Circular permutations Questions in Gujarati

(C) જો $11$ સભ્યોને વર્તુળાકારમાં એવી રીતે ગોઠવવાના હોય કે પ્રમુખ અને સચિવ હંમેશા સાથે રહે,તો આપણે પ્રમુખ અને સચિવને એક એકમ તરીકે ગણીશું.
હવે,આપણી પાસે $9$ અન્ય સભ્યો અને $1$ એકમ (પ્રમુખ + સચિવ) છે,આમ કુલ $10$ એકમોને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાના છે.
$n$ વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે.
તેથી,$10$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો $(10-1)! = 9!$ થાય.
એકમની અંદર,પ્રમુખ અને સચિવને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $9! \times 2$ થાય.

(A) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે.
વીંટી અથવા હારના કિસ્સામાં,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અને તેની વિરુદ્ધ દિશાની ગોઠવણી સમાન ગણવામાં આવે છે.
તેથી,$n$ ચાવીઓને વીંટીમાં ગોઠવવાની રીતો $\frac{(n-1)!}{2}$ છે.
$n = 5$ માટે,રીતોની સંખ્યા $\frac{(5-1)!}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{1}{2} \times 4!$ થાય.

(B) $5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓને વર્તુળમાં એવી રીતે ગોઠવવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે,આપણે પહેલા $5$ છોકરીઓને વર્તુળમાં ગોઠવીએ છીએ.
$5$ છોકરીઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(5 - 1)! = 4!$ છે.
આનાથી છોકરીઓની વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ બને છે જ્યાં $5$ છોકરાઓ બેસી શકે છે.
આ $5$ જગ્યાઓમાં $5$ છોકરાઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $5!$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $4! \times 5!$ છે.

(D) આ ઉકેલવા માટે,આપણે $3$ નિર્દિષ્ટ સજ્જનોને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવવા માટે $(12 - 3 + 1) = 10$ એકમો છે.
$10$ એકમોને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(10 - 1)! = 9!$ છે.
એકમના અંદર,$3$ નિર્દિષ્ટ સજ્જનો પોતાની વચ્ચે $3!$ રીતે ગોઠવાઈ શકે છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $3! \times 9!$ છે.

(A) ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ $15$ સભ્યોને એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે સેક્રેટરી અને ડેપ્યુટી સેક્રેટરી ચેરમેનની બંને બાજુએ બેસે,તેથી આપણે આ $3$ સભ્યોના જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
આમ કરવાથી આપણી પાસે ગોળાકારમાં ગોઠવવા માટે $15 - 3 + 1 = 13$ એકમો બાકી રહે છે.
$13$ એકમોને ગોળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો $(13 - 1)! = 12!$ છે.
$3$ સભ્યોના જૂથમાં,સેક્રેટરી અને ડેપ્યુટી સેક્રેટરી ચેરમેનની બંને બાજુએ પોતાની જગ્યા અદલાબદલી કરી શકે છે,જે $2! = 2$ રીતે થઈ શકે છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $12! \times 2$ છે.

(D) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે.
હાર અથવા માળાના કિસ્સામાં,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવણી સમાન ગણાય છે કારણ કે હારને ઉલટાવી શકાય છે.
તેથી,$n$ ફૂલોમાંથી હાર બનાવવાની રીતો $\frac{(n-1)!}{2}$ છે.
$n = 10$ માટે,રીતોની સંખ્યા $\frac{(10-1)!}{2} = \frac{9!}{2}$ થાય.

(B) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 20 + 1 = 21$ છે.
ધારો કે યજમાન $H$ છે અને બે ચોક્કસ વ્યક્તિઓ $P_1$ અને $P_2$ છે.
કારણ કે $P_1$ અને $P_2$ એ યજમાનની બંને બાજુએ બેસવું જોઈએ,આપણે $(P_1, H, P_2)$ જૂથને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
આનાથી $21 - 3 = 18$ અન્ય વ્યક્તિઓ અને $1$ એકમ બાકી રહે છે,જે વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે કુલ $19$ એકમો બનાવે છે.
વર્તુળમાં $n$ વસ્તુઓને ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે,તેથી $19$ એકમોને $(19-1)! = 18!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$(P_1, H, P_2)$ એકમની અંદર,બે વ્યક્તિઓ $P_1$ અને $P_2$ ને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે (એટલે કે $P_1HP_2$ અથવા $P_2HP_1$).
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $2 \times 18!$ છે.

(A) $n$ અલગ-અલગ મણકાને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(n - 1)!$ છે.
હાર માટે,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવણી સમાન ગણવામાં આવે છે કારણ કે હારને ઉલટાવી શકાય છે.
તેથી,$n$ મણકા વડે હાર બનાવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{(n - 1)!}{2}$ છે.
$n = 5$ માટે,રીતોની સંખ્યા $\frac{(5 - 1)!}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12$ થાય.

(B) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(n - 1)!$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું કારણ એ છે કે વર્તુળાકાર ગોઠવણીમાં,પરિભ્રમણીય સમાનતાને ધ્યાનમાં લેવા માટે એક સ્થાન નિશ્ચિત કરવામાં આવે છે,જેથી બાકીના $(n - 1)$ સ્થાનો પર $(n - 1)$ વસ્તુઓને ગોઠવવાની રહે છે.

(A) પ્રથમ,$5$ પુરુષ સભ્યોને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ બેસાડો. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળાકાર ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$5$ પુરુષોને $(5-1)! = 4! = 24$ રીતે બેસાડી શકાય.
$5$ પુરુષોને બેસાડ્યા પછી,તેમની વચ્ચે $5$ ખાલી જગ્યાઓ બને છે.
બે સ્ત્રીઓ એકસાથે ન બેસે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે તેમને આ $5$ ઉપલબ્ધ જગ્યાઓમાંથી બે જગ્યાએ બેસાડવી પડશે.
$5$ જગ્યાઓમાંથી $2$ સ્ત્રીઓને પસંદ કરીને ગોઠવવાની રીતો ${}^5P_2 = \frac{5!}{(5-2)!} = 5 \times 4 = 20$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $4! \times {}^5P_2 = 24 \times 20 = 480$ છે.

(D) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને હારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $n!$ છે.
વર્તુળાકાર ગોઠવણીમાં,પરિભ્રમણોને સમાન ગણવામાં આવે છે.
$n$ વસ્તુઓની કોઈપણ રેખીય ગોઠવણી માટે $n$ શક્ય પરિભ્રમણો હોવાથી,આપણે રેખીય ક્રમચયોને $n$ વડે ભાગીએ છીએ.
તેથી,વર્તુળાકાર ક્રમચયોની સંખ્યા $\frac{n!}{n} = (n - 1)!$ છે.

(A) પ્રથમ,$6$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલ પર ગોઠવો. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$6$ પુરુષોને $(6-1)! = 5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
પુરુષોને ગોઠવ્યા પછી,તેમની વચ્ચે $6$ જગ્યાઓ (gaps) બને છે.
કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે તે માટે,આપણે $6$ જગ્યાઓમાંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરીને તેમાં $5$ સ્ત્રીઓને ગોઠવવી પડશે.
$6$ જગ્યાઓમાંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીત $^6C_5$ છે અને $5$ સ્ત્રીઓને આ જગ્યાઓમાં $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ રીતો $= 5! \times P(6, 5) = 5! \times 6!$.

(A) $12$ વ્યક્તિઓને ગોળાકાર ટેબલ પર ગોઠવવાની કુલ રીતો $(12 - 1)! = 11!$ છે.
$2$ ચોક્કસ વ્યક્તિઓ એકબીજાની બાજુમાં બેસે તેવી કુલ રીતો શોધવા માટે,આપણે તેમને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. હવે,આપણી પાસે ગોળાકારમાં ગોઠવવા માટે $11$ એકમો છે,જે $(11 - 1)! = 10!$ રીતે કરી શકાય છે.
આ $2$ ચોક્કસ વ્યક્તિઓ પોતાની વચ્ચે $2! = 2$ રીતે ગોઠવાઈ શકે છે,તેથી તેઓ સાથે બેસે તેવી કુલ રીતો $10! \times 2$ છે.
તેઓ એકબીજાની બાજુમાં ન હોય તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા કુલ ગોઠવણીઓમાંથી તેઓ સાથે બેસે તેવી ગોઠવણીઓ બાદ કરવાથી મળે છે:
$11! - (10! \times 2) = (11 \times 10!) - (2 \times 10!) = (11 - 2) \times 10! = 9 \times 10!$.

(A) રીંગમાં ચાવીઓની ગોઠવણી એ વર્તુળાકાર ક્રમચયનો કિસ્સો છે જ્યાં ઘડિયાળના કાંટાની દિશા અને તેની વિરુદ્ધ દિશાની ગોઠવણી સમાન ગણવામાં આવે છે.
$n$ ભિન્ન વસ્તુઓના વર્તુળાકાર ક્રમચય માટેનું સૂત્ર $(n - 1)!$ છે.
રીંગ અથવા હાર માટે,ગોઠવણીની રીતોની સંખ્યા $\frac{(n - 1)!}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 5$ છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $= \frac{(5 - 1)!}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

(B) પ્રથમ,$5$ છોકરાઓને વર્તુળાકાર ટેબલની આસપાસ બેસાડો. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$5$ છોકરાઓને $(5-1)! = 4!$ રીતે બેસાડી શકાય.
છોકરાઓને બેસાડ્યા પછી,તેમની વચ્ચે $5$ ખાલી જગ્યાઓ બને છે.
કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન બેસે તે માટે,આપણે $5$ છોકરીઓને આ $5$ જગ્યાઓ પર બેસાડવી પડે. $5$ છોકરીઓને $5$ જગ્યાઓ પર ગોઠવવાની રીતો $5!$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $4! \times 5!$ છે.

(A) યુગલને એક એકમ તરીકે ગણો. હવે,આપણી પાસે $1$ એકમ (યુગલ) અને $6$ મહેમાનો છે,જે વર્તુળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવવા માટે કુલ $7$ એકમો બનાવે છે.
વર્તુળમાં $n$ વસ્તુઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(n-1)!$ છે.
તેથી,આ $7$ એકમોને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(7-1)! = 6! = 720$ છે.
યુગલના એકમની અંદર,$2$ વ્યક્તિઓ પોતાની જાતને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકે છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $6! \times 2! = 720 \times 2 = 1440$ છે.

(C) પ્રથમ,$6$ પુરૂષોને વર્તુળાકાર ટેબલની ફરતે ગોઠવો. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$6$ પુરૂષો $(6-1)! = 5!$ રીતે બેસી શકે.
આ ગોઠવણી પુરૂષોની વચ્ચે $6$ ખાલી જગ્યાઓ બનાવે છે જ્યાં $5$ સ્ત્રીઓને બેસાડી શકાય.
કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે તે માટે,આપણે $6$ માંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરીશું અને તેમાં $5$ સ્ત્રીઓને ગોઠવીશું. આ $P(6, 5)$ રીતે કરી શકાય.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 5! \times P(6, 5) = 120 \times 720 = 86400$.

(A) $6$ ભિન્ન મણકાઓમાંથી $4$ મણકાં પસંદ કરવાની રીતો $^6C_4 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ છે.
માળા માટે,સમઘડી અને વિષમઘડી ગોઠવણી સમાન ગણાય છે.
$n$ વસ્તુઓની વર્તુળાકાર ગોઠવણીની સંખ્યા $(n-1)!$ છે.
$4$ મણકાની માળા માટે,ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{(4-1)!}{2} = \frac{3!}{2} = \frac{6}{2} = 3$ છે.
તેથી,માળા બનાવવાની કુલ રીતો $15 \times 3 = 45$ થાય.

(A) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓની વર્તુળાકાર ગોઠવણી $(n - 1)!$ રીતે થઈ શકે છે.
હાર (નેકલેસ) માટે,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાંની ગોઠવણી સમાન ગણાય છે કારણ કે હારને ઉલટાવી શકાય છે.
તેથી,$n$ મણકાને હારમાં પરોવવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{(n - 1)!}{2}$ છે.
અહીં $n = 8$ હોવાથી,રીતોની સંખ્યા $\frac{(8 - 1)!}{2} = \frac{7!}{2}$ થાય.
$7! = 5040$ હોવાથી,$\frac{5040}{2} = 2520$ મળે.

(D) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓ માટે,વર્તુળાકાર ક્રમચયની સંખ્યા $(n - 1)!$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(A) $12$ વ્યક્તિઓને વર્તુળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવવાની કુલ રીતો $(12-1)! = 11!$ છે.
બે ચોક્કસ વ્યક્તિઓ સાથે બેસે તેવી ગોઠવણી શોધવા માટે,આપણે તેમને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. આથી આપણી પાસે વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે $11$ એકમો બાકી રહે છે,જે $(11-1)! = 10!$ રીતે કરી શકાય છે. કારણ કે તે બે વ્યક્તિઓ અંદરોઅંદર અદલાબદલી કરી શકે છે,તેથી તેઓ $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
આમ,તેઓ સાથે બેસે તેવી કુલ રીતો $2 \times 10!$ છે.
તેઓ સાથે ન બેસે તેવી રીતો શોધવા માટે,કુલ ગોઠવણીમાંથી સાથે બેસે તેવી ગોઠવણી બાદ કરતા:
$11! - 2 \times 10! = 11 \times 10! - 2 \times 10! = (11-2) \times 10! = 9 \times 10!$.

(B) પ્રથમ,એક રંગના $10$ મોતીને વર્તુળાકારમાં ગોઠવો. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. સમાન રંગના મોતી હોવાથી,$10$ મોતીને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો $\frac{(10-1)!}{2} = \frac{9!}{2}$ થાય.
હવે,આ $10$ મોતીની વચ્ચે $10$ ખાલી જગ્યાઓ બને છે. આપણે બીજા રંગના $10$ મોતીને આ $10$ જગ્યાઓમાં ગોઠવવાના છે. પ્રથમ રંગના મોતીના સાપેક્ષમાં સ્થાન નિશ્ચિત હોવાથી,બીજા રંગના $10$ મોતીને ગોઠવવાની રીતો $10!$ થાય.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $\frac{9!}{2} \times 10! = \frac{9!}{2} \times (10 \times 9!) = 5 \times (9!)^2$ થાય.

(B) પ્રથમ,$7$ પુરૂષોને વર્તૂળાકાર ટેબલની ફરતે બેસાડો. વર્તુળમાં $n$ વસ્તુઓને ગોઠવવાની રીત $(n-1)!$ છે. તેથી,$7$ પુરૂષોને $(7-1)! = 6!$ રીતે બેસાડી શકાય.
આ ગોઠવણીથી પુરૂષોની વચ્ચે $7$ ખાલી જગ્યાઓ બને છે.
કોઈપણ બે સ્ત્રીઓ એક સાથે ન બેસે તે માટે,આપણે $7$ સ્ત્રીઓને આ $7$ જગ્યાઓ પર બેસાડવી પડે.
$7$ સ્ત્રીઓને $7$ જગ્યાઓ પર બેસાડવાની રીત $7!$ છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $6! \times 7!$ થાય.

(B) $7$ વ્યક્તિઓને ( $5$ પુરુષો અને $2$ સ્ત્રીઓ) વર્તુળાકાર ટેબલની ફરતે બેસાડવાની કુલ રીતો $(7-1)! = 6! = 720$ છે.
જ્યારે બે સ્ત્રીઓ સાથે બેસે,ત્યારે તે બે સ્ત્રીઓને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $5$ પુરુષો અને $1$ સ્ત્રીઓનો એકમ એમ કુલ $6$ એકમો થાય.
$6$ એકમોને વર્તુળાકાર ટેબલની ફરતે બેસાડવાની રીતો $(6-1)! = 5! = 120$ છે.
$2$ સ્ત્રીઓ પોતાની વચ્ચે $2! = 2$ રીતે ગોઠવાઈ શકે છે,તેથી બે સ્ત્રીઓ સાથે બેસે તેવી કુલ રીતો $120 \times 2 = 240$ થાય.
બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે તેવી રીતો શોધવા માટે,કુલ રીતોમાંથી સાથે બેસવાની રીતો બાદ કરતા: $720 - 240 = 480$.

(D) $n$ વ્યક્તિઓને વર્તુળાકાર ટેબલની આસપાસ બેસાડવાની રીતોની સંખ્યા $(n-1)!$ છે.
$n = 10$ માટે,કુલ ભિન્ન વર્તુળાકાર ગોઠવણીઓ $(10-1)! = 9!$ થાય.
પરંતુ,વર્તુળાકાર ક્રમચયમાં,જો સમઘડી અને વિષમઘડી ગોઠવણી સમાન ગણવામાં આવે,તો આપણે $2$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ.
આમ,એવી ભિન્ન ગોઠવણીઓ કે જેમાં કોઈ પણ બે ગોઠવણીમાં સમાન પાડોશી ન હોય તેની સંખ્યા $\frac{(n-1)!}{2} = \frac{9!}{2}$ થાય.

(B) દરેક સ્ત્રીની બાજુમાં એક પુરૂષ બેસે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે પહેલા $7$ સ્ત્રીઓને વર્તૂળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવીએ છીએ. $7$ સ્ત્રીઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)! = (7-1)! = 6!$ છે.
આ $7$ સ્ત્રીઓની વચ્ચે $7$ જગ્યાઓ (gaps) બને છે. આપણે આ $7$ જગ્યાઓમાં $7$ પુરૂષોને બેસાડીએ છીએ. $7$ પુરૂષોને આ $7$ જગ્યાઓમાં ગોઠવવાની રીતો $7!$ છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની રીતો $6! \times 7!$ થાય.

(D) $8$ વ્યક્તિઓને ગોળાકાર ટેબલ પર ગોઠવવાની કુલ રીતો $(8-1)! = 7!$ છે.
તેમને એકાંતરે બેસાડવા માટે,પહેલા $4$ સજ્જનોને ગોળાકાર ટેબલ પર $(4-1)! = 3!$ રીતે ગોઠવો.
સજ્જનોની વચ્ચે $4$ જગ્યાઓ બને છે,જ્યાં $4$ મહિલાઓને $4!$ રીતે બેસાડી શકાય છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 3! \times 4!$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3! \times 4!}{7!} = \frac{6 \times 24}{5040} = \frac{1}{35}$.

(B) $n$ વ્યક્તિઓ વર્તુળાકાર ટેબલની આસપાસ બેસવાની કુલ રીતો $= (n - 1)!$ છે.
બે ચોક્કસ વ્યક્તિઓ સાથે બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા $= 2! \times (n - 2)!$ છે.
તેઓ સાથે બેસે તેની સંભાવના $p = \frac{2! (n - 2)!}{(n - 1)!} = \frac{2}{n - 1}$ છે.
તેઓ સાથે ન બેસે તેની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{2}{n - 1} = \frac{n - 3}{n - 1}$ છે.
પ્રતિકૂળ સંભાવના અને સાનુકૂળ સંભાવનાનો ગુણોત્તર $q : p = \frac{n - 3}{n - 1} : \frac{2}{n - 1} = (n - 3) : 2$ થાય.

(B) $n$ વ્યક્તિઓ ગોળાકાર ટેબલ પર બેસે તે કુલ રીતો $(n - 1)!$ છે.
બે ચોક્કસ વ્યક્તિઓ સાથે બેસે તે માટે,તેમને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $(n - 1)$ એકમો છે,જે $(n - 2)!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે. આ બે વ્યક્તિઓ પોતાની વચ્ચે $2!$ રીતે ગોઠવાય છે.
તેથી,સાનુકૂળ રીતોની સંખ્યા $2! \times (n - 2)!$ છે.
તેઓ સાથે બેસે તેની સંભાવના $p = \frac{2! \times (n - 2)!}{(n - 1)!} = \frac{2}{n - 1}$ છે.
ઘટનાની વિરુદ્ધની સંભાવના $(1 - p) : p$ દ્વારા મળે છે.
$(1 - \frac{2}{n - 1}) : \frac{2}{n - 1} = \frac{n - 3}{n - 1} : \frac{2}{n - 1} = (n - 3) : 2$.

(B) સૌ પ્રથમ,$4$ છોકરીઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો. આ $(4 - 1)! = 3! = 6$ રીતે કરી શકાય છે.
છોકરીઓની વચ્ચે $4$ જગ્યાઓ બને છે. $3$ છોકરાઓ આ $4$ જગ્યાઓમાંથી કોઈપણ જગ્યાએ બેસી શકે છે.
આ $^4P_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 4! = 24$ રીતે કરી શકાય છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$ છે.

(C) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $2$ (અમેરિકન) + $2$ (બ્રિટિશ) + $1$ (ચાઇનીઝ) + $1$ (ડચ) + $1$ (ઇજિપ્તીયન) = $7$ વ્યક્તિઓ.
ધારો કે વ્યક્તિઓ $A_1, A_2$ (અમેરિકન),$B_1, B_2$ (બ્રિટિશ),$C$ (ચાઇનીઝ),$D$ (ડચ),અને $E$ (ઇજિપ્તીયન) છે.
આપણે તેમને વર્તુળાકારમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે $A_1, A_2$ સાથે ન હોય અને $B_1, B_2$ સાથે ન હોય.
પ્રથમ,$5$ વ્યક્તિઓને $(C, D, E, A_1, B_1)$ વર્તુળમાં $(5-1)! = 4! = 24$ રીતે ગોઠવો.
આ $5$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ બને છે.
આપણે $A_2$ અને $B_2$ ને આ $5$ જગ્યાઓમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે તેઓ તેમની રાષ્ટ્રીયતા ધરાવતી વ્યક્તિઓની બાજુમાં ન હોય.
ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન અથવા ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,કુલ ગોઠવણીઓ જેમાં $A_1, A_2$ અલગ હોય અને $B_1, B_2$ અલગ હોય તે $336$ છે.

(A) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $5 + 3 = 8$.
$8$ વ્યક્તિઓને ગોળાકાર ટેબલ પર બેસાડવાની કુલ રીતો = $(8-1)! = 7!$.
હવે,ધારો કે $B_1$ અને $G_1$ સાથે બેસે છે. $(B_1, G_1)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો.
હવે આપણી પાસે વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે $7$ એકમો છે,જે $(7-1)! = 6!$ રીતે કરી શકાય છે.
એકમની અંદર,$B_1$ અને $G_1$ ને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,તેઓ સાથે બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા = $2 \times 6!$.
તેઓ ક્યારેય બાજુમાં ન બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા = કુલ રીતો - તેઓ સાથે બેસે તેવી રીતો.
$= 7! - 2 \times 6! = 7 \times 6! - 2 \times 6! = (7-2) \times 6! = 5 \times 6!$.

(A) દરેક સ્ત્રીની બંને બાજુએ પુરુષ હોય તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,પુરુષો અને સ્ત્રીઓએ ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ એકાંતરે બેસવું પડશે.
પ્રથમ,$7$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. આમ,$7$ પુરુષોને $(7-1)! = 6!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
એકવાર પુરુષો બેસી જાય,પછી તેમની વચ્ચે $7$ અલગ જગ્યાઓ બને છે.
આ $7$ જગ્યાઓમાં $7$ સ્ત્રીઓને બેસાડવાની રીતો $7!$ છે.
તેથી,કુલ બેઠક વ્યવસ્થાની સંખ્યા $6! \times 7!$ છે.

(A) પ્રથમ,$7$ છોકરાઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવો. $7$ છોકરાઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(7-1)! = 6!$ છે.
વર્તુળાકાર ગોઠવણીમાં છોકરાઓ વચ્ચે $7$ જગ્યાઓ (gaps) બને છે.
આપણે $5$ છોકરીઓને આ $7$ જગ્યાઓમાંથી એવી રીતે બેસાડવાની છે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન બેસે. $7$ માંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^7C_5$ છે.
પસંદ કરેલી $5$ જગ્યાઓમાં $5$ છોકરીઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $5!$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $6! \times ^7C_5 \times 5!$.
$= 720 \times 21 \times 120 = 1,814,400$.
વિકલ્પ $A$ માં આપેલ પદની ગણતરી: $126 \times (120)^2 = 1,814,400$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $n$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચક્ર આલેખને $k$ રંગો વડે એવી રીતે રંગવાની રીતોની સંખ્યા $P(n, k)$ છે કે જેથી કોઈ પણ બે પાસપાસેના શિરોબિંદુઓ સમાન રંગના ન હોય.
આ માટેનું સૂત્ર $P(n, k) = (k-1)^n + (-1)^n(k-1)$ છે.
અહીં,$n = 5$ (વ્યક્તિઓની સંખ્યા) અને $k = 3$ (રંગોની સંખ્યા).
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$P(5, 3) = (3-1)^5 + (-1)^5(3-1)$
$P(5, 3) = 2^5 - 2$
$P(5, 3) = 32 - 2 = 30$.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $30$ છે.

(D) $m$ માટે: $5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓને હારમાં એકાંતરે બે રીતે ગોઠવી શકાય: ($B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$) અથવા ($G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$). દરેક કિસ્સામાં,$5$ છોકરાઓને $5!$ રીતે અને $5$ છોકરીઓને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય. તેથી,$m = 2 \times 5! \times 5! = 28800$.
$n$ માટે: $5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓને વર્તુળમાં એવી રીતે ગોઠવવા કે કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન હોય,પહેલા $5$ છોકરીઓને વર્તુળમાં $(5-1)! = 4! = 24$ રીતે ગોઠવો. આ તેમની વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ બનાવે છે. $5$ છોકરાઓને આ $5$ જગ્યાઓમાં $5! = 120$ રીતે ગોઠવી શકાય. તેથી,$n = 4! \times 5! = 2880$.
$m = kn$ આપેલ હોવાથી,$28800 = k \times 2880$,જેનો અર્થ છે કે $k = 10$.

(C) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે.
હાર માટે,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અને તેની વિરુદ્ધ દિશાની ગોઠવણી સમાન ગણાય છે,તેથી $n$ અલગ-અલગ મોતીઓમાંથી હાર બનાવવાની રીતો $\frac{(n-1)!}{2}$ છે.
અહીં $n = 8$ આપેલ છે,તેથી રીતોની સંખ્યા $\frac{(8-1)!}{2} = \frac{7!}{2}$ થશે.
$\frac{5040}{2} = 2520$.

(C) $6$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓને ગોળાકાર ટેબલ પર એવી રીતે ગોઠવવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન બેસે,આપણે પહેલા $6$ છોકરાઓને વર્તુળમાં ગોઠવીએ.
$6$ છોકરાઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(6-1)! = 5! = 120$ છે.
છોકરાઓને ગોઠવ્યા પછી,તેમની વચ્ચે $6$ જગ્યાઓ (gaps) બને છે.
આપણે $5$ છોકરીઓને આ $6$ જગ્યાઓમાંથી એવી રીતે ગોઠવવાની છે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન આવે.
$6$ માંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^6C_5 = 6$ છે.
$5$ છોકરીઓને પસંદ કરેલી જગ્યાઓમાં ગોઠવવાની રીતો $5! = 120$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $120 \times 6 \times 120 = 86400$ છે.

(C) $10$ વ્યક્તિઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ બેસાડવાની કુલ રીતો $(10-1)! = 9! = 362880$ છે.
ધારો કે $2$ ખાસ છોકરાઓ $B_1, B_2$ અને એક ખાસ છોકરી $G_1$ છે.
આપણે એવી ગોઠવણીઓ શોધવા માંગીએ છીએ જ્યાં $B_1, B_2, G_1$ સાથે ન બેસે.
પૂરક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,આપણે કુલમાંથી તે કિસ્સાઓ બાદ કરીએ છીએ જ્યાં તેઓ સાથે બેસે છે.
$(B_1, B_2, G_1)$ ને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે વર્તુળમાં ગોઠવવા માટે $8$ એકમો છે: $(8-1)! = 7! = 5040$.
એકમની અંદર,$B_1, B_2, G_1$ ને $3! = 6$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેઓ સાથે બેસે તેવા કુલ કિસ્સાઓ = $5040 \times 6 = 30240$.
તેઓ સાથે ન બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા = $362880 - 30240 = 332640$.

(B) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 5 + 3 = 8$.
ગોળાકાર ટેબલ પર $8$ વ્યક્તિઓને ગોઠવવાની કુલ રીતો $= (8-1)! = 7!$.
હવે,ધારો કે $B_1$ અને $G_1$ સાથે બેસે છે. $(B_1G_1)$ ને એક એકમ તરીકે ગણો.
હવે આપણી પાસે ગોળાકાર ટેબલ પર ગોઠવવા માટે $7$ એકમો છે,જે $(7-1)! = 6!$ રીતે કરી શકાય છે.
એકમની અંદર,$B_1$ અને $G_1$ ને $2! = 2$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,તેઓ સાથે બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા $= 6! \times 2$.
તેઓ ક્યારેય બાજુમાં ન બેસે તેવી રીતોની સંખ્યા $= 7! - (2 \times 6!) = 7 \times 6! - 2 \times 6! = (7-2) \times 6! = 5 \times 6!$.

(D) પગલું $1$: $21$ માંથી $12$ મિત્રોને પ્રથમ ટેબલ પર બેસવા માટે પસંદ કરો. રીતોની સંખ્યા $\binom{21}{12}$ છે.
પગલું $2$: ગોળાકાર ટેબલ પર $12$ મિત્રોને બેસાડવાની રીતોની સંખ્યા $(12-1)! = 11!$ છે.
પગલું $3$: બાકીના $9$ મિત્રોને બીજા ગોળાકાર ટેબલ પર બેસાડવાના છે. તેમને બેસાડવાની રીતોની સંખ્યા $(9-1)! = 8!$ છે.
પગલું $4$: કુલ રીતોની સંખ્યા $\binom{21}{12} \times 11! \times 8! = \frac{21!}{12!9!} \times 11! \times 8! = \frac{21!}{12 \times 9} = \frac{21!}{108}$ છે.

(A) પરિવારમાં કુલ $10$ સભ્યો છે: $1$ માતા,$1$ પિતા,$4$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓ.
કુલ પુરુષો = $1$ (પિતા) + $4$ (છોકરાઓ) = $5$.
કુલ સ્ત્રીઓ = $1$ (માતા) + $4$ (છોકરીઓ) = $5$.
પુરુષો અને સ્ત્રીઓ એકાંતરે બેસતા હોવાથી,$5$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલ પર $(5-1)! = 4! = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય.
આનાથી પુરુષોની વચ્ચે $5$ જગ્યાઓ બને છે.
માતા અને પિતા સાથે બેસવા જોઈએ.
જો પિતા $F_1$ સ્થાન પર હોય,તો માતા પિતાની બાજુની બે જગ્યાઓમાંથી એકમાં હોવી જોઈએ.
માતા માટે $2$ વિકલ્પો છે.
બાકીની $4$ સ્ત્રીઓને બાકીની $4$ જગ્યાઓમાં $4! = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ રીતો = $24 \times 2 \times 24 = 576$.

(A) ધારો કે રંગો $R, B, G$ છે. $n$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચક્ર આલેખ $C_n$ ને $k$ રંગો વડે એવી રીતે રંગવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી કોઈ પણ બે પાસપાસેના શિરોબિંદુઓ સમાન રંગના ન હોય,તે ક્રોમેટિક બહુપદી $P(C_n, k) = (k-1)^n + (-1)^n(k-1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 5$ (વ્યક્તિઓની સંખ્યા) અને $k = 3$ (રંગોની સંખ્યા).
કિંમતો મૂકતા:
$P(C_5, 3) = (3-1)^5 + (-1)^5(3-1)$
$= 2^5 - 2$
$= 32 - 2$
$= 30$
આમ,ટોપીઓ વહેંચવાની કુલ $30$ રીતો છે.

(A) $n$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા વર્તુળને $k$ રંગોથી એવી રીતે રંગવાની રીતોની સંખ્યા $P_n(k)$ છે કે જેથી કોઈ પણ બે પાસપાસેના શિરોબિંદુઓ સમાન રંગના ન હોય,જેનું સૂત્ર $P_n(k) = (k-1)^n + (-1)^n(k-1)$ છે.
અહીં,$n = 5$ (વ્યક્તિઓની સંખ્યા) અને $k = 3$ (રંગોની સંખ્યા).
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $P_5(3) = (3-1)^5 + (-1)^5(3-1)$.
$P_5(3) = 2^5 - 1(2) = 32 - 2 = 30$.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $30$ છે.

(A) $20$ પ્રતિનિધિઓને ગોળ ટેબલની આસપાસ એવી રીતે ગોઠવવા માટે કે જેથી $2$ ચોક્કસ પ્રતિનિધિઓ સાથે બેસે,આપણે તે $2$ પ્રતિનિધિઓને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે અન્ય $18$ પ્રતિનિધિઓ અને $1$ એકમ (જોડી) છે,જે કુલ $19$ એકમો બનાવે છે.
$19$ એકમોને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો $(19 - 1)! = 18!$ છે.
તે $2$ પ્રતિનિધિઓ તેમની અંદર $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $2! \times 18! = 2 \times 18!$ છે.

(A) પ્રથમ,$6$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$6$ પુરુષો $(6-1)! = 5!$ રીતે બેસી શકે છે.
આ $6$ પુરુષોની વચ્ચે $6$ જગ્યાઓ બને છે. આપણે $5$ સ્ત્રીઓને આ $6$ જગ્યાઓમાં એવી રીતે બેસાડવાની છે કે જેથી કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે.
$6$ જગ્યાઓમાં $5$ સ્ત્રીઓને ગોઠવવાની રીતો $P(6, 5) = \frac{6!}{(6-5)!} = 6!$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $5! \times 6!$ છે.

(A) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $(n-1)!$ છે.
માળાને ઉલટાવી શકાય છે,તેથી ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાંની ગોઠવણી સમાન ગણાય છે.
તેથી,$n$ અલગ-અલગ રંગના ફૂલોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવી વિવિધ માળાઓની સંખ્યા $\frac{(n-1)!}{2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 5$ માટે,માળાઓની સંખ્યા $\frac{(5-1)!}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12$ છે.

(B) $8$ માંથી $5$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની રીતો ${}^8C_5$ છે.
હવે,$5$ મહેમાનોને ગોળાકાર ટેબલ પર બેસાડવાની રીતો $(5-1)! = 4!$ છે.
બાકીના $3$ મહેમાનોને બીજા ગોળાકાર ટેબલ પર બેસાડવાની રીતો $(3-1)! = 2!$ છે.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા ${}^8C_5 \times 4! \times 2!$ છે.
ગણતરી: ${}^8C_5 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
કુલ રીતો $= 56 \times 24 \times 2 = 56 \times 48 = 2688$.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(D) કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $3 + 8 = 11$.
$11$ વ્યક્તિઓને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો = $(11 - 1)! = 10!$.
હવે,ધારો કે ત્રણેય બહેનો સાથે બેસે છે. $3$ બહેનોને $1$ એકમ તરીકે ગણો.
કુલ એકમો = $8$ ભાઈઓ + $1$ બહેનોનો એકમ = $9$ એકમો.
$9$ એકમોને વર્તુળાકારમાં ગોઠવવાની રીતો = $(9 - 1)! = 8!$.
$3$ બહેનો પોતાની વચ્ચે $3! = 6$ રીતે ગોઠવાઈ શકે છે.
તેથી,ત્રણેય બહેનો સાથે બેસે તેવી રીતો = $8! \times 6$.
ત્રણેય બહેનો સાથે ન બેસે તેવી રીતો = (કુલ ગોઠવણી) - (ત્રણેય બહેનો સાથે બેસે તેવી ગોઠવણી) = $10! - (8! \times 6)$.
$10! - 6 \times 8! = (10 \times 9 \times 8!) - (6 \times 8!) = (90 - 6) \times 8! = 84 \times 8!$.