Definition of combinations, Condition combinations Questions in Gujarati

(A) $5$ પ્રકારની આઈસ્ક્રીમમાંથી $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદવાની રીતોની સંખ્યા (પુનરાવર્તન સાથે) સૂત્ર $^{n+r-1}C_{r}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=5$ અને $r=6$.
આ $^{5+6-1}C_{6} = ^{10}C_6 = ^{10}C_4 = 210$ થાય છે.
વિધાન-$1$ માં $^{10}C_5$ આપેલ છે,જે $252$ થાય છે. તેથી,વિધાન-$1$ ખોટું છે.
$6$ '$A$' અને $4$ '$B$' ને હારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{(6+4)!}{6! \times 4!} = \frac{10!}{6! \times 4!} = ^{10}C_4 = 210$ થાય છે.
આ આઈસ્ક્રીમ ખરીદવાની રીતોની ગણતરી સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ક્રમચયનું સૂત્ર $_n{P_r} = \frac{n!}{(n - r)!}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સંચયનું સૂત્ર $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}$ છે.
હવે,બંનેનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{_n{P_r}}{\binom{n}{r}} = \frac{\frac{n!}{(n - r)!}}{\frac{n!}{r!(n - r)!}}$
$= \frac{n!}{(n - r)!} \times \frac{r!(n - r)!}{n!}$
$= r!$

(A) ચૂંટવાના ઉમેદવારોની સંખ્યા $10$ માંથી $4$ છે.
મતદાર $1$ થી $4$ સુધીના ગમે તેટલા ઉમેદવારોને મત આપી શકે છે,તેથી કુલ રીતો સંચયના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
કુલ રીતો $= ^{10}C_1 + ^{10}C_2 + ^{10}C_3 + ^{10}C_4$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$^{10}C_1 = 10$
$^{10}C_2 = 45$
$^{10}C_3 = 120$
$^{10}C_4 = 210$
કુલ રીતો $= 10 + 45 + 120 + 210 = 385$.

(C) $n$ એકસમાન વસ્તુઓને $r$ ભિન્ન ખોખામાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતો કે જેથી કોઈ ખોખું ખાલી ન રહે,તેનું સૂત્ર $^{n-1}C_{r-1}$ છે.
અહીં,$n = 10$ અને $r = 4$ છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $^{10-1}C_{4-1} = ^9C_3$ થાય.
વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ જણાવે છે કે $9$ સ્થાનોમાંથી $3$ સ્થાનો $^9C_3$ રીતે પસંદ કરી શકાય,જે સંચય $(^nC_r)$ ની વ્યાખ્યા છે.
આ તર્કનો ઉપયોગ 'સ્ટાર્સ એન્ડ બાર્સ' પદ્ધતિમાં વિધાન-$1$ ના સૂત્ર સુધી પહોંચવા માટે થાય છે.
તેથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(C) $n$ એકસમાન વસ્તુઓને $r$ બાળકો વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવાની રીતો કે જેથી દરેકને ઓછામાં ઓછી એક વસ્તુ મળે,તેનું સૂત્ર $^{n-1}C_{r-1}$ છે.
અહીં,$n = 11$ અને $r = 6$ છે.
રીતોની સંખ્યા $= ^{11-1}C_{6-1} = ^{10}C_5$.
કિંમત શોધતા: $^{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે $6$ '$+$' ચિહ્નોને એક હરોળમાં ગોઠવીએ: $+ + + + + +$.
આ $6$ '$+$' ચિહ્નો દ્વારા $7$ ખાલી જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે: $\_ + \_ + \_ + \_ + \_ + \_ \_$.
બે '$*$' ચિહ્નો સાથે ન આવે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે $4$ '$*$' ચિહ્નોને આ $7$ ઉપલબ્ધ જગ્યાઓમાંથી પસંદ કરીને મૂકવા પડશે.
$7$ માંથી $4$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^nC_r = \binom{n}{r}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $^7C_4 = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 35$ છે.

(B) આપેલ છે $\binom{2n}{3} : \binom{n}{2} = 44 : 3$.
સૂત્ર $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!} \times \frac{2!(n-2)!}{n!} = \frac{44}{3}$
સાદુરૂપ આપતા:
$\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6} \times \frac{2}{n(n-1)} = \frac{44}{3}$
$\frac{4(2n-1)}{3} = \frac{44}{3}$
$2n-1 = 11 \implies n = 6$.
હવે,$\binom{6}{r} = 15$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\binom{6}{2} = 15$ અને $\binom{6}{4} = 15$.
તેથી,$r = 4$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(A) $INDEPENDENT$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $3N, 3E, 2D, 1I, 1P, 1T$. ભિન્ન અક્ષરો ${N, E, D, I, P, T}$ છે.
આપણે $5$ અક્ષરો પસંદ કરવાના છે. શક્ય કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ બધા $5$ અક્ષરો ભિન્ન હોય: ${N, E, D, I, P, T}$ માંથી $5$ પસંદ કરતા: $^6C_5 = 6$.
$(ii)$ $2$ સમાન અને $3$ ભિન્ન હોય: ${N, E, D}$ માંથી $1$ જોડ અને બાકીના $5$ પ્રકારમાંથી $3$ ભિન્ન અક્ષરો પસંદ કરતા: $^3C_1 \times ^5C_3 = 3 \times 10 = 30$.
$(iii)$ $3$ સમાન અને $2$ ભિન્ન હોય: ${N, E}$ માંથી $1$ ત્રિપુટી અને બાકીના $5$ પ્રકારમાંથી $2$ ભિન્ન અક્ષરો પસંદ કરતા: $^2C_1 \times ^5C_2 = 2 \times 10 = 20$.
$(iv)$ $3$ સમાન અને $2$ સમાન હોય: ${N, E}$ માંથી $1$ ત્રિપુટી અને બાકીના $2$ પ્રકારમાંથી $1$ જોડ પસંદ કરતા: $^2C_1 \times ^2C_1 = 2 \times 2 = 4$.
$(v)$ $2$ સમાન,$2$ સમાન અને $1$ ભિન્ન હોય: ${N, E, D}$ માંથી $2$ જોડ અને બાકીના $4$ પ્રકારમાંથી $1$ ભિન્ન અક્ષર પસંદ કરતા: $^3C_2 \times ^4C_1 = 3 \times 4 = 12$.
કુલ પસંદગીઓ = $6 + 30 + 20 + 4 + 12 = 72$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $^{n}C_{x} = ^{n}C_{y}$ હોય,તો $x = y$ અથવા $x + y = n$ થાય.
આપેલ છે કે $^{15}C_{3r} = ^{15}C_{r+3}$.
કિસ્સો $1$: $3r = r + 3$ $\Rightarrow 2r = 3$ $\Rightarrow r = 1.5$.
$r$ એ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી આ કિસ્સો શક્ય નથી.
કિસ્સો $2$: $3r + (r + 3) = 15$ $\Rightarrow 4r + 3 = 15$ $\Rightarrow 4r = 12$ $\Rightarrow r = 3$.
આમ,$r$ નું મૂલ્ય $3$ છે.

(C) અહીં બે વિભાગ $A$ અને $B$ છે,જેમાં દરેક વિભાગમાં $5$ પ્રશ્નો છે. ઉમેદવારે કુલ $6$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે,જેમાં દરેક વિભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા $2$ પ્રશ્નો હોવા જોઈએ.
શક્ય કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ વિભાગ $A$ માંથી $2$ પ્રશ્નો અને વિભાગ $B$ માંથી $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા:
$^5C_2 \times ^5C_4 = 10 \times 5 = 50$ રીતે.
$(ii)$ વિભાગ $A$ માંથી $3$ પ્રશ્નો અને વિભાગ $B$ માંથી $3$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા:
$^5C_3 \times ^5C_3 = 10 \times 10 = 100$ રીતે.
$(iii)$ વિભાગ $A$ માંથી $4$ પ્રશ્નો અને વિભાગ $B$ માંથી $2$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા:
$^5C_4 \times ^5C_2 = 5 \times 10 = 50$ રીતે.
કુલ પસંદગીની રીતો $= 50 + 100 + 50 = 200$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\binom{a^2+a}{3} = \binom{a^2+a}{9}$ છે.
ગુણધર્મ $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જો $\binom{n}{x} = \binom{n}{y}$ હોય,તો $x = y$ અથવા $x + y = n$ થાય.
અહીં,$3 \neq 9$,તેથી $3 + 9 = a^2 + a$ થવું જોઈએ.
$a^2 + a = 12$.
$a^2 + a - 12 = 0$.
$(a + 4)(a - 3) = 0$.
આમ,$a = 3$ અથવા $a = -4$.
$\binom{n}{r}$ માં $n$ એ અઋણ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને $n \geq r$ હોવું જોઈએ. $a = -4$ માટે $n = 12$ અને $a = 3$ માટે $n = 12$ મળે છે,જે બંને $9$ કરતા મોટા છે.
બંને કિંમતો ગાણિતિક રીતે શક્ય છે,પરંતુ આપેલા વિકલ્પો મુજબ $a = 3$ સાચો જવાબ છે.

(C) અહીં એક પ્રકારના $3$ સિક્કા,બીજા પ્રકારના $4$ સિક્કા અને ત્રીજા પ્રકારના $5$ સિક્કા છે.
ઓછામાં ઓછો એક સિક્કો પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $= (3 + 1)(4 + 1)(5 + 1) - 1$ થાય.
તેથી,$(4)(5)(6) - 1 = 120 - 1 = 119$.

(D) કુલ $10$ વ્યક્તિઓ છે. આપણે $5$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની છે.
$A$ ને હંમેશા સમાવવાનો છે અને $G, H$ ને બાકાત રાખવાના છે.
બાકી રહેલી વ્યક્તિઓ જેમાંથી પસંદગી કરવાની છે તે $10 - 3 = 7$ છે.
આપણે બાકીની $7$ વ્યક્તિઓમાંથી $4$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની છે,જે $^7C_4$ રીતે કરી શકાય.
કારણ કે $^7C_4 = ^7C_3$,પસંદગીની રીતો $^7C_3$ છે.
આ $5$ વ્યક્તિઓને હારમાં $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= ^7C_3 \times 5!$.

(B) કુલ હાથ મિલાવવાની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $15$ વ્યક્તિઓમાંથી $2$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની જરૂર છે.
આ એક સંચય (combination) નો પ્રશ્ન છે કારણ કે હાથ મિલાવનાર બે વ્યક્તિઓનો ક્રમ મહત્વનો નથી.
$15$ માંથી $2$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની રીતો સંચયના સૂત્ર $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 15$ અને $r = 2$ છે.
તેથી,કુલ હાથ મિલાવવાની સંખ્યા $^{15}C_{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ થાય.

(C) કુલ $14$ ખેલાડીઓમાંથી $5$ બોલર અને $9$ અન્ય ખેલાડીઓ છે.
ઓછામાં ઓછા $4$ બોલર હોય તેવી પસંદગી માટે બે કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $4$ બોલર અને $7$ અન્ય ખેલાડીઓની પસંદગી: $^5C_4 \times ^9C_7 = 5 \times 36 = 180$.
કિસ્સો $2$: $5$ બોલર અને $6$ અન્ય ખેલાડીઓની પસંદગી: $^5C_5 \times ^9C_6 = 1 \times 84 = 84$.
કુલ રીતો $= 180 + 84 = 264$.

(B) $n$ ભિન્ન પુસ્તકોમાંથી કોઈપણ સંખ્યામાં પુસ્તકો (શૂન્ય સહિત) પસંદ કરવાની કુલ રીતોનો સરવાળો: $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ છે.
એક કે તેથી વધુ પુસ્તકો પસંદ કરવા માટે,આપણે શૂન્ય પુસ્તકો પસંદ કરવાના કિસ્સાને (એટલે કે $\binom{n}{0} = 1$) બાદ કરવો પડે.
તેથી,$n$ પુસ્તકોમાંથી એક કે તેથી વધુ પુસ્તકો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $2^n - 1$ છે.
$n = 6$ માટે,રીતોની સંખ્યા $2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$ થાય.

(C) કુલ ખેલાડીઓ = $13$,બોલર = $4$,અન્ય = $9$.
આપણે ઓછામાં ઓછા $2$ બોલર સાથે $11$ ખેલાડીઓની ટીમ પસંદ કરવાની છે.
શક્ય કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
કિસ્સો $1$: $2$ બોલર અને $9$ અન્ય: $\binom{4}{2} \times \binom{9}{9} = 6 \times 1 = 6$.
કિસ્સો $2$: $3$ બોલર અને $8$ અન્ય: $\binom{4}{3} \times \binom{9}{8} = 4 \times 9 = 36$.
કિસ્સો $3$: $4$ બોલર અને $7$ અન્ય: $\binom{4}{4} \times \binom{9}{7} = 1 \times 36 = 36$.
કુલ રીતો = $6 + 36 + 36 = 78$.

(C) આપણે નિત્યસમ $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ: $^nC_{r+1} + ^nC_{r-1} + 2^nC_r$
$= (^nC_{r+1} + ^nC_r) + (^nC_r + ^nC_{r-1})$
નિત્યસમ $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= ^{n+1}C_{r+1} + ^{n+1}C_r$
ફરીથી,$^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$ નિત્યસમ લાગુ પાડતા (જ્યાં $n$ ની જગ્યાએ $n+1$ છે):
$= ^{n+2}C_{r+1}$

(C) $DHOLPUR$ શબ્દમાં $7$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $D, H, O, L, P, U, R$.
આપણે $4$ અક્ષરોનો શબ્દ બનાવવો છે જેમાં $L$ અને $P$ હંમેશા હોય.
$L$ અને $P$ પહેલેથી જ પસંદ કરેલા હોવાથી,બાકીના $5$ અક્ષરો $(D, H, O, U, R)$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાના રહે.
આ $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $^5C_2 = 10$ છે.
હવે,આપણી પાસે $4$ અક્ષરો છે ($L, P$ અને પસંદ કરેલા $2$ અક્ષરો),જેમને $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$4! = 24$.
તેથી,કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $10 \times 24 = 240$.

(B) $10$ બલ્બ પૈકી દરેક માટે $2$ શક્યતાઓ છે: તે કાં તો ચાલુ હોઈ શકે અથવા બંધ હોઈ શકે.
કુલ $10$ બલ્બ હોવાથી,તેમને ચાલુ કે બંધ કરવાની કુલ રીતો $2^{10} = 1024$ થાય.
ઓરડો ત્યારે જ પ્રકાશિત થાય જો ઓછામાં ઓછો એક બલ્બ ચાલુ હોય.
તેથી,આપણે તે કિસ્સો બાદ કરવો પડે જેમાં બધા જ બલ્બ બંધ હોય.
આમ,ઓરડો પ્રકાશિત કરવાની કુલ રીતો $2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$ થાય.

(C) જો જૂથમાં $(4 \text{ છોકરા}, 3 \text{ છોકરી})$,$(5 \text{ છોકરા}, 2 \text{ છોકરી})$,અથવા $(6 \text{ છોકરા}, 1 \text{ છોકરી})$ હોય તો છોકરાઓ બહુમતીમાં ગણાય.
કુલ સંચયોની સંખ્યા:
$= \binom{6}{4} \times \binom{4}{3} + \binom{6}{5} \times \binom{4}{2} + \binom{6}{6} \times \binom{4}{1}$
$= 15 \times 4 + 6 \times 6 + 1 \times 4$
$= 60 + 36 + 4 = 100$
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે બે ચોક્કસ વ્યક્તિઓ $P_1$ અને $P_2$ છે. તેઓ એક જ હોડીમાં ન હોઈ શકે,તેથી એક $P_1$ હોડી $A$ માં અને બીજો $P_2$ હોડી $B$ માં હોવો જોઈએ.
હોડી $A$ માં પહેલેથી જ $P_1$ છે,તેથી બાકીના $8$ લોકોમાંથી $4$ લોકોને હોડી $A$ માં ભરવા માટે પસંદ કરવા પડે. આ $\binom{8}{4}$ રીતે કરી શકાય.
ત્યારબાદ હોડી $B$ માં આપોઆપ $P_2$ અને બાકીના $4$ લોકો આવી જશે.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $\binom{8}{4} + \binom{8}{4} = 2 \binom{8}{4}$ થાય.

(B) વિદ્યાર્થીએ કુલ $13$ પ્રશ્નોમાંથી $10$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે,જેમાં પ્રથમ $5$ પ્રશ્નોમાંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાની શરત છે.
કિસ્સો $I$: પ્રથમ $5$ માંથી $4$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $6$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા.
પસંદગીની રીતો = $^5C_4 \times ^8C_6 = 5 \times 28 = 140$.
કિસ્સો $II$: પ્રથમ $5$ માંથી $5$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા.
પસંદગીની રીતો = $^5C_5 \times ^8C_5 = 1 \times 56 = 56$.
કુલ પસંદગીની રીતો = $140 + 56 = 196$.

(A) સમિતિમાં ઓછામાં ઓછી $3$ સ્ત્રીઓ હોવી જોઈએ. સમિતિનું કુલ કદ $6$ હોવાથી,શક્યતાઓ નીચે મુજબ છે:
કિસ્સો $1$: $3$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો.
રીતોની સંખ્યા = $^4C_3 \times ^8C_3 = 4 \times 56 = 224$.
કિસ્સો $2$: $4$ સ્ત્રીઓ અને $2$ પુરુષો.
રીતોની સંખ્યા = $^4C_4 \times ^8C_2 = 1 \times 28 = 28$.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $224 + 28 = 252$.

(B) $7$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે જેમાં છોકરાઓની સંખ્યા $(B)$ છોકરીઓની સંખ્યા $(G)$ કરતા વધારે હોય. કુલ સભ્યો $B + G = 7$ છે.
શક્ય કિસ્સાઓ:
કિસ્સો $1$: $4$ છોકરા અને $3$ છોકરી. રીતોની સંખ્યા = $\binom{6}{4} \times \binom{4}{3} = 15 \times 4 = 60$.
કિસ્સો $2$: $5$ છોકરા અને $2$ છોકરી. રીતોની સંખ્યા = $\binom{6}{5} \times \binom{4}{2} = 6 \times 6 = 36$.
કિસ્સો $3$: $6$ છોકરા અને $1$ છોકરી. રીતોની સંખ્યા = $\binom{6}{6} \times \binom{4}{1} = 1 \times 4 = 4$.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $60 + 36 + 4 = 100$.

(A) પાસ્કલના નિત્યસમ $\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} = \binom{n+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ પદાવલિ: $\left( \binom{15}{8} + \binom{15}{9} \right) - \left( \binom{15}{6} + \binom{15}{7} \right)$.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા:
$\binom{15}{8} + \binom{15}{9} = \binom{16}{9}$.
$\binom{15}{6} + \binom{15}{7} = \binom{16}{7}$.
તેથી,પદાવલિ $\binom{16}{9} - \binom{16}{7}$ બને છે.
$\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\binom{16}{7} = \binom{16}{16-7} = \binom{16}{9}$.
તેથી,$\binom{16}{9} - \binom{16}{9} = 0$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ અને $\binom{n}{n-1} = \binom{n}{1} = n$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\binom{n}{r} \div \binom{n}{n-1} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \times \frac{(n-1)!1!}{n!} = \frac{n-r+1}{r}$.

(B) ધારો કે બે મિત્રો $F_1$ અને $F_2$ છે.
કિસ્સો $1$: $F_1$ ને $8$ દડા અને $F_2$ ને $4$ દડા મળે. રીતોની સંખ્યા $\binom{12}{8} \times \binom{4}{4} = \frac{12!}{8!4!}$ છે.
કિસ્સો $2$: $F_1$ ને $4$ દડા અને $F_2$ ને $8$ દડા મળે. રીતોની સંખ્યા $\binom{12}{4} \times \binom{8}{8} = \frac{12!}{4!8!}$ છે.
આ બે અલગ કિસ્સાઓ હોવાથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $\frac{12!}{8!4!} + \frac{12!}{4!8!} = 2 \times \frac{12!}{8!4!} = \frac{2! \times 12!}{8!4!}$ થાય.

(B) આપણે ગુણધર્મ $\frac{^nC_k}{^nC_{k-1}} = \frac{n-k+1}{k}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ બે સમીકરણો માટે:
$\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3} \implies \frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{3} \implies 3n - 3r + 3 = 7r \implies 3n - 10r = -3$ $(1)$
આગળના બે સમીકરણો માટે:
$\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2} \implies \frac{n-(r+1)+1}{r+1} = \frac{3}{2} \implies \frac{n-r}{r+1} = \frac{3}{2} \implies 2n - 2r = 3r + 3 \implies 2n - 5r = 3$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા $4n - 10r = 6$ $(3)$ મળે.
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(4n - 10r) - (3n - 10r) = 6 - (-3) \implies n = 9$.

(C) $MISSISSIPPI$ શબ્દમાં નીચે મુજબના અક્ષરો છે: $M: 1, I: 4, S: 4, P: 2$.
સંચય બનાવવા માટે,આપણે $M$ ($0$ અથવા $1$),$I$ ($0$ થી $4$),$S$ ($0$ થી $4$),અને $P$ ($0$ થી $2$) માંથી કોઈપણ સંખ્યામાં અક્ષરો પસંદ કરી શકીએ છીએ.
અક્ષરો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $(1+1)(4+1)(4+1)(2+1) = 2 \times 5 \times 5 \times 3 = 150$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પસંદ કરવાનો હોવાથી,આપણે ખાલી ગણ (કોઈપણ અક્ષર પસંદ ન કર્યો હોય તેવો કિસ્સો) બાદ કરવો પડે.
તેથી,કુલ ભિન્ન સંચયોની સંખ્યા $150 - 1 = 149$ છે.

(C) ધારો કે ઉમેદવારોની સંખ્યા $n$ છે.
ઉમેદવારોની સંખ્યા ચૂંટાયેલા વ્યક્તિઓની સંખ્યા કરતા $1$ વધારે હોવાથી,ચૂંટાયેલા વ્યક્તિઓની સંખ્યા $n - 1$ છે.
મતદાર જે રીતે મત આપી શકે છે તે $n$ માંથી $1, 2, \dots, n - 1$ ઉમેદવારોને પસંદ કરવાના સંચયોનો સરવાળો છે.
આ $^nC_1 + ^nC_2 + \dots + ^nC_{n - 1} = 254$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{n} {^nC_k} = 2^n$ છે.
તેથી,$^nC_0 + ^nC_1 + \dots + ^nC_{n - 1} + ^nC_n = 2^n$.
$^nC_0 = 1$ અને $^nC_n = 1$ મૂકતા,આપણને $1 + \left(\sum_{k=1}^{n-1} {^nC_k}\right) + 1 = 2^n$ મળે છે.
$2 + 254 = 2^n$.
$256 = 2^n$.
$2^8 = 2^n$.
આમ,$n = 8$.

(B) $10$ મિત્રોમાંથી $6$ મહેમાનો પસંદ કરવાની કુલ રીતો,જેમાં બે ચોક્કસ મિત્રો (ધારો કે $A$ અને $B$) એકસાથે ન આવે,તે નીચે મુજબ ગણી શકાય:
કિસ્સો $1$: $A$ કે $B$ બંનેમાંથી કોઈને આમંત્રણ ન આપવું.
બાકીના $8$ મિત્રોમાંથી $6$ પસંદ કરવા: $\binom{8}{6} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
કિસ્સો $2$: $A$ અથવા $B$ માંથી માત્ર એકને આમંત્રણ આપવું.
${A, B}$ માંથી $1$ મિત્ર અને બાકીના $8$ માંથી $5$ મિત્રો પસંદ કરવા: $\binom{2}{1} \times \binom{8}{5} = 2 \times \binom{8}{3} = 2 \times \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 56 = 112$.
કુલ રીતો = $28 + 112 = 140$.

(D) પગલું $1$: કળશ $A$ માંથી $3$ ભિન્ન લાલ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $^3C_2 = 3$ છે.
પગલું $2$: કળશ $B$ માંથી $9$ વાદળી દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $^9C_2 = \frac{9 \times 8}{2} = 36$ છે.
પગલું $3$: આ ક્રિયાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,કુલ રીતો $3 \times 36 = 108$ થાય.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $108$ છે.

(C) મહેશ એક,બે,ત્રણ,ચાર,પાંચ અથવા છ મિત્રોને ભોજન માટે આમંત્રણ આપી શકે છે.
આ $6$ મિત્રોના સમૂહના ખાલી ન હોય તેવા ઉપગણોની કુલ સંખ્યા શોધવા સમાન છે.
રીતોની સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
$^6C_1 + ^6C_2 + ^6C_3 + ^6C_4 + ^6C_5 + ^6C_6 = 2^6 - 1$.
$2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$.

(A) $r$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $n(n+1)(n+2)...(n+r-1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ગુણાકાર $r! \times \binom{n+r-1}{r}$ બરાબર છે.
જેથી $\binom{n+r-1}{r}$ એક પૂર્ણાંક હોવાથી,આ ગુણાકાર હંમેશા $r!$ વડે નિ:શેષ ભાગી શકાય છે.

(A) $n$ એકસરખી વસ્તુઓને $r$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી દરેક વ્યક્તિને ઓછામાં ઓછી એક વસ્તુ મળે,તે સૂત્ર $^{n-1}C_{r-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 20$ અને $r = 4$ છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $= ^{20-1}C_{4-1} = ^{19}C_3$ છે.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $^{19}C_3 = \frac{19 \times 18 \times 17}{3 \times 2 \times 1} = 19 \times 3 \times 17 = 969$.

(B) ધારો કે કુલ $9$ પ્રશ્નપત્રો છે. જો ઉમેદવાર $f$ પ્રશ્નપત્રોમાં નાપાસ થાય,તો તે $9-f$ પ્રશ્નપત્રોમાં પાસ થાય.
સફળતા માટેની શરત: $9-f > f \implies 2f < 9 \implies f < 4.5$.
તેથી,ઉમેદવાર $0, 1, 2, 3$ અથવા $4$ પ્રશ્નપત્રોમાં નાપાસ થાય તો સફળ ગણાય.
ઉમેદવાર $5, 6, 7, 8$ અથવા $9$ પ્રશ્નપત્રોમાં નાપાસ થાય તો અસફળ ગણાય.
અસફળ થવાની રીતોની સંખ્યા = $\binom{9}{5} + \binom{9}{6} + \binom{9}{7} + \binom{9}{8} + \binom{9}{9} = 256$.

(C) $20$ ઘટકો ધરાવતા ગણના $5$ ઘટકોવાળા ઉપગણોની કુલ સંખ્યા $^{20}C_5$ છે.
$a_4$ ઘટક ધરાવતા $5$ ઘટકોવાળા ઉપગણોની સંખ્યા એ બાકીના $19$ ઘટકોમાંથી $4$ ઘટકો પસંદ કરવા જેટલી થાય,જે $^{19}C_4$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$^{20}C_5 = k \times ^{19}C_4$.
સૂત્ર $^{n}C_r = \frac{n}{r} \times ^{n-1}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^{20}C_5 = \frac{20}{5} \times ^{19}C_4 = 4 \times ^{19}C_4$.
આથી,$k = 4$ મળે છે.

(C) કુલ ઉમેદવારોની સંખ્યા $= 10$.
પસંદ કરવાના ઉમેદવારોની સંખ્યા $= 4$.
મતદાર વધુમાં વધુ $4$ અને ઓછામાં ઓછા $1$ ઉમેદવારને મત આપી શકે છે.
$r$ ઉમેદવારોને મત આપવાની રીતો $= ^{10}C_{r}$.
$1$ ઉમેદવારને મત આપવાની રીતો $= ^{10}C_{1} = 10$.
$2$ ઉમેદવારોને મત આપવાની રીતો $= ^{10}C_{2} = 45$.
$3$ ઉમેદવારોને મત આપવાની રીતો $= ^{10}C_{3} = 120$.
$4$ ઉમેદવારોને મત આપવાની રીતો $= ^{10}C_{4} = 210$.
કુલ રીતો $= 10 + 45 + 120 + 210 = 385$.

(D) આ પુનરાવર્તિત સંચયનો પ્રશ્ન છે (સ્ટાર્સ એન્ડ બાર્સ પદ્ધતિ).
ધારો કે $n = 5$ એ આઈસ્ક્રીમના પ્રકારોની સંખ્યા છે અને $r = 6$ એ ખરીદવાના આઈસ્ક્રીમની સંખ્યા છે.
પુનરાવર્તન સાથે $n$ પ્રકારોમાંથી $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{n+r-1}C_r$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $^{5+6-1}C_6 = ^{10}C_6$ મળે છે.
કારણ કે $^{10}C_6 = ^{10}C_{10-6} = ^{10}C_4$,અને $^{10}C_4 = 210$,જ્યારે $^{10}C_5 = 252$.
આમ,$\text{વિધાન}-1$ ખોટું છે.
$\text{વિધાન}-2$ માટે,$6$ $A$ અને $4$ $B$ ને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા એ $10$ માંથી $6$ સ્થાન પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા છે,જે $^{10}C_6$ છે.
આ આઈસ્ક્રીમ ખરીદવાની રીતોની સંખ્યા જેટલી છે.
તેથી,$\text{વિધાન}-2$ સાચું છે.

(C) પાત્ર $A$ માં $3$ અલગ-અલગ લાલ દડા છે. પાત્ર $A$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $^3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$ છે.
પાત્ર $B$ માં $9$ અલગ-અલગ વાદળી દડા છે. પાત્ર $B$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો $^9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ છે.
પાત્ર $A$ અને પાત્ર $B$ માંથી દડાની પસંદગી સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,આ સ્થાનાંતરણ કરવાની કુલ રીતો એ દરેક પાત્રમાંથી દડા પસંદ કરવાની રીતોનો ગુણાકાર છે.
કુલ રીતો $= ^3C_2 \times ^9C_2 = 3 \times 36 = 108$.

(D) વિધાન-$1$ માટે: $n$ સમાન વસ્તુઓને $r$ ભિન્ન પેટીઓમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી કોઈ પણ પેટી ખાલી ન રહે,તે સૂત્ર $^{n-1}C_{r-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 10$ અને $r = 4$ છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $^{10-1}C_{4-1} = ^9C_3$ થાય.
આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ માટે: $n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^nC_r$ છે.
અહીં,$n = 9$ અને $r = 3$ છે,તેથી રીતોની સંખ્યા $^9C_3$ થાય.
આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે.
સમાન વસ્તુઓને ભિન્ન પેટીઓમાં વહેંચવાનું સૂત્ર (સ્ટાર્સ એન્ડ બાર્સ પદ્ધતિ) એ જગ્યાઓ પસંદ કરવાના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે,તેથી વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(C) દડાઓ સમાન હોવાથી અને બોક્સ પણ સમાન હોવાથી,કોઈ પણ બોક્સમાં એકથી વધુ દડા ન હોય તે રીતે $5$ દડાઓને $10$ બોક્સમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $10$ માંથી $5$ બોક્સ પસંદ કરવા જેટલી છે.
આથી,કુલ રીતોની સંખ્યા ${}^{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!}$ થાય.

(D) સમિતિનું કદ $12$ છે. ધારો કે $W$ સ્ત્રીઓ અને $M$ પુરુષો છે. $W + M = 12$ અને $W \ge 5$.
$(i)$ સ્ત્રીઓ બહુમતીમાં હોય $(W > M)$: $W$ ના શક્ય મૂલ્યો $7, 8, 9$ છે.
રીતો = $^9C_7 \times ^8C_5 + ^9C_8 \times ^8C_4 + ^9C_9 \times ^8C_3 = 2016 + 630 + 56 = 2702$.
(ii) પુરુષો બહુમતીમાં હોય $(M > W)$: $W$ ના શક્ય મૂલ્યો $5$ છે.
રીતો = $^9C_5 \times ^8C_7 = 126 \times 8 = 1008$.

(C) પાસ્કલના નિત્યસમ $^{n-1}C_r + ^{n-1}C_{r-1} = ^nC_r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^{n-1}C_3 + ^{n-1}C_4 = ^nC_4$
આપેલ અસમતા: $^{n-1}C_3 + ^{n-1}C_4 > ^nC_3$
તેથી,$^nC_4 > ^nC_3$
સૂત્ર $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{^nC_4}{^nC_3} > 1$
$\frac{n-4+1}{4} > 1$
$\frac{n-3}{4} > 1$
$n-3 > 4$
$n > 7$

(B) કોઈપણ પ્રતિબંધ વિના $10$ મિત્રોમાંથી $6$ મહેમાનો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_6 = 210$ છે.
ધારો કે જે બે મિત્રો સાથે નહીં આવે તે $A$ અને $B$ છે.
બંને $A$ અને $B$ પાર્ટીમાં હાજર હોય તેવી પસંદગીની રીતો બાકીના $8$ મિત્રોમાંથી $4$ મહેમાનો પસંદ કરવાની રીતો જેટલી છે,જે $^8C_4 = 70$ છે.
તેથી,$A$ અને $B$ સાથે ન આવે તેવી રીતોની સંખ્યા કુલ રીતોમાંથી બંને સાથે હોય તેવી રીતો બાદ કરતાં મળે: $210 - 70 = 140$.

(C) કુલ ઉપલબ્ધ ખેલાડીઓ = $22$.
આપણે $10$ ખેલાડીઓની ટીમ પસંદ કરવાની છે.
$6$ ચોક્કસ ખેલાડીઓ હંમેશા સામેલ હોવા જોઈએ,તેથી આપણે $6$ ખેલાડીઓ પહેલેથી જ પસંદ કરી લીધા છે.
બાકી રહેલા પસંદ કરવાના ખેલાડીઓ = $10 - 6 = 4$.
$4$ ચોક્કસ ખેલાડીઓ હંમેશા બાકાત રાખવાના છે,તેથી આપણે તેમને કુલ સંખ્યામાંથી દૂર કરીએ છીએ.
પસંદગી માટે ઉપલબ્ધ બાકી ખેલાડીઓ = $22 - 6 - 4 = 12$.
તેથી,$12$ માંથી બાકીના $4$ ખેલાડીઓને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{12}C_4$ છે.

(A) $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા,જ્યાં $x_i \ge i$ હોય,તે $(t^1 + t^2 + ...) (t^2 + t^3 + ...) ... (t^k + t^{k+1} + ...)$ ના ગુણાકારમાં $t^n$ નો સહગુણક છે.
આ $t^{1+2+...+k} (1 + t + t^2 + ...)^k$ માં $t^n$ નો સહગુણક છે.
ધારો કે $r = 1 + 2 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}$.
આ અભિવ્યક્તિ $(1-t)^{-k}$ માં $t^{n-r}$ નો સહગુણક બને છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-t)^{-k} = \sum_{j=0}^{\infty} \binom{k+j-1}{k-1} t^j$ નો ઉપયોગ કરતા,$t^{n-r}$ નો સહગુણક $\binom{k+(n-r)-1}{k-1}$ છે.
ધારો કે $m = k + n - r - 1 = k + n - \frac{k(k+1)}{2} - 1 = \frac{2n - k^2 + k - 2}{2}$.
આમ,ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{m}{k-1}$ છે.

(C) વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણે ત્રણ શરતો સંતોષવી જોઈએ:
$1$. દ્વિપદી સહગુણકો અને ક્રમચયો માટે અઋણ પૂર્ણાંક પરિમાણો હોવા જોઈએ:
$^{16-x}C_{2x-1}$ માટે,$16-x \ge 2x-1 \ge 0$,જેનો અર્થ છે $x \le 17/3$ અને $x \ge 1/2$.
$^{20-3x}P_{2x-5}$ માટે,$20-3x \ge 2x-5 \ge 0$,જેનો અર્થ છે $x \le 5$ અને $x \ge 2.5$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $2.5 \le x \le 5$ મળે છે.
$2$. લઘુગણકનો આધાર $[x + \frac{1}{x}]$ એ $0$ કરતા મોટો અને $1$ ન હોવો જોઈએ.
$x \in [2.5, 5]$ માટે,$[x + \frac{1}{x}]$ ની કિંમત $2, 3, 4, 5$ હોઈ શકે છે.
$3$. લઘુગણકનો તર્ક $|x^2 - x - 6| > 0$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $x \neq 3$ અને $x \neq -2$.
આમ,$x \in [2.5, 5]$ માંથી $x=3$ ને બાદ કરતા,શક્ય કિંમતો $x=4, 5$ મળે છે.