Arithmetic progression Questions in Hindi

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$.
पद $x = \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$,$y = \frac{1}{\sqrt{c} + \sqrt{a}}$,और $z = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ लें।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$x = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{c - b}$,$y = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{c}}{a - c}$,$z = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{b - a}$.
चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,मान लें $c - b = b - a = d$. तब $a - c = -2d$.
$x = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{d}$,$y = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{c}}{-2d}$,$z = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{d}$.
समांतर श्रेणी के लिए $2y = x + z$ होना चाहिए।
$x + z = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b} + \sqrt{b} - \sqrt{a}}{d} = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{a}}{d}$.
$2y = 2 \times \frac{\sqrt{a} - \sqrt{c}}{-2d} = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{a}}{d}$.
चूंकि $2y = x + z$,ये पद समांतर श्रेणी में हैं।

(A) यहाँ $n$ पदों का योग $S_n = 2n^2 + 5n$ दिया गया है।
$n$ वें पद $t_n$ को ज्ञात करने का सूत्र $t_n = S_n - S_{n-1}$ है।
मान रखने पर:
$t_n = (2n^2 + 5n) - [2(n-1)^2 + 5(n-1)]$
$t_n = (2n^2 + 5n) - [2(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5]$
$t_n = (2n^2 + 5n) - [2n^2 - 4n + 2 + 5n - 5]$
$t_n = (2n^2 + 5n) - [2n^2 + n - 3]$
$t_n = 2n^2 + 5n - 2n^2 - n + 3$
$t_n = 4n + 3$.

(C) दी गई श्रेणी एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 3 - 1 = 2$ है।
समांतर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सूत्र में $a = 1$ और $d = 2$ का मान रखने पर:
$S_n = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)2]$
$S_n = \frac{n}{2}[2 + 2n - 2]$
$S_n = \frac{n}{2}[2n]$
$S_n = n^2$.

(D) किसी अनुक्रम के $AP$ होने के लिए,$n$ पदों का योग $S_n$,$An^2 + Bn$ के रूप में होना चाहिए।
कथन-$I$ में,$S_n = 6n^2 + 3n + 1$ है। चूँकि इसमें एक अचर पद $(1)$ है,इसलिए यह $AP$ नहीं हो सकता। अतः,कथन-$I$ असत्य है।
कथन-$II$ में,प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ वाली समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{d}{2}n^2 + (a - \frac{d}{2})n$ होता है। यह स्पष्ट रूप से $an^2 + bn$ के रूप में है। अतः,कथन-$II$ सत्य है।
इसलिए,कथन-$I$ असत्य है और कथन-$II$ सत्य है।

(C) समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र: $t_n = a + (n - 1)d$.
$11$ वें पद के लिए: $t_{11} = a + 10d$.
$21$ वें पद के लिए: $t_{21} = a + 20d$.
प्रश्न के अनुसार: $2t_{11} = 7t_{21}$.
$2(a + 10d) = 7(a + 20d)$.
$2a + 20d = 7a + 140d$.
$5a + 120d = 0$.
$5$ से भाग देने पर: $a + 24d = 0$.
अब,$25$ वां पद $t_{25} = a + (25 - 1)d = a + 24d$ है।
चूंकि $a + 24d = 0$,इसलिए $t_{25} = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना पदों की संख्या $n$ है। समांतर श्रेणी का योग $S = \frac{n}{2}(a + \ell)$ होता है।
इससे,$n = \frac{2S}{a + \ell}$ प्राप्त होता है।
अंतिम पद का सूत्र $\ell = a + (n - 1)d$ है।
अतः,$d = \frac{\ell - a}{n - 1}$ होगा।
$n$ का मान रखने पर,$d = \frac{\ell - a}{\frac{2S}{a + \ell} - 1} = \frac{(\ell - a)(a + \ell)}{2S - a - \ell} = \frac{\ell^2 - a^2}{2S - a - \ell}$।
अतः,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है।

(A) दिया गया अनुक्रम एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जहाँ प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अंतर $d = 8 - 5 = 3$ है।
हमें वह पद $n$ ज्ञात करना है जिसके लिए $a_n = 320$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $320 = 5 + (n - 1)3$.
$320 - 5 = (n - 1)3$.
$315 = (n - 1)3$.
$n - 1 = \frac{315}{3} = 105$.
$n = 105 + 1 = 106$.
अतः,अनुक्रम का $106$ वाँ पद $320$ है।

(A) माना समांतर श्रेणी में तीन संख्याएँ $(a - d)$,$a$,और $(a + d)$ हैं।
उनका योग $33$ दिया गया है:
$(a - d) + a + (a + d) = 33$
$3a = 33$
$a = 11$
उनका गुणनफल $792$ दिया गया है:
$(11 - d) \times 11 \times (11 + d) = 792$
$(11 - d)(11 + d) = \frac{792}{11}$
$121 - d^2 = 72$
$d^2 = 121 - 72$
$d^2 = 49$
$d = 7$ (श्रेणी के लिए धनात्मक मान लेने पर)
अतः संख्याएँ $(11 - 7)$,$11$,और $(11 + 7)$ अर्थात $4$,$11$,और $18$ हैं।
सबसे छोटी संख्या $4$ है।

(A) माना कि प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
समांतर श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $T_m = a + (m - 1)d = n$ (समीकरण $1$)
दिया गया है $T_n = a + (n - 1)d = m$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$(a + (m - 1)d) - (a + (n - 1)d) = n - m$
$(m - 1 - n + 1)d = n - m$
$(m - n)d = -(m - n)$
$d = -1$
$d = -1$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$a + (m - 1)(-1) = n$
$a - m + 1 = n$
$a = m + n - 1$
अब,$T_p$ ज्ञात करें:
$T_p = a + (p - 1)d$
$T_p = (m + n - 1) + (p - 1)(-1)$
$T_p = m + n - 1 - p + 1$
$T_p = m + n - p$

(B) $81$ और $719$ के बीच $5$ से विभाज्य पूर्णांक एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) बनाते हैं।
प्रथम पद $a = 85$ और अंतिम पद $l = 715$ है।
सार्व अंतर $d = 5$ है।
समांतर श्रेणी के $n$-वें पद के सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$715 = 85 + (n - 1)5$
$630 = (n - 1)5$
$n - 1 = 126$
$n = 127$.
समांतर श्रेणी का योग $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ द्वारा दिया जाता है।
$S_{127} = \frac{127}{2}(85 + 715)$
$S_{127} = \frac{127}{2}(800)$
$S_{127} = 127 \times 400 = 50800$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\frac{S_n}{n} = a + \frac{(n-1)d}{2}$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{S_1}{n_1}(n_2 - n_3) + \frac{S_2}{n_2}(n_3 - n_1) + \frac{S_3}{n_3}(n_1 - n_2)$
$= [a + \frac{(n_1-1)d}{2}](n_2 - n_3) + [a + \frac{(n_2-1)d}{2}](n_3 - n_1) + [a + \frac{(n_3-1)d}{2}](n_1 - n_2)$
$= a(n_2 - n_3 + n_3 - n_1 + n_1 - n_2) + \frac{d}{2}[(n_1-1)(n_2-n_3) + (n_2-1)(n_3-n_1) + (n_3-1)(n_1-n_2)]$
$= a(0) + \frac{d}{2}[n_1n_2 - n_1n_3 - n_2 + n_3 + n_2n_3 - n_2n_1 - n_3 + n_1 + n_3n_1 - n_3n_2 - n_1 + n_2]$
$= 0 + \frac{d}{2}(0) = 0$.

(A) माना कि दो समांतर श्रेणियों के प्रथम पद $a_1$ और $a_2$ हैं और उनके सार्व अंतर क्रमशः $d_1$ और $d_2$ हैं।
दिया गया है कि $n$ पदों के योग का अनुपात: $\frac{S_n}{S'_n} = \frac{2n + 3}{6n + 5}$.
हम जानते हैं कि $m$ वां पद $t_m = a + (m-1)d$ होता है।
$m$ वें पदों का अनुपात $\frac{t_m}{t'_m} = \frac{a_1 + (m-1)d_1}{a_2 + (m-1)d_2}$ होता है।
$13$ वां पद ज्ञात करने के लिए,हम $m-1 = 12$ लेते हैं,इसलिए $m = 13$.
हम योग के अनुपात के सूत्र में $n = 2m - 1 = 2(13) - 1 = 25$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$\frac{t_{13}}{t'_{13}} = \frac{a_1 + 12d_1}{a_2 + 12d_2} = \frac{2(25) + 3}{6(25) + 5}$.
$\frac{t_{13}}{t'_{13}} = \frac{50 + 3}{150 + 5} = \frac{53}{155}$.

(C) माना समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $(a-d)$,$a$,और $(a+d)$ हैं,जहाँ $d > 0$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$(a-d)^2 + a^2 = (a+d)^2$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $a^2 - 2ad + d^2 + a^2 = a^2 + 2ad + d^2$ प्राप्त होता है।
समीकरण को सरल करने पर: $a^2 - 4ad = 0$ मिलता है।
चूँकि $a \neq 0$,इसलिए $a = 4d$ प्राप्त होता है।
भुजाओं में $a = 4d$ रखने पर: $(4d-d)$,$4d$,$(4d+d)$,जो $3d$,$4d$,$5d$ देता है।
अतः,भुजाओं का अनुपात $3 : 4 : 5$ है।

(B) माना समांतर श्रेणी का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$n^{th}$ पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
$9^{th}$ पद के लिए: $a + 8d = 35$ (समीकरण $1$)।
$19^{th}$ पद के लिए: $a + 18d = 75$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(a + 18d) - (a + 8d) = 75 - 35$।
$10d = 40$,अतः $d = 4$।
$d = 4$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $a + 8(4) = 35 \implies a + 32 = 35 \implies a = 3$।
$20^{th}$ पद $a_{20} = a + 19d$ है।
$a_{20} = 3 + 19(4) = 3 + 76 = 79$।

(B) माना कि $AP$ के तीन पद $(a - d)$,$a$,और $(a + d)$ हैं।
उनका योग: $(a - d) + a + (a + d) = 18$.
$3a = 18 \implies a = 6$.
उनके वर्गों का योग: $(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = 158$.
$(6 - d)^2 + 6^2 + (6 + d)^2 = 158$.
$(36 - 12d + d^2) + 36 + (36 + 12d + d^2) = 158$.
$108 + 2d^2 = 158$.
$2d^2 = 50 \implies d^2 = 25 \implies d = \pm 5$.
यदि $d = 5$ है,तो पद $1, 6, 11$ हैं।
यदि $d = -5$ है,तो पद $11, 6, 1$ हैं।
दोनों स्थितियों में,सबसे बड़ा पद $11$ है।

(B) पहले $3$ महीनों में कुल बचत $= 3 \times 200 = 600$ रुपये।
$3$ महीनों के बाद,बचत एक समांतर श्रेणी बनाती है: $240, 280, 320, \dots$
इन पदों का योग $11040 - 600 = 10440$ रुपये होना चाहिए।
यहाँ,$a = 240$ और $d = 40$ है।
योग सूत्र $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ का उपयोग करने पर:
$10440 = \frac{n}{2} [2(240) + (n - 1)40]$
$10440 = n(240 + 20n - 20)$
$10440 = 220n + 20n^2$
$20n^2 + 220n - 10440 = 0$
$20$ से विभाजित करने पर: $n^2 + 11n - 522 = 0$
$(n + 29)(n - 18) = 0$
चूंकि $n > 0$,इसलिए $n = 18$ है।
कुल महीने $= 18 + 3 = 21$ महीने।

(A) समांतर श्रेणी का $r$-वाँ पद $T_r = a + (r - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $T_m = 1/n$ और $T_n = 1/m$,इसलिए:
$a + (m - 1)d = 1/n$ --- $(1)$
$a + (n - 1)d = 1/m$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(a + (m - 1)d) - (a + (n - 1)d) = 1/n - 1/m$
$(m - 1 - n + 1)d = (m - n) / (mn)$
$(m - n)d = (m - n) / (mn)$
चूँकि $m \neq n$,$(m - n)$ से विभाजित करने पर:
$d = 1/(mn)$
अब,$d = 1/(mn)$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + (m - 1)(1/(mn)) = 1/n$
$a + 1/n - 1/(mn) = 1/n$
$a = 1/(mn)$
अतः,$a - d = 1/(mn) - 1/(mn) = 0$.

(C) माना समीकरण $x^3 - 12x^2 + 39x - 28 = 0$ के मूल $a - d$,$a$,और $a + d$ हैं।
त्रिघात समीकरण के मूलों के गुणों के अनुसार:
मूलों का योग: $(a - d) + a + (a + d) = -(-12)/1 = 12$
$3a = 12 \Rightarrow a = 4$
मूलों का गुणनफल: $(a - d) \cdot a \cdot (a + d) = -(-28)/1 = 28$
$a(a^2 - d^2) = 28$
$a = 4$ का मान गुणनफल समीकरण में रखने पर:
$4(4^2 - d^2) = 28$
$16 - d^2 = 7$
$d^2 = 9$
$d = \pm 3$
अतः,सार्व अंतर $3$ है।

(A) माना द्विघात बहुपद $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ है।
दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
दिया गया है $f(1) = f(-1)$:
$A(1)^2 + B(1) + C = A(-1)^2 + B(-1) + C$
$A + B + C = A - B + C$
$2B = 0 \implies B = 0$.
अतः,$f(x) = Ax^2 + C$.
अवकलन करने पर,$f'(x) = 2Ax$.
तब $f'(a) = 2Aa$,$f'(b) = 2Ab$,और $f'(c) = 2Ac$.
चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $b - a = c - b$ है।
$2A$ से गुणा करने पर,$2Ab - 2Aa = 2Ac - 2Ab$,जिसका अर्थ है कि $f'(b) - f'(a) = f'(c) - f'(b)$.
अतः,$f'(a), f'(b), f'(c)$ समांतर श्रेणी में हैं।

(A) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है। $n$ वां पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$100 \times a_{100} = 50 \times a_{50}$ है।
$100(a + 99d) = 50(a + 49d)$।
$50$ से विभाजित करने पर,$2(a + 99d) = a + 49d$।
$2a + 198d = a + 49d$।
$a = 49d - 198d = -149d$।
$150$ वां पद $a_{150} = a + 149d$ है।
$a = -149d$ प्रतिस्थापित करने पर,$a_{150} = -149d + 149d = 0$।

(A) माना चार क्रमागत पूर्णांक $x, x+1, x+2, x+3$ हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,एक पूर्णांक शेष तीन के वर्गों के योग के बराबर है।
$x+3 = x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2$ लेने पर,
$x+3 = 3x^2 + 6x + 5$
$3x^2 + 5x + 2 = 0$
$(3x+2)(x+1) = 0$
अतः $x = -1$ प्राप्त होता है।
संख्याएँ $-1, 0, 1, 2$ हैं।
उनका योग $(-1) + 0 + 1 + 2 = 2$ है।

(D) माना कि दो समांतर श्रेणियों के प्रथम पद $a_1, a_2$ और सार्व अंतर $d_1, d_2$ हैं।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
योग का अनुपात $\frac{S_n}{S'_n} = \frac{2a_1 + (n-1)d_1}{2a_2 + (n-1)d_2} = \frac{7n+1}{4n+17}$ है।
$n$ वां पद $T_n = a + (n-1)d$ होता है।
$n$ वें पदों का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम योग के सूत्र में $(n-1)$ को $(2n-2)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
$n$ वें पदों का अनुपात = $\frac{a_1 + (n-1)d_1}{a_2 + (n-1)d_2} = \frac{14n-6}{8n+13}$ होता है।
यह $7:4$ नहीं है। अतः,कथन-$I$ असत्य है।
कथन-$II$ अनुक्रमों का एक मानक गुण है,जो सत्य है।
इसलिए,कथन-$I$ असत्य है और कथन-$II$ सत्य है।

(A) हमें दिया गया है $S_n = An^2 + Bn$।
$S_{n - 1} = A(n - 1)^2 + B(n - 1)$
$= A(n^2 - 2n + 1) + B(n - 1)$
$= An^2 - 2An + A + Bn - B$
$n$-वाँ पद $a_n = S_n - S_{n - 1} = (An^2 + Bn) - (An^2 - 2An + A + Bn - B)$
$= An^2 + Bn - An^2 + 2An - A - Bn + B$
$= 2An + B - A$
अब,$a_{n - 1} = 2A(n - 1) + B - A = 2An - 2A + B - A = 2An + B - 3A$।
सार्व अंतर $d = a_n - a_{n - 1} = (2An + B - A) - (2An + B - 3A) = 2A$।
चूँकि अंतर $d = 2A$ एक अचर है जो $n$ से स्वतंत्र है,इसलिए अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है।

(C) माना कि समांतर श्रेणी $a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, a+5d$ है,जहाँ $d$ सार्व अंतर है।
यहाँ,$c = a+2d$ और $e = a+4d$ है।
अतः,$e - c = (a+4d) - (a+2d) = 2d$.
अब,विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $2(d - c) = 2((a+3d) - (a+2d)) = 2(d) = 2d$.
इस प्रकार,$e - c = 2(d - c)$ होगा।

(C) दिया गया है कि $p$ पदों का योग = $q$ पदों का योग:
$\frac{p}{2}[2a + (p - 1)d] = \frac{q}{2}[2a + (q - 1)d]$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$p[2a + (p - 1)d] = q[2a + (q - 1)d]$
$2ap + p(p - 1)d = 2aq + q(q - 1)d$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2a(p - q) + d[p^2 - p - q^2 + q] = 0$
$2a(p - q) + d[(p^2 - q^2) - (p - q)] = 0$
$(p - q)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(p - q)[2a + d(p + q - 1)] = 0$
चूंकि $p \neq q$,इसलिए:
$2a + (p + q - 1)d = 0$
$(p + q)$ पदों का योग:
$S_{p+q} = \frac{p+q}{2}[2a + (p + q - 1)d]$
$2a + (p + q - 1)d = 0$ का मान रखने पर:
$S_{p+q} = \frac{p+q}{2} \times 0 = 0$

(B) $n$ पदों का योग $S_n = 3n^2 + 5n$ द्वारा दिया गया है।
हम जानते हैं कि $m$-वां पद $T_m = S_m - S_{m-1}$ होता है।
दिया गया है $T_m = 164$,इसलिए $164 = (3m^2 + 5m) - [3(m-1)^2 + 5(m-1)]$.
पदों का विस्तार करने पर: $164 = (3m^2 + 5m) - [3(m^2 - 2m + 1) + 5m - 5]$.
$164 = 3m^2 + 5m - (3m^2 - 6m + 3 + 5m - 5)$.
$164 = 3m^2 + 5m - 3m^2 + m + 2$.
$164 = 6m + 2$.
$6m = 162$.
$m = 27$.

(A) माना प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है। $n$ वां पद $t_n = a + (n - 1)d$ है।
दिया गया है कि $p \cdot t_p = q \cdot t_q$.
$p[a + (p - 1)d] = q[a + (q - 1)d]$
$ap + p(p - 1)d = aq + q(q - 1)d$
$a(p - q) + [p^2 - p - q^2 + q]d = 0$
$a(p - q) + [(p^2 - q^2) - (p - q)]d = 0$
$a(p - q) + [(p - q)(p + q) - (p - q)]d = 0$
$(p - q)$ से भाग देने पर:
$a + (p + q - 1)d = 0$
चूंकि $(p + q)$ वां पद $t_{p+q} = a + (p + q - 1)d$ है,इसलिए हमें $t_{p+q} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\log 2$,$\log (2^x - 1)$ और $\log (2^x + 3)$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
$AP$ के गुणधर्म के अनुसार,$2 \times \text{मध्य पद} = \text{प्रथम पद} + \text{तृतीय पद}$.
$2 \log (2^x - 1) = \log 2 + \log (2^x + 3)$
$\log a + \log b = \log (ab)$ और $n \log a = \log (a^n)$ के गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$\log (2^x - 1)^2 = \log [2(2^x + 3)]$
$(2^x - 1)^2 = 2(2^x + 3)$
माना $2^x = y$. तब $(y - 1)^2 = 2(y + 3)$
$y^2 - 2y + 1 = 2y + 6$
$y^2 - 4y - 5 = 0$
$(y - 5)(y + 1) = 0$
चूँकि $y = 2^x > 0$,इसलिए $y = 5$.
$2^x = 5 \Rightarrow x = \log_2 5$.

(A) माना $n$ पदों का योग $S_n = Pn + Qn^2$ है।
हम जानते हैं कि प्रथम पद $a = S_1 = P(1) + Q(1)^2 = P + Q$ है।
प्रथम दो पदों का योग $S_2 = P(2) + Q(2)^2 = 2P + 4Q$ है।
दूसरा पद $a_2 = S_2 - S_1 = (2P + 4Q) - (P + Q) = P + 3Q$ है।
सार्व अंतर $d = a_2 - a = (P + 3Q) - (P + Q) = 2Q$ है।
अतः,सार्व अंतर $2Q$ है।

(A) माना कि एक वर्धमान समांतर श्रेणी के चार पूर्णांक $x, x+k, x+2k, x+3k$ हैं,जहाँ $k > 0$ है।
शर्त के अनुसार,सबसे बड़ी संख्या शेष तीन संख्याओं के वर्गों के योग के बराबर है: $x+3k = x^2 + (x+k)^2 + (x+2k)^2$.
इस समीकरण को हल करने पर $3x^2 + (6k-1)x + (5k^2-3k) = 0$ प्राप्त होता है।
$k=1$ रखने पर,$3x^2 + 5x + 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $x = -1$ और $x = -2/3$ हैं।
पूर्णांक $x = -1$ के लिए,श्रेणी $-1, 0, 1, 2$ प्राप्त होती है।
यहाँ सार्व अंतर $0 - (-1) = 1$ है।

(B) समांतर श्रेणी का $n$ वां पद $t_n = S_n - S_{n - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S_n = 3n^2 + 5n$।
$t_n = (3n^2 + 5n) - (3(n - 1)^2 + 5(n - 1))$।
$t_n = (3n^2 + 5n) - (3(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5)$।
$t_n = (3n^2 + 5n) - (3n^2 - 6n + 3 + 5n - 5)$।
$t_n = (3n^2 + 5n) - (3n^2 - n - 2)$।
$t_n = 6n + 2$।
दिया गया है $t_n = 164$,इसलिए $6n + 2 = 164$।
$6n = 162$।
$n = \frac{162}{6} = 27$।

(B) दिया गया है $\frac{S_p}{S_q} = \frac{p^2}{q^2}$.
समांतर श्रेणी के $n$ पदों के योग के सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{p}{2}[2a_1 + (p-1)d]}{\frac{q}{2}[2a_1 + (q-1)d]} = \frac{p^2}{q^2}$
$\frac{2a_1 + (p-1)d}{2a_1 + (q-1)d} = \frac{p}{q}$
अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a_1 + \frac{(p-1)}{2}d}{a_1 + \frac{(q-1)}{2}d} = \frac{p}{q} \dots (1)$
हमें $\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{a_1 + 5d}{a_1 + 20d}$ ज्ञात करना है।
समीकरण $(1)$ के साथ तुलना करने पर,$\frac{p-1}{2} = 5 \Rightarrow p = 11$ और $\frac{q-1}{2} = 20 \Rightarrow q = 41$.
इन मानों को समीकरण $(1)$ में रखने पर,हमें $\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{11}{41}$ प्राप्त होता है।

(A) धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a, b, c$ के लिए $A.M. \ge G.M.$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{a + b + c}{3} \ge (abc)^{1/3} \implies a + b + c \ge 3(abc)^{1/3}$
इसी प्रकार,$1/a, 1/b, 1/c$ के लिए:
$\frac{1/a + 1/b + 1/c}{3} \ge \left(\frac{1}{abc}\right)^{1/3} \implies \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\left(\frac{1}{abc}\right)^{1/3}$
इन दोनों असमिकाओं का गुणा करने पर:
$(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \ge 3(abc)^{1/3} \times 3\left(\frac{1}{abc}\right)^{1/3}$
$(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \ge 9$
न्यूनतम मान $9$ है,जो $a = b = c$ होने पर प्राप्त होता है।

(B) माना कि प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है,$t_p = a + (p - 1)d = q$ --- $(1)$
और,$t_q = a + (q - 1)d = p$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(p - q)d = q - p$
$(p - q)d = -(p - q)$
$d = -1$
$d = -1$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$a + (p - 1)(-1) = q$
$a - p + 1 = q$
$a = p + q - 1$
अब,$r$-वाँ पद $t_r = a + (r - 1)d$
$t_r = (p + q - 1) + (r - 1)(-1)$
$t_r = p + q - 1 - r + 1$
$t_r = p + q - r$

(B) दिया गया है कि $\frac{1}{p+q}, \frac{1}{r+p}$ और $\frac{1}{q+r}$ समांतर श्रेणी में हैं।
इसलिए,सार्व अंतर समान होगा:
$\frac{1}{r+p} - \frac{1}{p+q} = \frac{1}{q+r} - \frac{1}{r+p}$
भिन्नों का सरलीकरण करने पर:
$\frac{(p+q) - (r+p)}{(r+p)(p+q)} = \frac{(r+p) - (q+r)}{(q+r)(r+p)}$
$\frac{q-r}{p+q} = \frac{p-q}{q+r}$
वज्र-गुणन करने पर:
$(q-r)(q+r) = (p-q)(p+q)$
$q^2 - r^2 = p^2 - q^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2q^2 = p^2 + r^2$
यह स्थिति दर्शाती है कि $p^2, q^2, r^2$ समांतर श्रेणी में हैं।

(B) चूँकि $x, y, z$ का चिह्न समान है,इसलिए अनुपात $\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \text{ और } \frac{z}{x}$ सभी धनात्मक हैं।
इन तीन धनात्मक संख्याओं के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \ge GM)$ असमिका लागू करने पर:
$\frac{\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{x}}$
$\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \ge 3 \cdot \sqrt[3]{1}$
$\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \ge 3$
अतः,मान $[3, +\infty)$ अंतराल में स्थित है।

(B) श्रेणी $a, (a+d), (a+2d), \dots, (a+2nd)$ है।
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $2n+1$ पद हैं।
समांतर श्रेणी का माध्य प्रथम और अंतिम पद का औसत होता है।
समांतर माध्य $= \frac{\text{प्रथम पद} + \text{अंतिम पद}}{2}$
समांतर माध्य $= \frac{a + (a + 2nd)}{2}$
समांतर माध्य $= \frac{2a + 2nd}{2} = a + nd$.

(B) माना सार्व अंतर $d$ है। प्रथम $p$ पदों का योग $S_p = \frac{p}{2}[2a_1 + (p-1)d]$ है।
$m = 5n$ दिया गया है,अतः $\frac{S_m}{S_n} = \frac{\frac{5n}{2}[2a_1 + (5n-1)d]}{\frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]} = 5 \times \frac{2a_1 - d + 5nd}{2a_1 - d + nd}$ है।
अनुपात को $n$ से स्वतंत्र होने के लिए,$(2a_1 - d) = 0$ होना चाहिए।
$2a_1 - d = 0$ रखने पर,हमें $d = 2a_1$ प्राप्त होता है।
$a_1 = 3$ दिया गया है,अतः $d = 2(3) = 6$ है।
इसलिए,$a_2 = a_1 + d = 3 + 6 = 9$ है।

(B) समांतर श्रेणी का $n$ वाँ पद $t_n = a + (n - 1)d$ होता है।
दिया गया है $t_7 = 40$,इसलिए $a + 6d = 40$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$2a + 12d = 80$ प्राप्त होता है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ होता है।
$n = 13$ के लिए,$S_{13} = \frac{13}{2}[2a + (13 - 1)d] = \frac{13}{2}[2a + 12d]$ है।
$2a + 12d = 80$ का मान रखने पर,$S_{13} = \frac{13}{2} \times 80 = 13 \times 40 = 520$।

(C) दिया गया है कि $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए सार्व अंतर $d = a_{k+1} - a_k$ है।
पद $\sin d \csc a_k \csc a_{k+1} = \frac{\sin(a_{k+1} - a_k)}{\sin a_k \sin a_{k+1}}$ लिखा जा सकता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin a_{k+1} \cos a_k - \cos a_{k+1} \sin a_k}{\sin a_k \sin a_{k+1}} = \cot a_k - \cot a_{k+1}$ प्राप्त होता है।
इस श्रेणी का योग करने पर:
$S = (\cot a_1 - \cot a_2) + (\cot a_2 - \cot a_3) + \dots + (\cot a_{n-1} - \cot a_n)$।
सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे,जिससे उत्तर $\cot a_1 - \cot a_n$ प्राप्त होगा।

(B) माना समांतर श्रेणी के तीन पद $(a - d)$,$a$ और $(a + d)$ हैं।
दिया गया है कि पहले और तीसरे पद का योग $12$ है:
$(a - d) + (a + d) = 12$
$2a = 12$
$a = 6$
दिया गया है कि पहले और दूसरे पद का गुणनफल $24$ है:
$(a - d) \times a = 24$
$(6 - d) \times 6 = 24$
$6 - d = 4$
$d = 2$
अतः,पहला पद $(a - d) = 6 - 2 = 4$ है।

(C) प्रथम अनुक्रम के लिए,$m$ वां पद $t_m = 63 + (m - 1)2 = 2m + 61$ है।
द्वितीय अनुक्रम के लिए,$m$ वां पद $t'_m = 3 + (m - 1)7 = 7m - 4$ है।
यह दिया गया है कि $m$ वें पद समान हैं,इसलिए $t_m = t'_m:$
$2m + 61 = 7m - 4$
$m$ के लिए हल करने पर:
$5m = 65$
$m = 13$

(C) यदि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,तो $2b = a + c$ होता है।
यहाँ,$a = 2x$,$b = x + 8$ और $c = 3x + 1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$2(x + 8) = 2x + (3x + 1)$
$2x + 16 = 5x + 1$
$16 - 1 = 5x - 2x$
$15 = 3x$
$x = 5$

(A) चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,सार्व अंतर समान है,इसलिए $b - a = c - b$.
इसका अर्थ है $2b = a + c$.
हमें $(a - c)^2$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $(a - c)^2 = (a + c)^2 - 4ac$ का उपयोग करने पर।
$a + c = 2b$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a - c)^2 = (2b)^2 - 4ac = 4b^2 - 4ac$.
$4$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $(a - c)^2 = 4(b^2 - ac)$ प्राप्त होता है।

(C) समांतर श्रेणी के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $l$ अंतिम पद है।
यहाँ $a = 10$,$l = 50$,और $S_n = 300$ दिया गया है।
मान रखने पर: $300 = \frac{n}{2}(10 + 50)$.
$300 = \frac{n}{2}(60)$.
$300 = 30n$.
$n = \frac{300}{30} = 10$.

(C) दिया गया $n$ वाँ पद $t_n = 3n - 1$ है।
$n = 1, 2, 3, 4, 5$ के लिए पद इस प्रकार हैं:
$t_1 = 3(1) - 1 = 2$
$t_2 = 3(2) - 1 = 5$
$t_3 = 3(3) - 1 = 8$
$t_4 = 3(4) - 1 = 11$
$t_5 = 3(5) - 1 = 14$
प्रथम पाँच पदों का योग $2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40$ है।

(B) यहाँ $S_{2n} = 2S_n$ दिया गया है।
सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d] = 2 \times \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$2a + (2n-1)d = 2a + (n-1)d$
इससे $nd = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $d = 0$।
यदि $d = 0$ है,तो $S_n = na$।
अतः,$S_{3n} / S_n = \frac{3na}{na} = 3$।
हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $6$ है।