यदि एक $A.P.$ का $p^{th}$ पद $\frac{1}{q}$ है और $q^{th}$ पद $\frac{1}{p}$ है,तो इसके $pq$ पदों का योग क्या होगा?

माना $f(x)$ एक द्विघात बहुपद है। यदि $f(1) = f(-1)$ और $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,तो $f'(a), f'(b), f'(c)$..... श्रेणी में हैं।

एक त्रिभुज की भुजाएँ समांतर श्रेणी में भिन्न धनात्मक पूर्णांक हैं। यदि सबसे छोटी भुजा $10$ है,तो ऐसे त्रिभुजों की संख्या है

जब $A.P.$ के $9^{th}$ पद को उसके $2^{nd}$ पद से विभाजित किया जाता है,तो भागफल $5$ प्राप्त होता है और जब $13^{th}$ पद को $6^{th}$ पद से विभाजित किया जाता है,तो भागफल $2$ और शेषफल $5$ प्राप्त होता है। $A.P.$ का प्रथम पद ज्ञात कीजिए।

एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) $a_1, a_2, \dots, a_n$ पर विचार करें,जहाँ $a_1 > 0$ है। यदि $a_2 - a_1 = -\frac{3}{4}$,$a_n = \frac{1}{4} a_1$ और $\sum_{i=1}^n a_i = \frac{525}{2}$ है,तो $\sum_{i=1}^{17} a_i$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि किसी $A.P.$ का $9$ वां पद शून्य है,तो उसके $29$ वें पद और $19$ वें पद का अनुपात क्या होगा?