$6$ છોકરા અને $4$ છોકરીઓમાંથી $7$ વ્યકિતઓનું જૂથ રચવુ છે, કે જેમાં છોકરાઓની સંખ્યા છોકરીઓની સંખ્યા કરતા વધારે હોય. આવા જૂથ ....રીતે રચી શકાય.

$2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \le {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} r{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \le {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n{\mkern 1mu} $ for ${\rm{\{ }}{r^n}{\rm{\} }}{\mkern 1mu}  + {\mkern 1mu} 2{\mkern 1mu} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
{r{\mkern 1mu}  - {\mkern 1mu} 1}
\end{array}} \right){\mkern 1mu}  + {\mkern 1mu} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
{r{\mkern 1mu}  - {\mkern 1mu} 2}
\end{array}} \right){\mkern 1mu}  = {\mkern 1mu} .....$

જો $\left( {_3^n} \right) + \left( {_4^n} \right) > \left( {_{\,\,\,3}^{n + 1}} \right)$ હોય, તો....

આપેલ દસ મૂળાક્ષરો $A,H,I,M,O,T,U,V,W$ અને $X$ ને અરિસામાં પણ જોવામાં આવે તો સરખા દેખાય છે આવા મૂળાક્ષરોને સંમિત મૂળાક્ષરો કહેવાય અને બાકીના મૂળાક્ષરોને અસંમિત મૂળાક્ષરો કહેવાય છે જો કોમ્પ્યુટરનો ત્રણ અક્ષરોનો પાસવર્ડ બનાવવામાં આવે તો પુનરાવર્તન સિવાય કેટલી રીતે પાસવર્ડ બનાવી શકાય કે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક મૂળાક્ષર સંમિત હોય ? 

$9$ કુમારી અને $4$ કુમારીઓમાંથી $7$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવી છે. જેમાં બરાબર $3$ કુમારીઓ હોય એવી કેટલી સમિતિની રચના થઈ શકે ?

જો ${a_n}\, = \,\sum\limits_{r\, = \,0}^n {\frac{1}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  n \\ 
  r 
\end{array}} \right)}}} $ તો   $\sum\limits_{r\, = \,0}^n {\,\frac{r}{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  n \\ 
  r 
\end{array}} \right)}}\, = \,.....} $