Points related to triangle Questions in Gujarati

(A) મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ લંબકેન્દ્ર $H$ અને પરિકેન્દ્ર $O$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
ધારો કે $H = (1, 1)$ અને $O = \left( \frac{3}{2}, \frac{3}{4} \right)$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,મધ્યકેન્દ્ર $G(x, y)$ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{2 \times \frac{3}{2} + 1 \times 1}{2 + 1} = \frac{3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
$y = \frac{2 \times \frac{3}{4} + 1 \times 1}{2 + 1} = \frac{\frac{3}{2} + 1}{3} = \frac{\frac{5}{2}}{3} = \frac{5}{6}$
આમ,મધ્યકેન્દ્ર $\left( \frac{4}{3}, \frac{5}{6} \right)$ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2, 3)$,$B(4, 5)$ અને $C(-1, 10)$ છે.
બાજુઓના ઢાળ તપાસતા:
$AB$ નો ઢાળ = $\frac{5-3}{4-2} = 1$.
$BC$ નો ઢાળ = $\frac{10-5}{-1-4} = -1$.
અહીં ($AB$ નો ઢાળ) $\times$ ($BC$ નો ઢાળ) = $1 \times (-1) = -1$ હોવાથી,ત્રિકોણ $B(4, 5)$ આગળ કાટકોણ ધરાવે છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે.
તેથી,લંબકેન્દ્ર $H$ એ $B(4, 5)$ છે.
લંબકેન્દ્રથી શિરોબિંદુ $A$ નું અંતર = $\sqrt{(4-2)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(5, -1)$,$B(-2, 3)$ અને $C(x, y)$ છે. લંબકેન્દ્ર $H(0, 0)$ છે.
$AH$ નો ઢાળ $= \frac{-1-0}{5-0} = -\frac{1}{5}$.
$BC \perp AH$ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $5$ થાય.
$B(-2, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ: $y - 3 = 5(x + 2) \Rightarrow y = 5x + 13$ (સમીકરણ $i$).
$BH$ નો ઢાળ $= \frac{3-0}{-2-0} = -\frac{3}{2}$.
$AC \perp BH$ હોવાથી,$AC$ નો ઢાળ $\frac{2}{3}$ થાય.
$A(5, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AC$ નું સમીકરણ: $y + 1 = \frac{2}{3}(x - 5) \Rightarrow 3y = 2x - 13$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ ની કિંમત સમીકરણ $ii$ માં મૂકતા:
$3(5x + 13) = 2x - 13$
$15x + 39 = 2x - 13$
$13x = -52 \Rightarrow x = -4$.
$x = -4$ ની કિંમત સમીકરણ $i$ માં મૂકતા:
$y = 5(-4) + 13 = -7$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-4, -7)$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(5, 6)$,$B(-1, 4)$ અને $C(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્ર $G = (2, 3)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રનું સૂત્ર $G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$2 = \frac{5 + (-1) + x}{3} \implies 6 = 4 + x \implies x = 2$.
$3 = \frac{6 + 4 + y}{3} \implies 9 = 10 + y \implies y = -1$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(2, -1)$ છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(8, 6)$,$B(2, -2)$ અને $C(8, -2)$ છે.
અહીં બાજુ $AC$ શિરોલંબ છે (બંને $x$-યામ $8$ છે) અને બાજુ $BC$ સમક્ષિતિજ છે (બંને $y$-યામ $-2$ છે),તેથી આ ત્રિકોણ $C(8, -2)$ આગળ કાટકોણ ધરાવે છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે.
તેથી,લંબકેન્દ્ર $C(8, -2)$ છે.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તો તેનું મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(4, -3)$,$B(3, -2)$ અને $C(2, 8)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$G = \left( \frac{4 + 3 + 2}{3}, \frac{-3 - 2 + 8}{3} \right)$
$G = \left( \frac{9}{3}, \frac{3}{3} \right) = (3, 1)$
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $|x|$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,મધ્યકેન્દ્ર $(3, 1)$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $|3| = 3$ એકમ થાય.

(A) ધારો કે લંબકેન્દ્ર $O = (3, -2)$ છે.
એક બાજુ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,શિરોબિંદુ $A$ માંથી દોરેલો વેધ $x$-અક્ષને લંબ હશે.
$x$-અક્ષ પર વેધનો લંબપાદ $M = (3, 0)$ છે.
અંતર $OM = |-2 - 0| = 2$.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર વેધનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,$\frac{AO}{OM} = \frac{2}{1}$,જેનો અર્થ છે કે $AO = 2 \times OM = 2 \times 2 = 4$.
વેધની કુલ લંબાઈ $AM = AO + OM = 4 + 2 = 6$.
શિરોબિંદુ $A$ એ $x$-અક્ષથી $6$ એકમ અંતરે અને $x = 3$ રેખા પર હોવાથી,$A$ ના યામ $(3, -6)$ થશે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
આપેલ મધ્યબિંદુઓ $M_1(0, 1)$,$M_2(1, 1)$ અને $M_3(1, 0)$ છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x_1+x_2}{2} = 0, \frac{y_1+y_2}{2} = 1 \implies x_1+x_2 = 0, y_1+y_2 = 2$
$\frac{x_2+x_3}{2} = 1, \frac{y_2+y_3}{2} = 1 \implies x_2+x_3 = 2, y_2+y_3 = 2$
$\frac{x_3+x_1}{2} = 1, \frac{y_3+y_1}{2} = 0 \implies x_3+x_1 = 2, y_3+y_1 = 0$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$x$ માટે: $x_1+x_2=0, x_2+x_3=2, x_3+x_1=2$. સરવાળો કરતા: $2(x_1+x_2+x_3) = 4 \implies x_1+x_2+x_3 = 2$.
$x_3 = 2, x_1 = 0, x_2 = 0$.
$y$ માટે: $y_1+y_2=2, y_2+y_3=2, y_3+y_1=0$. સરવાળો કરતા: $2(y_1+y_2+y_3) = 4 \implies y_1+y_2+y_3 = 2$.
$y_3 = 0, y_1 = 0, y_2 = 2$.
શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(0, 2)$ અને $C(2, 0)$ છે.
બાજુની લંબાઈ $a = 2\sqrt{2}$,$b = 2$,$c = 2$ છે.
અંત:કેન્દ્રનો $x$-યામ $\frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c} = \frac{2\sqrt{2}(0) + 2(0) + 2(2)}{2\sqrt{2} + 2 + 2} = \frac{4}{2\sqrt{2} + 4} = 2 - \sqrt{2}$.

(D) ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O(x, y)$ છે. $O$ થી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર સમાન હોય છે,તેથી $OA^2 = OB^2 = OC^2$.
$OA^2 = (x-6)^2 + (y-0)^2 = x^2 - 12x + 36 + y^2$
$OB^2 = (x-0)^2 + (y-6)^2 = x^2 + y^2 - 12y + 36$
$OC^2 = (x-7)^2 + (y-7)^2 = x^2 - 14x + 49 + y^2 - 14y + 49 = x^2 + y^2 - 14x - 14y + 98$
$OA^2 = OB^2$ સરખાવતા:
$x^2 - 12x + 36 + y^2 = x^2 + y^2 - 12y + 36$
$-12x = -12y \implies x = y$
$OB^2 = OC^2$ સરખાવતા:
$x^2 + y^2 - 12y + 36 = x^2 + y^2 - 14x - 14y + 98$
$x = y$ હોવાથી,$y$ ની જગ્યાએ $x$ મૂકતા:
$2x^2 - 12x + 36 = 2x^2 - 28x + 98$
$16x = 62 \implies x = 3.875$
તેથી પરિકેન્દ્ર $(3.875, 3.875)$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, 0), B(2, -1)$ અને $C(1, 3)$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{3 - (-1)}{1 - 2} = -4.$
$A$ માંથી $BC$ પરના વેધનો ઢાળ $\frac{1}{4}$ થાય.
વેધનું સમીકરણ: $x - 4y = 0 \quad (1).$
$AC$ નો ઢાળ $= 3.$
$B$ માંથી $AC$ પરના વેધનો ઢાળ $-\frac{1}{3}$ થાય.
વેધનું સમીકરણ: $x + 3y = -1 \quad (2).$
સમીકરણો ઉકેલતા,લંબકેન્દ્ર $\left( -\frac{4}{7}, -\frac{1}{7} \right)$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $B = (0, 0)$ અને $BC$ નું મધ્યબિંદુ $(2, 0)$ છે.
ધારો કે $C = (h, k)$. મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ,$\frac{h+0}{2} = 2 \implies h = 4$ અને $\frac{k+0}{2} = 0 \implies k = 0$. તેથી,$C = (4, 0)$.
$AB = 2$ અને $\angle ABC = 60^{\circ}$ હોવાથી,$A$ ના યામ $(2 \cos 60^{\circ}, 2 \sin 60^{\circ}) = (1, \sqrt{3})$ થાય.
શિરોબિંદુઓ $A(1, \sqrt{3})$,$B(0, 0)$ અને $C(4, 0)$ ધરાવતા $\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$:
$G = \left(\frac{1+0+4}{3}, \frac{\sqrt{3}+0+0}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(A) ધારો કે લંબકેન્દ્ર $O(-3, 5)$,મધ્યકેન્દ્ર $G(3, 3)$ અને પરિકેન્દ્ર $P(x, y)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ લંબકેન્દ્ર $O$ અને પરિકેન્દ્ર $P$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$3 = \frac{2x + 1(-3)}{2+1} \implies 3 = \frac{2x-3}{3} \implies 9 = 2x-3 \implies 2x = 12 \implies x = 6$.
$3 = \frac{2y + 1(5)}{2+1} \implies 3 = \frac{2y+5}{3} \implies 9 = 2y+5 \implies 2y = 4 \implies y = 2$.
આમ,પરિકેન્દ્ર $P$ એ $(6, 2)$ છે.

(C) ધારો કે $R$ ના યામ $(a, b)$ છે.
ત્રિકોણ $OPR, PQR$ અને $OQR$ ના ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી,બિંદુ $R$ એ ત્રિકોણ $OPQ$ નું મધ્યકેન્દ્ર (Centroid) છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તો મધ્યકેન્દ્ર $(a, b)$ ના યામ $\left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$ થાય.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $O(0, 0), P(3, 4)$ અને $Q(6, 0)$ મૂકતા:
$a = \frac{0+3+6}{3} = \frac{9}{3} = 3$
$b = \frac{0+4+0}{3} = \frac{4}{3}$
તેથી,$R$ ના યામ $\left( 3, \frac{4}{3} \right)$ છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 1)$,$B(0, -7)$ અને $C(-4, 0)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ ના યામ શોધવાનું સૂત્ર:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$G = \left( \frac{1 + 0 - 4}{3}, \frac{1 - 7 + 0}{3} \right)$
$G = \left( \frac{-3}{3}, \frac{-6}{3} \right) = (-1, -2)$
મધ્યકેન્દ્ર $(-1, -2)$ નું ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર:
$d = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (-2 - 0)^2}$
$d = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
આપેલ મધ્યબિંદુઓ $M_1(4, 2), M_2(3, 3)$ અને $M_3(2, 2)$ છે.
મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ મૂળ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર સમાન જ હોય છે.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણ માટે મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{4+3+2}{3}, \frac{2+3+2}{3}\right)$ થશે.
$= \left(\frac{9}{3}, \frac{7}{3}\right) = \left(3, \frac{7}{3}\right)$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(-4, 6)$,$B(2, 3)$ અને $C(-2, -5)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
બાજુ $a = BC = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
બાજુ $b = AC = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (-5 - 6)^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.
બાજુ $c = AB = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
અંત:કેન્દ્ર $(I)$ માટેનું સૂત્ર $I = \left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a + b + c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a + b + c} \right)$ છે.
$x_I = \frac{4\sqrt{5}(-4) + 5\sqrt{5}(2) + 3\sqrt{5}(-2)}{4\sqrt{5} + 5\sqrt{5} + 3\sqrt{5}} = \frac{-12}{12} = -1$.
$y_I = \frac{4\sqrt{5}(6) + 5\sqrt{5}(3) + 3\sqrt{5}(-5)}{4\sqrt{5} + 5\sqrt{5} + 3\sqrt{5}} = \frac{24}{12} = 2$.
આમ,અંત:કેન્દ્ર $(-1, 2)$ છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $bx + ay = 3ab$ છે.
બંને બાજુ $3ab$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{bx}{3ab} + \frac{ay}{3ab} = 1$
$\frac{x}{3a} + \frac{y}{3b} = 1$.
આ રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ છે,જ્યાં $x$-અંતઃખંડ $3a$ અને $y$-અંતઃખંડ $3b$ છે.
આમ,$\Delta OAB$ ના શિરોબિંદુઓના યામ $O(0, 0)$,$A(3a, 0)$ અને $B(0, 3b)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ નું સૂત્ર $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ છે.
યામો મૂકતા:
$G = (\frac{0+3a+0}{3}, \frac{0+0+3b}{3}) = (\frac{3a}{3}, \frac{3b}{3}) = (a, b)$.

(D) ધારો કે લંબકેન્દ્ર $H(4, -1)$ અને મધ્યકેન્દ્ર $G(2, 1)$ છે.
ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O(x, y)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ લંબકેન્દ્ર $H$ અને પરિકેન્દ્ર $O$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$G = \left( \frac{1 \cdot x_H + 2 \cdot x_O}{1+2}, \frac{1 \cdot y_H + 2 \cdot y_O}{1+2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $(2, 1) = \left( \frac{4 + 2x}{3}, \frac{-1 + 2y}{3} \right)$.
$x$-યામ સરખાવતા: $2 = \frac{4 + 2x}{3} \implies 6 = 4 + 2x \implies 2x = 2 \implies x = 1$.
$y$-યામ સરખાવતા: $1 = \frac{-1 + 2y}{3} \implies 3 = -1 + 2y \implies 2y = 4 \implies y = 2$.
આમ,પરિકેન્દ્રના યામ $(1, 2)$ છે.
આપેલ વિકલ્પોમાં $(1, 2)$ ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(C) $xy = 0$ સમીકરણ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $x = 0$ ($y$-અક્ષ) અને $y = 0$ ($x$-અક્ષ).
ત્રીજી રેખા $x + y = 1$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $x = 0$ અને $y = 0$ નું છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
$2$. $x = 0$ અને $x + y = 1$ નું છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે.
$3$. $y = 0$ અને $x + y = 1$ નું છેદબિંદુ $(1, 0)$ છે.
રેખાઓ $x = 0$ અને $y = 0$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો કાટખૂણો ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ શિરોબિંદુ છે જ્યાં કાટખૂણો બને છે.
તેથી,લંબકેન્દ્ર $(0, 0)$ છે.

(A) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 28$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
શિરોબિંદુઓ $(k, -3k), (5, k), (-k, 2)$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} |k(k - 2) + 5(2 - (-3k)) + (-k)(-3k - k)| = 28$
$|5k^2 + 13k + 10| = 56$
કિસ્સો $1$: $5k^2 + 13k - 46 = 0 \Rightarrow k = 2$ (પૂર્ણાંક હોવાથી).
શિરોબિંદુઓ $A(2, -6), B(5, 2), C(-2, 2)$ મળે છે.
$BC$ બાજુ સમક્ષિતિજ છે,તેથી $A$ માંથી વેધ શિરોલંબ રેખા $x = 2$ છે.
$AC$ નો ઢાળ $-2$ છે,તેથી $B$ માંથી વેધનો ઢાળ $\frac{1}{2}$ છે.
$B(5, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x - 2y = 1$ છે.
$x = 2$ મૂકતા,$y = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,લંબકેન્દ્ર $\left( 2, \frac{1}{2} \right)$ છે.

(B) આપેલ છે કે લંબકેન્દ્ર $A(-3, 5)$ અને મધ્યકેન્દ્ર $B(3, 3)$ છે.
અંતર $AB = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
મધ્યકેન્દ્ર $B$ એ લંબકેન્દ્ર $A$ અને પરિકેન્દ્ર $C$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,એટલે કે $AB:BC = 2:1$.
આથી $AB = \frac{2}{3}AC$,અથવા $AC = \frac{3}{2}AB$.
$AB$ ની કિંમત મૂકતા,$AC = \frac{3}{2}(2\sqrt{10}) = 3\sqrt{10}$.
$AC$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{AC}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$ થાય.
આને $r = 3\sqrt{\frac{10}{4}} = 3\sqrt{\frac{5}{2}}$ તરીકે લખી શકાય.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે. બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ $M_1(0,1), M_2(1,1), M_3(1,0)$ આપેલા છે.
મૂળ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $B(0,0), A(2,0), C(0,2)$ મળે છે.
બાજુઓની લંબાઈ $c = AB = 2$,$a = BC = 2$,અને $b = AC = 2\sqrt{2}$ છે.
અંતઃકેન્દ્રનો $x-$ યામ $I_x = \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_x = \frac{2(2) + 2\sqrt{2}(0) + 2(0)}{2 + 2\sqrt{2} + 2} = \frac{4}{4 + 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2 + \sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $I_x = \frac{2(2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = 2 - \sqrt{2}$.

(D) મધ્યગા $PS$ એ શિરોબિંદુ $P(2,2)$ ને બાજુ $QR$ ના મધ્યબિંદુ $S$ સાથે જોડે છે.
$S$ ના યામ $\left(\frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = \left(\frac{13}{2}, 1\right)$ છે.
$PS$ નો ઢાળ $m = \frac{1-2}{\frac{13}{2}-2} = \frac{-1}{\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$ છે.
જરૂરી રેખા $PS$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ પણ $m = -\frac{2}{9}$ થશે.
$(1,-1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{2}{9}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
$y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$
$9(y + 1) = -2(x - 1)$
$9y + 9 = -2x + 2$
$2x + 9y + 7 = 0$.

(C) ધારો કે $M$ એ બાજુ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ $M$ ના યામ: $M = \left( \frac{2 - 4}{2}, \frac{2 - 4}{2} \right) = (-1, -1)$.
શિરોબિંદુ $C(5, -8)$ અને $M(-1, -1)$ વચ્ચેનું અંતર:
$CM = \sqrt{(-1 - 5)^2 + (-1 - (-8))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (7)^2} = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85}$.

(B) ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O(x, y)$ છે અને આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(2, 1), B(5, 2)$ અને $C(3, 4)$ છે.
પરિકેન્દ્ર બધા શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે,તેથી $OA^2 = OB^2 = OC^2.$
$OA^2 = OB^2$ પરથી: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (x - 5)^2 + (y - 2)^2.$
સાદુરૂપ આપતા: $3x + y = 12$......$(i)$
$OA^2 = OC^2$ પરથી: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2.$
સાદુરૂપ આપતા: $x + 3y = 10$......(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{13}{4}$ અને $y = \frac{9}{4}$ મળે છે.
તેથી,પરિકેન્દ્ર $\left( \frac{13}{4}, \frac{9}{4} \right)$ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(5, -1)$,$B(-2, 3)$ અને $C(h, k)$ છે. લંબકેન્દ્ર $H$ એ $(0, 0)$ છે.
$CH \perp AB$ હોવાથી,$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{3 - (-1)}{-2 - 5} = -\frac{4}{7}$ છે.
વેધ $CH$ નો ઢાળ $m_{CH} = -\frac{1}{m_{AB}} = \frac{7}{4}$ થાય.
$CH$ એ $(0, 0)$ અને $(h, k)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{k}{h} = \frac{7}{4}$,જેનો અર્થ છે $7h - 4k = 0$ ---$(1)$.
તે જ રીતે,$AH \perp BC$ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{k - 3}{h + 2}$ છે.
વેધ $AH$ નો ઢાળ $m_{AH} = \frac{0 - (-1)}{0 - 5} = -\frac{1}{5}$ છે.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$m_{BC} \times m_{AH} = -1$,તેથી $\left(\frac{k - 3}{h + 2}\right) \times \left(-\frac{1}{5}\right) = -1$.
$\frac{k - 3}{h + 2} = 5$ $\Rightarrow k - 3 = 5h + 10$ $\Rightarrow 5h - k + 13 = 0$ ---$(2)$.
સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા: $(1)$ પરથી,$k = \frac{7h}{4}$. $(2)$ માં મૂકતા: $5h - \frac{7h}{4} + 13 = 0$.
$\frac{20h - 7h}{4} + 13 = 0$ $\Rightarrow 13h = -52$ $\Rightarrow h = -4$.
તેથી $k = \frac{7(-4)}{4} = -7$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-4, -7)$ છે.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 4x - 7y + 10 = 0$,$L_2: x + y - 5 = 0$ અને $L_3: 7x + 4y - 15 = 0$ છે.
રેખાઓના ઢાળ તપાસતા:
$L_1$ નો ઢાળ $(m_1)$ = $4/7$.
$L_2$ નો ઢાળ $(m_2)$ = $-1$.
$L_3$ નો ઢાળ $(m_3)$ = $-7/4$.
અહીં $m_1 \times m_3 = (4/7) \times (-7/4) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $L_1$ અને $L_3$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,આ રેખાઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,જેમાં કાટખૂણો $L_1$ અને $L_3$ ના છેદબિંદુએ બને છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર તે શિરોબિંદુ હોય છે જ્યાં કાટખૂણો બને છે.
$L_1$ અને $L_3$ ને ઉકેલતા:
$4x - 7y = -10$ $(i)$
$7x + 4y = 15$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને $4$ વડે અને (ii) ને $7$ વડે ગુણતા:
$16x - 28y = -40$
$49x + 28y = 105$
બંનેનો સરવાળો કરતા: $65x = 65 \Rightarrow x = 1$.
$x = 1$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $4(1) - 7y = -10$ $\Rightarrow -7y = -14$ $\Rightarrow y = 2$.
છેદબિંદુ $(1, 2)$ છે,જે લંબકેન્દ્ર છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(3, 4)$ અને $C(4, 0)$ છે.
લંબકેન્દ્ર એ ત્રિકોણના વેધનું છેદબિંદુ છે.
$1$. $B(3, 4)$ માંથી બાજુ $AC$ (જે $x$-અક્ષ પર છે,$y=0$) પરનો વેધ એ $x=3$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા છે. તેથી,આ વેધનું સમીકરણ $x=3$ છે.
$2$. $C(4, 0)$ માંથી બાજુ $AB$ પરનો વેધ $(4, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{4-0}{3-0} = \frac{4}{3}$ છે. $AB$ ને લંબ વેધનો ઢાળ $m_{\perp} = -\frac{3}{4}$ છે.
$C$ માંથી પસાર થતા વેધનું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{3}{4}(x - 4)$ છે.
લંબકેન્દ્ર $x=3$ પર હોવાથી,આપણે બીજા વેધના સમીકરણમાં $x=3$ મૂકીએ:
$y = -\frac{3}{4}(3 - 4) = -\frac{3}{4}(-1) = \frac{3}{4}$.
તેથી,લંબકેન્દ્રના યામ $\left(3, \frac{3}{4}\right)$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર $(H)$,મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ અને પરિકેન્દ્ર $(O)$ સમરેખ હોય છે અને મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $HO$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$H = (\frac{11}{3}, \frac{4}{3})$ અને $O = (-\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ લેતા.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના યામ:
$G = \left( \frac{2(-\frac{1}{3}) + 1(\frac{11}{3})}{3}, \frac{2(\frac{2}{3}) + 1(\frac{4}{3})}{3} \right) = \left( 1, \frac{8}{9} \right)$.
ધારો કે $D(h, k)$ એ $A$ ની સામેની બાજુનું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ મધ્યગા $AD$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$A = (1, 10)$ અને $D = (h, k)$ માટે વિભાજન સૂત્ર વાપરતા:
$1 = \frac{2h + 1}{3} \implies h = 1$.
$\frac{8}{9} = \frac{2k + 10}{3} \implies k = -\frac{11}{3}$.
આમ,મધ્યબિંદુ $D$ ના યામ $(1, -11/3)$ છે.

(C) ધારો કે મધ્યગાઓ $m_1 = 9, m_2 = 12, m_3 = 15$ છે.
મધ્યગાઓ $m_1, m_2, m_3$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \frac{4}{3} \sqrt{s_m(s_m - m_1)(s_m - m_2)(s_m - m_3)}$,જ્યાં $s_m = \frac{m_1 + m_2 + m_3}{2}$.
અહીં,$s_m = \frac{9 + 12 + 15}{2} = \frac{36}{2} = 18$.
$\text{Area} = \frac{4}{3} \sqrt{18(18 - 9)(18 - 12)(18 - 15)}$
$\text{Area} = \frac{4}{3} \sqrt{18 \times 9 \times 6 \times 3}$
$\text{Area} = \frac{4}{3} \sqrt{2916} = \frac{4}{3} \times 54 = 72 \, cm^2$.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને તેના શિરોબિંદુઓ $P, Q,$ અને $R$ થી અંતર અનુક્રમે $d_1, d_2,$ અને $d_3$ છે.
ધારો કે દરેક ખૂણેથી ઉત્સેધકોણ $\theta$ છે.
તેથી,$\tan(\theta) = \frac{h}{d_1} = \frac{h}{d_2} = \frac{h}{d_3}$.
આનો અર્થ એ છે કે $d_1 = d_2 = d_3$.
ત્રિકોણના તમામ શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે આવેલું બિંદુ એ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર છે.
તેથી,ટાવરનો પાયો પરિકેન્દ્ર પર છે.

(C) $\Delta ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(4,4), B(8,4), C(4,8)$ છે.
$AB$ સમક્ષિતિજ છે અને $AC$ શિરોલંબ છે,તેથી $\Delta ABC$ એ $A(4,4)$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
મધ્યબિંદુઓ $P = \frac{A+B}{2} = (6,4)$,$Q = \frac{B+C}{2} = (6,6)$,અને $R = \frac{C+A}{2} = (4,6)$ છે.
$\Delta PQR$ પણ $P(6,4)$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે કારણ કે $PQ$ શિરોલંબ છે અને $PR$ સમક્ષિતિજ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર એ શિરોબિંદુ છે જ્યાં કાટખૂણો આવેલો હોય છે.
આમ,$\Delta PQR$ નું લંબકેન્દ્ર $P(6,4)$ છે.
તેથી,$\alpha = 6$ અને $\beta = 4$.
$\alpha + \beta = 6 + 4 = 10$ નું મૂલ્ય મળે છે.

(A) ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર $H$,મધ્યકેન્દ્ર $G$ અને પરિકેન્દ્ર $S$ સમરેખ હોય છે,અને $G$ એ $HS$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
આપેલ છે કે લંબકેન્દ્ર $H = B$ અને પરિકેન્દ્ર $S = (a, b)$.
જો $A$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ હોય,તો મધ્યકેન્દ્ર $G = \frac{A+B+C}{3} = \frac{0+B+C}{3} = \frac{B+C}{3}$ થાય.
ગુણધર્મ $G = \frac{H+2S}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{B+C}{3} = \frac{B+2S}{3}$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $B+C = B+2S$,તેથી $C = 2S$.
આપેલ $S = (a, b)$ હોવાથી,$C$ ના યામ $(2a, 2b)$ થાય.

(B) માંથી પસાર થતી મધ્યગા $x = 4$ છે. તેથી $C$ ના યામ $(4, y)$ ધારો.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $D = (\frac{1+4}{2}, \frac{2+y}{2}) = (2.5, \frac{2+y}{2})$ છે.
$D$ એ $B$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા $(x + y = 5)$ પર હોવાથી,$2.5 + \frac{2+y}{2} = 5$ મળે.
$2.5 + 1 + \frac{y}{2} = 5$ $\Rightarrow \frac{y}{2} = 1.5$ $\Rightarrow y = 3$. આમ,$C = (4, 3)$.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ મધ્યગાઓ $x = 4$ અને $x + y = 5$ નું છેદબિંદુ છે. $x = 4$ ને $x + y = 5$ માં મૂકતા,$4 + y = 5$,તેથી $y = 1$. આમ,$G = (4, 1)$.
$B$ શોધવા માટે,મધ્યકેન્દ્રના સૂત્ર $G = (\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 = \frac{1+x_B+4}{3}$ $\Rightarrow 12 = 5 + x_B$ $\Rightarrow x_B = 7$.
$1 = \frac{2+y_B+3}{3}$ $\Rightarrow 3 = 5 + y_B$ $\Rightarrow y_B = -2$. આમ,$B = (7, -2)$.
શિરોબિંદુઓ $A(1, 2)$,$B(7, -2)$,અને $C(4, 3)$ ધરાવતા $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |1(-2 - 3) + 7(3 - 2) + 4(2 - (-2))|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-5 + 7 + 16| = \frac{1}{2} |18| = 9$ ચોરસ એકમ.

(D) ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O = (0, 0)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $(a^2 + 1, a^2 + 1)$ અને $(2a, -2a)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
$G = \left( \frac{a^2 + 1 + 2a}{2}, \frac{a^2 + 1 - 2a}{2} \right) = \left( \frac{(a + 1)^2}{2}, \frac{(a - 1)^2}{2} \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે લંબકેન્દ્ર $H$,મધ્યકેન્દ્ર $G$ અને પરિકેન્દ્ર $O$ સમરેખ છે,અને $G$ એ $OH$ ને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$G = \frac{1 \cdot H + 2 \cdot O}{1 + 2} = \frac{H}{3}$.
તેથી,$H = 3G = \left( \frac{3(a + 1)^2}{2}, \frac{3(a - 1)^2}{2} \right)$.
વિકલ્પ $(d)$ માં આપેલ સમીકરણમાં $H$ ના યામ મૂકતા:
$(a - 1)^2 \left( \frac{3(a + 1)^2}{2} \right) - (a + 1)^2 \left( \frac{3(a - 1)^2}{2} \right) = 0$.
આમ,લંબકેન્દ્ર આ રેખા પર આવેલું છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુ $C$ એ $(x_1, y_1)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $A(-3, 2)$,$B(-2, 1)$ અને $C(x_1, y_1)$ ધરાવતા ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ નીચે મુજબ મળે:
$G = \left( \frac{-3 - 2 + x_1}{3}, \frac{2 + 1 + y_1}{3} \right) = \left( \frac{x_1 - 5}{3}, \frac{y_1 + 3}{3} \right)$
મધ્યકેન્દ્ર $3x + 4y + 2 = 0$ રેખા પર આવેલું હોવાથી,આપણે $G$ ના યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3 \left( \frac{x_1 - 5}{3} \right) + 4 \left( \frac{y_1 + 3}{3} \right) + 2 = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$3(x_1 - 5) + 4(y_1 + 3) + 6 = 0$
$3x_1 - 15 + 4y_1 + 12 + 6 = 0$
$3x_1 + 4y_1 + 3 = 0$
આમ,શિરોબિંદુ $C(x_1, y_1)$ એ $3x + 4y + 3 = 0$ રેખા પર આવેલું છે.

(B) ધારો કે $\Delta ABC$ નું ત્રીજું શિરોબિંદુ $C(a, b)$ છે.
ધારો કે $A(5, -1)$ અને $B(-2, 3)$ અન્ય બે શિરોબિંદુઓ છે.
લંબકેન્દ્ર $H(0, 0)$ છે.
$AH \perp BC$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\left( \frac{-1 - 0}{5 - 0} \right) \times \left( \frac{b - 3}{a + 2} \right) = -1$
$\Rightarrow b - 3 = 5(a + 2)$ $\Rightarrow 5a - b + 13 = 0 \dots (1)$
તે જ રીતે,$BH \perp AC$ હોવાથી:
$\left( \frac{3 - 0}{-2 - 0} \right) \times \left( \frac{b + 1}{a - 5} \right) = -1$
$\Rightarrow 3b + 3 = 2a - 10$ $\Rightarrow 2a - 3b - 13 = 0 \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા,આપણને $a = -4$ અને $b = -7$ મળે છે.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-4, -7)$ છે.

(B) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $A(h, k)$ છે. અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $B(0, 2)$ અને $C(4, 3)$ છે. લંબકેન્દ્ર $H$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$AH$ નો ઢાળ $\times BC$ નો ઢાળ $= -1$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{3 - 2}{4 - 0} = \frac{1}{4}$.
$AH$ નો ઢાળ $= \frac{k - 0}{h - 0} = \frac{k}{h}$.
તેથી,$\frac{k}{h} \times \frac{1}{4} = -1 \implies k = -4h$.
$BH \perp AC$ હોવાથી,$BH$ નો ઢાળ $\times AC$ નો ઢાળ $= -1$.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{k - 3}{h - 4}$.
$BH$ નો ઢાળ $= \frac{2 - 0}{0 - 0}$ અવ્યાખ્યાયિત છે (શિરોલંબ રેખા $x = 0$).
આમ,$AC$ સમક્ષિતિજ રેખા હોવી જોઈએ,તેથી $k = 3$.
$k = -4h$ માં $k = 3$ મૂકતા,$3 = -4h$,તેથી $h = -\frac{3}{4}$.
ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-\frac{3}{4}, 3)$ છે,જે બીજા ચરણમાં આવેલું છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 2)$,$B(x_2, y_2)$,અને $C(x_3, y_3)$ છે.
આપેલ છે કે બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $E(-1, 1)$ અને $F(2, 3)$ છે.
$AB$ માટે મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x_2 + 1}{2} = -1 \implies x_2 + 1 = -2 \implies x_2 = -3$
$\frac{y_2 + 2}{2} = 1 \implies y_2 + 2 = 2 \implies y_2 = 0$
તેથી,$B = (-3, 0)$.
$AC$ માટે મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x_3 + 1}{2} = 2 \implies x_3 + 1 = 4 \implies x_3 = 3$
$\frac{y_3 + 2}{2} = 3 \implies y_3 + 2 = 6 \implies y_3 = 4$
તેથી,$C = (3, 4)$.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ જે શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,અને $(x_3, y_3)$ ધરાવે છે,તેનું સૂત્ર $\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ છે.
$G = \left( \frac{1 - 3 + 3}{3}, \frac{2 + 0 + 4}{3} \right) = \left( \frac{1}{3}, \frac{6}{3} \right) = \left( \frac{1}{3}, 2 \right)$.

(B) જો ત્રિકોણ $ABC$ ની અંદરનું બિંદુ $P$ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા ત્રણ ત્રિકોણો $APC, APB$ અને $BPC$ માં વિભાજિત કરે,તો $P$ એ ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર (centroid) હોવું જોઈએ.
મધ્યકેન્દ્ર $P(x, y)$ ના યામ શિરોબિંદુઓ $A(1, 0), B(6, 2)$ અને $C(\frac{3}{2}, 6)$ ના યામની સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$x = \frac{1 + 6 + 1.5}{3} = \frac{8.5}{3} = \frac{17}{6}$
$y = \frac{0 + 2 + 6}{3} = \frac{8}{3}$
તેથી,$P = (\frac{17}{6}, \frac{8}{3})$.
આપણે $PQ$ નું અંતર શોધવાનું છે જ્યાં $Q = (-\frac{7}{6}, -\frac{1}{3})$:
$PQ = \sqrt{(\frac{17}{6} - (-\frac{7}{6}))^2 + (\frac{8}{3} - (-\frac{1}{3}))^2}$
$PQ = \sqrt{(\frac{24}{6})^2 + (\frac{9}{3})^2}$
$PQ = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

(N/A) ધારો કે $ABC$ એ $2a$ બાજુવાળો સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
પાયો $BC$ એ $y$-અક્ષ પર છે અને તેનું મધ્યબિંદુ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર હોવાથી,$B$ અને $C$ ના યામ $(0, a)$ અને $(0, -a)$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનો વેધ પાયાને લંબ હોય છે,તેથી શિરોબિંદુ $A$ માંથી પાયા $BC$ પરનો વેધ $x$-અક્ષ પર આવશે.
$\Delta AOC$ માં,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે,$AC = 2a$ અને $OC = a$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $(AC)^2 = (OA)^2 + (OC)^2$
$(2a)^2 = (OA)^2 + a^2$
$4a^2 = (OA)^2 + a^2$
$(OA)^2 = 3a^2$
$OA = \sqrt{3}a$
$A$ એ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,તેના યામ $(\sqrt{3}a, 0)$ અથવા $(-\sqrt{3}a, 0)$ છે.
આમ,ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0, a), (0, -a), (\sqrt{3}a, 0)$ અથવા $(0, a), (0, -a), (-\sqrt{3}a, 0)$ છે.

(A) $\Delta PQR$ ના શિરોબિંદુઓ $P(2, 1)$,$Q(-2, 3)$ અને $R(4, 5)$ છે.
ધારો કે $RL$ એ શિરોબિંદુ $R$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા છે. તેથી,$L$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$L$ ના યામ $\left(\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{1 + 3}{2}\right) = (0, 2)$ મળે છે.
મધ્યગા $RL$ એ $R(4, 5)$ અને $L(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ છે.
બિંદુઓ $(4, 5)$ અને $(0, 2)$ મૂકતા:
$y - 5 = \frac{2 - 5}{0 - 4}(x - 4)$
$y - 5 = \frac{-3}{-4}(x - 4)$
$4(y - 5) = 3(x - 4)$
$4y - 20 = 3x - 12$
$3x - 4y + 8 = 0$.

(N/A) ધારો કે $AB$ એ અક્ષો વચ્ચેનો રેખાખંડ છે અને $P(a, b)$ તેનું મધ્યબિંદુ છે.
ધારો કે $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(0, y_0)$ અને $(x_0, 0)$ છે.
$P(a, b)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\left(\frac{0 + x_0}{2}, \frac{y_0 + 0}{2}\right) = (a, b)$
$\Rightarrow \left(\frac{x_0}{2}, \frac{y_0}{2}\right) = (a, b)$
$\Rightarrow \frac{x_0}{2} = a$ અને $\frac{y_0}{2} = b$
$\therefore x_0 = 2a$ અને $y_0 = 2b$
આમ,$A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(0, 2b)$ અને $(2a, 0)$ છે.
બિંદુઓ $(0, 2b)$ અને $(2a, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{X} + \frac{y}{Y} = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $X=2a$ અને $Y=2b$:
$\frac{x}{2a} + \frac{y}{2b} = 1$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$

(A) ધારો કે $AB$ એ અક્ષો વચ્ચેનો રેખાખંડ છે જેથી બિંદુ $R(h, k)$ એ $AB$ ને $1: 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
ધારો કે $A$ ના યામ $(a, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, b)$ છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ:
$(h, k) = \left(\frac{1 \times 0 + 2 \times a}{1 + 2}, \frac{1 \times b + 2 \times 0}{1 + 2}\right) = \left(\frac{2a}{3}, \frac{b}{3}\right)$.
તેથી,$h = \frac{2a}{3} \Rightarrow a = \frac{3h}{2}$ અને $k = \frac{b}{3} \Rightarrow b = 3k$.
અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$a$ અને $b$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{x}{3h/2} + \frac{y}{3k} = 1$.
$\frac{2x}{3h} + \frac{y}{3k} = 1$.
$3hk$ વડે ગુણતા: $2kx + hy = 3hk$.

(B) પરિકેન્દ્ર $O$ એ ત્રિકોણની બાજુઓના લંબદ્વિભાજકોનું છેદબિંદુ છે.
આપણને $PR$ નો લંબદ્વિભાજક $L_1: 2x - y + 2 = 0$ આપેલ છે.
હવે,આપણે $PQ$ નો લંબદ્વિભાજક શોધીએ.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{-2+4}{2}, \frac{4-2}{2}) = (1, 1)$ છે.
$PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = \frac{-2-4}{4-(-2)} = \frac{-6}{6} = -1$ છે.
$PQ$ ના લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_{\perp} = -\frac{1}{m_{PQ}} = 1$ છે.
$PQ$ ના લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - 1 = 1(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x$ અથવા $x - y = 0$ થાય છે.
પરિકેન્દ્ર $O$ એ $2x - y + 2 = 0$ અને $x - y = 0$ નું છેદબિંદુ છે.
પ્રથમ સમીકરણમાં $y = x$ મૂકતા: $2x - x + 2 = 0 \implies x = -2$.
$y = x$ હોવાથી,$y = -2$ મળે છે.
આમ,પરિકેન્દ્ર $(-2, -2)$ છે.

(A) ધારો કે $AD$ એ ત્રિકોણ $ABC$ માં શિરોબિંદુ $A$ માંથી દોરેલો વેધ છે.
તેથી,$AD \perp BC$.
$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{2 - (-1)}{1 - 4} = \frac{3}{-3} = -1$ છે.
$AD \perp BC$ હોવાથી,$AD$ નો ઢાળ $m_{AD} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{1}{-1} = 1$ થાય.
બિંદુ $A(2, 3)$ માંથી પસાર થતી અને $1$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $AD$ નું સમીકરણ:
$(y - 3) = 1(x - 2)$
$\Rightarrow y - 3 = x - 2$
$\Rightarrow y - x = 1$.
$AD$ ની લંબાઈ એ $A(2, 3)$ થી રેખા $BC$ પરનું લંબ અંતર છે.
$BC$ નું સમીકરણ $(y - (-1)) = -1(x - 4)$ $\Rightarrow y + 1 = -x + 4$ $\Rightarrow x + y - 3 = 0$ છે.
$(x_1, y_1)$ થી $Ax + By + C = 0$ રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
$A(2, 3)$ અને $x + y - 3 = 0$ માટે:
$d = \frac{|1(2) + 1(3) - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 3 - 3|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
આમ,સમીકરણ $y - x = 1$ છે અને લંબાઈ $\sqrt{2}$ એકમ છે.

(A) આપેલ રેખા $4x - y = 0$ $(1)$ છે.
બિંદુ $P(4, 1)$ થી રેખા $(1)$ નું બીજી રેખાની દિશામાં અંતર શોધવા માટે,આપણે બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધીશું.
બીજી રેખાનો ઢાળ $m = \tan 135^{\circ} = -1$ છે.
બિંદુ $P(4, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $-1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 1 = -1(x - 4)$
$y - 1 = -x + 4$
$x + y - 5 = 0$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને ઉકેલતા:
$(1)$ પરથી,$y = 4x$. તેને $(2)$ માં મૂકતા:
$x + 4x - 5 = 0$ $\Rightarrow 5x = 5$ $\Rightarrow x = 1$.
તેથી $y = 4(1) = 4$.
છેદબિંદુ $Q(1, 4)$ છે.
$P(4, 1)$ અને $Q(1, 4)$ વચ્ચેનું અંતર:
$d = \sqrt{(1 - 4)^2 + (4 - 1)^2}$
$d = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2}$
$d = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ એકમ}$.