$6$ પુસ્તકોમાંથી એક કે વધુ પુસ્તકોની પસંદગી......રીતે થાય.

જો ${ }^{n} P_{r}={ }^{n} P_{r+1}$ અને ${ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{r-1}$ હોય તો $r$ ની કિમંત મેળવો.

$12$ જગ્યાઓ માટે $25$ વ્યકિતઓએ ઉમેદવારી નોંધાવી છે, જે પૈકી $5$ જણા અનામત કક્ષાના છે. $3$ જગ્યાઓ અનામત છે અને બાકીના માટે ખૂલ્લગ છે, તો પસંદંગી......રીતે થઇ શકે.

આપેલ દસ મૂળાક્ષરો $A,H,I,M,O,T,U,V,W$ અને $X$ ને અરિસામાં પણ જોવામાં આવે તો સરખા દેખાય છે આવા મૂળાક્ષરોને સંમિત મૂળાક્ષરો કહેવાય અને બાકીના મૂળાક્ષરોને અસંમિત મૂળાક્ષરો કહેવાય છે જો કોમ્પ્યુટરનો ત્રણ અક્ષરોનો પાસવર્ડ બનાવવામાં આવે તો પુનરાવર્તન સિવાય કેટલી રીતે પાસવર્ડ બનાવી શકાય કે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક મૂળાક્ષર સંમિત હોય ? 

કોઈ શિષ્યવૃતિ માટે મહતમ $n$ ઉમેદવારો કુલ $2n+1$ ઉમેદવારોમાંથી પસંદ કરી શકાય છે જો શિષ્યવૃતિ માટે ઓછામાં ઓછા એક ઉમેદવારને પસંદ કરવાના એવા ભિન્ન $63$ રીતો હોય તો શિષ્યવૃતિ માટે મહતમ કેટલા ઉમેદવારો પસંદ થઈ શકે ? 

જો ${ }^{1} \mathrm{P}_{1}+2 \cdot{ }^{2} \mathrm{P}_{2}+3 \cdot{ }^{3} \mathrm{P}_{3}+\ldots+15 \cdot{ }^{15} \mathrm{P}_{15}={ }^{\mathrm{q}} \mathrm{P}_{\mathrm{r}}-\mathrm{s}, 0 \leq \mathrm{s} \leq 1$ હોય તો  ${ }^{\mathrm{q}+\mathrm{s}} \mathrm{C}_{\mathrm{r}-\mathrm{s}}$ ની કિમંત મેળવો.