Points related to triangle Questions in Gujarati

(N/A) આપેલી રેખાઓ છે:
$y=m_{1}x+c_{1}$ ..... $(1)$
$y=m_{2}x+c_{2}$ ..... $(2)$
$x=0$ ..... $(3)$
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખા $y=mx+c$ એ રેખા $x=0$ ($y$-અક્ષ) ને બિંદુ $(0, c)$ પર મળે છે. તેથી,રેખાઓ $(1)$,$(2)$ અને $(3)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના બે શિરોબિંદુઓ $P(0, c_{1})$ અને $Q(0, c_{2})$ છે.
ત્રીજું શિરોબિંદુ $R$ સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ ને ઉકેલીને મેળવી શકાય છે:
$m_{1}x+c_{1} = m_{2}x+c_{2}$
$x(m_{1}-m_{2}) = c_{2}-c_{1}$
$x = \frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}$
$x$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$y = m_{1}\left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right) + c_{1} = \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}$
તેથી,$R = \left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right)$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2}-y_{3}) + x_{2}(y_{3}-y_{1}) + x_{3}(y_{1}-y_{2})|$.
અહીં શિરોબિંદુઓ $(0, c_{1}), (0, c_{2}), \left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(c_{2} - y_{R}) + 0(y_{R} - c_{1}) + \frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}(c_{1}-c_{2})|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\frac{-(c_{2}-c_{1})^{2}}{m_{1}-m_{2}}| = \frac{(c_{1}-c_{2})^{2}}{2|m_{1}-m_{2}|}$.

(C) ધારો કે લંબકેન્દ્ર $H(x_0, y_0)$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{-5-1}{5-(-7)} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$ છે.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$AH$ નો ઢાળ $m_{AH} = -\frac{1}{m_{BC}} = 2$ થાય.
$A(-1, 7)$ માંથી પસાર થતા વેધ $AH$ નું સમીકરણ $y - 7 = 2(x + 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - y + 9 = 0$ થાય ... $(1)$.
$AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = \frac{-5-7}{5-(-1)} = \frac{-12}{6} = -2$ છે.
$BH \perp AC$ હોવાથી,$BH$ નો ઢાળ $m_{BH} = -\frac{1}{m_{AC}} = \frac{1}{2}$ થાય.
$B(-7, 1)$ માંથી પસાર થતા વેધ $BH$ નું સમીકરણ $y - 1 = \frac{1}{2}(x + 7)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - 2y + 9 = 0$ થાય ... $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$y = 2x + 9$. તેને $(2)$ માં મૂકતા:
$x - 2(2x + 9) + 9 = 0$
$x - 4x - 18 + 9 = 0$
$-3x - 9 = 0 \Rightarrow x = -3$.
તેથી $y = 2(-3) + 9 = 3$.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(-3, 3)$ છે.

(C) પ્રથમ,$\triangle ABC$ ની બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB^2 = (1 - (-2))^2 + (9 - 3)^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45 \Rightarrow AB = \sqrt{45}$
$BC^2 = (3 - 1)^2 + (8 - 9)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5 \Rightarrow BC = \sqrt{5}$
$AC^2 = (3 - (-2))^2 + (8 - 3)^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 \Rightarrow AC = \sqrt{50}$
અહીં $AB^2 + BC^2 = 45 + 5 = 50 = AC^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોય છે.
પરિકેન્દ્ર $= \left(\frac{-2 + 3}{2}, \frac{3 + 8}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{11}{2}\right)$.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{9 + 8}{2}\right) = \left(2, \frac{17}{2}\right)$.
રેખા $L$ એ $\left(\frac{1}{2}, \frac{11}{2}\right)$ અને $\left(2, \frac{17}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m = \frac{\frac{17}{2} - \frac{11}{2}}{2 - \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 2$.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $y - \frac{11}{2} = 2(x - \frac{1}{2})$ $\Rightarrow y = 2x - 1 + \frac{11}{2}$ $\Rightarrow y = 2x + \frac{9}{2}$ છે.
આ રેખા $y$-અક્ષને $\left(0, \frac{\alpha}{2}\right)$ પર છેદે છે,તેથી $\frac{\alpha}{2} = \frac{9}{2}$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $\alpha = 9$ મળે છે.

(C) ધારો કે બાજુઓ $AB: x - 2y + 1 = 0$ અને $AC: 2x - y - 1 = 0$ છે. આ બંનેને ઉકેલતા શિરોબિંદુ $A(1, 1)$ મળે છે.
શિરોબિંદુ $B$ માંથી દોરેલો વેધ $H\left(\frac{7}{3}, \frac{7}{3}\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને $AC$ ને લંબ છે. $AC$ નો ઢાળ $2$ છે,તેથી વેધ $BH$ નો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ થાય. $BH$ નું સમીકરણ $x + 2y - 7 = 0$ મળે છે.
શિરોબિંદુ $B$ એ $AB$ અને $BH$ નું છેદબિંદુ છે: $x - 2y = -1$ અને $x + 2y = 7$. ઉકેલતા $B(3, 2)$ મળે છે.
શિરોબિંદુ $C$ માંથી દોરેલો વેધ $H\left(\frac{7}{3}, \frac{7}{3}\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને $AB$ ને લંબ છે. $AB$ નો ઢાળ $\frac{1}{2}$ છે,તેથી વેધ $CH$ નો ઢાળ $-2$ થાય. $CH$ નું સમીકરણ $2x + y - 7 = 0$ મળે છે.
શિરોબિંદુ $C$ એ $AC$ અને $CH$ નું છેદબિંદુ છે: $2x - y = 1$ અને $2x + y = 7$. ઉકેલતા $C(2, 3)$ મળે છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $\left(\frac{1+3+2}{3}, \frac{1+2+3}{3}\right) = (2, 2)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી મધ્યકેન્દ્ર $(2, 2)$ નું અંતર $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ થાય.

(C) $\triangle PQR$ માં,ધારો કે શિરોબિંદુઓ $P, Q, R$ છે. $M$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $N$ એ $PR$ નું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યગાઓ $PM$ અને $QN$ મધ્યકેન્દ્ર $G$ પર છેદે છે.
મધ્યગાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$QG = \frac{2}{3}QN$ અને $GM = \frac{1}{3}PM$.
$\triangle QGM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,જો $\angle QGM = 90^{\circ}$ હોય,તો $QG^2 + GM^2 = QM^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $QM = \frac{1}{2}QR$,તેથી $QM^2 = \frac{1}{4}QR^2$.
મધ્યગા માટે એપોલોનિયસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$QN^2 = \frac{2PQ^2 + 2QR^2 - PR^2}{4}$ અને $PM^2 = \frac{2PQ^2 + 2PR^2 - QR^2}{4}$.
તેથી $QG^2 + GM^2 = \left(\frac{2}{3}QN\right)^2 + \left(\frac{1}{3}PM\right)^2 = \frac{4}{9}QN^2 + \frac{1}{9}PM^2$.
$QN^2$ અને $PM^2$ માટેના પદો મૂકતા:
$= \frac{4}{9} \left(\frac{2PQ^2 + 2QR^2 - PR^2}{4}\right) + \frac{1}{9} \left(\frac{2PQ^2 + 2PR^2 - QR^2}{4}\right)$
$= \frac{1}{9} \left( \frac{8PQ^2 + 8QR^2 - 4PR^2 + 2PQ^2 + 2PR^2 - QR^2}{4} \right)$
$= \frac{1}{9} \left( \frac{10PQ^2 + 7QR^2 - 2PR^2}{4} \right)$.
આપેલ છે કે $PR^2 = 5PQ^2 - QR^2$,આ કિંમત મૂકતા:
$= \frac{1}{9} \left( \frac{10PQ^2 + 7QR^2 - 2(5PQ^2 - QR^2)}{4} \right)$
$= \frac{1}{9} \left( \frac{10PQ^2 + 7QR^2 - 10PQ^2 + 2QR^2}{4} \right) = \frac{1}{9} \left( \frac{9QR^2}{4} \right) = \frac{1}{4}QR^2 = QM^2$.
કારણ કે $QG^2 + GM^2 = QM^2$,$\triangle QGM$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle QGM = 90^{\circ}$ છે.

(A) $\triangle PQR$ માં,ધારો કે $PQ = r$,$QR = p$,અને $PR = q$ છે. $PQ < QR$ હોવાથી,$r < p$ મળે.
$1$. વેધ $QQ_1$ એ $Q$ થી રેખા $PR$ પરનું સૌથી ટૂંકું અંતર છે. તેથી,$PQ_1$ સૌથી નાનું અંતર છે.
$2$. મધ્યગા $QQ_3$ એ $PR$ ને દુભાગે છે,તેથી $PQ_3 = \frac{1}{2} PR$.
$3$. ખૂણાના દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,ખૂણાનો દ્વિભાજક $QQ_2$ એ $PR$ ને બાજુઓના ગુણોત્તર $PQ:QR = r:p$ માં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$PQ_2 = \left(\frac{r}{r+p}\right) PR$.
$r < p$ હોવાથી,$r+p > 2r$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r}{r+p} < \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$PQ_2 < \frac{1}{2} PR = PQ_3$.
$PR$ પરના બિંદુઓના સ્થાનની સરખામણી કરતા,$PQ_1 < PQ_2 < PQ_3$ મળે. સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1,2), B(2,3)$ અને $C(3,1)$ છે.
ધારો કે લંબકેન્દ્ર $H(\alpha, \beta)$ છે.
$AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = \frac{1-2}{3-1} = -\frac{1}{2}$ છે.
$BH \perp AC$ હોવાથી,$BH$ નો ઢાળ $m_{BH} = 2$ થાય. તેથી,$\frac{\beta-3}{\alpha-2} = 2$ $\Rightarrow \beta-3 = 2\alpha-4$ $\Rightarrow \beta = 2\alpha-1$.
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{3-2}{2-1} = 1$ છે.
$CH \perp AB$ હોવાથી,$CH$ નો ઢાળ $m_{CH} = -1$ થાય. તેથી,$\frac{\beta-1}{\alpha-3} = -1$ $\Rightarrow \beta-1 = -\alpha+3$ $\Rightarrow \beta = -\alpha+4$.
$\beta$ માટેના બંને સમીકરણો સરખાવતા: $2\alpha-1 = -\alpha+4$ $\Rightarrow 3\alpha = 5$ $\Rightarrow \alpha = \frac{5}{3}$.
તેથી $\beta = 2(\frac{5}{3})-1 = \frac{7}{3}$.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $p = \alpha+4\beta = \frac{5}{3} + \frac{28}{3} = 11$ અને $q = 4\alpha+\beta = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = 9$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $(x-p)(x-q) = 0$ $\Rightarrow (x-11)(x-9) = 0$ $\Rightarrow x^2-20x+99 = 0$ થાય.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે રેખાઓના સમીકરણો ઉકેલો:
$1$. $4x + 3y = 69$ અને $4y - 3x = 17$ નો છેદબિંદુ $A(9, 11)$ છે.
$2$. $4x + 3y = 69$ અને $x + 7y = 61$ નો છેદબિંદુ $B(12, 7)$ છે.
$3$. $4y - 3x = 17$ અને $x + 7y = 61$ નો છેદબિંદુ $C(5, 8)$ છે.
અહીં $4x + 3y = 69$ અને $4y - 3x = 17$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર કર્ણનું મધ્યબિંદુ હોય છે. કર્ણના અંત્યબિંદુઓ $(12, 7)$ અને $(5, 8)$ છે.
પરિકેન્દ્ર $(\alpha, \beta) = \left(\frac{17}{2}, \frac{15}{2}\right)$.
તેથી,$(\alpha - \beta)^2 + \alpha + \beta = (1)^2 + 16 = 17$.

(B) ધારો કે $A = (3, -7)$,$B = (-1, 2)$,અને $C = (4, 5)$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{5 - 2}{4 - (-1)} = \frac{3}{5}$.
$A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ $BC$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $-\frac{5}{3}$ છે.
$A$ માંથી પસાર થતા વેધનું સમીકરણ $y - (-7) = -\frac{5}{3}(x - 3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 3y + 6 = 0$ થાય છે.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{5 - (-7)}{4 - 3} = 12$.
$B$ માંથી $AC$ પરનો વેધ $AC$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $-\frac{1}{12}$ છે.
$B$ માંથી પસાર થતા વેધનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{1}{12}(x - (-1))$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 12y = 23$ થાય છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $\alpha = -\frac{47}{19}$ અને $\beta = \frac{121}{57}$ મળે છે.
$9\alpha - 6\beta + 60 = 9(-\frac{47}{19}) - 6(\frac{121}{57}) + 60 = -35 + 60 = 25$.

(A) ધારો કે $P(6,1)$ એ $\triangle ABC$ નું લંબકેન્દ્ર છે જ્યાં $A(5,-2)$,$B(8,3)$ અને $C(h, k)$ છે.
$AP \perp BC$ હોવાથી,$AP$ નો ઢાળ $= \frac{1 - (-2)}{6 - 5} = 3$ થાય.
તેથી,$BC$ નો ઢાળ $= -\frac{1}{3}$ થાય.
$B(8,3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ $y - 3 = -\frac{1}{3}(x - 8)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 3y - 17 = 0$ થાય.
$BP \perp AC$ હોવાથી,$BP$ નો ઢાળ $= \frac{1 - 3}{6 - 8} = 1$ થાય.
તેથી,$AC$ નો ઢાળ $= -1$ થાય.
$A(5,-2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AC$ નું સમીકરણ $y - (-2) = -1(x - 5)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y - 3 = 0$ થાય.
$C(h, k)$ શોધવા માટે,સમીકરણો ઉકેલતા:
$1) x + 3y = 17$
$2) x + y = 3$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા $2y = 14$,તેથી $y = 7$ મળે.
$y = 7$ ને $(2)$ માં મૂકતા $x + 7 = 3$,તેથી $x = -4$ મળે.
આમ,$C = (-4, 7)$.
હવે,$C(-4, 7)$ કયા વર્તુળના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે તે તપાસતા:
$(-4)^2 + (7)^2 = 16 + 49 = 65$.
તેથી,$x^2 + y^2 - 65 = 0$ એ સાચું સમીકરણ છે.

(B) ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ લંબકેન્દ્ર $H$ અને પરિકેન્દ્ર $O$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. આપેલ $H = (-6, -8)$ અને $O = (3, 4)$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $G = (0, 0)$ મળે છે.
રેખાઓ $2x+3y-1=0$ અને $x+2y-1=0$ નું છેદબિંદુ $(-1, 1)$ છે.
ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર $(0, 0)$ હોવાથી,શિરોબિંદુ $(-1, 1)$ માંથી સામેની બાજુ $ax+by-1=0$ પરનો વેધ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(-1, 1)$ અને $(0, 0)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_1 = -1$ છે.
રેખા $ax+by-1=0$ નો ઢાળ $m_2 = -a/b$ છે.
વેધ અને બાજુ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$m_1 \times m_2 = -1 \Rightarrow a = -b$ મળે.
બાજુનું સમીકરણ $ax-ay-1=0$ થાય.
શિરોબિંદુ $V = \left( \frac{a+3}{5a}, \frac{a-2}{5a} \right)$ મેળવીને અને વેધ $y=2x$ પર મૂકતા,$a = -8$ મળે છે.
તેથી $b = 8$ અને $|a-b| = 16$.

(C) $AB$ નો ઢાળ $M_{AB} = \frac{4}{-5}$ છે. $CP \perp AB$ હોવાથી $CP$ નો ઢાળ $M_{CP} = \frac{5}{4}$ થાય.
$CP$ નું સમીકરણ $y - 1 = \frac{5}{4}(x - 1)$ એટલે કે $5x - 4y - 1 = 0$ ... $(1)$.
$AP$ નો ઢાળ $M_{AP} = -1$ છે. $BC \perp AP$ હોવાથી $BC$ નો ઢાળ $1$ થાય.
$BC$ નું સમીકરણ $y - 3 = 1(x + 2)$ એટલે કે $x - y + 5 = 0$ ... $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા,$\alpha = 21$ અને $\beta = 26$ મળે. તેથી $\alpha + \beta = 47$.
$\triangle PAB$ ના પરિકેન્દ્ર $(h, k)$ માટે લંબદ્વિભાજકો ઉકેલતા $h = -19/2$ અને $k = -23/2$ મળે.
તેથી $2(h + k) = -42$.
અંતિમ કિંમત $(\alpha + \beta) + 2(h + k) = 47 - 42 = 5$.

(C) ત્રિકોણ $OPQ$ ની અંદરનું બિંદુ $R$ કે જેથી ત્રિકોણ $OPR, PQR, OQR$ ના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય,તે ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર (centroid) છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $O(0,0), P(3,4), Q(6,0)$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $R(x, y)$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$x = \frac{0 + 3 + 6}{3} = \frac{9}{3} = 3$
$y = \frac{0 + 4 + 0}{3} = \frac{4}{3}$
આમ,$R$ ના યામ $\left(3, \frac{4}{3}\right)$ છે.

(B) શિરોબિંદુઓ $A(6, 8)$,$B(10 \cos \alpha, -10 \sin \alpha)$,અને $C(-10 \sin \alpha, 10 \cos \alpha)$ બધા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 100$ પર આવેલા છે. તેથી પરિકેન્દ્ર $O$ એ $(0, 0)$ છે.
કોઈપણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર $L$,મધ્યકેન્દ્ર $G$,અને પરિકેન્દ્ર $O$ સમરેખ હોય છે,અને $G$ એ $OL$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$G(h, k) = \left(\frac{a}{3}, 3\right)$.
તેથી,$h = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 3h$ અને $k = 3$.
મધ્યકેન્દ્ર $G(h, k) = \left(\frac{6 + 10(\cos \alpha - \sin \alpha)}{3}, \frac{8 + 10(\cos \alpha - \sin \alpha)}{3}\right)$.
$k = 3$ હોવાથી,$10(\cos \alpha - \sin \alpha) = 1$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$100(1 - \sin 2\alpha) = 1 \Rightarrow 100 \sin 2\alpha = 99$.
$h = \frac{6+1}{3} = \frac{7}{3}$ મળે છે.
હવે,$5a - 3h + 6k + 100 \sin 2\alpha = 12h + 18 + 99 = 12(\frac{7}{3}) + 117 = 28 + 117 = 145$.

(B) $QR$ રેખાનું સમીકરણ $5x + 2y + 2 = 0$ છે.
$PR$ રેખાનું સમીકરણ $10x - 3y - 38 = 0$ છે.
તેથી,બિંદુ $R(2, -6)$ મળે છે.
મધ્યકેન્દ્ર $= \left(\frac{5-2+2}{3}, \frac{4+4-6}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{2}{3}\right)$.
$c + 2d = \frac{5}{3} + \frac{4}{3} = 3$.

(B) શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા બાજુ $BC$ ના મધ્યબિંદુ $M$ માંથી પસાર થાય છે.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{2-4}{2}, \frac{1+5}{2}) = (-1, 3)$ છે.
મધ્યગા $A(3, k)$ અને $M(-1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
મધ્યગા $AM$ નો ઢાળ $m = \frac{3-k}{-1-3} = \frac{3-k}{-4}$ છે.
રેખા $AM$ નું સમીકરણ $y - 3 = \frac{3-k}{-4}(x + 1)$ છે.
$-4y + 12 = (3-k)x + (3-k)$.
$(3-k)x + 4y = 9+k$.
આપેલ સમીકરણ $x + 4y = p$ સાથે સરખાવતા,$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સરખાવતા.
$y$ નો સહગુણક $4$ હોવાથી,$3-k = 1$,જે $k = 2$ આપે છે.
આમ,$k = 2$.

(B) શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(3,0)$,અને $C(0,-4)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$c = AB = 3$
$b = AC = 4$
$a = BC = 5$
અંતઃકેન્દ્ર $(I)$ ના યામનું સૂત્ર:
$I = \left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$I = \left( \frac{5(0) + 4(3) + 3(0)}{12}, \frac{5(0) + 4(0) + 3(-4)}{12} \right)$
$I = (1, -1)$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(-2,3)$,$B(6,-1)$,અને $C(4,3)$ છે. ધારો કે $F(x,y)$ પરિકેન્દ્ર છે. પરિકેન્દ્ર શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે,તેથી $FA^2 = FB^2 = FC^2$.
$FA^2 = (x+2)^2 + (y-3)^2$
$FB^2 = (x-6)^2 + (y+1)^2$
$FC^2 = (x-4)^2 + (y-3)^2$
$FA^2 = FC^2$ સરખાવતા:
$(x+2)^2 + (y-3)^2 = (x-4)^2 + (y-3)^2$
$(x+2)^2 = (x-4)^2$
$x^2 + 4x + 4 = x^2 - 8x + 16$
$12x = 12 \implies x = 1$
$FA^2 = FB^2$ સરખાવતા:
$(1+2)^2 + (y-3)^2 = (1-6)^2 + (y+1)^2$
$9 + y^2 - 6y + 9 = 25 + y^2 + 2y + 1$
$18 - 6y = 26 + 2y$
$-8 = 8y \implies y = -1$
આમ,પરિકેન્દ્રના યામ $(1,-1)$ છે.

(C) પરિકેન્દ્ર $C$ એ લંબકેન્દ્ર $A(-3, 5)$ અને મધ્યકેન્દ્ર $B(3, 3)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C(x, y)$ ના યામ:
$x = \frac{2(3) - 1(-3)}{2 - 1} = 9$
$y = \frac{2(3) - 1(5)}{2 - 1} = 1$
તેથી,$C = (9, 1)$.
વર્તુળનો વ્યાસ $AC$ ની લંબાઈ છે.
$AC = \sqrt{(9 - (-3))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{12^2 + (-4)^2} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $\frac{1}{2} AC = 2\sqrt{10}$ થાય.

(B) શિરોબિંદુ $R$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા બાજુ $PQ$ ને બિંદુ $M$ પર દુભાગે છે.
$M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $M = \left( \frac{2 + (-2)}{2}, \frac{2 + 4}{2} \right) = (0, 3)$.
મધ્યગા $R(3, 4)$ અને $M(0, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખા $RM$ નો ઢાળ $m = \frac{3 - 4}{0 - 3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
$y - 3 = \frac{1}{3}(x - 0)$
$3(y - 3) = x$
$3y - 9 = x$
$x - 3y + 9 = 0$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
આપેલ મધ્યબિંદુઓ $F(11, 9)$,$E(2, 1)$ અને $D(2, -1)$ છે.
ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ મૂળ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર સમાન જ હોય છે.
મધ્યબિંદુઓથી બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{11+2+2}{3}, \frac{9+1-1}{3}\right) = \left(\frac{15}{3}, \frac{9}{3}\right) = (5, 3)$ છે.
આમ,મૂળ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(5, 3)$ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(6,0), B(0,6)$ અને $C(6,6)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{(0-6)^2 + (6-0)^2} = 6\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(6-0)^2 + (6-6)^2} = 6$
$CA = \sqrt{(6-6)^2 + (0-6)^2} = 6$
અહીં $AB^2 = BC^2 + CA^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
પરિકેન્દ્ર $O = (3,3)$.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{6+0+6}{3}, \frac{0+6+6}{3}\right) = (4,4)$.
પરિકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર $= \sqrt{(4-3)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{2}$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A \equiv (2,3)$,$B \equiv (8,10)$ અને $C \equiv (5,5)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ નું સૂત્ર $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ માટે $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$G = \left(\frac{2+8+5}{3}, \frac{3+10+5}{3}\right)$
$G = \left(\frac{15}{3}, \frac{18}{3}\right)$
$G = (5, 6)$

(B) ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ મધ્યગા $AD$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
ધારો કે $A = (2, 3)$,$G = (7, 5)$,અને $D = (x, y)$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$G$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$G = \left(\frac{2 \cdot x + 1 \cdot 2}{2+1}, \frac{2 \cdot y + 1 \cdot 3}{2+1}\right)$
યામને સરખાવતા:
$7 = \frac{2x + 2}{3}$ $\Rightarrow 21 = 2x + 2$ $\Rightarrow 2x = 19$ $\Rightarrow x = \frac{19}{2}$
$5 = \frac{2y + 3}{3}$ $\Rightarrow 15 = 2y + 3$ $\Rightarrow 2y = 12$ $\Rightarrow y = 6$
તેથી,બિંદુ $D$ ના યામ $\left(\frac{19}{2}, 6\right)$ છે.

(D) આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(0, \frac{3}{2})$ અને $C(-5,0)$ છે.
અહીં $A$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર હોવાથી,$AB$ એ $y$-અક્ષ પર છે અને $AC$ એ $x$-અક્ષ પર છે.
આથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કાટખૂણો શિરોબિંદુ $A(0,0)$ પર છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો ધરાવતું શિરોબિંદુ હોય છે.
તેથી,$\triangle ABC$ નું લંબકેન્દ્ર $(0,0)$ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,અને $C(x_3, y_3)$ છે.
$AD$ મધ્યગા હોવાથી,$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $D = (\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2})$.
$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $E = (\frac{2x_1+x_2+x_3}{4}, \frac{2y_1+y_2+y_3}{4})$.
ત્રિકોણ $ABC$ ના મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો ઉપયોગ કરતા,$G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$.
ત્રિકોણ $ADC$ માટે મેનેલાઉસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$F$ એ $AC$ નું $1: 2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,$AF: FC = 1: 2$,જેનો અર્થ છે કે $AF: AC = 1: (1+2) = 1: 3$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2,2)$,$B(5,1)$,અને $C(4,4)$ છે.
લંબકેન્દ્ર શોધવા માટે,આપણે બે વેધના સમીકરણો શોધીશું.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{4-1}{4-5} = \frac{3}{-1} = -3$.
$A(2,2)$ માંથી $BC$ પરના વેધનો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$ છે.
$A$ માંથી વેધનું સમીકરણ: $y-2 = \frac{1}{3}(x-2)$ $\Rightarrow 3y-6 = x-2$ $\Rightarrow x-3y = -4 \quad \dots(i)$.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{4-2}{4-2} = \frac{2}{2} = 1$.
$B(5,1)$ માંથી $AC$ પરના વેધનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{1} = -1$ છે.
$B$ માંથી વેધનું સમીકરણ: $y-1 = -1(x-5)$ $\Rightarrow y-1 = -x+5$ $\Rightarrow x+y = 6 \quad \dots(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણીને સરવાળો કરતા: $(x-3y) + 3(x+y) = -4 + 18$ $\Rightarrow 4x = 14$ $\Rightarrow x = \frac{7}{2}$.
$x = \frac{7}{2}$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $\frac{7}{2} + y = 6 \Rightarrow y = 6 - \frac{7}{2} = \frac{5}{2}$.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(\alpha, \beta) = (\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$.
તેથી,$\alpha+\beta = \frac{7}{2} + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(-2, 3)$,$B(2, -1)$,અને $C(4, 0)$ છે.
ધારો કે $O(x, y)$ એ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,પરિકેન્દ્ર બધા શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે,તેથી $OA = OB = OC$,જેનો અર્થ છે કે $OA^2 = OB^2 = OC^2$.
પ્રથમ,$OA^2 = OB^2$ લો:
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 2)^2 + (y + 1)^2$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1$
$8x - 8y = -8 \Rightarrow x - y = -1$ ... $(i)$
આગળ,$OB^2 = OC^2$ લો:
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = (x - 4)^2 + (y - 0)^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = x^2 - 8x + 16 + y^2$
$4x + 2y = 11$ ... $(ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$y = x + 1$.
$(ii)$ માં મૂકતા: $4x + 2(x + 1) = 11$ $\Rightarrow 6x = 9$ $\Rightarrow x = \frac{3}{2}$.
તેથી $y = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$.
આમ,પરિકેન્દ્ર $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$ છે.

(B) ધારો કે $B$ અને $C$ માંથી પસાર થતી મધ્યગાઓના સમીકરણો $L_1: x+y=5$ અને $L_2: x=4$ છે. આ મધ્યગાઓનું છેદબિંદુ એ મધ્યકેન્દ્ર $G$ છે. $x+y=5$ અને $x=4$ ઉકેલતા,આપણને $G=(4, 1)$ મળે છે.
ધારો કે $C$ એ $x=4$ પર છે,તેથી $C=(4, y_C)$. ધારો કે $B$ એ $x+y=5$ પર છે,તેથી $B=(x_B, 5-x_B)$.
મધ્યકેન્દ્રના સૂત્ર $G = (\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 = \frac{1+x_B+4}{3}$ $\Rightarrow 12 = 5+x_B$ $\Rightarrow x_B=7$. તેથી $B=(7, 5-7) = (7, -2)$.
$1 = \frac{2+y_B+y_C}{3}$ $\Rightarrow 3 = 2+(-2)+y_C$ $\Rightarrow y_C=3$. તેથી $C=(4, 3)$.
શિરોબિંદુઓ $A(1, 2)$,$B(7, -2)$,અને $C(4, 3)$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)|$
$= \frac{1}{2} |1(-2-3) + 7(3-2) + 4(2-(-2))|$
$= \frac{1}{2} |-5 + 7 + 16| = \frac{1}{2} |18| = 9$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$B(4,0)$ અને $C(3,4)$ છે.
લંબકેન્દ્ર શોધવા માટે,આપણે વેધના છેદબિંદુની જરૂર છે.
$1$. $C(3,4)$ માંથી $OB$ બાજુ (જે $x$-અક્ષ પર છે) પરનો વેધ એ $x=3$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા છે. આમ,આ વેધનું સમીકરણ $x=3$ છે.
$2$. બાજુ $BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{4-0}{3-4} = \frac{4}{-1} = -4$ છે.
$3$. $O(0,0)$ માંથી $BC$ પરનો વેધ એ $BC$ ને લંબ છે. તેનો ઢાળ $m_{\perp} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{1}{-4} = \frac{1}{4}$ છે.
$4$. $O$ માંથી પસાર થતા વેધનું સમીકરણ $y - 0 = \frac{1}{4}(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = \frac{1}{4}x$ થાય છે.
$5$. $y = \frac{1}{4}x$ સમીકરણમાં $x=3$ મૂકતા,આપણને $y = \frac{1}{4}(3) = \frac{3}{4}$ મળે છે.
તેથી,લંબકેન્દ્ર $\left(3, \frac{3}{4}\right)$ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, \sqrt{3})$,$B(-1, -\sqrt{3})$ અને $C(3, -\sqrt{3})$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$AB = \sqrt{(-1-1)^2 + (-\sqrt{3}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$.
$BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-\sqrt{3} - (-\sqrt{3}))^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$.
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (-\sqrt{3}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$.
અહીં $AB = BC = AC = 4$ હોવાથી,આ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં પરિકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર એક જ હોય છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$.
$G = \left(\frac{1-1+3}{3}, \frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{3}}{3}\right) = \left(1, -\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(-2,-1)$,$B(6,-1)$ અને $C(2,5)$ છે.
પ્રથમ,$AB$ નો લંબદ્વિભાજક શોધો. $A$ અને $B$ નો $y$-યામ સમાન હોવાથી,રેખા $AB$ સમક્ષિતિજ છે. મધ્યબિંદુ $(\frac{-2+6}{2}, -1) = (2,-1)$ છે. લંબદ્વિભાજક શિરોલંબ રેખા $x=2$ છે ... $(i)$.
આગળ,$BC$ નો લંબદ્વિભાજક શોધો. $BC$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{6+2}{2}, \frac{-1+5}{2}) = (4,2)$ છે. $BC$ નો ઢાળ $m = \frac{5-(-1)}{2-6} = \frac{6}{-4} = -\frac{3}{2}$ છે. લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $\frac{2}{3}$ છે. સમીકરણ $y-2 = \frac{2}{3}(x-4)$ $\Rightarrow 3y-6 = 2x-8$ $\Rightarrow 2x-3y=2$ છે ... (ii).
$(i)$ માંથી $x=2$ ને (ii) માં મૂકતા: $2(2)-3y=2$ $\Rightarrow 4-3y=2$ $\Rightarrow 3y=2$ $\Rightarrow y=\frac{2}{3}$.
પરિકેન્દ્ર $(2, \frac{2}{3})$ છે.
$2$ અને $\frac{2}{3}$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (2+\frac{2}{3})x + 2(\frac{2}{3}) = 0$ છે.
$x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{4}{3} = 0 \Rightarrow 3x^2-8x+4=0$.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(h, k)$,$B(5, -1)$,અને $C(-2, 3)$ છે. ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ એ લંબકેન્દ્ર છે.
$AO \perp BC$ હોવાથી,$AO$ નો ઢાળ $\times$ $BC$ નો ઢાળ $= -1$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{3 - (-1)}{-2 - 5} = \frac{4}{-7}$.
$AO$ નો ઢાળ $= \frac{k - 0}{h - 0} = \frac{k}{h}$.
તેથી,$\frac{k}{h} \times \left(-\frac{4}{7}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{k}{h} = \frac{7}{4}$ $\Rightarrow 7h - 4k = 0$ (સમી. $1$).
$BO \perp AC$ હોવાથી,$BO$ નો ઢાળ $\times$ $AC$ નો ઢાળ $= -1$.
$BO$ નો ઢાળ $= \frac{-1 - 0}{5 - 0} = -\frac{1}{5}$.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{k - 3}{h - (-2)} = \frac{k - 3}{h + 2}$.
તેથી,$\left(-\frac{1}{5}\right) \times \left(\frac{k - 3}{h + 2}\right) = -1$ $\Rightarrow k - 3 = 5(h + 2)$ $\Rightarrow 5h - k + 13 = 0$ (સમી. $2$).
સમી. $1$ પરથી,$k = \frac{7h}{4}$. આ કિંમત સમી. $2$ માં મૂકતા:
$5h - \frac{7h}{4} + 13 = 0$ $\Rightarrow \frac{20h - 7h}{4} = -13$ $\Rightarrow 13h = -52$ $\Rightarrow h = -4$.
તેથી $k = \frac{7(-4)}{4} = -7$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-4, -7)$ છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(-2, 3), B(2, -1)$ અને $C(4, 0)$ છે.
પ્રથમ,લંબકેન્દ્ર $H$ શોધો. $BC$ નો ઢાળ $= \frac{0 - (-1)}{4 - 2} = \frac{1}{2}$ છે. $A$ માંથી દોરેલો વેધ $BC$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $-2$ છે. સમીકરણ $y - 3 = -2(x + 2) \Rightarrow 2x + y + 1 = 0$ છે.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{0 - 3}{4 - (-2)} = -\frac{1}{2}$ છે. $B$ માંથી દોરેલો વેધ $AC$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $2$ છે. સમીકરણ $y - (-1) = 2(x - 2) \Rightarrow 2x - y - 5 = 0$ છે.
$2x + y + 1 = 0$ અને $2x - y - 5 = 0$ ને ઉકેલતા,$4x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1$ મળે છે. $x=1$ મુકતા $y = -3$ મળે છે. આમ,લંબકેન્દ્ર $H = (1, -3)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{-2+2+4}{3}, \frac{3-1+0}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)$ છે.
$H(1, -3)$ અને $G\left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right)$ ને જોડતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે,જ્યાં $m = \frac{\frac{2}{3} - (-3)}{\frac{4}{3} - 1} = 11$ છે.
તેથી,$y + 3 = 11(x - 1) \Rightarrow 11x - y - 14 = 0$ મળે છે.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(2,3)$,$B(2,4)$,અને $C(4,3)$ છે.
$AB$ શિરોલંબ છે અને $AC$ સમક્ષિતિજ છે,તેથી ત્રિકોણ $A$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,લંબકેન્દ્ર $O$ એ કાટખૂણા વાળું શિરોબિંદુ છે. તેથી,$O = A = (2,3)$.
તેથી,$AO^2 = (2-2)^2 + (3-3)^2 = 0$.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{2+2+4}{3}, \frac{3+4+3}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{10}{3}\right)$.
$9BG^2 = 9 \times [(\frac{8}{3}-2)^2 + (\frac{10}{3}-4)^2] = 9 \times [\frac{4}{9} + \frac{4}{9}] = 8$.
$G$ એ $O$ અને $S$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. $S = \frac{3G - O}{2} = (3, \frac{7}{2})$.
$4CS^2 = 4 \times [(4-3)^2 + (3-\frac{7}{2})^2] = 4 \times [1 + \frac{1}{4}] = 5$.
$AO^2 + 9BG^2 + 4CS^2 = 0 + 8 + 5 = 13$.

(B) ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર તેના શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે. ધારો કે $O(x, y)$ એ $A(-2, 3), B(1, -2)$ અને $C(2, 1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર છે.
$OA = OB = OC$ હોવાથી,$OA^2 = OB^2 = OC^2$ થાય.
$OA^2 = (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13$
$OB^2 = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5$
$OC^2 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5$
$OA^2 = OB^2$ સરખાવતા:
$6x - 10y + 8 = 0 \Rightarrow 3x - 5y + 4 = 0 \dots (i)$
$OB^2 = OC^2$ સરખાવતા:
$2x + 6y = 0 \Rightarrow x = -3y \dots (ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મુકતા:
$3(-3y) - 5y + 4 = 0$ $\Rightarrow -14y = -4$ $\Rightarrow y = \frac{2}{7}$
તેથી,$x = -3\left(\frac{2}{7}\right) = -\frac{6}{7}$.
આમ,પરિકેન્દ્ર $\left(-\frac{6}{7}, \frac{2}{7}\right)$ છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $y=\sqrt{3}x$ અને $y=-\sqrt{3}x$ નું છેદબિંદુ $A(0, 0)$ છે.
$2$. $y=\sqrt{3}x$ અને $y=3$ નું છેદબિંદુ $B(\sqrt{3}, 3)$ છે.
$3$. $y=-\sqrt{3}x$ અને $y=3$ નું છેદબિંદુ $C(-\sqrt{3}, 3)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$c = AB = \sqrt{(\sqrt{3}-0)^2 + (3-0)^2} = 2\sqrt{3}$.
$b = AC = \sqrt{(-\sqrt{3}-0)^2 + (3-0)^2} = 2\sqrt{3}$.
$a = BC = \sqrt{(\sqrt{3}-(-\sqrt{3}))^2 + (3-3)^2} = 2\sqrt{3}$.
$a=b=c$ હોવાથી,આ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું અંતઃકેન્દ્ર $(I)$ તેના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ જેટલું જ હોય છે.
$I = G = \left(\frac{0+\sqrt{3}-\sqrt{3}}{3}, \frac{0+3+3}{3}\right) = (0, 2)$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(a, b), B(a, c)$ અને $C(d, c)$ છે.
અહીં $A$ અને $B$ નો $x$-યામ સમાન હોવાથી બાજુ $AB$ શિરોલંબ છે અને $B$ અને $C$ નો $y$-યામ સમાન હોવાથી બાજુ $BC$ સમક્ષિતિજ છે. તેથી,$\triangle ABC$ એ $B(a, c)$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે. તેથી,લંબકેન્દ્ર $B(a, c)$ છે.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{a+a+d}{3}, \frac{b+c+c}{3}\right) = \left(\frac{2 a+d}{3}, \frac{b+2 c}{3}\right)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ અને લંબકેન્દ્ર $H(a, c)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ:
$M = \left(\frac{\frac{2 a+d}{3}+a}{2}, \frac{\frac{b+2 c}{3}+c}{2}\right) = \left(\frac{5 a+d}{6}, \frac{b+5 c}{6}\right)$.

(A) આપેલ રેખાઓ:
$L_1: x+y+1=0$
$L_2: x-y-1=0$
$L_3: 3x+4y+5=0$
$L_1$ નો ઢાળ $(m_1)$ $-1$ છે.
$L_2$ નો ઢાળ $(m_2)$ $1$ છે.
અહીં $m_1 \times m_2 = (-1) \times (1) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને કાટકોણ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર તે શિરોબિંદુ હોય છે જ્યાં કાટખૂણો બને છે.
શિરોબિંદુ શોધવા માટે $L_1$ અને $L_2$ નો ઉકેલ મેળવો:
$x+y+1=0$
$x-y-1=0$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2x = 0 \Rightarrow x = 0$.
$x=0$ ને $x+y+1=0$ માં મૂકતા,$0+y+1=0 \Rightarrow y = -1$.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(0, -1)$ છે.

(B) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(0,2)$ અને $C(2,0)$ છે.
$\overline{AC}$ એ $x$-અક્ષ પર છે અને $\overline{AB}$ એ $y$-અક્ષ પર છે,તેથી આ ત્રિકોણ $A(0,0)$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે,તેથી લંબકેન્દ્ર $H(0,0)$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ હોય છે.
પરિકેન્દ્ર $O = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = (1,1)$.
લંબકેન્દ્ર $(0,0)$ અને પરિકેન્દ્ર $(1,1)$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ એકમ}$ છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A=(-1, 3)$,$B=(2, 5)$,અને $C=(a, b)$ છે. લંબકેન્દ્ર $H=(1, 2)$ છે.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$AH$ નો ઢાળ $(m_{AH})$ અને $BC$ નો ઢાળ $(m_{BC})$ નો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$m_{AH} = \frac{2-3}{1-(-1)} = \frac{-1}{2}$.
$m_{BC} = \frac{b-5}{a-2}$.
$m_{AH} \times m_{BC} = -1$ હોવાથી,$\left(\frac{-1}{2}\right) \times \left(\frac{b-5}{a-2}\right) = -1 \Rightarrow b-5 = 2(a-2) \Rightarrow b-5 = 2a-4 \Rightarrow 2a-b = -1$ ... $(i)$
તે જ રીતે,$BH \perp AC$ હોવાથી,$BH$ નો ઢાળ $(m_{BH})$ અને $AC$ નો ઢાળ $(m_{AC})$ નો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$m_{BH} = \frac{2-5}{1-2} = \frac{-3}{-1} = 3$.
$m_{AC} = \frac{b-3}{a-(-1)} = \frac{b-3}{a+1}$.
$m_{BH} \times m_{AC} = -1$ હોવાથી,$3 \times \left(\frac{b-3}{a+1}\right) = -1 \Rightarrow 3b-9 = -a-1 \Rightarrow a+3b = 8$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$b = 2a+1$. (ii) માં મૂકતા: $a + 3(2a+1) = 8 \Rightarrow a + 6a + 3 = 8 \Rightarrow 7a = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{7}$.
તેથી $b = 2(\frac{5}{7}) + 1 = \frac{10}{7} + \frac{7}{7} = \frac{17}{7}$.
આમ,$(a, b) = \left(\frac{5}{7}, \frac{17}{7}\right)$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(-2, -1)$,$B(2, 5)$ અને $C(m, n)$ છે. ધારો કે $H\left(2, \frac{5}{3}\right)$ એ લંબકેન્દ્ર છે.
$AH$ નો ઢાળ $= \frac{\frac{5}{3} - (-1)}{2 - (-2)} = \frac{8/3}{4} = \frac{2}{3}$.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $= -\frac{1}{2/3} = -\frac{3}{2}$.
$BC$ નું સમીકરણ: $y - 5 = -\frac{3}{2}(x - 2)$ $\Rightarrow 2y - 10 = -3x + 6$ $\Rightarrow 3x + 2y = 16 \quad ...(i)$
$BH$ નો ઢાળ $= \frac{\frac{5}{3} - 5}{2 - 2} = \frac{-10/3}{0}$,જે અવ્યાખ્યાયિત છે. આનો અર્થ એ છે કે $BH$ એ શિરોલંબ રેખા $x = 2$ છે.
$BH \perp AC$ હોવાથી,$AC$ એ સમક્ષિતિજ રેખા હોવી જોઈએ. $A(-2, -1)$ હોવાથી,$AC$ નું સમીકરણ $y = -1$ છે.
$C(m, n)$ એ $AC$ પર હોવાથી,$n = -1$.
સમીકરણ $(i)$ માં $n = -1$ મૂકતા: $3m + 2(-1) = 16$ $\Rightarrow 3m = 18$ $\Rightarrow m = 6$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(6, -1)$ છે.
તેથી,$m + n = 6 + (-1) = 5$.

(B) ધારો કે રેખાઓ $L_1: x+y+10=0$,$L_2: x-y-2=0$,અને $L_3: 2x+y-7=0$ છે.
પ્રથમ,રેખાઓના ઢાળ તપાસો:
$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -1$ છે.
$L_2$ નો ઢાળ $m_2 = 1$ છે.
કારણ કે $m_1 \times m_2 = (-1) \times (1) = -1$,રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ એકબીજાને લંબ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ શિરોબિંદુ છે જ્યાં કાટખૂણો બને છે.
તેથી,લંબકેન્દ્ર એ $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ છે.
$x+y+10=0$ અને $x-y-2=0$ ને ઉકેલતા:
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x+y+10) + (x-y-2) = 0 \implies 2x + 8 = 0 \implies x = -4$.
$x = -4$ ને $x-y-2=0$ માં મૂકતા: $-4 - y - 2 = 0 \implies y = -6$.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(-4, -6)$ છે.

(A) ધારો કે રેખાઓ $x-3y+3=0$ અને $x+3y+3=0$ નું છેદબિંદુ $A$ છે. સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2x+6=0 \implies x=-3$. $x=-3$ ને $x-3y+3=0$ માં મૂકતા,$y=0$ મળે છે. તેથી,$A = (-3, 0)$.
ધારો કે રેખાઓ $x+3y+3=0$ અને $x+y-1=0$ નું છેદબિંદુ $B$ છે. સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(x+3y+3) - (x+y-1) = 0 \implies 2y+4=0 \implies y=-2$. $y=-2$ ને $x+y-1=0$ માં મૂકતા,$x-2-1=0 \implies x=3$ મળે છે. તેથી,$B = (3, -2)$.
ધારો કે રેખાઓ $x-3y+3=0$ અને $x+y-1=0$ નું છેદબિંદુ $C$ છે. સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(x-3y+3) - (x+y-1) = 0 \implies -4y+4=0 \implies y=1$. $y=1$ ને $x+y-1=0$ માં મૂકતા,$x+1-1=0 \implies x=0$ મળે છે. તેથી,$C = (0, 1)$.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તો મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ થાય.
$G = \left(\frac{-3+3+0}{3}, \frac{0-2+1}{3}\right) = \left(0, -\frac{1}{3}\right)$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે. $P$ એ $A(-1, 3)$,$B(3, 5)$ અને $C(5, 7)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA = PB = PC$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $PA^2 = PB^2 = PC^2$.
$PA^2 = (x+1)^2 + (y-3)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10$
$PB^2 = (x-3)^2 + (y-5)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 10y + 25 = x^2 + y^2 - 6x - 10y + 34$
$PC^2 = (x-5)^2 + (y-7)^2 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 14y + 49 = x^2 + y^2 - 10x - 14y + 74$
$PA^2 = PB^2$ સરખાવતા:
$x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = x^2 + y^2 - 6x - 10y + 34$
$8x + 4y = 24 \implies 2x + y = 6$ $(i)$
$PB^2 = PC^2$ સરખાવતા:
$x^2 + y^2 - 6x - 10y + 34 = x^2 + y^2 - 10x - 14y + 74$
$4x + 4y = 40 \implies x + y = 10$ $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(2x + y) - (x + y) = 6 - 10 \implies x = -4$
$x = -4$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$-4 + y = 10 \implies y = 14$
આમ,$P$ એ $(-4, 14)$ છે.
$PA = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (14 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (11)^2} = \sqrt{9 + 121} = \sqrt{130}$.
તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, \sqrt{3})$,$B(0, 0)$,અને $C(2, 0)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
$BC = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4} = 2$
$AC = \sqrt{(2-1)^2 + (0-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,આ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,અંતઃકેન્દ્ર એ મધ્યકેન્દ્ર સમાન હોય છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ દ્વારા મળે છે.
$G = \left(\frac{1+0+2}{3}, \frac{\sqrt{3}+0+0}{3}\right) = \left(\frac{3}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \left(1, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(B) શિરોબિંદુઓ $A(1,1), B(1,-1), C(-1,1)$ છે.
$AB$ શિરોલંબ છે અને $AC$ સમક્ષિતિજ છે,તેથી $\triangle ABC$ એ $A(1,1)$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$1$. પરિકેન્દ્ર $S$: કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$S = (0,0)$.
$2$. લંબકેન્દ્ર $O$: કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતા શિરોબિંદુ પર હોય છે.
$O = A = (1,1)$.
$3$. અંતઃકેન્દ્ર $I$: બાજુઓની લંબાઈ $c=2, b=2, a=2\sqrt{2}$ છે.
અંતઃકેન્દ્ર $I = (\sqrt{2}-1, \sqrt{2}-1)$.
$OS = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
$IS = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2 + (\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}-1) = 2-\sqrt{2}$.
$IS + OS = (2-\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 2$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, 2)$,$B(3, -1)$,અને $C(4, 0)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{13}$
$AC = \sqrt{(4-1)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{13}$
$AB = AC$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{8}{3}, \frac{1}{3}\right)$.
પરિકેન્દ્ર $O$ એ $A$ માંથી $BC$ પરના વેધ પર આવેલું છે. $BC$ નો ઢાળ $1$ છે,તેથી વેધનો ઢાળ $-1$ છે. વેધનું સમીકરણ $y = -x + 3$ છે.
$AC$ ના લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y = 1.5x - 2.75$ છે.
બંને સમીકરણો ઉકેલતા,$O = \left(\frac{23}{10}, \frac{7}{10}\right)$ મળે છે.
અંતર $OG = \sqrt{(\frac{8}{3} - \frac{23}{10})^2 + (\frac{1}{3} - \frac{7}{10})^2} = \frac{11}{30} \sqrt{2}$.

(D) ત્રિકોણની બાજુઓના લંબદ્વિભાજકોનું છેદબિંદુ એ પરિકેન્દ્ર $O$ છે. સમીકરણો $x-y+5=0$ અને $x+2y=0$ ઉકેલતા,આપણને $x = -10/3$ અને $y = 5/3$ મળે છે. આમ,પરિકેન્દ્ર $O(-10/3, 5/3)$ છે.
$B$ એ રેખા $x-y+5=0$ ની સાપેક્ષે $A(1,-2)$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,$\frac{x_B-1}{1} = \frac{y_B+2}{-1} = -2 \frac{1-(-2)+5}{1^2+(-1)^2} = -8$ મળે. આથી $x_B = -7$ અને $y_B = 6$ મળે. તેથી $B = (-7, 6)$.
$C$ એ રેખા $x+2y=0$ ની સાપેક્ષે $A(1,-2)$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,$\frac{x_C-1}{1} = \frac{y_C+2}{2} = -2 \frac{1+2(-2)}{1^2+2^2} = 6/5$ મળે. આથી $x_C = 11/5$ અને $y_C = 2/5$ મળે. તેથી $C = (11/5, 2/5)$.
$BC$ નો લંબદ્વિભાજક પરિકેન્દ્ર $O(-10/3, 5/3)$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુ $M$ માંથી પસાર થાય છે. મધ્યબિંદુ $M = (-12/5, 16/5)$ છે.
$O$ અને $M$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = 23/14$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - 5/3 = 23/14(x + 10/3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $23x - 14y + 100 = 0$ થાય છે.