Mix Examples-Heat Transfer Questions in Hindi

(D) ऊष्मा चालन की परिवर्ती अवस्था में,ऊष्मा प्रवाह की दर पदार्थ की ऊष्मीय विसरणशीलता (thermal diffusivity) द्वारा नियंत्रित होती है। ऊष्मीय विसरणशीलता $\alpha$ को $\alpha = \frac{K}{\rho c}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$\rho$ घनत्व है,और $c$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है।
चूंकि परिवर्ती अवस्था में तापमान परिवर्तन की दर ऊष्मीय विसरणशीलता पर निर्भर करती है,इसलिए ऊष्मा प्रवाह की दर इन तीनों कारकों: ऊष्मीय चालकता $(K)$,घनत्व $(\rho)$,और विशिष्ट ऊष्मा $(c)$ से प्रभावित होती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) एक बंद कमरे में,अंदर की हवा एक तरल (fluid) के रूप में कार्य करती है। जब ऊष्मा का कोई स्रोत मौजूद होता है,तो स्रोत के पास की हवा गर्म हो जाती है,कम घनी हो जाती है और ऊपर उठती है,जबकि ठंडी और अधिक घनी हवा उसका स्थान लेने के लिए नीचे आती है। हवा का यह निरंतर परिसंचरण,जिसे संवहन (Convection) कहा जाता है,पूरे कमरे में ऊष्मा के स्थानांतरण का मुख्य तंत्र है। हालांकि दीवारों के माध्यम से चालन और सतहों से विकिरण भी होता है,लेकिन कमरे में ऊष्मा का समग्र वितरण मुख्य रूप से संवहन द्वारा होता है। इसलिए,सही उत्तर $D$ है।

(B) सही उत्तर $B$ है।
$1$. अधिक ऊंचाई पर वायुमंडल पतला होता है,जो पहाड़ की तलहटी की तुलना में ग्रीनहाउस प्रभाव और ऊष्मा प्रतिधारण (heat retention) को कम करता है।
$2$. सतह तक पहुँचने वाले सौर विकिरण की तीव्रता आपतन कोण पर निर्भर करती है। पहाड़ की चोटी पर,एडियाबेटिक लैप्स रेट के कारण हवा का तापमान काफी कम होता है।
$3$. इसके अलावा,चोटी पर स्थित वस्तु अधिक हवा की गति और कम परिवेशी तापमान के संपर्क में होती है,जिससे तलहटी में स्थित वस्तु की तुलना में अधिक संवहनी (convective) ऊष्मा की हानि होती है।
$4$. इसलिए,पहाड़ की चोटी पर स्थित वस्तु तलहटी में रखी गई समान वस्तु की तुलना में कम तापमान दर्ज करेगी।

(A) छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta \theta}{l}$.
यहाँ,$K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta \theta$ तापमान का अंतर है,और $l$ छड़ की लंबाई है।
चूंकि दोनों छड़ें एक ही पदार्थ से बनी हैं,इसलिए $K$ दोनों के लिए समान है।
उनका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है और बिंदु $A$ और $B$ के बीच तापमान का अंतर $\Delta \theta$ दोनों रास्तों के लिए समान है।
इसलिए,ऊष्मा प्रवाह की दर छड़ की लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\frac{dQ}{dt} \propto \frac{1}{l}$.
सीधी छड़ की लंबाई $l_{straight} = 2r$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
अर्धवृत्ताकार छड़ की लंबाई $l_{semi} = \pi r$ है।
इस प्रकार,स्थानांतरित ऊष्मा का अनुपात है:
$\frac{(dQ/dt)_{semi}}{(dQ/dt)_{straight}} = \frac{l_{straight}}{l_{semi}} = \frac{2r}{\pi r} = \frac{2}{\pi}$.

(C) चूंकि ऊष्मा बेलनों की लंबाई के अनुदिश प्रवाहित होती है,इसलिए दोनों बेलन समानांतर विन्यास में हैं।
समानांतर संयोजन के लिए समतुल्य ऊष्मीय चालकता $K_{eq} = \frac{K_1 A_1 + K_2 A_2}{A_1 + A_2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A_1$ आंतरिक बेलन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है: $A_1 = \pi R^2$.
$A_2$ बाहरी बेलनाकार खोल का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है: $A_2 = \pi (2R)^2 - \pi R^2 = 4\pi R^2 - \pi R^2 = 3\pi R^2$.
कुल क्षेत्रफल $A = A_1 + A_2 = \pi R^2 + 3\pi R^2 = 4\pi R^2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$K_{eq} = \frac{K_1(\pi R^2) + K_2(3\pi R^2)}{4\pi R^2} = \frac{K_1 + 3K_2}{4}$.

(A) $0^\circ C$ पर $500 \ g$ बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = mL$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m = 500 \ g$ और $L = 80 \ cal/g$ है।
$Q = 500 \times 80 = 40,000 \ cal$.
कॉर्क के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{Q}{t} = \frac{KA\Delta\theta}{\Delta x}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K = 0.0075 \ cal/(cm \cdot s \cdot ^\circ C)$,$A = 75 \ cm^2$,$\Delta\theta = (40 - 0) = 40^\circ C$,और $\Delta x = 5 \ cm$ है।
मान रखने पर:
$\frac{40,000}{t} = \frac{0.0075 \times 75 \times 40}{5}$
$\frac{40,000}{t} = 0.0075 \times 15 \times 40$
$\frac{40,000}{t} = 4.5$
$t = \frac{40,000}{4.5} \approx 8888.89 \ s$.
समय को घंटों में बदलने के लिए,$3600$ से विभाजित करें:
$t = \frac{8888.89}{3600} \approx 2.47 \ hr$.

(B) मान लीजिए कि जंक्शन का तापमान $\theta$ है। ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जंक्शन में प्रवेश करने वाली ऊष्मा,जंक्शन से बाहर निकलने वाली ऊष्मा के बराबर होनी चाहिए।
$H = H_1 + H_2$
ऊष्मा प्रवाह के सूत्र $H = \frac{KA(\Delta T)}{l}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ क्षेत्रफल है और $l$ लंबाई है:
$\frac{3K \cdot A \cdot (100 - \theta)}{l} = \frac{2K \cdot A \cdot (\theta - 50)}{l} + \frac{K \cdot A \cdot (\theta - 20)}{l}$
चूंकि सभी छड़ों के लिए $A$ और $l$ समान हैं,इसलिए वे कट जाएंगे:
$3(100 - \theta) = 2(\theta - 50) + 1(\theta - 20)$
$300 - 3\theta = 2\theta - 100 + \theta - 20$
$300 - 3\theta = 3\theta - 120$
$420 = 6\theta$
$\theta = 70^oC$
अतः,जंक्शन का तापमान $70^oC$ है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,कुल विकिरण शक्ति $P = e A \sigma T^4$ है। चूँकि $P_A = P_B$ और $A_A = A_B$,इसलिए $e_A T_A^4 = e_B T_B^4$ होगा।
दिया गया है $e_A = 0.01$,$e_B = 0.81$,और $T_A = 5802\;K$.
$T_B = T_A \left( \frac{e_A}{e_B} \right)^{1/4} = 5802 \times \left( \frac{0.01}{0.81} \right)^{1/4} = 5802 \times \left( \frac{1}{81} \right)^{1/4} = 5802 \times \frac{1}{3} = 1934\;K$.
वीन के विस्थापन नियम का उपयोग करते हुए,$\lambda_A T_A = \lambda_B T_B = b$ (स्थिरांक)।
$\lambda_A = \frac{b}{T_A}$ और $\lambda_B = \frac{b}{T_B}$.
दिया गया है $\lambda_B - \lambda_A = 1.00\;\mu m$.
$\frac{b}{T_B} - \frac{b}{T_A} = 1.00\;\mu m$.
$b \left( \frac{1}{1934} - \frac{1}{5802} \right) = 1.00\;\mu m$.
$b \left( \frac{3 - 1}{5802} \right) = 1.00\;\mu m \Rightarrow b = \frac{5802}{2} = 2901\;\mu m \cdot K$.
अब,$\lambda_B = \frac{b}{T_B} = \frac{2901}{1934} = 1.5\;\mu m$.
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार विकिरित शक्ति $P = A \sigma T^4$ है,जहाँ $A$ सतह का क्षेत्रफल है और $T$ निरपेक्ष तापमान है।
चूंकि डिस्क कार्बन ब्लैक से लेपित हैं,वे कृष्णिका (black body) के रूप में कार्य करती हैं $(\varepsilon = 1)$।
डिस्क का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,इसलिए $P \propto r^2 T^4$।
वीन के विस्थापन नियम $\lambda_m T = b$ (स्थिरांक) से,$T \propto \frac{1}{\lambda_m}$।
अतः,$P \propto \frac{r^2}{\lambda_m^4}$।
$Q_A, Q_B$ और $Q_C$ के लिए सापेक्ष मानों की गणना करने पर:
$Q_A \propto \frac{2^2}{300^4} \approx 0.049 \times 10^{-8}$
$Q_B \propto \frac{4^2}{400^4} = 0.0625 \times 10^{-8}$
$Q_C \propto \frac{6^2}{500^4} \approx 0.0576 \times 10^{-8}$
इन मानों की तुलना करने पर,$Q_B$ अधिकतम है।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है। वर्ग चार छड़ों $AC, CB, BD, DA$ से बना है। बिंदु $A$ और $B$ के तापमान $T_A = \sqrt{2}T$ और $T_B = T$ पर बनाए रखे गए हैं।
परिपथ की समरूपता के कारण,$A$ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धारा $H$ दो समान पथों में विभाजित हो जाती है: $AC-CB$ और $AD-DB$।
मान लीजिए कि बिंदु $C$ और $D$ पर तापमान क्रमशः $T_C$ और $T_D$ हैं।
पथ $AC-CB$ के लिए: ऊष्मा धारा $H_1 = \frac{T_A - T_C}{R} = \frac{T_C - T_B}{R}$ है। इसका अर्थ है $T_A - T_C = T_C - T_B$,इसलिए $T_C = \frac{T_A + T_B}{2}$।
पथ $AD-DB$ के लिए: ऊष्मा धारा $H_2 = \frac{T_A - T_D}{R} = \frac{T_D - T_B}{R}$ है। इसका अर्थ है $T_A - T_D = T_D - T_B$,इसलिए $T_D = \frac{T_A + T_B}{2}$।
चूंकि $T_C = T_D$ है,इसलिए $C$ और $D$ के बीच तापमान का अंतर $T_C - T_D = 0$ होगा।

(A) दिया गया है: $\lambda_m = 0.48 \ \mu m = 0.48 \times 10^{-6} \ m$,$r = 6.96 \times 10^8 \ m$,$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W/m^2K^4$,$b = 0.293 \times 10^{-2} \ m \cdot K$.
$1$. वीन के विस्थापन नियम का उपयोग करके सूर्य का तापमान ज्ञात करें: $T = \frac{b}{\lambda_m} = \frac{0.293 \times 10^{-2}}{0.48 \times 10^{-6}} \approx 6104 \ K$.
$2$. सूर्य का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें: $A = 4\pi r^2 = 4 \times 3.1416 \times (6.96 \times 10^8)^2 \approx 6.084 \times 10^{18} \ m^2$.
$3$. स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम का उपयोग करके सूर्य द्वारा उत्सर्जित शक्ति (ऊर्जा प्रति सेकंड) ज्ञात करें: $P = A \sigma T^4 = (6.084 \times 10^{18}) \times (5.67 \times 10^{-8}) \times (6104)^4 \approx 4.789 \times 10^{26} \ J/s$.
$4$. आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता नियम का उपयोग करके प्रति सेकंड द्रव्यमान में कमी ज्ञात करें: $\Delta m = \frac{P}{c^2} = \frac{4.789 \times 10^{26}}{(3 \times 10^8)^2} \approx 5.32 \times 10^9 \ kg/s$.

(B) ऊष्मा चालन का सूत्र $Q = K A \frac{\Delta \theta}{l} t$ है।
इससे यह देखा जा सकता है कि स्थिर ऊष्मा $Q$ और तापमान अंतर $\Delta \theta$ के लिए,समय $t$,$\frac{l}{A}$ के समानुपाती है,अर्थात $t \propto \frac{l}{A}$।
चित्र $1$ में,$l$ लंबाई और $A$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल वाली दो छड़ें श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं। कुल लंबाई $2l$ और क्षेत्रफल $A$ है। अतः,$t_1 \propto \frac{2l}{A}$।
चित्र $2$ में,दो छड़ें समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं। लंबाई $l$ है और कुल क्षेत्रफल $2A$ है। अतः,$t_2 \propto \frac{l}{2A}$।
अनुपात लेने पर:
$\frac{t_1}{t_2} = \frac{2l/A}{l/2A} = \frac{2l}{A} \times \frac{2A}{l} = 4$।
दिया गया है कि $t_1 = 12 \, sec$,इसलिए $t_2 = \frac{t_1}{4} = \frac{12}{4} = 3 \, sec$।

(C) स्थिर अवस्था में, ऊष्मा प्रवाह की दर $H = -kA(dT/dx)$ पूरी छड़ में स्थिर रहती है।
दिया गया है $k(x) = 2K - (K/L)x = K(2 - x/L)$।
अतः, $H = -K(2 - x/L)A(dT/dx) = \text{स्थिरांक} = C$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर, $dT = -[C / (KA(2 - x/L))] dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $T(x) = -[C / (KA)] \int [1 / (2 - x/L)] dx$।
$T(x) = [CL / (KA)] \ln(2 - x/L) + C_0$।
चूंकि $T(x)$ में एक लघुगणकीय फलन शामिल है, इसलिए ढाल $dT/dx = -C / [KA(2 - x/L)]$ स्थिर नहीं है।
जैसे-जैसे $x$, $0$ से $L$ तक बढ़ता है, पद $(2 - x/L)$, $2$ से $1$ तक घटता है।
इसलिए, ढाल का परिमाण $|dT/dx| = C / [KA(2 - x/L)]$ जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है, बढ़ता जाता है।
वह वक्र जिसमें ढाल का परिमाण $x$ बढ़ने के साथ बढ़ता है, वह उत्तल (concave up) होता है। अतः, ग्राफ उत्तल है।

(D) स्थिर अवस्था में,ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{kA \Delta T}{L}$ सभी परतों के माध्यम से समान रहती है। चूंकि तीनों परतों के लिए क्षेत्रफल $A$ और मोटाई $L$ समान है,इसलिए प्रत्येक परत में तापमान की गिरावट $\Delta T$ उसकी ऊष्मीय चालकता $k$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(\Delta T = \frac{HL}{kA} \propto \frac{1}{k})$।
चूंकि ईंट की ऊष्मीय चालकता $(k_b)$ हवा $(k_a)$ की तुलना में बहुत अधिक है,इसलिए हवा की परत में तापमान की गिरावट ईंट की प्रत्येक परत में तापमान की गिरावट की तुलना में बहुत अधिक होगी।
इसलिए,ग्राफ में हवा की परत पर तापमान में तीव्र रैखिक गिरावट और ईंट की परतों पर धीमी रैखिक गिरावट दिखनी चाहिए। विकल्प $(D)$ इस व्यवहार का सही प्रतिनिधित्व करता है।

(C) बिना ऊष्मारोधी परत वाली धातु की छड़ के लिए,छड़ की सतह से ऊष्मा संवहन और विकिरण के कारण परिवेश में नष्ट हो जाती है।
मान लीजिए कि $T_1$ पर बनाए रखे गए सिरे से $x$ दूरी पर तापमान $T$ है। बिना परत वाली छड़ के लिए स्थिर अवस्था में ऊष्मा चालन का समीकरण $\frac{d^2T}{dx^2} = k(T - T_s)$ है,जहाँ $T_s$ परिवेश का तापमान है और $k$ पदार्थ और सतह के गुणों से संबंधित एक स्थिरांक है।
इस अवकल समीकरण का हल $T(x) = T_s + A e^{mx} + B e^{-mx}$ के रूप में होता है।
इसके परिणामस्वरूप तापमान प्रोफ़ाइल अवतल (concave upwards) होती है (परिवेश के तापमान की ओर घातांकीय क्षय)।
चूंकि छड़ अपनी लंबाई के साथ परिवेश में ऊष्मा खो रही है,इसलिए गर्म सिरे से दूर जाने पर तापमान प्रवणता कम हो जाती है,जिसके परिणामस्वरूप एक अवतल वक्र प्राप्त होता है।
अतः,सही निरूपण एक अवतल वक्र है।

(A) दोनों छड़ें $AB$ और $CD$ स्थिर अवस्था (steady state) में हैं।
इसका अर्थ है कि ताप प्रवणता (temperature gradient) स्थिर है और दूरी के साथ तापमान रैखिक रूप से घटता है।
$AB$ के मध्य बिंदु पर तापमान $T_{P} = \frac{T_{A} + T_{B}}{2} = \frac{0^{\circ} C + 100^{\circ} C}{2} = 50^{\circ} C$ है।
$CD$ के मध्य बिंदु पर तापमान $T_{Q} = \frac{T_{C} + T_{D}}{2} = \frac{30^{\circ} C + 60^{\circ} C}{2} = 45^{\circ} C$ है।
चूंकि $P$ पर तापमान $(50^{\circ} C)$,$Q$ पर तापमान $(45^{\circ} C)$ से अधिक है,इसलिए ऊष्मा $P$ से $Q$ की ओर प्रवाहित होती है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{\max} T = \text{नियतांक}$.
माना प्रारंभिक तापमान $T$ है और अंतिम तापमान $T'$ है।
दिया गया है कि $\lambda_{\max, 1} = \lambda_0$ और $\lambda_{\max, 2} = \frac{3}{4}\lambda_0$.
$\lambda_{\max, 1} T_1 = \lambda_{\max, 2} T_2$ का उपयोग करने पर,हमें $\lambda_0 T = \frac{3}{4}\lambda_0 T'$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $T' = \frac{4}{3}T$.
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,विकिरित शक्ति $P \propto T^4$.
अतः,नई शक्ति $P'$ और प्रारंभिक शक्ति $P$ का अनुपात:
$\frac{P'}{P} = \left(\frac{T'}{T}\right)^4 = \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81}$.

(A) एक समान धात्विक छड़ के माध्यम से स्थिर अवस्था में ऊष्मा चालन में,ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt}$ पूरी छड़ में स्थिर रहती है।
फूरियर के ऊष्मा चालन के नियम के अनुसार:
$\frac{dQ}{dt} = -kA \frac{d\theta}{dx}$
जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $\frac{d\theta}{dx}$ तापमान प्रवणता है।
चूंकि $\frac{dQ}{dt}$,$k$,और $A$ स्थिर हैं,इसलिए तापमान प्रवणता $\frac{d\theta}{dx} = -\frac{1}{kA} \frac{dQ}{dt}$ भी स्थिर होनी चाहिए।
इसका तात्पर्य यह है कि तापमान $\theta$ गर्म सिरे से दूरी $x$ के साथ रैखिक रूप से घटता है।
इसलिए,$\theta$ बनाम $x$ का ग्राफ ऋणात्मक ढलान वाली एक सीधी रेखा है,जो चित्र $A$ के अनुरूप है।

(B) ऊष्मा प्रवाह की दर $Q$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Q = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{l}$
जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता गुणांक है,$l$ छड़ की लंबाई है और $A$ छड़ के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
मान लीजिए कि जंक्शन का तापमान $T$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,तांबे की छड़ के माध्यम से जंक्शन में आने वाली ऊष्मा,पीतल और स्टील की छड़ों के माध्यम से बाहर जाने वाली ऊष्मा के बराबर होनी चाहिए:
$Q_{\text{copper}} = Q_{\text{brass}} + Q_{\text{steel}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{0.92 \times 4 \times (100 - T)}{46} = \frac{0.26 \times 4 \times (T - 0)}{13} + \frac{0.12 \times 4 \times (T - 0)}{12}$
समीकरण को सरल करने पर:
$0.08 \times (100 - T) = 0.08 \times T + 0.04 \times T$
$8 - 0.08T = 0.12T$
$8 = 0.2T$
$T = \frac{8}{0.2} = 40^\circ C$
अब,तांबे की छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर की गणना करें:
$Q_{\text{copper}} = \frac{0.92 \times 4 \times (100 - 40)}{46} = \frac{0.92 \times 4 \times 60}{46} = 0.02 \times 4 \times 60 = 4.8 \ cal \ s^{-1}$.

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार: $\lambda_{m} \cdot T = b$,जिसका अर्थ है $T \propto \frac{1}{\lambda_{m}}$.
यहाँ $\lambda_{m1} = 20,000 \ \mathring{A}$ और $\lambda_{m2} = 10,000 \ \mathring{A}$ दिया गया है।
चूंकि $\lambda_{m}$ आधा हो जाता है,इसलिए तापमान $T$ दोगुना हो जाएगा,अर्थात $T_{2} = 2T_{1}$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में उत्सर्जित ऊर्जा $e = \sigma T^{4}$ है।
इसलिए,$\frac{e_{2}}{e_{1}} = \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{4} = (2)^{4} = 16$.
दिया गया है कि $e_{1} = 16 \ J \ m^{-2} \ s^{-1}$.
अतः,$e_{2} = 16 \times 16 = 256 \ J \ m^{-2} \ s^{-1}$.

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,वह आवृत्ति $v_{max}$ जिस पर अधिकतम तीव्रता होती है,वह परम तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $v_{max} \propto T$।
चूंकि तापमान $T$ से बढ़कर $3T$ हो जाता है,इसलिए नई आवृत्ति $v' = 3v$ होगी। अतः,कथन $(ii)$ सही है।
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,किसी पिंड द्वारा प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा $E$ उसके परम तापमान की चौथी घात के आनुपातिक होती है,अर्थात $E \propto T^4$।
प्रारंभिक ऊर्जा $T$ तापमान पर $E$ है,इसलिए $3T$ तापमान पर नई ऊर्जा $E' = E \times (3T/T)^4 = E \times 3^4 = 81E$ होगी। अतः,कथन $(iii)$ सही है।
इसलिए,कथन $(ii)$ और $(iii)$ सही हैं।

(D) $(i)$ किरचॉफ के विकिरण के नियम के अनुसार,अच्छे अवशोषक अच्छे उत्सर्जक होते हैं। चूंकि उच्च परावर्तकता वाला पिंड एक खराब अवशोषक होता है,इसलिए यह एक खराब उत्सर्जक भी होता है। यह कथन $CORRECT$ है।
$(ii)$ पीतल ऊष्मा का सुचालक है,जबकि लकड़ी कुचालक है। ठंडे दिन में,पीतल का गिलास लकड़ी की ट्रे की तुलना में हाथ से ऊष्मा को बहुत तेजी से अवशोषित करता है,जिससे वह अधिक ठंडा महसूस होता है। यह कथन $CORRECT$ है।
$(iii)$ वायुमंडल ग्रीनहाउस प्रभाव के माध्यम से गर्मी को बनाए रखता है। इसके बिना,पृथ्वी विकिरण के माध्यम से अपनी अधिकांश गर्मी खो देगी और अत्यधिक ठंडी हो जाएगी। यह कथन $CORRECT$ है।
$(iv)$ भाप में वाष्पीकरण की गुप्त ऊष्मा होती है,जो संघनन के दौरान मुक्त होती है। यह गर्म पानी की तुलना में प्रति इकाई द्रव्यमान बहुत अधिक ऊष्मा प्रदान करती है,जो केवल संवेदी ऊष्मा छोड़ता है। इसलिए,भाप-आधारित सिस्टम अधिक कुशल होते हैं। यह कथन $CORRECT$ है।
अतः,सभी कथन सही हैं।

(A) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{\max} T = b$,जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
चूंकि $\lambda_{\max} = \frac{c}{f_{\max}}$,इसलिए $\frac{c}{f_{\max}} T = b$,जिसका अर्थ है $f_{\max} = \frac{c}{b} T$.
अतः,$f_{\max} \propto T$.
यदि तापमान $T$ को दोगुना $(T' = 2T)$ कर दिया जाए,तो अधिकतम तीव्रता की नई आवृत्ति $f'_m = 2f_m$ हो जाएगी।
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा $Q = e \sigma A T^4$ है।
इस प्रकार,$Q \propto T^4$.
यदि तापमान दोगुना किया जाता है,तो नई ऊर्जा $Q' \propto (2T)^4 = 16T^4 = 16Q$ होगी।
अतः,अधिकतम तीव्रता की आवृत्ति दोगुनी हो जाती है और कुल उत्सर्जित ऊर्जा $16$ गुना बढ़ जाती है।

(N/A) किरचॉफ के विकिरण नियम के अनुसार,विकिरण के अच्छे अवशोषक अच्छे उत्सर्जक भी होते हैं। चूंकि उच्च परावर्तकता वाला पिंड अधिकांश आपतित विकिरण को परावर्तित कर देता है,इसलिए यह एक खराब अवशोषक है। अतः,यह एक खराब उत्सर्जक भी है।
$(b)$ पीतल ऊष्मा का सुचालक है,जबकि लकड़ी ऊष्मा की कुचालक है। जब आप पीतल के गिलास को छूते हैं,तो ऊष्मा आपके हाथ से धातु में तेजी से प्रवाहित होती है,जिससे ठंडक का अहसास होता है। लकड़ी की ट्रे के साथ,ऊष्मा का स्थानांतरण बहुत धीमा होता है,इसलिए आपके हाथ से कम ऊष्मा निकलती है,जिससे वह गर्म महसूस होती है।
$(c)$ ऑप्टिकल पाइरोमीटर विकिरण की तीव्रता के आधार पर तापमान मापता है। खुले में रखे लाल गर्म लोहे के टुकड़े की उत्सर्जकता $1$ से कम होती है। चूंकि यह एक आदर्श कृष्णिका नहीं है,इसलिए यह समान तापमान पर एक कृष्णिका की तुलना में कम विकिरण उत्सर्जित करता है,जिससे तापमान का मान कम आता है। भट्टी में,वातावरण एक गुहा (कृष्णिका) की तरह कार्य करता है,इसलिए लोहे का टुकड़ा एक कृष्णिका के रूप में व्यवहार करता है और सटीक मान देता है।
$(d)$ वायुमंडल पृथ्वी के लिए एक कंबल की तरह कार्य करता है,जो ग्रीनहाउस प्रभाव के माध्यम से सतह द्वारा उत्सर्जित अवरक्त विकिरण को रोक कर रखता है। वायुमंडल के बिना,यह ऊष्मा अंतरिक्ष में चली जाती,जिससे पृथ्वी का तापमान अत्यधिक गिर जाता।
$(e)$ $100 \, ^{\circ}C$ पर भाप में वाष्पीकरण की गुप्त ऊष्मा $(540 \, cal/g)$ के कारण $100 \, ^{\circ}C$ पर पानी की तुलना में काफी अधिक ऊर्जा होती है। जब भाप रेडिएटर में संघनित होती है,तो यह इस बड़ी मात्रा में गुप्त ऊष्मा को छोड़ती है,जो इसे गर्म करने के लिए अधिक कुशल बनाती है।

(N/A) ऊष्मीय ऊर्जा का स्थानांतरण तीन अलग-अलग तंत्रों द्वारा किया जा सकता है:
$1$. ऊष्मीय चालन (Thermal Conduction): ठोस पदार्थों में ऊष्मा का स्थानांतरण,जहाँ कण अपनी माध्य स्थिति के चारों ओर कंपन करते हैं और उनका कोई शुद्ध विस्थापन नहीं होता है। इसके लिए गुरुत्वाकर्षण की आवश्यकता नहीं होती है और इसमें धाराओं का निर्माण नहीं होता है।
$2$. ऊष्मीय संवहन (Thermal Convection): तरल पदार्थों (द्रव और गैस) में ऊष्मा का स्थानांतरण,जहाँ कण भौतिक रूप से एक स्थान से दूसरे स्थान तक गति करते हैं और ऊष्मीय ऊर्जा ले जाते हैं। इस प्रक्रिया के लिए गुरुत्वाकर्षण आवश्यक है और इससे संवहन धाराएं बनती हैं।
$3$. ऊष्मीय विकिरण (Thermal Radiation): विद्युत चुम्बकीय तरंगों (विशेष रूप से अवरक्त विकिरण) के रूप में ऊष्मा का स्थानांतरण। इस प्रक्रिया के लिए किसी भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है और यह निर्वात में भी हो सकती है।

(D) जब भी दो वस्तुओं या क्षेत्रों के बीच तापमान का अंतर होता है,तो ऊष्मा का स्थानांतरण होता है। ऊष्मा स्थानांतरण के तीन मुख्य तरीके हैं:
$1$. चालन: ठोस या स्थिर तरल के कणों के बीच सीधे संपर्क के माध्यम से ऊष्मा का स्थानांतरण।
$2$. संवहन: गर्म तरल (द्रव या गैस) के कणों की वास्तविक गति द्वारा ऊष्मा का स्थानांतरण।
$3$. विकिरण: विद्युत चुम्बकीय तरंगों के माध्यम से ऊष्मा का स्थानांतरण,जिसके लिए किसी भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है।
चूंकि ये तीनों प्रक्रियाएं तापमान के अंतर से संचालित होती हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

$(a)$ असत्य। चालन रुकता नहीं है; बल्कि तापमान प्रवणता स्थिर हो जाती है और ऊष्मा स्थानांतरण की दर स्थिर बनी रहती है।
$(b)$ सत्य। किरचॉफ के विकिरण नियम के अनुसार, तापीय संतुलन में किसी वस्तु के लिए उत्सर्जकता और अवशोषकता समान होती है।
$(c)$ असत्य। एक आदर्श कृष्णिका को उसकी सभी आपतित विकिरणों को अवशोषित करने की क्षमता से परिभाषित किया जाता है, न कि इस आधार पर कि वह दृश्य स्पेक्ट्रम में किस रंग की दिखती है।
$(d)$ असत्य। ऊष्मा धारिता पदार्थ की अवस्था और उन स्थितियों पर निर्भर करती है जिनमें ऊष्मा दी जाती है (जैसे स्थिर दाब बनाम स्थिर आयतन)।

(N/A) दिया गया है $1 \text{ cal} = 4.184 \text{ J}$ और $1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}$.
$0.49 \frac{\text{cal}}{\text{cm} \cdot \text{K} \cdot \text{s}} = 0.49 \times \frac{4.184 \text{ J}}{10^{-2} \text{ m} \cdot \text{K} \cdot \text{s}} = 0.49 \times 418.4 \approx 205 \frac{\text{J}}{\text{m} \cdot \text{K} \cdot \text{s}}$.
नोट: यदि $1 \text{ cal} = 4.2 \text{ J}$ का उपयोग किया जाए,तो $0.49 \times 420 = 205.8 \approx 206$.
$(b)$ यदि अवशोषण की दर उत्सर्जन की दर से अधिक है,तो पदार्थ शुद्ध ऊर्जा प्राप्त करता है,इसलिए उसका तापमान बढ़ेगा।
$(c)$ न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ऊष्मा के ह्रास की दर वस्तु और उसके परिवेश के तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है,बशर्ते अंतर छोटा हो।

(A) $(a) - (iii, iv)$ और $(b) - (ii, iv)$।
$(a)$ गर्म चाय का कप अपने परिवेश में मुख्य रूप से चालन (कप की सामग्री के माध्यम से) और विकिरण (चाय और कप की सतह से) द्वारा ऊष्मा खोता है।
$(b)$ आग के पास रखा पदार्थ मुख्य रूप से प्राकृतिक संवहन (आग के पास की हवा गर्म होकर ऊपर उठती है) और विकिरण (आग से सीधे ऊष्मीय विकिरण) द्वारा ऊष्मा प्राप्त करता है।

(B) किसी प्रणाली या निकाय के लिए एन्ट्रापी परिवर्तन $\Delta S = \frac{Q}{T}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रणाली के स्थिर अवस्था में होने के लिए,$T_{1}$ तापमान पर जलाशय द्वारा खोई गई ऊष्मा $T_{2}$ तापमान पर जलाशय द्वारा प्राप्त ऊष्मा (मान लीजिए $Q$) के बराबर होनी चाहिए।
चालन प्रक्रिया के लिए एन्ट्रापी परिवर्तन की कुल दर दोनों जलाशयों के एन्ट्रापी परिवर्तनों का योग है:
$\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{-Q}{T_{1}} + \frac{Q}{T_{2}} \right) = \left( \frac{dQ}{dt} \right) \left( \frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}} \right)$
ऊष्मा चालन के फूरियर नियम के अनुसार,ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = kA \frac{(T_{1} - T_{2})}{L}$ है,जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $L$ लंबाई है।
इसे एन्ट्रापी दर समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dS}{dt} = \left( kA \frac{(T_{1} - T_{2})}{L} \right) \left( \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1} T_{2}} \right) = \frac{kA}{L} \frac{(T_{1} - T_{2})^2}{T_{1} T_{2}}$
हम इसे अनुपात $x = T_{1} / T_{2}$ के रूप में फिर से लिख सकते हैं:
$\frac{dS}{dt} = \frac{kA}{L} \frac{T_{2}^2 (x - 1)^2}{T_{2}^2 x} = \frac{kA}{L} \frac{(x - 1)^2}{x} = \frac{kA}{L} \left( x - 2 + \frac{1}{x} \right)$
जब $x = 1$ $(T_{1} = T_{2})$,तो $\frac{dS}{dt} = 0$ होता है। $x > 1$ या $x < 1$ के लिए,$\frac{dS}{dt} > 0$ होता है। फलन $f(x) = \frac{(x-1)^2}{x}$ का मान $x=1$ पर न्यूनतम होता है और आलेख $(b)$ इस संबंध को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) माना $Q$ कुल आपतित ऊष्मीय ऊर्जा है,$Q_a$ अवशोषित ऊर्जा है,$Q_t$ प्रसारित ऊर्जा है और $Q_r$ परावर्तित ऊर्जा है।
दिया गया है: $Q = 120 \ J$,$Q_t = 12 \ J$ और अवशोषण गुणांक $a = 0.6$ है।
हम जानते हैं कि अवशोषण गुणांक $a = \frac{Q_a}{Q}$ होता है।
इसलिए,$Q_a = a \times Q = 0.6 \times 120 \ J = 72 \ J$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल आपतित ऊर्जा अवशोषित,प्रसारित और परावर्तित ऊर्जा का योग होती है:
$Q = Q_a + Q_t + Q_r$
$120 \ J = 72 \ J + 12 \ J + Q_r$
$120 \ J = 84 \ J + Q_r$
$Q_r = 120 \ J - 84 \ J = 36 \ J$।
अतः,परावर्तित ऊष्मा की मात्रा $36 \ J$ है।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m T = \text{नियतांक}$.
यहाँ $\lambda_{m1} = \lambda_0$ और $\lambda_{m2} = \frac{\lambda_0}{2}$ दिया गया है।
अतः,$\lambda_{m1} T_1 = \lambda_{m2} T_2 \implies \lambda_0 T_1 = \frac{\lambda_0}{2} T_2 \implies T_2 = 2T_1$.
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4$ होती है,जिसका अर्थ है कि $P \propto T^4$.
इस प्रकार,नई शक्ति $P_2$ और प्रारंभिक शक्ति $P_1$ का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ है।
$T_2 = 2T_1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{P_2}{P_1} = (2)^4 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,विकिरित शक्ति में $16$ गुना की वृद्धि होगी।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,तापमान $T$ अधिकतम उत्सर्जन के तरंगदैर्घ्य के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $T \propto \frac{1}{\lambda_{\max }}$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम से,एक कृष्णिका (blackbody) द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ सतह का क्षेत्रफल है और $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियतांक है।
डिस्क के लिए $A = \pi r^2$ होने के कारण (दोनों तरफ से उत्सर्जन मानते हुए,$A = 2\pi r^2$),हमें $P \propto r^2 T^4$ प्राप्त होता है।
$T \propto \frac{1}{\lambda_{\max }}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P \propto \frac{r^2}{\lambda_{\max }^4}$ प्राप्त होता है।
दी गई त्रिज्याओं $r_x = 2 \ m, r_y = 2 \ m, r_z = 6 \ m$ और तरंगदैर्घ्य $\lambda_x = 3 \ \mu m, \lambda_y = 4 \ \mu m, \lambda_z = 5 \ \mu m$ के लिए:
$P_x \propto \frac{2^2}{3^4} = \frac{4}{81} \approx 0.049$
$P_y \propto \frac{2^2}{4^4} = \frac{4}{256} = 0.0156$
$P_z \propto \frac{6^2}{5^4} = \frac{36}{625} = 0.0576$
मानों की तुलना करने पर,$P_z > P_x > P_y$ प्राप्त होता है। अतः,$P_z$ अधिकतम है।

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_m T = b$ (स्थिरांक),इसलिए $T \propto 1/\lambda_m$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\lambda_P : \lambda_Q = 3:4$ दिया गया है,इसलिए तापमान का अनुपात $T_P : T_Q = 4:3$ होगा।
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकिरित शक्ति $P = \sigma A T^4 = \sigma (4\pi r^2) T^4$ होती है।
अतः,विकिरित शक्ति का अनुपात $\frac{P_P}{P_Q} = \left( \frac{r_P}{r_Q} \right)^2 \left( \frac{T_P}{T_Q} \right)^4$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{P_P}{P_Q} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 \times \left( \frac{4}{3} \right)^4$.
$\frac{P_P}{P_Q} = \frac{9}{4} \times \frac{256}{81} = \frac{1}{1} \times \frac{64}{9} = \frac{64}{9}$.

(B) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार, $\lambda_{\max} T = \text{नियतांक}$, इसलिए $\lambda_{1} T_{1} = \lambda_{2} T_{2}$.
दिया गया है $\lambda_{1} = \lambda$ और $\lambda_{2} = \frac{2 \lambda}{3}$.
अतः, $T_{2} = \frac{\lambda_{1} T_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{\lambda T_{1}}{2 \lambda / 3} = \frac{3}{2} T_{1}$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार, उत्सर्जन शक्ति $E$, $T^{4}$ के समानुपाती होती है, अर्थात $E = \sigma A T^{4}$.
इसलिए, $\frac{E_{2}}{E_{1}} = \left( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right)^{4}$.
$T_{2}$ का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{E_{2}}{E} = \left( \frac{3/2 T_{1}}{T_{1}} \right)^{4} = \left( \frac{3}{2} \right)^{4} = \frac{81}{16}$.
अतः, $E_{2} = \frac{81 E}{16}$.

(D) स्टीफन नियतांक $\sigma$ की विमा सूत्र $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ शक्ति है,$A$ क्षेत्रफल है और $T$ तापमान है।
$[\sigma] = \frac{[P]}{[A][T]^4} = \frac{[ML^2 T^{-3}]}{[L^2][K^4]} = [MT^{-3} K^{-4}]$.
वीन नियतांक $b$ की विमा $\lambda_{max} T = b$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $T$ तापमान है।
$[b] = [L][K]$.
अतः,$\sigma b$ की विमाएँ हैं:
$[\sigma b] = [MT^{-3} K^{-4}] \times [LK] = [L^1 M^1 T^{-3} K^{-3}]$.

(A) माना छड़ की ऊष्मीय चालकता $K$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है। ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA \Delta T}{L}$ द्वारा दी जाती है।
बर्फ वाले भाग के लिए (लंबाई $x_1 = 60 \, cm$): तापमान का अंतर $\Delta T_1 = 325^{\circ} C - 0^{\circ} C = 325^{\circ} C$ है। ऊष्मा प्रवाह की दर $H_1 = \frac{KA(325)}{60}$ है।
यह ऊष्मा बर्फ को पिघलाती है: $H_1 = m_{ice} L_f$, जहाँ $L_f$ गलन की गुप्त ऊष्मा है।
उबलते पानी वाले भाग के लिए (लंबाई $x_2 = 100 - 60 = 40 \, cm$): तापमान का अंतर $\Delta T_2 = 325^{\circ} C - 100^{\circ} C = 225^{\circ} C$ है। ऊष्मा प्रवाह की दर $H_2 = \frac{KA(225)}{40}$ है।
यह ऊष्मा पानी को भाप में बदलती है: $H_2 = m_{steam} L_v$, जहाँ $L_v = 6.75 L_f$ है।
दिया है $m_{steam} = 2 \, g/s$, तो $H_2 = 2 \times 6.75 L_f = 13.5 L_f$ है।
$H_2$ को बराबर करने पर: $\frac{KA(225)}{40} = 13.5 L_f$ implies $KA = \frac{13.5 \times 40}{225} L_f = 2.4 L_f$ है।
अब $KA$ का मान $H_1$ में रखने पर: $H_1 = \frac{2.4 L_f \times 325}{60} = 0.04 \times 325 L_f = 13 L_f$ है।
अतः $m_{ice} = 13 \, g/s$।

(A) कथन $A$ सत्य है: संवहन असमान तापमान के कारण घनत्व में अंतर के परिणामस्वरूप तरल कणों की वास्तविक गति द्वारा ऊष्मा स्थानांतरण की प्रक्रिया है।
कथन $B$ सत्य है: जब एक गर्म बार को बहते नल के पानी के नीचे रखा जाता है,तो बार के संपर्क में आने वाला पानी गर्म हो जाता है,कम घना हो जाता है और ऊपर उठता है,जबकि ठंडा पानी उसका स्थान ले लेता है। इस परिसंचरण को संवहन कहा जाता है।
कथन $C$ सत्य है: ऊष्मा को तापमान के अंतर के कारण स्थानांतरित होने वाली ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया गया है। तापमान प्रवणता के बिना,कोई शुद्ध ऊष्मा स्थानांतरण नहीं होता है।
इसलिए,तीनों कथन सही हैं।

(D) दिया गया है कि संवहन द्वारा ऊष्मा ह्रास की दर = विकिरण द्वारा ऊष्मा ह्रास की दर।
मान लीजिए $h$ संवहन गुणांक है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है,$e$ उत्सर्जकता है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन स्थिरांक है,$T$ पिंड का तापमान है और $T_0$ आसपास का तापमान है।
$T = 400 + 273 = 673 \ K$
$T_0 = 30 + 273 = 303 \ K$
संवहन द्वारा ऊष्मा ह्रास की दर $P_{conv} = hA(T - T_0)$ है।
विकिरण द्वारा ऊष्मा ह्रास की दर $P_{rad} = eA\sigma(T^4 - T_0^4)$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $hA(T - T_0) = eA\sigma(T^4 - T_0^4)$.
$20(673 - 303) = e(5.67 \times 10^{-8})(673^4 - 303^4)$.
$20(370) = e(5.67 \times 10^{-8})(2.049 \times 10^{11} - 0.0084 \times 10^{11})$.
$7400 = e(5.67 \times 10^{-8})(2.0406 \times 10^{11})$.
$7400 = e(11570.2)$.
$e = 7400 / 11570.2 \approx 0.6397$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,$e \approx 0.66$।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकिरित शक्ति $P \propto T^4$ होती है।
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम ऊर्जा के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda \propto \frac{1}{T}$ होती है,जिसका अर्थ है $T \propto \frac{1}{\lambda}$।
इसे शक्ति के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P \propto \left(\frac{1}{\lambda}\right)^4 = \frac{1}{\lambda^4}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकिरित शक्ति का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^4$ है।
दिया गया है $\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2}$,इसलिए $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{1}{2}$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{P_1}{P_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$P_2 = 16 P_1 = 16 P$ है।

(B) स्टीफन के नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में उत्सर्जित ऊर्जा $(E)$ का मान $E = \sigma T^4$ होता है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन नियतांक है और $T$ तापमान है।
$\sigma$ के लिए विमीय विश्लेषण:
$\frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L^2 T]} = [\sigma] [K^4]$
$[M T^{-3}] = [\sigma] [K^4]$
$[\sigma] = [M T^{-3} K^{-4}]$
वीन का विस्थापन नियम $b = \lambda T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है और $T$ तापमान है।
$b$ की विमा = $[L K]$.
अब,$\sigma b^4$ की विमाओं की गणना करने पर:
$[\sigma b^4] = [M T^{-3} K^{-4}] \times [L K]^4$
$[\sigma b^4] = [M T^{-3} K^{-4}] \times [L^4 K^4]$
$[\sigma b^4] = [M L^4 T^{-3}]$.