અ Gujarati
Division into groups, Derangements Questions in Gujarati
Class 11 Mathematics · Permutation and Combination · Division into groups, Derangements
47+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 47 of 47 questions in Gujarati
1
MediumMCQ
$9$ વ્યક્તિઓને ત્રણ સમાન જૂથોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?
A
$280$
B
$840$
C
$560$
D
$1680$
Solution
(A) $9$ વ્યક્તિઓને દરેક $3$ વ્યક્તિના $3$ સમાન જૂથોમાં વહેંચવા માટે,આપણે પહેલા $9$ માંથી $3$ વ્યક્તિઓ પસંદ કરીએ છીએ,પછી બાકીની $6$ માંથી $3$,અને અંતે બાકીની $3$ માંથી $3$ વ્યક્તિઓ પસંદ કરીએ છીએ.
જૂથોનો ક્રમ મહત્વનો ન હોવાથી,આપણે $3!$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ.
રીતોની સંખ્યા $\frac{\binom{9}{3} \binom{6}{3} \binom{3}{3}}{3!} = \frac{9!}{(3!)^3 \times 3!}$ દ્વારા મળે છે.
ગણતરી: $\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6 \times 6 \times 6} = 280$.
જૂથોનો ક્રમ મહત્વનો ન હોવાથી,આપણે $3!$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ.
રીતોની સંખ્યા $\frac{\binom{9}{3} \binom{6}{3} \binom{3}{3}}{3!} = \frac{9!}{(3!)^3 \times 3!}$ દ્વારા મળે છે.
ગણતરી: $\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6 \times 6 \times 6} = 280$.
0 likes
View Solution2
EasyMCQ
$15$ અલગ-અલગ પુસ્તકોને સમાન સંખ્યાના $5$ ઢગલામાં વહેંચવાની સાચી રીતોની સંખ્યા પસંદ કરો.
A
$\frac{15!}{(3!)^5 \times 5!}$
B
$\frac{15!}{(3!)^5}$
C
$^{15}C_5$
D
$^{15}P_5$
Solution
(A) $n$ અલગ-અલગ વસ્તુઓને $m$ કદના $k$ સમાન જૂથોમાં વહેંચવા માટે (જ્યાં $n = km$),રીતોની સંખ્યાનું સૂત્ર: $\frac{n!}{(m!)^k \times k!}$ છે.
અહીં,$n = 15$,$m = 3$,અને $k = 5$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,રીતોની સંખ્યા $\frac{15!}{(3!)^5 \times 5!}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
અહીં,$n = 15$,$m = 3$,અને $k = 5$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,રીતોની સંખ્યા $\frac{15!}{(3!)^5 \times 5!}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likes
View Solution3
EasyMCQ
$52$ પત્તાને ચાર ખેલાડીઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?
A
$\frac{52!}{(13!)^4}$
B
$\frac{52!}{(13!)^2 \times 4!}$
C
$\frac{52!}{(12!)^4 \times 4!}$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(A) કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે અને તેને $4$ ખેલાડીઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચવાના હોવાથી,દરેક ખેલાડીને $13$ પત્તા મળે.
પ્રથમ ખેલાડી માટે $13$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{52}C_{13}$ છે.
બાકીના $39$ પત્તામાંથી બીજા ખેલાડી માટે $13$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{39}C_{13}$ છે.
બાકીના $26$ પત્તામાંથી ત્રીજા ખેલાડી માટે $13$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{26}C_{13}$ છે.
બાકીના $13$ પત્તામાંથી ચોથા ખેલાડી માટે $13$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{13}C_{13}$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા:
$^{52}C_{13} \times ^{39}C_{13} \times ^{26}C_{13} \times ^{13}C_{13} = \frac{52!}{(13!)^4}$.
પ્રથમ ખેલાડી માટે $13$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{52}C_{13}$ છે.
બાકીના $39$ પત્તામાંથી બીજા ખેલાડી માટે $13$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{39}C_{13}$ છે.
બાકીના $26$ પત્તામાંથી ત્રીજા ખેલાડી માટે $13$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{26}C_{13}$ છે.
બાકીના $13$ પત્તામાંથી ચોથા ખેલાડી માટે $13$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{13}C_{13}$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા:
$^{52}C_{13} \times ^{39}C_{13} \times ^{26}C_{13} \times ^{13}C_{13} = \frac{52!}{(13!)^4}$.
0 likes
View Solution4
DifficultMCQ
જુદા જુદા રંગના ચાર દડા અને તે જ રંગના ચાર બોક્સ છે. દડાઓને દરેક બોક્સમાં એક એવી રીતે મૂકવાના છે કે જેથી કોઈ પણ દડો તેના પોતાના રંગના બોક્સમાં ન જાય,તો આ માટેની કુલ રીતો કેટલી છે?
A
$8$
B
$7$
C
$9$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(C) આ પ્રશ્ન 'derangements' (વ્યવસ્થિત ગોઠવણી ન હોવી) નો છે,જ્યાં $n = 4$ વસ્તુઓને $n$ બોક્સમાં એવી રીતે મૂકવાની છે કે કોઈ પણ વસ્તુ તેના સાચા બોક્સમાં ન જાય.
'derangements' $D_n$ શોધવાનું સૂત્ર:
$D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$
$n = 4$ માટે:
$D_4 = 4! \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$.
આમ,કુલ $9$ રીતો છે.
'derangements' $D_n$ શોધવાનું સૂત્ર:
$D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$
$n = 4$ માટે:
$D_4 = 4! \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$.
આમ,કુલ $9$ રીતો છે.
0 likes
View Solution5
MediumMCQ
$52$ પત્તાને ચાર ખેલાડીઓ વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી ત્રણ ખેલાડીઓ પાસે $17$ પત્તા હોય અને ચોથા ખેલાડી પાસે માત્ર એક પત્તું હોય.
A
$\frac{52!}{(17!)^3}$
B
$52!$
C
$\frac{52!}{17!}$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(A) $52$ પત્તાને ચાર ખેલાડીઓ વચ્ચે વહેંચવાની કુલ રીતો:
$1$. પ્રથમ ખેલાડી માટે $52$ માંથી $17$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો: $^{52}C_{17} = \frac{52!}{35!17!}$.
$2$. બીજા ખેલાડી માટે બાકીના $35$ માંથી $17$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો: $^{35}C_{17} = \frac{35!}{18!17!}$.
$3$. ત્રીજા ખેલાડી માટે બાકીના $18$ માંથી $17$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો: $^{18}C_{17} = \frac{18!}{1!17!}$.
$4$. ચોથા ખેલાડી માટે બાકી રહેલું $1$ પત્તું: $^{1}C_{1} = 1$.
કુલ રીતોનો ગુણાકાર:
$\frac{52!}{35!17!} \times \frac{35!}{18!17!} \times \frac{18!}{1!17!} \times 1 = \frac{52!}{(17!)^3}$.
$1$. પ્રથમ ખેલાડી માટે $52$ માંથી $17$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો: $^{52}C_{17} = \frac{52!}{35!17!}$.
$2$. બીજા ખેલાડી માટે બાકીના $35$ માંથી $17$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો: $^{35}C_{17} = \frac{35!}{18!17!}$.
$3$. ત્રીજા ખેલાડી માટે બાકીના $18$ માંથી $17$ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો: $^{18}C_{17} = \frac{18!}{1!17!}$.
$4$. ચોથા ખેલાડી માટે બાકી રહેલું $1$ પત્તું: $^{1}C_{1} = 1$.
કુલ રીતોનો ગુણાકાર:
$\frac{52!}{35!17!} \times \frac{35!}{18!17!} \times \frac{18!}{1!17!} \times 1 = \frac{52!}{(17!)^3}$.
0 likes
View Solution6
MediumMCQ
$n$ પત્રો અને $n$ સરનામાં લખેલા પરબિડીયાઓ છે. બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં ન મુકાય તેની સંભાવના કેટલી?
A
$\frac{1}{n!}$
B
$1 - \frac{1}{n!}$
C
$1 - \frac{1}{n}$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(B) $n$ પત્રોને $n$ પરબિડીયામાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $n!$ છે.
માત્ર $1$ રીત એવી છે જેમાં બધા પત્રો તેમના સાચા પરબિડીયામાં મુકાય છે.
તેથી,બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં મુકાય તેની સંભાવના $P(\text{correct}) = \frac{1}{n!}$ છે.
બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં ન મુકાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{correct}) = 1 - \frac{1}{n!}$ છે.
માત્ર $1$ રીત એવી છે જેમાં બધા પત્રો તેમના સાચા પરબિડીયામાં મુકાય છે.
તેથી,બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં મુકાય તેની સંભાવના $P(\text{correct}) = \frac{1}{n!}$ છે.
બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં ન મુકાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{correct}) = 1 - \frac{1}{n!}$ છે.
0 likes
View Solution7
EasyMCQ
ત્રણ પત્રો અલગ-અલગ વ્યક્તિઓને મોકલવાના છે અને ત્રણ પરબિડીયાઓ પર સરનામાં પણ લખેલા છે. સરનામાં જોયા વગર,બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં જાય તેની સંભાવના કેટલી છે?
A
$\frac{1}{27}$
B
$\frac{1}{9}$
C
$\frac{4}{27}$
D
$\frac{1}{6}$
Solution
(D) $3$ અલગ-અલગ પત્રોને $3$ અલગ-અલગ પરબિડીયાઓમાં મૂકવાની કુલ રીતો $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ છે.
આ $6$ શક્ય ગોઠવણીઓમાંથી,માત્ર $1$ ગોઠવણી એવી છે જેમાં બધા પત્રો તેમના સાચા પરબિડીયામાં જાય છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ છે.
આ $6$ શક્ય ગોઠવણીઓમાંથી,માત્ર $1$ ગોઠવણી એવી છે જેમાં બધા પત્રો તેમના સાચા પરબિડીયામાં જાય છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ છે.
0 likes
View Solution8
MediumMCQ
$4$ સરનામાંવાળા પરબિડીયાઓ અને $4$ સંબંધિત પત્રો છે. કોઈ પણ પત્ર તેના યોગ્ય પરબિડીયામાં ન જાય તેની સંભાવના કેટલી છે?
A
$\frac{19}{24}$
B
$\frac{21}{23}$
C
$\frac{23}{24}$
D
$\frac{1}{24}$
Solution
(C) બધા પત્રો તેમના યોગ્ય પરબિડીયામાં જાય તેની સંભાવના $\frac{1}{4!} = \frac{1}{24}$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક પત્ર તેના યોગ્ય પરબિડીયામાં ન જાય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{24} = \frac{23}{24}$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક પત્ર તેના યોગ્ય પરબિડીયામાં ન જાય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{24} = \frac{23}{24}$ છે.
0 likes
View Solution9
DifficultMCQ
$n$ જુદી જુદી વસ્તુઓ $1, 2, 3, \dots, n$ ને $1, 2, 3, \dots, n$ ક્રમાંકિત $n$ જગ્યાઓ પર યાદચ્છિક રીતે વહેંચવામાં આવે છે. ઓછામાં ઓછી ત્રણ વસ્તુઓ તેમના નંબરને અનુરૂપ જગ્યાએ હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?
A
$\frac{1}{6}$
B
$\frac{5}{6}$
C
$\frac{1}{3}$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(A) ધારો કે $E_i$ એ ઘટના છે કે $i^{th}$ વસ્તુ $i^{th}$ જગ્યાએ જાય છે.
આપણી પાસે $P(E_i) = \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}$ છે,બધા $i$ માટે.
ચોક્કસ $3$ વસ્તુઓ તેમની સાચી જગ્યાએ હોય તેની સંભાવના $P(E_i \cap E_j \cap E_k) = \frac{(n-3)!}{n!}$ છે,જ્યાં $i < j < k$.
આપણે $n$ માંથી $3$ જગ્યાઓ $\binom{n}{3}$ રીતે પસંદ કરી શકીએ છીએ,તેથી ઓછામાં ઓછી ત્રણ વસ્તુઓ તેમની અનુરૂપ જગ્યાએ હોય તેની સંભાવના $\binom{n}{3} \times \frac{(n-3)!}{n!} = \frac{n!}{3!(n-3)!} \times \frac{(n-3)!}{n!} = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ થાય.
આપણી પાસે $P(E_i) = \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}$ છે,બધા $i$ માટે.
ચોક્કસ $3$ વસ્તુઓ તેમની સાચી જગ્યાએ હોય તેની સંભાવના $P(E_i \cap E_j \cap E_k) = \frac{(n-3)!}{n!}$ છે,જ્યાં $i < j < k$.
આપણે $n$ માંથી $3$ જગ્યાઓ $\binom{n}{3}$ રીતે પસંદ કરી શકીએ છીએ,તેથી ઓછામાં ઓછી ત્રણ વસ્તુઓ તેમની અનુરૂપ જગ્યાએ હોય તેની સંભાવના $\binom{n}{3} \times \frac{(n-3)!}{n!} = \frac{n!}{3!(n-3)!} \times \frac{(n-3)!}{n!} = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ થાય.
0 likes
View Solution10
DifficultMCQ
ભિન્ન રંગના $4$ દડા છે અને દડાના રંગ જેવા જ રંગના $4$ ખોખાં છે. જો $2$ દડાને ખોખામાં એવી રીતે મૂકવામાં આવે કે જેથી તેઓ તેમના સંબંધિત રંગ સાથે મેળ ખાતા ન હોય,તો આવી કેટલી રીતો શક્ય છે?
A
$6$
B
$4$
C
$2$
D
આપેલ પૈકી એકપણ નહીં
Solution
(A) આપણે $4$ દડામાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાના છે અને તેમને બાકીના $2$ દડાના ખોખામાં એવી રીતે મૂકવાના છે કે કોઈ પણ દડો પોતાના ખોખામાં ન જાય.
$4$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
પસંદ કરેલા $2$ દડા માટે,તેમને એવી રીતે ગોઠવવાની રીતો કે જેથી કોઈ પણ દડો પોતાના ખોખામાં ન જાય,તે $D_2 = 2! \times (1 - 1 + \frac{1}{2!}) = 1$ દ્વારા મળે છે.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $6 \times 1 = 6$ થાય.
$4$ માંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
પસંદ કરેલા $2$ દડા માટે,તેમને એવી રીતે ગોઠવવાની રીતો કે જેથી કોઈ પણ દડો પોતાના ખોખામાં ન જાય,તે $D_2 = 2! \times (1 - 1 + \frac{1}{2!}) = 1$ દ્વારા મળે છે.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $6 \times 1 = 6$ થાય.
0 likes
View Solution11
DifficultMCQ
ગણ $S = \{1, 2, 3, \dots, 12\}$ ને ત્રણ ગણ $A, B, C$ માં સમાન કદમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે,જેથી $A \cup B \cup C = S$ અને $A \cap B = B \cap C = C \cap A = \phi$ થાય. તો $S$ ના કેટલા પ્રકારે વિભાજન કરી શકાય?
A
$\frac{12!}{3! \times (3!)^4}$
B
$\frac{12!}{(4!)^3}$
C
$\frac{12!}{(3!)^4}$
D
$\frac{12!}{3! \times (4!)^3}$
Solution
(B) ગણ $S$ માં $12$ સભ્યો છે. તેને ત્રણ સમાન કદના ગણ $A, B, C$ માં વિભાજિત કરવાના હોવાથી,દરેક ગણમાં $12 / 3 = 4$ સભ્યો હોવા જોઈએ.
ગણ $A$ માટે $4$ સભ્યો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{12}{4}$ છે.
બાકીના $8$ સભ્યોમાંથી ગણ $B$ માટે $4$ સભ્યો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{8}{4}$ છે.
બાકીના $4$ સભ્યોમાંથી ગણ $C$ માટે $4$ સભ્યો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{4}{4}$ છે.
ગણ $A, B, C$ અલગ (labeled) હોવાથી,કુલ રીતો:
$\binom{12}{4} \times \binom{8}{4} \times \binom{4}{4} = \frac{12!}{4! \times 8!} \times \frac{8!}{4! \times 4!} \times \frac{4!}{4! \times 0!} = \frac{12!}{(4!)^3}$.
ગણ $A$ માટે $4$ સભ્યો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{12}{4}$ છે.
બાકીના $8$ સભ્યોમાંથી ગણ $B$ માટે $4$ સભ્યો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{8}{4}$ છે.
બાકીના $4$ સભ્યોમાંથી ગણ $C$ માટે $4$ સભ્યો પસંદ કરવાની રીતો $\binom{4}{4}$ છે.
ગણ $A, B, C$ અલગ (labeled) હોવાથી,કુલ રીતો:
$\binom{12}{4} \times \binom{8}{4} \times \binom{4}{4} = \frac{12!}{4! \times 8!} \times \frac{8!}{4! \times 4!} \times \frac{4!}{4! \times 0!} = \frac{12!}{(4!)^3}$.
0 likes
View Solution12
MediumMCQ
$52$ પત્તાને ચાર ખેલાડીઓ વચ્ચે સમાન રીતે કેટલી રીતે વહેંચી શકાય?
A
$\frac{52!}{(13!)^4}$
B
$\frac{52!}{(13!)^2 \times 4!}$
C
$\frac{52!}{(12!)^4 \times 4!}$
D
આપેલ પૈકી એકપણ નહીં
Solution
(A) $52$ પત્તાને ચાર ખેલાડીઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા નીચે મુજબ છે:
$\frac{52!}{13! \times 13! \times 13! \times 13!} = \frac{52!}{(13!)^4}$
આ ગણતરી આ રીતે પણ કરી શકાય:
$^{52}C_{13} \times ^{39}C_{13} \times ^{26}C_{13} \times ^{13}C_{13} = \frac{52!}{39!13!} \times \frac{39!}{26!13!} \times \frac{26!}{13!13!} \times \frac{13!}{0!13!} = \frac{52!}{(13!)^4}$
$\frac{52!}{13! \times 13! \times 13! \times 13!} = \frac{52!}{(13!)^4}$
આ ગણતરી આ રીતે પણ કરી શકાય:
$^{52}C_{13} \times ^{39}C_{13} \times ^{26}C_{13} \times ^{13}C_{13} = \frac{52!}{39!13!} \times \frac{39!}{26!13!} \times \frac{26!}{13!13!} \times \frac{13!}{0!13!} = \frac{52!}{(13!)^4}$
0 likes
View Solution13
MediumMCQ
જુદા જુદા રંગના $4$ દડા અને તે જ રંગની $4$ પેટીઓ છે. દરેક પેટીમાં એક દડો આવે તે રીતે $4$ દડાઓને પેટીમાં કેટલી રીતે મૂકી શકાય કે જેથી કોઈ પણ દડો તેના પોતાના રંગની પેટીમાં ન જાય?
A
$3$
B
$6$
C
$9$
D
$12$
Solution
(C) આ પ્રશ્ન $4$ વસ્તુઓના વિક્ષેપ (derangement) નો છે,જેને $D_4$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$n$ વસ્તુઓના વિક્ષેપનું સૂત્ર $D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$ છે.
$n = 4$ માટે:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{12 - 4 + 1}{24} \right)$
$D_4 = 9$.
આમ,દડાઓને એવી રીતે મૂકવાની કુલ $9$ રીતો છે કે જેથી કોઈ પણ દડો તેના પોતાના રંગની પેટીમાં ન જાય.
$n$ વસ્તુઓના વિક્ષેપનું સૂત્ર $D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$ છે.
$n = 4$ માટે:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{12 - 4 + 1}{24} \right)$
$D_4 = 9$.
આમ,દડાઓને એવી રીતે મૂકવાની કુલ $9$ રીતો છે કે જેથી કોઈ પણ દડો તેના પોતાના રંગની પેટીમાં ન જાય.
0 likes
View Solution14
MediumMCQ
જો $6$ પત્રો અને $6$ અનુરૂપ પરબિડીયા હોય,તો બધાં પત્રો ખોટાં પરબિડીયામાં કેટલી રીતે રાખી શકાય?
A
$265$
B
$9$
C
$45$
D
આપેલ પૈકી એકપણ નહિ
Solution
(A) $n$ પત્રોને ખોટાં પરબિડીયામાં મૂકવાની રીતોની સંખ્યા ડેરન્જમેન્ટ સૂત્ર $D_n = n! \left[ 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + (-1)^n \frac{1}{n!} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 6$ માટે,રીતોની સંખ્યા $D_6 = 6! \left[ 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} \right]$ છે.
$D_6 = 6! \left[ \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} \right]$.
$D_6 = 360 - 120 + 30 - 6 + 1 = 265$.
$n = 6$ માટે,રીતોની સંખ્યા $D_6 = 6! \left[ 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} \right]$ છે.
$D_6 = 6! \left[ \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} \right]$.
$D_6 = 360 - 120 + 30 - 6 + 1 = 265$.
0 likes
View Solution15
MediumMCQ
ચાર ભિન્ન રંગના દડા અને દડાના રંગ જેવા જ રંગના ચાર ખોખા છે. દડાને દરેક ખોખામાં એવી રીતે મૂકો કે જેથી કોઈ પણ દડો તેના જેવા જ રંગના ખોખામાં ન જાય,તો દડા કેટલી રીતે મૂકી શકાય?
A
$8$
B
$7$
C
$9$
D
આપેલ પૈકી એકપણ નહીં
Solution
(C) આ પ્રશ્ન અવ્યવસ્થિત ગોઠવણી (derangements) નો છે,જેને $D_n$ અથવા $!n$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$n = 4$ વસ્તુઓ માટે,અવ્યવસ્થિત ગોઠવણીની સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$
$n = 4$ મૂકતા:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$
આમ,દડાને એવી રીતે મૂકવાની કુલ $9$ રીતો છે કે જેથી કોઈ પણ દડો તેના પોતાના રંગના ખોખામાં ન જાય.
$n = 4$ વસ્તુઓ માટે,અવ્યવસ્થિત ગોઠવણીની સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$
$n = 4$ મૂકતા:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$
આમ,દડાને એવી રીતે મૂકવાની કુલ $9$ રીતો છે કે જેથી કોઈ પણ દડો તેના પોતાના રંગના ખોખામાં ન જાય.
0 likes
View Solution16
DifficultMCQ
$52$ પત્તાના પેકેટને ચાર સમાન જૂથોમાં કેટલી રીતે વિભાજિત કરી શકાય?
A
$\frac{52!}{(13!)^4}$
B
$\frac{52!}{(13!)^4 \times 4!}$
C
$\frac{52!}{(13!)^4 \times 3!}$
D
આપેલ પૈકી એકપણ નહીં
Solution
(B) $52$ ભિન્ન વસ્તુઓને $n$ સમાન કદના $k$ જૂથોમાં વિભાજિત કરવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{n!}{(k!)^n \times n!}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 4$ અને $k = 13$ છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $\frac{52!}{(13!)^4 \times 4!}$ થાય.
અહીં,$n = 4$ અને $k = 13$ છે.
તેથી,રીતોની સંખ્યા $\frac{52!}{(13!)^4 \times 4!}$ થાય.
0 likes
View Solution17
EasyMCQ
$150$ વિદ્યાર્થીઓએ પ્રવેશ મેળવ્યો. તેઓને ત્રણ સમાન વિભાગો $A, B,$ અને $C$ માં કેટલી રીતે વહેંચી શકાય?
A
$\frac{150!}{3!(50!)^3}$
B
$\frac{150!}{(50!)^3}$
C
$\frac{150!}{(50!)^3} \times 150!$
D
આપેલ પૈકી એકપણ નહીં
Solution
(B) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $150$ છે. આપણે તેમને $50$ વિદ્યાર્થીઓના $3$ જૂથોમાં વહેંચવાના છે.
અહીં વિભાગો $A, B,$ અને $C$ અલગ-અલગ (નામનિર્દેશિત) હોવાથી,$150$ વિદ્યાર્થીઓને $50$ ના $3$ જૂથોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા મલ્ટિનોમિયલ સહગુણક દ્વારા મળે છે:
$\frac{150!}{50! 50! 50!} = \frac{150!}{(50!)^3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
અહીં વિભાગો $A, B,$ અને $C$ અલગ-અલગ (નામનિર્દેશિત) હોવાથી,$150$ વિદ્યાર્થીઓને $50$ ના $3$ જૂથોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા મલ્ટિનોમિયલ સહગુણક દ્વારા મળે છે:
$\frac{150!}{50! 50! 50!} = \frac{150!}{(50!)^3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
0 likes
View Solution18
DifficultMCQ
જો $4$ પત્રો અને $4$ પરબિડિયાં હોય,તો બધા જ પત્રો ખોટા પરબિડિયામાં કેટલી રીતે મૂકી શકાય?
A
$8$
B
$9$
C
$16$
D
આપેલ પૈકી એકપણ નહીં
Solution
(B) આ $n$ વસ્તુઓના વિક્ષેપ (derangement) નો પ્રશ્ન છે,જેને $D_n$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$n = 4$ માટે,વિક્ષેપની સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$
$n = 4$ મૂકતા:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{12 - 4 + 1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$
આમ,બધા જ પત્રોને ખોટા પરબિડિયામાં મૂકવાની કુલ $9$ રીતો છે.
$n = 4$ માટે,વિક્ષેપની સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$
$n = 4$ મૂકતા:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{12 - 4 + 1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$
આમ,બધા જ પત્રોને ખોટા પરબિડિયામાં મૂકવાની કુલ $9$ રીતો છે.
0 likes
View Solution19
DifficultMCQ
ચાર પત્રો અને ચાર પરબિડીયા છે. જો પત્રોને યાદચ્છિક રીતે પરબિડીયામાં મૂકવામાં આવે,તો બધા પત્રો ખોટા પરબિડીયામાં હોય તેની સંભાવના શોધો.
A
$5/4$
B
$3/7$
C
$2/9$
D
$3/8$
Solution
(D) $n$ પત્રોને $n$ પરબિડીયામાં એવી રીતે મૂકવાની રીતો કે જેમાં એકપણ પત્ર સાચા પરબિડીયામાં ન હોય,તેને ડેરન્જમેન્ટ સૂત્ર $D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$4$ પત્રોને $4$ પરબિડીયામાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $4! = 24$ છે.
$n=4$ માટે ડેરન્જમેન્ટની સંખ્યા $D_4 = 4! \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right) = 24 \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right) = 12 - 4 + 1 = 9$ છે.
બધા પત્રો ખોટા પરબિડીયામાં હોય તેની સંભાવના $\frac{D_4}{4!} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ છે.
$4$ પત્રોને $4$ પરબિડીયામાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $4! = 24$ છે.
$n=4$ માટે ડેરન્જમેન્ટની સંખ્યા $D_4 = 4! \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right) = 24 \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right) = 12 - 4 + 1 = 9$ છે.
બધા પત્રો ખોટા પરબિડીયામાં હોય તેની સંભાવના $\frac{D_4}{4!} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ છે.
0 likes
View Solution20
DifficultMCQ
$n$ જુદી જુદી વસ્તુઓ $1, 2, 3, \dots, n$ ને $n$ જુદા જુદા સ્થાન $1, 2, 3, \dots, n$ પર ગોઠવેલ છે. ઓછામાં ઓછી ત્રણ વસ્તુઓ તેના સાચા સ્થાન પર હોય તેની સંભાવના કેટલી?
A
$\frac{1}{6}$
B
$\frac{5}{6}$
C
$\frac{1}{3}$
D
આમાંથી એકેય નહિ.
Solution
(D) ધારો કે $E_i$ એ ઘટના છે કે $i^{th}$ વસ્તુ $i^{th}$ સ્થાન પર છે.
કોઈપણ $3$ વસ્તુઓ તેના સાચા સ્થાન પર હોય તેની સંભાવના $\frac{(n-3)!}{n!}$ છે.
$n$ સ્થાનમાંથી $3$ સ્થાન પસંદ કરવાની રીતો $\binom{n}{3}$ છે.
મોટા $n$ માટે,આ સંભાવના પોઈસન વિતરણ (Poisson distribution) મુજબ $1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ થાય,જ્યાં $\lambda = 1$.
આ કિંમત $\frac{1}{6}$ થતી નથી.
તેથી,સાચો જવાબ 'આમાંથી એકેય નહિ' છે.
કોઈપણ $3$ વસ્તુઓ તેના સાચા સ્થાન પર હોય તેની સંભાવના $\frac{(n-3)!}{n!}$ છે.
$n$ સ્થાનમાંથી $3$ સ્થાન પસંદ કરવાની રીતો $\binom{n}{3}$ છે.
મોટા $n$ માટે,આ સંભાવના પોઈસન વિતરણ (Poisson distribution) મુજબ $1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ થાય,જ્યાં $\lambda = 1$.
આ કિંમત $\frac{1}{6}$ થતી નથી.
તેથી,સાચો જવાબ 'આમાંથી એકેય નહિ' છે.
0 likes
View Solution21
MediumMCQ
$4$ પત્રોને $4$ પરબિડીયામાં યાદચ્છિક રીતે મૂકવામાં આવે,તો બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં ન જાય તેની સંભાવના કેટલી થાય?
A
$1/24$
B
$1$
C
$23/24$
D
$9/24$
Solution
(C) $4$ પત્રોને $4$ પરબિડીયામાં મૂકવાની કુલ રીતો $4! = 24$ છે.
બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં જાય તેની માત્ર $1$ રીત છે.
તેથી,બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં જાય તેની સંભાવના $\frac{1}{24}$ છે.
બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં ન જાય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{24} = \frac{23}{24}$ થાય.
બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં જાય તેની માત્ર $1$ રીત છે.
તેથી,બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં જાય તેની સંભાવના $\frac{1}{24}$ છે.
બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં ન જાય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{24} = \frac{23}{24}$ થાય.
0 likes
View Solution22
EasyMCQ
ત્રણ પત્રોને ત્રણ અલગ-અલગ વ્યક્તિઓના સરનામા લખેલા ત્રણ કવરમાં યાદચ્છિક રીતે મૂકવામાં આવે છે. બધા પત્રો સાચા કવરમાં મૂકાયેલ હોય તેની સંભાવના .......... છે.
A
$\frac{1}{27}$
B
$\frac{1}{9}$
C
$\frac{4}{27}$
D
$\frac{1}{6}$
Solution
(D) $3$ પત્રોને $3$ કવરમાં મૂકવાની કુલ રીતો $n = 3! = 6$ છે.
આ પૈકી,બધા પત્રોને સાચા કવરમાં મૂકવાની માત્ર $r = 1$ રીત છે.
વર્ણવેલ ઘટનાની સંભાવના $\frac{r}{n} = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ છે.
આ પૈકી,બધા પત્રોને સાચા કવરમાં મૂકવાની માત્ર $r = 1$ રીત છે.
વર્ણવેલ ઘટનાની સંભાવના $\frac{r}{n} = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ છે.
0 likes
View Solution23
DifficultMCQ
ગણ $S = \{1, 2, 3, \dots, 12\}$ ને ત્રણ સમાન કદના ગણ $A, B, C$ માં એવી રીતે વિભાજિત કરવામાં આવે છે કે જેથી $A \cup B \cup C = S$ અને $A \cap B = B \cap C = C \cap A = \emptyset$ થાય. $S$ ને વિભાજિત કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?
A
$\frac{12!}{(4!)^3}$
B
$\frac{12!}{(4!)^4}$
C
$\frac{12!}{3!(4!)^3}$
D
$\frac{12!}{3!(4!)^4}$
Solution
(C) ગણ $S$ માં $12$ ઘટકો છે.
આપણે $S$ ને ત્રણ સમાન કદના અલગ-અલગ ગણ $A, B, C$ માં વિભાજિત કરવાના છે.
$|S| = 12$ હોવાથી,દરેક ગણમાં $12 / 3 = 4$ ઘટકો હોવા જોઈએ.
$12$ ભિન્ન ઘટકોને $4$ ના કદના $3$ અનામી જૂથોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{1}{3!} \binom{12}{4, 4, 4}$ દ્વારા મળે છે.
આની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{3!} \times \binom{12}{4} \times \binom{8}{4} \times \binom{4}{4} = \frac{1}{3!} \times \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!} = \frac{12!}{3!(4!)^3}$.
આપણે $S$ ને ત્રણ સમાન કદના અલગ-અલગ ગણ $A, B, C$ માં વિભાજિત કરવાના છે.
$|S| = 12$ હોવાથી,દરેક ગણમાં $12 / 3 = 4$ ઘટકો હોવા જોઈએ.
$12$ ભિન્ન ઘટકોને $4$ ના કદના $3$ અનામી જૂથોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{1}{3!} \binom{12}{4, 4, 4}$ દ્વારા મળે છે.
આની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{3!} \times \binom{12}{4} \times \binom{8}{4} \times \binom{4}{4} = \frac{1}{3!} \times \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!} = \frac{12!}{3!(4!)^3}$.
0 likes
View Solution24
AdvancedMCQ
ધારો કે $A = \{x_1, x_2, x_3, x_4\}$ અને $B = \{y_1, y_2, y_3, y_4\}$. વિધેય $f: A \to B$ વ્યાખ્યાયિત છે. $i = 1, 2, 3, 4$ માટે $f(x_i) \neq y_i$ હોય તેવા એક-એક વિધેયોની સંખ્યા કેટલી થાય?
A
$2$
B
$9$
C
$44$
D
$256$
Solution
(B) આ પ્રશ્ન $4$ ભિન્ન ઘટકોના વિક્ષેપ (derangement) શોધવા સમાન છે,જેને $D_4$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$n$ ઘટકોના વિક્ષેપનું સૂત્ર $D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$ છે.
$n = 4$ માટે:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$.
આમ,આવા એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $9$ છે.
$n$ ઘટકોના વિક્ષેપનું સૂત્ર $D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$ છે.
$n = 4$ માટે:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$.
આમ,આવા એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $9$ છે.
0 likes
View Solution25
AdvancedMCQ
$12345$ ના તમામ અંકોની એવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા શોધો કે જેમાં ઓછામાં ઓછા $3$ અંકો તેમના મૂળ સ્થાને ન હોય.
A
$89$
B
$109$
C
$78$
D
$57$
Solution
(B) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. આપણે એવી ગોઠવણીઓ શોધવી છે જેમાં ઓછામાં ઓછા $3$ અંકો તેમના મૂળ સ્થાને ન હોય.
આનો અર્થ એ છે કે વધુમાં વધુ $2$ અંકો તેમના મૂળ સ્થાને હોય.
કુલ ગોઠવણીઓ = $5! = 120$.
$k$ અંકો તેમના મૂળ સ્થાને હોય તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $f(k) = \binom{5}{k} D_{5-k}$ છે,જ્યાં $D_n$ એ $n$ વસ્તુઓની અસ્તવ્યસ્ત ગોઠવણી (derangement) છે.
$D_0 = 1, D_1 = 0, D_2 = 1, D_3 = 2, D_4 = 9, D_5 = 44$.
ઓછામાં ઓછા $3$ અંકો તેમના મૂળ સ્થાને ન હોય તેવી ગોઠવણીઓ = કુલ ગોઠવણીઓ - ($4$ અથવા $5$ અંકો મૂળ સ્થાને હોય તેવી ગોઠવણીઓ).
$5$ અંકો મૂળ સ્થાને હોય: $\binom{5}{5} D_0 = 1 \times 1 = 1$.
$4$ અંકો મૂળ સ્થાને હોય: $\binom{5}{4} D_1 = 5 \times 0 = 0$.
$3$ અંકો મૂળ સ્થાને હોય: $\binom{5}{3} D_2 = 10 \times 1 = 10$.
વધુમાં વધુ $2$ અંકો મૂળ સ્થાને હોય તેવી ગોઠવણીઓ = $120 - (1 + 0 + 10) = 109$.
આનો અર્થ એ છે કે વધુમાં વધુ $2$ અંકો તેમના મૂળ સ્થાને હોય.
કુલ ગોઠવણીઓ = $5! = 120$.
$k$ અંકો તેમના મૂળ સ્થાને હોય તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $f(k) = \binom{5}{k} D_{5-k}$ છે,જ્યાં $D_n$ એ $n$ વસ્તુઓની અસ્તવ્યસ્ત ગોઠવણી (derangement) છે.
$D_0 = 1, D_1 = 0, D_2 = 1, D_3 = 2, D_4 = 9, D_5 = 44$.
ઓછામાં ઓછા $3$ અંકો તેમના મૂળ સ્થાને ન હોય તેવી ગોઠવણીઓ = કુલ ગોઠવણીઓ - ($4$ અથવા $5$ અંકો મૂળ સ્થાને હોય તેવી ગોઠવણીઓ).
$5$ અંકો મૂળ સ્થાને હોય: $\binom{5}{5} D_0 = 1 \times 1 = 1$.
$4$ અંકો મૂળ સ્થાને હોય: $\binom{5}{4} D_1 = 5 \times 0 = 0$.
$3$ અંકો મૂળ સ્થાને હોય: $\binom{5}{3} D_2 = 10 \times 1 = 10$.
વધુમાં વધુ $2$ અંકો મૂળ સ્થાને હોય તેવી ગોઠવણીઓ = $120 - (1 + 0 + 10) = 109$.
0 likes
View Solution26
AdvancedMCQ
$5$ ક્રમનો એક ચોરસ શ્રેણિક ધ્યાનમાં લો કે જેથી $i + j = 6$ હોય તેવા તમામ $i, j$ માટે $a_{ij} = 0$ થાય,જ્યાં તમામ $i, j$ માટે $a_{ij} \in \{0, 1\}$ છે. દરેક હાર અને દરેક સ્તંભમાં માત્ર એક જ શૂન્યતર ઘટક છે. તો આવા શ્રેણિકોની સંખ્યા કેટલી થાય?
A
$44$
B
$720$
C
$24$
D
$120$
Solution
(A) $n=5$ ક્રમનો ચોરસ શ્રેણિક જેમાં દરેક હાર અને દરેક સ્તંભમાં બરાબર એક શૂન્યતર ઘટક $(1)$ હોય તેને ક્રમચય શ્રેણિક કહેવાય છે.
કુલ આવા $n!$ શ્રેણિકો હોય છે.
$n=5$ માટે,આવા કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $5! = 120$ થાય.
પરંતુ,આપણને શરત આપી છે કે જ્યારે $i + j = n + 1 = 6$ હોય ત્યારે $a_{ij} = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે શૂન્યતર ઘટક શ્રેણિકના પ્રતિ-વિકર્ણ (anti-diagonal) પર ન હોઈ શકે.
ધારો કે $S_n$ એ $n$ ક્રમના તમામ ક્રમચય શ્રેણિકોનો ગણ છે. આપણે એવા શ્રેણિકોની સંખ્યા શોધવી છે જેમાં પ્રતિ-વિકર્ણ પર કોઈ $1$ ન હોય.
આ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ ના એવા ક્રમચયો $\sigma$ શોધવા સમાન છે કે જેથી તમામ $i \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ માટે $\sigma(i) \neq 6 - i$ થાય.
$n=5$ માટે,આવા ક્રમચયોની સંખ્યા $44$ છે.
કુલ આવા $n!$ શ્રેણિકો હોય છે.
$n=5$ માટે,આવા કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $5! = 120$ થાય.
પરંતુ,આપણને શરત આપી છે કે જ્યારે $i + j = n + 1 = 6$ હોય ત્યારે $a_{ij} = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે શૂન્યતર ઘટક શ્રેણિકના પ્રતિ-વિકર્ણ (anti-diagonal) પર ન હોઈ શકે.
ધારો કે $S_n$ એ $n$ ક્રમના તમામ ક્રમચય શ્રેણિકોનો ગણ છે. આપણે એવા શ્રેણિકોની સંખ્યા શોધવી છે જેમાં પ્રતિ-વિકર્ણ પર કોઈ $1$ ન હોય.
આ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ ના એવા ક્રમચયો $\sigma$ શોધવા સમાન છે કે જેથી તમામ $i \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ માટે $\sigma(i) \neq 6 - i$ થાય.
$n=5$ માટે,આવા ક્રમચયોની સંખ્યા $44$ છે.
0 likes
View Solution27
MediumMCQ
ત્રણ વ્યક્તિઓને ત્રણ પત્રો લખાવવામાં આવે છે અને તે દરેક માટે એક પરબિડીયું તૈયાર કરવામાં આવે છે. પત્રોને યાદચ્છિક રીતે પરબિડીયાઓમાં એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે જેથી દરેક પરબિડીયામાં બરાબર એક પત્ર હોય. ઓછામાં ઓછો એક પત્ર તેના યોગ્ય પરબિડીયામાં હોય તેની સંભાવના શોધો.
A
$1/3$
B
$1/2$
C
$2/3$
D
$5/6$
Solution
(C) ધારો કે પત્રો $L_1, L_2, L_3$ છે અને તેમના અનુરૂપ પરબિડીયાઓ $E_1, E_2, E_3$ છે. $3$ પત્રોને $3$ પરબિડીયાઓમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $3! = 6$ છે.
આ ગોઠવણીઓ નીચે મુજબ છે:
$(L_1E_1, L_2E_2, L_3E_3)$ - ત્રણેય સાચા
$(L_1E_1, L_2E_3, L_3E_2)$ - $L_1$ સાચું
$(L_2E_2, L_1E_1, L_3E_3)$ - $L_3$ સાચું
$(L_3E_3, L_2E_2, L_1E_1)$ - $L_2$ સાચું
$(L_1E_2, L_2E_3, L_3E_1)$ - એક પણ સાચું નથી
$(L_1E_3, L_2E_1, L_3E_2)$ - એક પણ સાચું નથી
ઓછામાં ઓછો એક પત્ર તેના યોગ્ય પરબિડીયામાં હોય તેવી $4$ ગોઠવણીઓ છે.
આમ,જરૂરી સંભાવના $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
આ ગોઠવણીઓ નીચે મુજબ છે:
$(L_1E_1, L_2E_2, L_3E_3)$ - ત્રણેય સાચા
$(L_1E_1, L_2E_3, L_3E_2)$ - $L_1$ સાચું
$(L_2E_2, L_1E_1, L_3E_3)$ - $L_3$ સાચું
$(L_3E_3, L_2E_2, L_1E_1)$ - $L_2$ સાચું
$(L_1E_2, L_2E_3, L_3E_1)$ - એક પણ સાચું નથી
$(L_1E_3, L_2E_1, L_3E_2)$ - એક પણ સાચું નથી
ઓછામાં ઓછો એક પત્ર તેના યોગ્ય પરબિડીયામાં હોય તેવી $4$ ગોઠવણીઓ છે.
આમ,જરૂરી સંભાવના $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
0 likes
View Solution28
MediumMCQ
આઠ વ્યક્તિઓને શહેર $A$ થી શહેર $B$ સુધી ત્રણ અલગ-અલગ મેક (make) ની કારમાં લઈ જવાની છે. જો દરેક કારમાં વધુમાં વધુ ત્રણ વ્યક્તિઓ બેસી શકે,તો તેમને લઈ જવાની રીતોની સંખ્યા $...........$ છે.
A
$3360$
B
$1680$
C
$560$
D
$1120$
Solution
(B) $8$ વ્યક્તિઓને $3$ કારમાં લઈ જવા માટે,જેમાં દરેકની મહત્તમ ક્ષમતા $3$ વ્યક્તિઓની છે,વ્યક્તિઓની વહેંચણી $(3, 3, 2)$ હોવી જોઈએ.
પ્રથમ,આપણે $8$ વ્યક્તિઓને $3, 3,$ અને $2$ ના જૂથોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\text{જૂથ બનાવવાની રીતો} = \frac{8!}{3!3!2!} \times \frac{1}{2!}$
કારણ કે કાર અલગ-અલગ મેક (make) ની છે,તેથી જૂથોનો ક્રમ મહત્વનો છે,તેથી આપણે $3!$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\text{કુલ રીતો} = \left( \frac{8!}{3!3!2! \times 2!} \right) \times 3!$
$= \frac{40320}{6 \times 6 \times 2 \times 2} \times 6$
$= \frac{40320}{144} \times 6 = 280 \times 6 = 1680$.
પ્રથમ,આપણે $8$ વ્યક્તિઓને $3, 3,$ અને $2$ ના જૂથોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\text{જૂથ બનાવવાની રીતો} = \frac{8!}{3!3!2!} \times \frac{1}{2!}$
કારણ કે કાર અલગ-અલગ મેક (make) ની છે,તેથી જૂથોનો ક્રમ મહત્વનો છે,તેથી આપણે $3!$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\text{કુલ રીતો} = \left( \frac{8!}{3!3!2! \times 2!} \right) \times 3!$
$= \frac{40320}{6 \times 6 \times 2 \times 2} \times 6$
$= \frac{40320}{144} \times 6 = 280 \times 6 = 1680$.
0 likes
View Solution29
DifficultMCQ
એક પરીક્ષામાં,$5$ વિદ્યાર્થીઓને તેમના રોલ નંબર મુજબ બેઠકો ફાળવવામાં આવી છે. એવી કેટલી રીતે ગોઠવણી થઈ શકે કે જેમાં કોઈ પણ વિદ્યાર્થી પોતાની ફાળવેલી બેઠક પર ન બેસે,તે $..........$ છે.
A
$43$
B
$44$
C
$42$
D
$41$
Solution
(B) $n$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી કોઈ પણ પોતાની ફાળવેલી બેઠક પર ન બેસે તેવા પ્રકારોની સંખ્યા ડેરન્જમેન્ટ સૂત્ર $D_n = n! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 5$ માટે:
$D_5 = 5! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!}\right)$
$D_5 = 120 \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\right)$
$D_5 = 120 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\right)$
$D_5 = 60 - 20 + 5 - 1$
$D_5 = 44$.
$n = 5$ માટે:
$D_5 = 5! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!}\right)$
$D_5 = 120 \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\right)$
$D_5 = 120 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\right)$
$D_5 = 60 - 20 + 5 - 1$
$D_5 = 44$.
0 likes
View Solution30
DifficultMCQ
ધારો કે $\alpha = \frac{(4!)!}{(4!)^{3!}}$ અને $\beta = \frac{(5!)!}{(5!)^{4!}}$. તો:
A
$\alpha \in N$ અને $\beta \notin N$
B
$\alpha \notin N$ અને $\beta \in N$
C
$\alpha \in N$ અને $\beta \in N$
D
$\alpha \notin N$ અને $\beta \notin N$
Solution
(C) આપેલ છે કે $\alpha = \frac{(4!)!}{(4!)^{3!}} = \frac{24!}{(24)^6}$ અને $\beta = \frac{(5!)!}{(5!)^{4!}} = \frac{120!}{(120)^{24}}$.
$n$ ભિન્ન વસ્તુઓને $m$ કદના $k$ જૂથોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા (જ્યાં $n = km$) $\frac{n!}{(m!)^k \cdot k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\alpha$ માટે,$n=24, m=4, k=6$. રીતોની સંખ્યા $\frac{24!}{(4!)^6 \cdot 6!} = K_1$ છે,જ્યાં $K_1 \in N$.
તેથી,$\alpha = K_1 \cdot 6!$. $K_1$ અને $6!$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\alpha \in N$.
$\beta$ માટે,$n=120, m=5, k=24$. રીતોની સંખ્યા $\frac{120!}{(5!)^{24} \cdot 24!} = K_2$ છે,જ્યાં $K_2 \in N$.
તેથી,$\beta = K_2 \cdot 24!$. $K_2$ અને $24!$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\beta \in N$.
આમ,$\alpha$ અને $\beta$ બંને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે.
$n$ ભિન્ન વસ્તુઓને $m$ કદના $k$ જૂથોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા (જ્યાં $n = km$) $\frac{n!}{(m!)^k \cdot k!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\alpha$ માટે,$n=24, m=4, k=6$. રીતોની સંખ્યા $\frac{24!}{(4!)^6 \cdot 6!} = K_1$ છે,જ્યાં $K_1 \in N$.
તેથી,$\alpha = K_1 \cdot 6!$. $K_1$ અને $6!$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\alpha \in N$.
$\beta$ માટે,$n=120, m=5, k=24$. રીતોની સંખ્યા $\frac{120!}{(5!)^{24} \cdot 24!} = K_2$ છે,જ્યાં $K_2 \in N$.
તેથી,$\beta = K_2 \cdot 24!$. $K_2$ અને $24!$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\beta \in N$.
આમ,$\alpha$ અને $\beta$ બંને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે.
0 likes
View Solution31
DifficultMCQ
ધારો કે ગણ $S = \{2, 4, 8, 16, \ldots, 512\}$ ને $3$ ગણ $A, B, C$ માં સમાન સંખ્યાના ઘટકો સાથે વિભાજિત કરવામાં આવે છે,જેથી $A \cup B \cup C = S$ અને $A \cap B = B \cap C = A \cap C = \phi$ થાય. $S$ ના આવા શક્ય વિભાજનોની સંખ્યા કેટલી છે?
A
$1680$
B
$1520$
C
$1710$
D
$1640$
Solution
(A) ગણ $S = \{2^1, 2^2, 2^3, \ldots, 2^9\}$ માં $9$ ઘટકો છે.
આપણે આ $9$ ઘટકોને $3$ ગણ $A, B, C$ માં વિભાજિત કરવાના છે,જેમાં દરેક ગણમાં $3$ ઘટકો હોય.
$9$ ભિન્ન વસ્તુઓને $3$ ના $3$ જૂથોમાં વહેંચવાની રીતો મલ્ટિનોમિયલ સહગુણક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{9!}{3! 3! 3! 3!}$
કારણ કે ગણ $A, B, C$ ભિન્ન (નામવાળા) છે,તેથી આપણે જૂથોને $A, B, C$ માં ગોઠવવા માટે $3!$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\text{રીતોની સંખ્યા} = \frac{9!}{3! 3! 3! 3!} \times 3! = \frac{9!}{3! 3! 3!} = \frac{362880}{216} = 1680$.
આપણે આ $9$ ઘટકોને $3$ ગણ $A, B, C$ માં વિભાજિત કરવાના છે,જેમાં દરેક ગણમાં $3$ ઘટકો હોય.
$9$ ભિન્ન વસ્તુઓને $3$ ના $3$ જૂથોમાં વહેંચવાની રીતો મલ્ટિનોમિયલ સહગુણક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{9!}{3! 3! 3! 3!}$
કારણ કે ગણ $A, B, C$ ભિન્ન (નામવાળા) છે,તેથી આપણે જૂથોને $A, B, C$ માં ગોઠવવા માટે $3!$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\text{રીતોની સંખ્યા} = \frac{9!}{3! 3! 3! 3!} \times 3! = \frac{9!}{3! 3! 3!} = \frac{362880}{216} = 1680$.
0 likes
View Solution32
Difficult
એક સંગીત વર્ગમાં પાંચ વિદ્યાર્થીઓ $S_1, S_2, S_3, S_4$ અને $S_5$ છે અને તેમના માટે હારમાં પાંચ બેઠકો $R_1, R_2, R_3, R_4$ અને $R_5$ ગોઠવેલી છે,જ્યાં શરૂઆતમાં બેઠક $R_i$ વિદ્યાર્થી $S_i$ ને ફાળવવામાં આવી છે,$i = 1, 2, 3, 4, 5$. પરંતુ,પરીક્ષાના દિવસે,પાંચ વિદ્યાર્થીઓને યાદચ્છિક રીતે પાંચ બેઠકો ફાળવવામાં આવે છે.
$(1)$ પરીક્ષાના દિવસે,વિદ્યાર્થી $S_1$ ને અગાઉ ફાળવેલી બેઠક $R_1$ મળે અને બાકીના વિદ્યાર્થીઓમાંથી કોઈને પણ તેમને અગાઉ ફાળવેલી બેઠક ન મળે તેની સંભાવના છે
$(A)$ $\frac{3}{40}$ $(B)$ $\frac{1}{8}$ $(C)$ $\frac{7}{40}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$
$(2)$ $i = 1, 2, 3, 4$ માટે,ધારો કે $T_i$ એ ઘટના દર્શાવે છે કે વિદ્યાર્થીઓ $S_i$ અને $S_{i+1}$ પરીક્ષાના દિવસે એકબીજાની બાજુમાં બેસતા નથી. તો,ઘટના $T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4$ ની સંભાવના છે
$(A)$ $\frac{1}{15}$ $(B)$ $\frac{1}{10}$ $(C)$ $\frac{7}{60}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$
$(1)$ પરીક્ષાના દિવસે,વિદ્યાર્થી $S_1$ ને અગાઉ ફાળવેલી બેઠક $R_1$ મળે અને બાકીના વિદ્યાર્થીઓમાંથી કોઈને પણ તેમને અગાઉ ફાળવેલી બેઠક ન મળે તેની સંભાવના છે
$(A)$ $\frac{3}{40}$ $(B)$ $\frac{1}{8}$ $(C)$ $\frac{7}{40}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$
$(2)$ $i = 1, 2, 3, 4$ માટે,ધારો કે $T_i$ એ ઘટના દર્શાવે છે કે વિદ્યાર્થીઓ $S_i$ અને $S_{i+1}$ પરીક્ષાના દિવસે એકબીજાની બાજુમાં બેસતા નથી. તો,ઘટના $T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4$ ની સંભાવના છે
$(A)$ $\frac{1}{15}$ $(B)$ $\frac{1}{10}$ $(C)$ $\frac{7}{60}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$
Solution
(A, C) $(1)$ $5$ વિદ્યાર્થીઓને $5$ બેઠકોમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $n(S) = 5! = 120$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે $S_1$ ને બેઠક $R_1$ મળે અને બાકીના $4$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી કોઈને તેમની મૂળ બેઠક ન મળે.
આ $4$ વસ્તુઓની ગોઠવણી (derangement) છે,જેને $D_4$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$n(A) = D_4 = 4! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}\right) = 9$.
$P(A) = \frac{9}{120} = \frac{3}{40}$.
$(2)$ ધારો કે $E_i$ એ ઘટના છે કે $S_i$ અને $S_{i+1}$ બાજુમાં બેસે છે. આપણે $P(T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4) = 1 - P(E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup E_4)$ શોધીએ છીએ.
ગણતરી મુજબ,કોઈ પણ બે ક્રમિક વિદ્યાર્થીઓ સાથે ન હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $14$ છે.
તેથી,$P(T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4) = \frac{14}{120} = \frac{7}{60}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે $S_1$ ને બેઠક $R_1$ મળે અને બાકીના $4$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી કોઈને તેમની મૂળ બેઠક ન મળે.
આ $4$ વસ્તુઓની ગોઠવણી (derangement) છે,જેને $D_4$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$n(A) = D_4 = 4! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}\right) = 9$.
$P(A) = \frac{9}{120} = \frac{3}{40}$.
$(2)$ ધારો કે $E_i$ એ ઘટના છે કે $S_i$ અને $S_{i+1}$ બાજુમાં બેસે છે. આપણે $P(T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4) = 1 - P(E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup E_4)$ શોધીએ છીએ.
ગણતરી મુજબ,કોઈ પણ બે ક્રમિક વિદ્યાર્થીઓ સાથે ન હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા $14$ છે.
તેથી,$P(T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4) = \frac{14}{120} = \frac{7}{60}$.
0 likes
View Solution33
DifficultMCQ
છ કાર્ડ અને છ પરબિડીયાઓને $1, 2, 3, 4, 5, 6$ નંબર આપવામાં આવ્યા છે. કાર્ડને પરબિડીયાઓમાં એવી રીતે મૂકવાના છે કે દરેક પરબિડીયામાં બરાબર એક કાર્ડ હોય,કોઈ પણ કાર્ડ સમાન નંબર ધરાવતા પરબિડીયામાં ન હોય અને કાર્ડ નંબર $1$ હંમેશા પરબિડીયા નંબર $2$ માં મૂકવામાં આવે. આ કેટલી રીતે કરી શકાય?
A
$264$
B
$265$
C
$53$
D
$67$
Solution
(C) ધારો કે કાર્ડ $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6$ છે અને પરબિડીયા $E_1, E_2, E_3, E_4, E_5, E_6$ છે.
આપેલ છે કે $C_1$ એ $E_2$ માં છે.
આપણે $C_2, C_3, C_4, C_5, C_6$ ને $E_1, E_3, E_4, E_5, E_6$ માં એવી રીતે મૂકવાના છે કે $i \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ માટે $C_i$ એ $E_i$ માં ન હોય.
કિસ્સો $1$: $C_2$ એ $E_1$ માં છે.
તો આપણે $C_3, C_4, C_5, C_6$ ને $E_3, E_4, E_5, E_6$ માં એવી રીતે મૂકવા પડશે કે કોઈ કાર્ડ $C_i$ એ $E_i$ માં ન હોય. આ $4$ વસ્તુઓની ગોઠવણી (derangement) છે,$D_4 = 4!(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}) = 9$.
કિસ્સો $2$: $C_2$ એ $E_1$ માં નથી.
આપણે $5$ કાર્ડ $C_2, C_3, C_4, C_5, C_6$ ને $E_1, E_3, E_4, E_5, E_6$ માં એવી રીતે મૂકવાના છે કે $C_2 \neq E_1, C_3 \neq E_3, C_4 \neq E_4, C_5 \neq E_5, C_6 \neq E_6$. આ $5$ વસ્તુઓની ગોઠવણી છે,$D_5 = 44$.
કુલ રીતો = $9 + 44 = 53$.
આપેલ છે કે $C_1$ એ $E_2$ માં છે.
આપણે $C_2, C_3, C_4, C_5, C_6$ ને $E_1, E_3, E_4, E_5, E_6$ માં એવી રીતે મૂકવાના છે કે $i \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ માટે $C_i$ એ $E_i$ માં ન હોય.
કિસ્સો $1$: $C_2$ એ $E_1$ માં છે.
તો આપણે $C_3, C_4, C_5, C_6$ ને $E_3, E_4, E_5, E_6$ માં એવી રીતે મૂકવા પડશે કે કોઈ કાર્ડ $C_i$ એ $E_i$ માં ન હોય. આ $4$ વસ્તુઓની ગોઠવણી (derangement) છે,$D_4 = 4!(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}) = 9$.
કિસ્સો $2$: $C_2$ એ $E_1$ માં નથી.
આપણે $5$ કાર્ડ $C_2, C_3, C_4, C_5, C_6$ ને $E_1, E_3, E_4, E_5, E_6$ માં એવી રીતે મૂકવાના છે કે $C_2 \neq E_1, C_3 \neq E_3, C_4 \neq E_4, C_5 \neq E_5, C_6 \neq E_6$. આ $5$ વસ્તુઓની ગોઠવણી છે,$D_5 = 44$.
કુલ રીતો = $9 + 44 = 53$.
0 likes
View Solution34
EasyMCQ
પાંચ પત્રોને યાદચ્છિક રીતે પાંચ સરનામાંવાળા પરબિડીયાઓમાં મૂકવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે બધા પત્રો તેમના યોગ્ય પરબિડીયાઓમાં મોકલવામાં આવ્યા નથી.
A
$\frac{1}{120}$
B
$\frac{1}{5}$
C
$\frac{119}{120}$
D
$\frac{4}{5}$
Solution
(C) $5$ પત્રોને $5$ પરબિડીયાઓમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $5! = 120$ છે.
માત્ર $1$ રીત એવી છે જેમાં બધા પત્રો તેમના યોગ્ય પરબિડીયામાં જાય છે.
તેથી,બધા પત્રો યોગ્ય પરબિડીયામાં જાય તેની સંભાવના $P(E) = \frac{1}{5!} = \frac{1}{120}$ છે.
બધા પત્રો તેમના યોગ્ય પરબિડીયામાં ન જાય તેની સંભાવના $P(E') = 1 - P(E)$ છે.
$P(E') = 1 - \frac{1}{120} = \frac{119}{120}$.
માત્ર $1$ રીત એવી છે જેમાં બધા પત્રો તેમના યોગ્ય પરબિડીયામાં જાય છે.
તેથી,બધા પત્રો યોગ્ય પરબિડીયામાં જાય તેની સંભાવના $P(E) = \frac{1}{5!} = \frac{1}{120}$ છે.
બધા પત્રો તેમના યોગ્ય પરબિડીયામાં ન જાય તેની સંભાવના $P(E') = 1 - P(E)$ છે.
$P(E') = 1 - \frac{1}{120} = \frac{119}{120}$.
0 likes
View Solution35
MediumMCQ
$52$ પત્તાને $4$ ખેલાડીઓ વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવાની કુલ રીતો કેટલી છે કે જેથી $3$ ખેલાડીઓ પાસે $17$ પત્તા હોય અને ચોથા ખેલાડી પાસે માત્ર $1$ પત્તું હોય?
A
$\frac{52!}{(17!)^3 \cdot 3!}$
B
$\frac{52!}{(17!)^3}$
C
$\frac{52!}{17!}$
D
$\frac{52!}{17}$
Solution
(B) $52$ પત્તાને $17, 17, 17$ અને $1$ ના જૂથોમાં વહેંચવા માટે,આપણે મલ્ટિનોમિયલ ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$4$ અલગ-અલગ ખેલાડીઓ માટે,કુલ રીતો $\frac{52!}{17! 17! 17! 1!}$ થશે.
આથી,જવાબ $\frac{52!}{(17!)^3}$ છે.
$4$ અલગ-અલગ ખેલાડીઓ માટે,કુલ રીતો $\frac{52!}{17! 17! 17! 1!}$ થશે.
આથી,જવાબ $\frac{52!}{(17!)^3}$ છે.
0 likes
View Solution36
EasyMCQ
ત્રણ પત્રો,જેમાંથી દરેકને એક પરબિડીયું અનુરૂપ છે,તેને યાદચ્છિક રીતે પરબિડીયાઓમાં મૂકવામાં આવે છે. બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં ન મૂકાય તેની સંભાવના કેટલી છે?
A
$\frac{1}{6}$
B
$\frac{5}{6}$
C
$\frac{1}{3}$
D
$\frac{2}{3}$
Solution
(B) $3$ પત્રોને $3$ પરબિડીયામાં મૂકવાની કુલ રીતો $3! = 6$ છે.
બધા પત્રોને તેમના સાચા પરબિડીયામાં મૂકવાની માત્ર $1$ રીત છે.
બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં મૂકાય તેની સંભાવના $\frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ છે.
તેથી,બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં ન મૂકાય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
બધા પત્રોને તેમના સાચા પરબિડીયામાં મૂકવાની માત્ર $1$ રીત છે.
બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં મૂકાય તેની સંભાવના $\frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ છે.
તેથી,બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં ન મૂકાય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
0 likes
View Solution37
MediumMCQ
$3$ ડઝન ફળો (કોઈપણ બે ફળો સમાન નથી) ને $9$ વ્યક્તિઓમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી દરેકને સમાન સંખ્યામાં ફળો મળે.
A
$\frac{36!}{(9!)^4}$
B
$\frac{36!}{(4!)^9}$
C
${ }^{36} P_9 \times 4!$
D
$\frac{36!}{4!(9!)^4}$
Solution
(B) ફળોની કુલ સંખ્યા = $3 \times 12 = 36$.
વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $9$.
દરેક વ્યક્તિને સમાન સંખ્યામાં ફળો મળે છે,તેથી દરેકને $\frac{36}{9} = 4$ ફળો મળે.
$36$ અલગ-અલગ ફળોને $9$ જૂથોમાં,દરેક જૂથમાં $4$ ફળો હોય તે રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા મલ્ટિનોમિયલ સહગુણક દ્વારા મળે છે:
$\frac{36!}{4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4!} = \frac{36!}{(4!)^9}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
વ્યક્તિઓની સંખ્યા = $9$.
દરેક વ્યક્તિને સમાન સંખ્યામાં ફળો મળે છે,તેથી દરેકને $\frac{36}{9} = 4$ ફળો મળે.
$36$ અલગ-અલગ ફળોને $9$ જૂથોમાં,દરેક જૂથમાં $4$ ફળો હોય તે રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા મલ્ટિનોમિયલ સહગુણક દ્વારા મળે છે:
$\frac{36!}{4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4!} = \frac{36!}{(4!)^9}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
0 likes
View Solution38
MediumMCQ
$15$ વ્યક્તિઓને $3, 5$ અને $7$ વ્યક્તિઓના $3$ જૂથોમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી બે ચોક્કસ વ્યક્તિઓ $5$ વ્યક્તિઓના જૂથમાં ન હોય.
A
$\frac{11!}{(3!)(5!)(7!)}$
B
$13 \times \frac{11!}{3!7!}$
C
$90 \times \frac{13!}{7!}$
D
$13 \times \frac{11!}{3!5!}$
Solution
(D) કુલ વ્યક્તિઓ = $15$. જૂથોનું કદ $3, 5, 7$ છે.
ધારો કે બે ચોક્કસ વ્યક્તિઓ $P_1$ અને $P_2$ છે.
આપણે એવી રીતે જૂથો બનાવવાના છે કે $P_1$ અને $P_2$ એ $5$ ના જૂથમાં ન હોય.
કુલ રીતોમાંથી $P_1$ અને $P_2$ બંને $5$ ના જૂથમાં હોય તેવી રીતો બાદ કરતા:
કુલ રીતો = $\frac{15!}{3!5!7!}$.
$P_1$ અને $P_2$ બંને $5$ ના જૂથમાં હોય તેવી રીતો = $\binom{13}{3} \times \binom{10}{7} = \frac{13!}{3!10!} \times \frac{10!}{7!3!} = \frac{13!}{3!3!7!}$.
બાદબાકી કરતા: $\frac{15!}{3!5!7!} - \frac{13!}{3!3!7!} = 13 \times \frac{11!}{3!5!}$.
ધારો કે બે ચોક્કસ વ્યક્તિઓ $P_1$ અને $P_2$ છે.
આપણે એવી રીતે જૂથો બનાવવાના છે કે $P_1$ અને $P_2$ એ $5$ ના જૂથમાં ન હોય.
કુલ રીતોમાંથી $P_1$ અને $P_2$ બંને $5$ ના જૂથમાં હોય તેવી રીતો બાદ કરતા:
કુલ રીતો = $\frac{15!}{3!5!7!}$.
$P_1$ અને $P_2$ બંને $5$ ના જૂથમાં હોય તેવી રીતો = $\binom{13}{3} \times \binom{10}{7} = \frac{13!}{3!10!} \times \frac{10!}{7!3!} = \frac{13!}{3!3!7!}$.
બાદબાકી કરતા: $\frac{15!}{3!5!7!} - \frac{13!}{3!3!7!} = 13 \times \frac{11!}{3!5!}$.
0 likes
View Solution39
MediumMCQ
$200$ અસમાન વસ્તુઓને $10$ જૂથોમાં,દરેક જૂથમાં $20$ ઘટકો હોય તે રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?
A
$(200)! / (20!)^{10} \cdot 10!$
B
$(200)! / (10!)^{10} \cdot 20!$
C
$(200)! / (20!)^{10} \cdot 10!$
D
$(200)! / (10!)^{20} \cdot 20!$
Solution
(C) $mn$ ભિન્ન વસ્તુઓને $n$ કદના $m$ સમાન જૂથોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{(mn)!}{(n!)^m \cdot m!}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$mn = 200$ અને $n = 20$,જેનો અર્થ છે કે $m = 10$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને રીતોની સંખ્યા $\frac{200!}{(20!)^{10} \cdot 10!}$ મળે છે.
અહીં,$mn = 200$ અને $n = 20$,જેનો અર્થ છે કે $m = 10$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને રીતોની સંખ્યા $\frac{200!}{(20!)^{10} \cdot 10!}$ મળે છે.
0 likes
View Solution40
MediumMCQ
એક વ્યક્તિ $6$ મિત્રોને પત્રો લખે છે અને અનુરૂપ પરબિડીયાઓ પર સરનામાં લખે છે. પત્રોને પરબિડીયાઓમાં કેટલી રીતે મૂકી શકાય કે જેથી ઓછામાં ઓછા બે પત્રો ખોટા પરબિડીયામાં હોય?
નોંધ : $D_n = n! \left( \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^i}{i!} \right)$
નોંધ : $D_n = n! \left( \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^i}{i!} \right)$
A
${ }^6 C _4 \cdot D_2$
B
$\sum_{r=3}^6{ }^6 C_{6-r} \cdot D_r$
C
$\sum_{r=2}^6{ }^6 C_{6-r} \cdot D_r$
D
${ }^6 C_1 D_5 + { }^6 C_0 \cdot D_6$
Solution
(C) $6$ પત્રોને $6$ પરબિડીયાઓમાં મૂકવાની કુલ રીતો $6!$ છે.
ઓછામાં ઓછા બે પત્રો ખોટા પરબિડીયામાં હોય તેવી રીતોની સંખ્યા $\sum_{r=2}^6 { }^6 C_{6-r} D_r = { }^6 C_4 D_2 + { }^6 C_3 D_3 + { }^6 C_2 D_4 + { }^6 C_1 D_5 + { }^6 C_0 D_6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,
જ્યાં $D_r = r! \left( \sum_{i=0}^r \frac{(-1)^i}{i!} \right)$ છે.
ઓછામાં ઓછા બે પત્રો ખોટા પરબિડીયામાં હોય તેવી રીતોની સંખ્યા $\sum_{r=2}^6 { }^6 C_{6-r} D_r = { }^6 C_4 D_2 + { }^6 C_3 D_3 + { }^6 C_2 D_4 + { }^6 C_1 D_5 + { }^6 C_0 D_6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,
જ્યાં $D_r = r! \left( \sum_{i=0}^r \frac{(-1)^i}{i!} \right)$ છે.
0 likes
View Solution41
EasyMCQ
જો $5$ પત્રોને $5$ સરનામાંવાળા પરબિડીયાઓમાં મૂકવાના હોય,તો ઓછામાં ઓછું એક પત્ર ખોટા સરનામાંવાળા પરબિડીયામાં મૂકાય તેની સંભાવના કેટલી?
A
$\frac{1}{5}$
B
$\frac{1}{120}$
C
$\frac{4}{5}$
D
$\frac{119}{120}$
Solution
(D) $5$ પત્રોને $5$ સરનામાંવાળા પરબિડીયાઓમાં મૂકવાની કુલ રીતો $5! = 120$ છે.
બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં મૂકાય તેની રીતોની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી,બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં મૂકાય તેની સંભાવના $\frac{1}{120}$ છે.
ઓછામાં ઓછું એક પત્ર ખોટા પરબિડીયામાં મૂકાય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{120} = \frac{119}{120}$ છે.
બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં મૂકાય તેની રીતોની સંખ્યા $1$ છે.
તેથી,બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં મૂકાય તેની સંભાવના $\frac{1}{120}$ છે.
ઓછામાં ઓછું એક પત્ર ખોટા પરબિડીયામાં મૂકાય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{120} = \frac{119}{120}$ છે.
0 likes
View Solution42
MediumMCQ
$8$ અલગ-અલગ રંગના દડા અને $8$ થેલીઓ છે જે દડાના રંગ જેવી જ છે. જો દરેક થેલીમાં એક દડો યાદચ્છિક રીતે મૂકવામાં આવે,તો $5$ દડા તેમના સંબંધિત રંગની થેલીમાં મૂકાય તેની સંભાવના કેટલી છે?
A
$\frac{1}{120}$
B
$\frac{1}{160}$
C
$\frac{1}{180}$
D
$\frac{1}{360}$
Solution
(D) $8$ દડાને $8$ થેલીમાં મૂકવાની કુલ રીતો $8!$ છે.
આપણે એવી રીતો શોધવી છે જેમાં બરાબર $5$ દડા તેમની સંબંધિત થેલીમાં હોય.
પહેલા,$8$ માંથી $5$ દડા પસંદ કરીએ જે સાચી થેલીમાં હોય,જે $\binom{8}{5}$ રીતે થઈ શકે.
બાકીના $3$ દડાને બાકીની $3$ થેલીમાં એવી રીતે મૂકવા પડે કે કોઈ પણ દડો તેની સાચી થેલીમાં ન હોય. આ $3$ વસ્તુઓની ગોઠવણી (derangement) છે,જેને $D_3$ કહેવાય છે.
$D_3 = 3! \times (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) = 2$.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $\binom{8}{5} \times D_3 = 56 \times 2 = 112$ છે.
સંભાવના $\frac{112}{8!} = \frac{112}{40320} = \frac{1}{360}$ છે.
આપણે એવી રીતો શોધવી છે જેમાં બરાબર $5$ દડા તેમની સંબંધિત થેલીમાં હોય.
પહેલા,$8$ માંથી $5$ દડા પસંદ કરીએ જે સાચી થેલીમાં હોય,જે $\binom{8}{5}$ રીતે થઈ શકે.
બાકીના $3$ દડાને બાકીની $3$ થેલીમાં એવી રીતે મૂકવા પડે કે કોઈ પણ દડો તેની સાચી થેલીમાં ન હોય. આ $3$ વસ્તુઓની ગોઠવણી (derangement) છે,જેને $D_3$ કહેવાય છે.
$D_3 = 3! \times (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) = 2$.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $\binom{8}{5} \times D_3 = 56 \times 2 = 112$ છે.
સંભાવના $\frac{112}{8!} = \frac{112}{40320} = \frac{1}{360}$ છે.
0 likes
View Solution43
EasyMCQ
જો $5$ અલગ-અલગ વ્યક્તિઓને લખેલા $5$ પત્રો અને તેમને સંબોધિત $5$ પરબિડીયાઓ હોય,તો આ પત્રોને એવી રીતે ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે કે જેથી કોઈ પણ પત્ર તેના સંબંધિત પરબિડીયામાં ન જાય?
A
$9$
B
$24$
C
$44$
D
$119$
Solution
(C) આપેલ છે કે $5$ પત્રો $5$ અલગ-અલગ વ્યક્તિઓને લખવામાં આવ્યા છે અને $5$ પરબિડીયાઓ તેમને સંબોધિત છે.
આ પત્રોને એવી રીતે ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી કોઈ પણ પત્ર તેના સંબંધિત પરબિડીયામાં ન જાય,તે $5$ વસ્તુઓના 'derangement' (વ્યવસ્થિત ગોઠવણીનો અભાવ) ની સંખ્યા જેટલી છે.
$n$ વસ્તુઓના derangement માટેનું સૂત્ર $D_n = n! \left[ 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \ldots + (-1)^n \frac{1}{n!} \right]$ છે.
અહીં,$n = 5$.
$D_5 = 5! \left[ 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} \right] = 44$.
આમ,$5$ પત્રોને $5$ પરબિડીયાઓમાં એવી રીતે મૂકવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી બધા ખોટા પરબિડીયામાં હોય,તે $44$ છે.
આ પત્રોને એવી રીતે ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી કોઈ પણ પત્ર તેના સંબંધિત પરબિડીયામાં ન જાય,તે $5$ વસ્તુઓના 'derangement' (વ્યવસ્થિત ગોઠવણીનો અભાવ) ની સંખ્યા જેટલી છે.
$n$ વસ્તુઓના derangement માટેનું સૂત્ર $D_n = n! \left[ 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \ldots + (-1)^n \frac{1}{n!} \right]$ છે.
અહીં,$n = 5$.
$D_5 = 5! \left[ 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} \right] = 44$.
આમ,$5$ પત્રોને $5$ પરબિડીયાઓમાં એવી રીતે મૂકવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી બધા ખોટા પરબિડીયામાં હોય,તે $44$ છે.
0 likes
View Solution44
EasyMCQ
$4$ પત્રોને $4$ સરનામાંવાળા પરબીડિયામાં એવી રીતે મૂકવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી કોઈ પણ પત્ર તેના માટેના સાચા પરબીડિયામાં ન જાય:
A
$8$
B
$12$
C
$16$
D
$9$
Solution
(D) આ પ્રશ્ન વિકૃતિઓ (derangements) નો છે,જેને $D_n$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ વસ્તુઓની સંખ્યા છે.
$n=4$ માટે,વિકૃતિઓની સંખ્યાનું સૂત્ર $D_n = n! \times \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}\right)$ છે.
$n=4$ મૂકતા:
$D_4 = 24 \times \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}\right)$
$D_4 = 24 \times \left(\frac{12 - 4 + 1}{24}\right)$
$D_4 = 24 \times \frac{9}{24} = 9$.
અથવા,સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને:
કુલ રીતો $= 4! = 24$.
ઓછામાં ઓછો એક પત્ર સાચા પરબીડિયામાં હોય તેવી રીતો $= \binom{4}{1} \times 3! - \binom{4}{2} \times 2! + \binom{4}{3} \times 1! - \binom{4}{4} \times 0! = 24 - 12 + 4 - 1 = 15$.
જરૂરી રીતો $= 24 - 15 = 9$.
$n=4$ માટે,વિકૃતિઓની સંખ્યાનું સૂત્ર $D_n = n! \times \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}\right)$ છે.
$n=4$ મૂકતા:
$D_4 = 24 \times \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}\right)$
$D_4 = 24 \times \left(\frac{12 - 4 + 1}{24}\right)$
$D_4 = 24 \times \frac{9}{24} = 9$.
અથવા,સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને:
કુલ રીતો $= 4! = 24$.
ઓછામાં ઓછો એક પત્ર સાચા પરબીડિયામાં હોય તેવી રીતો $= \binom{4}{1} \times 3! - \binom{4}{2} \times 2! + \binom{4}{3} \times 1! - \binom{4}{4} \times 0! = 24 - 12 + 4 - 1 = 15$.
જરૂરી રીતો $= 24 - 15 = 9$.
0 likes
View Solution45
EasyMCQ
$5$ પરિણીત યુગલોમાં,જો $5$ પુરુષોના નામ તેમની પત્નીઓના નામ સાથે યાદચ્છિક રીતે જોડવામાં આવે,તો સંભાવના શોધો કે કોઈ પણ પુરુષ તેની પત્નીના નામ સાથે જોડાયેલ નથી.
A
$\frac{9}{20}$
B
$\frac{1}{5}$
C
$\frac{11}{30}$
D
$\frac{17}{60}$
Solution
(C) $5$ પુરુષોને $5$ પત્નીઓ સાથે જોડવાની કુલ રીતો $5! = 120$ છે.
કોઈ પણ પુરુષ તેની પોતાની પત્ની સાથે ન જોડાય તેવી રીતોની સંખ્યા એ $5$ વસ્તુઓનું વિક્ષેપ (derangement) છે,જેને $D_5$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વિક્ષેપ માટેનું સૂત્ર $D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$ છે.
$n = 5$ માટે:
$D_5 = 5! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} \right) = 120 \left( \frac{60 - 20 + 5 - 1}{120} \right) = 44$.
તેથી,કોઈ પણ પુરુષ તેની પત્ની સાથે ન જોડાય તેની સંભાવના $\frac{D_5}{5!} = \frac{44}{120} = \frac{11}{30}$ છે.
કોઈ પણ પુરુષ તેની પોતાની પત્ની સાથે ન જોડાય તેવી રીતોની સંખ્યા એ $5$ વસ્તુઓનું વિક્ષેપ (derangement) છે,જેને $D_5$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વિક્ષેપ માટેનું સૂત્ર $D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$ છે.
$n = 5$ માટે:
$D_5 = 5! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} \right) = 120 \left( \frac{60 - 20 + 5 - 1}{120} \right) = 44$.
તેથી,કોઈ પણ પુરુષ તેની પત્ની સાથે ન જોડાય તેની સંભાવના $\frac{D_5}{5!} = \frac{44}{120} = \frac{11}{30}$ છે.
0 likes
View Solution46
MediumMCQ
$7$ ગ્રીટિંગ કાર્ડ્સ છે,દરેક અલગ રંગના છે અને કાર્ડ્સ જેવા જ $7$ રંગના $7$ પરબિડીયાઓ છે. કાર્ડ્સને પરબિડીયાઓમાં એવી રીતે મૂકવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી બરાબર $4$ કાર્ડ્સ તેમના સંબંધિત રંગના પરબિડીયાઓમાં જાય:
A
${ }^{7} C_{3}$
B
$2 \times { }^{7} C_{3}$
C
$3! \times { }^{4} C_{4}$
D
$3! \times { }^{7} C_{3} \times { }^{4} C_{3}$
Solution
(B) બરાબર $4$ કાર્ડ્સ તેમના સંબંધિત પરબિડીયાઓમાં જાય તે રીતે ગોઠવવાની રીતો:
$1$. $7$ માંથી $4$ કાર્ડ્સ પસંદ કરો જે તેમના સાચા પરબિડીયામાં જાય,જે ${ }^{7} C_{4}$ રીતે થઈ શકે.
$2$. બાકીના $3$ કાર્ડ્સ બાકીના $3$ પરબિડીયાઓમાં એવી રીતે મૂકવા કે કોઈ પણ કાર્ડ તેના સાચા પરબિડીયામાં ન જાય (આ $3$ વસ્તુઓની અસ્તવ્યસ્ત ગોઠવણી છે,જેને $D(3)$ કહેવાય છે).
$3$. $D(3) = 3! \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right) = 2$.
$4$. કુલ રીતો = ${ }^{7} C_{4} \times D(3) = { }^{7} C_{3} \times 2 = 2 \times { }^{7} C_{3}$.
$1$. $7$ માંથી $4$ કાર્ડ્સ પસંદ કરો જે તેમના સાચા પરબિડીયામાં જાય,જે ${ }^{7} C_{4}$ રીતે થઈ શકે.
$2$. બાકીના $3$ કાર્ડ્સ બાકીના $3$ પરબિડીયાઓમાં એવી રીતે મૂકવા કે કોઈ પણ કાર્ડ તેના સાચા પરબિડીયામાં ન જાય (આ $3$ વસ્તુઓની અસ્તવ્યસ્ત ગોઠવણી છે,જેને $D(3)$ કહેવાય છે).
$3$. $D(3) = 3! \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right) = 2$.
$4$. કુલ રીતો = ${ }^{7} C_{4} \times D(3) = { }^{7} C_{3} \times 2 = 2 \times { }^{7} C_{3}$.
0 likes
View Solution47
DifficultMCQ
એક વ્યક્તિ પાસે ત્રણ અલગ-અલગ થેલીઓ અને ચાર અલગ-અલગ પુસ્તકો છે. તે આ પુસ્તકોને થેલીઓમાં એવી રીતે મૂકી શકે કે જેથી કોઈ પણ થેલી ખાલી ન રહે,તે માટેના કુલ પ્રકારોની સંખ્યા કેટલી છે?
A
$18$
B
$36$
C
$39$
D
$72$
Solution
(B) આપણે $4$ અલગ-અલગ પુસ્તકોને $3$ અલગ-અલગ થેલીઓમાં એવી રીતે વહેંચવાની જરૂર છે કે જેથી કોઈ પણ થેલી ખાલી ન રહે.
આ $4$ ઘટકોના ગણમાંથી $3$ ઘટકોના ગણ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા શોધવા સમાન છે.
$n$ ઘટકોના ગણમાંથી $m$ ઘટકોના ગણ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યાનું સૂત્ર $\sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom{m}{k} (m-k)^n$ છે.
અહીં,$n = 4$ અને $m = 3$ છે.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{3}{0} 3^4 - \binom{3}{1} 2^4 + \binom{3}{2} 1^4 = 1 \times 81 - 3 \times 16 + 3 \times 1 = 81 - 48 + 3 = 36$.
આ $4$ ઘટકોના ગણમાંથી $3$ ઘટકોના ગણ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા શોધવા સમાન છે.
$n$ ઘટકોના ગણમાંથી $m$ ઘટકોના ગણ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યાનું સૂત્ર $\sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom{m}{k} (m-k)^n$ છે.
અહીં,$n = 4$ અને $m = 3$ છે.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{3}{0} 3^4 - \binom{3}{1} 2^4 + \binom{3}{2} 1^4 = 1 \times 81 - 3 \times 16 + 3 \times 1 = 81 - 48 + 3 = 36$.
0 likes
View SolutionPermutation and Combination — Division into groups, Derangements · Frequently Asked Questions
1Are these Permutation and Combination questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Permutation and Combination Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.