Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Gujarati

(B) $6$ પેપર ગોઠવવાની કુલ રીતો $6! = 720$ છે.
જો શ્રેષ્ઠ અને સૌથી ખરાબ પેપર હંમેશા સાથે હોય,તો આપણે તેમને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
પછી આપણી પાસે ગોઠવવા માટે $5$ એકમો છે,જે $5!$ રીતે કરી શકાય છે.
એકમની અંદરના બે પેપર $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,તેઓ સાથે દેખાય તેવી રીતોની સંખ્યા $5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$ છે.
તેઓ ક્યારેય સાથે ન આવે તેવી રીતોની સંખ્યા $720 - 240 = 480$ છે.

(A) દરેક $6$ અલગ-અલગ વીંટી $4$ આંગળીઓમાંથી કોઈપણ એકમાં પહેરી શકાય છે.
દરેક વીંટી માટે $4$ વિકલ્પો હોવાથી,$6$ વીંટી પહેરવાની કુલ રીતો $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^6$ થાય.

(B) $7$ પુરુષોમાંથી દરેક પાસે પોતાનો મત આપવા માટે $3$ વિકલ્પો છે.
દરેક પુરુષ સ્વતંત્ર રીતે $3$ રીતે મત આપી શકે છે,તેથી મત આપવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^7$ છે.

(A) વ્યક્તિ પાસે ગ્વાલિયરથી ભોપાલ જવા માટે $4$ વિકલ્પો છે.
તેણે અલગ બસ દ્વારા પાછા આવવાનું હોવાથી,પરત ફરવા માટે તેની પાસે $4 - 1 = 3$ વિકલ્પો છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ રીતોની સંખ્યા $4 \times 3 = 12$ છે.

(B) આપેલ છે: ${}^n{P_5} = 20 \times {}^n{P_3}$
${}^n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n!}{(n-5)!} = 20 \times \frac{n!}{(n-3)!}$
બંને બાજુ $n!$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{(n-5)!} = \frac{20}{(n-3)(n-4)(n-5)!}$
$(n-3)(n-4) = 20$
$n^2 - 7n + 12 = 20$
$n^2 - 7n - 8 = 0$
$(n-8)(n+1) = 0$
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને $n \geq 5$ હોવાથી,$n = 8$ મળે.

(A) $UNIVERSAL$ શબ્દમાં $9$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $U, N, I, V, E, R, S, A, L$.
આ $9$ ભિન્ન અક્ષરોમાંથી $3$ અક્ષરોનો શબ્દ બનાવવા માટે,આપણે ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$n = 9$ અને $r = 3$ છે.
જરૂરી શબ્દોની સંખ્યા $= ^9P_3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$.

(C) $mn$ પત્રોમાંથી દરેક પત્રને $n$ લેટર-બોક્સમાંથી કોઈપણમાં પોસ્ટ કરી શકાય છે.
દરેક પત્ર માટે $n$ વિકલ્પો હોવાથી,$mn$ પત્રોને પોસ્ટ કરવાની કુલ રીતો $n \times n \times \dots \times n$ ($mn$ વખત) થશે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $n^{mn}$ છે.

(D) દરેક ખરા-ખોટા પ્રકારના પ્રશ્ન માટે $2$ શક્ય પરિણામો (ખરું અથવા ખોટું) છે.
અહીં $10$ સ્વતંત્ર પ્રશ્નો હોવાથી,જવાબ આપવાની કુલ રીતો ગણતરીના ગુણાકારના નિયમ દ્વારા મળે છે.
કુલ રીતો = $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{10}$.
$2^{10} = 1024$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) જો છેલ્લો અંક $2, 4, 6$ અથવા $8$ હોય તો સંખ્યા બેકી હોય છે.
આમ,છેલ્લા અંકને $4$ રીતે ભરી શકાય છે.
પુનરાવર્તન માન્ય ન હોવાથી,છેલ્લા અંકને ભર્યા પછી,બાકીના $2$ સ્થાન ભરવા માટે આપણી પાસે $8$ અંકો બાકી રહે છે.
$8$ અંકોમાંથી બાકીના $2$ સ્થાન ભરવાની રીતો $^8P_2 = 8 \times 7 = 56$ છે.
તેથી,કુલ બેકી સંખ્યાઓ $56 \times 4 = 224$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $^n{P_5} = 9 \times {^{n - 1}}{P_4}$
સૂત્ર $^n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n!}{(n-5)!} = 9 \times \frac{(n-1)!}{(n-5)!}$
બંને બાજુથી $(n-1)!$ અને $(n-5)!$ ને દૂર કરતા:
$n = 9$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $^n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$.
વિકલ્પ $A$ માં આપેલ પદને ધ્યાનમાં લેતા:
$^{n - 1}{P_r} + r \cdot ^{n - 1}{P_{r - 1}} = \frac{(n - 1)!}{(n - 1 - r)!} + r \cdot \frac{(n - 1)!}{(n - 1 - (r - 1))!}$
$= \frac{(n - 1)!}{(n - r - 1)!} + r \cdot \frac{(n - 1)!}{(n - r)!}$
$= \frac{(n - 1)!}{(n - r - 1)!} \left( 1 + \frac{r}{n - r} \right)$
$= \frac{(n - 1)!}{(n - r - 1)!} \left( \frac{n - r + r}{n - r} \right)$
$= \frac{(n - 1)!}{(n - r - 1)!} \cdot \frac{n}{n - r} = \frac{n \cdot (n - 1)!}{(n - r) \cdot (n - r - 1)!} = \frac{n!}{(n - r)!} = ^n{P_r}$.

(A) કુલ $10$ અંકો છે: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
$9$ અંકની સંખ્યામાં પ્રથમ સ્થાને $0$ ન હોઈ શકે.
$10$ માંથી $9$ અલગ અંકો ગોઠવવાની કુલ રીતો $^{10}P_9 = \frac{10!}{1!} = 10!$ છે.
જોકે,આમાં એવી સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે જેમાં પ્રથમ સ્થાને $0$ હોય. જો પ્રથમ સ્થાને $0$ નિશ્ચિત હોય,તો બાકીના $8$ સ્થાનો પર બાકીના $9$ અંકોમાંથી $8$ અંકો ગોઠવવા પડે,જે $^9P_8 = \frac{9!}{1!} = 9!$ થાય.
તેથી,બધા અંકો અલગ હોય તેવી $9$ અંકની સંખ્યાઓ = $^{10}P_9 - ^9P_8 = 10! - 9! = (10 - 1) \times 9! = 9 \times 9!$.

(C) દરેક $4$ પાર્સલને $5$ પોસ્ટ-ઓફિસમાંથી કોઈપણમાં પોસ્ટ કરી શકાય છે.
દરેક પાર્સલ સ્વતંત્ર હોવાથી,પ્રથમ પાર્સલ $5$ રીતે,બીજું $5$ રીતે,ત્રીજું $5$ રીતે અને ચોથું $5$ રીતે પોસ્ટ કરી શકાય છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$ છે.

(A) $5$ અલગ-અલગ ઇનામોમાંથી દરેક ઇનામ $4$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી કોઈપણને આપી શકાય છે.
દરેક ઇનામ માટે $4$ વિકલ્પો હોવાથી,$5$ ઇનામો વહેંચવાની કુલ રીતો $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^5$ થશે.
આની ગણતરી કરતા,આપણને $4^5 = 1024$ મળે છે.

(D) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓની ગોઠવણી કરવાની રીતોની સંખ્યા ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 5$ (ખાલી બેઠકો) અને $r = 3$ (મુસાફરો) છે.
તેથી,બેસવાની રીતોની સંખ્યા $^5P_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ છે.

(C) એકમના સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે એકમના સ્થાન પર એક અંકને નિશ્ચિત કરીએ છીએ.
જો આપણે એકમના સ્થાન પર $3$ ને નિશ્ચિત કરીએ,તો બાકીના $3$ અંકો $(4, 5, 6)$ ને બાકીની $3$ જગ્યાઓ પર $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તે જ રીતે,જો આપણે એકમના સ્થાન પર $4, 5,$ અથવા $6$ ને નિશ્ચિત કરીએ,તો દરેક એકમના સ્થાન પર $3! = 6$ વખત આવશે.
એકમના સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો $6 \times (3 + 4 + 5 + 6) = 6 \times 18 = 108$ થાય છે.

(A) કુલ $6$ સિક્કાઓ છે અને છાપની સંખ્યા કાંટાની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ,તેથી આપણી પાસે $3$ છાપ અને $3$ કાંટા હોવા જોઈએ.
સિક્કાઓ સમાન હોવાથી,તેમને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
$N = \frac{6!}{3! 3!} = \frac{720}{6 \times 6} = 20$.
આમ,સિક્કાઓને ગોઠવવાની કુલ $20$ રીતો છે.

(C) અંકો $\{4, 5, 6, 7, 8\}$ નો ઉપયોગ કરીને બનતી કુલ $5$-અંકી સંખ્યાઓ $5! = 120$ છે.
આપણે $56000$ થી મોટી સંખ્યાઓ શોધવાની છે.
કુલ ગોઠવણી = $120$.
$4$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ = $4! = 24$.
$54$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ = $3! = 6$.
$56000$ થી નાની સંખ્યાઓ તે છે જે $4$ થી શરૂ થાય છે (કુલ $24$) અને જે $54$ થી શરૂ થાય છે (કુલ $6$).
$56000$ થી નાની સંખ્યાઓ = $24 + 6 = 30$.
$56000$ થી મોટી સંખ્યાઓ = $120 - 30 = 90$.

(A) $4$ અલગ-અલગ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $4$-અંકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $4! = 24$ છે.
દરેક અંક દરેક સ્થાન (એકમ,દશક,સો,હજાર) પર બરાબર $\frac{24}{4} = 6$ વખત આવે છે.
અંકોનો સરવાળો $2 + 4 + 6 + 8 = 20$ છે.
કોઈપણ સ્થાન પર અંકોનો સરવાળો $6 \times 20 = 120$ થાય છે.
તેથી,આવી તમામ સંખ્યાઓનો સરવાળો $120 \times 1 + 120 \times 10 + 120 \times 100 + 120 \times 1000$ છે.
$= 120(1 + 10 + 100 + 1000) = 120 \times 1111 = 133320$.

(A) ગ્રામીણ વ્યક્તિ $5$ અલગ-અલગ રીતે શહેરમાં જઈ શકે છે.
પાછા આવવા માટે કોઈ પ્રતિબંધ ન હોવાથી,તે $5$ અલગ-અલગ રીતે પાછા આવી શકે છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,જઈને પાછા આવવાની કુલ રીતો $5 \times 5 = 25$ છે.

(D) $5$ પરીક્ષાના પેપરોને ગોઠવવાની કુલ રીતો $5! = 120$ છે.
જ્યારે ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણશાસ્ત્રના પેપરો સાથે આવે ત્યારે તેને એક એકમ તરીકે ગણવામાં આવે છે. હવે,આપણી પાસે $4$ એકમો છે (ભૌતિકવિજ્ઞાન-રસાયણશાસ્ત્રની જોડી અને અન્ય $3$ પેપરો),જેને $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
એકમની અંદર,ભૌતિકવિજ્ઞાન અને રસાયણશાસ્ત્રના પેપરોને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,તેઓ સાથે આવે તેવી રીતોની સંખ્યા $4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$ છે.
તેઓ ક્યારેય સાથે ન આવે તેવી રીતોની સંખ્યા કુલ ગોઠવણીમાંથી સાથે આવતી ગોઠવણી બાદ કરવાથી મળે છે:
$120 - 48 = 72$.

(B) પ્રથમ ઇનામ $5$ સ્પર્ધકોમાંથી કોઈપણ એકને $5$ રીતે આપી શકાય છે.
પ્રથમ ઇનામ આપ્યા પછી,દ્વિતીય ઇનામ બાકી રહેલા $4$ સ્પર્ધકોમાંથી કોઈપણ એકને $4$ રીતે આપી શકાય છે.
અંતે,તૃતીય ઇનામ બાકી રહેલા $3$ સ્પર્ધકોમાંથી કોઈપણ એકને $3$ રીતે આપી શકાય છે.
કારણ કે એક સ્પર્ધકને એકથી વધુ ઇનામ મળી શકતું નથી,તેથી કુલ રીતોની સંખ્યા:
કુલ રીતો $= 5 \times 4 \times 3 = 60$.

(B) $3$ અંકની એકી સંખ્યા બનાવવા માટે,એકમના સ્થાનને $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ગણમાંથી એકી અંક વડે ભરવું આવશ્યક છે.
ઉપલબ્ધ એકી અંકો $\{1, 3, 5\}$ છે,તેથી એકમના સ્થાનને ભરવાની $3$ રીતો છે.
પુનરાવર્તનની છૂટ હોવાથી,સોના સ્થાનને $6$ અંકોમાંથી કોઈપણ અંક વડે $6$ રીતે ભરી શકાય છે.
દશકના સ્થાનને પણ $6$ અંકોમાંથી કોઈપણ અંક વડે $6$ રીતે ભરી શકાય છે.
તેથી,આવી એકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $6 \times 6 \times 3 = 108$ છે.

(A) આપેલ અંકો $2, 0, 4, 3, 8$ છે.
પાંચ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,પ્રથમ અંક (દસ હજારનું સ્થાન) $0$ ન હોઈ શકે.
$5$ ભિન્ન અંકોની કુલ ગોઠવણી $5! = 120$ છે.
$0$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ તે છે જેમાં પ્રથમ સ્થાન $0$ તરીકે નિશ્ચિત છે,અને બાકીના $4$ સ્થાનો બાકીના $4$ અંકો દ્વારા $4!$ રીતે ભરી શકાય છે.
$4! = 24$.
તેથી,પાંચ અંકની સંખ્યાઓ = (કુલ ગોઠવણી) - ($0$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ)
$= 5! - 4! = 120 - 24 = 96$.

(C) ક્રમચયનું સૂત્ર $^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ છે.
આપેલ છે કે $^{12}P_r = 1320$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $^{12}P_r = 12 \times 11 \times 10 \times \dots \times (12-r+1)$.
ગુણાકાર કરતા:
$12 \times 11 = 132$
$132 \times 10 = 1320$
આમ,$3$ પદોનો ગુણાકાર $1320$ હોવાથી,$r = 3$ મળે છે.

(A) $n$-અંકી સંખ્યા માટે,પ્રથમ અંક (ડાબી બાજુએ) $1$ થી $9$ સુધીનો કોઈ પણ અંક હોઈ શકે છે (કારણ કે તે $0$ ન હોઈ શકે). તેથી,પ્રથમ અંક માટે $9$ વિકલ્પો છે.
બીજા અંક માટે,તે $0$ થી $9$ સુધીનો કોઈ પણ અંક હોઈ શકે છે,સિવાય કે જે પ્રથમ અંક માટે વપરાયો હોય. તેથી,$9$ વિકલ્પો છે.
ત્રીજા અંક માટે,તે $0$ થી $9$ સુધીનો કોઈ પણ અંક હોઈ શકે છે,સિવાય કે જે બીજા અંક માટે વપરાયો હોય. તેથી,$9$ વિકલ્પો છે.
આ પેટર્ન ચાલુ રાખતા,બાકીના $(n-1)$ સ્થાનો માટે દરેક વખતે $9$ વિકલ્પો મળે છે.
તેથી,કુલ $n$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $9 \times 9 \times 9 \times \dots \times 9$ ($(n-1)$ વખત) $= 9 \times 9^{n-1}$ થાય.

(C) $SALOON$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $S, A, L, O, O, N$,જેમાં $O$ બે વાર પુનરાવર્તિત થાય છે.
કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા = $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
બે $O$ સાથે ન આવે તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે કુલ ગોઠવણીમાંથી તે કિસ્સાઓ બાદ કરીશું જેમાં $O$ સાથે આવે છે.
બે $O$ ને એક એકમ $(OO)$ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $5$ એકમો છે: $S, A, L, (OO), N$.
$O$ સાથે આવે તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા = $5! = 120$.
જરૂરી ગોઠવણીની સંખ્યા = $360 - 120 = 240$.

(A) $MAXIMUM$ શબ્દમાં $7$ અક્ષરો છે: $M, A, X, I, M, U, M$.
વ્યંજનો $M, X, M, M$ ($4$ વ્યંજનો) છે અને સ્વરો $A, I, U$ ($3$ સ્વરો) છે.
કોઈપણ બે વ્યંજનો સાથે ન આવે તે માટે,આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$3$ સ્વરો $(A, I, U)$ ને $3!$ રીતે ગોઠવો.
આનાથી $4$ જગ્યાઓ (ગેપ) બને છે: $\bullet A \bullet I \bullet U \bullet$.
આપણે $4$ વ્યંજનો $(M, X, M, M)$ ને આ $4$ જગ્યાઓમાં ગોઠવવાના છે.
$4$ વ્યંજનોને $4$ જગ્યાઓમાં ગોઠવવાની રીતો $\frac{4!}{3!}$ છે (કારણ કે $M$ ત્રણ વાર પુનરાવર્તિત થાય છે).
કુલ રીતો = $3! \times \frac{4!}{3!} = 4!$.

(B) $n$ પુસ્તકોને હારમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $n!$ છે.
જો બે ચોક્કસ પુસ્તકો હંમેશા સાથે હોય,તો તેમને એક એકમ તરીકે ગણતા,કુલ $(n - 1)$ એકમોને $(n - 1)!$ રીતે ગોઠવી શકાય. આ બે પુસ્તકો અંદરોઅંદર $2! = 2$ રીતે ગોઠવાય.
તેથી,બે ચોક્કસ પુસ્તકો સાથે હોય તેવી રીતો $= 2 \times (n - 1)!$ છે.
બે ચોક્કસ પુસ્તકો સાથે ન હોય તેવી રીતો = કુલ રીતો - સાથે હોય તેવી રીતો
$= n! - 2(n - 1)!$
$= n(n - 1)! - 2(n - 1)!$
$= (n - 1)! (n - 2)$.

(A) $500$ અને $600$ ની વચ્ચેની સંખ્યા બનાવવા માટે,સોના સ્થાન પર અંક $5$ હોવો આવશ્યક છે.
અંકોનું પુનરાવર્તન કરી શકાતું નથી,તેથી દશક અને એકમના સ્થાન ભરવા માટે આપણી પાસે $5$ બાકીના અંકો $(1, 2, 3, 4, 6)$ છે.
આપણે બાકીના $5$ અંકોમાંથી $2$ અંકો પસંદ કરીને ગોઠવવાના છે.
આ ક્રમચયના સૂત્ર $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 5$ અને $r = 2$,તેથી $^5P_2 = \frac{5!}{(5-2)!} = 5 \times 4 = 20$.
તેથી,આવી $20$ સંખ્યાઓ શક્ય છે.

(B) આ સંખ્યાઓ $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવેલી $4$-અંકની સંખ્યાઓ છે.
સંખ્યા $1000$ થી મોટી અને $4000$ થી નાની અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ,તેથી પ્રથમ અંક $1, 2, 3,$ અથવા $4$ હોઈ શકે છે.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ અંક $1, 2,$ અથવા $3$ છે.
આ $3$ વિકલ્પોમાંથી દરેક માટે,બાકીના $3$ સ્થાનો $5$ રીતે ભરી શકાય છે (અંકો $0, 1, 2, 3, 4$).
આ કિસ્સાઓ માટે કુલ સંખ્યા $= 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 375$.
જો કે,આપણે $1000$ વાળી સંખ્યાને બાદ કરવી પડશે (કારણ કે તે $1000$ થી મોટી હોવી જોઈએ).
તેથી,$375 - 1 = 374$ સંખ્યાઓ.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ અંક $4$ છે.
$4$ થી શરૂ થતી $4000$ થી નાની અથવા તેના જેટલી એકમાત્ર સંખ્યા $4000$ છે.
આને આપણી ગણતરીમાં ઉમેરતા: $374 + 1 = 375$.
આમ,કુલ સંખ્યા $375$ છે.

(B) આપેલ અંકો $1, 2, 3, 4, 3, 2, 1$ છે. કુલ $7$ અંકો છે.
એકી અંકો $1, 3, 3, 1$ (કુલ $4$ અંકો) છે અને બેકી અંકો $2, 4, 2$ (કુલ $3$ અંકો) છે.
એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7$ છે ($4$ સ્થાનો).
બેકી સ્થાનો $2, 4, 6$ છે ($3$ સ્થાનો).
$4$ એકી અંકો $1, 3, 3, 1$ ને $4$ એકી સ્થાનો પર $\frac{4!}{2!2!} = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$3$ બેકી અંકો $2, 4, 2$ ને $3$ બેકી સ્થાનો પર $\frac{3!}{2!} = 3$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $6 \times 3 = 18$ છે.

(A) $1000$ થી નાની સંખ્યાઓ $1$-અંકી,$2$-અંકી અથવા $3$-અંકી હોઈ શકે છે.
$1$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $= ^6P_1 = 6$.
$2$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $= ^6P_2 = 6 \times 5 = 30$.
$3$-અંકી સંખ્યાઓની સંખ્યા $= ^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$.
કુલ સંખ્યાઓ $= 6 + 30 + 120 = 156$.

(A) $COURTESY$ શબ્દમાં $8$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $C, O, U, R, T, E, S, Y$.
પ્રથમ અક્ષર $C$ અને છેલ્લો અક્ષર $Y$ નિશ્ચિત હોવાથી,આપણે બાકીના $8 - 2 = 6$ સ્થાન ભરવાના રહે છે.
બાકીના $6$ અક્ષરો $(O, U, R, T, E, S)$ ને આ $6$ સ્થાનોમાં $6!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ શબ્દોની સંખ્યા $6!$ છે.

(B) $DELHI$ શબ્દમાં $5$ અલગ-અલગ અક્ષરો છે: $D, E, L, H, I$.
કારણ કે $L$ હંમેશા વચ્ચે હોવો જોઈએ,આપણે $L$ ને $3^{rd}$ સ્થાન પર નિશ્ચિત કરીએ છીએ.
હવે,બાકીના $4$ અક્ષરો $(D, E, H, I)$ વડે $4$ ખાલી સ્થાનો ભરવાના છે.
$4$ અલગ અક્ષરોને $4$ સ્થાનોમાં ગોઠવવાની રીતો $4!$ છે.
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
તેથી,કુલ શબ્દોની સંખ્યા $24$ છે.

(B) ગોઠવવા માટેના કુલ અંકો $5$ છે.
અંકો $3, 4, 7, 5, 5$ છે.
અંક $5$ એ $2$ વાર પુનરાવર્તિત થતો હોવાથી,ભિન્ન ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{n!}{p!}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=5$ અને $p=2$.
રીતોની સંખ્યા = $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$.

(C) $MATHEMATICS$ શબ્દમાં કુલ $11$ અક્ષરો છે.
આ શબ્દમાં,$M$ અક્ષર $2$ વાર,$A$ અક્ષર $2$ વાર અને $T$ અક્ષર $2$ વાર આવે છે.
જ્યારે વસ્તુઓનું પુનરાવર્તન થતું હોય ત્યારે ક્રમચયની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{11!}{2!2!2!}$ મળે છે.

(B) $CALCUTTA$ શબ્દમાં કુલ $8$ અક્ષરો છે.
દરેક અક્ષરની આવૃત્તિ આ મુજબ છે: $C: 2, A: 2, L: 1, U: 2, T: 2$.
ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા $\frac{n!}{n_1! n_2! n_3! ... n_k!}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 8$,અને પુનરાવર્તિત અક્ષરો $C=2, A=2, U=2, T=2$ છે.
જરૂરી ગોઠવણીની સંખ્યા $= \frac{8!}{2! 2! 2! 2!} = \frac{40320}{16} = 5040$.

(A) $99$ અને $1000$ ની વચ્ચેની સંખ્યાઓ $3$ અંકની સંખ્યાઓ છે.
આપણી પાસે $6$ અંકો છે: $\{0, 2, 3, 6, 7, 8\}$.
$3$ અંકની સંખ્યા માટે,સોના સ્થાન પર $0$ ન હોઈ શકે.
તેથી,સોના સ્થાનને $5$ અંકોમાંથી કોઈ પણ એક વડે ભરી શકાય છે: $\{2, 3, 6, 7, 8\}$ ($5$ રીતે).
દશકના સ્થાનને બાકીના $5$ અંકોમાંથી કોઈ પણ એક વડે ભરી શકાય છે ($5$ રીતે).
એકમના સ્થાનને બાકીના $4$ અંકોમાંથી કોઈ પણ એક વડે ભરી શકાય છે ($4$ રીતે).
કુલ સંખ્યાઓ = $5 \times 5 \times 4 = 100$.

(B) $COMMITTEE$ શબ્દમાં કુલ $9$ અક્ષરો છે.
અક્ષરોની આવૃત્તિ નીચે મુજબ છે:
$C$ બે વાર,$O$ એક વાર,$M$ બે વાર,$I$ એક વાર,$T$ બે વાર,$E$ બે વાર આવે છે.
કુલ ગોઠવણી = $\frac{9!}{2! 2! 2! 2!} = \frac{9!}{(2!)^4}$.

(B) $3000$ અને $4000$ ની વચ્ચેની સંખ્યા બનાવવા માટે,હજારના સ્થાન પર $3$ હોવો જોઈએ.
સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,એકમના સ્થાન પર $5$ હોવો જોઈએ.
આપેલ $6$ અંકો $(3, 4, 5, 6, 7, 8)$ માંથી આપણે $2$ અંકો ($3$ અને $5$) નો ઉપયોગ કર્યો છે.
બાકીના અંકો $4, 6, 7, 8$ છે,જે કુલ $4$ છે.
આપણે બાકીના બે સ્થાન (સો અને દશક) પર આ $4$ અંકોમાંથી પુનરાવર્તન વગર ગોઠવણી કરવાની છે.
આ માટેની રીતોની સંખ્યા $^4P_2 = \frac{4!}{(4-2)!} = 12$ છે.
આમ,આવી $12$ સંખ્યાઓ મળે.

(C) $MODESTY$ શબ્દના અક્ષરો મૂળાક્ષર ક્રમમાં $D, E, M, O, S, T, Y$ છે.
$1$. $D$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $6! = 720$ શબ્દો.
$2$. $E$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $6! = 720$ શબ્દો.
$3$. $MD$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$4$. $ME$ થી શરૂ થતા શબ્દો: $5! = 120$ શબ્દો.
$5$. હવે પછીનો શબ્દ $MO$ થી શરૂ થાય છે. બાકી રહેલા અક્ષરો $D, E, S, T, Y$ છે. તેમને મૂળાક્ષર ક્રમમાં ગોઠવતા,પ્રથમ શબ્દ $MODESTY$ મળે છે.
તેથી,$MODESTY$ નો ક્રમ = $720 + 720 + 120 + 120 + 1 = 1681$.

(B) આપેલ છે કે $a = {}^{x+2}P_{x+2} = (x+2)!$,$b = {}^{x}P_{11} = \frac{x!}{(x-11)!}$,અને $c = {}^{x-11}P_{x-11} = (x-11)!$.
સમીકરણ $a = 182bc$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(x+2)! = 182 \times \frac{x!}{(x-11)!} \times (x-11)!$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$(x+2)! = 182 \times x!$
$(x+2)(x+1)x! = 182 \times x!$
બંને બાજુ $x!$ વડે ભાગતા (જ્યાં $x \ge 11$):
$(x+2)(x+1) = 182$
$x^2 + 3x + 2 = 182$
$x^2 + 3x - 180 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x+15)(x-12) = 0$
$x$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ અને $x \ge 11$ હોવાથી,$x = 12$ મળે.

(C) ચાર અંકની સંખ્યા બેકી હોય જો તેનો એકમનો અંક $0$ અથવા $2$ હોય.
કિસ્સો $1$: એકમનો અંક $0$ છે.
બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકો $(1, 2, 3)$ દ્વારા $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ રીતે ભરી શકાય છે.
કિસ્સો $2$: એકમનો અંક $2$ છે.
હજારના સ્થાન પર $0$ કે $2$ ન આવી શકે,તેથી તે $2$ રીતે ભરી શકાય છે ($1$ અથવા $3$ નો ઉપયોગ કરીને).
બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $2$ અંકો દ્વારા $2! = 2 \times 1 = 2$ રીતે ભરી શકાય છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $2 \times 2 = 4$ છે.
કુલ બેકી સંખ્યાઓ $= 6 + 4 = 10$.

(D) $10$ ઉમેદવારોને ગોઠવવાની કુલ રીતો $10!$ છે.
કોઈપણ ગોઠવણીમાં,$A_1$ અને $A_{10}$ ના સાપેક્ષ સ્થાન માટે માત્ર બે જ શક્યતાઓ છે: કાં તો $A_1$ એ $A_{10}$ ની ઉપર હોય અથવા $A_{10}$ એ $A_1$ ની ઉપર હોય.
આ બંને કિસ્સાઓ સમાન હોવાથી,$A_1$ એ $A_{10}$ ની ઉપર હોય તેવી રીતોની સંખ્યા કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા કરતા બરાબર અડધી હોય છે.
તેથી,જરૂરી રીતોની સંખ્યા $\frac{10!}{2} = \frac{1}{2}(10!)$ છે.

(C) $EAMCET$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $E, A, M, C, E, T$.
તેમાં $3$ વ્યંજનો છે: $M, C, T$ અને $3$ સ્વરો છે: $E, A, E$.
પ્રથમ,આપણે $3$ વ્યંજનોને $3!$ રીતે ગોઠવીએ છીએ.
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ રીતો.
કોઈપણ બે સ્વરો બાજુબાજુમાં ન આવે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. $3$ વ્યંજનોની આસપાસ $4$ શક્ય જગ્યાઓ છે: $\_ C_1 \_ C_2 \_ C_3 \_$.
આ $4$ જગ્યાઓમાંથી $3$ સ્વરો $(E, A, E)$ ને ગોઠવવાના છે. $4$ માંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^4C_3 = 4$ છે.
બે સમાન સ્વરો $(E, E)$ હોવાથી,પસંદ કરેલી જગ્યાઓમાં સ્વરોની ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{3!}{2!} = 3$ છે.
કુલ ગોઠવણીઓ $= 3! \times ^4C_3 \times \frac{3!}{2!} = 6 \times 4 \times 3 = 72$.

(A) "$BANANA$" શબ્દમાં કુલ $6$ અક્ષરો છે,જેમાં $A$ અક્ષર $3$ વખત અને $N$ અક્ષર $2$ વખત પુનરાવર્તિત થાય છે.
ક્રમચયના સૂત્ર મુજબ,કુલ ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}$ છે.
અહીં,$n = 6$,$n_1 (A) = 3$,અને $n_2 (N) = 2$.
કુલ ક્રમચયો $= \frac{6!}{3! \times 2!} = \frac{720}{6 \times 2} = \frac{720}{12} = 60$.

(B) $MOBILE$ શબ્દમાં $6$ અક્ષરો છે: $M, O, B, I, L, E$.
તેમાં $3$ વ્યંજનો $(M, B, L)$ અને $3$ સ્વરો $(O, I, E)$ છે.
શબ્દમાં $6$ સ્થાનો છે: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
એકી સ્થાનો $1, 3, 5$ છે (કુલ $3$ સ્થાનો).
બેકી સ્થાનો $2, 4, 6$ છે (કુલ $3$ સ્થાનો).
શરત મુજબ,$3$ વ્યંજનો $3$ એકી સ્થાનો પર હોવા જોઈએ,જે ${}^3P_3 = 3! = 6$ રીતે કરી શકાય.
બાકીના $3$ સ્વરો $3$ બેકી સ્થાનો પર હોવા જોઈએ,જે ${}^3P_3 = 3! = 6$ રીતે કરી શકાય.
તેથી,કુલ શબ્દોની સંખ્યા $= 6 \times 6 = 36$.

(B) $5$ વડે ભાગી શકાય તેવી સંખ્યાઓના એકમના સ્થાન પર $5$ હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $3$-અંકી સંખ્યાઓ.
એકમનું સ્થાન $5$ તરીકે નિશ્ચિત છે. બાકીના $2$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકો $(3, 4, 6)$ વડે $^3P_2 = 3 \times 2 = 6$ રીતે ભરી શકાય.
કિસ્સો $2$: $4$-અંકી સંખ્યાઓ.
એકમનું સ્થાન $5$ તરીકે નિશ્ચિત છે. બાકીના $3$ સ્થાનો બાકીના $3$ અંકો $(3, 4, 6)$ વડે $^3P_3 = 3 \times 2 \times 1 = 6$ રીતે ભરી શકાય.
કુલ સંખ્યાઓ $= 6 + 6 = 12$.