Definition of combinations, Condition combinations Questions in Gujarati

(A) ટીમમાં ઓછામાં ઓછી $3$ છોકરીઓ હોવી જોઈએ. કારણ કે માત્ર $4$ છોકરીઓ ઉપલબ્ધ છે,તેથી $5$ સભ્યોની ટીમ માટે શક્યતાઓ નીચે મુજબ છે:
કિસ્સો $1$: $3$ છોકરીઓ અને $2$ છોકરાઓ.
પસંદગીની રીતો = $^{4}C_{3} \times ^{7}C_{2} = 4 \times 21 = 84$.
કિસ્સો $2$: $4$ છોકરીઓ અને $1$ છોકરો.
પસંદગીની રીતો = $^{4}C_{4} \times ^{7}C_{1} = 1 \times 7 = 7$.
કુલ રીતો = $84 + 7 = 91$.

(A) $9$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓમાંથી $7$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે.
સમિતિમાં બરાબર $3$ છોકરીઓ હોવી જોઈએ,તેથી જરૂરી છોકરાઓની સંખ્યા $7 - 3 = 4$ છે.
$4$ છોકરીઓમાંથી $3$ છોકરીઓ પસંદ કરવાની રીતો $= ^{4}C_{3}$.
$9$ છોકરાઓમાંથી $4$ છોકરાઓ પસંદ કરવાની રીતો $= ^{9}C_{4}$.
કુલ રીતો $= ^{4}C_{3} \times ^{9}C_{4}$.
$^{4}C_{3} = \frac{4!}{3!1!} = 4$.
$^{9}C_{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$.
કુલ રીતો $= 4 \times 126 = 504$.

(A) $9$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓમાંથી ઓછામાં ઓછી $3$ છોકરીઓ સાથે $7$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવા માટે,આપણે નીચેના કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:
કિસ્સો $1$: $3$ છોકરીઓ અને $4$ છોકરાઓ.
રીતોની સંખ્યા $= ^{4}C_{3} \times ^{9}C_{4} = 4 \times 126 = 504$.
કિસ્સો $2$: $4$ છોકરીઓ અને $3$ છોકરાઓ.
રીતોની સંખ્યા $= ^{4}C_{4} \times ^{9}C_{3} = 1 \times 84 = 84$.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 504 + 84 = 588$.

(A) સમિતિમાં વધુમાં વધુ $3$ છોકરીઓ હોવી જોઈએ,તેથી શક્યતાઓ નીચે મુજબ છે:
$(a)$ $3$ છોકરીઓ અને $4$ છોકરાઓ: $^{4}C_{3} \times ^{9}C_{4} = 4 \times 126 = 504$
$(b)$ $2$ છોકરીઓ અને $5$ છોકરાઓ: $^{4}C_{2} \times ^{9}C_{5} = 6 \times 126 = 756$
$(c)$ $1$ છોકરી અને $6$ છોકરાઓ: $^{4}C_{1} \times ^{9}C_{6} = 4 \times 84 = 336$
$(d)$ $0$ છોકરીઓ અને $7$ છોકરાઓ: $^{4}C_{0} \times ^{9}C_{7} = 1 \times 36 = 36$
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 504 + 756 + 336 + 36 = 1632$.

(A) પગલું $1$: $5$ ઉપલબ્ધ સ્વરોમાંથી $2$ અલગ સ્વરો પસંદ કરો. પસંદગીના પ્રકારો $^{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
પગલું $2$: $21$ ઉપલબ્ધ વ્યંજનોમાંથી $2$ અલગ વ્યંજનો પસંદ કરો. પસંદગીના પ્રકારો $^{21}C_{2} = \frac{21 \times 20}{2 \times 1} = 210$ છે.
પગલું $3$: $2$ સ્વરો અને $2$ વ્યંજનોના કુલ સંયોજનો $10 \times 210 = 2100$ છે.
પગલું $4$: દરેક સંયોજનમાં $4$ અલગ અક્ષરો હોય છે,જેમને $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે. $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
પગલું $5$: બનાવી શકાય તેવા કુલ શબ્દોની સંખ્યા $2100 \times 24 = 50400$ છે.

(A) પ્રશ્નપત્રમાં $12$ પ્રશ્નો છે: ભાગ $I$ ($5$ પ્રશ્નો) અને ભાગ $II$ ($7$ પ્રશ્નો).
વિદ્યાર્થીએ કુલ $8$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે,જેમાં દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા $3$ પ્રશ્નો હોવા જોઈએ. શક્ય સંયોજનો નીચે મુજબ છે:
$(a)$ ભાગ $I$ માંથી $3$ પ્રશ્નો અને ભાગ $II$ માંથી $5$ પ્રશ્નો: $^{5}C_{3} \times ^{7}C_{5} = 10 \times 21 = 210$ રીતો.
$(b)$ ભાગ $I$ માંથી $4$ પ્રશ્નો અને ભાગ $II$ માંથી $4$ પ્રશ્નો: $^{5}C_{4} \times ^{7}C_{4} = 5 \times 35 = 175$ રીતો.
$(c)$ ભાગ $I$ માંથી $5$ પ્રશ્નો અને ભાગ $II$ માંથી $3$ પ્રશ્નો: $^{5}C_{5} \times ^{7}C_{3} = 1 \times 35 = 35$ રીતો.
કુલ રીતો = $210 + 175 + 35 = 420$ રીતો.

(A) $52$ પત્તાના ડેકમાં $4$ રાજા અને $48$ અન્ય પત્તા હોય છે.
આપણે $5$ પત્તા એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેમાં બરાબર એક રાજા હોય.
પ્રથમ,$4$ રાજામાંથી $1$ રાજા પસંદ કરવાની રીત $^{4}C_{1}$ છે.
ત્યારબાદ,બાકીના $48$ પત્તામાંથી $4$ પત્તા પસંદ કરવાની રીત $^{48}C_{4}$ છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ સંયોજનોની સંખ્યા $^{4}C_{1} \times ^{48}C_{4}$ થશે.

(A) કુલ વિદ્યાર્થીઓ = $25$. પસંદ કરવાના વિદ્યાર્થીઓ = $10$.
કિસ્સો $I$: ત્રણેય ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ પ્રવાસમાં જોડાય છે.
બાકીના $10 - 3 = 7$ વિદ્યાર્થીઓને બાકીના $25 - 3 = 22$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી પસંદ કરવાના રહે.
રીતોની સંખ્યા = $^{22}C_{7}$.
કિસ્સો $II$: ત્રણેય ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ પ્રવાસમાં જોડાતા નથી.
બાકીના $25 - 3 = 22$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી $10$ વિદ્યાર્થીઓને પસંદ કરવાના રહે.
રીતોની સંખ્યા = $^{22}C_{10}$.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $^{22}C_{7} + ^{22}C_{10}$.

(A) $1$ થી $20$ માંથી $6$ અલગ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો સંયોજન સૂત્ર $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
કુલ રીતો $= ^{20}C_{6} = \frac{20!}{6! \times 14!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 38760$.
લોટરી સમિતિ દ્વારા માત્ર એક જ ચોક્કસ સંયોજન નક્કી કરવામાં આવ્યું હોવાથી,સાનુકૂળ પરિણામ $1$ છે.
તેથી,ઇનામ જીતવાની સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{1}{38760}$ છે.

(A) ધારો કે $3$-અંકી સંખ્યા $xyz$ છે,જ્યાં $x$ એ સેકન્ડનો અંક,$y$ એ દશકનો અંક અને $z$ એ એકમનો અંક છે.
આપણને શરત આપી છે કે $x + y + z = 10$,જ્યાં $1 \leq x \leq 9$ અને $0 \leq y, z \leq 9$.
ધારો કે $T = x - 1$,તેથી $x = T + 1$. કારણ કે $1 \leq x \leq 9$,તેથી $0 \leq T \leq 8$.
સમીકરણમાં મૂકતા: $(T + 1) + y + z = 10 \implies T + y + z = 9$.
$T + y + z = 9$ ના અ-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+r-1}{r-1} = \binom{9+3-1}{3-1} = \binom{11}{2} = 55$ છે.
પરંતુ,આપણે એવા કિસ્સાઓ બાકાત રાખવા પડશે જ્યાં અંકો $9$ થી વધી જાય.
$T \leq 8$,$y \leq 9$,અને $z \leq 9$ હોવાથી,માત્ર $T=9$ વાળો કિસ્સો બાકાત રાખવો પડે (જેનો અર્થ $x=10$ થાય,જે શક્ય નથી).
જો $T=9$ હોય,તો $y=0$ અને $z=0$ થાય. આ $1$ કિસ્સો છે.
તેથી,કુલ $3$-અંકી સંખ્યાઓ $55 - 1 = 54$ છે.

(A) ધારો કે $I$ ભારતીયોની સંખ્યા છે અને $F$ વિદેશીઓની સંખ્યા છે. આપણને આપેલ છે કે $I \ge 2$ અને $F = 2I$.
અહીં $6$ ભારતીયો અને $8$ વિદેશીઓ ઉપલબ્ધ છે,તેથી $I \le 6$ અને $F \le 8$ હોવું જોઈએ.
$F = 2I$ મૂકતા,આપણને $2I \le 8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $I \le 4$.
આમ,$I$ માટે શક્ય કિંમતો $2, 3, 4$ છે.

$I$ (ભારતીયો)	$F$ (વિદેશીઓ)	રીતોની સંખ્યા
$2$	$4$	${}^{6}C_{2} \times {}^{8}C_{4} = 15 \times 70 = 1050$
$3$	$6$	${}^{6}C_{3} \times {}^{8}C_{6} = 20 \times 28 = 560$
$4$	$8$	${}^{6}C_{4} \times {}^{8}C_{8} = 15 \times 1 = 15$

કુલ રીતોની સંખ્યા $= 1050 + 560 + 15 = 1625$.

(C) કુલ ખેલાડીઓ = $15$ ($6$ બોલરો,$7$ બેટ્સમેન,$2$ વિકેટકીપર).
આપણે $11$ ખેલાડીઓ એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછા $4$ બોલરો,$5$ બેટ્સમેન અને $1$ વિકેટકીપર હોય.
(બોલરો,બેટ્સમેન,વિકેટકીપર) માટે શક્ય કિસ્સાઓ:
$1$. $(4, 5, 2): {}^{6}C_{4} \times {}^{7}C_{5} \times {}^{2}C_{2} = 15 \times 21 \times 1 = 315$
$2$. $(4, 6, 1): {}^{6}C_{4} \times {}^{7}C_{6} \times {}^{2}C_{1} = 15 \times 7 \times 2 = 210$
$3$. $(5, 5, 1): {}^{6}C_{5} \times {}^{7}C_{5} \times {}^{2}C_{1} = 6 \times 21 \times 2 = 252$
કુલ સરવાળો: $315 + 210 + 252 = 777$.
આમ,પસંદગીની કુલ રીતો $777$ છે.

(B) કુલ છોકરાઓ $n(B) = 10$ અને કુલ છોકરીઓ $n(G) = 5$ છે.
કોઈપણ પ્રતિબંધ વગર $3$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓનું જૂથ બનાવવાની કુલ રીતો:
$= {}^{10}C_{3} \times {}^{5}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 120 \times 10 = 1200$.
હવે,એવી રીતોની સંખ્યા શોધો જેમાં $B_{1}$ અને $B_{2}$ બંને જૂથના સભ્યો હોય. જો $B_{1}$ અને $B_{2}$ પહેલેથી જ પસંદ કરેલા હોય,તો આપણે બાકીના $8$ છોકરાઓમાંથી $1$ વધુ છોકરો અને $5$ છોકરીઓમાંથી $3$ છોકરીઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે:
$= {}^{8}C_{1} \times {}^{5}C_{3} = 8 \times 10 = 80$.
$B_{1}$ અને $B_{2}$ બંને એક જ જૂથમાં ન હોય તેવી રીતોની સંખ્યા કુલ રીતોમાંથી પ્રતિબંધિત રીતો બાદ કરવાથી મળે છે:
$= 1200 - 80 = 1120$.

(A) આપણી પાસે $5$ લાલ ઘન અને $11$ વાદળી ઘન છે. ધારો કે લાલ ઘન $R$ છે. $5$ લાલ ઘનને હારમાં ગોઠવતા $6$ જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં વાદળી ઘન મૂકી શકાય: $\_ R \_ R \_ R \_ R \_ R \_$.
ધારો કે $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ એ આ $6$ જગ્યાઓમાં વાદળી ઘનની સંખ્યા છે.
આપણને સમીકરણ મળે છે: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 11$.
શરત મુજબ કોઈપણ બે લાલ ઘન વચ્ચે ઓછામાં ઓછા $2$ વાદળી ઘન હોવા જોઈએ,તેથી $x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 2$ અને $x_1, x_6 \geq 0$.
ધારો કે $x_2 = t_2 + 2, x_3 = t_3 + 2, x_4 = t_4 + 2, x_5 = t_5 + 2$,જ્યાં $t_2, t_3, t_4, t_5 \geq 0$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $x_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5 + x_6 = 3$.
સ્ટાર્સ અને બાર્સના સૂત્ર મુજબ,ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+k-1}{k-1}$ છે,જ્યાં $n=3$ અને $k=6$.
રીતોની સંખ્યા $= \binom{3+6-1}{6-1} = \binom{8}{5} = \binom{8}{3} = 56$.

(A) છોકરાઓમાંથી $3$ છોકરાઓ અને $g$ છોકરીઓમાંથી $2$ છોકરીઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{b}C_{3} \times {}^{g}C_{2} = 168$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંયોજનનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{b(b-1)(b-2)}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{g(g-1)}{2 \times 1} = 168$.
$b(b-1)(b-2) \times g(g-1) = 168 \times 12 = 2016$.
$b$ અને $g$ માટે પૂર્ણાંક કિંમતો ચકાસતા: જો $b=8$ હોય,તો ${}^{8}C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56$.
તેથી ${}^{g}C_{2} = \frac{168}{56} = 3$.
${}^{g}C_{2} = 3$ માટે,$\frac{g(g-1)}{2} = 3$,તેથી $g(g-1) = 6$,જે $g=3$ આપે છે.
આમ,$b=8$ અને $g=3$.
$b + 3g = 8 + 3(3) = 8 + 9 = 17$.

(C) આપેલ અસમતા: $\binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{6} < \binom{n}{7}$.
પાસ્કલના નિત્યસમ $\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r} = \binom{n+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{6} = \binom{n}{6}$.
તેથી,$\binom{n}{6} < \binom{n}{7}$.
સૂત્ર મુજબ: $\frac{n!}{6!(n-6)!} < \frac{n!}{7!(n-7)!}$.
બંને બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{n-6} < \frac{1}{7}$.
તેથી,$n-6 > 7$,જેનો અર્થ છે $n > 13$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ પ્રાકૃતિક કિંમત $14$ છે.

(C) કુલ અભ્યાસક્રમો = $12$,ભાષાના અભ્યાસક્રમો = $5$,અન્ય અભ્યાસક્રમો = $7$.
આપણે $5$ અભ્યાસક્રમો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેમાં વધુમાં વધુ $2$ ભાષાના હોય.
કિસ્સો $1$: $0$ ભાષાના અને $5$ અન્ય અભ્યાસક્રમો:
$^{5}C_{0} \times ^{7}C_{5} = 1 \times 21 = 21$.
કિસ્સો $2$: $1$ ભાષાનો અને $4$ અન્ય અભ્યાસક્રમો:
$^{5}C_{1} \times ^{7}C_{4} = 5 \times 35 = 175$.
કિસ્સો $3$: $2$ ભાષાના અને $3$ અન્ય અભ્યાસક્રમો:
$^{5}C_{2} \times ^{7}C_{3} = 10 \times 35 = 350$.
કુલ રીતો = $21 + 175 + 350 = 546$.

(A) આપણી પાસે $7$ લાલ સફરજન $(RA)$,$5$ સફેદ સફરજન $(WA)$ અને $8$ નારંગી $(O)$ છે. આપણે $5$ ફળો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછી $2$ નારંગી,ઓછામાં ઓછું $1$ લાલ સફરજન અને ઓછામાં ઓછું $1$ સફેદ સફરજન હોય.
શક્ય સંયોજનો $(O, RA, WA)$ નીચે મુજબ છે:
$1. (2, 1, 2) \Rightarrow {}^{8}C_{2} \times {}^{7}C_{1} \times {}^{5}C_{2} = 28 \times 7 \times 10 = 1960$
$2. (2, 2, 1) \Rightarrow {}^{8}C_{2} \times {}^{7}C_{2} \times {}^{5}C_{1} = 28 \times 21 \times 5 = 2940$
$3. (3, 1, 1) \Rightarrow {}^{8}C_{3} \times {}^{7}C_{1} \times {}^{5}C_{1} = 56 \times 7 \times 5 = 1960$
કુલ રીતોની સંખ્યા = $1960 + 2940 + 1960 = 6860$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x+y+z=21$ છે,જ્યાં $x \geq 1, y \geq 3, z \geq 4$ છે.
ધારો કે $x' = x-1, y' = y-3, z' = z-4$,જ્યાં $x', y', z' \geq 0$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(x'+1) + (y'+3) + (z'+4) = 21$.
$x' + y' + z' + 8 = 21$.
$x' + y' + z' = 13$.
અન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\binom{n+r-1}{r-1}$ છે,જ્યાં $n=13$ અને $r=3$ છે.
ઉકેલોની સંખ્યા = $\binom{13+3-1}{3-1} = \binom{15}{2}$.
$\binom{15}{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 15 \times 7 = 105$.

(D) આપેલ છે કે $\frac{{}^{2n}C_3}{{}^{n}C_3} = 10$.
સૂત્ર ${}^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{n(n-1)(n-2)}{3 \times 2 \times 1}} = 10$
$\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{n(n-1)(n-2)} = 10$
$\frac{2(2n-1) \cdot 2(n-1)}{(n-1)(n-2)} = 10$
$\frac{4(2n-1)}{n-2} = 10$
$8n - 4 = 10n - 20$
$2n = 16 \Rightarrow n = 8$.
હવે,$n = 8$ ને ગુણોત્તર $(n^2 + 3n) : (n^2 - 3n + 4)$ માં મૂકતા:
$n^2 + 3n = 8^2 + 3(8) = 64 + 24 = 88$
$n^2 - 3n + 4 = 8^2 - 3(8) + 4 = 64 - 24 + 4 = 44$
ગુણોત્તર $= 88 : 44 = 2 : 1$.

(C) $UNIVERSE$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $U, N, I, V, E, R, S, E$.
ભિન્ન અક્ષરો $U, N, I, V, E, R, S$ છે.
અહીં $3$ સ્વર $\{U, I, E\}$ અને $4$ વ્યંજન $\{N, V, R, S\}$ છે.
$3$ માંથી $2$ સ્વર અને $4$ માંથી $2$ વ્યંજન પસંદ કરવાની રીતો = $\binom{3}{2} \times \binom{4}{2} = 3 \times 6 = 18$.
દરેક પસંદગીમાં $4$ ભિન્ન અક્ષરો હોય છે,જેને $4! = 24$ રીતે ગોઠવી શકાય.
કુલ શબ્દોની સંખ્યા = $18 \times 24 = 432$.

(A) આપેલ છે કે $n(A) = 5$ અને $n(B) = 2$.
કારતેઝીય ગુણાકાર $A \times B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 5 \times 2 = 10$ છે.
આપણે $A \times B$ ના એવા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવાની છે જેમાં ઓછામાં ઓછા $3$ અને વધુમાં વધુ $6$ ઘટકો હોય.
આ સંચયના સરવાળાની ગણતરી કરવા બરાબર છે: ${}^{10}C_3 + {}^{10}C_4 + {}^{10}C_5 + {}^{10}C_6$.
દરેક પદની ગણતરી:
${}^{10}C_3 = 120$
${}^{10}C_4 = 210$
${}^{10}C_5 = 252$
${}^{10}C_6 = 210$
આ કિંમતોનો સરવાળો: $120 + 210 + 252 + 210 = 792$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $^{n-1}C_r = (k^2 - 8) ^nC_{r+1}$
નિત્યસમ $^{n}C_{r+1} = \frac{n}{r+1} ^{n-1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^{n-1}C_r = (k^2 - 8) \cdot \frac{n}{r+1} ^{n-1}C_r$
$^{n-1}C_r \neq 0$ હોવાથી,આપણને મળે:
$1 = (k^2 - 8) \frac{n}{r+1} \Rightarrow \frac{r+1}{n} = k^2 - 8$
$0 \leq r+1 \leq n$ હોવાથી,$0 < \frac{r+1}{n} \leq 1$ થાય.
તેથી,$0 < k^2 - 8 \leq 1$.
$k^2 - 8 > 0$ ઉકેલતા $k^2 > 8$ મળે,એટલે કે $k > 2\sqrt{2}$ અથવા $k < -2\sqrt{2}$.
$k^2 - 8 \leq 1$ ઉકેલતા $k^2 \leq 9$ મળે,એટલે કે $-3 \leq k \leq 3$.
આ બંનેને જોડતા,ધન $k$ માટે,આપણને $2\sqrt{2} < k \leq 3$ મળે છે.

(D) આ પ્રશ્ન $n = 8$ સમાન વસ્તુઓને $4$ સમાન ખાનાઓમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા શોધવા માટે છે,જ્યાં ખાનાઓ ખાલી રહી શકે છે. આ $8$ ના મહત્તમ $4$ ભાગોમાં વિભાજનની સંખ્યા શોધવા સમાન છે,જેને $p_4(8)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
અમે $8$ ના મહત્તમ $4$ ભાગોમાં વિભાજનની યાદી બનાવીએ છીએ:
$1$ ભાગ: $(8) \rightarrow 1$ રીત
$2$ ભાગો: $(7,1), (6,2), (5,3), (4,4) \rightarrow 4$ રીતો
$3$ ભાગો: $(6,1,1), (5,2,1), (4,3,1), (4,2,2), (3,3,2) \rightarrow 5$ રીતો
$4$ ભાગો: $(5,1,1,1), (4,2,1,1), (3,3,1,1), (3,2,2,1), (2,2,2,2) \rightarrow 5$ રીતો
કુલ રીતોની સંખ્યા = $1 + 4 + 5 + 5 = 15$.

(B) ધારો કે $n_A, n_B, n_C$ એ વિભાગ $A, B, C$ માંથી પસંદ કરેલા પ્રશ્નોની સંખ્યા છે. આપણી પાસે $n_A + n_B + n_C = 15$ છે,જ્યાં $n_A \ge 4, n_B \ge 4, n_C \ge 4$ અને $n_A \le 8, n_B \le 6, n_C \le 6$ છે.
શક્ય સંયોજનો $(n_A, n_B, n_C)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. $(7, 4, 4): \binom{8}{7} \binom{6}{4} \binom{6}{4} = 1800$
$2$. $(6, 5, 4): \binom{8}{6} \binom{6}{5} \binom{6}{4} = 2520$
$3$. $(6, 4, 5): \binom{8}{6} \binom{6}{4} \binom{6}{5} = 2520$
$4$. $(5, 6, 4): \binom{8}{5} \binom{6}{6} \binom{6}{4} = 840$
$5$. $(5, 4, 6): \binom{8}{5} \binom{6}{4} \binom{6}{6} = 840$
$6$. $(5, 5, 5): \binom{8}{5} \binom{6}{5} \binom{6}{5} = 2016$
$7$. $(4, 6, 5): \binom{8}{4} \binom{6}{6} \binom{6}{5} = 420$
$8$. $(4, 5, 6): \binom{8}{4} \binom{6}{5} \binom{6}{6} = 420$
કુલ રીતો $= 1800 + 2520 + 2520 + 840 + 840 + 2016 + 420 + 420 = 11376$.

(D) ધારો કે ત્રણ બાળકોને આપવામાં આવતા સફરજનની સંખ્યા $x_1, x_2, x_3$ છે.
આપણને $x_1 + x_2 + x_3 = 21$ આપેલ છે,જ્યાં $x_i \ge 2$ છે.
ધારો કે $y_i = x_i - 2$,તેથી $y_i \ge 0$.
$x_i = y_i + 2$ મૂકતા,$(y_1 + 2) + (y_2 + 2) + (y_3 + 2) = 21$.
$y_1 + y_2 + y_3 + 6 = 21$,જેનું સાદું રૂપ $y_1 + y_2 + y_3 = 15$ થાય છે.
અન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર $\binom{n+r-1}{r-1}$ છે,જ્યાં $n = 15$ અને $r = 3$.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{15+3-1}{3-1} = \binom{17}{2}$.
$\binom{17}{2} = \frac{17 \times 16}{2 \times 1} = 17 \times 8 = 136$.

(D) $MATHEMATICS$ શબ્દમાં $11$ અક્ષરો છે: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, C, S$.
અહીં $8$ ભિન્ન અક્ષરો છે: $\{M, A, T, H, E, I, C, S\}$.
આપણે $5$ અક્ષરો પસંદ કરવાના છે. કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$(1)$ બધા $5$ અક્ષરો ભિન્ન હોય:
$8$ ભિન્ન અક્ષરોમાંથી $5$ અક્ષરો પસંદ કરતા: $^8C_5 = 56$.
$(2)$ $2$ અક્ષરો સમાન (એક જોડી) અને $3$ ભિન્ન હોય:
$3$ જોડીઓ છે $(M, M)$,$(A, A)$,$(T, T)$. $1$ જોડી પસંદ કરવાની રીત $^3C_1$ છે.
બાકીના $7$ ભિન્ન અક્ષરોમાંથી $3$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીત $^7C_3$ છે.
કુલ રીતો = $^3C_1 \times ^7C_3 = 3 \times 35 = 105$.
$(3)$ $2$ જોડી સમાન અક્ષરોની અને $1$ ભિન્ન અક્ષર હોય:
$3$ ઉપલબ્ધ જોડીઓમાંથી $2$ જોડી પસંદ કરવાની રીત $^3C_2$ છે.
બાકીના $6$ ભિન્ન અક્ષરોમાંથી $1$ અક્ષર પસંદ કરવાની રીત $^6C_1$ છે.
કુલ રીતો = $^3C_2 \times ^6C_1 = 3 \times 6 = 18$.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $56 + 105 + 18 = 179$.

(D) ધારો કે ત્રણ અંકની સંખ્યા $N = 100a + 10b + c$ છે,જ્યાં $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ અને $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
આપણે $a + b + c = 14$ સમીકરણના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે.
ઇન્ક્લુઝન-એક્સક્લુઝન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$a' = a - 1$ લેતા,$a' + b + c = 13$,જ્યાં $0 \leq a' \leq 8$,$0 \leq b \leq 9$,અને $0 \leq c \leq 9$.
કુલ ઉકેલો = $\binom{15}{2} = 105$.
મર્યાદા બહારના કિસ્સાઓ બાદ કરતા:
$a' \geq 9$ માટે: $\binom{6}{2} = 15$.
$b \geq 10$ માટે: $\binom{5}{2} = 10$.
$c \geq 10$ માટે: $\binom{5}{2} = 10$.
કુલ ઉકેલો = $105 - (15 + 10 + 10) = 70$.

(D) ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ માં $5$ એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ અને $4$ બેકી સંખ્યાઓ $\{2, 4, 6, 8\}$ છે.
આપણે $S$ ના $5$ ઘટકો ધરાવતા એવા ઉપગણોની કુલ સંખ્યા શોધી રહ્યા છીએ,જેમાં એકી ઘટકોની સંખ્યા $k$ એ $1, 2, 3, 4,$ અથવા $5$ હોય.
$S$ માં માત્ર $4$ બેકી સંખ્યાઓ હોવાથી,$5$ ઘટકોના કોઈપણ ઉપગણમાં ઓછામાં ઓછી $5 - 4 = 1$ એકી સંખ્યા હોવી જ જોઈએ.
તેથી,સરવાળો $N_1 + N_2 + N_3 + N_4 + N_5$ એ $S$ ના $9$ ઘટકોમાંથી $5$ ઘટકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો દર્શાવે છે.
આ સંચયના સૂત્ર $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
$N_1 + N_2 + N_3 + N_4 + N_5 = \binom{9}{5} = \binom{9}{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$.

(B) $n$ વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ એવી રીતે પસંદ કરવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે ક્રમિક ન હોય,સૂત્ર $^{n-r+1}C_r$ છે.
અહીં,$n = 15$ અને $r = 4$ છે.
રીતોની સંખ્યા $= ^{15-4+1}C_4 = ^{12}C_4$.
કિંમતની ગણતરી:
$^{12}C_4 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$.

(D) કોઈપણ પ્રતિબંધ વગર $2, 3, 4$ કદની ટીમો $X, Y, Z$ બનાવવાની કુલ રીતો $\binom{9}{2} \times \binom{7}{3} \times \binom{4}{4} = 36 \times 35 = 1260$ છે.
ધારો કે $A$ એ એવી રીતોનો સમૂહ છે જ્યાં $s_1 \in X$ અને $B$ એ એવી રીતોનો સમૂહ છે જ્યાં $s_2 \in Y$.
આપણે કુલ રીતોમાંથી ($s_1 \in X$ અથવા $s_2 \in Y$) હોય તેવી રીતો બાદ કરવા માંગીએ છીએ.
Inclusion-Exclusion ના સિદ્ધાંત મુજબ: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.
$|A|$ ($s_1 \in X$ હોય તેવી રીતો): $s_1$ ને $X$ માં નિશ્ચિત કરીએ,બાકીના $8$ માંથી $1$ ને $X$ માટે અને $7$ માંથી $3$ ને $Y$ માટે પસંદ કરીએ: $\binom{8}{1} \times \binom{7}{3} = 8 \times 35 = 280$.
$|B|$ ($s_2 \in Y$ હોય તેવી રીતો): $s_2$ ને $Y$ માં નિશ્ચિત કરીએ,બાકીના $8$ માંથી $2$ ને $X$ માટે અને $6$ માંથી $2$ ને $Y$ માટે પસંદ કરીએ: $\binom{8}{2} \times \binom{6}{2} = 28 \times 15 = 420$.
$|A \cap B|$ ($s_1 \in X$ અને $s_2 \in Y$ હોય તેવી રીતો): $s_1$ ને $X$ માં અને $s_2$ ને $Y$ માં નિશ્ચિત કરીએ,બાકીના $7$ માંથી $1$ ને $X$ માટે અને $6$ માંથી $2$ ને $Y$ માટે પસંદ કરીએ: $\binom{7}{1} \times \binom{6}{2} = 7 \times 15 = 105$.
$|A \cup B| = 280 + 420 - 105 = 595$.
કુલ માન્ય રીતો = $1260 - 595 = 665$.

(D) કુલ $26$ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરો છે. આપણે $5$ અક્ષરો પસંદ કરવાના છે અને તેમને મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવવાના છે જેથી મધ્યનો અક્ષર $M$ હોય.
મૂળાક્ષરોના ક્રમમાં ગોઠવણી હોવાથી,એકવાર $5$ અક્ષરો પસંદ થઈ જાય,પછી તેને ગોઠવવાની માત્ર $1$ જ રીત હોય છે.
મધ્યનો અક્ષર $M$ હોવા માટે,આપણે $M$ પહેલા આવતા $12$ અક્ષરોમાંથી ($A$ થી $L$) $2$ અક્ષરો અને $M$ પછી આવતા $13$ અક્ષરોમાંથી ($N$ થી $Z$) $2$ અક્ષરો પસંદ કરવા પડે.
$12$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$ છે.
$13$ માંથી $2$ અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતો $^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા $^{12}C_2 \times ^{13}C_2 = 66 \times 78 = 5148$ થાય.

(D) આપણે નિત્યસમ ${ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r-1}={ }^{n+1} C_{r}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,પ્રથમ બે પદો લો: ${ }^{15} C_4+{ }^{15} C_5 = { }^{16} C_5$.
હવે,પદાવલિ ${ }^{16} C_5+{ }^{16} C_6+{ }^{17} C_7+{ }^{18} C_8$ બને છે.
આગળ,${ }^{16} C_5+{ }^{16} C_6 = { }^{17} C_6$.
હવે,પદાવલિ ${ }^{17} C_6+{ }^{17} C_7+{ }^{18} C_8$ બને છે.
આગળ,${ }^{17} C_6+{ }^{17} C_7 = { }^{18} C_7$.
હવે,પદાવલિ ${ }^{18} C_7+{ }^{18} C_8$ બને છે.
અંતે,${ }^{18} C_7+{ }^{18} C_8 = { }^{19} C_8$.
આપેલ છે કે ${ }^{19} C_8 = { }^{19} C_{r}$,આપણે જાણીએ છીએ કે ${ }^{n} C_{x} = { }^{n} C_{y}$ નો અર્થ $x = y$ અથવા $x + y = n$ થાય છે.
અહીં,$r = 8$ અથવા $r = 19 - 8 = 11$.

(A) ${}^{n}C_{r}$ નું મહત્તમ મૂલ્ય જો $n$ બેકી હોય તો $r = \frac{n}{2}$ પર મળે છે,અને જો $n$ એકી હોય તો $r = \frac{n-1}{2}$ અથવા $r = \frac{n+1}{2}$ પર મળે છે.
${}^{10}C_{r}$ માટે,$n=10$ (બેકી),તેથી મહત્તમ મૂલ્ય $r = \frac{10}{2} = 5$ પર મળે છે.
${}^{11}C_{r}$ માટે,$n=11$ (એકી),તેથી મહત્તમ મૂલ્યો $r = 5$ અને $r = 6$ પર મળે છે.
બંને માટે $r=5$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{{}^{10}C_{5}}{{}^{11}C_{5}} = \frac{\frac{10!}{5!5!}}{\frac{11!}{5!6!}} = \frac{10!}{5!5!} \times \frac{5!6!}{11!} = \frac{10!}{11!} \times \frac{6!}{5!} = \frac{1}{11} \times 6 = \frac{6}{11}$.

(D) ${}^6C_r$ ની મહત્તમ કિંમત $r = \frac{6}{2} = 3$ પર મળે છે.
કિંમત ${}^6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
આપેલ છે કે ${}^6C_r$ ની મહત્તમ કિંમત અને ${}^nC_3$ વચ્ચેનો તફાવત $16$ છે,તેથી $|20 - {}^nC_3| = 16$.
આ સૂચવે છે કે ${}^nC_3 = 20 + 16 = 36$ અથવા ${}^nC_3 = 20 - 16 = 4$.
કિસ્સો $1$: ${}^nC_3 = 36$ $\Rightarrow \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 36$ $\Rightarrow n(n-1)(n-2) = 216$. આ માટે કોઈ પૂર્ણાંક $n$ શક્ય નથી.
કિસ્સો $2$: ${}^nC_3 = 4$ $\Rightarrow \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 4$ $\Rightarrow n(n-1)(n-2) = 24$.
કિંમતો તપાસતા,$n=4$ માટે,$4 \times 3 \times 2 = 24$.
આમ,$n = 4$.

(C) અમે પાસ્કલના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: ${ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r-1}={ }^{n+1} C_{r}$.
આપેલ પદાવલિ: ${ }^{11} C_4+{ }^{11} C_5+{ }^{12} C_6+{ }^{13} C_7={ }^{14} C_{r}$.
પ્રથમ બે પદો પર નિત્યસમ લાગુ કરતા: ${ }^{11} C_4+{ }^{11} C_5 = { }^{12} C_5$.
હવે પદાવલિ આ મુજબ બને છે: ${ }^{12} C_5+{ }^{12} C_6+{ }^{13} C_7$.
ફરીથી નિત્યસમ લાગુ કરતા: ${ }^{12} C_5+{ }^{12} C_6 = { }^{13} C_6$.
હવે પદાવલિ આ મુજબ બને છે: ${ }^{13} C_6+{ }^{13} C_7$.
છેલ્લી વાર નિત્યસમ લાગુ કરતા: ${ }^{13} C_6+{ }^{13} C_7 = { }^{14} C_7$.
આને ${ }^{14} C_{r}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $r = 7$ મળે છે.

(C) આપેલ ગુણોત્તર $\frac{\frac{n!}{2!(n-2)!}}{\frac{n!}{4!(n-4)!}} = \frac{2}{1}$ છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{n!}{2!(n-2)!} \times \frac{4!(n-4)!}{n!} = 2$ થાય.
$n!$ ને દૂર કરતા અને ફેક્ટોરિયલનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે $\frac{4 \times 3 \times 2!}{2! \times (n-2)(n-3)(n-4)!} \times (n-4)! = 2$.
$\frac{12}{(n-2)(n-3)} = 2$.
$(n-2)(n-3) = 6$.
$n^2 - 5n + 6 = 6$.
$n^2 - 5n = 0$.
$n(n-5) = 0$.
પદ $\frac{n!}{4!(n-4)!}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $n \ge 4$ હોવું જરૂરી છે,તેથી $n = 5$.

(C) કુલ પસંદ કરવાના વિદ્યાર્થીઓ $= 5$. કુલ ઉપલબ્ધ વિદ્યાર્થીઓ $= n$.
$2$ ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ પસંદ થાય તેવા પ્રકારોની સંખ્યા $= {}^{n-2}C_3$.
$2$ ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ પસંદ ન થાય તેવા પ્રકારોની સંખ્યા $= {}^{n-2}C_5$.
આપેલ શરત મુજબ,$\frac{{}^{n-2}C_3}{{}^{n-2}C_5} = \frac{2}{3}$.
સૂત્ર ${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(n-2)!}{3!(n-5)!} \times \frac{5!(n-7)!}{(n-2)!} = \frac{2}{3}$
$\frac{20}{(n-5)(n-6)} = \frac{2}{3}$
$(n-5)(n-6) = 30$
$n^2 - 11n = 0$
અહીં $n = 11$ મળે છે.

(A) $n$ દડાઓમાંથી $4$ લાલ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{n}C_4$ છે.
$n$ દડાઓમાંથી $5$ લીલા દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{n}C_5$ છે.
બંને પસંદગીઓનો સરવાળો ${}^{n}C_4 + {}^{n}C_5$ છે.
પાસ્કલના નિયમ ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને ${}^{n}C_4 + {}^{n}C_5 = {}^{n+1}C_5$ મળે છે.
આપણને આપેલ છે કે સરવાળો ${}^{n+1}C_4$ કરતા વધારે છે,તેથી ${}^{n+1}C_5 > {}^{n+1}C_4$.
સૂત્ર ${}^{m}C_r = \frac{m!}{r!(m-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{(n+1)!}{5!(n-4)!} > \frac{(n+1)!}{4!(n-3)!}$ મળે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા,$\frac{1}{5} > \frac{1}{n-3}$ મળે છે.
આથી $n-3 > 5$,એટલે કે $n > 8$.

(D) આપેલ સમીકરણ: ${ }^{n+4} C_{n+1}-{ }^{n+3} C_n=15(n+2)$.
ગુણધર્મ ${ }^n C_r = { }^n C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,${ }^{n+4} C_{n+1} = { }^{n+4} C_3$ અને ${ }^{n+3} C_n = { }^{n+3} C_3$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{(n+4)(n+3)(n+2)}{6} - \frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6} = 15(n+2)$.
બંને બાજુ $(n+2)$ વડે ભાગતા: $\frac{(n+4)(n+3)}{6} - \frac{(n+3)(n+1)}{6} = 15$.
$6$ વડે ગુણતા: $(n^2+7n+12) - (n^2+4n+3) = 90$.
$3n + 9 = 90$.
$3n = 81$.
$n = 27$.

(D) કુલ ખેલાડીઓ = $25$.
જરૂરી ટીમનું કદ = $11$.
હંમેશા સામેલ કરવાના ખેલાડીઓ = $6$.
હંમેશા બાકાત રાખવાના ખેલાડીઓ = $5$.
પસંદગી માટે બાકી રહેલા ખેલાડીઓ = $25 - 6 - 5 = 14$.
ટીમમાં બાકી રહેલી જગ્યાઓ = $11 - 6 = 5$.
તેથી,ટીમ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા $14$ ખેલાડીઓમાંથી $5$ ખેલાડીઓ પસંદ કરવાની રીતો છે,જે $^{14}C_{5}$ છે.
વિકલ્પો જોતા,જો પ્રશ્નમાં કોઈ ભૂલ હોય અને $^{14}C_{6}$ સાચો જવાબ ગણવામાં આવે,તો વિકલ્પ $D$ પસંદ કરવામાં આવે છે.

(A) ધારો કે મીટિંગમાં સભ્યોની સંખ્યા $n$ છે.
દરેક વ્યક્તિ અન્ય દરેક વ્યક્તિ સાથે એક વાર હાથ મિલાવે છે,તેથી કુલ હાથ મિલાવવાની સંખ્યા ${}^{n}C_{2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે કુલ હાથ મિલાવવાની સંખ્યા $45$ છે,તેથી:
${}^{n}C_{2} = 45$
$\frac{n(n-1)}{2} = 45$
$n(n-1) = 90$
$n^2 - n - 90 = 0$
$(n - 10)(n + 9) = 0$
સભ્યોની સંખ્યા $n$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 10$.
આમ,મીટિંગમાં હાજર સભ્યોની સંખ્યા $10$ છે.

(D) વિદ્યાર્થીએ કુલ $11$ પ્રશ્નોમાંથી $6$ પ્રશ્નો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી દરેક વિભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા $2$ પ્રશ્નો પસંદ થાય.
શક્ય કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:

$\text{વિભાગ-}I$	$\text{વિભાગ-}II$	$\text{રીતોની સંખ્યા}$
$2$	$4$	$^6C_2 \times ^5C_4 = 15 \times 5 = 75$
$3$	$3$	$^6C_3 \times ^5C_3 = 20 \times 10 = 200$
$4$	$2$	$^6C_4 \times ^5C_2 = 15 \times 10 = 150$

કુલ રીતોની સંખ્યા = $75 + 200 + 150 = 425$.

(D) આપણે $7$ વ્યંજનોમાંથી $3$ અને $4$ સ્વરોમાંથી $2$ વ્યંજનો પસંદ કરવાના છે.
અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $= {}^{7}C_{3} \times {}^{4}C_{2}$.
$= \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 35 \times 6 = 210$.
આ પસંદ કરેલા $5$ અક્ષરોને $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
શબ્દોની સંખ્યા $= 210 \times 5! = 210 \times 120 = 25200$.

(B) $5$ છોકરાઓમાંથી $2$ અને $7$ છોકરીઓમાંથી $3$ છોકરીઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^5C_2 \times ^7C_3 = 10 \times 35 = 350$ છે.
જો બંને છોકરીઓ $A$ અને $B$ એક જ ટીમમાં હોય,તો આપણે $5$ છોકરાઓમાંથી $2$ અને બાકીની $5$ છોકરીઓમાંથી $1$ છોકરી પસંદ કરવી પડે (કારણ કે $A$ અને $B$ પહેલેથી જ પસંદ થયેલ છે). આવી રીતોની સંખ્યા $^5C_2 \times ^5C_1 = 10 \times 5 = 50$ છે.
જે ટીમમાં $A$ અને $B$ સાથે ન હોય તેવી ટીમોની સંખ્યા કુલ ટીમોમાંથી બંને સાથે હોય તેવી ટીમો બાદ કરવાથી મળે.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= 350 - 50 = 300$.

(D) કિસ્સો $I$: કોઈ છોકરો સામેલ નથી. $6$ છોકરીઓમાંથી $4$ છોકરીઓ પસંદ કરવાની રીત ${}^6C_4 = 15$ છે. પસંદ કરેલા $4$ સભ્યોમાંથી $1$ કેપ્ટન પસંદ કરવાની રીત ${}^4C_1 = 4$ છે. કિસ્સા $I$ માટે કુલ રીતો $= 15 \times 4 = 60$.
કિસ્સો $II$: બરાબર એક છોકરો સામેલ છે. $6$ છોકરીઓમાંથી $3$ છોકરીઓ અને $4$ છોકરાઓમાંથી $1$ છોકરો પસંદ કરવાની રીત ${}^6C_3 \times {}^4C_1 = 20 \times 4 = 80$ છે. પસંદ કરેલા $4$ સભ્યોમાંથી $1$ કેપ્ટન પસંદ કરવાની રીત ${}^4C_1 = 4$ છે. કિસ્સા $II$ માટે કુલ રીતો $= 80 \times 4 = 320$.
કુલ રીતો $= 60 + 320 = 380$.

(B) સમિતિ નીચે મુજબની રીતે બનાવી શકાય છે:
$(5 \text{ પુરુષો})$,$(4 \text{ પુરુષો}, 1 \text{ સ્ત્રી})$,$(3 \text{ પુરુષો}, 2 \text{ સ્ત્રીઓ})$
$\therefore$ રીતોની સંખ્યા $= \binom{6}{5} + (\binom{6}{4} \times \binom{4}{1}) + (\binom{6}{3} \times \binom{4}{2})$
$= 6 + (15 \times 4) + (20 \times 6)$
$= 6 + 60 + 120 = 186$

(C) $8$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓમાંથી $5$ વ્યક્તિઓની સમિતિ એવી રીતે બનાવવાની છે કે જેમાં ઓછામાં ઓછી $2$ છોકરીઓ અને વધુમાં વધુ $2$ છોકરાઓ હોય.
સમિતિનું કદ $5$ હોવાથી,શરતો સંતોષતા (છોકરીઓ,છોકરાઓ) ના સંભવિત સંયોજનો નીચે મુજબ છે:
$1$. $5$ છોકરીઓ અને $0$ છોકરાઓ: $\binom{5}{5} \times \binom{8}{0} = 1 \times 1 = 1$
$2$. $4$ છોકરીઓ અને $1$ છોકરો: $\binom{5}{4} \times \binom{8}{1} = 5 \times 8 = 40$
$3$. $3$ છોકરીઓ અને $2$ છોકરાઓ: $\binom{5}{3} \times \binom{8}{2} = 10 \times 28 = 280$
કુલ રીતોની સંખ્યા = $1 + 40 + 280 = 321$.

(D) કુલ લખોટીઓ = $5$ લાલ + $4$ કાળી + $3$ સફેદ = $12$ લખોટીઓ.
આપણે $4$ લખોટીઓ એવી રીતે પસંદ કરવાની છે કે જેમાં વધુમાં વધુ $2$ લાલ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે આપણી પાસે $0$,$1$ અથવા $2$ લાલ લખોટીઓ હોઈ શકે છે.
બિન-લાલ લખોટીઓની સંખ્યા $4 + 3 = 7$ છે.
કિસ્સો $1$: $0$ લાલ લખોટી અને $4$ બિન-લાલ લખોટી: ${}^5C_0 \times {}^7C_4 = 1 \times 35 = 35$.
કિસ્સો $2$: $1$ લાલ લખોટી અને $3$ બિન-લાલ લખોટી: ${}^5C_1 \times {}^7C_3 = 5 \times 35 = 175$.
કિસ્સો $3$: $2$ લાલ લખોટી અને $2$ બિન-લાલ લખોટી: ${}^5C_2 \times {}^7C_2 = 10 \times 21 = 210$.
કુલ રીતો = $35 + 175 + 210 = 420$.

(C) આપેલ છે,ભાગ $A$ માં કુલ પ્રશ્નો $= 6$ અને ભાગ $B$ માં કુલ પ્રશ્નો $= 7$.
દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નો સાથે $10$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા માટે,શક્ય સંયોજનો છે:
$1$. ભાગ $A$ માંથી $4$ અને ભાગ $B$ માંથી $6$
$2$. ભાગ $A$ માંથી $5$ અને ભાગ $B$ માંથી $5$
$3$. ભાગ $A$ માંથી $6$ અને ભાગ $B$ માંથી $4$
કુલ રીતો $= ({ }^{6}C_{4} \times { }^{7}C_{6}) + ({ }^{6}C_{5} \times { }^{7}C_{5}) + ({ }^{6}C_{6} \times { }^{7}C_{4})$
$= (15 \times 7) + (6 \times 21) + (1 \times 35)$
$= 105 + 126 + 35 = 266$