$r$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગુણાકારને હંમેશા......વડે નિ:શેષ ભાગી શકાય.

એક વિદ્યાર્થીને $(2n+1)$ પુસ્તકોના સંગ્રહમાંથી ઓછામાં ઓછા $(n+1)$ પુસ્તકો પસંદ કરવાની છૂટ છે,પરંતુ બધા પુસ્તકો નહીં. જો તે આ પુસ્તકોને પસંદ કરી શકે તે કુલ રીતોની સંખ્યા $255$ હોય,તો તે સંગ્રહમાં પુસ્તકોની સંખ્યા કેટલી છે?

એક પ્રશ્નપત્ર $A$ અને $B$ એમ બે ભાગમાં વહેંચાયેલું છે,જેમાં દરેક ભાગમાં $5$ પ્રશ્નો છે. જો ઉમેદવારે કુલ $6$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના હોય,તો તે દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા $2$ પ્રશ્નો પસંદ કરે તે રીતે કેટલી રીતે પસંદગી કરી શકે?

એક ફળોની ટોપલીમાં $4$ નારંગી,$5$ સફરજન અને $7$ કેરી છે. ટોપલીમાં રહેલા ફળોમાંથી ઓછામાં ઓછું એક ફળ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$^{47}C_4 + \sum_{r=1}^5 {}^{52-r}C_3 = $

કોઈપણ $r$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હંમેશા કોના વડે વિભાજ્ય હોય છે?