Definition of combinations, Condition combinations Questions in Gujarati

(A) દરેક શહેરને બીજા દરેક શહેર સાથે જોડવા માટે,આપણે $10$ માંથી $2$ શહેરો પસંદ કરવા પડે.
આ એક સંચય (combination) નો પ્રશ્ન છે જેમાં આપણે $^{10}C_2$ ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
$^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.
તેથી,સરકારે $45$ રસ્તાઓનું નિર્માણ કરવું પડશે.

(B) એક હરોળમાં $n$ વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ એવી રીતે પસંદ કરવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે ક્રમિક ન હોય,સૂત્ર $^{n-r+1}C_r$ છે.
અહીં,$n = 10$ અને $r = 4$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $^{10-4+1}C_4 = ^7C_4$ મળે છે.
કારણ કે $^7C_4 = ^7C_3$,આપણે ગણતરી કરીએ:
$^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.

(C) ધારો કે $4$ છોકરાઓને મળતા સફરજનની સંખ્યા અનુક્રમે $x_1, x_2, x_3, x_4$ છે.
આપણને સમીકરણ $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 25$ આપેલ છે,જ્યાં $x_i \ge 4$ છે.
ધારો કે $y_i = x_i - 4$,જ્યાં $y_i \ge 0$.
સમીકરણમાં $x_i = y_i + 4$ મૂકતા:
$(y_1 + 4) + (y_2 + 4) + (y_3 + 4) + (y_4 + 4) = 25$
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 9$
સ્ટાર્સ અને બાર્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $^{n+r-1}C_{r-1}$ છે,જ્યાં $n = 9$ અને $r = 4$.
રીતોની સંખ્યા = $^{9+4-1}C_{4-1} = ^{12}C_3$.

(C) દરેક પ્રકારનું ઓછામાં ઓછું એક ફળ પસંદ કરવા માટે,આપણે દરેક જૂથમાંથી ઓછામાં ઓછું એક ફળ પસંદ કરવું આવશ્યક છે.
$5$ સફરજન માટે,ઓછામાં ઓછું એક પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $5$ છે.
$4$ કેરી માટે,ઓછામાં ઓછું એક પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $4$ છે.
$3$ નારંગી માટે,ઓછામાં ઓછું એક પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $3$ છે.
અન્ય $2$ જાતો માટે,જેમાં દરેકનો $1$ ફળ છે,ઓછામાં ઓછું એક પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $5 \times 4 \times 3 \times 1 \times 1 = 60$ છે.

(D) $10$ સફેદ,$9$ લીલા અને $7$ વાદળી દડાઓમાંથી એક કે તેથી વધુ દડા પસંદ કરવા માટે,આપણે દરેક રંગ માટે વિકલ્પો વિચારીએ છીએ.
સફેદ દડા માટે,આપણે $0, 1, 2, \dots, 10$ દડા પસંદ કરી શકીએ છીએ,જે $(10 + 1) = 11$ વિકલ્પો આપે છે.
લીલા દડા માટે,આપણે $0, 1, 2, \dots, 9$ દડા પસંદ કરી શકીએ છીએ,જે $(9 + 1) = 10$ વિકલ્પો આપે છે.
વાદળી દડા માટે,આપણે $0, 1, 2, \dots, 7$ દડા પસંદ કરી શકીએ છીએ,જે $(7 + 1) = 8$ વિકલ્પો આપે છે.
કોઈપણ સંખ્યામાં દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો (શૂન્ય દડા પસંદ કરવા સહિત) $11 \times 10 \times 8 = 880$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછો એક દડો પસંદ કરવાનો હોવાથી,આપણે ત્રણેય રંગોમાંથી શૂન્ય દડા પસંદ કરવાના કિસ્સાને બાદ કરીએ છીએ.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= 880 - 1 = 879$.

(B) ચુસ્તપણે વધતા અંકો ધરાવતી પાંચ અંકની સંખ્યા $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ ગણમાંથી $5$ અલગ અંકો પસંદ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. આવી કુલ સંખ્યાઓ $\binom{9}{5} = 126$ છે.
$1$. $1$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: આપણે $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ માંથી $4$ વધુ અંકો પસંદ કરીએ છીએ. કુલ = $\binom{8}{4} = 70$.
$2$. $2$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ:
- $23$ થી શરૂ થતી: આપણે $\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ માંથી $3$ વધુ અંકો પસંદ કરીએ છીએ. કુલ = $\binom{6}{3} = 20$.
- $24$ થી શરૂ થતી:
- $245$ થી શરૂ થતી: આપણે $\{6, 7, 8, 9\}$ માંથી $2$ વધુ અંકો પસંદ કરીએ છીએ. કુલ = $\binom{4}{2} = 6$.
- $246$ થી શરૂ થતી:
- $24678$ ($96^{\text{મી}}$ સંખ્યા)
- $24679$ ($97^{\text{મી}}$ સંખ્યા)
આમ,$97^{\text{મી}}$ સંખ્યા $24679$ છે. આ સંખ્યામાં $5$ અંક નથી.

(B) ઓછામાં ઓછા એક ઉમેદવારને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $\sum_{k=1}^{n} {^{2n+1}C_k} = 63$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{2n+1} {^{2n+1}C_k} = 2^{2n+1}$.
કારણ કે ${^{2n+1}C_k} = {^{2n+1}C_{2n+1-k}}$,તેથી $\sum_{k=0}^{n} {^{2n+1}C_k} = \sum_{k=n+1}^{2n+1} {^{2n+1}C_k} = \frac{2^{2n+1}}{2} = 2^{2n}$.
આમ,$\sum_{k=1}^{n} {^{2n+1}C_k} = (\sum_{k=0}^{n} {^{2n+1}C_k}) - {^{2n+1}C_0} = 2^{2n} - 1$.
આપેલ છે કે $2^{2n} - 1 = 63$,તેથી $2^{2n} = 64 = 2^6$.
તેથી,$2n = 6$,જેનો અર્થ છે કે $n = 3$.
પસંદ કરી શકાય તેવા ઉમેદવારોની મહત્તમ સંખ્યા $n = 3$ છે.

(D) ધારો કે $x_i$ એ ખેલાડી $A_i$ ને મળેલા સિક્કા છે. કુલ સિક્કા $\sum_{i=1}^{11} x_i = 100$ છે.
આપેલ શરતો: $i=3, 4, \dots, 11$ માટે $x_i \ge i+1$,$x_1 \ge 6$ અને $x_2 \ge 5$.
ન્યૂનતમ સિક્કાઓનો સરવાળો $= 6+5+4+5+6+7+8+9+10+11+12 = 83$.
બાકી રહેલા સિક્કા $= 100 - 83 = 17$.
સ્ટાર્સ અને બાર્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,$17$ સિક્કાઓને $11$ ખેલાડીઓમાં વહેંચવાની રીતો $= ^{17+11-1}C_{11-1} = ^{27}C_{10}$.

(B) $n$ વસ્તુઓની શક્ય જોડીઓની સંખ્યા $^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ છે.
દરેક જોડીનું કુલ વજન $2w$ છે.
તેથી,તમામ જોડીઓના વજનનો સરવાળો $\frac{n(n-1)}{2} \times 2w = n(n-1)w = 120$ --- $(1)$.
$n$ વસ્તુઓની શક્ય ત્રિપુટીઓની સંખ્યા $^nC_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ છે.
દરેક ત્રિપુટીનું કુલ વજન $3w$ છે.
તેથી,તમામ ત્રિપુટીઓના વજનનો સરવાળો $\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \times 3w = \frac{n(n-1)(n-2)w}{2} = 480$ --- $(2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{n(n-1)(n-2)w}{2}}{n(n-1)w} = \frac{480}{120}$
$\frac{n-2}{2} = 4$
$n-2 = 8$
$n = 10$.

(B) ધારો કે કુલ કર્મચારીઓની સંખ્યા $n = 10$ છે.
આપણે $r$ કદની એવી ટીમ બનાવવાની છે જેમાં ઓછામાં ઓછા $3$ કર્મચારીઓ હોય અને ઓછામાં ઓછા $3$ કર્મચારીઓ બાકાત હોય.
આનો અર્થ એ છે કે ટીમમાં કર્મચારીઓની સંખ્યા $r$ એ $3 \le r \le 10 - 3$ એટલે કે $3 \le r \le 7$ હોવી જોઈએ.
ટીમ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા $\sum_{r=3}^{7} {^{10}C_r}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{10} {^{10}C_r} = 2^{10} = 1024$.
જરૂરી સરવાળો $2^{10} - ({^{10}C_0} + {^{10}C_1} + {^{10}C_2} + {^{10}C_8} + {^{10}C_9} + {^{10}C_{10}})$ છે.
કિંમતો ગણતા: ${^{10}C_0} = 1$,${^{10}C_1} = 10$,${^{10}C_2} = 45$.
કારણ કે ${^{10}C_8} = 45$,${^{10}C_9} = 10$,અને ${^{10}C_{10}} = 1$.
બાકાત રાખેલ પદોનો સરવાળો $(1 + 10 + 45 + 45 + 10 + 1) = 112$ છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $1024 - 112 = 912$ છે.

(A) આપેલ છે: $^nC_{r-2} = 36$,$^nC_{r-1} = 84$ અને $^nC_r = 126$.
ગુણધર્મ $\frac{^nC_k}{^nC_{k-1}} = \frac{n-k+1}{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{^nC_{r-1}}{^nC_{r-2}} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow \frac{n-r+2}{r-1} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow 3n - 10r = -13$ ....$(1)$
$\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{n-r+1}{r} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 2n - 5r = -2$ ....$(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા,આપણને $n = 9$ અને $r = 4$ મળે છે.
તેથી,$^nC_{2r} = ^9C_{2(4)} = ^9C_8 = 9$.

(B) જ્યારે પાસાને ત્રણ વાર ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^3 = 216$ છે.
ધારો કે પરિણામો $x_1, x_2, x_3$ છે જેથી $1 \le x_1 < x_2 < x_3 \le 6$ થાય.
દરેક સંખ્યા અગાઉની સંખ્યા કરતા મોટી હોય તે શરત સંતોષવા માટે,આપણે $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ગણમાંથી $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવી પડશે.
$3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^6C_3$ દ્વારા મળે છે.
$^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
એકવાર $3$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ થઈ જાય,પછી તેમને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવવાની માત્ર $1$ જ રીત હોય છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $20$ છે.
સંભાવના $\frac{20}{216}$ છે.

(A) એક હરોળમાં ગોઠવાયેલી $n$ વસ્તુઓમાંથી $3$ વસ્તુઓને એવી રીતે પસંદ કરવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે ક્રમિક ન હોય,આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $n-3$ વસ્તુઓ જે પસંદ કરવામાં આવી નથી તેને $X$ તરીકે દર્શાવીએ.
$X \_ X \_ X \_ \dots \_ X$
અહીં $n-3$ વસ્તુઓ છે,જે $(n-3) + 1 = n-2$ ઉપલબ્ધ ગેપ બનાવે છે (છેડાઓ સહિત).
આપણે પસંદ કરેલી વસ્તુઓને મૂકવા માટે આ $n-2$ ગેપમાંથી $3$ ગેપ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
આ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{n-2}C_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $S = ^{20}C_1 + 3 ^{20}C_2 + 3 ^{20}C_3 + ^{20}C_4$ છે.
આપણે સહગુણકોને આ રીતે લખી શકીએ:
$S = (^{20}C_1 + ^{20}C_2) + 2(^{20}C_2 + ^{20}C_3) + (^{20}C_3 + ^{20}C_4)$.
પાસ્કલના નિત્યસમ $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = ^{21}C_2 + 2(^{21}C_3) + ^{21}C_4$.
વધુમાં,$S = (^{21}C_2 + ^{21}C_3) + (^{21}C_3 + ^{21}C_4)$.
ફરીથી નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$S = ^{22}C_3 + ^{22}C_4 = ^{23}C_4$.

(B) $6$ પરિણીત યુગલો છે,તેથી કુલ $12$ વ્યક્તિઓ છે.
આપણે $12$ માંથી $6$ વ્યક્તિઓને એવી રીતે પસંદ કરવાની છે કે કોઈ પણ બે વ્યક્તિ યુગલ ન હોય.
પ્રથમ,આપણે $6$ યુગલોમાંથી $6$ યુગલો પસંદ કરીએ,જે $\binom{6}{6} = 1$ રીતે કરી શકાય.
આ પસંદ કરેલા $6$ યુગલોમાંથી દરેકમાંથી આપણે બરાબર એક વ્યક્તિને સમિતિમાં પસંદ કરવી પડશે.
દરેક યુગલમાં $2$ વ્યક્તિઓ હોવાથી,$6$ સ્થાનો માટે આપણી પાસે દરેક માટે $2$ વિકલ્પો છે.
તેથી,કુલ રીતો $\binom{6}{6} \times 2^6 = 1 \times 64 = 64$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} - ^{69}C_{3r}$
પદોને ગોઠવતા: $^{69}C_{3r-1} + ^{69}C_{3r} = ^{69}C_{r^2} + ^{69}C_{r^2-1}$
નિત્યસમ $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^{70}C_{3r} = ^{70}C_{r^2}$
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $3r = r^2$ અથવા $3r + r^2 = 70$.
કિસ્સો $1$: $r^2 - 3r = 0$ $\Rightarrow r(r-3) = 0$ $\Rightarrow r = 0$ અથવા $r = 3$.
કિસ્સો $2$: $r^2 + 3r - 70 = 0$ $\Rightarrow (r+10)(r-7) = 0$ $\Rightarrow r = -10$ અથવા $r = 7$.
$nCr$ એ $n \ge r \ge 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,આપણે કિંમતો તપાસીએ:
$r=0$ માટે: $^{69}C_{-1}$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
$r=-10$ માટે: $^{69}C_{-31}$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
$r=3$ માટે: $^{69}C_{8} - ^{69}C_{9} = ^{69}C_{8} - ^{69}C_{9}$ (માન્ય).
$r=7$ માટે: $^{69}C_{20} - ^{69}C_{49} = ^{69}C_{48} - ^{69}C_{21}$ (માન્ય,કારણ કે $^{69}C_{49} = ^{69}C_{20}$ અને $^{69}C_{48} = ^{69}C_{21}$).
આમ,$r$ માટેની માન્ય કિંમતો $3$ અને $7$ છે.
કિંમતોની સંખ્યા $2$ છે.

(B) ધારો કે $S$ એ $N = 2n + 1$ ઘટકો ધરાવતો ગણ છે. આપણે વધુમાં વધુ $n$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવી છે,જે સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$S = \sum_{r=0}^{n} \binom{2n+1}{r} = \binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \dots + \binom{2n+1}{n}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $\sum_{r=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{r} = 2^{2n+1}$ છે.
સંચયના ગુણધર્મ મુજબ,$\binom{N}{r} = \binom{N}{N-r}$.
તેથી,$\binom{2n+1}{0} = \binom{2n+1}{2n+1}$,$\binom{2n+1}{1} = \binom{2n+1}{2n}$,...,$\binom{2n+1}{n} = \binom{2n+1}{n+1}$.
ધારો કે $X = \sum_{r=0}^{n} \binom{2n+1}{r}$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $2X = \sum_{r=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{r} = 2^{2n+1}$.
તેથી,$X = \frac{2^{2n+1}}{2} = 2^{2n}$.

(B) વિધેય $f(x) = ^{9-x}C_{x-1}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. $9-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 9$
$2$. $x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$
$3$. $9-x \geq x-1 \Rightarrow 10 \geq 2x \Rightarrow x \leq 5$
આ શરતોને જોડતા,આપણને $1 \leq x \leq 5$ મળે છે. સંચય વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે $x$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
આમ,પ્રદેશમાં $m = 5$ ઘટકો છે.
હવે,દરેક $x$ માટે $f(x)$ ની કિંમતો શોધીએ:
$f(1) = ^8C_0 = 1$
$f(2) = ^7C_1 = 7$
$f(3) = ^6C_2 = 15$
$f(4) = ^5C_3 = 10$
$f(5) = ^4C_4 = 1$
વિસ્તાર એ અલગ કિંમતોનો ગણ છે: $\{1, 7, 15, 10\}$.
આમ,વિસ્તારમાં $n = 4$ ઘટકો છે.
$m=5$ અને $n=4$ ને સરખાવતા,આપણને $m = n + 1$ મળે છે.

(B) આપણે $2$ મહિલાઓ $(L)$,$2$ વૃદ્ધ પુરુષો $(O)$ અને $4$ યુવાન પુરુષો $(Y)$ માંથી $4$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની છે,જેમાં શરતો છે: $L \ge 1$,$O \ge 1$,અને $Y \le 2$.
$4$ નો સરવાળો કરતા શક્ય સંયોજનો $(L, O, Y)$ નીચે મુજબ છે:
$1. (1, 1, 2) \implies ^2C_1 \times ^2C_1 \times ^4C_2 = 2 \times 2 \times 6 = 24$
$2. (1, 2, 1) \implies ^2C_1 \times ^2C_2 \times ^4C_1 = 2 \times 1 \times 4 = 8$
$3. (2, 1, 1) \implies ^2C_2 \times ^2C_1 \times ^4C_1 = 1 \times 2 \times 4 = 8$
$4. (2, 2, 0) \implies ^2C_2 \times ^2C_2 \times ^4C_0 = 1 \times 1 \times 1 = 1$
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 24 + 8 + 8 + 1 = 41$.

(C) ધારો કે $8$ પ્રશ્નોને ફાળવેલ ગુણ $x_1, x_2, \dots, x_8$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $x_1 + x_2 + \dots + x_8 = 30$,જ્યાં દરેક $i = 1, 2, \dots, 8$ માટે $x_i \ge 2$ છે.
ધારો કે $x_i = y_i + 2$,જ્યાં $y_i \ge 0$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(y_1 + 2) + (y_2 + 2) + \dots + (y_8 + 2) = 30$
$y_1 + y_2 + \dots + y_8 + 16 = 30$
$y_1 + y_2 + \dots + y_8 = 14$.
આ સમીકરણના અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર $^{n+r-1}C_{r-1}$ છે,જ્યાં $n=14$ અને $r=8$.
રીતોની સંખ્યા $= ^{14+8-1}C_{8-1} = ^{21}C_7$.

(C) ગણ $A = \{a_1, a_2, \dots, a_{20}\}$ માં $20$ ભિન્ન ઘટકો છે.
$5$-ઘટકોવાળા ઉપગણોની કુલ સંખ્યા $^{20}C_5$ છે.
$a_4$ ને સમાવતા $5$-ઘટકોવાળા ઉપગણોની સંખ્યા એ બાકીના $19$ ઘટકોમાંથી $4$ ઘટકો પસંદ કરવા જેટલી થાય,જે $^{19}C_4$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$^{20}C_5 = k \times ^{19}C_4$.
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n}{r} \times ^{n-1}C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$^{20}C_5 = \frac{20}{5} \times ^{19}C_4$.
તેથી,$k = \frac{20}{5} = 4$.

(C) $5$ માંથી $2$ છોકરીઓ અને $7$ માંથી $3$ છોકરાઓને કોઈપણ પ્રતિબંધ વગર પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^5C_2 \times ^7C_3 = 10 \times 35 = 350$ છે.
જો બંને ચોક્કસ છોકરાઓ $A$ અને $B$ ટીમમાં હોય,તો આપણે બાકીના $5$ છોકરાઓમાંથી $1$ વધુ છોકરો અને $5$ છોકરીઓમાંથી $2$ છોકરીઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે. આવી ટીમોની સંખ્યા $^5C_1 \times ^5C_2 = 5 \times 10 = 50$ છે.
તેથી,એવી ટીમોની સંખ્યા જેમાં $A$ અને $B$ સાથે ન હોય તે $350 - 50 = 300$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ સંચયના ગુણાકારનો સરવાળો છે:
$^{20}C_r ^{20}C_0 + ^{20}C_{r-1} ^{20}C_1 + ... + ^{20}C_0 ^{20}C_r = ^{40}C_r$
આ વેન્ડરમોન્ડના નિત્યસમ (Vandermonde's Identity) પર આધારિત છે,જે મુજબ $\sum_{k=0}^{r} {^nC_k} {^mC_{r-k}} = ^{n+m}C_r$.
અહીં,$n=20$ અને $m=20$ છે,તેથી સરવાળો $^{40}C_r$ થાય.
$^{40}C_r$ ની કિંમત ત્યારે મહત્તમ હોય જ્યારે $r = \frac{n+m}{2} = \frac{40}{2} = 20$ થાય.

(A) આપણે $\{1, 2, \dots, 10\}$ સેટમાંથી $3$ અલગ દડા એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી તેમના લેબલ $n_1 < n_2 < n_3$ નું પાલન કરે.
કારણ કે ક્રમ સખત રીતે વધતો છે,$10$ ઉપલબ્ધ દડાઓમાંથી $3$ અલગ દડાઓની કોઈપણ પસંદગીને $n_1 < n_2 < n_3$ શરત સંતોષવા માટે બરાબર એક રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા સંયોજન સૂત્ર $^{10}C_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.

(B) આપેલ છે કે $^nC_4, ^nC_5,$ અને $^nC_6$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2(^nC_5) = ^nC_4 + ^nC_6$
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \times \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$
સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $n^2 - 81n + 338 = 0$ મળે છે.
$(n-14)(n-67) = 0$
તેથી,$n = 14$ અથવા $n = 67$. વિકલ્પો મુજબ,$n = 14$ સાચો જવાબ છે.

(C) કુલ ઉપલબ્ધ સભ્યો $8$ પુરુષો અને $5$ સ્ત્રીઓ છે,તેથી કુલ વ્યક્તિઓ = $13$. આપણે $11$ સભ્યો પસંદ કરવાના છે.
$m$ માટે (ઓછામાં ઓછા $6$ પુરુષો):
શક્ય કિસ્સાઓ ($6$ પુરુષો,$5$ સ્ત્રીઓ),($7$ પુરુષો,$4$ સ્ત્રીઓ),($8$ પુરુષો,$3$ સ્ત્રીઓ) છે.
$m = \binom{8}{6} \times \binom{5}{5} + \binom{8}{7} \times \binom{5}{4} + \binom{8}{8} \times \binom{5}{3} = (28 \times 1) + (8 \times 5) + (1 \times 10) = 28 + 40 + 10 = 78$.
$n$ માટે (ઓછામાં ઓછી $3$ સ્ત્રીઓ):
શક્ય કિસ્સાઓ ($8$ પુરુષો,$3$ સ્ત્રીઓ),($7$ પુરુષો,$4$ સ્ત્રીઓ),($6$ પુરુષો,$5$ સ્ત્રીઓ) છે.
$n = \binom{5}{3} \times \binom{8}{8} + \binom{5}{4} \times \binom{8}{7} + \binom{5}{5} \times \binom{8}{6} = (10 \times 1) + (5 \times 8) + (1 \times 28) = 10 + 40 + 28 = 78$.
આમ,$m = n = 78$.

(A) ધારો કે $10$ સમાન વસ્તુઓ $I$ છે અને $21$ ભિન્ન વસ્તુઓ $D_1, D_2, ..., D_{21}$ છે.
$10$ વસ્તુઓ પસંદ કરવા માટે,આપણે $21$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $k$ વસ્તુઓ અને $10$ સમાન વસ્તુઓમાંથી $(10-k)$ વસ્તુઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ,જ્યાં $0 \le k \le 10$.
સમાન વસ્તુઓ હોવાથી,તેમને પસંદ કરવાની માત્ર $1$ રીત છે.
કુલ રીતો = $\sum_{k=0}^{10} \binom{21}{k} = \binom{21}{0} + \binom{21}{1} + ... + \binom{21}{10}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{21} \binom{21}{k} = 2^{21}$.
$\binom{21}{k} = \binom{21}{21-k}$ હોવાથી,$\sum_{k=0}^{10} \binom{21}{k} = \sum_{k=11}^{21} \binom{21}{k}$ થાય.
ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{10} \binom{21}{k}$. તો $S + S = 2^{21}$,તેથી $S = 2^{20}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $6 \cdot ^{35}C_{r} = (k^{2} - 3) \cdot ^{36}C_{r+1}$.
નિત્યસમ $^{36}C_{r+1} = \frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$6 \cdot ^{35}C_{r} = (k^{2} - 3) \cdot \frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_{r}$.
બંને બાજુ $^{35}C_{r}$ વડે ભાગતા:
$6 = (k^{2} - 3) \cdot \frac{36}{r+1} \Rightarrow k^{2} - 3 = \frac{r+1}{6}$.
તેથી,$k^{2} = \frac{r+19}{6}$.
$k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k^{2}$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ અને $0 \le r \le 35$.
$r=5$ માટે,$k^{2} = 4 \Rightarrow k = \pm 2$.
$r=35$ માટે,$k^{2} = 9 \Rightarrow k = \pm 3$.
આમ,કુલ $4$ ક્રમિત જોડીઓ મળે છે.

(D) કુલ લખોટીઓની સંખ્યા $= 5 + 4 + 3 = 12$.
$12$ લખોટીઓમાંથી $4$ લખોટીઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= ^{12}C_{4} = 495$.
આપણે એવી રીતો શોધવી છે કે જેમાં વધુમાં વધુ $3$ લાલ લખોટી હોય.
આનો અર્થ એ છે કે: (કુલ રીતો) - (બધી $4$ લખોટીઓ લાલ હોય તેવી રીતો).
$5$ લાલ લખોટીઓમાંથી $4$ લાલ લખોટીઓ પસંદ કરવાની રીતો $= ^{5}C_{4} = 5$.
તેથી,વધુમાં વધુ $3$ લાલ લખોટીઓ હોય તેવી પસંદગીની રીતો $= 495 - 5 = 490$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1$.
તેથી,$\frac{12!}{10! \times 2!} = \frac{12 \times 11 \times 10!}{10! \times (2 \times 1)}$.
અંશ અને છેદમાંથી $10!$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{12 \times 11}{2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $6 \times 11 = 66$ થાય છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{n!}{r!(n-r)!}$ માં $n=5$ અને $r=2$ મૂકતા.
$\frac{5!}{2!(5-2)!}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{5!}{2! \times 3!}$ થાય.
ફેક્ટોરિયલનું વિસ્તરણ કરતા,$\frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!}$ મળે.
અંશ અને છેદમાંથી $3!$ ઉડાડતા,$\frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$ મળે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1$.
તેથી,$\frac{8!}{6! \times 2!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6! \times (2 \times 1)}$.
અંશ અને છેદમાંથી $6!$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{8 \times 7}{2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{56}{2} = 28$ મળે છે.

(A) આપણે સંચયનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: જો $^{n}C_{r} = ^{n}C_{k}$ હોય,તો $r = k$ અથવા $n = r + k$ થાય.
આપેલ છે કે $^{n}C_{9} = ^{n}C_{8}$,અહીં $9 \neq 8$ હોવાથી,$n = 9 + 8 = 17$ થાય.
હવે,આપણે $^{n}C_{17}$ શોધવાનું છે,જે $^{17}C_{17}$ છે.
સૂત્ર $^{n}C_{n} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $^{17}C_{17} = 1$ મળે છે.

(A) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $2 + 3 = 5$ છે. આપણે $5$ માંથી $3$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની છે. ક્રમ મહત્વનો ન હોવાથી,આપણે સંચય (combinations) નો ઉપયોગ કરીશું.
કુલ રીતો $= ^{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
$1$ પુરુષ અને $2$ સ્ત્રીઓ ધરાવતી સમિતિ બનાવવા માટે:
$2$ પુરુષોમાંથી $1$ પુરુષને $^{2}C_{1}$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
$3$ સ્ત્રીઓમાંથી $2$ સ્ત્રીઓને $^{3}C_{2}$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
રીતોની સંખ્યા $= ^{2}C_{1} \times ^{3}C_{2} = 2 \times 3 = 6$.

(A) $52$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો સંચયના સૂત્ર $^{52}C_{4}$ દ્વારા મળે છે.
$^{52}C_{4} = \frac{52!}{4!48!} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$.
દરેક પત્તું અલગ-અલગ પ્રકારનું (suit) હોય તે રીતે $4$ પત્તા પસંદ કરવા માટે,આપણે $4$ પ્રકારોમાંથી દરેકમાંથી $1$ પત્તું પસંદ કરવું પડે.
દરેક પ્રકારમાં $13$ પત્તા હોય છે. દરેક પ્રકારમાંથી $1$ પત્તું પસંદ કરવાની રીતો $^{13}C_{1} \times ^{13}C_{1} \times ^{13}C_{1} \times ^{13}C_{1} = 13 \times 13 \times 13 \times 13 = 13^{4} = 28561$ છે.
આમ,કુલ રીતો $270725$ છે અને અલગ-અલગ પ્રકારના $4$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $13^{4}$ છે.

(B) $52$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો સંચયના સૂત્ર $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
$52$ માંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવા માટે,$^{52}C_{4} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$.
પત્તાના પેકમાં $12$ મુખમુદ્રાવાળા પત્તા હોય છે.
$12$ માંથી $4$ મુખમુદ્રાવાળા પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{12}C_{4} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$ છે.

(A) $52$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો સંચયના સૂત્ર $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
કુલ રીતો $= ^{52}C_{4} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$.
પત્તાના પેકમાં $26$ લાલ અને $26$ કાળા પત્તા હોય છે.
$26$ લાલ પત્તામાંથી $2$ અને $26$ કાળા પત્તામાંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $= ^{26}C_{2} \times ^{26}C_{2}$ છે.
$^{26}C_{2} = \frac{26 \times 25}{2 \times 1} = 325$.
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= 325 \times 325 = 105625$.

(A) $52$ માંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો સંચયના સૂત્ર $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
કુલ રીતો $= ^{52}C_{4} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$.
પત્તા એક જ રંગના હોય તે માટે,તે કાં તો બધા લાલ હોવા જોઈએ અથવા બધા કાળા.
$26$ લાલ પત્તા અને $26$ કાળા પત્તા છે.
$4$ લાલ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $= ^{26}C_{4} = \frac{26 \times 25 \times 24 \times 23}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 14950$.
$4$ કાળા પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $= ^{26}C_{4} = 14950$.
એક જ રંગના પત્તા માટેની કુલ રીતો $= 14950 + 14950 = 29900$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $^{n}C_{a} = ^{n}C_{b}$ હોય,તો $a = b$ અથવા $n = a + b$ થાય.
અહીં $^{n}C_{8} = ^{n}C_{2}$ આપેલ છે,અને $8 \neq 2$ હોવાથી,$n = 8 + 2 = 10$ થાય.
હવે,આપણે $^{n}C_{2} = ^{10}C_{2}$ શોધવાનું છે.
$^{10}C_{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

(A) આપેલ છે કે $\frac{^{2n}C_{3}}{^{n}C_{3}} = \frac{12}{1}$.
સૂત્ર $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!} \times \frac{3!(n-3)!}{n!} = 12$.
ફેક્ટોરિયલનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)!}{(2n-3)!} \times \frac{(n-3)!}{n(n-1)(n-2)(n-3)!} = 12$.
$\frac{(2n)(2n-1)(2(n-1))}{n(n-1)(n-2)} = 12$.
$\frac{2(2n-1)(2)}{n-2} = 12$.
$\frac{4(2n-1)}{n-2} = 12$.
$\frac{2n-1}{n-2} = 3$.
$2n - 1 = 3(n - 2)$.
$2n - 1 = 3n - 6$.
$n = 5$.

(B) આપેલ છે કે $\frac{^{2n}C_{3}}{^{n}C_{3}} = \frac{11}{1}$.
સૂત્ર $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!} \times \frac{3!(n-3)!}{n!} = 11$
$\Rightarrow \frac{(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)!}{(2n-3)!} \times \frac{(n-3)!}{n(n-1)(n-2)(n-3)!} = 11$
$\Rightarrow \frac{(2n)(2n-1) \cdot 2(n-1)}{n(n-1)(n-2)} = 11$
$\Rightarrow \frac{2(2n-1) \cdot 2}{n-2} = 11$
$\Rightarrow \frac{4(2n-1)}{n-2} = 11$
$\Rightarrow 8n - 4 = 11n - 22$
$\Rightarrow 3n = 18$
$\Rightarrow n = 6$.

(A) $5$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓમાંથી $3$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓની ટીમ પસંદ કરવાની છે.
$5$ છોકરાઓમાંથી $3$ છોકરાઓ $^{5}C_{3}$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
$4$ છોકરીઓમાંથી $3$ છોકરીઓ $^{4}C_{3}$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
તેથી,ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ પસંદગીના પ્રકારો:
$^{5}C_{3} \times ^{4}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} \times \frac{4!}{3!1!}$
$= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{4}{1}$
$= 10 \times 4 = 40$ રીતે.

(A) આપણે $9$ દડા એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી દરેક રંગના (લાલ,સફેદ અને વાદળી) $3$ દડા હોય.
$6$ લાલ દડામાંથી $3$ લાલ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{6}C_{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
$5$ સફેદ દડામાંથી $3$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{5}C_{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ છે.
$5$ વાદળી દડામાંથી $3$ વાદળી દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{5}C_{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ છે.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ રીતોની સંખ્યા $20 \times 10 \times 10 = 2000$ છે.

(A) $52$ પત્તાના ડેકમાં $4$ એક્કા અને $48$ અન્ય પત્તા હોય છે.
આપણે $5$ પત્તા એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેમાં બરાબર $1$ એક્કો હોય.
પ્રથમ,$4$ એક્કામાંથી $1$ એક્કો $^{4}C_{1}$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
ત્યારબાદ,બાકીના $4$ પત્તા $48$ અન્ય પત્તામાંથી $^{48}C_{4}$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ સંયોજનો $= ^{4}C_{1} \times ^{48}C_{4}$ થાય.
$^{4}C_{1} = 4$.
$^{48}C_{4} = \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 194580$.
કુલ સંયોજનો $= 4 \times 194580 = 778320$.

(A) કુલ ખેલાડીઓ = $17$. બોલરોની સંખ્યા = $5$. અન્ય ખેલાડીઓની સંખ્યા = $17 - 5 = 12$.
આપણે $11$ ખેલાડીઓની ટીમ પસંદ કરવાની છે જેમાં બરાબર $4$ બોલરો હોય.
$5$ માંથી $4$ બોલરો પસંદ કરવાની રીતો = $^{5}C_{4} = \frac{5!}{4!1!} = 5$.
બાકીના $11 - 4 = 7$ ખેલાડીઓ $12$ અન્ય ખેલાડીઓમાંથી પસંદ કરવાની રીતો = $^{12}C_{7} = \frac{12!}{7!5!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$.
કુલ રીતો = $^{5}C_{4} \times ^{12}C_{7} = 5 \times 792 = 3960$.

(A) થેલીમાં $5$ કાળા અને $6$ લાલ દડા છે.
$5$ કાળા દડામાંથી $2$ કાળા દડા પસંદ કરવાની રીતો $^{5}C_{2}$ છે.
$6$ લાલ દડામાંથી $3$ લાલ દડા પસંદ કરવાની રીતો $^{6}C_{3}$ છે.
આમ,ગુણાકારના સિદ્ધાંત મુજબ,$2$ કાળા અને $3$ લાલ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો:
$= ^{5}C_{2} \times ^{6}C_{3} = \frac{5!}{2!3!} \times \frac{6!}{3!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 20 = 200$.

(A) કુલ $9$ અભ્યાસક્રમો ઉપલબ્ધ છે,જેમાંથી $2$ ચોક્કસ અભ્યાસક્રમો દરેક વિદ્યાર્થી માટે ફરજિયાત છે.
$2$ અભ્યાસક્રમો પહેલેથી જ પસંદ કરેલા હોવાથી,વિદ્યાર્થીએ બાકીના $5 - 2 = 3$ અભ્યાસક્રમો પસંદ કરવાના રહે છે.
બાકી રહેલા અભ્યાસક્રમોની સંખ્યા $9 - 2 = 7$ છે.
તેથી,બાકીના અભ્યાસક્રમો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
પસંદગીની રીતોની સંખ્યા $= ^{7}C_{3} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.

(A) ટીમમાં કોઈ પણ છોકરીનો સમાવેશ ન થતો હોવાથી,ફક્ત છોકરાઓની જ પસંદગી કરવાની રહેશે.
આપણે $7$ છોકરાઓમાંથી $5$ છોકરાઓની પસંદગી કરવાની છે.
પસંદગી કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $= ^{7}C_{5} = ^{7}C_{7-5} = ^{7}C_{2}$.
$^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.
આમ,ટીમ પસંદ કરવાની કુલ $21$ રીતો છે.

(A) પસંદ કરવાના કુલ સભ્યોની સંખ્યા $5$ છે. ટીમમાં ઓછામાં ઓછો એક છોકરો અને એક છોકરી હોવા જોઈએ.
ટીમના શક્ય સંયોજનો નીચે મુજબ છે:
$(a)$ $1$ છોકરો અને $4$ છોકરીઓ: $^{7}C_{1} \times ^{4}C_{4} = 7 \times 1 = 7$ રીતે.
$(b)$ $2$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓ: $^{7}C_{2} \times ^{4}C_{3} = 21 \times 4 = 84$ રીતે.
$(c)$ $3$ છોકરાઓ અને $2$ છોકરીઓ: $^{7}C_{3} \times ^{4}C_{2} = 35 \times 6 = 210$ રીતે.
$(d)$ $4$ છોકરાઓ અને $1$ છોકરી: $^{7}C_{4} \times ^{4}C_{1} = 35 \times 4 = 140$ રીતે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $7 + 84 + 210 + 140 = 441$.