है।
ऊष्मा प्रवाह की तुलना करने पर: $k \frac{r^2}{l} \Delta T t \propto r^2 l$.
अतः,$k \propto \frac{l^2}{t}$।
दिया गया है कि $r_l = 2r_s$,$l_l = \frac{l_s}{4}$,$t_l = 25 \ min$,और $t_s = 16 \ min$।
अनुपात $\frac{k_l}{k_s} = \left( \frac{l_l}{l_s} \right)^2 \times \frac{t_s}{t_l} = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \times \frac{16}{25} = \frac{1}{16} \times \frac{16}{25} = \frac{1}{25}$।

(D) स्थायी अवस्था में,ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{Q}{t}$ दोनों परतों के लिए समान होती है।
$\frac{Q}{t} = \frac{K_A A (\theta_1 - \theta)}{L} = \frac{K_B A (\theta - \theta_2)}{L}$
चूंकि क्षेत्रफल $A$ और मोटाई $L$ दोनों परतों के लिए समान हैं,इसलिए:
$K_A (\theta_1 - \theta) = K_B (\theta - \theta_2)$
दिया गया है कि $K_A = 3 K_B$,इसलिए:
$3 K_B (\theta_1 - \theta) = K_B (\theta - \theta_2)$
$3(\theta_1 - \theta) = (\theta - \theta_2)$
मान लीजिए $\Delta T_A = (\theta_1 - \theta)$ और $\Delta T_B = (\theta - \theta_2)$ है।
अतः $3 \Delta T_A = \Delta T_B$ होगा।
कुल तापमान अंतर $\Delta T_A + \Delta T_B = 20^{\circ}C$ दिया गया है।
$\Delta T_B = 3 \Delta T_A$ का मान रखने पर:
$\Delta T_A + 3 \Delta T_A = 20^{\circ}C$
$4 \Delta T_A = 20^{\circ}C$
$\Delta T_A = 5^{\circ}C$.

(A) छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर (ऊष्मा धारा) का सूत्र है: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA\Delta \theta}{\ell}$.
दोनों छड़ों के लिए,ऊष्मीय चालकता $K$,अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ और तापमान का अंतर $\Delta \theta$ समान है।
अतः,ऊष्मा धारा छड़ की लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\frac{dQ}{dt} \propto \frac{1}{\ell}$.
सीधी छड़ की लंबाई $\ell_{straight} = 2r$ है,जहाँ $r$ अर्धवृत्त की त्रिज्या है।
अर्धवृत्ताकार छड़ की लंबाई $\ell_{semi} = \pi r$ है।
इस प्रकार,अर्धवृत्ताकार छड़ में ऊष्मा धारा और सीधी छड़ में ऊष्मा धारा का अनुपात है:
$\frac{(dQ/dt)_{semi}}{(dQ/dt)_{straight}} = \frac{\ell_{straight}}{\ell_{semi}} = \frac{2r}{\pi r} = \frac{2}{\pi}$.

(C) त्रिज्या $x$ और मोटाई $dx$ के गोलीय कवच से ऊष्मा प्रवाह की दर $H$,फूरियर के ऊष्मा चालन नियम के अनुसार इस प्रकार है:
$H = -KA \frac{d\theta}{dx}$
जहाँ $A = 4\pi x^2$ त्रिज्या $x$ पर गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
अतः,$H = -K(4\pi x^2) \frac{d\theta}{dx}$
समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dx}{x^2} = -\frac{4\pi K}{H} d\theta$
$r_1$ से $r_2$ और $T_1$ से $T_2$ की सीमाओं के बीच समाकलन करने पर:
$\int_{r_1}^{r_2} \frac{dx}{x^2} = -\frac{4\pi K}{H} \int_{T_1}^{T_2} d\theta$
$-\left[\frac{1}{x}\right]_{r_1}^{r_2} = -\frac{4\pi K}{H} (T_2 - T_1)$
$-\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right) = \frac{4\pi K}{H} (T_1 - T_2)$
$\frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2} = \frac{4\pi K (T_1 - T_2)}{H}$
$H = \frac{4\pi K (T_1 - T_2) r_1 r_2}{r_2 - r_1}$
इस प्रकार,ऊष्मा प्रवाह की दर $H$,$\frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1}$ के समानुपाती है।

(C) दिया गया है: ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{Q}{t} = 0.5 \ cal \ s^{-1}$, त्रिज्या $r = 1 \ cm$, लंबाई $L = 2 \ m = 200 \ cm$, तापमान $T_1 = 250 \ ^oC$, ऊष्मीय चालकता $K = 0.26 \text{ cal s}^{-1} \text{ cm}^{-1} \text{ } ^\circ\text{C}^{-1}$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.142 \times (1)^2 = 3.142 \ cm^2$.
स्थिर अवस्था में ऊष्मा चालन का सूत्र $\frac{Q}{t} = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ है।
तापमान अंतर के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $(T_1 - T_2) = \frac{(Q/t) \times L}{KA}$.
मान रखने पर: $(T_1 - T_2) = \frac{0.5 \times 200}{0.26 \times 3.142} = \frac{100}{0.81692} \approx 122.4 \ ^oC$.
अतः, दूसरे सिरे का तापमान $T_2 = T_1 - 122.4 \ ^oC = 250 \ ^oC - 122.4 \ ^oC = 127.6 \ ^oC$.

(B) ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(T_2 - T_1)}{dx}$
दिया गया है:
ऊष्मीय चालकता $K = 0.2 \ W/(m \cdot K)$
क्षेत्रफल $A = 10 \ m^2$
तापमान का अंतर $dT = 40^{\circ}C - 20^{\circ}C = 20^{\circ}C$
मोटाई $dx = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{0.2 \times 10 \times 20}{2 \times 10^{-3}}$
$\frac{dQ}{dt} = \frac{40}{2 \times 10^{-3}} = 20 \times 10^3 = 2 \times 10^4 \ J/s$
अतः,प्रति सेकंड प्रवाहित होने वाली ऊष्मा $2 \times 10^4 \ J$ है।

(D) ऊष्मा प्रवाह की दर $Q = \frac{KA(T_1 - T_2)t}{L}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
तार और सीमेंट इन्सुलेशन के माध्यम से समान ऊष्मा प्रवाह दर $Q$ के लिए,यदि क्षेत्रफल $A$,तापमान का अंतर $(T_1 - T_2)$ और समय $t$ स्थिर हैं,तो दोनों सामग्रियों के लिए $\frac{K}{L}$ का अनुपात समान होना चाहिए।
मान लीजिए $K_1 = 1.7 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$ और $L_1 = 20 \ cm$ क्रमशः तार की ऊष्मीय चालकता और मोटाई हैं।
मान लीजिए $K_2 = 2.9 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$ और $L_2$ सीमेंट इन्सुलेशन की ऊष्मीय चालकता और मोटाई हैं।
अनुपातों की तुलना करने पर: $\frac{K_1}{L_1} = \frac{K_2}{L_2}$.
मान रखने पर: $\frac{1.7}{20} = \frac{2.9}{L_2}$.
$L_2$ के लिए हल करने पर: $L_2 = \frac{2.9 \times 20}{1.7} = \frac{58}{1.7} \approx 34.12 \ cm$.

(A) माना पहली प्लेट की मोटाई $x_1 = 2$ और दूसरी प्लेट की मोटाई $x_2 = 3$ है। संपर्क सतह का तापमान $\theta$ है। श्रेणीक्रम में जुड़ी दोनों प्लेटों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होगी: $\frac{dQ}{dt} = \frac{K_1 A (T_1 - \theta)}{x_1} = \frac{K_2 A (\theta - T_2)}{x_2}$.
$(a)$ यदि वे समान पदार्थ की हैं,तो $K_1 = K_2 = K$। स्थायी अवस्था में: $\frac{K A (\theta - (-25))}{2} = \frac{K A (25 - \theta)}{3}$.
$3(\theta + 25) = 2(25 - \theta) \Rightarrow 3\theta + 75 = 50 - 2\theta \Rightarrow 5\theta = -25 \Rightarrow \theta = -5^{\circ}C$.
$(b)$ यदि ऊष्मीय चालकता का अनुपात $K_1 : K_2 = 2 : 3$ है,तो $\frac{2 A (\theta + 25)}{2} = \frac{3 A (25 - \theta)}{3}$.
$\theta + 25 = 25 - \theta \Rightarrow 2\theta = 0 \Rightarrow \theta = 0^{\circ}C$.

(D) खाना पकाने के बर्तन के लिए हमें दो गुणों की आवश्यकता होती है:
$1$. उच्च ऊष्मीय चालकता: यह चूल्हे की गर्मी को बर्तन के अंदर रखे भोजन तक जल्दी और समान रूप से स्थानांतरित करने की अनुमति देता है।
$2$. कम विशिष्ट ऊष्मा धारिता: यह सुनिश्चित करता है कि गर्मी दिए जाने पर बर्तन का तापमान तेजी से बढ़े,जिससे खाना पकाना कुशल हो सके।
इसलिए,धातुएं आदर्श हैं क्योंकि उनकी ऊष्मीय चालकता अधिक और विशिष्ट ऊष्मा धारिता कम होती है।

(B) ठंड या गर्मी का अनुभव इस बात पर निर्भर करता है कि हमारे शरीर और वस्तु के बीच ऊष्मा किस दर से स्थानांतरित हो रही है।
धातु ऊष्मा की सुचालक होती है,जबकि लकड़ी ऊष्मा की कुचालक (अचालक) होती है।
जब हम धातु की सतह को छूते हैं,तो यह हमारे शरीर से तेजी से ऊष्मा का चालन करती है,जिससे ऊष्मा की हानि अधिक होती है और हमें ठंडक महसूस होती है।
इसके विपरीत,लकड़ी शरीर से ऊष्मा का उतनी कुशलता से चालन नहीं करती है,इसलिए यह अपेक्षाकृत गर्म महसूस होती है।
अतः,सही कारण यह है कि धातु की ऊष्मीय चालकता लकड़ी की तुलना में अधिक होती है।

(B) ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{Q}{t} = kA \frac{\Delta T}{L}$
दिया गया है: $\frac{Q}{t} = 6000 \ J/s$,$L = 1 \ m$,$A = 0.75 \ m^2$,और $k = 200 \ J/(m \cdot K)$.
सूत्र में मान रखने पर:
$6000 = 200 \times 0.75 \times \frac{\Delta T}{1}$
$6000 = 150 \times \Delta T$
$\Delta T = \frac{6000}{150} = 40 \ ^\circ C$
अतः,सिरों के बीच तापमान का अंतर $40 \ ^\circ C$ है।

(C) ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta \theta}{l}$.
दिया गया है:
लंबाई $l = 10 \, cm = 0.1 \, m$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 100 \, cm^2 = 100 \times 10^{-4} \, m^2 = 0.01 \, m^2$
ऊष्मीय चालकता $K = 400 \, W/m^\circ C$
ऊष्मा प्रवाह $\frac{dQ}{dt} = 4000 \, J/s$
तापमान अंतर $\Delta \theta$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\Delta \theta = \frac{(\frac{dQ}{dt}) \times l}{K \times A}$
मान रखने पर:
$\Delta \theta = \frac{4000 \times 0.1}{400 \times 0.01}$
$\Delta \theta = \frac{400}{4} = 100^\circ C$.

(C) प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{dQ/dt}{A} = K \left( \frac{\Delta \theta}{\Delta x} \right) = K \cdot X$,जहाँ $X$ ताप प्रवणता है।
चूंकि प्रति इकाई समय में प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊष्मा प्रवाह स्थिर है,इसलिए $K \cdot X = \text{स्थिरांक}$ होगा।
अतः,$X \propto \frac{1}{K}$।
दी गई ऊष्मीय चालकता का क्रम $K_c > K_m > K_g$ है,इसलिए व्युत्क्रमानुपाती संबंध के अनुसार ताप प्रवणता का क्रम $X_c < X_m < X_g$ होगा।

(C) दिया गया है: तांबे की ऊष्मीय चालकता $K_1 = 9K_2$,जहाँ $K_2$ स्टील की ऊष्मीय चालकता है।
तांबे की छड़ की लंबाई $l_1 = 18 \, cm$,स्टील की छड़ की लंबाई $l_2 = 6 \, cm$ है।
सिरों पर तापमान $\theta_1 = 100^oC$ और $\theta_2 = 0^oC$ है।
स्थिर अवस्था में,दोनों छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है:
$\frac{K_1 A (\theta_1 - \theta)}{l_1} = \frac{K_2 A (\theta - \theta_2)}{l_2}$
मान रखने पर:
$\frac{9K_2 (100 - \theta)}{18} = \frac{K_2 (\theta - 0)}{6}$
$\frac{100 - \theta}{2} = \theta$
$100 - \theta = 2\theta$
$3\theta = 100$
$\theta = \frac{100}{3} \approx 33.33^oC$.

(C) ऐसी प्रणाली के लिए जहाँ ऊष्मा इंटरफ़ेस के समानांतर प्रवाहित होती है (जैसा कि इस संयुक्त बेलन में है),समतुल्य ऊष्मीय चालकता $K$ उनके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के आधार पर भारित औसत द्वारा दी जाती है:
$K = \frac{K_1 A_1 + K_2 A_2}{A_1 + A_2}$
यहाँ,आंतरिक बेलन की त्रिज्या $R$ है,इसलिए इसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है:
$A_1 = \pi R^2$
बाहरी खोखले बेलन की बाहरी त्रिज्या $2R$ और आंतरिक त्रिज्या $R$ है,इसलिए इसका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है:
$A_2 = \pi (2R)^2 - \pi R^2 = 4\pi R^2 - \pi R^2 = 3\pi R^2$
कुल क्षेत्रफल है:
$A_{total} = A_1 + A_2 = \pi R^2 + 3\pi R^2 = 4\pi R^2$
इन मानों को $K$ के सूत्र में रखने पर:
$K = \frac{K_1(\pi R^2) + K_2(3\pi R^2)}{4\pi R^2}$
$K = \frac{\pi R^2(K_1 + 3K_2)}{4\pi R^2}$
$K = \frac{K_1 + 3K_2}{4}$

(B) छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA \Delta T}{l}$ द्वारा दी जाती है।
मोम के समान दर पर पिघलने के लिए,दोनों छड़ों के लिए ऊष्मा प्रवाह $H$ समान होना चाहिए।
समान अनुप्रस्थ काट वाली छड़ों के लिए,मोम के पिघलने की दर $K \propto l^2$ के संबंध पर निर्भर करती है।
अतः,$\frac{l_1}{l_2} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}}$।
यहाँ $\frac{K_1}{K_2} = \frac{10}{9}$ दिया गया है।
इसलिए,$\frac{l_1}{l_2} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3}$।

(C) स्थिर अवस्था में,छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर एक चालक में विद्युत धारा के प्रवाह के समान होती है,जहाँ तापमान का अंतर विभवांतर के अनुरूप होता है और ऊष्मीय प्रतिरोध विद्युत प्रतिरोध के अनुरूप होता है।
ऊष्मा स्थानांतरण की दर $\frac{dQ}{dt}$ का सूत्र फूरियर के ऊष्मा चालन नियम द्वारा दिया जाता है:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_1 - T_2)}{L}$
यहाँ,$k$ छड़ के पदार्थ की ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$L$ छड़ की लंबाई है,और $(T_1 - T_2)$ दोनों सिरों के बीच का तापमान अंतर है।

(B) $L$ लंबाई और $A = \pi R^2$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली बेलनाकार छड़ से $t$ समय में प्रवाहित ऊष्मा $Q = \frac{KA(T_1 - T_2)t}{L}$ द्वारा दी जाती है।
जब छड़ को पिघलाकर $R' = R/2$ त्रिज्या की नई छड़ बनाई जाती है,तो नया क्षेत्रफल $A' = \pi (R/2)^2 = A/4$ हो जाता है।
चूंकि आयतन $V = AL$ स्थिर रहता है,इसलिए $AL = A'L'$ होगा।
$A' = A/4$ रखने पर,$AL = (A/4)L'$,जिसका अर्थ है $L' = 4L$।
उसी $t$ समय में नई छड़ द्वारा चालित ऊष्मा $Q' = \frac{KA'(T_1 - T_2)t}{L'}$ है।
$A'$ और $L'$ के मान रखने पर:
$Q' = \frac{K(A/4)(T_1 - T_2)t}{4L} = \frac{1}{16} \left( \frac{KA(T_1 - T_2)t}{L} \right) = \frac{Q}{16}$।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ की लंबाई $L$ है।
छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ का सूत्र $H = \frac{K A \Delta T}{L}$ है।
छड़ $1$ के लिए,ऊष्मा प्रवाह की दर $H_1 = \frac{K_1 A_1 \Delta T}{L}$ है।
छड़ $2$ के लिए,ऊष्मा प्रवाह की दर $H_2 = \frac{K_2 A_2 \Delta T}{L}$ है।
प्रश्न के अनुसार,छड़ $1$ में ऊष्मा चालन की दर छड़ $2$ की तुलना में चार गुना है,इसलिए $H_1 = 4 H_2$ है।
$H_1$ और $H_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{K_1 A_1 \Delta T}{L} = 4 \left( \frac{K_2 A_2 \Delta T}{L} \right)$.
दोनों पक्षों से समान पदों $\frac{\Delta T}{L}$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$K_1 A_1 = 4 K_2 A_2$.

(D) धातु की छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ का सूत्र $H = \frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_2 - T_1)}{L}$ है,जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$L$ लंबाई है,और $(T_2 - T_1)$ तापमान का अंतर है।
पहले मामले में,तापमान का अंतर $\Delta T_1 = 110 ^\circ C - 100 ^\circ C = 10 ^\circ C$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H_1 = 4.0 \ J/s$ है।
दूसरे मामले में,तापमान का अंतर $\Delta T_2 = 210 ^\circ C - 200 ^\circ C = 10 ^\circ C$ है।
चूंकि ऊष्मा प्रवाह की दर तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है $(H \propto \Delta T)$,और दोनों स्थितियों में तापमान का अंतर समान $(10 ^\circ C)$ है,इसलिए ऊष्मा प्रवाह की दर अपरिवर्तित रहेगी।
अतः,$H_2 = H_1 = 4.0 \ J/s$ होगा।

(A) छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(\Delta \theta)}{l}$
यह दिया गया है कि ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt}$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ दोनों छड़ों के लिए समान है,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$\frac{K_A \Delta \theta_A}{l_A} = \frac{K_B \Delta \theta_B}{l_B}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$l_A = 40\, cm$,$\Delta \theta_A = 80^\circ C$
$l_B = 60\, cm$,$\Delta \theta_B = 90^\circ C$
$\frac{K_A \times 80}{40} = \frac{K_B \times 90}{60}$
$2 K_A = 1.5 K_B$
$\frac{K_A}{K_B} = \frac{1.5}{2} = \frac{3}{4}$
अतः,उनकी ऊष्मीय चालकता का अनुपात $3:4$ है।

(D) किसी पदार्थ से ऊष्मा प्रवाह की दर $Q/t$ को सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{Q}{t} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{l}$.
चूंकि बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = mL$ है,हम लिख सकते हैं: $\frac{mL}{t} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{l}$.
यह देखते हुए कि बर्तन आकार में समान हैं ($A$ और $l$ स्थिर हैं) और बर्फ की मात्रा $(m)$ समान है,ऊष्मीय चालकता $K$ बर्फ को पिघलाने में लगने वाले समय $t$ के व्युत्क्रमानुपाती है: $K \propto \frac{1}{t}$.
इसलिए,ऊष्मीय चालकता का अनुपात है: $\frac{K_1}{K_2} = \frac{t_2}{t_1}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर ($t_1 = 20$ मिनट,$t_2 = 40$ मिनट): $\frac{K_1}{K_2} = \frac{40}{20} = \frac{2}{1}$.

(B) ऊष्मा प्रवाह की दर $Q = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)t}{l}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि टुकड़ा घनाकार है और क्षेत्रफल $A = 4 \text{ cm}^2$ है,भुजा की लंबाई $l = \sqrt{A} = \sqrt{4} = 2 \text{ cm}$ होगी।
बर्फ के $m$ द्रव्यमान को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = mL$ है,जहाँ $L = 80 \text{ cal/g}$ बर्फ की गलन की गुप्त ऊष्मा है।
दोनों को बराबर करने पर,$mL = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)t}{l}$।
मान रखने पर: $m \times 80 = \frac{0.2 \times 4 \times (100 - 0) \times (10 \times 60)}{2}$।
$m \times 80 = 0.2 \times 4 \times 100 \times 600 / 2$।
$m \times 80 = 0.8 \times 100 \times 300 = 24000$।
$m = 24000 / 80 = 300 \text{ gm}$।

(B) ऊष्मा प्रवाह की दर (प्रति सेकंड ऊष्मा) सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{Q}{t} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{l}$.
दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 10\;m^2$
मोटाई $l = 2\;mm = 2 \times 10^{-3}\;m$
तापमान का अंतर $\Delta\theta = 40^{\circ}C - 20^{\circ}C = 20^{\circ}C$
ऊष्मीय चालकता $K = 0.2\;W/(m\cdot K)$
मान रखने पर:
$\frac{Q}{t} = \frac{0.2 \times 10 \times 20}{2 \times 10^{-3}}$
$\frac{Q}{t} = \frac{40}{2 \times 10^{-3}} = 20 \times 10^3 = 2 \times 10^4\;J/s$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है: लंबाई $l = 2.35\,m$,त्रिज्या $r = 2.0\,cm = 0.02\,m$,ऊष्मीय चालकता $K = 235\,W\cdot m^{-1}K^{-1}$,तापमान का अंतर $\Delta T = 20^{\circ}C$,गुप्त ऊष्मा $L_f = \frac{10}{3} \times 10^5\,J\cdot kg^{-1}$.
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dH}{dt} = \frac{KA\Delta T}{l}$ द्वारा दी जाती है।
बर्फ के पिघलने की दर $\frac{dm}{dt} = \frac{1}{L_f} \frac{dH}{dt} = \frac{KA\Delta T}{l \cdot L_f}$ है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.02)^2 = 4\pi \times 10^{-4}\,m^2$.
मान रखने पर: $\frac{dm}{dt} = \frac{235 \times 4\pi \times 10^{-4} \times 20}{2.35 \times \frac{10}{3} \times 10^5}$.
$\frac{dm}{dt} = \frac{235 \times 4\pi \times 10^{-4} \times 20 \times 3}{2.35 \times 10^6} = \frac{100 \times 4\pi \times 10^{-4} \times 60}{10^6} = \frac{2400\pi \times 10^{-4}}{10^6} = 2.4\pi \times 10^{-6}\,kg\cdot s^{-1}$.

(A) छड़ के माध्यम से ऊष्मा चालन की दर $H = \frac{K A \Delta T}{l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $l$ लंबाई है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए $K$ स्थिर है। एक निश्चित तापमान अंतर $\Delta T$ के लिए,ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{r^2}{l}$ के समानुपाती होती है।
मान लीजिए $X = \frac{r^2}{l}$। हम प्रत्येक विकल्प के लिए $X$ की गणना करते हैं:
$A: X = \frac{(2)^2}{0.5} = \frac{4}{0.5} = 8$
$B: X = \frac{(2)^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$C: X = \frac{(0.5)^2}{0.5} = 0.5$
$D: X = \frac{(1)^2}{1} = 1$
मानों की तुलना करने पर,विकल्प $A$ में $X$ का मान सबसे अधिक है,जिसका अर्थ है कि यह सबसे अधिक ऊष्मा का चालन करेगी।