જ્યાં 0

Question

(C) ધારો કે $z = {\left( {\frac{3}{a} - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{b} - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{c} - 1} \right)^2} + {\left( {3c - 1}

Vedclass · Accepted Answer

$27$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $z = {\left( {\frac{3}{a} - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{b} - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{c} - 1} \right)^2} + {\left( {3c - 1} \right)^2}$.પદોનું વિસ્તરણ કરતા,$z = \left( \frac{9}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + 9c^2 \right) + 4 - 2 \left( \frac{3}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + 3c \right)$ મળે.સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \ge GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:$\frac{1}{4} \left( \frac{9}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + 9c^2 \right) \ge \sqrt[4]{\frac{9}{a^2} \cdot \frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{b^2}{c^2} \cdot 9c^2} = \sqrt[4]{81} = 3$.તેથી,$\frac{9}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + 9c^2 \ge 12$.તે જ રીતે,$\frac{1}{4} \left( \frac{3}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + 3c \right) \ge \sqrt[4]{\frac{3}{a} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot 3c} = \sqrt[4]{9} = \sqrt{3}$.તેથી,$2 \left( \frac{3}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + 3c \right) \ge 8\sqrt{3}$.આમ,$z \ge 12 + 4 - 8\sqrt{3} = 16 - 8\sqrt{3}$.$p - q\sqrt{r}$ સાથે સરખાવતા,$p = 16$,$q = 8$,$r = 3$.$q$ અને $r$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$p + q + r = 16 + 8 + 3 = 27$.

Similar Questions

જો $x, y, z$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતી ત્રણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય,તો $\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}$ નું મૂલ્ય કયા અંતરાલમાં હશે?

$3+5+7+\ldots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય,તો $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ ક્યારે સત્ય છે?

જો $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો $\frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}, \frac{1}{\sqrt{c} + \sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ એ કઈ શ્રેણીમાં છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module