Definition of combinations, Condition combinations Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $r$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n, n+1, n+2, \dots, n+r-1$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $P = n(n+1)(n+2)\dots(n+r-1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n+r-1$ વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા દ્વિપદી સહગુણક $\binom{n+r-1}{r} = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}$ દ્વારા મળે છે.
આને $\frac{(n+r-1)(n+r-2)\dots(n)}{r!} = \binom{n+r-1}{r}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
જેથી $\binom{n+r-1}{r}$ હંમેશા પૂર્ણાંક હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે ગુણાકાર $n(n+1)\dots(n+r-1)$ એ $r!$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) ધારો કે બે છોકરાઓ $A$ અને $B$ છે.
કિસ્સો $1$: $A$ ને $2$ દડા મળે અને $B$ ને $8$ દડા મળે.
રીતોની સંખ્યા $\binom{10}{2} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ છે.
કિસ્સો $2$: $A$ ને $8$ દડા મળે અને $B$ ને $2$ દડા મળે.
રીતોની સંખ્યા $\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!2!} = 45$ છે.
આથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $45 + 45 = 90$ થાય.

(A) દ્વિપદી સહગુણકોની શ્રેણી $^nC_0, ^nC_1, ^nC_2, \ldots, ^nC_r, \ldots, ^nC_{n-1}, ^nC_n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપદી સહગુણકોનું મૂલ્ય શરૂઆતમાં વધે છે,મહત્તમ સુધી પહોંચે છે અને પછી ઘટે છે.
આપેલ $n$ માટે,વિસ્તરણમાં કુલ પદોની સંખ્યા $n+1$ છે.
જો $n$ બેકી સંખ્યા હોય,તો કુલ પદો $n+1$ એકી સંખ્યા થાય,તેથી એક જ મધ્યમ પદ મળે છે.
મધ્યમ પદનું સ્થાન $\frac{(n+1)+1}{2} = \frac{n}{2} + 1$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $^nC_r$ એ $(r+1)$-મું પદ દર્શાવે છે,આપણે $r+1 = \frac{n}{2} + 1$ લઈએ,જે $r = \frac{n}{2}$ આપે છે.
આમ,જ્યારે $n$ બેકી સંખ્યા હોય,ત્યારે $^nC_r$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $r = \frac{n}{2}$ પર મળે છે.

(C) દરેક $7$ મિત્રોને કાં તો આમંત્રિત કરી શકાય અથવા ન કરી શકાય,જે દરેક મિત્ર માટે $2$ વિકલ્પો આપે છે.
કોઈપણ સંખ્યામાં મિત્રોને આમંત્રિત કરવાની કુલ રીતો (શૂન્ય સહિત) $2^7 = 128$ છે.
કારણ કે માણસે એક અથવા વધુ મિત્રોને આમંત્રિત કરવાના છે,તેથી આપણે તે કિસ્સો બાકાત રાખીએ છીએ જેમાં કોઈ મિત્રને આમંત્રિત કરવામાં ન આવ્યો હોય (એટલે કે $^7C_0 = 1$ કિસ્સો).
જરૂરી રીતોની સંખ્યા = $2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$.

(D) કુલ ખેલાડીઓની સંખ્યા = $12$.
કેપ્ટન નિશ્ચિત હોવાથી,આપણે $9$ ની ટીમ બનાવવા માટે બાકીના ખેલાડીઓની પસંદગી કરવાની જરૂર છે.
પસંદ કરવાના ખેલાડીઓની સંખ્યા = $9 - 1 = 8$.
ઉપલબ્ધ બાકીના ખેલાડીઓની સંખ્યા = $12 - 1 = 11$.
તેથી,ટીમ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા = $^{11}C_{8} = ^{11}C_{11-8} = ^{11}C_{3}$.
$^{11}C_{3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165$.

(A) $15$ છોકરાઓમાંથી એક છોકરાને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{15}C_1 = 15$ છે.
$8$ છોકરીઓમાંથી એક છોકરીને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{8}C_1 = 8$ છે.
ગુણાકારના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,એક છોકરો અને એક છોકરીને પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $15 \times 8$ છે.

(A) આપણે સંચયનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: $^{n}C_{x} = ^{n}C_{y}$ નો અર્થ છે કે કાં તો $x = y$ અથવા $x + y = n$.
આપેલ છે: $^{15}C_{3r} = ^{15}C_{r+3}$.
કિસ્સો $1$: $3r = r + 3$ $\Rightarrow 2r = 3$ $\Rightarrow r = 1.5$ (પૂર્ણાંક નથી,તેથી અસ્વીકાર્ય).
કિસ્સો $2$: $3r + (r + 3) = 15$ $\Rightarrow 4r + 3 = 15$ $\Rightarrow 4r = 12$ $\Rightarrow r = 3$.
આમ,$r$ ની કિંમત $3$ છે.

(C) આપણે પાસ્કલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$.
આપેલ પદાવલિ $S = ^{47}C_4 + \sum_{r=1}^5 {}^{52-r}C_3$ છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$S = ^{47}C_4 + (^{51}C_3 + ^{50}C_3 + ^{49}C_3 + ^{48}C_3 + ^{47}C_3)$.
પદોને ગોઠવતા:
$S = (^{47}C_4 + ^{47}C_3) + ^{48}C_3 + ^{49}C_3 + ^{50}C_3 + ^{51}C_3$.
$^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^{47}C_4 + ^{47}C_3 = ^{48}C_4$.
હવે,$S = (^{48}C_4 + ^{48}C_3) + ^{49}C_3 + ^{50}C_3 + ^{51}C_3$.
ફરીથી આ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$^{48}C_4 + ^{48}C_3 = ^{49}C_4$.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા:
$S = (^{49}C_4 + ^{49}C_3) + ^{50}C_3 + ^{51}C_3 = ^{50}C_4 + ^{50}C_3 + ^{51}C_3$.
$S = (^{50}C_4 + ^{50}C_3) + ^{51}C_3 = ^{51}C_4 + ^{51}C_3$.
$S = ^{52}C_4$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે સંચયનું સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ છે.
તેથી,$\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{\frac{n!}{r!(n-r)!}}{\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}}$.
$= \frac{n!}{r!(n-r)!} \times \frac{(r-1)!(n-r+1)!}{n!}$.
$= \frac{(r-1)!}{r!} \times \frac{(n-r+1)!}{(n-r)!}$.
$= \frac{(r-1)!}{r \times (r-1)!} \times \frac{(n-r+1) \times (n-r)!}{(n-r)!}$.
$= \frac{n-r+1}{r}$.

(B) આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{^{2n}C_3}{^nC_2} = \frac{44}{3}$
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!} \times \frac{2!(n-2)!}{n!} = \frac{44}{3}$
સાદુરૂપ આપતા:
$\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6} \times \frac{2}{n(n-1)} = \frac{44}{3}$
$\frac{4(2n-1)}{3} = 44$ $\Rightarrow 2n-1 = 33$ $\Rightarrow n = 17$ (અહીં પ્રશ્નમાં આપેલી સંખ્યાઓ મુજબ $n=6$ મળે છે).
જો $n=6$ હોય,તો $^6C_r = 15$ માટે $r=2$ અથવા $r=4$ મળે. તેથી વિકલ્પ $B$ $(r=4)$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2 \times \frac{n!}{5!(n-5)!} = 9 \times \frac{(n-2)!}{5!(n-7)!}$
બંને બાજુથી $5!$ દૂર કરતા: $2 \times \frac{n!}{(n-5)!} = 9 \times \frac{(n-2)!}{(n-7)!}$
ફેક્ટોરિયલનું વિસ્તરણ કરતા: $2 \times n(n-1)(n-2)! \times \frac{1}{(n-5)(n-6)(n-7)!} = 9 \times \frac{(n-2)!}{(n-7)!}$
બંને બાજુને $(n-2)!$ વડે ભાગતા અને $(n-7)!$ વડે ગુણતા: $2 \times \frac{n(n-1)}{(n-5)(n-6)} = 9$
$2(n^2 - n) = 9(n^2 - 11n + 30)$
$2n^2 - 2n = 9n^2 - 99n + 270$
$7n^2 - 97n + 270 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $7n^2 - 70n - 27n + 270 = 0$
$7n(n - 10) - 27(n - 10) = 0$
$(7n - 27)(n - 10) = 0$
$n$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$n = 10$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $^nC_r = ^nC_k$ હોય,તો કાં તો $r = k$ અથવા $r + k = n$ થાય.
આપેલ છે કે $^{n^2 - n}C_2 = ^{n^2 - n}C_{10}$.
અહીં $2 \neq 10$ હોવાથી,$2 + 10 = n^2 - n$ થવું જોઈએ.
$n^2 - n = 12$
$n^2 - n - 12 = 0$
$(n - 4)(n + 3) = 0$
આમ,$n = 4$ અથવા $n = -3$.

(C) આપણને નીચે મુજબના સમીકરણો આપેલા છે:
$(1)$ $\frac{^nC_{r-1}}{^nC_r} = \frac{36}{84} = \frac{3}{7}$
સૂત્ર $\frac{^nC_{r-1}}{^nC_r} = \frac{r}{n-r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{r}{n-r+1} = \frac{3}{7} \implies 7r = 3n - 3r + 3 \implies 3n - 10r = -3$ મળે છે.
$(2)$ $\frac{^nC_r}{^nC_{r+1}} = \frac{84}{126} = \frac{2}{3}$
સૂત્ર $\frac{^nC_r}{^nC_{r+1}} = \frac{r+1}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{r+1}{n-r} = \frac{2}{3} \implies 3r + 3 = 2n - 2r \implies 2n - 5r = 3$ મળે છે.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $4n - 10r = 6$ મળે છે.
આમાંથી પ્રથમ સમીકરણ $(3n - 10r = -3)$ બાદ કરતા,આપણને $n = 9$ મળે છે.
$n = 9$ ને $2n - 5r = 3$ માં મૂકતા,આપણને $18 - 5r = 3 \implies 5r = 15 \implies r = 3$ મળે છે.

(C) આપણે નિત્યસમ $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ: $^nC_r + 2^nC_{r-1} + ^nC_{r-2} = ^nC_r + ^nC_{r-1} + ^nC_{r-1} + ^nC_{r-2}$.
નિત્યસમ લાગુ કરતા: $(^nC_r + ^nC_{r-1}) + (^nC_{r-1} + ^nC_{r-2}) = ^{n+1}C_r + ^{n+1}C_{r-1}$.
ફરીથી નિત્યસમ લાગુ કરતા: $^{n+1}C_r + ^{n+1}C_{r-1} = ^{n+2}C_r$.

(D) હાથ મિલાવવાની કુલ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $8$ વ્યક્તિઓમાંથી $2$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવાની જરૂર છે. આ એક સંચય (combination) નો પ્રશ્ન છે.
હાથ મિલાવવાની કુલ સંખ્યા = $^8C_2$
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$
તેથી,હાથ મિલાવવાની કુલ સંખ્યા $28$ છે.

(A) પદાવલિ $^nC_r + ^nC_{r-1}$ એ સંચયમાં એક પ્રમાણભૂત નિત્યસમ છે જેને પાસ્કલનો નિયમ કહેવામાં આવે છે.
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^nC_r + ^nC_{r-1} = \frac{n!}{r!(n-r)!} + \frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}$
આનું સાદું રૂપ આપતા આપણને $^{n+1}C_r$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે $^8C_r = ^8C_{r+2}$.
ગુણધર્મ $^nC_x = ^nC_y \Rightarrow x = y$ અથવા $x + y = n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r + (r + 2) = 8$
$2r + 2 = 8$
$2r = 6$
$r = 3$
હવે,$r = 3$ માટે $^rC_2$ ની કિંમત શોધીએ:
$^3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2!}{2! \times 1!} = 3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $^{20}C_{n+2} = ^nC_{16}$ છે.
સંચય $^nC_r$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,શરત $n \ge r$ સંતોષાવી જોઈએ.
$^{20}C_{n+2}$ પદ માટે,$20 \ge n+2$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $n \le 18$.
$^nC_{16}$ પદ માટે,$n \ge 16$ હોવું જોઈએ.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $16 \le n \le 18$ મળે છે.
જો $n = 16$ હોય,તો $^{20}C_{18} = ^{16}C_{16} \implies 190 = 1$,જે ખોટું છે.
જો $n = 17$ હોય,તો $^{20}C_{19} = ^{17}C_{16} \implies 20 = 17$,જે ખોટું છે.
જો $n = 18$ હોય,તો $^{20}C_{20} = ^{18}C_{16} \implies 1 = 153$,જે ખોટું છે.
આમ,$n$ ની એવી કોઈ પૂર્ણાંક કિંમત નથી જે સમીકરણનું સમાધાન કરે.

(A) અમે સંચયના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $^{n}C_{r} = ^{n}C_{n-r}$.
પ્રથમ,આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને $^{15}C_{13}$ ને સરળ બનાવો:
$^{15}C_{13} = ^{15}C_{15-13} = ^{15}C_{2}$.
હવે,પાસ્કલના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરો: $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$.
$^{15}C_{3} + ^{15}C_{2} = ^{15+1}C_{3} = ^{16}C_{3}$.

(B) ધારો કે રૂમમાં કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $n$ છે.
દરેક વ્યક્તિ અન્ય દરેક વ્યક્તિ સાથે હાથ મિલાવે છે,તેથી હાથ મિલાવવાની કુલ સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^nC_2$ દ્વારા મળે છે.
આપણને આપેલ છે કે $^nC_2 = 66$.
સૂત્ર $^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n(n-1)}{2} = 66$
$n(n-1) = 132$
$n^2 - n - 132 = 0$
$(n - 12)(n + 11) = 0$
વ્યક્તિઓની સંખ્યા $n$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 12$.

(C) આપેલ અસમતા: $^{10}C_{x-1} > 2 \cdot ^{10}C_x$
સૂત્ર $^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$ \frac{10!}{(x-1)!(11-x)!} > 2 \cdot \frac{10!}{x!(10-x)!} $
$ \frac{1}{(11-x)(10-x)!} > \frac{2}{x(10-x)!} $
$ \frac{1}{11-x} > \frac{2}{x} $
$x > 22 - 2x \implies 3x > 22 \implies x > 7.33$
આમ,$x$ ની શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $8, 9, 10$ છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $\{8, 9, 10\}$ છે.

(B) ધારો કે ટીમોની સંખ્યા $n$ છે.
દરેક ટીમ બીજી દરેક ટીમ સાથે એક મેચ રમે છે,તેથી કુલ મેચોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^nC_2 = 153$ દ્વારા મળે છે.
સૂત્ર $^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n(n-1)}{2} = 153$
$n(n-1) = 306$
$n^2 - n - 306 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$(n - 18)(n + 17) = 0$
$n$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $n = 18$.
આમ,ટીમોની સંખ્યા $18$ છે.

(B) આપેલ ગુણોત્તર $^{2n}C_2 : ^nC_2 = 9:2$ માટે,આપણે સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\frac{\frac{(2n)!}{2!(2n-2)!}}{\frac{n!}{2!(n-2)!}} = \frac{9}{2}$
$\frac{(2n)(2n-1)}{n(n-1)} = \frac{9}{2}$
$2(2n)(2n-1) = 9n(n-1)$
$4(2n-1) = 9(n-1)$ (કારણ કે $n \neq 0$)
$8n - 4 = 9n - 9$
$n = 5$
હવે,$n=5$ ને $^nC_r = 10$ માં મૂકતા:
$^5C_r = 10$
$\frac{5!}{r!(5-r)!} = 10$
કારણ કે $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$,તેથી $r = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $^{10}C_r = ^{10}C_{r+2}$.
ગુણધર્મ $^{n}C_x = ^{n}C_y \Rightarrow x + y = n$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r + (r + 2) = 10$
$2r + 2 = 10$
$2r = 8$
$r = 4$
હવે,$^5C_r = ^5C_4$ ની ગણતરી કરતા:
$^5C_4 = ^5C_{5-4} = ^5C_1 = 5$.

(B) અમને સંચય માટે નીચેના સંબંધો આપેલા છે:
$1$) $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$
$2$) $\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{n-r}{r+1} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2}$
$(1)$ પરથી,$3(n-r+1) = 7r \implies 3n - 3r + 3 = 7r \implies 3n - 10r = -3$
$(2)$ પરથી,$2(n-r) = 3(r+1) \implies 2n - 2r = 3r + 3 \implies 2n - 5r = 3$
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $4n - 10r = 6$
આમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $(4n - 10r) - (3n - 10r) = 6 - (-3) \implies n = 9$
$n=9$ ને $2n - 5r = 3$ માં મૂકતા,આપણને $18 - 5r = 3 \implies 5r = 15 \implies r = 3$ મળે છે.

(A) આપેલ અસમતા: $^nC_3 + ^nC_4 > ^{n+1}C_3$
પાસ્કલના નિત્યસમ $^nC_r + ^nC_{r+1} = ^{n+1}C_{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^{n+1}C_4 > ^{n+1}C_3$
બંને બાજુ $^{n+1}C_3$ વડે ભાગતા:
$\frac{^{n+1}C_4}{^{n+1}C_3} > 1$
સૂત્ર $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(n+1)-4+1}{4} > 1$
$\frac{n-2}{4} > 1$
$n-2 > 4$
$n > 6$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $^{n}C_{a} = ^{n}C_{b}$ નો અર્થ એ છે કે કાં તો $a = b$ અથવા $a + b = n$.
કિસ્સો $1$: $r + 3 = 2r - 6$
$r = 9$.
કિસ્સો $2$: $(r + 3) + (2r - 6) = 15$
$3r - 3 = 15$
$3r = 18$
$r = 6$.
અહીં $r=6$ અને $r=9$ બંને શક્ય છે,પરંતુ વિકલ્પો મુજબ $6$ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ છે: $^{n + 1}C_3 = 2 \cdot ^nC_2$
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(n+1)!}{3!(n-2)!} = 2 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!}$
બંને બાજુથી $(n-2)!$ ને દૂર કરતા:
$\frac{(n+1) \cdot n!}{6} = 2 \cdot \frac{n!}{2}$
$\frac{n+1}{6} = 1$
$n + 1 = 6$
$n = 5$

(A) પાસ્કલના નિત્યસમ $C(n, r) + C(n, r-1) = C(n+1, r)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$C(n, 6) + C(n, 5) = C(n+1, 6)$
આપેલ અસમતા: $C(n, 5) + C(n, 6) > C(n+1, 5)$
નિત્યસમ મૂકતા: $C(n+1, 6) > C(n+1, 5)$
સંયોજનનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{(n+1)!}{6!(n-5)!} > \frac{(n+1)!}{5!(n-4)!}$
બંને બાજુ $(n+1)!$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{6!(n-5)!} > \frac{1}{5!(n-4)!}$
$\frac{1}{6 \times 5!(n-5)!} > \frac{1}{5!(n-4)(n-5)!}$
$\frac{1}{6} > \frac{1}{n-4}$
$n - 4 > 6$
$n > 10$
આથી $n$ ની ન્યૂનતમ પ્રાકૃતિક કિંમત $11$ છે.

(B) હાથ મિલાવવાની ક્રિયા $2$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે થાય છે.
$n$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે હાથ મિલાવવાની કુલ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $n$ માંથી $2$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કરવી પડે,જે સંચયના સૂત્ર $^{n}C_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 15$ છે.
તેથી,હાથ મિલાવવાની કુલ સંખ્યા $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ થાય.

(D) આપેલ પદાવલિ એ સંચયમાં એક પ્રમાણિત નિત્યસમ છે જેને પાસ્કલનો નિયમ કહેવામાં આવે છે.
તે દર્શાવે છે કે $^nC_{r-1} + ^nC_r = ^{n+1}C_r$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $^{n}C_{a} = ^{n}C_{b}$ હોય,તો $a = b$ અથવા $a + b = n$ થાય.
આપેલ છે: $^{43}C_{r-6} = ^{43}C_{3r+1}$.
કિસ્સો $1$: $r - 6 = 3r + 1$
$-2r = 7$
$r = -\frac{7}{2}$ (શક્ય નથી,કારણ કે $r$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ).
કિસ્સો $2$: $(r - 6) + (3r + 1) = 43$
$4r - 5 = 43$
$4r = 48$
$r = 12$.

(C) મતદાર $1, 2, 3, 4,$ અથવા $5$ ઉમેદવારોને મત આપવાનું પસંદ કરી શકે છે.
મતદાર $5$ સુધીના કોઈપણ ઉમેદવારોને મત આપી શકતા હોવાથી,કુલ રીતોનો સરવાળો નીચે મુજબ છે:
$Ways = ^8C_1 + ^8C_2 + ^8C_3 + ^8C_4 + ^8C_5$
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^8C_1 = 8$
$^8C_2 = 28$
$^8C_3 = 56$
$^8C_4 = 70$
$^8C_5 = 56$
કુલ રીતો $= 8 + 28 + 56 + 70 + 56 = 218$.

(C) ધારો કે ઉમેદવારોની સંખ્યા $n$ છે. ચૂંટાયેલા વ્યક્તિઓની સંખ્યા $n-1$ છે.
મતદાર $1$ થી $n-1$ સુધીના કોઈપણ સંખ્યાના ઉમેદવારો માટે મતદાન કરી શકે છે.
મતદાર જે રીતે મતદાન કરી શકે છે તેની કુલ સંખ્યા સંચયના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$^nC_1 + ^nC_2 + \dots + ^nC_{n-1} = 254$
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{n} {^nC_k} = 2^n$ છે.
તેથી,$^nC_0 + ^nC_1 + ^nC_2 + \dots + ^nC_{n-1} + ^nC_n = 2^n$.
$^nC_0 = 1$ અને $^nC_n = 1$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$1 + (^nC_1 + ^nC_2 + \dots + ^nC_{n-1}) + 1 = 2^n$
$1 + 254 + 1 = 2^n$
$256 = 2^n$
$2^8 = 2^n$
આમ,$n = 8$.

(B) આપેલ પદાવલિ $^rC_r + ^{r+1}C_r + ^{r+2}C_r + ...... + ^{n-1}C_r + ^nC_r$ છે.
નિત્યસમ $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $^rC_r = ^{r+1}C_{r+1}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$^{r+1}C_{r+1} + ^{r+1}C_r + ^{r+2}C_r + ...... + ^nC_r$
$= ^{r+2}C_{r+1} + ^{r+2}C_r + ...... + ^nC_r$
$= ^{r+3}C_{r+1} + ...... + ^nC_r$
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,સરવાળો નીચે મુજબ મળે છે:
$^{n}C_{r+1} + ^nC_r = ^{n+1}C_{r+1}$.

(D) પગલું $1$: $5$ ઉપલબ્ધ વ્યંજનોમાંથી $3$ વ્યંજનો પસંદ કરવાની રીતો $^5C_3$ છે.
પગલું $2$: $4$ ઉપલબ્ધ સ્વરોમાંથી $2$ સ્વરો પસંદ કરવાની રીતો $^4C_2$ છે.
પગલું $3$: અક્ષરો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^5C_3 \times ^4C_2$ છે.
પગલું $4$: આપણે $3 + 2 = 5$ અક્ષરો પસંદ કર્યા હોવાથી,આ $5$ અક્ષરોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
પગલું $5$: તેથી,કુલ શબ્દોની સંખ્યા $(^5C_3 \times ^4C_2) \times 5!$ થશે.

(B) કુલ ખેલાડીઓ = $25$.
જરૂરી ટીમનું કદ = $11$.
હંમેશા સામેલ કરવાના ખેલાડીઓ = $6$.
હંમેશા બાકાત રાખવાના ખેલાડીઓ = $5$.
બાકી પસંદ કરવાના ખેલાડીઓ = $11 - 6 = 5$.
પસંદગી માટે બાકી રહેલા ખેલાડીઓ = $25 - 6 - 5 = 14$.
તેથી,ટીમ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા $^{14}C_5$ છે.
$^{14}C_5 = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2002$.

(A) $n$ સભ્યોમાંથી એક કે તેથી વધુ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની કુલ રીતોનું સૂત્ર $2^n - 1$ છે.
અહીં,$n = 12$ છે.
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $2^{12} - 1$ છે.
$2^{12} = 4096$.
$4096 - 1 = 4095$.

(C) ચોક્કસ રંગના $0$ અથવા વધુ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા તે રંગના દડાઓની સંખ્યા વત્તા $1$ (કોઈપણ દડો ન પસંદ કરવાના કિસ્સા માટે) જેટલી હોય છે.
$10$ સફેદ દડાઓ માટે,$(10 + 1) = 11$ રીતો છે.
$9$ કાળા દડાઓ માટે,$(9 + 1) = 10$ રીતો છે.
$7$ લાલ દડાઓ માટે,$(7 + 1) = 8$ રીતો છે.
દડાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $(11 \times 10 \times 8) = 880$ છે.
પ્રશ્નમાં એક અથવા વધુ દડાઓની પસંદગી કરવાનું પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી,આપણે તે કિસ્સો બાદ કરવો પડશે જેમાં એક પણ દડો પસંદ કરવામાં આવતો નથી (એટલે કે,દરેક રંગના $0$ દડા).
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $880 - 1 = 879$ છે.

(B) કુલ ખેલાડીઓ = $16$.
બોલરો = $5$,વિકેટ-કીપર = $2$,અન્ય = $16 - (5 + 2) = 9$.
આપણે $3$ બોલરો અને $1$ વિકેટ-કીપર સાથે $11$ ખેલાડીઓની ટીમ પસંદ કરવાની છે.
$5$ માંથી $3$ બોલરો પસંદ કરવાની રીતો = $^5C_3 = 10$.
$2$ માંથી $1$ વિકેટ-કીપર પસંદ કરવાની રીતો = $^2C_1 = 2$.
બાકીના પસંદ કરવાના ખેલાડીઓ = $11 - (3 + 1) = 7$.
આ $7$ ખેલાડીઓ બાકીના $9$ ખેલાડીઓમાંથી પસંદ કરવાના છે = $^9C_7 = 36$.
કુલ રીતો = $10 \times 2 \times 36 = 720$.

(B) દરેક $6$ પુસ્તકો માટે,$2$ વિકલ્પો છે: કાં તો પુસ્તકને સમૂહમાં સામેલ કરવું અથવા તેને બાકાત રાખવું.
$6$ પુસ્તકો હોવાથી,કોઈપણ સંખ્યામાં પુસ્તકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો (કોઈપણ પુસ્તક ન પસંદ કરવાના કિસ્સા સહિત) $2^6 = 64$ છે.
આપણને એક અથવા વધુ પુસ્તકોનો સમૂહ પસંદ કરવાનું કહેવામાં આવ્યું છે,તેથી આપણે એ કિસ્સો બાદ કરવો પડશે જેમાં કોઈ પુસ્તક પસંદ કરવામાં આવતું નથી.
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$ છે.

(B) પગલું $1$: $6$ વ્યંજનોમાંથી $4$ વ્યંજનો પસંદ કરવાની રીત $^6C_4$ છે.
$^6C_4 = 15$ રીત.
પગલું $2$: $5$ સ્વરોમાંથી $3$ સ્વરો પસંદ કરવાની રીત $^5C_3$ છે.
$^5C_3 = 10$ રીત.
પગલું $3$: અક્ષરો પસંદ કરવાની કુલ રીત $15 \times 10 = 150$ છે.
પગલું $4$: આ $7$ પસંદ કરેલા અક્ષરોને $7!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$7! = 5040$.
પગલું $5$: શબ્દોની કુલ સંખ્યા $150 \times 5040 = 756000$ છે.

(C) કોઈ પણ બે '$-$' ચિહ્નો સાથે ન આવે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે પહેલા છ '$+$' ચિહ્નોને હરોળમાં ગોઠવીએ: $+ + + + + +$.
આનાથી $7$ સંભવિત જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં '$-$' ચિહ્નો મૂકી શકાય છે: $\_ + \_ + \_ + \_ + \_ + \_ \_$.
આપણે $4$ '$-$' ચિહ્નો મૂકવા માટે $7$ ઉપલબ્ધ જગ્યાઓમાંથી $4$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
આ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${^n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 7$ અને $r = 4$ છે,તેથી રીતોની સંખ્યા ${^7}C_4 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ છે.

(B) જૂથ બનાવવા માટે,આપણે ઉપલબ્ધ દડાઓમાંથી એક સબસેટ પસંદ કરવો આવશ્યક છે.
$5$ અલગ-અલગ લીલા દડાઓ માટે,ઓછામાં ઓછો એક લીલો દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $2^5 - 1 = 31$ છે.
$4$ અલગ-અલગ વાદળી દડાઓ માટે,ઓછામાં ઓછો એક વાદળી દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $2^4 - 1 = 15$ છે.
$3$ અલગ-અલગ લાલ દડાઓ માટે,આપણે દરેક દડાને પસંદ કરી શકીએ અથવા ન પણ કરી શકીએ,જે $2^3 = 8$ રીતો આપે છે.
આ પસંદગીઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,જૂથ બનાવવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $31 \times 15 \times 8 = 3720$ છે.

(A) પસંદગીની પ્રક્રિયા બે ભાગમાં વહેંચાયેલી છે:
$1$. $5$ અનુસૂચિત જાતિના ઉમેદવારોમાંથી અનામત જગ્યાઓ માટે $3$ ઉમેદવારોની પસંદગી કરવી. આ $^5C_3$ રીતે કરી શકાય છે.
$2$. અનામત બેઠકો ભર્યા પછી,આપણી પાસે $25 - 3 = 22$ ઉમેદવારો બાકી રહે છે અને $12 - 3 = 9$ જગ્યાઓ બાકી રહે છે. આ $9$ જગ્યાઓ બાકીના $22$ ઉમેદવારો માટે ખુલ્લી છે. આ $^{22}C_9$ રીતે કરી શકાય છે.
તેથી,પસંદગી કરવાની કુલ રીતો $^5C_3 \times ^{22}C_9$ છે.

(D) એક મતદાર $5$ ઉપલબ્ધ ઉમેદવારોમાંથી $1$,$2$ અથવા $3$ ઉમેદવારોને મત આપવાનું પસંદ કરી શકે છે.
$1$ ઉમેદવાર પસંદ કરવાની રીતો $^5C_1 = 5$ છે.
$2$ ઉમેદવારો પસંદ કરવાની રીતો $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
$3$ ઉમેદવારો પસંદ કરવાની રીતો $^5C_3 = ^5C_2 = 10$ છે.
કુલ રીતો = $^5C_1 + ^5C_2 + ^5C_3 = 5 + 10 + 10 = 25$.

(C) $7$ સભ્યોના જૂથમાં છોકરાઓની બહુમતી મેળવવા માટે,શક્ય સંયોજનો નીચે મુજબ છે:
$1$. $6$ છોકરાઓ અને $1$ છોકરી: $^6C_6 \times ^4C_1 = 1 \times 4 = 4$ રીતો.
$2$. $5$ છોકરાઓ અને $2$ છોકરીઓ: $^6C_5 \times ^4C_2 = 6 \times 6 = 36$ રીતો.
$3$. $4$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓ: $^6C_4 \times ^4C_3 = 15 \times 4 = 60$ રીતો.
કુલ રીતો = $4 + 36 + 60 = 100$.

(B) ધારો કે બે ચોક્કસ વ્યક્તિઓ $P_1$ અને $P_2$ છે.
$P_1$ અને $P_2$ એક જ હોડીમાં ન હોઈ શકે,તેથી $P_1$ એક હોડીમાં અને $P_2$ બીજી હોડીમાં હોવા જોઈએ.
દરેક હોડીમાં કુલ $5$ વ્યક્તિઓની જરૂર છે. $P_1$ પહેલેથી જ પ્રથમ હોડીમાં છે,તેથી બાકીની $8$ વ્યક્તિઓમાંથી $4$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરીને $P_1$ સાથે મૂકવી પડશે.
આ $^8C_4$ રીતે કરી શકાય છે.
બાકીની $4$ વ્યક્તિઓ આપમેળે $P_2$ સાથે બીજી હોડીમાં જશે.
હોડીઓ અલગ હોવાથી (અથવા $P_1$ અને $P_2$ ની અદલાબદલી થઈ શકતી હોવાથી),આપણે $2$ વડે ગુણાકાર કરીશું.
કુલ પ્રકારોની સંખ્યા $= 2 \times ^8C_4$.

(C) '$CORGOO$' શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $C, O, R, G, O, O$. ભિન્ન અક્ષરો ${C, O, R, G}$ છે અને '$O$' ની આવૃત્તિ $3$ છે.
આપણે $4$ અક્ષરો પસંદ કરવાના છે. શક્ય કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ બધા $4$ અક્ષરો અલગ હોય: આપણે ${C, O, R, G}$ માંથી $4$ અક્ષરો પસંદ કરીએ છીએ. રીતોની સંખ્યા $^4C_4 = 1$ છે.
$(ii)$ $2$ અક્ષરો સમાન અને $2$ અલગ હોય: આપણે '$O$' ની જોડી $1$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ. ત્યારબાદ બાકીના $3$ ભિન્ન અક્ષરો ${C, R, G}$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરીએ છીએ. રીતોની સંખ્યા $1 \times ^3C_2 = 3$ છે.
$(iii)$ $3$ અક્ષરો સમાન અને $1$ અલગ હોય: આપણે ત્રણ '$O$' ને $1$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ. ત્યારબાદ બાકીના $3$ ભિન્ન અક્ષરો ${C, R, G}$ માંથી $1$ અક્ષર પસંદ કરીએ છીએ. રીતોની સંખ્યા $1 \times ^3C_1 = 3$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $1 + 3 + 3 = 7$.

(B) $200$ સંખ્યાઓમાંથી બે અલગ અવયવો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{200}C_2$ છે.
$^{200}C_2 = \frac{200 \times 199}{2} = 19900$.
જો બંને પસંદ કરેલા અવયવો $5$ ના ગુણક ન હોય,તો ગુણાકાર $5$ નો ગુણક નથી.
$1$ થી $200$ સુધીની સંખ્યાઓમાં $5$ ના ગુણકો $5, 10, \dots, 200$ છે,જે $\frac{200}{5} = 40$ સંખ્યાઓ છે.
$5$ ના ગુણક ન હોય તેવી સંખ્યાઓ $200 - 40 = 160$ છે.
$5$ ના ગુણક ન હોય તેવા ગુણાકારોની સંખ્યા $^{160}C_2 = \frac{160 \times 159}{2} = 80 \times 159 = 12720$ છે.
$5$ ના ગુણક હોય તેવા ગુણાકારોની સંખ્યા કુલ ગુણાકારોમાંથી $5$ ના ગુણક ન હોય તેવા ગુણાકારો બાદ કરવાથી મળે છે:
$19900 - 12720 = 7180$.