Arithmetic progression Questions in Hindi

(C) माना समांतर श्रेणी के पहले $3$ पद $(a - d)$,$a$,और $(a + d)$ हैं।
दिया गया है कि पहले और तीसरे पद का योग $12$ है:
$(a - d) + (a + d) = 12$
$2a = 12$
$a = 6$
दिया गया है कि पहले और दूसरे पद का गुणनफल $24$ है:
$(a - d) \times a = 24$
$a = 6$ रखने पर:
$6(6 - d) = 24$
$6 - d = 4$
$d = 2$
पहला पद $(a - d) = 6 - 2 = 4$ है।

(C) प्रथम समांतर श्रेणी $2, 5, 8, \dots$ के लिए,प्रथम पद $a_1 = 2$ और सार्व अंतर $d_1 = 3$ है। प्रथम $2n$ पदों का योग $S_{2n} = \frac{2n}{2} [2(2) + (2n - 1)3] = n[4 + 6n - 3] = n(6n + 1)$ है।
दूसरी समांतर श्रेणी $57, 59, 61, \dots$ के लिए,प्रथम पद $a_2 = 57$ और सार्व अंतर $d_2 = 2$ है। प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2(57) + (n - 1)2] = \frac{n}{2} [114 + 2n - 2] = n(56 + n)$ है।
दिया गया है कि $S_{2n} = S_n$,इसलिए $n(6n + 1) = n(56 + n)$ है।
चूँकि $n \neq 0$,$n$ से विभाजित करने पर: $6n + 1 = 56 + n$.
$5n = 55$,अतः $n = 11$।

(D) $250$ और $1000$ के बीच $3$ से विभाज्य संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: $252, 255, \dots, 999$.
यहाँ,प्रथम पद $a = 252$,अंतिम पद $l = 999$,और सार्व अंतर $d = 3$ है।
$n$ वें पद के सूत्र का उपयोग करने पर: $l = a + (n - 1)d$
$999 = 252 + (n - 1)3$
$747 = (n - 1)3$
$n - 1 = 249$
$n = 250$.
योग $S_n$ का सूत्र: $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$
$S_n = \frac{250}{2}(252 + 999)$
$S_n = 125 \times 1251 = 156375$.

(B) दिया गया है कि $A.P.$ का $7^{th}$ पद $40$ है।
$a + (7 - 1)d = 40 \implies a + 6d = 40$.
हमें प्रथम $13$ पदों का योग $S_{13}$ ज्ञात करना है।
प्रथम $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ है।
$n = 13$ के लिए,$S_{13} = \frac{13}{2}[2a + (13 - 1)d] = \frac{13}{2}[2a + 12d]$.
$2$ कॉमन लेने पर,$S_{13} = \frac{13}{2} \times 2(a + 6d) = 13(a + 6d)$.
$a + 6d = 40$ का मान रखने पर,$S_{13} = 13 \times 40 = 520$.

(A) चूंकि $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{2n}$ एक $A.P.$ बनाते हैं,इसलिए सार्व अंतर $d = a_2 - a_1 = a_4 - a_3 = \dots = a_{2n} - a_{2n - 1}$ है।
दिया गया व्यंजक $S = (a_1^2 - a_2^2) + (a_3^2 - a_4^2) + \dots + (a_{2n - 1}^2 - a_{2n}^2)$ है।
सर्वसमिका $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ का उपयोग करने पर:
$S = (a_1 - a_2)(a_1 + a_2) + (a_3 - a_4)(a_3 + a_4) + \dots + (a_{2n - 1} - a_{2n})(a_{2n - 1} + a_{2n})$.
चूंकि $a_k - a_{k+1} = -d$ है,इसलिए:
$S = -d(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{2n - 1} + a_{2n})$.
$2n$ पदों वाले $A.P.$ का योग $\frac{2n}{2}(a_1 + a_{2n}) = n(a_1 + a_{2n})$ होता है।
अतः,$S = -d \cdot n(a_1 + a_{2n})$.
$A.P.$ के सूत्र से,$a_{2n} = a_1 + (2n - 1)d$,इसलिए $d = \frac{a_{2n} - a_1}{2n - 1}$ है।
$-d = \frac{a_1 - a_{2n}}{2n - 1}$ को $S$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \frac{a_1 - a_{2n}}{2n - 1} \cdot n(a_1 + a_{2n}) = \frac{n}{2n - 1}(a_1^2 - a_{2n}^2)$.

(B) दिया गया है कि $n$ पदों का योग $S_n = 3n^2 + 5n$ है।
हम जानते हैं कि $m$-वां पद $T_m = S_m - S_{m-1}$ होता है।
$T_m = (3m^2 + 5m) - [3(m-1)^2 + 5(m-1)]$
$T_m = (3m^2 + 5m) - [3(m^2 - 2m + 1) + 5m - 5]$
$T_m = 3m^2 + 5m - [3m^2 - 6m + 3 + 5m - 5]$
$T_m = 3m^2 + 5m - 3m^2 + m + 2$
$T_m = 6m + 2$.
चूंकि $T_m = 164$ दिया गया है,इसलिए $6m + 2 = 164$ है।
$6m = 162$.
$m = 27$.

(D) दिया गया है कि $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = nP + \frac{1}{2}n(n - 1)Q$ है।
इसे $A.P.$ के योग के मानक सूत्र $S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n - 1)d\}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S_n = n \cdot a + \frac{n(n - 1)}{2} \cdot d$.
पदों के गुणांकों की तुलना करने पर,$a = P$ और $d = Q$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,सार्व अंतर $d$ की गणना $d = S_2 - 2S_1$ द्वारा की जा सकती है।
$S_1 = P(1) + \frac{1}{2}(1)(0)Q = P$.
$S_2 = P(2) + \frac{1}{2}(2)(1)Q = 2P + Q$.
$d = (2P + Q) - 2(P) = Q$.

(B) दिया गया है $S_{2n} = 3S_n$।
$A.P.$ के $n$ पदों के योग के सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ का उपयोग करने पर।
अतः,$\frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d] = 3 \times \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$।
$2[2a + (2n-1)d] = 3[2a + (n-1)d]$।
$4a + 4nd - 2d = 6a + 3nd - 3d$।
$nd + d = 2a$,जिसका अर्थ है $2a = (n+1)d$।
अब,हमें $\frac{S_{3n}}{S_n} = \frac{\frac{3n}{2}[2a + (3n-1)d]}{\frac{n}{2}[2a + (n-1)d]}$ ज्ञात करना है।
$= 3 \times \frac{2a + (3n-1)d}{2a + (n-1)d}$।
$2a = (n+1)d$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 3 \times \frac{(n+1)d + (3n-1)d}{(n+1)d + (n-1)d} = 3 \times \frac{4nd}{2nd} = 3 \times 2 = 6$।

(D) दिया गया है कि $A.P.$ क्रमागत पूर्णांकों की है,इसलिए सार्व अंतर $d = 1$ है।
प्रथम पद $a = {p^2} + 1$ है।
पदों की संख्या $n = 2p + 1$ है।
$A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} \{ 2a + (n - 1)d \}$ होता है।
मान रखने पर:
$S_{2p+1} = \frac{2p+1}{2} \{ 2({p^2} + 1) + (2p + 1 - 1)(1) \}$
$S_{2p+1} = \frac{2p+1}{2} \{ 2{p^2} + 2 + 2p \}$
$S_{2p+1} = (2p + 1)({p^2} + p + 1)$
इस व्यंजक का विस्तार करने पर:
$(2p + 1)({p^2} + p + 1) = 2{p^3} + 3{p^2} + 3p + 1$
अब,${p^3} + {(p + 1)^3}$ व्यंजक पर विचार करें:
${p^3} + ({p^3} + 3{p^2} + 3p + 1) = 2{p^3} + 3{p^2} + 3p + 1$.
अतः,योग ${p^3} + {(p + 1)^3}$ है।

(B) माना प्रथम पद $a = 11$ और सार्व अंतर $d$ है।
प्रथम चार पदों का योग: $a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 56$.
$a = 11$ रखने पर: $11 + (11 + d) + (11 + 2d) + (11 + 3d) = 56$.
$44 + 6d = 56$ $\Rightarrow 6d = 12$ $\Rightarrow d = 2$.
माना पदों की संख्या $n$ है। अंतिम चार पद $a_{n-3}, a_{n-2}, a_{n-1}, a_n$ हैं।
ये $(11 + (n-4)2), (11 + (n-3)2), (11 + (n-2)2), (11 + (n-1)2)$ हैं।
इन पदों का योग $112$ है:
$44 + 2(n-4 + n-3 + n-2 + n-1) = 112$.
$44 + 2(4n - 10) = 112$.
$44 + 8n - 20 = 112$.
$8n + 24 = 112$.
$8n = 88 \Rightarrow n = 11$.

(D) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 3$,$d = 4$,और $S_n = 406$ है।
मान रखने पर: $406 = \frac{n}{2}[2(3) + (n - 1)4]$.
$406 = \frac{n}{2}[6 + 4n - 4]$.
$406 = \frac{n}{2}[4n + 2]$.
$406 = n(2n + 1)$.
$2n^2 + n - 406 = 0$.
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-406)}}{2(2)}$.
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 3248}}{4}$.
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{3249}}{4}$.
$n = \frac{-1 \pm 57}{4}$.
चूंकि $n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $n = \frac{56}{4} = 14$.

(B) माना प्रथम पद $a = 5$,पदों की संख्या $n = 15$ और सार्व अंतर $d$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S_{15} = 390$,इसलिए $\frac{15}{2}[2(5) + (15 - 1)d] = 390$.
$\frac{15}{2}[10 + 14d] = 390$.
$15(5 + 7d) = 390$.
$5 + 7d = \frac{390}{15} = 26$.
$7d = 21$,अतः $d = 3$.
$15$ पदों में मध्य पद $\frac{15+1}{2} = 8$ वां पद है।
$n$ वां पद $a_n = a + (n - 1)d$ है।
$a_8 = 5 + (8 - 1)3 = 5 + 7(3) = 5 + 21 = 26$.

(A) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है। $A.P.$ के $n$ पदों का योगफल $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ होता है।
दिया गया है कि $S_{10} = 4 \times S_5$,अतः:
$\frac{10}{2}[2a + (10-1)d] = 4 \times \frac{5}{2}[2a + (5-1)d]$
$5(2a + 9d) = 10(2a + 4d)$
$2a + 9d = 2(2a + 4d)$
$2a + 9d = 4a + 8d$
$d = 2a$
अतः,$\frac{a}{d} = \frac{1}{2}$.

(B) माना $A.P.$ में तीन संख्याएँ $(a - d)$,$a$,और $(a + d)$ हैं।
दिया गया है कि उनका योग $18$ है:
$(a - d) + a + (a + d) = 18$
$3a = 18 \implies a = 6$.
दिया गया है कि उनके वर्गों का योग $158$ है:
$(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = 158$
$(6 - d)^2 + 6^2 + (6 + d)^2 = 158$
$(36 - 12d + d^2) + 36 + (36 + 12d + d^2) = 158$
$108 + 2d^2 = 158$
$2d^2 = 50$
$d^2 = 25 \implies d = \pm 5$.
यदि $d = 5$ है,तो संख्याएँ $1, 6, 11$ हैं।
यदि $d = -5$ है,तो संख्याएँ $11, 6, 1$ हैं।
दोनों ही स्थितियों में,सबसे बड़ी संख्या $11$ है।

(A) अंश एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_1 = 3$ और सार्व अंतर $d_1 = 2$ है। $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2(3) + (n - 1)2] = n(n + 2)$ है।
हर एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_2 = 5$ और सार्व अंतर $d_2 = 3$ है। $10$ पदों का योग $S_{10} = \frac{10}{2}[2(5) + (10 - 1)3] = 185$ है।
दिए गए समीकरण $\frac{n(n + 2)}{185} = 7$ से,$n^2 + 2n = 1295$ प्राप्त होता है।
$n^2 + 2n - 1295 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$n = 35$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि श्रेणी $\frac{1}{3}, A_1, A_2, \frac{1}{24}$ एक $A.P.$ में है।
यहाँ,प्रथम पद $a = \frac{1}{3}$ और चौथा पद $b = \frac{1}{24}$ है।
$n$ समांतर माध्य वाली $A.P.$ में,सार्व अंतर $d = \frac{b - a}{n + 1}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ $n = 2$,इसलिए $d = \frac{\frac{1}{24} - \frac{1}{3}}{2 + 1} = \frac{\frac{1 - 8}{24}}{3} = \frac{-7/24}{3} = -\frac{7}{72}$.
अब,$A_1 = a + d = \frac{1}{3} - \frac{7}{72} = \frac{24 - 7}{72} = \frac{17}{72}$.
और $A_2 = a + 2d = \frac{1}{3} + 2\left(-\frac{7}{72}\right) = \frac{1}{3} - \frac{7}{36} = \frac{12 - 7}{36} = \frac{5}{36}$.
अतः,मान $\frac{17}{72}$ और $\frac{5}{36}$ हैं।

(A) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
$a$ और $b$ के बीच समांतर माध्य $A = \frac{a+b}{2}$ है।
माना $A_1, A_2, \dots, A_n$ वे $n$ समांतर माध्य हैं जो $a$ और $b$ के बीच स्थित हैं।
तब $a, A_1, A_2, \dots, A_n, b$ एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जिसमें $n+2$ पद हैं।
इन $n$ समांतर माध्यों का योग $S = A_1 + A_2 + \dots + A_n$ है।
समांतर श्रेणी में,$a$ और $b$ के बीच रखे गए $n$ समांतर माध्यों का योग,$a$ और $b$ के बीच के एकल समांतर माध्य का $n$ गुना होता है।
गणितीय रूप से,$S = \sum_{i=1}^{n} A_i = n \left( \frac{a+b}{2} \right) = nA$.
अतः,$S = nA$.

(A) मान लीजिए कि $a$ और $b$ के बीच $n$ समांतर माध्य $A_1, A_2, \dots, A_n$ हैं।
ये पद एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जहाँ $a$ प्रथम पद है और $b$ $(n+2)$-वाँ पद है।
$n$ समांतर माध्यों का योग $S = A_1 + A_2 + \dots + A_n$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि $a$ और $b$ के बीच $n$ समांतर माध्यों का योग,$a$ और $b$ के समांतर माध्य का $n$ गुना होता है।
अतः,$S = n \times \left(\frac{a + b}{2}\right) = \frac{n(a + b)}{2}$.

(B) परिणामी श्रेणी में $n + 2$ पद होंगे,जहाँ पहला पद $a = 2$ और अंतिम पद $l = 38$ है।
$N$ पदों वाली समांतर श्रेणी का योग $S_N = \frac{N}{2}(a + l)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$N = n + 2$,$a = 2$,और $l = 38$ है।
अतः,योग $S = \frac{n + 2}{2}(2 + 38) = \frac{n + 2}{2}(40) = 20(n + 2)$ है।
दिया गया है कि योग $200$ है,इसलिए $20(n + 2) = 200$ है।
$20$ से विभाजित करने पर,$n + 2 = 10$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 8$।

(B) दिया गया है कि $\log 2, \log (2^n - 1)$ और $\log (2^n + 3)$ एक $A.P.$ में हैं।
$A.P.$ के गुणधर्म के अनुसार,$2 \log (2^n - 1) = \log 2 + \log (2^n + 3)$
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए,$\log (2^n - 1)^2 = \log [2(2^n + 3)]$
$(2^n - 1)^2 = 2(2^n + 3)$
मान लीजिए $x = 2^n$. तो $(x - 1)^2 = 2(x + 3)$
$x^2 - 2x + 1 = 2x + 6$
$x^2 - 4x - 5 = 0$
$(x - 5)(x + 1) = 0$
अतः,$x = 5$ या $x = -1$.
चूंकि $x = 2^n$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $2^n = 5$.
अतः,$n = \log_2 5$.

(B) माना कि $A.P.$ के चार पद $(a - 3d), (a - d), (a + d), (a + 3d)$ हैं।
दिया गया है कि दो चरम पदों का योग $8$ है:
$(a - 3d) + (a + 3d) = 8$
$2a = 8 \Rightarrow a = 4$
दिया गया है कि दो मध्य पदों का गुणनफल $15$ है:
$(a - d)(a + d) = 15$
$a^2 - d^2 = 15$
$a = 4$ को समीकरण में रखने पर:
$4^2 - d^2 = 15$
$16 - d^2 = 15$
$d^2 = 1 \Rightarrow d = 1$ (श्रेणी के लिए धनात्मक मान लेने पर)।
चार पद इस प्रकार हैं:
$a - 3d = 4 - 3(1) = 1$
$a - d = 4 - 1 = 3$
$a + d = 4 + 1 = 5$
$a + 3d = 4 + 3(1) = 7$
श्रेणी $1, 3, 5, 7$ है। सबसे बड़ी संख्या $7$ है।

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a - d, a, a + d$ हैं,जहाँ $d > 0$ है।
चूँकि कर्ण सबसे बड़ी भुजा होती है,इसलिए यह $a + d$ होगी।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$(a + d)^2 = a^2 + (a - d)^2$ है।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर,$a^2 + d^2 + 2ad = a^2 + a^2 - 2ad + d^2$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$2ad = a^2 - 2ad$,जिसका अर्थ है $a^2 = 4ad$ है।
चूँकि $a$ एक भुजा की लंबाई है $(a \neq 0)$,$a$ से विभाजित करने पर $a = 4d$ प्राप्त होता है।
$a = 4d$ को भुजाओं में रखने पर,$(4d - d) : 4d : (4d + d) = 3d : 4d : 5d$ प्राप्त होता है।
अतः,भुजाओं का अनुपात $3:4:5$ है।

(A) माना $A.P.$ में तीन संख्याएँ $(a - d), a, (a + d)$ हैं।
दिया गया है कि योग $33$ है:
$(a - d) + a + (a + d) = 33$
$3a = 33$
$a = 11$
दिया गया है कि गुणनफल $792$ है:
$(a - d) \times a \times (a + d) = 792$
$a(a^2 - d^2) = 792$
$11(11^2 - d^2) = 792$
$121 - d^2 = 72$
$d^2 = 121 - 72 = 49$
$d = \pm 7$
यदि $d = 7$ है,तो संख्याएँ $(11 - 7), 11, (11 + 7)$ अर्थात $4, 11, 18$ हैं।
यदि $d = -7$ है,तो संख्याएँ $(11 + 7), 11, (11 - 7)$ अर्थात $18, 11, 4$ हैं।
दोनों स्थितियों में,सबसे छोटी संख्या $4$ है।

(C) दिया गया है कि $a, b, c, d, e, f$ एक $A.P.$ में हैं जिसका सार्व अंतर $K$ है।
$A.P.$ की परिभाषा के अनुसार:
$d - c = K$ और $e - d = K$।
इसलिए,$e - c = (e - d) + (d - c) = K + K = 2K$।
चूंकि $K = d - c$,हम लिख सकते हैं:
$e - c = 2(d - c)$।
वैकल्पिक रूप से,मान रखने पर: मान लीजिए $a=1, b=2, c=3, d=4, e=5, f=6$।
तब $e - c = 5 - 3 = 2$।
विकल्पों की जांच करने पर:
$2(d - c) = 2(4 - 3) = 2(1) = 2$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना कि तीन संख्याएँ $a - d, a, a + d$ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का योग $15$ है:
$(a - d) + a + (a + d) = 15$
$3a = 15$
$a = 5$
दिया गया है कि उनके वर्गों का योग $83$ है:
$(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = 83$
$(a^2 - 2ad + d^2) + a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) = 83$
$3a^2 + 2d^2 = 83$
$a = 5$ का मान रखने पर:
$3(5^2) + 2d^2 = 83$
$3(25) + 2d^2 = 83$
$75 + 2d^2 = 83$
$2d^2 = 8$
$d^2 = 4$
$d = \pm 2$
यदि $d = 2$ है,तो संख्याएँ $3, 5, 7$ हैं।
यदि $d = -2$ है,तो संख्याएँ $7, 5, 3$ हैं।
अतः,वे संख्याएँ $3, 5, 7$ हैं।

(A) माना कि $A.P.$ के तीन क्रमागत पद $(a - d)$,$a$,और $(a + d)$ हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,योग $(a - d) + a + (a + d) = 51$ है।
$3a = 51 \Rightarrow a = 17$.
पहले और अंतिम पद का गुणनफल $(a - d)(a + d) = 273$ है।
$a^2 - d^2 = 273$.
$a = 17$ रखने पर,हमें $17^2 - d^2 = 273$ प्राप्त होता है।
$289 - d^2 = 273$.
$d^2 = 289 - 273 = 16$.
$d = \pm 4$.
यदि $d = 4$ है,तो पद $(17 - 4), 17, (17 + 4)$ अर्थात $13, 17, 21$ हैं।
यदि $d = -4$ है,तो पद $(17 - (-4)), 17, (17 + (-4))$ अर्थात $21, 17, 13$ हैं।
अतः,संख्याएँ $21, 17, 13$ या $13, 17, 21$ हैं।

(B) दिया गया है कि $\frac{1}{p + q}, \frac{1}{r + p}, \frac{1}{q + r}$ $A.P.$ में हैं।
अतः,सार्व अंतर समान है:
$\frac{1}{r + p} - \frac{1}{p + q} = \frac{1}{q + r} - \frac{1}{r + p}$
व्यंजकों को सरल करने पर:
$\frac{(p + q) - (r + p)}{(r + p)(p + q)} = \frac{(r + p) - (q + r)}{(q + r)(r + p)}$
$\frac{q - r}{p + q} = \frac{p - q}{q + r}$
वज्र-गुणन करने पर:
$(q - r)(q + r) = (p - q)(p + q)$
$q^2 - r^2 = p^2 - q^2$
$2q^2 = p^2 + r^2$
यह शर्त दर्शाती है कि $p^2, q^2, r^2$ $A.P.$ में हैं।

(D) माना $d$ एक $A.P.$ का सार्व अंतर है।
अतः,$\log_{y}x = 1 + d \Rightarrow x = y^{1+d}$
$\log_{z}y = 1 + 2d \Rightarrow y = z^{1+2d}$
$-15\log_{x}z = 1 + 3d$ $\Rightarrow \log_{x}z = -\frac{1+3d}{15}$ $\Rightarrow z = x^{-\frac{1+3d}{15}}$
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $x = (z^{1+2d})^{1+d} = z^{(1+2d)(1+d)} = (x^{-\frac{1+3d}{15}})^{(1+2d)(1+d)}$
यह दर्शाता है कि $1 = -\frac{(1+d)(1+2d)(1+3d)}{15}$
$(1+d)(1+2d)(1+3d) = -15$
$6d^3 + 11d^2 + 6d + 16 = 0$
निरीक्षण द्वारा,$d = -2$ एक हल है।
$d = -2$ के लिए,$\log_{y}x = -1 \Rightarrow x = y^{-1}$
$\log_{z}y = -3 \Rightarrow y = z^{-3}$
अतः $x = (z^{-3})^{-1} = z^{3}$
इस प्रकार,$x = y^{-1}$,$y = z^{-3}$,और $x = z^{3}$ तीनों सही हैं।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ होगा।
$2b = a + c$ को व्यंजक $(a + 2b - c)(2b + c - a)(c + a - b)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
पहला पद: $(a + 2b - c) = (a + (a + c) - c) = 2a$।
दूसरा पद: $(2b + c - a) = ((a + c) + c - a) = 2c$।
तीसरा पद: $(c + a - b) = (2b - b) = b$।
इन पदों का गुणनफल करने पर: $(2a)(2c)(b) = 4abc$।

(D) माना समांतर श्रेणी में चार संख्याएँ $A_1, A_2, A_3, A_4$ हैं।
दिया गया है $A_1 + A_4 = 8$ $(i)$ और $A_2 \times A_3 = 15$ $(ii)$.
समांतर श्रेणी में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग स्थिर होता है,इसलिए $A_2 + A_3 = A_1 + A_4 = 8$ $(iii)$.
$(ii)$ और $(iii)$ से,$A_2 + \frac{15}{A_2} = 8$,जो $A_2^2 - 8A_2 + 15 = 0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर,हमें $A_2 = 3$ या $A_2 = 5$ प्राप्त होता है।
यदि $A_2 = 3$ है,तो $A_3 = 5$ होगा। चूँकि $A_2 = \frac{A_1 + A_3}{2}$,इसलिए $A_1 = 2A_2 - A_3 = 2(3) - 5 = 1$.
तब $A_4 = 8 - A_1 = 7$.
श्रेणी $1, 3, 5, 7$ है।
श्रेणी की सबसे छोटी संख्या $1$ है।

(C) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वां पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$11$ वां पद: $a_{11} = a + 10d$.
$21$ वां पद: $a_{21} = a + 20d$.
प्रश्न के अनुसार,$2 \times a_{11} = 7 \times a_{21}$.
$2(a + 10d) = 7(a + 20d)$
$2a + 20d = 7a + 140d$
$5a + 120d = 0$
$5$ से भाग देने पर,हमें $a + 24d = 0$ प्राप्त होता है।
$25$ वां पद $a_{25} = a + 24d$ है।
चूंकि $a + 24d = 0$,इसलिए $25$ वां पद $0$ है।

(B) दिया गया है कि $\frac{1}{b - c}, \frac{1}{c - a}, \frac{1}{a - b}$ एक $A.P.$ में हैं।
अतः,$2 \times \frac{1}{c - a} = \frac{1}{b - c} + \frac{1}{a - b}$।
माना $x = b - c, y = c - a, z = a - b$। यहाँ $x + y + z = 0$ है।
दी गई शर्त के अनुसार $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ एक $A.P.$ में हैं।
इसलिए $\frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{x + z}{xz} = \frac{-y}{xz}$।
इससे $y^2 = -2xz$ प्राप्त होता है।
हमें जांचना है कि क्या $x^2, y^2, z^2$ एक $A.P.$ में हैं।
इसके लिए $2y^2 = x^2 + z^2$ होना चाहिए।
चूंकि $x + z = -y$,इसलिए $(x + z)^2 = (-y)^2$,अर्थात $x^2 + z^2 + 2xz = y^2$।
$x^2 + z^2 = y^2 - 2xz$।
चूंकि $y^2 = -2xz$,इसलिए $x^2 + z^2 = y^2 - (-y^2) = 2y^2$।
अतः,$x^2, y^2, z^2$ एक $A.P.$ में हैं।

(C) दिया गया है कि $a^2, b^2, c^2$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
प्रत्येक पद में $(ab + bc + ca)$ जोड़ने पर:
$a^2 + ab + bc + ca, b^2 + ab + bc + ca, c^2 + ab + bc + ca$ समांतर श्रेणी में होंगे।
पदों का गुणनखंड करने पर:
$a(a + b) + c(a + b), b(b + a) + c(b + a), c(c + b) + a(c + b)$ समांतर श्रेणी में होंगे।
यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$(a + b)(a + c), (b + a)(b + c), (c + a)(c + b)$ समांतर श्रेणी में होंगे।
प्रत्येक पद को $(a + b)(b + c)(c + a)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{b + c}, \frac{1}{c + a}, \frac{1}{a + b}$ समांतर श्रेणी में होंगे।
अतः,$(b + c)^{-1}, (c + a)^{-1}, (a + b)^{-1}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं।
प्रत्येक पद को $abc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a}{abc}, \frac{b}{abc}, \frac{c}{abc}$ $A.P.$ में हैं।
इसे सरल करने पर:
$\frac{1}{bc}, \frac{1}{ac}, \frac{1}{ab}$ $A.P.$ में हैं।

(A) दिया गया है कि $a, A_1, A_2, b$ एक $A.P.$ में हैं।
$a$ और $b$ के बीच डाले गए $A.M.'s$ का योग $A_1 + A_2 = n \times \frac{a+b}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n=2$ है।
अतः,$A_1 + A_2 = 2 \times \frac{a+b}{2} = a + b$ .....$(i)$
दिया गया है कि $a, G_1, G_2, b$ एक $G.P.$ में हैं।
$a$ और $b$ के बीच डाले गए $G.M.'s$ का गुणनफल $G_1 G_2 = (ab)^{n/2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n=2$ है।
अतः,$G_1 G_2 = (ab)^{2/2} = ab$ .....$(ii)$
इसलिए,$\frac{A_1 + A_2}{G_1 G_2} = \frac{a + b}{ab}$.

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
अब,पदों $3^a, 3^b, 3^c$ पर विचार करें।
चूंकि $2b = a + c$,हम लिख सकते हैं:
$3^{2b} = 3^{a + c}$
$(3^b)^2 = 3^a \times 3^c$
यह तीन संख्याओं के $G.P.$ में होने की शर्त है,जहाँ मध्य पद का वर्ग पहले और तीसरे पद के गुणनफल के बराबर होता है।
अतः,$3^a, 3^b, 3^c$ $G.P.$ में हैं।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
पद $x = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$,$y = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{c}}$,और $z = \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}$ लें।
यह जांचने के लिए कि क्या वे $A.P.$ में हैं,हम $2y = x + z$ की जांच करते हैं।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$x = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{b - a}$,$y = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{a}}{c - a}$,$z = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{c - b}$।
चूंकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,$b - a = d$ और $c - b = d$ लें,इसलिए $c - a = 2d$ है।
$x = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{d}$,$y = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{a}}{2d}$,$z = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{d}$।
$x + z = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a} + \sqrt{c} - \sqrt{b}}{d} = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{a}}{d}$।
$2y = 2 \times \frac{\sqrt{c} - \sqrt{a}}{2d} = \frac{\sqrt{c} - \sqrt{a}}{d}$।
चूंकि $x + z = 2y$,इसलिए ये पद $A.P.$ में हैं।

(A) $AM-GM$ असमिका के अनुसार,$n$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए,समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है।
$n$ संख्याओं पर विचार करें: ${a_1}, {a_2}, ..., {a_{n-1}}, 2{a_n}$।
उनका समांतर माध्य $\frac{{a_1} + {a_2} + ... + {a_{n-1}} + 2{a_n}}{n}$ है।
उनका गुणोत्तर माध्य $({a_1} \cdot {a_2} \cdot ... \cdot {a_{n-1}} \cdot 2{a_n})^{1/n} = (2 \cdot {a_1} \cdot {a_2} \cdot ... \cdot {a_n})^{1/n} = (2c)^{1/n}$ है।
$AM \ge GM$ लागू करने पर:
$\frac{{a_1} + {a_2} + ... + {a_{n-1}} + 2{a_n}}{n} \ge (2c)^{1/n}$।
अतः,${a_1} + {a_2} + ... + {a_{n-1}} + 2{a_n}$ का न्यूनतम मान $n(2c)^{1/n}$ है।

(A) दिया गया है कि ${a^2}, {b^2}, {c^2}$ $A.P.$ में हैं।
इसका अर्थ है कि ${b^2} - {a^2} = {c^2} - {b^2}$।
यदि हम प्रत्येक पद में $1$ जोड़ते हैं,तो हमें $\frac{a+b+c}{b+c}, \frac{a+b+c}{c+a}, \frac{a+b+c}{a+b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि ये पद $A.P.$ में हैं,इसलिए मूल पद $\frac{a}{b+c}, \frac{b}{c+a}, \frac{c}{a+b}$ भी $A.P.$ में होंगे।

(B) $n^{th}$ पंक्ति में पदों की संख्या $n$ है।
$(n-1)^{th}$ पंक्ति का अंतिम पद प्रथम $(n-1)$ प्राकृत संख्याओं का योग है,जो $\frac{(n-1)n}{2}$ है।
इसलिए,$n^{th}$ पंक्ति का प्रथम पद $\frac{(n-1)n}{2} + 1 = \frac{n^2 - n + 2}{2}$ है।
$n^{th}$ पंक्ति के पद एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ बनाते हैं जिसमें $n$ पद हैं,प्रथम पद $a = \frac{n^2 - n + 2}{2}$ और सार्व अंतर $d = 1$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $S_n = \frac{n}{2}[2(\frac{n^2 - n + 2}{2}) + (n-1)(1)]$.
$S_n = \frac{n}{2}[n^2 - n + 2 + n - 1] = \frac{n}{2}(n^2 + 1)$.

(B) मान लीजिए कि चतुर्भुज के कोण $x^o, (x+10)^o, (x+20)^o,$ और $(x+30)^o$ हैं।
चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग $360^o$ होता है।
इसलिए,$x + (x+10) + (x+20) + (x+30) = 360$.
$4x + 60 = 360$.
$4x = 300$.
$x = 75^o$.
अतः कोण $75^o, 85^o, 95^o,$ और $105^o$ हैं।
इसलिए,विकल्प $(b)$ सही है।

(A) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है कि प्रथम $n$ पदों का योग $S_n$ प्रथम $m$ पदों के योग $S_m$ के बराबर है:
$\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] = \frac{m}{2}[2a + (m - 1)d]$
$n[2a + (n - 1)d] = m[2a + (m - 1)d]$
$2an + n(n - 1)d = 2am + m(m - 1)d$
$2a(n - m) + d(n^2 - n - m^2 + m) = 0$
$2a(n - m) + d[(n^2 - m^2) - (n - m)] = 0$
$2a(n - m) + d[(n - m)(n + m) - (n - m)] = 0$
चूंकि $m \ne n$,हम $(n - m)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$2a + d(n + m - 1) = 0$
अब,प्रथम $(m + n)$ पदों का योग है:
$S_{m+n} = \frac{m + n}{2}[2a + (m + n - 1)d]$
$2a + (m + n - 1)d = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$S_{m+n} = \frac{m + n}{2} \times 0 = 0$

(B) दिया गया है कि तीनों $A.P.$ के लिए प्रथम पद $a = 1$ है और सार्व अंतर $d_1 = 1, d_2 = 2, d_3 = 3$ हैं।
योग के सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ का उपयोग करने पर:
$S_1 = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)1] = \frac{n}{2}[n + 1]$
$S_2 = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)2] = \frac{n}{2}[2n] = n^2$
$S_3 = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)3] = \frac{n}{2}[3n - 1]$
$S_1$ और $S_3$ को जोड़ने पर:
$S_1 + S_3 = \frac{n}{2}[(n + 1) + (3n - 1)] = \frac{n}{2}[4n] = 2n^2$
चूंकि $S_2 = n^2$,इसलिए $S_1 + S_3 = 2S_2$ प्राप्त होता है।

(C) घर की कुल कीमत $15000$ रुपये है। जयराम ने शुरू में $5000$ रुपये का भुगतान किया,इसलिए शेष राशि $15000 - 5000 = 10000$ है।
वह इस राशि को $1000$ रुपये की $10$ वार्षिक किस्तों में चुकाता है,जिसमें शेष राशि पर $10\%$ ब्याज लगता है।
पहले वर्ष में,वह $1000 + 10000 \text{ का } 10\% = 1000 + 1000 = 2000$ का भुगतान करता है।
दूसरे वर्ष में,वह $1000 + 9000 \text{ का } 10\% = 1000 + 900 = 1900$ का भुगतान करता है।
तीसरे वर्ष में,वह $1000 + 8000 \text{ का } 10\% = 1000 + 800 = 1800$ का भुगतान करता है।
यह एक समांतर श्रेणी बनाता है जहाँ $a = 2000$,$d = -100$,और $n = 10$ है।
$10$ किस्तों का योग $S_{10} = \frac{10}{2} [2(2000) + (10 - 1)(-100)] = 5 [4000 - 900] = 5 \times 3100 = 15500$ है।
जयराम द्वारा भुगतान की गई कुल राशि $5000 + 15500 = 20500$ रुपये है।

(A) $A.P.$ के $n$ पदों का योग $S = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
$k$-वें $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a_k = k$ और सार्व अंतर $d_k = 2k - 1$ है।
अतः,$S_k = \frac{n}{2}[2k + (n - 1)(2k - 1)] = \frac{n}{2}[2kn - n + 1]$।
अब,$\sum_{k=1}^{m} S_k = \sum_{k=1}^{m} \frac{n}{2}[2kn - n + 1] = \frac{n}{2} [2n \sum_{k=1}^{m} k - \sum_{k=1}^{m} (n - 1)]$।
$= \frac{n}{2} [2n \frac{m(m+1)}{2} - m(n-1)] = \frac{n}{2} [nm(m+1) - m(n-1)]$।
$= \frac{nm}{2} [n(m+1) - (n-1)] = \frac{nm}{2} [nm + n - n + 1] = \frac{1}{2}mn(mn + 1)$।

(D) दिया गया है कि ${a_1}, {a_2}, \dots, {a_{24}}$ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
हम जानते हैं कि एक समांतर श्रेणी में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग स्थिर होता है और यह पहले और अंतिम पद के योग के बराबर होता है,अर्थात ${a_1} + {a_{24}} = {a_5} + {a_{20}} = {a_{10}} + {a_{15}}$।
दिया गया है: ${a_1} + {a_5} + {a_{10}} + {a_{15}} + {a_{20}} + {a_{24}} = 225$।
गुणधर्म का उपयोग करने पर: $3({a_1} + {a_{24}}) = 225$।
इसलिए,${a_1} + {a_{24}} = \frac{225}{3} = 75$।
प्रथम $24$ पदों का योग $S_{24} = \frac{n}{2}({a_1} + {a_n}) = \frac{24}{2}({a_1} + {a_{24}})$ द्वारा प्राप्त होता है।
$S_{24} = 12 \times 75 = 900$।

(C) माना समीकरण $x^3 - 12x^2 + 39x - 28 = 0$ के मूल $a-d, a, a+d$ हैं।
त्रिघात समीकरण के मूलों के गुणों के अनुसार:
मूलों का योग: $(a-d) + a + (a+d) = 12$
$3a = 12 \Rightarrow a = 4$.
मूलों का गुणनफल: $(a-d)(a)(a+d) = 28$
$a(a^2 - d^2) = 28$.
$a = 4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4(16 - d^2) = 28$
$16 - d^2 = 7$
$d^2 = 9$
$d = \pm 3$.
अतः,सार्व अंतर $\pm 3$ है।

(B) हम असमिका $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ को $n \in \mathbb{N}$ के लिए जाँचते हैं।
$n = 1$ के लिए: $\left( \frac{1+1}{2} \right)^1 = 1^1 = 1$ और $1! = 1$. चूँकि $1 \ge 1$,कथन $n = 1$ के लिए सत्य है।
$n = 2$ के लिए: $\left( \frac{2+1}{2} \right)^2 = (1.5)^2 = 2.25$ और $2! = 2$. चूँकि $2.25 \ge 2$,कथन $n = 2$ के लिए सत्य है।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{1+2+\dots+n}{n} \ge \sqrt[n]{n!}$.
अतः $\frac{n(n+1)}{2n} \ge (n!)^{1/n}$,जो $\frac{n+1}{2} \ge (n!)^{1/n}$ देता है।
दोनों पक्षों की घात $n$ करने पर,$\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ प्राप्त होता है,जो सभी $n \ge 1$ के लिए सत्य है।

(C) माना कि समकोण त्रिभुज की भुजाएँ $a - d, a, a + d$ हैं,जहाँ $d > 0$ है।
चूँकि यह एक समकोण त्रिभुज है,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है:
$(a - d)^2 + a^2 = (a + d)^2$
$a^2 + d^2 - 2ad + a^2 = a^2 + d^2 + 2ad$
$a^2 = 4ad$
चूँकि $a$ भुजा की लंबाई है $(a \neq 0)$,इसलिए $a = 4d$ प्राप्त होता है।
$a = 4d$ को भुजाओं में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4d - d, 4d, 4d + d = 3d, 4d, 5d$.
भुजाओं का अनुपात $3d : 4d : 5d$ है,जिसे सरल करने पर $3 : 4 : 5$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
दिया गया है कि $p$-वाँ पद $q$ है,अतः: $a + (p - 1)d = q$ $(1)$
दिया गया है कि $q$-वाँ पद $p$ है,अतः: $a + (q - 1)d = p$ $(2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ से घटाने पर:
$(p - q)d = q - p$
$d = \frac{q - p}{p - q} = -1$
$d = -1$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + (p - 1)(-1) = q$
$a - p + 1 = q$
$a = p + q - 1$
$n$-वाँ पद $T_n$ इस प्रकार होगा:
$T_n = a + (n - 1)d$
$T_n = (p + q - 1) + (n - 1)(-1)$
$T_n = p + q - 1 - n + 1$
$T_n = p + q - n$