એક સમાંતર શ્રેણીનું $p$ મું પદ $\frac{1}{q}$ અને $q$ મું પદ $\frac{1}{p}$છે. $p \neq q$ માટે સાબિત કરો કે પ્રથમ $pq$ પદનો સરવાળો $\frac{1}{2}(p q+1)$ થાય.
એક સમાંતર શ્રેણીનું $p$ મું પદ $\frac{1}{q}$ અને $q$ મું પદ $\frac{1}{p}$છે. $p \neq q$ માટે સાબિત કરો કે પ્રથમ $pq$ પદનો સરવાળો $\frac{1}{2}(p q+1)$ થાય.
It is known that the general term of an $A.P.$ is $a_{n}=a+(n-1) d$
$\therefore$ According to the given information,
$p^{\text {th }}$ term $=a_{p}=a+(p-1) d=\frac{1}{q}$ ......$(1)$
$q^{ th }$ term $=a_{q}=a+(q-1) d=\frac{1}{p}$ ........$(2)$
Subtracting $(2)$ from $(1),$ we obtain
$(p-1) d-(q-1) d=\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$
$\Rightarrow(p-1-q+1) d=\frac{p-q}{p q}$
$\Rightarrow(p-q) d=\frac{p-q}{p q}$
$\Rightarrow d=\frac{1}{p q}$
Putting the value of $d$ in $(1),$ we obtain $a+(p-1) \frac{1}{p q}=\frac{1}{q}$
$\Rightarrow a=\frac{1}{q}-\frac{1}{q}+\frac{1}{p q}=\frac{1}{p q}$
$\therefore {S_{pq}} = \frac{{pq}}{2}[2a + (pq - 1)d]$
$=\frac{p q}{2}\left[\frac{2}{p q}+(p q-1) \frac{1}{p q}\right]$
$=1+\frac{1}{2}(p q-1)$
$=\frac{1}{2} p q+1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} p q+\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2}(p q+1)$
Thus, the sum of first pq terms of the $A.P.$ is $=\frac{1}{2}(p q+1)$
Similar Questions
અહી $S_{n}$ એ સમાંતર શ્રેણીના $n$- નો સરવાળો દર્શાવે છે. જો $S_{10}=530, S_{5}=140$ તો $\mathrm{S}_{20}-\mathrm{S}_{6}$ ની કિમંત મેળવો.
અહી $S_{n}$ એ સમાંતર શ્રેણીના $n$- નો સરવાળો દર્શાવે છે. જો $S_{10}=530, S_{5}=140$ તો $\mathrm{S}_{20}-\mathrm{S}_{6}$ ની કિમંત મેળવો.
- [JEE MAIN 2021]
વિધાન $- I :$ જો શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $6n^2 + 3n + 1$ થાય, તો તે સમાંતર શ્રેણી હોય
વિધાન $-II :$ સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો હંમેશા $an^2 + bn$ સ્વરૂપમાં હોય.
વિધાન $- I :$ જો શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $6n^2 + 3n + 1$ થાય, તો તે સમાંતર શ્રેણી હોય
વિધાન $-II :$ સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો હંમેશા $an^2 + bn$ સ્વરૂપમાં હોય.
જો $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^{4},(1-3 \beta x)^{2}$ અને $\left(1-\frac{\beta}{2} x\right)^{6}, \beta>0$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદોના સહગુણકો અનુક્રમે સમાંતર શ્રેણીમાં છે અને $d$ સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત હોય તો $50-\frac{2 d}{\beta^{2}}$ ની કિમંત મેળવો.
જો $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^{4},(1-3 \beta x)^{2}$ અને $\left(1-\frac{\beta}{2} x\right)^{6}, \beta>0$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદોના સહગુણકો અનુક્રમે સમાંતર શ્રેણીમાં છે અને $d$ સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત હોય તો $50-\frac{2 d}{\beta^{2}}$ ની કિમંત મેળવો.
- [JEE MAIN 2022]
જ્યારે કોઈ સમાંતર શ્રેણીનું $9^{th}$ પદને તેના $2^{nd}$ પદ દ્વારા ભાગવામાં આવે તો ભાગફળ $5$ મળે અને જ્યારે $13^{th}$ પદને તેના $6^{th}$ પદ વડે ભાગવામાં આવે તો ભાગફળ $2$ અને શેષ $5$ મળે તો સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ મેળવો
જ્યારે કોઈ સમાંતર શ્રેણીનું $9^{th}$ પદને તેના $2^{nd}$ પદ દ્વારા ભાગવામાં આવે તો ભાગફળ $5$ મળે અને જ્યારે $13^{th}$ પદને તેના $6^{th}$ પદ વડે ભાગવામાં આવે તો ભાગફળ $2$ અને શેષ $5$ મળે તો સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ મેળવો
વધતી સમાંતર શ્રેણીમાં ચાર જુદા જુદા પૂર્ણાકો લો. તેમાંનો એક પૂર્ણાક બાકીના ત્રણ પૂર્ણાકોના વર્ગના સરવાળા બરાબર છે. તો ચાર સંખ્યાઓનો સામાન્ય તફાવત કેટલો થાય ?
વધતી સમાંતર શ્રેણીમાં ચાર જુદા જુદા પૂર્ણાકો લો. તેમાંનો એક પૂર્ણાક બાકીના ત્રણ પૂર્ણાકોના વર્ગના સરવાળા બરાબર છે. તો ચાર સંખ્યાઓનો સામાન્ય તફાવત કેટલો થાય ?