Definition of combinations, Condition combinations Questions in Gujarati

(A) આ પ્રશ્ન $3$ પ્રકારના સિક્કાઓમાંથી $6$ સિક્કા પસંદ કરવાની રીતો શોધવા માટે છે,જ્યાં દરેક પ્રકારના પૂરતા સિક્કા ઉપલબ્ધ છે.
આ સમીકરણ $x_1 + x_2 + x_3 = 6$ ના બિન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવાની સમસ્યા છે.
પુનરાવર્તન સાથેના સંચય માટેના સૂત્ર મુજબ,રીતોની સંખ્યા $^{n + r - 1}C_r$ છે,જ્યાં $n = 3$ (સિક્કાના પ્રકાર) અને $r = 6$ (પસંદ કરવાના સિક્કા).
તેથી,કુલ રીતો $^{3 + 6 - 1}C_6 = ^8C_6$ થશે.
ગુણધર્મ $^nC_r = ^nC_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$^8C_6 = ^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ મળે છે.

(B) આ પ્રશ્ન સમીકરણ $x_1 + x_2 + x_3 = 35$ ના અ-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવા સમાન છે,જ્યાં $x_i \ge 0$.
સ્ટાર્સ અને બાર્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,રીતોની સંખ્યા $^{n+r-1}C_{r-1}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 35$ અને $r = 3$.
રીતોની સંખ્યા $= ^{35+3-1}C_{3-1} = ^{37}C_2$.
$^{37}C_2 = \frac{37 \times 36}{2} = 37 \times 18 = 666$.

(B) $10$ લાલ દડામાંથી $5$ લાલ દડા પસંદ કરવાની રીતો $^{10}C_{5}$ છે.
$8$ સફેદ દડામાંથી $4$ સફેદ દડા પસંદ કરવાની રીતો $^{8}C_{4}$ છે.
આ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,કુલ રીતો બંને સંચયોનો ગુણાકાર થશે:
કુલ રીતો $= ^{10}C_{5} \times ^{8}C_{4}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $^{14}C_4 + \sum_{j=1}^{4} {^{18-j}C_3}$ છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: $^{14}C_4 + (^{17}C_3 + ^{16}C_3 + ^{15}C_3 + ^{14}C_3)$ મળે.
પાસ્કલના નિત્યસમ $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,$^{14}C_4 + ^{14}C_3 = ^{15}C_4$ થાય.
હવે,$^{15}C_4 + ^{15}C_3 = ^{16}C_4$.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,$^{16}C_4 + ^{16}C_3 = ^{17}C_4$.
અંતે,$^{17}C_4 + ^{17}C_3 = ^{18}C_4$ મળે.

(A) સમિતિમાં $8$ સજ્જનો અને $4$ મહિલાઓમાંથી $6$ સભ્યો પસંદ કરવાના છે,જેમાં ઓછામાં ઓછી $3$ મહિલાઓ હોય.
કિસ્સો $1$: $3$ મહિલાઓ અને $3$ સજ્જનો.
રીતોની સંખ્યા = $^4C_3 \times ^8C_3 = 4 \times 56 = 224$.
કિસ્સો $2$: $4$ મહિલાઓ અને $2$ સજ્જનો.
રીતોની સંખ્યા = $^4C_4 \times ^8C_2 = 1 \times 28 = 28$.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $224 + 28 = 252$.

(A) $(2n + 1)$ અલગ-અલગ સિક્કાઓમાંથી $r$ સિક્કા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{2n+1}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વ્યક્તિ ઓછામાં ઓછા $1$ અને વધુમાં વધુ $n$ સિક્કા પસંદ કરે છે,તેથી કુલ રીતો $T$ છે:
$T = \binom{2n+1}{1} + \binom{2n+1}{2} + \dots + \binom{2n+1}{n} = 255$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{r=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{r} = 2^{2n+1}$ છે.
$\binom{2n+1}{r} = \binom{2n+1}{2n+1-r}$ હોવાથી,$\binom{2n+1}{0} = \binom{2n+1}{2n+1} = 1$ મળે.
આમ,$\binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \dots + \binom{2n+1}{n} + \binom{2n+1}{n+1} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1} = 2^{2n+1}$.
આનું સાદું રૂપ $1 + T + T + 1 = 2^{2n+1}$ થાય,એટલે કે $2 + 2T = 2^{2n+1}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $1 + T = 2^{2n}$ મળે.
$T = 255$ મૂકતા,$1 + 255 = 2^{2n}$,તેથી $256 = 2^{2n}$.
$256 = 2^8$ હોવાથી,$2n = 8$,જેનો અર્થ છે કે $n = 4$.

(D) દરેક $10$ મિત્રો માટે,માણસ પાસે $2$ વિકલ્પો છે: કાં તો તેમને આમંત્રણ આપવું અથવા આમંત્રણ ન આપવું.
$10$ મિત્રો હોવાથી,કોઈપણ સંખ્યામાં મિત્રોને આમંત્રણ આપવાની કુલ રીતો (શૂન્ય સહિત) $2^{10}$ છે.
જોકે,પ્રશ્નમાં 'એક અથવા વધુ' મિત્રોને આમંત્રણ આપવાનું કહ્યું છે,તેથી આપણે કોઈને પણ આમંત્રણ ન આપવાની સ્થિતિને બાદ કરવી પડશે.
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $2^{10} - 1$ છે.

(B) વિદ્યાર્થીએ $13$ માંથી $10$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે,જેમાં પ્રથમ $5$ માંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે.
કિસ્સો $I$: પ્રથમ $5$ માંથી $4$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $6$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા.
પસંદગીઓની સંખ્યા $= {^5C_4} \times {^8C_6} = 5 \times 28 = 140$.
કિસ્સો $II$: પ્રથમ $5$ માંથી $5$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા.
પસંદગીઓની સંખ્યા $= {^5C_5} \times {^8C_5} = 1 \times 56 = 56$.
કુલ પસંદગીઓની સંખ્યા $= 140 + 56 = 196$.

(B) વિદ્યાર્થી ઓછામાં ઓછું એક પુસ્તક $T$ રીતે પસંદ કરી શકે છે,જ્યાં $T = {}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + ... + {}^{2n+1}C_n = 63$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(2n+1)$ માટે તમામ દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો ${}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + ... + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$ થાય છે.
કારણ કે ${}^{2n+1}C_r = {}^{2n+1}C_{2n+1-r}$,તેથી ${}^{2n+1}C_0 = {}^{2n+1}C_{2n+1} = 1$.
આમ,$1 + ({}^{2n+1}C_1 + ... + {}^{2n+1}C_n) + ({}^{2n+1}C_{n+1} + ... + {}^{2n+1}C_{2n}) + 1 = 2^{2n+1}$.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $T$ છે,અને પછીના $n$ પદોનો સરવાળો પણ $T$ છે,તેથી $1 + T + T + 1 = 2^{2n+1}$.
$2 + 2T = 2^{2n+1} \Rightarrow 1 + T = 2^{2n}$.
$T = 63$ આપેલ હોવાથી,$1 + 63 = 2^{2n} \Rightarrow 64 = 2^{2n}$.
$2^6 = 2^{2n}$ $\Rightarrow 2n = 6$ $\Rightarrow n = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $^{n-1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r+1}$
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!} = (k^2 - 3) \cdot \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}$
ફેક્ટોરિયલનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{r!} = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{(r+1)r!}$
$1 = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{r+1}$
$k^2 - 3 = \frac{r+1}{n}$
$k^2 = \frac{r+1}{n} + 3$
અહીં $0 \le r \le n-1$ હોવાથી,$1 \le r+1 \le n$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{n} \le \frac{r+1}{n} \le 1$.
આમ,$k^2 \in [\frac{1}{n} + 3, 4]$.
$n \ge 2$ માટે,$\frac{1}{n} + 3$ ની કિંમત $(3, 3.5]$ અંતરાલમાં છે.
તેથી,$k \in [-2, -\sqrt{\frac{1}{n} + 3}] \cup [\sqrt{\frac{1}{n} + 3}, 2]$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(\sqrt{3}, 2)$ એ સૌથી યોગ્ય ઉપગણ છે.

(B) આપેલ પદ $S = {}^{50}C_4 + \sum_{r=1}^{6} {}^{56-r}C_3$ છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા,$S = {}^{50}C_4 + ({}^{55}C_3 + {}^{54}C_3 + {}^{53}C_3 + {}^{52}C_3 + {}^{51}C_3 + {}^{50}C_3)$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$S = ({}^{50}C_4 + {}^{50}C_3) + {}^{51}C_3 + {}^{52}C_3 + {}^{53}C_3 + {}^{54}C_3 + {}^{55}C_3$.
પાસ્કલના નિત્યસમ ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^{50}C_4 + {}^{50}C_3 = {}^{51}C_4$ થાય.
આમ,$S = ({}^{51}C_4 + {}^{51}C_3) + {}^{52}C_3 + {}^{53}C_3 + {}^{54}C_3 + {}^{55}C_3 = {}^{52}C_4 + {}^{52}C_3 + {}^{53}C_3 + {}^{54}C_3 + {}^{55}C_3$.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,$S = {}^{56}C_4$ મળે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે $^nC_{12} = ^nC_6$.
ગુણધર્મ $^nC_r = ^nC_k \Rightarrow r = k$ અથવા $r + k = n$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $12 \neq 6$ હોવાથી,$n = 12 + 6 = 18$ મળે.
હવે,$n = 18$ માટે $^nC_2$ ની ગણતરી કરતા:
$^nC_2 = ^{18}C_2 = \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 9 \times 17 = 153$.

(B) ધારો કે $4$ વ્યક્તિઓને મળતી રકમ $x_1, x_2, x_3, x_4$ છે,જેથી $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 16$,જ્યાં દરેક $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે $x_i \ge 3$ છે.
ધારો કે $y_i = x_i - 3$,જ્યાં $y_i \ge 0$.
સમીકરણમાં $x_i = y_i + 3$ મૂકતા:
$(y_1 + 3) + (y_2 + 3) + (y_3 + 3) + (y_4 + 3) = 16$
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + 12 = 16$
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 4$
સ્ટાર્સ અને બાર્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n + k - 1}{k - 1}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 4$ અને $k = 4$ છે.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{4 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.

(D) ધારો કે $S$ એ વધુમાં વધુ $n$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા છે. તેથી,$S = \binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \dots + \binom{2n+1}{n}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(2n+1)$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^{2n+1}$ છે.
ગુણધર્મ $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\binom{2n+1}{0} = \binom{2n+1}{2n+1}$
$\binom{2n+1}{1} = \binom{2n+1}{2n}$
$\dots$
$\binom{2n+1}{n} = \binom{2n+1}{n+1}$
આનો સરવાળો કરતા,$2S = \binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \dots + \binom{2n+1}{n} + \binom{2n+1}{n+1} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1} = 2^{2n+1}$.
તેથી,$S = \frac{2^{2n+1}}{2} = 2^{2n}$.

(B) સમીકરણ $x + y + z = n$ માટે ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n-1}{r-1}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 100$ અને $r = 3$ છે.
ધન પૂર્ણાંકો માટે સ્ટાર્સ અને બાર્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
ઉકેલોની સંખ્યા $= \binom{100-1}{3-1} = \binom{99}{2}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા:
$\binom{99}{2} = \frac{99 \times 98}{2 \times 1} = 99 \times 49 = 4851$.

(A) પેટીમાં કુલ દડાની સંખ્યા $2 + 3 + 4 = 9$ છે.
આપણે $3$ દડા એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક કાળો દડો હોય.
આ ગણતરી કુલ પસંદગીમાંથી એવા કિસ્સા બાદ કરીને કરી શકાય જેમાં એક પણ કાળો દડો ન હોય.
$9$ માંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
એક પણ કાળો દડો ન હોય તેવી રીતે $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો (એટલે કે $2$ સફેદ અને $4$ લાલ દડામાંથી પસંદગી,કુલ $6$ બિન-કાળા દડા) $^{6}C_{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક કાળો દડો પસંદ કરવાની રીતો $84 - 20 = 64$ છે.

(A) ધારો કે $i^{th}$ પ્રશ્નને ફાળવેલ ગુણ $n_i$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, \dots, 8$.
આપણને આપેલ છે કે $n_1 + n_2 + \dots + n_8 = 30$ અને $n_i \ge 2$.
ધારો કે $x_i = n_i - 2$,તેથી $x_i \ge 0$.
સરવાળામાં આ કિંમત મૂકતા: $(x_1 + 2) + (x_2 + 2) + \dots + (x_8 + 2) = 30$.
$x_1 + x_2 + \dots + x_8 + 16 = 30$,જેનું સાદું રૂપ $x_1 + x_2 + \dots + x_8 = 14$ થાય છે.
અઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર $\binom{n+r-1}{r-1}$ છે,જ્યાં $n = 14$ અને $r = 8$.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{14+8-1}{8-1} = \binom{21}{7} = ^{21}C_{7}$.

(B) $10$ વ્યક્તિઓ ($6$ પુરુષો + $4$ સ્ત્રીઓ) માંથી $5$ સભ્યો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ છે.
એક પણ સ્ત્રી ન હોય તેવી સમિતિ બનાવવાની રીતો (એટલે કે બધા $5$ સભ્યો પુરુષો હોય) $^6C_5 = 6$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય તેવી રીતોની સંખ્યા કુલ રીતોમાંથી એક પણ સ્ત્રી ન હોય તેવી રીતો બાદ કરવાથી મળે:
$252 - 6 = 246$.

(D) કુલ $10$ વ્યક્તિઓ ઉપલબ્ધ છે. આપણે $5$ ની ટીમ બનાવવાની છે અને તેમને હરોળમાં ગોઠવવાના છે.
$A$ નો સમાવેશ ફરજિયાત હોવાથી,$1$ સ્થાન $A$ દ્વારા ભરાઈ જાય છે,તેથી $4$ સ્થાન બાકી રહે છે.
$G$ અને $H$ નો સમાવેશ ન કરવાનો હોવાથી,બાકીના $9$ લોકોમાંથી તેમને બાદ કરતા $7$ લોકો પસંદગી માટે બાકી રહે છે.
બાકીના $7$ લોકોમાંથી $4$ લોકોની પસંદગી $^7C_4$ રીતે કરી શકાય.
કારણ કે $^7C_4 = ^7C_3$,તેથી ટીમ પસંદ કરવાની રીતો $^7C_3$ છે.
એકવાર $5$ સભ્યો પસંદ થઈ જાય (જેમાં $A$ નો સમાવેશ થાય છે),તો તેમને હરોળમાં $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $^7C_3 \times 5!$ છે.

(C) $MISSISSIPPI$ શબ્દમાં નીચે મુજબના અક્ષરો છે:
$M: 1, I: 4, S: 4, P: 2$.
એક કે તેથી વધુ અક્ષરોનો સંચય બનાવવા માટે,આપણે $M$ ( $0$ થી $1$ ),$I$ ( $0$ થી $4$ ),$S$ ( $0$ થી $4$ ),અને $P$ ( $0$ થી $2$ ) માંથી કોઈપણ સંખ્યામાં અક્ષરો પસંદ કરી શકીએ છીએ.
આ અક્ષરો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $(1+1)(4+1)(4+1)(2+1) = 2 \times 5 \times 5 \times 3 = 150$ છે.
પ્રશ્નમાં એક કે તેથી વધુ અક્ષરોના સંચય વિશે પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી,આપણે તે કિસ્સો બાદ કરવો પડશે જેમાં કોઈ પણ અક્ષર પસંદ કરવામાં આવતો નથી (એટલે કે,જ્યારે આપણે દરેક અક્ષર $0$ પસંદ કરીએ છીએ).
તેથી,સંચયોની કુલ સંખ્યા $150 - 1 = 149$ છે.

(B) ધારો કે કુલ બાળકોની સંખ્યા $n = 8$ છે. પિતા એક સમયે $r = 3$ બાળકોને લઈ જાય છે.
$8$ માંથી $3$ બાળકોને પસંદ કરવાની કુલ રીતો સંચયના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: ${^8}{C_3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
દરેક ટ્રિપમાં $3$ બાળકો હોય છે. તેથી,કુલ 'બાળક-ટ્રિપ્સ' ની સંખ્યા $56 \times 3 = 168$ છે.
કુલ $8$ બાળકો હોવાથી અને દરેક બાળકને સમાન ગણવામાં આવતા હોવાથી,દરેક બાળક કેટલી વાર બગીચામાં જશે તે $\frac{168}{8} = 21$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કોઈ ચોક્કસ બાળકને $3$ ના જૂથમાં સામેલ કરવા માટે,પિતાએ બાકીના $7$ બાળકોમાંથી $2$ વધુ બાળકો પસંદ કરવા પડે. આ ${^7}{C_2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ રીતે કરી શકાય છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $^x{C_r} ^y{C_0} + ^x{C_{r-1}} ^y{C_1} + ^x{C_{r-2}} ^y{C_2} + \dots + ^x{C_0} ^y{C_r}$ છે.
આ એક પ્રમાણિત નિત્યસમ છે જેને વેન્ડરમોન્ડના નિત્યસમ (Vandermonde's Identity) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
વેન્ડરમોન્ડના નિત્યસમ મુજબ,સંચયોના ગુણાકારનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{r} {^x{C_{r-k}} ^y{C_k}}$ એ $^{x+y}{C_r}$ બરાબર થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે $i$-માં પ્રશ્ન માટે ફાળવેલ ગુણ $x_i$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, \dots, 8$.
આપેલ છે કે $x_1 + x_2 + \dots + x_8 = 30$ અને દરેક $i$ માટે $x_i \ge 2$.
ધારો કે $y_i = x_i - 2$,તેથી $y_i \ge 0$.
સમીકરણમાં $x_i = y_i + 2$ મૂકતા:
$(y_1 + 2) + (y_2 + 2) + \dots + (y_8 + 2) = 30$
$y_1 + y_2 + \dots + y_8 + 16 = 30$
$y_1 + y_2 + \dots + y_8 = 14$
અનૃણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $^{n+r-1}C_{r-1}$ છે,જ્યાં $n = 14$ અને $r = 8$.
રીતોની સંખ્યા = $^{14+8-1}C_{8-1} = ^{21}C_7$.

(C) કુલ ખેલાડીઓ = $22$.
$4$ ખેલાડીઓને હંમેશા બહાર રાખવાના છે,તેથી બાકી રહેલા ખેલાડીઓ = $22 - 4 = 18$.
$2$ ચોક્કસ ખેલાડીઓને દરેક ટીમમાં સામેલ કરવાના છે,તેથી આપણે બીજા $11 - 2 = 9$ ખેલાડીઓ પસંદ કરવાના રહે.
આ $9$ ખેલાડીઓ બાકી રહેલા $18 - 2 = 16$ ખેલાડીઓમાંથી પસંદ કરવાના છે.
$16$ માંથી $9$ ખેલાડીઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા = $^{16}C_9$.

(C) આપેલ પદો સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2\binom{n-1}{5} = \binom{n-1}{4} + \binom{n-1}{6}$ થાય.
બંને બાજુ $2\binom{n-1}{5}$ ઉમેરતા:
$\binom{n-1}{4} + \binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{6} = 4\binom{n-1}{5}$
પાસ્કલના નિયમ $\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} = \binom{n+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\binom{n}{5} + \binom{n}{6} = 4\binom{n-1}{5}$
$\binom{n+1}{6} = 4\binom{n-1}{5}$

(A) પાસ્કલના નિત્યસમ $\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} = \binom{n+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\binom{n}{3} + \binom{n}{4} = \binom{n+1}{4}$
આપેલ અસમતા:
$\binom{n+1}{4} > \binom{n+1}{3}$
સંયોજનોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{(n+1)!}{4!(n-3)!} > \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}$
બંને બાજુ $(n+1)!$ વડે ભાગતા અને ફેક્ટોરિયલનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{1}{4 \times 3!(n-3)!} > \frac{1}{3!(n-2)(n-3)!}$
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-2}$
કારણ કે $n-2 > 0$ (કારણ કે સંયોજન વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે $n \ge 4$ હોવું જોઈએ),
$n-2 > 4$
$n > 6$

(D) આપેલ સમીકરણ $\binom{n-1}{r} = (k^2 - 3) \binom{n}{r+1}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\binom{n}{r+1} = \frac{n}{r+1} \binom{n-1}{r}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$\binom{n-1}{r} = (k^2 - 3) \frac{n}{r+1} \binom{n-1}{r}$ મળે.
જો $\binom{n-1}{r} \neq 0$ હોય,તો $1 = (k^2 - 3) \frac{n}{r+1}$,જેનો અર્થ છે કે $k^2 - 3 = \frac{r+1}{n}$.
અહીં $0 \leq r \leq n-1$ હોવાથી,$1 \leq r+1 \leq n$ થાય.
$n$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{n} \leq \frac{r+1}{n} \leq 1$ મળે.
$n$ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે,તેથી $\frac{r+1}{n}$ નો વિસ્તાર $(0, 1]$ છે.
આમ,$0 < k^2 - 3 \leq 1$,જેનું સાદું રૂપ $3 < k^2 \leq 4$ થાય.
$k$ માટે ઉકેલતા,$k \in [-2, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2]$ મળે.

(A) $6$ પુરૂષો અને $4$ સ્ત્રીઓ (કુલ $10$ વ્યક્તિઓ) માંથી $5$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની કુલ રીતો $^{10}C_5 = 252$ છે.
એક પણ સ્ત્રી ન હોય તેવી સમિતિ બનાવવાની રીતો (એટલે કે બધા $5$ સભ્યો પુરૂષો હોય) $^6C_5 = 6$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક સ્ત્રી હોય તેવી સમિતિ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા $252 - 6 = 246$ છે.

(B) આપણે પાસ્કલના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ: $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$.
આપેલ પદાવલિ: $\binom{n}{r+1} + 2\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\left[ \binom{n}{r+1} + \binom{n}{r} \right] + \left[ \binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} \right]$.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \binom{n+1}{r+1} + \binom{n+1}{r}$.
ફરીથી નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \binom{n+2}{r+1}$.

(B) $5$ પુરુષોમાંથી $3$ પુરુષો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^5C_3 = 10$ છે.
$4$ સ્ત્રીઓમાંથી $2$ સ્ત્રીઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^4C_2 = 6$ છે.
તેથી,સમિતિ બનાવવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $^5C_3 \times ^4C_2 = 10 \times 6 = 60$ થાય.

(C) આપણે સંચય માટે પાસ્કલના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r} = \binom{n+1}{r}$.
આપેલ સમીકરણ $\binom{189}{35} + \binom{189}{x} = \binom{190}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 189$ અને $r = x$ મળે છે.
નિત્યસમ સાચું ઠરવા માટે,બીજા દ્વિપદી સહગુણકમાં નીચેનું પદ $r = x$ હોવું જોઈએ અને પ્રથમમાં $r-1 = 35$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$x - 1 = 35$,જે આપણને $x = 36$ આપે છે.

(A) જો $\binom{n-1}{4}$,$\binom{n-1}{5}$,અને $\binom{n-1}{6}$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો:
$2 \binom{n-1}{5} = \binom{n-1}{4} + \binom{n-1}{6}$
$\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\binom{n-1}{4} + \binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{6} = 4 \binom{n-1}{5}$
$\binom{n}{5} + \binom{n}{6} = 4 \binom{n-1}{5}$
$\binom{n+1}{6} = 4 \binom{n-1}{5}$
સાદુરૂપ આપતા:
$\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{6!} = 4 \frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{5!}$
$\frac{(n+1)n}{6} = 4(n-5)$
$n^2 + n = 24(n-5)$
$n^2 - 23n + 120 = 0$
$(n-15)(n-8) = 0$
તેથી,$n = 15$ અથવા $n = 8$.

(C) $CORGOO$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $C, O, R, G, O, O$. ભિન્ન અક્ષરો $C, R, G, O$ છે. આવૃત્તિ $O: 3, C: 1, R: 1, G: 1$ છે.
આપણે $4$ અક્ષરો પસંદ કરવાના છે. શક્ય કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ બધા $4$ અક્ષરો ભિન્ન હોય: $^4C_4 = 1$ રીતે.
$(ii)$ $2$ અક્ષરો સમાન અને $2$ ભિન્ન હોય: $O$ ની એક જોડી પસંદ કરો $(^1C_1 = 1)$ અને બાકીના $3$ ભિન્ન અક્ષરોમાંથી $2$ પસંદ કરો $(^3C_2 = 3)$. કુલ રીતો = $1 \times 3 = 3$.
$(iii)$ $3$ અક્ષરો સમાન અને $1$ ભિન્ન હોય: $3$ $O$ પસંદ કરો $(^1C_1 = 1)$ અને બાકીના $3$ ભિન્ન અક્ષરોમાંથી $1$ પસંદ કરો $(^3C_1 = 3)$. કુલ રીતો = $1 \times 3 = 3$.
કુલ પસંદગીની રીતો = $1 + 3 + 3 = 7$.

(B) ધારો કે $4$ વ્યક્તિઓને મળતી રકમ અનુક્રમે $x_1, x_2, x_3, x_4$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 16$,જ્યાં દરેક $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે $x_i \ge 3$ છે.
ધારો કે $y_i = x_i - 3$. તેથી $y_i \ge 0$.
સમીકરણમાં $x_i = y_i + 3$ મૂકતા:
$(y_1 + 3) + (y_2 + 3) + (y_3 + 3) + (y_4 + 3) = 16$
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + 12 = 16$
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 4$
અઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\binom{n+r-1}{r-1}$ છે,જ્યાં $n=4$ અને $r=4$ છે.
રીતોની સંખ્યા $= \binom{4+4-1}{4-1} = \binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.

(B) દરેક $n$ ભિન્ન પુસ્તકો માટે,$p$ નકલો ઉપલબ્ધ છે.
કોઈ ચોક્કસ પુસ્તક માટે,આપણે $0, 1, 2, \dots, p$ નકલો પસંદ કરી શકીએ છીએ.
આમ,દરેક પુસ્તક માટે $(p + 1)$ વિકલ્પો મળે છે.
આવા $n$ પુસ્તકો હોવાથી,કોઈપણ સંખ્યામાં પુસ્તકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો (શૂન્ય પુસ્તકો પસંદ કરવાના કિસ્સા સહિત) $(p + 1)^n$ થાય.
એક અથવા વધુ પુસ્તકો પસંદ કરવા માટે,આપણે શૂન્ય પુસ્તકો પસંદ કરવાના કિસ્સાને બાદ કરવો પડે.
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $(p + 1)^n - 1$ છે.

(B) $n$ સમાન વસ્તુઓને $r$ ભિન્ન ખોખામાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી એક પણ ખોખું ખાલી ન રહે,તેનું સૂત્ર $^{n-1}C_{r-1}$ છે.
અહીં,$n = 8$ અને $r = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$^{8-1}C_{3-1} = ^7C_2$.
કિંમતની ગણતરી કરતા:
$^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $\binom{n}{x} = \binom{n}{y}$ હોય,તો કાં તો $x = y$ અથવા $x + y = n$ થાય.
કિસ્સો $1$: $3r = r + 3$
$2r = 3$
$r = 1.5$ (પૂર્ણાંક નથી,તેથી આ કિસ્સો અસ્વીકાર્ય છે).
કિસ્સો $2$: $3r + (r + 3) = 15$
$4r + 3 = 15$
$4r = 12$
$r = 3$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\binom{n+1}{3} = 2 \times \binom{n}{2}$
સૂત્ર $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(n+1)!}{3!(n-2)!} = 2 \times \frac{n!}{2!(n-2)!}$
કારણ કે $(n+1)! = (n+1) \times n!$ અને $3! = 6$,$2! = 2$:
$\frac{(n+1) \times n!}{6 \times (n-2)!} = 2 \times \frac{n!}{2 \times (n-2)!}$
બંને બાજુથી $n!$ અને $(n-2)!$ ને દૂર કરતા:
$\frac{n+1}{6} = 1$
$n+1 = 6$
$n = 5$

(A) મતદાર $1$,$2$ અથવા $3$ ઉમેદવારોને મત આપી શકે છે. \\ $6$ માંથી $1$ ઉમેદવાર પસંદ કરવાની રીતો $= ^6C_1 = 6$. \\ $6$ માંથી $2$ ઉમેદવાર પસંદ કરવાની રીતો $= ^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$. \\ $6$ માંથી $3$ ઉમેદવાર પસંદ કરવાની રીતો $= ^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$. \\ કુલ રીતો $= ^6C_1 + ^6C_2 + ^6C_3 = 6 + 15 + 20 = 41$.

(C) આપેલ છે કે $\binom{n}{r-1} = 36$,$\binom{n}{r} = 84$,અને $\binom{n}{r+1} = 126$.
પ્રથમ બે પદોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\binom{n}{r}}{\binom{n}{r-1}} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$
$\frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{3} \implies 3n - 3r + 3 = 7r \implies 3n - 10r = -3$ (સમીકરણ $1$)
પછીના બે પદોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\binom{n}{r+1}}{\binom{n}{r}} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2}$
$\frac{n-r}{r+1} = \frac{3}{2} \implies 2n - 2r = 3r + 3 \implies 2n - 5r = 3$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$4n - 10r = 6$ (સમીકરણ $3$)
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$(4n - 10r) - (3n - 10r) = 6 - (-3)$
$n = 9$
$n=9$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$2(9) - 5r = 3 \implies 18 - 5r = 3 \implies 5r = 15 \implies r = 3$.

(B) $n$ સમાન વસ્તુઓને $r$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે વહેંચવાની રીતો,જેમાં દરેક વ્યક્તિ કોઈપણ સંખ્યામાં વસ્તુઓ મેળવી શકે (શૂન્ય સહિત),તે સૂત્ર $\binom{n+r-1}{r-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 35$ અને $r = 3$ છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $= \binom{35+3-1}{3-1} = \binom{37}{2}$ છે.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $\binom{37}{2} = \frac{37 \times 36}{2 \times 1} = 37 \times 18 = 666$.

(A) $5$ સભ્યોની સમિતિમાં પુરુષોની સંખ્યા સ્ત્રીઓ કરતા વધારે હોય તે માટે નીચેના કિસ્સાઓ શક્ય છે:
કિસ્સો $1$: $4$ પુરુષો અને $1$ સ્ત્રી. રીતોની સંખ્યા = $^4C_4 \times ^6C_1 = 1 \times 6 = 6$.
કિસ્સો $2$: $3$ પુરુષો અને $2$ સ્ત્રીઓ. રીતોની સંખ્યા = $^4C_3 \times ^6C_2 = 4 \times 15 = 60$.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $6 + 60 = 66$.

(C) આપણે નિત્યસમ $\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} = \binom{n+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ: $\binom{18}{15} + \binom{18}{16} + \binom{18}{16} + \binom{17}{16} + 1 = \binom{n}{3}$.
નોંધો કે $1 = \binom{17}{17}$.
તેથી,$\binom{18}{15} + \binom{18}{16} + \binom{18}{16} + \binom{17}{16} + \binom{17}{17} = \binom{n}{3}$.
નિત્યસમ $\binom{17}{16} + \binom{17}{17} = \binom{18}{17}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\binom{18}{15} + \binom{18}{16} + \binom{18}{16} + \binom{18}{17} = \binom{n}{3}$.
નિત્યસમ $\binom{18}{16} + \binom{18}{17} = \binom{19}{17}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\binom{18}{15} + \binom{18}{16} + \binom{19}{17} = \binom{n}{3}$.
નિત્યસમ $\binom{18}{15} + \binom{18}{16} = \binom{19}{16}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\binom{19}{16} + \binom{19}{17} = \binom{n}{3}$.
નિત્યસમ $\binom{19}{16} + \binom{19}{17} = \binom{20}{17}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\binom{20}{17} = \binom{n}{3}$.
કારણ કે $\binom{20}{17} = \binom{20}{20-17} = \binom{20}{3}$,તેથી $\binom{20}{3} = \binom{n}{3}$.
આમ,$n = 20$.

(D) અનામત કક્ષાની $3$ જગ્યાઓ $5$ અનામત ઉમેદવારોમાંથી $\binom{5}{3}$ રીતે ભરી શકાય.
હવે,બાકીની $12 - 3 = 9$ જગ્યાઓ માટે કુલ $25 - 3 = 22$ ઉમેદવારો બાકી રહે છે.
આ $9$ જગ્યાઓ બાકીના $22$ ઉમેદવારોમાંથી $\binom{22}{9}$ રીતે ભરી શકાય.
તેથી,કુલ પસંદગી $\binom{5}{3} \cdot \binom{22}{9}$ રીતે થઈ શકે.

(B) આપેલ છે કે $^nC_{15} = ^nC_8$.
ગુણધર્મ $^nC_x = ^nC_y \implies x + y = n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $n = 15 + 8 = 23$ મળે છે.
હવે,આપણે $^nC_{21} = ^{23}C_{21}$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
ગુણધર્મ $^nC_r = ^nC_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$^{23}C_{21} = ^{23}C_{23-21} = ^{23}C_2$ થાય.
$^{23}C_2 = \frac{23 \times 22}{2 \times 1} = 23 \times 11 = 253$ ગણતરી કરતા મળે છે.

(A) પ્રાણી સંગ્રહાલયમાં જવાની રીતોની સંખ્યા એ $8$ બાળકોમાંથી $3$ બાળકો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા જેટલી છે.
તેથી,માંગેલ રીતોની સંખ્યા:
$^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.

(D) $8$ વ્યક્તિઓ ($4$ પતિ અને $4$ પત્ની) માંથી $4$ વ્યક્તિઓ એવી રીતે પસંદ કરવાની છે કે જેમાં કોઈ પણ જોડકું ન હોય.
ધારો કે જોડકાં $(H_1, W_1), (H_2, W_2), (H_3, W_3), (H_4, W_4)$ છે.
પ્રથમ,આપણે $4$ જોડકાંમાંથી $4$ જોડકાં પસંદ કરીએ,જે $^4C_4 = 1$ રીતે થઈ શકે.
દરેક પસંદ કરેલા જોડકામાંથી આપણે કાં તો પતિ અથવા પત્નીને પસંદ કરી શકીએ છીએ. આ માટે $2^4$ રીતો મળે.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= ^4C_4 \times 2^4 = 1 \times 16 = 16$.

(C) કુલ $4$ ઓફિસર અને $8$ કોન્સ્ટેબલમાંથી $6$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની છે.
ઓછામાં ઓછા એક ઓફિસરનો સમાવેશ થાય તે માટે પૂરક રીતનો ઉપયોગ કરતા: કુલ રીતો - ઓફિસર ન હોય તેવી રીતો.
કુલ $12$ $(4+8)$ વ્યક્તિઓમાંથી $6$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની કુલ રીતો $\binom{12}{6} = 924$ છે.
કોઈપણ ઓફિસર ન હોય (એટલે કે બધા $6$ કોન્સ્ટેબલ હોય) તેવી પસંદગીની રીતો $\binom{8}{6} = \binom{8}{2} = 28$ છે.
આમ,ઓછામાં ઓછા એક ઓફિસર હોય તેવી પસંદગીની રીતો = $924 - 28 = 896$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha = \binom{m}{2} = \frac{m(m-1)}{2}$
હવે,$\binom{\alpha}{2} = \frac{\alpha(\alpha-1)}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{m(m-1)}{2} \right] \left[ \frac{m(m-1)}{2} - 1 \right]$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{m(m-1)}{2} \cdot \frac{m^2-m-2}{2} = \frac{1}{8} m(m-1)(m-2)(m+1)$
$= 3 \cdot \frac{(m+1)m(m-1)(m-2)}{24} = 3 \binom{m+1}{4}$

(C) બે સમાન રંગના દડા પસંદ કરવા માટે,આપણી પાસે બે પરસ્પર નિવારક કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $4$ ભિન્ન કાળા દડામાંથી $2$ કાળા દડા પસંદ કરવા.
પસંદગીના પ્રકાર = $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
કિસ્સો $2$: $3$ ભિન્ન સફેદ દડામાંથી $2$ સફેદ દડા પસંદ કરવા.
પસંદગીના પ્રકાર = $^3C_2 = ^3C_1 = 3$.
કુલ પસંદગીના પ્રકાર = $6 + 3 = 9$.