સાબિત કરો કે સમાંતર શ્રેણીમાં $(m + n)$ માં તથા $(m - n)$ માં પદોનો સરવાળો $m$ માં પદ કરતાં બમણો થાય છે.
સાબિત કરો કે સમાંતર શ્રેણીમાં $(m + n)$ માં તથા $(m - n)$ માં પદોનો સરવાળો $m$ માં પદ કરતાં બમણો થાય છે.
Let $a$ and $d$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively. It is known that the $k^{th}$ term of an $A.P.$ is given by
$a_{k}=a+(k-1) d$
$\therefore a_{m+n}=a+(m+n-1) d$
$a_{m-n}=a+(m-n-1) d$
$a_{m}=a+(m-1) d$
$\therefore a_{m+n}+a_{m-n}=a+(m+n-1) d+a+(m-n-1) d$
$=2 a+(m+n-1+m-n-1) d$
$=2 a+(2 m-2) d$
$=2 a+2(m-1) d$
$=2[a+(m-1) d]$
$=2 a_{m}$
Thus, the sum of $(m+n)^{t h}$ and $(m-n)^{t h}$ terms of an $A.P.$ is equal to twice the $m^{\text {th }}$ term.
Similar Questions
જો $\log _e \mathrm{a}, \log _e \mathrm{~b}, \log _e \mathrm{c}$ $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) માં હોય તથા $\log _e \mathrm{a}-\log _e 2 \mathrm{~b}, \log _e 2 \mathrm{~b}-$ $\log _e 3 \mathrm{c}, \log _e 3 \mathrm{c}-\log _e a $ પણ $A.P.$ માં હોય, તો $a: b: c=$____________.
જો $\log _e \mathrm{a}, \log _e \mathrm{~b}, \log _e \mathrm{c}$ $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) માં હોય તથા $\log _e \mathrm{a}-\log _e 2 \mathrm{~b}, \log _e 2 \mathrm{~b}-$ $\log _e 3 \mathrm{c}, \log _e 3 \mathrm{c}-\log _e a $ પણ $A.P.$ માં હોય, તો $a: b: c=$____________.
- [JEE MAIN 2024]
અહી $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}, \ldots$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે. જો $\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{10}}{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{p}}=\frac{100}{p^{2}}, p \neq 10$ હોય તો $\frac{a_{11}}{a_{10}}$ ની કિમંત મેળવો.
અહી $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}, \ldots$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે. જો $\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{10}}{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{p}}=\frac{100}{p^{2}}, p \neq 10$ હોય તો $\frac{a_{11}}{a_{10}}$ ની કિમંત મેળવો.
- [JEE MAIN 2021]
વધતી સમાંતર શ્રેણીમાં ચાર જુદા જુદા પૂર્ણાકો લો. તેમાંનો એક પૂર્ણાક બાકીના ત્રણ પૂર્ણાકોના વર્ગના સરવાળા બરાબર છે. તો ચાર સંખ્યાઓનો સામાન્ય તફાવત કેટલો થાય ?
વધતી સમાંતર શ્રેણીમાં ચાર જુદા જુદા પૂર્ણાકો લો. તેમાંનો એક પૂર્ણાક બાકીના ત્રણ પૂર્ણાકોના વર્ગના સરવાળા બરાબર છે. તો ચાર સંખ્યાઓનો સામાન્ય તફાવત કેટલો થાય ?
ત્રણ ધન પુર્ણાકો $p, q, r \quad x^{p q^2}=y^{q r}=z^{p^2 r}$ અને $r = pq +1$ એવા છે કે જેથી $3,3 \log _y x, 3 \log _z y , 7 \log _x z$ સમાંતર શ્રેણીમાં (જ્યાં સામાન્ય તફાવત $\frac{1}{2}$ છે.) તો $r-p-q=..........$
ત્રણ ધન પુર્ણાકો $p, q, r \quad x^{p q^2}=y^{q r}=z^{p^2 r}$ અને $r = pq +1$ એવા છે કે જેથી $3,3 \log _y x, 3 \log _z y , 7 \log _x z$ સમાંતર શ્રેણીમાં (જ્યાં સામાન્ય તફાવત $\frac{1}{2}$ છે.) તો $r-p-q=..........$
- [JEE MAIN 2023]
વધતી સમાંતર શ્રેણીમાં ચાર જુદા જુદા પૂર્ણાકો લો. તેમાંનો એક પૂર્ણાક બાકીના ત્રણ પૂર્ણાકોના વર્ગના સરવાળા બરાબર છે. તો બધી જ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કેટલો થાય ?
વધતી સમાંતર શ્રેણીમાં ચાર જુદા જુદા પૂર્ણાકો લો. તેમાંનો એક પૂર્ણાક બાકીના ત્રણ પૂર્ણાકોના વર્ગના સરવાળા બરાબર છે. તો બધી જ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કેટલો થાય ?