Heat Conduction and Thermal Conductivity Questions in Gujarati

(A) આપેલ ધાતુઓની ઉષ્મીય વાહકતા આશરે નીચે મુજબ છે:
$Al \approx 205 \ W/m\cdot K$,
$Cu \approx 385 \ W/m\cdot K$,
$Ag \approx 406 \ W/m\cdot K$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ઉષ્મીય વાહકતા $Al < Cu < Ag$ ના ક્રમમાં વધે છે.
તેથી,$Al, Cu, Ag$ નો ક્રમ ઉષ્મીય વાહકતાનો વધતો ક્રમ દર્શાવે છે.

(D) ઉષ્મા વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{Q}{t} = \frac{KA \Delta \theta}{l}$.
દરેક સળિયા માટે દ્રવ્ય $(K)$ અને તાપમાનનો તફાવત $(\Delta \theta)$ સમાન હોવાથી,ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{A}{l}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
$A = \pi r^2$ હોવાથી,$\frac{Q}{t} \propto \frac{r^2}{l}$ થાય.
દરેક વિકલ્પ માટે $\frac{r^2}{l}$ ની ગણતરી કરતા:
$(a)$ $\frac{1^2}{1} = 1$
$(b)$ $\frac{1^2}{2} = 0.5$
$(c)$ $\frac{2^2}{2} = 2$
$(d)$ $\frac{2^2}{1} = 4$
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(d)$ માં $\frac{r^2}{l}$ નું મૂલ્ય મહત્તમ છે,તેથી તે સૌથી વધુ ઉષ્માનું વહન કરશે.

(D) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $(H = Q/t)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $H = \frac{KA \Delta \theta}{l}$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,ઉષ્મા વાહકતા $K$ અચળ છે. આપેલ છે કે તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta$ પણ સમાન છે,તેથી $H \propto \frac{A}{l}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$ હોવાથી,$A \propto d^2$ થાય. તેથી,$H \propto \frac{d^2}{l}$.
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{l_1}{l_2} = \frac{2}{1}$.
ઉષ્મા વહન દરનો ગુણોત્તર ગણતા: $\frac{H_1}{H_2} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 \times \left( \frac{l_2}{l_1} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \times \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:8$ છે.

(D) રસોઈના વાસણો માટે,ઓછી વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધરાવતી સામગ્રી પસંદ કરવામાં આવે છે કારણ કે તેનું તાપમાન વધારવા માટે ઓછી ઉષ્મા ઉર્જાની જરૂર પડે છે,જેનાથી તે ઝડપથી ગરમ થાય છે.
વધુમાં,તેમાં ઉચ્ચ ઉષ્મીય વાહકતા હોવી જોઈએ જેથી સ્ત્રોતમાંથી મળતી ગરમી રાંધવામાં આવતા ખોરાક સુધી કાર્યક્ષમ અને ઝડપથી પહોંચી શકે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ ઓછી વિશિષ્ટ ઉષ્મા અને ઉચ્ચ વાહકતા છે.

(D) ઉષ્મા વાહકતાનો ગુણાંક,જેને $k$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે. તે પદાર્થની ઉષ્મા વહન કરવાની ક્ષમતા દર્શાવે છે. તે સંપૂર્ણપણે પદાર્થના પ્રકાર અને તેની સ્થિતિ (જેમ કે તાપમાન) પર આધાર રાખે છે,પરંતુ તે પ્લેટના ક્ષેત્રફળ,પ્લેટની જાડાઈ અથવા સપાટીઓ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવત જેવા ભૌમિતિક પરિમાણોથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H$ એ સૂત્ર $H = \frac{KA \Delta T}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $L$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
પ્રથમ સળિયા માટે:
$H_1 = \frac{KA(90 - 60)}{0.6} = \frac{KA(30)}{0.6} = 50KA$.
બીજા સળિયા માટે:
$H_2 = \frac{KA(150 - 110)}{0.8} = \frac{KA(40)}{0.8} = 50KA$.
આમ,$H_1 = H_2$ હોવાથી,બંને સળિયા માટે ઉષ્મા વહનનો દર સમાન છે.

(C) એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉષ્મા વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt \cdot A} = K \cdot \frac{d\theta}{dx}$.
અહીં,$\frac{dQ}{dt \cdot A}$ એ હીટ ફ્લક્સ છે,જે $10 \ cal/sec-cm^2$ આપેલ છે.
$K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,જે $0.4 \ cal/sec-cm-^oC$ છે.
$\frac{d\theta}{dx}$ એ ઉષ્મીય ઢાળ છે.
ઉષ્મીય ઢાળ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{d\theta}{dx} = \frac{(dQ/dt \cdot A)}{K}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{d\theta}{dx} = \frac{10}{0.4} = 25 \ ^oC/cm$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,બ્લોક $A$ માંથી પસાર થતા ઉષ્માના વહનનો દર બ્લોક $B$ માંથી પસાર થતા ઉષ્માના વહન દર જેટલો જ હોવો જોઈએ.
ધારો કે $K_1$ અને $K_2$ એ અનુક્રમે બ્લોક $A$ અને $B$ ની ઉષ્મીય વાહકતા છે,$L$ તેમની લંબાઈ છે અને $A$ તેમનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે: $\frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{3}$,તેથી $K_2 = 3K_1$.
ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $\theta$ છે.
ઉષ્માના વહનનો દર $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉષ્માના વહન દરને સરખાવતા: $\frac{K_1 A (100 - \theta)}{L} = \frac{K_2 A (\theta - 0)}{L}$.
બંને માટે $A$ અને $L$ સમાન હોવાથી,આપણને મળે છે $K_1(100 - \theta) = K_2\theta$.
$K_2 = 3K_1$ મૂકતા: $K_1(100 - \theta) = 3K_1\theta$.
$100 - \theta = 3\theta$.
$100 = 4\theta$.
$\theta = 25^{\circ}C$.

(A) પદાર્થમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $Q = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)t}{l}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,$l$ એ જાડાઈ છે અને $t$ એ લીધેલ સમય છે.
પાત્રો કદમાં સમાન હોવાથી,$A$ અને $l$ અચળ છે. તાપમાનનો તફાવત $(\theta_1 - \theta_2)$ અને ઉષ્માનો જથ્થો $Q$ (સમાન જથ્થાનો બરફ ઓગળવા માટે જરૂરી) પણ અચળ છે.
તેથી,$K \cdot t = \text{અચળ}$,જેનો અર્થ છે કે $K_1 t_1 = K_2 t_2$.
આમ,ઉષ્મા વાહકતાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{t_2}{t_1}$ થાય.
અહીં $t_1 = 20 \text{ મિનિટ}$ અને $t_2 = 30 \text{ મિનિટ}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{K_1}{K_2} = \frac{30}{20} = 1.5$.

(B) વહન દ્વારા સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(T_{1} - T_{2})}{l}$
બે સળિયાઓ માટે,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર નીચે મુજબ છે:
$(\frac{dQ}{dt})_{1} = \frac{K_{1}A_{1}(T_{1} - T_{2})}{l}$
$(\frac{dQ}{dt})_{2} = \frac{K_{2}A_{2}(T_{1} - T_{2})}{l}$
આપેલ છે કે બંને સળિયા માટે ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર સમાન છે:
$(\frac{dQ}{dt})_{1} = (\frac{dQ}{dt})_{2}$
સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{K_{1}A_{1}(T_{1} - T_{2})}{l} = \frac{K_{2}A_{2}(T_{1} - T_{2})}{l}$
કારણ કે બંને સળિયા માટે લંબાઈ $l$ અને તાપમાનનો તફાવત $(T_{1} - T_{2})$ સમાન છે,તેથી આપણે આ પદોને બંને બાજુથી દૂર કરી શકીએ છીએ:
$K_{1}A_{1} = K_{2}A_{2}$

(B) ઇન્જેન હૉઝના પ્રયોગમાં,સળિયા પર મીણ જે લંબાઈ $l$ સુધી ઓગળે છે તે ઉષ્મીય વાહકતાના ગુણાંક $K$ સાથે $K \propto l^2$ સંબંધ ધરાવે છે.
તેથી,લંબાઈ $l_1$ અને $l_2$ નો ગુણોત્તર $\frac{l_1}{l_2} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{K_1}{K_2} = \frac{10}{9}$,આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{l_1}{l_2} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3}$.
આમ,લંબાઈનો ગુણોત્તર $\sqrt{10} : 3$ છે.

(C) ઉષ્મા વહનનો દર શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{Q}{t} = \frac{KA(\Delta \theta)}{l}$
આપેલ કિંમતો:
ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{Q}{t} = 50 \ \text{cal/s}$
ક્ષેત્રફળ $A = 5 \ cm^2$
તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta = 20^{\circ}C$
જાડાઈ $l = 0.4 \ cm$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$50 = \frac{K \times 5 \times 20}{0.4}$
$50 = \frac{100K}{0.4}$
$50 \times 0.4 = 100K$
$20 = 100K$
$K = \frac{20}{100} = 0.2 \ \text{cal} \cdot \text{cm}^{-1} \cdot \text{s}^{-1} \cdot ^{\circ}C^{-1}$
આમ,ઉષ્મા વાહકતાનો ગુણાંક $0.2$ છે.

(C) સિયર્લનું સાધન ધાતુના સળિયાની ઉષ્મીય વાહકતાને સ્થાયી અવસ્થામાં માપવા માટે રચાયેલ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,સળિયા પરના કોઈપણ બિંદુએ તાપમાન સમય સાથે બદલાતું નથી.
ઉષ્મા વહનનો નિયમ દર્શાવે છે કે ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $dQ/dt = -kA(dT/dx)$ છે.
સળિયો તેની લંબાઈ પર ઉષ્મીય રીતે અવાહક હોવાથી,ઉષ્મા પ્રવાહનો દર સમગ્ર સળિયામાં અચળ રહે છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને ઉષ્મીય વાહકતા $k$ અચળ હોવાથી,તાપમાનનો ઢાળ $dT/dx$ પણ સળિયાના તમામ બિંદુઓ પર સમાન હોવો જોઈએ.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને દીવાલોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે. ધારો કે સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન $\theta$ છે.
ઉષ્મા વહન માટેના સૂત્ર $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_{high} - T_{low})}{d}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{k_1 A(T_1 - \theta)}{d_1} = \frac{k_2 A(\theta - T_2)}{d_2}$
ક્ષેત્રફળ $A$ ને દૂર કરતા અને પદોને ગોઠવતા:
$k_1 d_2 (T_1 - \theta) = k_2 d_1 (\theta - T_2)$
$k_1 d_2 T_1 - k_1 d_2 \theta = k_2 d_1 \theta - k_2 d_1 T_2$
$k_1 d_2 T_1 + k_2 d_1 T_2 = \theta (k_1 d_2 + k_2 d_1)$
$\theta = \frac{k_1 T_1 d_2 + k_2 T_2 d_1}{k_1 d_2 + k_2 d_1}$

(A) ધારો કે દરેક સ્તરની જાડાઈ $d$ છે. ધારો કે તાંબાની ઉષ્મીય વાહકતા $K_c$ અને પિત્તળની ઉષ્મીય વાહકતા $K_b$ છે. આપેલ છે કે $K_c : K_b = 1 : 4$,તેથી $K_b = 4K_c$.
સ્થાયી અવસ્થામાં,તાંબાના સ્તરમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર પિત્તળના સ્તરમાંથી પસાર થતા ઉષ્માના દર જેટલો જ હોય છે.
ધારો કે આંતરપૃષ્ઠનું તાપમાન $\theta$ છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA(\Delta T)}{d}$.
તાંબા માટે: $H_c = \frac{K_c A(\theta - 0)}{d}$.
પિત્તળ માટે: $H_b = \frac{K_b A(100 - \theta)}{d}$.
$H_c = H_b$ હોવાથી,$\frac{K_c A \theta}{d} = \frac{4K_c A(100 - \theta)}{d}$.
સામાન્ય પદો $K_c, A, d$ ને દૂર કરતા: $\theta = 4(100 - \theta)$.
$\theta = 400 - 4\theta$.
$5\theta = 400$.
$\theta = 80^\circ C$.

(D) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = -KA \frac{d\theta}{dx}$.
આખા સળિયાનું તાપમાન સમાન રહે તે માટે,તાપમાનનો ઢાળ (temperature gradient) $\frac{d\theta}{dx}$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સમીકરણ પરથી,જો $\frac{dQ}{dt}$ એક નિશ્ચિત મૂલ્ય હોય અને $K = \infty$ હોય,તો $\frac{d\theta}{dx}$ શૂન્ય થવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta$ એ $x$ થી સ્વતંત્ર છે,એટલે કે સળિયામાં તાપમાન અચળ અથવા સમાન છે.

(B) બરફ ઉષ્માનો મંદ વાહક છે (ખૂબ જ ઓછી ઉષ્મીય વાહકતા ધરાવે છે).
જ્યારે તળાવની સપાટી પર બરફનું પડ બને છે,ત્યારે તે ઠંડા વાતાવરણ અને તેની નીચેના ગરમ પાણી વચ્ચે એક ઇન્સ્યુલેટીંગ અવરોધ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ ઓછી ઉષ્મીય વાહકતાને કારણે,પાણીમાંથી ઉષ્મા સરળતાથી વાતાવરણમાં બહાર નીકળી શકતી નથી,જે વધુ બરફ બનવાની પ્રક્રિયાને નોંધપાત્ર રીતે ધીમી પાડે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ઉષ્મા વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{Q}{t} = \frac{KA\Delta \theta}{l}$.
અહીં ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\frac{Q}{t}$,લંબાઈ $l$,અને તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta$ બંને તાર માટે સમાન હોવાથી,આપણને મળે છે: $K_A A_A = K_B A_B$.
આડછેદ વર્તુળાકાર હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થાય. તેથી,$A_A = \pi r_A^2$ અને $A_B = \pi r_B^2$.
આપેલ શરત $r_A = 2r_B$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $A_A = \pi (2r_B)^2 = 4\pi r_B^2 = 4A_B$.
હવે,આ કિંમત સમાનતામાં મૂકતા: $K_A (4A_B) = K_B A_B$.
બંને બાજુ $4A_B$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $K_A = \frac{K_B}{4}$.

(B) સળિયામાંથી ઉષ્માના વહનનો દર $(Q)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = \frac{kA(T_1 - T_2)}{l}$,જ્યાં $A = \pi r^2$.
આમ,$Q \propto \frac{r^2}{l}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$ અને લંબાઈ $l_1 = l$ છે. પ્રારંભિક ઉષ્મા પ્રવાહ $Q_1 \propto \frac{r^2}{l}$ છે.
જ્યારે બંનેને બમણા કરવામાં આવે,ત્યારે $r_2 = 2r$ અને $l_2 = 2l$ થાય છે.
નવો ઉષ્મા પ્રવાહ $Q_2 \propto \frac{(2r)^2}{2l} = \frac{4r^2}{2l} = 2 \left( \frac{r^2}{l} \right)$ થાય છે.
તેથી,$Q_2 = 2 Q_1$.
આમ,ઉષ્માના વહનનો દર $2$ ગણો વધે છે.

(C) એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉષ્મા વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{Q}{At} = K \left( \frac{\Delta \theta}{l} \right)$.
આપેલ છે કે ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{Q}{At}$ દરેક માટે સમાન છે,તેથી $K \left( \frac{\Delta \theta}{l} \right) = \text{અચળ}$.
અહીં,$\frac{\Delta \theta}{l}$ એ તાપમાન પ્રચલન $X$ દર્શાવે છે. આમ,$K \cdot X = \text{અચળ}$,જેનો અર્થ છે કે $X \propto \frac{1}{K}$.
જેમ કે ઉષ્મા વાહકતાના ગુણાંક $K_c > K_m > K_g$ આપેલ છે,વ્યસ્ત સંબંધ મુજબ તેમના અનુરૂપ તાપમાન પ્રચલન $X_c < X_m < X_g$ થશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) જ્યારે સમાન જાડાઈ $l$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ધરાવતી બે પ્લેટોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત ઉષ્મીય અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ ના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$R_{eq} = R_1 + R_2$
ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{l}{KA}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{2l}{K_{eq} A} = \frac{l}{K_1 A} + \frac{l}{K_2 A}$
બંને બાજુને $\frac{l}{A}$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$
$\frac{2}{K_{eq}} = \frac{K_2 + K_1}{K_1 K_2}$
$K_{eq} = \frac{2 K_1 K_2}{K_1 + K_2}$

(A) સળિયામાંથી ઉષ્માના વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta \theta}{l} = \frac{K(\pi r^2) \Delta \theta}{l}$.
આપેલ છે કે ઉષ્મા વાહકતા $(K_s:K_l)$,ત્રિજ્યા $(r_s:r_l)$ અને લંબાઈ $(l_s:l_l)$ નો ગુણોત્તર $1:2$ છે,તેથી:
$\frac{K_s}{K_l} = \frac{1}{2}$,$\frac{r_s}{r_l} = \frac{1}{2}$,અને $\frac{l_s}{l_l} = \frac{1}{2}$.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta$ બંને માટે સમાન છે.
ઉષ્માના વહન દરનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{(dQ/dt)_s}{(dQ/dt)_l} = \frac{K_s}{K_l} \times \left(\frac{r_s}{r_l}\right)^2 \times \frac{l_l}{l_s} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{2}{1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{4}$.
આપેલ છે કે $(dQ/dt)_l = 4 \; cal/sec$,તેથી $(dQ/dt)_s = \frac{1}{4} \times 4 = 1 \; cal/sec$.

(D) ઉષ્મા વહનનો દર $Q/t = (KA \Delta \theta) / l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ બરફ ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$l$ એ દીવાલની જાડાઈ છે અને $\Delta \theta$ એ તાપમાનનો તફાવત છે.
બરફ સપાટી પર ઓગળતો હોવાથી,$Q \propto A \propto r^2$.
તેથી,$t \propto (Q \cdot l) / (K \cdot A) \propto (r^2 \cdot l) / (K \cdot r^2) = l / K$.
આમ,$K \propto l / t$.
આપેલ છે કે $l_l = (1/4)l_s$,$t_l = 25 \ min$ અને $t_s = 16 \ min$.
તેથી,$K_l / K_s = (l_l / l_s) \cdot (t_s / t_l) = (1/4) \cdot (16/25) = 1/25$.

(D) સળિયામાંથી ઉષ્માના વહનનો દર $H$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $H = \frac{Q}{t} = \frac{kA(\Delta \theta)}{l}$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,ઉષ્મા વાહકતા $k$ અચળ છે. આપેલ છે કે તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta$ પણ સમાન છે,તેથી $H \propto \frac{A}{l}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $H \propto \frac{r^2}{l}$.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $d_1 : d_2 = 2 : 1$ હોવાથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2$ પણ $2 : 1$ થશે. લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_1 : l_2 = 1 : 4$ છે.
તેથી,ઉષ્માના વહનનો દરનો ગુણોત્તર: $\frac{H_1}{H_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \times \left( \frac{l_2}{l_1} \right) = \left( \frac{2}{1} \right)^2 \times \left( \frac{4}{1} \right) = 4 \times 4 = 16$.
આમ,ગુણોત્તર $16 : 1$ છે.

(A) સમાન આડછેદ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સળિયાઓ માટે,જે લંબાઈ $l$ સુધી મીણ ઓગળે છે તે ઉષ્મા વાહકતા $K$ ના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $l \propto \sqrt{K}$ અથવા $K \propto l^2$.
આપેલ છે:
તાંબાની ઉષ્મા વાહકતા $(K_1)$ = $0.92$
તાંબા માટે લંબાઈ $(l_1)$ = $8.4 \ cm$
લોખંડ માટે લંબાઈ $(l_2)$ = $4.2 \ cm$
સંબંધ $\frac{K_1}{K_2} = \frac{l_1^2}{l_2^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$K_2 = K_1 \times \left( \frac{l_2}{l_1} \right)^2$
$K_2 = 0.92 \times \left( \frac{4.2}{8.4} \right)^2$
$K_2 = 0.92 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2$
$K_2 = 0.92 \times \frac{1}{4} = 0.23$
તેથી,લોખંડની ઉષ્મા વાહકતા $0.23$ છે.

(C) માટી ઉષ્માનો મંદ વાહક છે.
તેની ઓછી ઉષ્મીય વાહકતાને કારણે,તે અવાહક તરીકે કાર્ય કરે છે.
તે ઉનાળામાં બહારની ગરમીને અંદર આવતી અટકાવે છે અને શિયાળામાં અંદરની ગરમીને બહાર જતી અટકાવે છે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$L_1 = 1 \ cm$,$L_2 = 2 \ cm$,$K_1 = K$,$K_2 = 3K$,$T_1 = 0^{\circ}C$,$T_2 = 100^{\circ}C$,અને $\phi$ એ સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA(T_{high} - T_{low})}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સળિયા માટે: $H_1 = \frac{K \cdot A \cdot (\phi - 0)}{1}$.
બીજા સળિયા માટે: $H_2 = \frac{3K \cdot A \cdot (100 - \phi)}{2}$.
$H_1 = H_2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$K \cdot A \cdot \phi = \frac{3K \cdot A \cdot (100 - \phi)}{2}$
$\phi = \frac{3(100 - \phi)}{2}$
$2\phi = 300 - 3\phi$
$5\phi = 300$
$\phi = 60^{\circ}C$.

(C) ઉષ્મા વહનનો દર $H$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $H = \frac{KA \Delta \theta}{l}$.
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 10 \ cm = 0.1 \ m$.
ક્ષેત્રફળ $A = 100 \ cm^2 = 100 \times 10^{-4} \ m^2 = 10^{-2} \ m^2$.
ઉષ્મા વાહકતા $K = 400 \ W/m \cdot ^\circ C$.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = 4000 \ J/s$.
તાપમાનના તફાવત $\Delta \theta$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta \theta = \frac{H \times l}{K \times A}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \theta = \frac{4000 \times 0.1}{400 \times 10^{-2}} = \frac{400}{4} = 100 \ ^\circ C$.

(B) જ્યારે તમે કોઈ સપાટીને સ્પર્શ કરો છો,ત્યારે જો સપાટી તમારા શરીર કરતા ઠંડી હોય તો ઉષ્મા તમારા શરીરમાંથી સપાટી તરફ વહે છે.
ધાતુઓ ઉષ્માના સારા વાહક છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની ઉષ્મીય વાહકતા ઊંચી હોય છે.
આ ઊંચી ઉષ્મીય વાહકતાને કારણે,ઉષ્મા તમારી ત્વચામાંથી ધાતુમાં ખૂબ જ ઝડપથી સ્થાનાંતરિત થાય છે.
તેનાથી વિપરીત,લાકડું ઉષ્માનું મંદ વાહક (અવાહક) છે,તેથી તે તમારી ત્વચામાંથી ઉષ્માને ખૂબ જ ધીમેથી દૂર કરે છે.
તેથી,ધાતુ ઠંડી લાગે છે કારણ કે તે તમારા શરીરમાંથી ઉષ્માને ખૂબ જ ઝડપી દરે ખેંચી લે છે.

(C) ઇન્જેન હૉઝના પ્રયોગમાં, ધાતુના સળિયા પર મીણનું પડ ચડાવવામાં આવે છે અને એક છેડાને ગરમ કરવામાં આવે છે। મીણ સળિયા પર $l$ લંબાઈ સુધી ઓગળે છે.
સ્થાયી ઉષ્મા વહન સમીકરણ મુજબ, સળિયામાંથી વહેતી ઉષ્મા મીણના પડ દ્વારા વ્યય થાય છે.
સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H = KA \frac{dT}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l$ લંબાઈના સળિયાની સપાટી પરથી ગુમાવેલી ઉષ્મા તેની સપાટીના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે, જે $2\pi r l$ છે.
વહન પામેલી ઉષ્મા અને ગુમાવેલી ઉષ્માને સરખાવતા, આપણને $KA \frac{\Delta T}{l} \propto P \cdot l$ મળે છે, જ્યાં $P$ એ પરિમિતિ છે.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $K \propto l^2$ અથવા $K/l^2 = \text{અચળ}$ મળે છે.

(B) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{Q}{t} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{l}$.
આપેલ છે: $K = 100 \ W/m-K$,$A = 100 \ cm^2 = 100 \times 10^{-4} \ m^2 = 10^{-2} \ m^2$,$l = 1.0 \ m$,$\theta_1 = 100^{\circ}C$,$\theta_2 = 0^{\circ}C$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{Q}{t} = \frac{100 \times 10^{-2} \times (100 - 0)}{1} = 1 \times 100 = 100 \ J/s$.
$1 \ minute = 60 \ seconds$ હોવાથી,પ્રતિ મિનિટ વહન પામતી ઉષ્મા $Q = 100 \ J/s \times 60 \ s = 6000 \ J = 6 \times 10^3 \ J$ થાય.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{Q}{t} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{l}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન દ્રવ્ય હોવાથી,ઉષ્મા વાહકતા $K$ અચળ છે. આપેલ છે કે તાપમાનનો તફાવત $(\theta_1 - \theta_2)$ પણ અચળ છે,તેથી $\frac{Q}{t} \propto \frac{A}{l}$ થાય.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$\frac{Q}{t} \propto \frac{r^2}{l}$ મળે.
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$.
તેથી,ઉષ્મા વહનનો ગુણોત્તર $\frac{(Q/t)_1}{(Q/t)_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{l_2}{l_1}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{2}{1}\right) = \frac{4}{9} \times 2 = \frac{8}{9}$ થાય.

(B) પદાર્થમાંથી ઉષ્માના વહનનો દર $Q = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)t}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાત્રો સમાન હોવાથી,બંને માટે ક્ષેત્રફળ $A$,જાડાઈ $l$ અને તાપમાનનો તફાવત $(\theta_1 - \theta_2)$ સમાન છે.
વળી,બંને કિસ્સામાં બરફનો જથ્થો $Q$ પણ સમાન છે.
તેથી,$K_1 t_1 = K_2 t_2$ થાય.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{K_1}{K_2} = \frac{t_2}{t_1}$.
અહીં $t_1 = 20 \text{ મિનિટ}$ અને $t_2 = 35 \text{ મિનિટ}$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{K_1}{K_2} = \frac{35}{20} = \frac{7}{4}$.
આમ,ઉષ્મીય વાહકતાના ગુણાંકનો ગુણોત્તર $7:4$ છે.

(A) ઇન્જેન-હાઉઝના પ્રયોગમાં,સળિયા પર મીણ જે લંબાઈ $l$ સુધી ઓગળે છે તે તેની ઉષ્મીય વાહકતા $K$ સાથે $l^2 \propto K$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
આપેલ લંબાઈ $l_1 = 10 \ cm$ અને $l_2 = 25 \ cm$ છે.
ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{l_1^2}{l_2^2}$
$\frac{K_1}{K_2} = \left( \frac{10}{25} \right)^2$
$\frac{K_1}{K_2} = \left( \frac{2}{5} \right)^2 = \frac{4}{25} = \frac{1}{6.25}$
તેથી,ગુણોત્તર $1:6.25$ છે.

(A) સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્મા પ્રવાહ $H = \frac{\Delta T}{R_{th}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $R_{th}$ એ ઉષ્મીય અવરોધ છે.
ઉષ્મીય અવરોધ $R_{th} = \frac{L}{kA}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $k$ એ દ્રવ્યની ઉષ્મા વાહકતા છે.
બધા સળિયા સમાન પરિમાણ ધરાવતા હોવાથી ($L$ અને $A$ અચળ છે),ઉષ્મીય અવરોધ ઉષ્મા વાહકતા $k$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તાંબાની ઉષ્મા વાહકતા સ્ટીલ કરતા ઘણી વધારે હોય છે $(k_{Cu} > k_{Steel})$,જેનો અર્થ છે કે તાંબાના સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ સ્ટીલના સળિયા કરતા ઘણો ઓછો હોય છે.
સંયુક્ત સળિયા (શ્રેણી જોડાણ) માટે,કુલ ઉષ્મીય અવરોધ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે $(R_{total} = R_{Cu} + R_{Steel})$,જે એકલા તાંબાના સળિયાના અવરોધ કરતા વધારે હશે.
તેથી,શુદ્ધ તાંબાના સળિયા માટે ઉષ્મીય અવરોધ ન્યૂનતમ છે,જેના પરિણામે ઉષ્મા પ્રવાહ મહત્તમ મળે છે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $(H)$ સમાન હોવો જોઈએ.
ઉષ્માના પ્રવાહનો દર શોધવાનું સૂત્ર $H = \frac{KA(\Delta T)}{l}$ છે.
ધારો કે સામાન્ય જંકશનનું તાપમાન $\theta$ છે. સળિયા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,પ્રથમ સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો પ્રવાહ બીજા સળિયામાંથી પસાર થતા ઉષ્માના પ્રવાહ જેટલો જ હશે:
$\frac{K_1 A (\theta_1 - \theta)}{l} = \frac{K_2 A (\theta - \theta_2)}{l}$
અહીં લંબાઈ $(l)$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ સમાન હોવાથી,તે ઉડી જશે:
$K_1(\theta_1 - \theta) = K_2(\theta - \theta_2)$
$K_1 \theta_1 - K_1 \theta = K_2 \theta - K_2 \theta_2$
$K_1 \theta_1 + K_2 \theta_2 = \theta(K_1 + K_2)$
$\theta = \frac{K_1 \theta_1 + K_2 \theta_2}{K_1 + K_2}$

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,સમઘન $A$ માંથી પસાર થતા ઉષ્મા પ્રવાહનો દર સમઘન $B$ માંથી પસાર થતા ઉષ્મા પ્રવાહના દર જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે ઇન્ટરફેસનું તાપમાન $T$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમઘન સમાન કદના હોવાથી,તેમનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને લંબાઈ $L$ સમાન છે.
સમઘન $A$ માટે: $H_A = \frac{K_A A (100 - T)}{L}$
સમઘન $B$ માટે: $H_B = \frac{K_B A (T - 0)}{L}$
$H_A = H_B$ ને સરખાવતા:
$\frac{K_A A (100 - T)}{L} = \frac{K_B A (T - 0)}{L}$
$K_A (100 - T) = K_B T$
$300(100 - T) = 200T$
$3(100 - T) = 2T$
$300 - 3T = 2T$
$5T = 300$
$T = 60^{\circ}C$
આમ,ઇન્ટરફેસનું તાપમાન $60^{\circ}C$ છે.

(B) નળાકાર સળિયામાંથી ઉષ્માના વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_1 - T_2)}{L}$,જ્યાં $A = \pi r^2$.
આમ,ઉષ્માના વહનનો દર $\frac{r^2}{L}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1$ અને લંબાઈ $L_1$ છે. તેથી $Q_1 \propto \frac{r_1^2}{L_1}$.
જ્યારે તમામ રેખીય પરિમાણો બમણા કરવામાં આવે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 2r_1$ અને નવી લંબાઈ $L_2 = 2L_1$ થાય છે.
ઉષ્માના વહનનો નવો દર $Q_2 \propto \frac{r_2^2}{L_2} = \frac{(2r_1)^2}{2L_1} = \frac{4r_1^2}{2L_1} = 2 \left( \frac{r_1^2}{L_1} \right)$.
તેથી,$Q_2 = 2Q_1$.

(B) ઉષ્મા વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{Q}{t} = \frac{KA \Delta \theta}{l}$.
આપેલ કિંમતો છે: $l = 1 \; m$,$A = 0.75 \; m^2$,$\frac{Q}{t} = 6000 \; J/s$,અને $K = 200 \; J \cdot m^{-1} \cdot s^{-1} \cdot K^{-1}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$6000 = \frac{200 \times 0.75 \times \Delta \theta}{1}$.
$\Delta \theta$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta \theta = \frac{6000}{200 \times 0.75} = \frac{6000}{150} = 40 \; ^\circ C$.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણીમાં જોડાયેલા સ્તરોમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર સમાન હોય છે.
ધારો કે સંપર્ક સપાટી પરનું તાપમાન $\theta$ છે. સ્તર $A$ ની આરપાર તાપમાનનો તફાવત $(\theta_1 - \theta)$ છે અને સ્તર $B$ ની આરપાર $(\theta - \theta_2)$ છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA(\Delta T)}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $H_A = H_B$ અને બંને સ્તરો માટે ક્ષેત્રફળ $A$ અને જાડાઈ $l$ સમાન છે:
$\frac{K_A A (\theta_1 - \theta)}{l} = \frac{K_B A (\theta - \theta_2)}{l}$
$K_A (\theta_1 - \theta) = K_B (\theta - \theta_2)$
આપેલ છે કે $K_A = 3K_B$,તેથી:
$3K_B (\theta_1 - \theta) = K_B (\theta - \theta_2)$
$3(\theta_1 - \theta) = (\theta - \theta_2)$
ધારો કે $\Delta T_A = (\theta_1 - \theta)$ અને $\Delta T_B = (\theta - \theta_2)$.
તેથી $3 \Delta T_A = \Delta T_B$.
કુલ તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_A + \Delta T_B = 20^\circ C$ છે.
$\Delta T_B = 3 \Delta T_A$ મૂકતા:
$\Delta T_A + 3 \Delta T_A = 20^\circ C$
$4 \Delta T_A = 20^\circ C$
$\Delta T_A = 5^\circ C$.

(B) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H$ એ સૂત્ર $H = \frac{kA \Delta T}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $l$ એ લંબાઈ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$k$ અચળ છે. તાપમાનનો તફાવત $\Delta T$ સમાન હોવાથી,$H \propto \frac{A}{l}$ થાય.
વર્તુળાકાર સળિયા માટે,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે,તેથી $H \propto \frac{r^2}{l}$.
દરેક વિકલ્પ માટે $\frac{r^2}{l}$ ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$(a) \frac{(2r_0)^2}{2l_0} = \frac{4r_0^2}{2l_0} = 2 \frac{r_0^2}{l_0}$
$(b) \frac{(2r_0)^2}{l_0} = \frac{4r_0^2}{l_0} = 4 \frac{r_0^2}{l_0}$
$(c) \frac{r_0^2}{l_0} = 1 \frac{r_0^2}{l_0}$
$(d) \frac{r_0^2}{2l_0} = 0.5 \frac{r_0^2}{l_0}$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(b)$ નો ગુણોત્તર સૌથી વધુ છે,જેનો અર્થ છે કે તે સૌથી વધુ ઉષ્માનું વહન કરશે.

(B) ધારો કે દરેક સ્તરની જાડાઈ $x$ છે. ધારો કે $B$ ની ઉષ્મીય વાહકતા $K$ છે,તો $A$ ની ઉષ્મીય વાહકતા $2K$ થશે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,બંને સ્તરોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{KA(\Delta T)}{x}$.
સ્તર $A$ માટે: $H_A = \frac{(2K)A(\theta_1 - \theta)}{x}$.
સ્તર $B$ માટે: $H_B = \frac{KA(\theta - \theta_2)}{x}$.
$H_A = H_B$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{2KA(\theta_1 - \theta)}{x} = \frac{KA(\theta - \theta_2)}{x}$
$2(\theta_1 - \theta) = (\theta - \theta_2)$
ધારો કે $\Delta T_A = (\theta_1 - \theta)$ અને $\Delta T_B = (\theta - \theta_2)$.
તેથી $2\Delta T_A = \Delta T_B$.
આપણને કુલ તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_A + \Delta T_B = 36^{\circ}C$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં $\Delta T_B = 2\Delta T_A$ મૂકતા:
$\Delta T_A + 2\Delta T_A = 36^{\circ}C$
$3\Delta T_A = 36^{\circ}C$
$\Delta T_A = 12^{\circ}C$.
આમ,સ્તર $A$ પર તાપમાનનો તફાવત $12^{\circ}C$ છે.

(D) હીટર દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્માનો દર $P = \frac{V^2}{R} = \frac{200^2}{20} = 2000 \ W = 2000 \ J/s$ છે.
કાચની બારીમાંથી વહન પામતી ઉષ્માનો દર $H = \frac{K A (T_{in} - T_{out})}{d}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં, $K = 0.2 \ W/(m \cdot K)$, $A = 1 \ m^2$, $d = 0.2 \ cm = 0.002 \ m$, અને $T_{in} = 20^{\circ}C$ છે.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા અને વહન પામતી ઉષ્માને સરખાવતા: $2000 = \frac{0.2 \times 1 \times (20 - T_{out})}{0.002}$.
$2000 = 100 \times (20 - T_{out})$.
$20 = 20 - T_{out}$.
$T_{out} = 0^{\circ}C$. આ પરિણામ વિકલ્પોમાં આપેલ ન હોવાથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $x$ જાડાઈના બરફના પડમાંથી પસાર થતા ઉષ્માનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA\theta}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ જેમ બરફ $dt$ સમયમાં $dx$ જેટલો જાડો થાય છે,તેમ મુક્ત થતી ઉષ્મા $dQ = L \cdot dm = L \cdot A \cdot \rho \cdot dx$ છે.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{kA\theta}{x} = L A \rho \frac{dx}{dt}$ મળે છે.
પુનઃગોઠવણ કરતા $dt = \frac{\rho L}{k\theta} x \, dx$ મળે છે.
$x$ થી $y$ સુધી સંકલન કરતા $t = \int_{x}^{y} \frac{\rho L}{k\theta} x \, dx = \frac{\rho L}{k\theta} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{x}^{y} = \frac{\rho L}{2k\theta} (y^2 - x^2)$ મળે છે.
અહીં જાડાઈ $x$ થી $y$ વધે છે,તેથી $t = \frac{\rho L(y^2 - x^2)}{2k\theta} = \frac{\rho L(y - x)(y + x)}{2k\theta}$.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,સળિયા $BC$ માંથી વહેતી ઉષ્મા સળિયા $CA$ માંથી વહેતી ઉષ્મા જેટલી હોવી જોઈએ કારણ કે તેઓ $BCA$ માર્ગ પર શ્રેણીમાં છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_{high} - T_{low})}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયા $BC$ માટે,લંબાઈ $L_{BC} = a$,તાપમાનનો તફાવત $(\sqrt{2}T - T_C)$ છે.
સળિયા $CA$ માટે,લંબાઈ $L_{CA} = a\sqrt{2}$,તાપમાનનો તફાવત $(T_C - T)$ છે.
ઉષ્મા વહનના દરોને સરખાવતા:
$\frac{kA(\sqrt{2}T - T_C)}{a} = \frac{kA(T_C - T)}{a\sqrt{2}}$
$\sqrt{2}(\sqrt{2}T - T_C) = T_C - T$
$2T - \sqrt{2}T_C = T_C - T$
$3T = T_C(1 + \sqrt{2})$
$\frac{T_C}{T} = \frac{3}{1 + \sqrt{2}}$

(C) બરફના સ્તરમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ જેમ બરફની જાડાઈ $dt$ સમયમાં $dx$ જેટલી વધે છે,ત્યારે મુક્ત થતી ઉષ્મા $dQ = L \cdot dm = L \cdot \rho \cdot A \cdot dx$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{x} dt = L \rho A dx$.
$x_1 = 5 \ cm$ થી $x_2 = 10 \ cm$ સુધી સંકલન કરતા:
$t = \frac{L \rho}{K(\theta_1 - \theta_2)} \int_{5}^{10} x \, dx = \frac{L \rho}{K(\theta_1 - \theta_2)} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{5}^{10}$.
કિંમતો મૂકતા: $t = \frac{80 \times 0.92}{0.004 \times (0 - (-10))} \times \frac{100 - 25}{2} = \frac{73.6}{0.04} \times 37.5 = 1840 \times 37.5 \text{ સેકન્ડ}$.
કલાકમાં રૂપાંતર કરતા: $t = \frac{1840 \times 37.5}{3600} \approx 19.1 \ \text{કલાક}$.

(C) નળાકાર સળિયામાંથી પસાર થતી ઉષ્માનો દર $\frac{Q}{t} = \frac{KA\Delta \theta}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉષ્માનો ઉપયોગ બરફને પીગળવા માટે થાય છે,તેથી $\frac{Q}{t} = \frac{mL}{t}$,જ્યાં $L$ એ ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા છે.
આમ,$\frac{mL}{t} = \frac{K(\pi r^2)\Delta \theta}{l}$.
આ સૂચવે છે કે બરફ પીગળવાનો દર,$\frac{m}{t} \propto \frac{Kr^2}{l}$.
ધારો કે પ્રારંભિક દર $R_1 = \left(\frac{m}{t}\right)_1 = 0.1 \ gm/sec$ છે.
બીજા સળિયા માટે,$K_2 = \frac{1}{4}K_1$,$r_2 = 2r_1$,અને $l_2 = \frac{1}{2}l_1$.
નવો દર $R_2 = R_1 \times \left(\frac{K_2}{K_1}\right) \times \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 \times \left(\frac{l_1}{l_2}\right)$.
કિંમતો મૂકતા: $R_2 = 0.1 \times \left(\frac{1}{4}\right) \times (2)^2 \times (2) = 0.1 \times \frac{1}{4} \times 4 \times 2 = 0.2 \ gm/sec$.

(C) સમય $t$ માં સળિયા દ્વારા વહન પામતી ઉષ્માનું સૂત્ર: $Q = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)t}{l}$ છે.
આ ઉષ્માનો ઉપયોગ બરફને ઓગાળવા માટે થાય છે,તેથી $Q = mL$,જ્યાં $m$ એ ઓગળેલા બરફનું દળ છે અને $L$ એ બરફની ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા છે.
બંનેને સરખાવતા: $mL = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)t}{l}$.
આપેલ કિંમતો: $K = 92 \; cal/(m \cdot s \cdot ^\circ C)$,$A = 10^{-3} \; m^2$,$l = 1.0 \; m$,$\theta_1 = 100^\circ C$,$\theta_2 = 0^\circ C$,$t = 60 \; s$,અને $L = 8 \times 10^4 \; cal/kg$.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{92 \times 10^{-3} \times (100 - 0) \times 60}{1.0 \times 8 \times 10^4}$.
$m = \frac{92 \times 10^{-3} \times 100 \times 60}{8 \times 10^4} = \frac{552}{8000} = 6.9 \times 10^{-3} \; kg$.

(D) દીવાલમાંથી પસાર થતી ઉષ્માનો દર નીચે મુજબ છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta \theta}{l}$.
આપેલ છે: $K = 0.01\;J/(m\cdot s\cdot ^\circ C)$,$A = 1\;m^2$,$l = 5.0\;cm = 0.05\;m$,અને $\Delta \theta = 30^\circ C - 0^\circ C = 30^\circ C$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dQ}{dt} = \frac{0.01 \times 1}{0.05} \times 30 = 6\;J/s$.
એક દિવસમાં $(t = 86400\;s)$ સ્થાનાંતરિત કુલ ઉષ્મા: $Q = \frac{dQ}{dt} \times t = 6 \times 86400 = 518400\;J$.
ઓગળેલા બરફનું દળ $Q = mL$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $L = 334 \times 10^3\;J/kg$.
$m = \frac{Q}{L} = \frac{518400}{334 \times 10^3} = 1.552\;kg$.
ગ્રામમાં ફેરવતા: $m = 1.552 \times 1000 = 1552\;g$.

(B) મધ્યના સળિયા ($C$ અને $D$ ને જોડતા) માંથી ઉષ્માનો પ્રવાહ ન વહે તે માટે,$C$ અને $D$ પરનું તાપમાન સમાન હોવું જોઈએ,એટલે કે $\theta_C = \theta_D$.
સળિયા સમાન પરિમાણો (લંબાઈ $l$ અને ક્ષેત્રફળ $A$) ધરાવતા હોવાથી,દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R = \frac{l}{KA}$ છે.
ઉપરની શાખા $(A-C-B)$ માટે,ઉષ્માનો પ્રવાહ:
$\frac{Q}{t} = \frac{\theta_A - \theta_C}{R_1} = \frac{\theta_C - \theta_B}{R_2}$
$\Rightarrow \frac{\theta_A - \theta_C}{\theta_C - \theta_B} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{l/K_1 A}{l/K_2 A} = \frac{K_2}{K_1}$ ... $(i)$
નીચેની શાખા $(A-D-B)$ માટે,ઉષ્માનો પ્રવાહ:
$\frac{Q}{t} = \frac{\theta_A - \theta_D}{R_3} = \frac{\theta_D - \theta_B}{R_4}$
$\Rightarrow \frac{\theta_A - \theta_D}{\theta_D - \theta_B} = \frac{R_3}{R_4} = \frac{l/K_3 A}{l/K_4 A} = \frac{K_4}{K_3}$ ... $(ii)$
કારણ કે $\theta_C = \theta_D$,સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની ડાબી બાજુ સમાન છે. તેથી:
$\frac{K_2}{K_1} = \frac{K_4}{K_3}$
$\Rightarrow K_1 K_4 = K_2 K_3$