मान लीजिए a, b, c ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं कि | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $b = ar$ और $c = ar^2$ लें,जहाँ $r$ एक पूर्णांक है क्योंकि $\frac{b}{a} = r$ एक पूर्णांक है

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$4$

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(D) दिया गया है कि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $b = ar$ और $c = ar^2$ लें,जहाँ $r$ एक पूर्णांक है क्योंकि $\frac{b}{a} = r$ एक पूर्णांक है।$a, b, c$ का समांतर माध्य $\frac{a+b+c}{3} = b+2$ है।$b = ar$ और $c = ar^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{a + ar + ar^2}{3} = ar + 2$ प्राप्त होता है।$3$ से गुणा करने पर,$a + ar + ar^2 = 3ar + 6$,जो सरल होकर $a + ar^2 = 2ar + 6$ हो जाता है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a(1 - 2r + r^2) = 6$,या $a(r-1)^2 = 6$ प्राप्त होता है।चूंकि $a$ और $r$ पूर्णांक हैं,$(r-1)^2$ को $6$ का गुणनखंड होना चाहिए। $6$ के पूर्ण वर्ग गुणनखंड $1$ हैं। इसलिए,$(r-1)^2 = 1$,जिसका अर्थ है $r-1 = 1$ (क्योंकि $a, b, c$ के धनात्मक पूर्णांक होने के लिए $r$ को धनात्मक होना चाहिए),इसलिए $r = 2$ है।$a(r-1)^2 = 6$ में $r = 2$ रखने पर,$a(1)^2 = 6$,इसलिए $a = 6$ प्राप्त होता है।अब,$a = 6$ के लिए $\frac{a^2+a-14}{a+1}$ का मान ज्ञात करते हैं:$\frac{6^2 + 6 - 14}{6 + 1} = \frac{36 + 6 - 14}{7} = \frac{28}{7} = 4$.

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सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक $k,$ जिसके लिए $49^k+1$ योग $49^{125}+49^{124}+\ldots+49^{2}+49+1$ का एक गुणनखंड है,वह है

गुणोत्तर श्रेणी $8 + 12 + 18 + 27 + \dots$ का $9$ वाँ पद ज्ञात कीजिए।

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