Heat Conduction and Thermal Conductivity Questions in Hindi

(D) स्थायी अवस्था में, श्रेणीक्रम में जुड़े दोनों स्लैब से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होनी चाहिए।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है, $A$ क्षेत्रफल है, $L$ मोटाई है, और $(T_1 - T_2)$ तापमान का अंतर है।
मान लीजिए कि जंक्शन $EF$ का तापमान $T$ है।
पहले स्लैब के लिए (मोटाई $d$, चालकता $2k$): $H_1 = \frac{(2k)A(100 - T)}{d}$
दूसरे स्लैब के लिए (मोटाई $2d$, चालकता $k$): $H_2 = \frac{kA(T - 0)}{2d}$
चूंकि $H_1 = H_2$:
$\frac{2kA(100 - T)}{d} = \frac{kA(T - 0)}{2d}$
$2(100 - T) = \frac{T}{2}$
$4(100 - T) = T$
$400 - 4T = T$
$5T = 400$
$T = 80^oC$.

(A) स्थिर अवस्था में,दोनों शीट से होकर गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होनी चाहिए।
$H = \frac{K_1 A (T_A - T_B)}{d} = \frac{K_2 A (T_B - T_C)}{2d}$
यह दिया गया है कि $T_A, T_B, T_C$ सामान्य अनुपात $r = 2$ के साथ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए:
$T_B = 2 T_A$ और $T_C = 4 T_A$।
इन मानों को ऊष्मा प्रवाह समीकरण में रखने पर:
$\frac{K_1 (T_A - 2 T_A)}{d} = \frac{K_2 (2 T_A - 4 T_A)}{2d}$
$\frac{K_1 (-T_A)}{d} = \frac{K_2 (-2 T_A)}{2d}$
$- \frac{K_1 T_A}{d} = - \frac{K_2 T_A}{d}$
$K_1 = K_2$
अतः,अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = 1$ है।

(B) स्थिर अवस्था में,दोनों परतों $A$ और $B$ से होकर गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर $\dot{Q}$ समान होनी चाहिए।
दिया गया है: मोटाई $d_A = d_B = d$,ऊष्मीय चालकता $k_A = 2k$ और $k_B = k$।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\dot{Q} = \frac{kA \Delta T}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\dot{Q}$ स्थिर है और $A$ तथा $d$ दोनों परतों के लिए समान हैं,इसलिए $k_A \Delta T_A = k_B \Delta T_B$ होगा।
मान रखने पर: $(2k) \Delta T_A = (k) \Delta T_B$।
दिया गया है कि $\Delta T_B = 36^{\circ}C$,इसलिए $2 \Delta T_A = 36^{\circ}C$।
अतः,$\Delta T_A = \frac{36}{2} = 18^{\circ}C$ प्राप्त होता है।

(B) चूंकि छड़ $AB$ में ऊष्मा का कोई प्रवाह नहीं है,इसलिए जंक्शन $B$ का तापमान $A$ के तापमान के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\theta_B = \theta_A = 20^{\circ} C$।
चूंकि $D$ से $B$ तक प्रवाहित होने वाली ऊष्मा $B$ से $C$ तक प्रवाहित होने वाली ऊष्मा के बराबर होनी चाहिए (क्योंकि $AB$ में कोई ऊष्मा प्रवाहित नहीं होती है),इसलिए:
$\frac{KA(90^{\circ} - 20^{\circ})}{L_{BD}} = \frac{KA(20^{\circ} - 0^{\circ})}{L_{BC}}$
$\frac{70}{L_{BD}} = \frac{20}{L_{BC}}$
$\frac{L_{BD}}{L_{BC}} = \frac{70}{20} = \frac{7}{2}$
इस प्रकार,$BD$ और $BC$ की लंबाई का अनुपात $7/2$ है।

(C) माना जंक्शन का तापमान $\theta$ है और छड़ों से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धाराएँ $H_{1}, H_{2}$ और $H_{3}$ हैं।
जंक्शन पर ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जंक्शन में प्रवेश करने वाली ऊष्मा धाराओं का योग जंक्शन से बाहर निकलने वाली ऊष्मा धाराओं के योग के बराबर होना चाहिए।
यह मानते हुए कि ऊष्मा $30^{\circ}C$ वाले सिरे से जंक्शन की ओर प्रवाहित होती है,और जंक्शन से $20^{\circ}C$ और $10^{\circ}C$ वाले सिरों की ओर प्रवाहित होती है:
$H_{1} = H_{2} + H_{3}$
ऊष्मा धारा के सूत्र $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $L$ लंबाई है:
$\frac{30 - \theta}{\left(\frac{30}{KA}\right)} = \frac{\theta - 20}{\left(\frac{20}{KA}\right)} + \frac{\theta - 10}{\left(\frac{10}{KA}\right)}$
दोनों पक्षों से $KA$ को हटाने पर:
$\frac{30 - \theta}{30} = \frac{\theta - 20}{20} + \frac{\theta - 10}{10}$
हर को हटाने के लिए $60$ से गुणा करने पर:
$2(30 - \theta) = 3(\theta - 20) + 6(\theta - 10)$
$60 - 2\theta = 3\theta - 60 + 6\theta - 60$
$60 - 2\theta = 9\theta - 120$
$11\theta = 180$
$\theta = \frac{180}{11} \approx 16.36^{\circ}C \approx 16.4^{\circ}C$.

(B) ऊष्मा स्थानांतरण की दर $H = \frac{K A \Delta T}{l}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $A = 9.0 \, cm^2 = 9.0 \times 10^{-4} \, m^2$,$l = 0.54 \, m$,$\Delta T = 100 \, ^\circ C - 0 \, ^\circ C = 100 \, K$.
ऊष्मा प्रवाह की दर बर्फ के पिघलने की दर के बराबर होती है: $H = \frac{m L_f}{t}$,जहाँ $L_f = 334 \, J/g$ (बर्फ की गलन की गुप्त ऊष्मा)।
$H = \frac{1 \, g \times 334 \, J/g}{33 \, s} \approx 10.12 \, W$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{K \times 9.0 \times 10^{-4} \times 100}{0.54} = \frac{334}{33}$.
$K \times \frac{0.09}{0.54} = 10.12$.
$K \times \frac{1}{6} = 10.12$.
$K = 60.72 \, W m^{-1} K^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक में,$K = 60 \, W m^{-1} K^{-1}$।

(A) परतों के श्रेणी संयोजन के माध्यम से स्थिर ऊष्मा प्रवाह के लिए,ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt}$ दोनों परतों में स्थिर रहती है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = k A \frac{\Delta T}{\Delta x}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $\frac{\Delta T}{\Delta x}$ तापमान प्रवणता ($T-x$ ग्राफ का ढलान) है।
चूंकि $\frac{dQ}{dt}$ और $A$ स्थिर हैं,इसलिए $\frac{\Delta T}{\Delta x} \propto \frac{1}{k}$ होता है।
ग्राफ से,परत $(1)$ में तापमान प्रोफ़ाइल का ढलान परत $(2)$ के ढलान से कम है,अर्थात $|\frac{\Delta T}{\Delta x}|_1 < |\frac{\Delta T}{\Delta x}|_2$।
चूंकि ढलान $k$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए छोटा ढलान अधिक ऊष्मीय चालकता को दर्शाता है।
अतः,$k_1 > k_2$।

(B) छड़ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा की दर का सूत्र है: $\dot{Q} = \frac{KA \Delta T}{l}$।
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं,इसलिए दोनों छड़ों से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा की दर $\dot{Q}$ समान होनी चाहिए।
छड़ $A$ के लिए (ऊष्मीय चालकता $3K$): $\dot{Q}_A = \frac{(3K)A T_A}{l}$।
छड़ $B$ के लिए (ऊष्मीय चालकता $K$): $\dot{Q}_B = \frac{KA T_B}{l}$।
चूंकि $\dot{Q}_A = \dot{Q}_B$,इसलिए:
$\frac{3KA T_A}{l} = \frac{KA T_B}{l}$
$3 T_A = T_B$
अतः,$\frac{T_A}{T_B} = \frac{1}{3}$।

(B) श्रेणीक्रम संयोजन में,दोनों छड़ों से होकर गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होती है।
ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र $H = KA \frac{\Delta T}{l}$ है,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है,और $\Delta T/l$ तापमान प्रवणता $(G)$ है।
चूंकि $H$ दोनों छड़ों के लिए स्थिर है,इसलिए $H = K_A A G_A = K_B A G_B$ होगा।
यहाँ $K_A = 3K$ और $K_B = K$ दिया गया है,इसलिए $(3K) A G_A = (K) A G_B$ होगा।
इसे सरल करने पर,हमें $3 G_A = G_B$ प्राप्त होता है।
अतः,तापमान प्रवणताओं का अनुपात $\frac{G_A}{G_B} = \frac{1}{3}$ है।

(A) माना पतली शीट (मोटाई $d$) और मोटी शीट (मोटाई $3d$) की ऊष्मीय चालकता क्रमशः $K_1$ और $K_2$ है।
स्थिर अवस्था में,दोनों शीट से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{K_1 A (A - B)}{d} = \frac{K_2 A (B - C)}{3d}$
चूंकि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $B - A = C - B$,जिसका अर्थ है $A - B = B - C$।
इस मान को ऊष्मा प्रवाह समीकरण में रखने पर:
$\frac{K_1}{d} = \frac{K_2}{3d}$
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{1}{3}$
अतः,पतली शीट और मोटी शीट की ऊष्मीय चालकता का अनुपात $1 : 3$ है।

(A) अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ वाली छड़ से गुजरने वाली ऊष्मा धारा $H = -KA \frac{dT}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि छड़ अछूता है,इसलिए पूरी लंबाई में $H$ स्थिर रहता है।
$K = \frac{\alpha}{T}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $H = -\frac{\alpha A}{T} \frac{dT}{dx}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{H}{\alpha A} dx = -\frac{dT}{T}$।
$x=0$ से $x$ और $T=T_1$ से $T$ तक समाकलन करने पर:
$\int_0^x \frac{H}{\alpha A} dx = -\int_{T_1}^T \frac{dT}{T}$।
$\frac{H}{\alpha A} x = -(\ln T - \ln T_1) = \ln \frac{T_1}{T}$।
$x=L$ पर,$T=T_2$ है,इसलिए $\frac{H}{\alpha A} L = \ln \frac{T_1}{T_2}$।
अतः,$\frac{H}{\alpha A} = \frac{1}{L} \ln \frac{T_1}{T_2}$।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{x}{L} \ln \frac{T_1}{T_2} = \ln \frac{T_1}{T}$।
$\ln \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^{\frac{x}{L}} = \ln \frac{T_1}{T}$।
दोनों पक्षों का घातांक (exponential) लेने पर: $\left( \frac{T_1}{T_2} \right)^{\frac{x}{L}} = \frac{T_1}{T}$।
इसलिए,$T = T_1 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^{\frac{x}{L}}$।

(A) स्थायी अवस्था (steady state) में,दोनों खंडों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है।
मान लीजिए कि इंटरफ़ेस पर तापमान $T$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_{high} - T_{low})}{l}$ द्वारा दी जाती है।
पहले खंड के लिए: $H = \frac{K_1 A(T_1 - T)}{l_1}$.
दूसरे खंड के लिए: $H = \frac{K_2 A(T - T_2)}{l_2}$.
दोनों दरों को बराबर करने पर: $\frac{K_1 A(T_1 - T)}{l_1} = \frac{K_2 A(T - T_2)}{l_2}$.
$\frac{K_1(T_1 - T)}{l_1} = \frac{K_2(T - T_2)}{l_2}$.
$K_1 l_2(T_1 - T) = K_2 l_1(T - T_2)$.
$K_1 l_2 T_1 - K_1 l_2 T = K_2 l_1 T - K_2 l_1 T_2$.
$K_1 l_2 T_1 + K_2 l_1 T_2 = T(K_1 l_2 + K_2 l_1)$.
$T = \frac{K_1 l_2 T_1 + K_2 l_1 T_2}{K_1 l_2 + K_2 l_1}$.

(C) स्थिर अवस्था में,छड़ के दोनों खंडों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए।
मान लीजिए कि इंटरफ़ेस पर तापमान $T$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_{high} - T_{low})}{l}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों खंडों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है,इसलिए:
$\frac{K_1 A (T_1 - T)}{l_1} = \frac{K_2 A (T - T_2)}{l_2}$
$\frac{K_1 (T_1 - T)}{l_1} = \frac{K_2 (T - T_2)}{l_2}$
$K_1 l_2 (T_1 - T) = K_2 l_1 (T - T_2)$
$K_1 l_2 T_1 - K_1 l_2 T = K_2 l_1 T - K_2 l_1 T_2$
$K_1 l_2 T_1 + K_2 l_1 T_2 = T (K_1 l_2 + K_2 l_1)$
$T = \frac{K_1 l_2 T_1 + K_2 l_1 T_2}{K_1 l_2 + K_2 l_1}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) स्थिर अवस्था में,एक समान धात्विक छड़ के किसी भी अनुप्रस्थ काट से ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ स्थिर होती है।
ऊष्मा चालन के फूरियर नियम के अनुसार,$H = -kA \frac{d\theta}{dx}$,जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $\frac{d\theta}{dx}$ तापमान प्रवणता है।
चूँकि एक समान छड़ के लिए $H$,$k$,और $A$ स्थिर हैं,इसलिए तापमान प्रवणता $\frac{d\theta}{dx} = -\frac{H}{kA}$ भी स्थिर होनी चाहिए।
इस व्यंजक का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\theta(x) = -(\frac{H}{kA})x + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है जो गर्म सिरे $(x=0)$ पर तापमान को दर्शाता है।
यह समीकरण $\theta = -mx + C$ के रूप का है,जो ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
अतः,छड़ की लंबाई के साथ तापमान रैखिक रूप से घटता है।

(C) मान लीजिए जंक्शन $D$ का तापमान $T_D$ है। स्थिर अवस्था में, जंक्शन $D$ पर कुल ऊष्मा प्रवाह शून्य होता है: $i_{AD} + i_{CD} = 0$.
$\frac{KA}{L}(100 - T_D) + \frac{KA}{L}(0 - T_D) = 0 \implies 100 - T_D - T_D = 0 \implies 2T_D = 100 \implies T_D = 50^{\circ}C$। (कथन $B$ सही है)।
अब, ऊष्मा प्रवाह की गणना करें:
$i_{AB} = \frac{KA}{L}(100 - 40) = 1 \times 60 = 60 \text{ J/s}$।
$i_{BC} = \frac{KA}{L}(40 - 0) = 1 \times 40 = 40 \text{ J/s}$।
$i_{AD} = \frac{KA}{L}(100 - 50) = 50 \text{ J/s}$।
$i_{DC} = \frac{KA}{L}(50 - 0) = 50 \text{ J/s}$।
$i_{AB}$ और $i_{BC}$ की तुलना करने पर: $i_{AB} = 60 \text{ J/s}$ और $i_{BC} = 40 \text{ J/s}$। अतः, $i_{AB} = 1.5 \times i_{BC}$। (कथन $A$ सही है, कथन $C$ गलत है)।
$B$ पर निकाली गई ऊष्मा प्रवाह: जंक्शन $B$ को $A$ से ऊष्मा प्राप्त होती है $(i_{AB} = 60 \text{ J/s})$ और $C$ को ऊष्मा खो देता है $(i_{BC} = 40 \text{ J/s})$। शेष ऊष्मा को $B$ से निकाला जाना चाहिए: $i_{withdrawn} = i_{AB} - i_{BC} = 60 - 40 = 20 \text{ J/s}$। (कथन $D$ सही है)।

(B) समान अनुप्रस्थ काट वाली छड़ के माध्यम से ऊष्मा चालन की स्थायी अवस्था में, ऊष्मा प्रवाह की दर $(dQ/dt)$ स्थिर होती है।
फूरियर के ऊष्मा चालन के नियम के अनुसार, $dQ/dt = -kA(d\theta/dx)$, जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है, $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है, और $d\theta/dx$ तापमान प्रवणता (temperature gradient) है।
चूंकि $dQ/dt$, $k$, और $A$ स्थिर हैं, इसलिए तापमान प्रवणता $d\theta/dx$ भी स्थिर होनी चाहिए।
इसका तात्पर्य यह है कि तापमान $\theta$, गर्म सिरे से दूरी $x$ के साथ रैखिक रूप से घटता है।
इसलिए, तापमान बनाम दूरी का ग्राफ ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा होती है।

(B) माना जंक्शन का तापमान $T$ है।
स्थायी अवस्था में,जंक्शन पर कुल ऊष्मा प्रवाह शून्य होता है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
माना $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $L$ प्रत्येक छड़ की लंबाई है।
तीनों छड़ों के लिए ऊष्मा धाराएं:
$H_1 = \frac{K A (110 - T)}{L}$
$H_2 = \frac{2K A (20 - T)}{L}$
$H_3 = \frac{3K A (T - 0)}{L}$
जंक्शन पर ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जंक्शन में आने वाली ऊष्मा धारा = जंक्शन से बाहर जाने वाली ऊष्मा धारा।
$H_1 + H_2 = H_3$
$\frac{KA(110-T)}{L} + \frac{2KA(20-T)}{L} = \frac{3KA(T-0)}{L}$
$\frac{KA}{L}$ से विभाजित करने पर:
$(110 - T) + 2(20 - T) = 3T$
$110 - T + 40 - 2T = 3T$
$150 - 3T = 3T$
$6T = 150$
$T = 25\ ^oC$.

(D) छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ का सूत्र $H = \frac{KA \Delta T}{L}$ है,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta T$ तापमान का अंतर है और $L$ छड़ की लंबाई है।
चूंकि पदार्थ समान है,$K$ स्थिर है। दिया गया है कि $\Delta T$ भी समान है,इसलिए $H \propto \frac{A}{L}$ होगा।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$,इसलिए $A \propto d^2$ है।
अतः,ऊष्मा प्रवाह का अनुपात $\frac{H_1}{H_2} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 \times \left( \frac{L_2}{L_1} \right)$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}$ और $\frac{L_1}{L_2} = \frac{2}{1}$,इन मानों को रखने पर:
$\frac{H_1}{H_2} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \times \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$।
अतः,अनुपात $1:8$ है।

(B) स्थिर अवस्था में,दोनों परतों $A$ और $B$ से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होती है।
$H = \frac{K_A A \Delta T_A}{L} = \frac{K_B A \Delta T_B}{L}$
चूंकि दोनों परतों के लिए क्षेत्रफल $A$ और मोटाई $L$ समान है,इसलिए:
$K_A \Delta T_A = K_B \Delta T_B$
दिया गया है कि $A$ की ऊष्मीय चालकता $B$ की दोगुनी है,अर्थात $K_A = 2K_B$:
$2K_B \Delta T_A = K_B \Delta T_B \implies \Delta T_B = 2 \Delta T_A$
दीवार के आर-पार कुल तापमान का अंतर $36\,^{\circ}C$ दिया गया है:
$\Delta T_A + \Delta T_B = 36$
समीकरण में $\Delta T_B = 2 \Delta T_A$ रखने पर:
$\Delta T_A + 2 \Delta T_A = 36$
$3 \Delta T_A = 36$
$\Delta T_A = 12\,^{\circ}C$

(C) स्थायी अवस्था में,दोनों छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए।
मान लीजिए कि इंटरफ़ेस का तापमान $\varphi$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
पहली छड़ के लिए: $H_1 = \frac{K \cdot A \cdot (\varphi - 0)}{1}$.
दूसरी छड़ के लिए: $H_2 = \frac{3K \cdot A \cdot (100 - \varphi)}{2}$.
चूंकि $H_1 = H_2$,हमारे पास है:
$K \cdot A \cdot \varphi = \frac{3K \cdot A \cdot (100 - \varphi)}{2}$.
दोनों पक्षों से $K$ और $A$ को हटाने पर:
$\varphi = \frac{3(100 - \varphi)}{2}$.
$2\varphi = 300 - 3\varphi$.
$5\varphi = 300$.
$\varphi = 60\,^{\circ}C$.

(B) स्थायी अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है,अर्थात $\left(\frac{dQ}{dt}\right)_{A} = \left(\frac{dQ}{dt}\right)_{B}$।
सूत्र $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta T}{L}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta T$ तापमान का अंतर है और $L$ लंबाई है।
छड़ $A$ के लिए: $L_A = 30 \text{ cm}$,$\Delta T_A = 100 - 70 = 30^{\circ}\text{C}$।
छड़ $B$ के लिए: $L_B = 100 - 30 = 70 \text{ cm}$,$\Delta T_B = 70 - 35 = 35^{\circ}\text{C}$।
यह मानते हुए कि दोनों छड़ों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है:
$\frac{K_A A (30)}{30} = \frac{K_B A (35)}{70}$
$K_A = K_B \times \frac{35}{70}$
$K_A = K_B \times 0.5$
अतः,$\frac{K_A}{K_B} = 0.5$।

(B) स्थायी अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी दोनों छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होती है।
$H_A = H_B$
$\frac{K_A A \Delta T_A}{L_A} = \frac{K_B A \Delta T_B}{L_B}$
दिया गया है: $L_A = 30 \text{ cm}$,$L_B = 70 \text{ cm}$,$\Delta T_A = 100 - 70 = 30 \text{ } ^\circ\text{C}$,$\Delta T_B = 70 - 35 = 35 \text{ } ^\circ\text{C}$.
यह मानते हुए कि दोनों छड़ों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है:
$\frac{K_A \cdot 30}{30} = \frac{K_B \cdot 35}{70}$
$K_A = K_B \cdot 0.5$
$\frac{K_A}{K_B} = 0.5$

(C) माना जंक्शन का तापमान $\theta$ है और $H_1, H_2, H_3$ छड़ों से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धाराएँ हैं।
जंक्शन पर ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जंक्शन में प्रवेश करने वाली ऊष्मा धाराओं का योग जंक्शन से बाहर निकलने वाली ऊष्मा धाराओं के योग के बराबर होना चाहिए।
चित्र से,$H_1 = H_2 + H_3$ है।
ऊष्मा धारा $H$ का सूत्र $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ है,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है और $L$ लंबाई है।
यह दिया गया है कि सभी छड़ों के लिए $K$ और $A$ समान हैं,इसलिए:
$\frac{30 - \theta}{(30/KA)} = \frac{\theta - 20}{(20/KA)} + \frac{\theta - 10}{(10/KA)}$
$KA$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{30 - \theta}{30} = \frac{\theta - 20}{20} + \frac{\theta - 10}{10}$
पूरे समीकरण को $60$ से गुणा करने पर:
$2(30 - \theta) = 3(\theta - 20) + 6(\theta - 10)$
$60 - 2\theta = 3\theta - 60 + 6\theta - 60$
$60 - 2\theta = 9\theta - 120$
$11\theta = 180$
$\theta = \frac{180}{11} \approx 16.36^{\circ}C \approx 16.4^{\circ}C$.

(B) मान लीजिए कि जंक्शन का तापमान $\theta$ है। ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जंक्शन में आने वाली ऊष्मा की दर जंक्शन से बाहर जाने वाली ऊष्मा की दर के बराबर होनी चाहिए।
छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
$100\,^{\circ}C$ से जुड़ी $3k$ चालकता वाली छड़ के लिए,जंक्शन की ओर ऊष्मा प्रवाह $H_1 = \frac{3k A(100 - \theta)}{L}$ है।
अन्य दो छड़ों के लिए,ऊष्मा जंक्शन से दूर $50\,^{\circ}C$ और $0\,^{\circ}C$ की ओर प्रवाहित होती है:
$H_2 = \frac{2k A(\theta - 50)}{L}$
$H_3 = \frac{k A(\theta - 0)}{L}$
जंक्शन नियम के अनुसार,$H_1 = H_2 + H_3$:
$\frac{3k A(100 - \theta)}{L} = \frac{2k A(\theta - 50)}{L} + \frac{k A(\theta - 0)}{L}$
दोनों पक्षों से $\frac{kA}{L}$ को हटाने पर:
$3(100 - \theta) = 2(\theta - 50) + \theta$
$300 - 3\theta = 2\theta - 100 + \theta$
$300 - 3\theta = 3\theta - 100$
$400 = 6\theta$
$\theta = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}\,^{\circ}C$

(B) छड़ के माध्यम से ऊष्मा धारा $H = -KA \frac{dT}{dx}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $K$ ऊष्मीय चालकता है।
दिया गया है $K = C/T$,इसलिए $H = -\frac{C}{T} A \frac{dT}{dx}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$H \frac{dx}{A} = -C \frac{dT}{T}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x=0$ से $x=l$ और $T=T_1$ से $T=T_2$ तक समाकलन करने पर:
$\int_0^l \frac{H}{A} dx = -\int_{T_1}^{T_2} C \frac{dT}{T}$.
स्थिर अवस्था में,ऊष्मा धारा घनत्व $J_H = H/A$ स्थिर रहता है।
$J_H \int_0^l dx = -C [\ln T]_{T_1}^{T_2}$.
$J_H \cdot l = -C (\ln T_2 - \ln T_1) = C \ln \left( \frac{T_1}{T_2} \right)$.
अतः,ऊष्मा धारा घनत्व का परिमाण $J_H = \frac{C}{l} \ln \left( \frac{T_1}{T_2} \right)$ है।

(B) स्थायी अवस्था में,छड़ के किसी भी अनुप्रस्थ काट से ऊष्मा प्रवाह की दर स्थिर होती है।
मान लीजिए बिंदु $C$ पर तापमान $\theta$ है,जो सिरे $A$ से $x = 0.6\,m$ की दूरी पर है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
पूरी छड़ $AB$ के लिए (लंबाई $L = 1\,m$): $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(80 - 0)}{1} = 80KA$.
खंड $AC$ के लिए (लंबाई $x = 0.6\,m$): $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(80 - \theta)}{0.6}$.
दोनों दरों को बराबर करने पर: $80KA = \frac{KA(80 - \theta)}{0.6}$.
$80 = \frac{80 - \theta}{0.6}$.
$80 \times 0.6 = 80 - \theta$.
$48 = 80 - \theta$.
$\theta = 80 - 48 = 32^{\circ}C$.

(A) मान लीजिए कि स्टील की तापीय चालकता $K_{steel} = k$ है।
तब,तांबे की तापीय चालकता $K_{copper} = 9k$ होगी।
मान लीजिए कि जंक्शन का तापमान $\theta$ है।
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं और आसपास के वातावरण से इंसुलेटेड हैं,इसलिए स्थिर अवस्था में दोनों छड़ों से गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होगी।
$H = \frac{K_{copper} A (100 - \theta)}{L/2} = \frac{K_{steel} A (\theta - 0)}{L/2}$
चूंकि दोनों छड़ों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और लंबाई $L/2$ समान है:
$K_{copper} (100 - \theta) = K_{steel} (\theta - 0)$
$9k (100 - \theta) = k \theta$
$900 - 9\theta = \theta$
$10\theta = 900$
$\theta = 90\,^oC$.

(A) ऊर्जा फ्लक्स (ऊष्मा प्रवाह घनत्व) $J$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $J = \frac{1}{A} \frac{dQ}{dt} = k \frac{\Delta T}{\ell}$.
दिए गए मान हैं:
ऊष्मीय चालकता $k = 0.1\, W\, K^{-1}\, m^{-1}$.
तापमान का अंतर $\Delta T = T_1 - T_2 = 10^3 - 10^2 = 1000 - 100 = 900\, K$.
मोटाई $\ell = 1\, m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$J = 0.1 \times \frac{900}{1} = 90\, W\, m^{-2}$.
अतः,ऊर्जा फ्लक्स $90\, W\, m^{-2}$ है।

(B) स्थायी अवस्था में,दोनों पदार्थों से होकर गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है।
माना इंटरफ़ेस पर तापमान $\theta$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
पहले पदार्थ के लिए: $H_1 = \frac{(3K)A(\theta_2 - \theta)}{d}$।
दूसरे पदार्थ के लिए: $H_2 = \frac{KA(\theta - \theta_1)}{3d}$।
$H_1$ और $H_2$ को बराबर करने पर:
$\frac{3KA(\theta_2 - \theta)}{d} = \frac{KA(\theta - \theta_1)}{3d}$
$9(\theta_2 - \theta) = \theta - \theta_1$
$9\theta_2 - 9\theta = \theta - \theta_1$
$10\theta = 9\theta_2 + \theta_1$
$\theta = \frac{9\theta_2 + \theta_1}{10} = \frac{\theta_1}{10} + \frac{9\theta_2}{10}$।

(B) छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $(Q)$ का सूत्र है: $Q = \frac{KA \Delta T}{L}$,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta T$ तापमान का अंतर है और $L$ लंबाई है।
चूंकि सभी छड़ों के लिए $K$ और $\Delta T$ समान हैं,इसलिए $Q \propto \frac{A}{L}$ होगा।
$A = \pi r^2$ होने के कारण,$Q \propto \frac{r^2}{L}$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{r^2}{L}$ का अनुपात ज्ञात करते हैं:
$A: \frac{1^2}{50} = \frac{1}{50} = 0.02$
$B: \frac{2^2}{100} = \frac{4}{100} = 0.04$
$C: \frac{0.5^2}{25} = \frac{0.25}{25} = 0.01$
$D: \frac{1.5^2}{75} = \frac{2.25}{75} = 0.03$
इन मानों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ के लिए अनुपात अधिकतम $(0.04)$ है। अतः,विकल्प $B$ वाली छड़ सबसे अधिक ऊष्मा का चालन करती है।

(B) स्थायी अवस्था में,ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ पूरी छड़ में स्थिर रहती है।
$H = \frac{T_A - T_B}{R_{AB}} = \frac{T_A - T_C}{R_{AC}}$
चूंकि ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ छड़ की लंबाई $L$ के समानुपाती होता है $(R = \frac{L}{kA})$,इसलिए $\frac{R_{AC}}{R_{AB}} = \frac{L_{AC}}{L_{AB}}$ होता है।
अतः,$\frac{T_A - T_C}{T_A - T_B} = \frac{L_{AC}}{L_{AB}}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $T_A = 100\,^{\circ}C$,$T_B = 0\,^{\circ}C$,$L_{AC} = 9\,cm$,और $L_{AB} = 20\,cm$.
$\frac{100 - T_C}{100 - 0} = \frac{9}{20}$
$100 - T_C = \frac{9}{20} \times 100$
$100 - T_C = 45$
$T_C = 100 - 45 = 55\,^{\circ}C$.

(C) स्थिर अवस्था में,दोनों छड़ों से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा धारा $H$ समान होती है।
ऊष्मा धारा $H = \frac{KA \Delta T}{L}$ द्वारा दी जाती है,जिसे $\Delta T = H \cdot \frac{L}{KA}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$dx$ लंबाई के एक छोटे खंड के लिए,तापमान में गिरावट $dT = H \cdot \frac{dx}{KA}$ होती है।
इस प्रकार,तापमान प्रवणता $\frac{dT}{dx} = -\frac{H}{KA}$ है।
चूंकि $H$ और $A$ स्थिर हैं,तापमान प्रवणता का परिमाण ऊष्मीय चालकता $K$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है (अर्थात $|\frac{dT}{dx}| \propto \frac{1}{K}$)।
दिया गया है कि $K_{Cu} > K_{Steel}$,इसलिए तांबे की छड़ में तापमान प्रवणता का परिमाण स्टील की छड़ की तुलना में कम होता है।
इसका मतलब है कि $T-x$ ग्राफ का ढलान तांबे की छड़ $(0 < x < L)$ के लिए कम और स्टील की छड़ $(L < x < 2L)$ के लिए अधिक होता है।
ग्राफ $C$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) श्रेणीक्रम में जुड़ी छड़ों के माध्यम से स्थिर-अवस्था ऊष्मा चालन में,ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dH}{dt}$ दोनों छड़ों के लिए समान होती है।
ऊष्मा प्रवाह का सूत्र $\frac{dH}{dt} = K A \left| \frac{dT}{dx} \right|$ है,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $\left| \frac{dT}{dx} \right|$ तापमान प्रवणता (temperature gradient) है।
चूंकि $\frac{dH}{dt}$ और $A$ दोनों छड़ों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $K_1 \left| \frac{dT}{dx} \right|_1 = K_2 \left| \frac{dT}{dx} \right|_2$ होगा।
दिए गए ग्राफ से,तापमान-दूरी रेखा का ढाल तापमान प्रवणता $\left| \frac{dT}{dx} \right|$ के परिमाण को दर्शाता है।
ग्राफ से यह स्पष्ट है कि दूसरी छड़ ($L$ से $2L$ तक) के लिए ढाल,पहली छड़ ($0$ से $L$ तक) के ढाल से अधिक है।
इसलिए,$\left| \frac{dT}{dx} \right|_2 > \left| \frac{dT}{dx} \right|_1$ है।
चूंकि $K_1 \left| \frac{dT}{dx} \right|_1 = K_2 \left| \frac{dT}{dx} \right|_2$ है,और $\left| \frac{dT}{dx} \right|_2 > \left| \frac{dT}{dx} \right|_1$ है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $K_1 > K_2$ है।

(B) माना जंक्शन का तापमान $T_0$ है।
स्थिर ऊष्मा प्रवाह के सिद्धांत के अनुसार,जंक्शन में प्रवेश करने वाली ऊष्मा धाराओं का योग शून्य होना चाहिए:
$\frac{T_0 - 100}{R_1} + \frac{T_0 - 50}{R_2} + \frac{T_0 - 0}{R_3} = 0$
चूंकि छड़ों के आयाम (लंबाई $L$ और क्षेत्रफल $A$) समान हैं,इसलिए ऊष्मीय प्रतिरोध $R = \frac{L}{kA}$ होगा।
अतः,$R_1 = \frac{L}{3KA}$,$R_2 = \frac{L}{2KA}$,और $R_3 = \frac{L}{KA}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{T_0 - 100}{L/(3KA)} + \frac{T_0 - 50}{L/(2KA)} + \frac{T_0 - 0}{L/(KA)} = 0$
$3K' (T_0 - 100) + 2K' (T_0 - 50) + K' (T_0) = 0$ (जहाँ $K' = \frac{KA}{L}$)
$3T_0 - 300 + 2T_0 - 100 + T_0 = 0$
$6T_0 = 400$
$T_0 = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}^{\circ}C$

(C) स्थायी अवस्था में,छड़ के दोनों भागों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए।
मान लीजिए कि धातु की ऊष्मीय चालकता $K$ है,दोनों भागों की लंबाई $l_1 = l_2 = 1\, m$ है,और जंक्शन $C$ पर तापमान $T$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA \Delta T}{l}$ द्वारा दी जाती है।
पहले भाग के लिए: $H_1 = \frac{K(2A)(100 - T)}{1}$.
दूसरे भाग के लिए: $H_2 = \frac{K(A)(T - 70)}{1}$.
चूंकि $H_1 = H_2$,हमें प्राप्त होता है:
$2KA(100 - T) = KA(T - 70)$
$2(100 - T) = T - 70$
$200 - 2T = T - 70$
$3T = 270$
$T = 90\,^{\circ}C$.

(B) स्थिर अवस्था में,दोनों छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए।
मान लीजिए इंटरफ़ेस का तापमान $T$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_H - T_L)}{\ell}$ द्वारा दी जाती है।
$2k$ ऊष्मीय चालकता वाली छड़ के लिए ($100^oC$ से जुड़ी): $\frac{dQ_1}{dt} = \frac{2kA(100 - T)}{\ell}$.
$k$ ऊष्मीय चालकता वाली छड़ के लिए ($20^oC$ से जुड़ी): $\frac{dQ_2}{dt} = \frac{kA(T - 20)}{\ell}$.
दोनों दरों को बराबर करने पर: $\frac{2kA(100 - T)}{\ell} = \frac{kA(T - 20)}{\ell}$.
$2(100 - T) = T - 20$.
$200 - 2T = T - 20$.
$3T = 220$.
$T = \frac{220}{3} \approx 73.3^oC$.

(B) खाना पकाने के बर्तन में निम्नलिखित गुण होने चाहिए:
$1$. उच्च ऊष्मीय चालकता ताकि वह स्रोत से भोजन तक गर्मी को कुशलतापूर्वक स्थानांतरित कर सके।
$2$. कम विशिष्ट ऊष्मा धारिता ताकि बर्तन स्वयं कम गर्मी अवशोषित करके तुरंत वांछित तापमान तक पहुँच सके।

(C) छड़ के माध्यम से ऊष्मा चालन की दर $\frac{Q}{t} = \frac{kA(T_1 - T_2)}{l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $l$ लंबाई है।
जब छड़ को पिघलाकर नया आकार दिया जाता है,तो आयतन $V = A \cdot l = \pi r^2 l$ स्थिर रहता है।
माना नई त्रिज्या $r' = \frac{r}{2}$ है।
चूँकि $V = \pi (r')^2 l' = \pi (\frac{r}{2})^2 l' = \pi \frac{r^2}{4} l'$,इसलिए $\pi r^2 l = \pi \frac{r^2}{4} l'$,जिससे नई लंबाई $l' = 4l$ प्राप्त होती है।
नया क्षेत्रफल $A' = \pi (r')^2 = \pi (\frac{r}{2})^2 = \frac{A}{4}$ है।
नई छड़ द्वारा $t$ समय में चालित ऊष्मा $Q' = \frac{kA' (T_1 - T_2) t}{l'}$ है।
$A' = \frac{A}{4}$ और $l' = 4l$ प्रतिस्थापित करने पर:
$Q' = \frac{k (A/4) (T_1 - T_2) t}{4l} = \frac{1}{16} \frac{kA(T_1 - T_2) t}{l}$.
चूँकि $Q = \frac{kA(T_1 - T_2) t}{l}$,इसलिए हमें $Q' = \frac{Q}{16}$ प्राप्त होता है।

(A) $L$ लंबाई और सिरों पर $r_1$ और $r_2$ त्रिज्या वाली शंक्वाकार छड़ के लिए,$r_1$ त्रिज्या वाले सिरे से $x$ दूरी पर त्रिज्या $r(x) = r_1 + \frac{r_2 - r_1}{L}x$ द्वारा दी जाती है।
$dx$ मोटाई के एक छोटे अवयव का ऊष्मीय प्रतिरोध $dR = \frac{dx}{K A(x)} = \frac{dx}{K \pi (r(x))^2}$ है।
कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R$,$0$ से $L$ तक $dR$ का समाकलन है:
$R = \int_{0}^{L} \frac{dx}{K \pi (r_1 + \frac{r_2 - r_1}{L}x)^2}$.
इस समाकलन को हल करने पर $R = \frac{L}{K \pi r_1 r_2}$ प्राप्त होता है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{T_2 - T_1}{R} = \frac{K \pi r_1 r_2 (T_2 - T_1)}{L}$ है।

(B) ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA\Delta T}{L}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
पहली छड़ के लिए ($100\,^{\circ}C$ से जुड़ी): $\left( \frac{dQ}{dt} \right)_1 = \frac{3KA}{L}(100 - \theta)$.
दूसरी छड़ के लिए ($50\,^{\circ}C$ से जुड़ी): $\left( \frac{dQ}{dt} \right)_2 = \frac{2KA}{L}(\theta - 50)$.
तीसरी छड़ के लिए ($20\,^{\circ}C$ से जुड़ी): $\left( \frac{dQ}{dt} \right)_3 = \frac{KA}{L}(\theta - 20)$.
जंक्शन पर,ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत (स्थिर अवस्था) के अनुसार,अंदर आने वाली ऊष्मा बाहर जाने वाली ऊष्मा के बराबर होनी चाहिए:
$\left( \frac{dQ}{dt} \right)_1 = \left( \frac{dQ}{dt} \right)_2 + \left( \frac{dQ}{dt} \right)_3$.
मान रखने पर:
$\frac{3KA}{L}(100 - \theta) = \frac{2KA}{L}(\theta - 50) + \frac{KA}{L}(\theta - 20)$.
दोनों पक्षों से $\frac{KA}{L}$ को हटाने पर:
$3(100 - \theta) = 2(\theta - 50) + (\theta - 20)$.
$300 - 3\theta = 2\theta - 100 + \theta - 20$.
$300 - 3\theta = 3\theta - 120$.
$6\theta = 420$.
$\theta = 70\,^{\circ}C$.

(A) पीतल एक धातु है और ऊष्मा का सुचालक है। ठंडे दिन में,जब हम पीतल के गिलास को छूते हैं,तो उसकी उच्च ऊष्मीय चालकता के कारण हमारे शरीर से ऊष्मा तेजी से पीतल में स्थानांतरित होती है। चूंकि हमारा शरीर तेजी से ऊष्मा खोता है,इसलिए गिलास ठंडा महसूस होता है।
दूसरी ओर,लकड़ी ऊष्मा की कुचालक (अचालक) है। हमारे शरीर से लकड़ी में ऊष्मा का स्थानांतरण बहुत धीमा और न्यूनतम होता है,इसलिए लकड़ी की ट्रे पीतल के गिलास जितनी ठंडी महसूस नहीं होती है।

(D) ऊष्मा प्रवाह की दर को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{dQ}{dt} = -K A \frac{dT}{dx}$.
यहाँ,$\frac{dQ}{dt}$ ऊष्मा प्रवाह की दर है जिसका मात्रक वाट ($W$ या $J/s$) है,$A$ क्षेत्रफल है जिसका मात्रक $m^2$ है,और $\frac{dT}{dx}$ ताप प्रवणता है जिसका मात्रक $K/m$ है।
ऊष्मीय चालकता $(K)$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$K = \frac{(dQ/dt)}{A \cdot (dT/dx)}$
मात्रकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$K = \frac{W}{m^2 \cdot (K/m)} = \frac{W}{m \cdot K} = W m^{-1} K^{-1}$.
अतः,ऊष्मीय चालकता का मात्रक $W m^{-1} K^{-1}$ है।

(A) $x$ मोटाई वाली बर्फ की परत से $dt$ समय में प्रवाहित ऊष्मा $dQ = \frac{KA(T_2 - T_1)}{x} dt$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$T_2 = 0^{\circ}C$ (पानी-बर्फ इंटरफ़ेस का तापमान) और $T_1 = -26^{\circ}C$ (बाहरी हवा का तापमान) है।
अतः,$dQ = \frac{KA(0 - (-26))}{x} dt = \frac{26KA}{x} dt$.
यह ऊष्मा $dx$ मोटाई के अतिरिक्त पानी को बर्फ में बदलने का कारण बनती है। इस नई बर्फ की परत का द्रव्यमान $dm = A \cdot dx \cdot \rho$ है।
इस अवस्था परिवर्तन के दौरान मुक्त ऊष्मा $dQ = dm \cdot L = A \cdot dx \cdot \rho \cdot L$ है।
$dQ$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{26KA}{x} dt = A \cdot dx \cdot \rho \cdot L$.
मोटाई में वृद्धि की दर $\frac{dx}{dt}$ ज्ञात करने के लिए:
$\frac{dx}{dt} = \frac{26K}{\rho x L}$.

(B) स्थायी अवस्था में,स्टील की छड़ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा की दर कॉपर की छड़ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा की दर के बराबर होनी चाहिए।
माना जंक्शन का तापमान $T$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_H - T_L)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
स्टील की छड़ $(1)$ के लिए: $K_1 = 50.2 \; J s^{-1} m^{-1} K^{-1}$,$A_1 = 2A_2$,$L_1 = 0.15 \; m$,$T_H = 300^{\circ} C$,$T_L = T$.
कॉपर की छड़ $(2)$ के लिए: $K_2 = 385 \; J s^{-1} m^{-1} K^{-1}$,$A_2$,$L_2 = 0.10 \; m$,$T_H = T$,$T_L = 0^{\circ} C$.
ऊष्मा प्रवाह की दरों को बराबर करने पर:
$\frac{K_1 A_1 (300 - T)}{L_1} = \frac{K_2 A_2 (T - 0)}{L_2}$
$\frac{50.2 \times (2 A_2) \times (300 - T)}{0.15} = \frac{385 \times A_2 \times T}{0.10}$
$\frac{100.4 \times (300 - T)}{0.15} = \frac{385 \times T}{0.10}$
$669.33 \times (300 - T) = 3850 \times T$
$200799 - 669.33 T = 3850 T$
$4519.33 T = 200799$
$T \approx 44.4^{\circ} C$.

(A) घनाकार आइसबॉक्स की भुजा,$s = 30 \,cm = 0.3 \,m$.
आइसबॉक्स की मोटाई,$l = 5.0 \,cm = 0.05 \,m$.
प्रारंभिक बर्फ का द्रव्यमान,$m_{initial} = 4 \,kg$.
समय अंतराल,$t = 6 \,h = 6 \times 3600 \,s = 21600 \,s$.
तापमान का अंतर,$\Delta T = 45 \,^{\circ}C - 0 \,^{\circ}C = 45 \,K$.
ऊष्मीय चालकता गुणांक,$K = 0.01 \,J \,s^{-1} \,m^{-1} \,K^{-1}$.
पानी के गलन की गुप्त ऊष्मा,$L = 335 \times 10^{3} \,J \,kg^{-1}$.
घनाकार बॉक्स का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल,$A = 6s^{2} = 6 \times (0.3)^{2} = 0.54 \,m^{2}$.
बॉक्स में प्रवेश करने वाली ऊष्मा $Q = \frac{K A \Delta T t}{l}$ द्वारा दी जाती है।
$Q = \frac{0.01 \times 0.54 \times 45 \times 21600}{0.05} = 104976 \,J$.
पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान,$m_{melt} = \frac{Q}{L} = \frac{104976}{335 \times 10^{3}} \approx 0.313 \,kg$.
बची हुई बर्फ का द्रव्यमान $m_{remaining} = m_{initial} - m_{melt} = 4 - 0.313 = 3.687 \,kg \approx 3.69 \,kg$.

(B) बॉयलर की मोटाई,$l = 1.0\; cm = 0.01\; m$.
पानी के उबलने की दर,$R = 6.0\; kg/min$.
द्रव्यमान,$m = 6.0\; kg$.
समय,$t = 1\; min = 60\; s$.
पीतल की ऊष्मीय चालकता,$K = 109\; J s^{-1} m^{-1} K^{-1}$.
वाष्पीकरण की गुप्त ऊष्मा,$L = 2256 \times 10^{3}\; J kg^{-1}$.
बॉयलर के पीतल के आधार के माध्यम से पानी में प्रवाहित होने वाली ऊष्मा है:
$Q = \frac{K A (T_{1} - T_{2}) t}{l} \dots (i)$
जहाँ $T_{1}$ लौ का तापमान है और $T_{2} = 100^{\circ}C$ पानी का क्वथनांक है।
पानी उबालने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = m L \dots (ii)$ है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$m L = \frac{K A (T_{1} - T_{2}) t}{l}$
$T_{1} - T_{2} = \frac{m L l}{K A t} = \frac{6.0 \times 2256 \times 10^{3} \times 0.01}{109 \times 0.15 \times 60} \approx 137.98^{\circ}C$.
अतः,$T_{1} = 137.98 + 100 = 237.98^{\circ}C \approx 238^{\circ}C$.

(N/A) मान लीजिए $L$ लंबाई और $A$ समान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली एक धात्विक छड़ है,जिसके दोनों सिरों को अलग-अलग तापमान पर रखा गया है। यह सिरों को $T_{C}$ और $T_{D}$ तापमान वाले बड़े जलाशयों के संपर्क में रखकर किया जा सकता है,जहाँ $T_{C} > T_{D}$ है।
यह मानते हुए कि छड़ की भुजाएँ पूरी तरह से ऊष्मारोधी हैं,परिवेश के साथ कोई ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं होता है। प्रारंभ में,छड़ के विभिन्न भागों का तापमान समय के साथ बढ़ता है। कुछ समय बाद,एक 'स्थायी अवस्था' (steady state) प्राप्त हो जाती है जहाँ छड़ का तापमान $T_{C}$ से $T_{D}$ तक दूरी के साथ समान रूप से घटता है।
इस स्थायी अवस्था में,$C$ पर स्थित जलाशय एक स्थिर दर पर ऊष्मा प्रदान करता है,जो छड़ के माध्यम से स्थानांतरित होती है और $D$ पर स्थित जलाशय को उसी दर पर प्राप्त होती है। ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt}$ और तापमान प्रवणता $\frac{dT}{dx}$ दोनों समय के साथ स्थिर रहते हैं।
प्रायोगिक रूप से यह पाया गया है कि ऊष्मा प्रवाह की दर (या ऊष्मा धारा) $H$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$H = \frac{dQ}{dt} = KA \frac{T_{C} - T_{D}}{L}$
जहाँ $K$ पदार्थ की ऊष्मीय चालकता है।

(N/A) तांबा ऊष्मा का एक उत्कृष्ट सुचालक है। खाना पकाने वाले बर्तन के तल पर तांबे की कोटिंग करने से,चूल्हे से मिलने वाली गर्मी बर्तन के आधार पर अधिक तेज़ी से और समान रूप से वितरित हो जाती है। यह हॉट स्पॉट बनने से रोकता है और यह सुनिश्चित करता है कि भोजन समान रूप से पके। इसलिए,खाना पकाने वाले बर्तनों की तापीय दक्षता में सुधार करने के लिए तांबे की कोटिंग का उपयोग किया जाता है।

(N/A) ऊष्मीय चालकता $(k)$ को किसी पदार्थ की इकाई मोटाई से,इकाई क्षेत्रफल के माध्यम से,प्रति इकाई तापमान अंतर के लिए ऊष्मा स्थानांतरण की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसका सूत्र है: $Q = \frac{kA(T_1 - T_2)t}{d}$,जहाँ $Q$ स्थानांतरित ऊष्मा है,$A$ क्षेत्रफल है,$d$ मोटाई है,और $(T_1 - T_2)$ तापमान का अंतर है।
$k$ के लिए सूत्र: $k = \frac{Qd}{A(T_1 - T_2)t}$।
$SI$ मात्रक: ऊष्मा का मात्रक जूल $(J)$,क्षेत्रफल का $m^2$,मोटाई का $m$,तापमान का केल्विन $(K)$ और समय का सेकंड $(s)$ है। अतः,मात्रक $\frac{J \cdot m}{m^2 \cdot K \cdot s} = W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}$ है।
विमीय सूत्र: चूँकि $Q$ ऊर्जा $([ML^2T^{-2}])$ है,$d$ लंबाई $([L])$ है,$A$ क्षेत्रफल $([L^2])$ है,$\Delta T$ तापमान $([K])$ है,और $t$ समय $([T])$ है:
$k = \frac{[ML^2T^{-2}][L]}{[L^2][K][T]} = [MLT^{-3}K^{-1}]$।

(A) ऊष्मीय चालकता $(k)$ पदार्थ का एक गुण है जो पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है। किसी पदार्थ की ऊष्मीय चालकता को स्थिर रहने के लिए,उसे समांग (पूरे पदार्थ में एकसमान संरचना) और समदैशिक (सभी दिशाओं में समान भौतिक गुण) होना चाहिए। यदि ये शर्तें पूरी होती हैं,तो ऊष्मीय चालकता तापमान प्रवणता या वस्तु की ज्यामिति से स्वतंत्र रहती है।