Expansion of binomial theorem Questions in Gujarati

(D) આપણે $3^{400}$ ના છેલ્લા બે અંકો શોધવા છે,જે $3^{400} \pmod{100}$ શોધવા સમાન છે.
$3^{400} = (3^4)^{100} = 81^{100}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $81^{100} = (1 + 80)^{100}$ લખી શકીએ.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા: $(1 + 80)^{100} = \binom{100}{0} + \binom{100}{1} \times 80 + \binom{100}{2} \times 80^2 + \dots + \binom{100}{100} \times 80^{100}$.
$= 1 + 100 \times 80 + \frac{100 \times 99}{2} \times 6400 + \dots$
$= 1 + 8000 + (80^2, 80^3, \dots \text{ ધરાવતા પદો})$.
$80^2 = 6400$ હોવાથી,ત્રીજા પદથી આગળના તમામ પદો $100$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$3^{400} \equiv 1 + 8000 \pmod{100}$.
$3^{400} \equiv 1 + 0 \pmod{100}$.
આમ,છેલ્લા બે અંકો $01$ છે.

(D) ધારો કે $y = \sqrt{4x + 1}$. પદાવલિ $\frac{1}{y} \left[ \left( \frac{1+y}{2} \right)^7 - \left( \frac{1-y}{2} \right)^7 \right]$ બને છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$\left( \frac{1+y}{2} \right)^7 = \frac{1}{2^7} \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} y^k$ અને $\left( \frac{1-y}{2} \right)^7 = \frac{1}{2^7} \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} (-y)^k$.
તફાવત $\frac{1}{2^7} \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} (y^k - (-y)^k)$ છે.
બેકી $k$ વાળા પદો ઉડી જાય છે,ફક્ત એકી $k$ વાળા પદો બાકી રહે છે: $2 \times \frac{1}{2^7} \left( \binom{7}{1} y + \binom{7}{3} y^3 + \binom{7}{5} y^5 + \binom{7}{7} y^7 \right)$.
$y$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{2}{2^7} \left( \binom{7}{1} + \binom{7}{3} y^2 + \binom{7}{5} y^4 + \binom{7}{7} y^6 \right)$ મળે છે.
કારણ કે $y^2 = 4x + 1$,$x$ ની મહત્તમ ઘાત $(y^2)^3 = (4x+1)^3$ છે,જે $x^3$ છે.
આમ,બહુપદીની ઘાત $3$ છે.

(D) ધારો કે $E = 4 \{^nC_1 + 4 \cdot ^nC_2 + 4^2 \cdot ^nC_3 + \dots + 4^{n-1} \cdot ^nC_n\}$.
કૌંસમાં $4$ ને ગુણતા,આપણને મળે છે:
$E = 4 \cdot ^nC_1 + 4^2 \cdot ^nC_2 + 4^3 \cdot ^nC_3 + \dots + 4^n \cdot ^nC_n$.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ: $(1 + x)^n = ^nC_0 + ^nC_1 x + ^nC_2 x^2 + \dots + ^nC_n x^n$.
$x = 4$ લેતા:
$(1 + 4)^n = ^nC_0 + ^nC_1(4) + ^nC_2(4^2) + \dots + ^nC_n(4^n)$.
$5^n = 1 + (4 \cdot ^nC_1 + 4^2 \cdot ^nC_2 + \dots + 4^n \cdot ^nC_n)$.
$5^n = 1 + E$.
તેથી,$E = 5^n - 1$.

(A) આપેલ છે કે $(1 - 2x + 5x^2 - 10x^3)(1 + x)^n = 1 + a_1x + a_2x^2 + \dots$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1 - 2x + 5x^2 - 10x^3)(1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + \dots) = 1 + a_1x + a_2x^2 + \dots$
$x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$a_1 = n - 2$
$x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$a_2 = \frac{n(n-1)}{2} - 2n + 5$
શરત $a_1^2 = 2a_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(n - 2)^2 = 2 \left( \frac{n(n-1)}{2} - 2n + 5 \right)$
$n^2 - 4n + 4 = n^2 - n - 4n + 10$
$n^2 - 4n + 4 = n^2 - 5n + 10$
$n = 6$

(B) ધારો કે $P(x) = (x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_n) = x^n - S_1 x^{n-1} + S_2 x^{n-2} - \ldots + (-1)^n S_n$,જ્યાં $S_k$ એ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ માંથી $k$ સંખ્યાઓના ગુણાકારનો સરવાળો છે.
અહીં,$n=10$ અને $a_i = i$ છે,જ્યાં $i=1, 2, \ldots, 10$.
$x^8$ નો સહગુણક $S_2$ છે,જે $1, 2, \ldots, 10$ માંથી $2$ સંખ્યાઓના ગુણાકારનો સરવાળો છે.
$S_2 = \sum_{1 \le i < j \le 10} ij = \frac{1}{2} [(\sum_{i=1}^{10} i)^2 - \sum_{i=1}^{10} i^2]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{i=1}^{10} i = 55$ અને $\sum_{i=1}^{10} i^2 = 385$.
$S_2 = \frac{1}{2} [55^2 - 385] = \frac{1}{2} [3025 - 385] = \frac{1}{2} [2640] = 1320$.

(D) આપેલ સરવાળો એ $(1+x)^{30}(1+x)^{20}(1+x)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{10}$ નો સહગુણક છે.
આ $(1+x)^{60}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{10}$ ના સહગુણક જેટલું છે.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ,$(1+x)^{60}$ માં $x^{10}$ નો સહગુણક $\binom{60}{10}$ થાય છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $(1 + x)^{100} + (1 + x^2)^{100}(1 + x^3)^{100}$ છે.
$(1 + x)^{100}$ માં પદોની સંખ્યા $101$ છે.
$(1 + x^2)^{100}(1 + x^3)^{100}$ માં પદોની સંખ્યા $301$ છે.
કુલ પદોની સંખ્યા $301$ થાય છે.

(B) ધારો કે $S = \sum\limits_{r = 1}^{19} \frac{{}^{20}C_{r+1}(-1)^r}{2^{2r+1}}$.
આ પદને $\frac{1}{2} \sum\limits_{r=1}^{19} {}^{20}C_{r+1} \left(-\frac{1}{4}\right)^r$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $k = r+1$,તો $r = 1$ થી $19$ માટે $k = 2$ થી $20$ થાય.
$S = \frac{1}{2} \sum\limits_{k=2}^{20} {}^{20}C_k \left(-\frac{1}{4}\right)^{k-1} = -2 \sum\limits_{k=2}^{20} {}^{20}C_k \left(-\frac{1}{4}\right)^k$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^n {}^{n}C_k x^k$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sum\limits_{k=2}^{20} {}^{20}C_k \left(-\frac{1}{4}\right)^k = (\frac{3}{4})^{20} - 1 + 5 = (\frac{3}{4})^{20} + 4$.
તેથી,$S = -2 \left( (\frac{3}{4})^{20} + 4 \right)$.

(D) વિસ્તરણ $(1+x)^n(1+y)^n(1+z)^n = \sum_{r=0}^n {}^nC_r x^r \sum_{s=0}^n {}^nC_s y^s \sum_{t=0}^n {}^nC_t z^t = \sum_{r,s,t} ({}^nC_r {}^nC_s {}^nC_t) x^r y^s z^t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m$ ઘાતવાળા પદો તે છે જેના માટે $r + s + t = m$ થાય,જ્યાં $0 \le r, s, t \le n$.
આ પદોના સહગુણકોનો સરવાળો એ તમામ અનૃણ પૂર્ણાંકો $r, s, t$ માટે ${}^nC_r {}^nC_s {}^nC_t$ નો સરવાળો છે જ્યાં $r + s + t = m$.
આ $(1+x)^n(1+x)^n(1+x)^n = (1+x)^{3n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^m$ ના સહગુણક જેટલું છે.
$(1+x)^{3n}$ માં $x^m$ નો સહગુણક ${}^{3n}C_m$ છે.

(D) આપેલ વિસ્તરણ $(1 - 2x + 3x^2)^{10} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{20}x^{20}$ છે.
અહીં,$x$ ની મહત્તમ ઘાત $n = 20$ છે,તેથી કુલ $n+1 = 21$ પદો છે.
સહગુણકોનો સરવાળો મેળવવા માટે $x = 1$ મૂકતા:
$a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{20} = (1 - 2(1) + 3(1)^2)^{10} = (1 - 2 + 3)^{10} = 2^{10} = 1024$.
સહગુણકોનો સમાંતર મધ્યક $\frac{\sum_{i=0}^{20} a_i}{21} = \frac{1024}{21}$ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^k {^kC_r} = 2^k$.
આ કિંમત આપેલ પદમાં મૂકતા:
$= ^nC_1(2^1) + ^nC_2(2^2) + ^nC_3(2^3) + \dots + ^nC_n(2^n)$.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ,$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {^nC_k} x^k = ^nC_0 + ^nC_1 x + ^nC_2 x^2 + \dots + ^nC_n x^n$.
$x=2$ લેતા,$(1+2)^n = ^nC_0 + ^nC_1(2^1) + ^nC_2(2^2) + \dots + ^nC_n(2^n)$.
$3^n = 1 + [^nC_1(2^1) + ^nC_2(2^2) + \dots + ^nC_n(2^n)]$.
તેથી,માંગેલ સરવાળો $3^n - 1$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $P(x) = (2x + 1)(2x + 3)(2x + 5) \dots (2x + 99)$ છે.
દરેક $50$ પદોમાંથી $2$ સામાન્ય લેતા: $P(x) = 2^{50} \left(x + \frac{1}{2}\right) \left(x + \frac{3}{2}\right) \dots \left(x + \frac{99}{2}\right)$.
$x^{49}$ નો સહગુણક $2^{50} \times \sum_{k=1}^{50} \frac{2k-1}{2} = 2^{49} \times \sum_{k=1}^{50} (2k-1)$ થશે.
પ્રથમ $50$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $50^2 = 2500$ છે.
તેથી,સહગુણક $2^{49} \times 2500$ છે.

(B) આપેલ બહુપદી $P(x) = (x-2^0)(x-2^1)(x-2^2) \dots (x-2^{19})$ છે.
આ $(x-a_i)$ સ્વરૂપના $20$ અવયવોનો ગુણાકાર છે,જ્યાં $i = 0, 1, 2, \dots, 19$ માટે $a_i = 2^i$ છે.
જ્યારે આપણે આ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરીએ છીએ,ત્યારે $x^{19}$ પદ $19$ અવયવોમાંથી $x$ અને બાકીના એક અવયવમાંથી અચળ પદ $-a_i$ પસંદ કરીને મેળવવામાં આવે છે.
આમ,$x^{19}$ નો સહગુણક એ અચળ પદોનો સરવાળો ઋણ ચિહ્ન સાથે છે:
$x^{19}$ નો સહગુણક $= -(2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{19})$.
આ $n=20$ પદો,પ્રથમ પદ $a=1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r=2$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ દ્વારા મળે છે.
સરવાળો $= \frac{1(2^{20} - 1)}{2 - 1} = 2^{20} - 1$.
તેથી,$x^{19}$ નો સહગુણક $-(2^{20} - 1)$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = (1 + 2x + 3x^2)^6 + (1 - 4x^2)^6$.
આપણે $(2 - x^2)f(x)$ માં $x^2$ નો સહગુણક શોધવો છે.
આ $2 \times (f(x) \text{ માં } x^2 \text{ નો સહગુણક}) - 1 \times (f(x) \text{ માં અચળ પદ})$ બરાબર થાય.
પ્રથમ,$f(x)$ માં અચળ પદ શોધો:
અચળ પદ $= (1 + 2(0) + 3(0)^2)^6 + (1 - 4(0)^2)^6 = 1^6 + 1^6 = 2$.
હવે,$f(x)$ માં $x^2$ નો સહગુણક શોધો:
$(1 + 2x + 3x^2)^6$ માટે,દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + (2x + 3x^2))^6 = 1 + 6(2x + 3x^2) + \binom{6}{2}(2x)^2 + \dots = 1 + 12x + 18x^2 + 60x^2 + \dots = 1 + 12x + 78x^2 + \dots$
$x^2$ નો સહગુણક $78$ છે.
$(1 - 4x^2)^6$ માટે,વિસ્તરણ $1 + 6(-4x^2) + \dots = 1 - 24x^2 + \dots$ છે.
$x^2$ નો સહગુણક $-24$ છે.
તેથી,$f(x)$ માં $x^2$ નો સહગુણક $78 - 24 = 54$ છે.
છેલ્લે,$(2 - x^2)f(x)$ માં $x^2$ નો સહગુણક $2(54) - 1(2) = 108 - 2 = 106$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $A = (1 + x)^{2016},$ સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{x}{1 + x},$ અને $n = 2017$ પદો છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = A \frac{1 - r^n}{1 - r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = (1 + x)^{2016} \frac{1 - (\frac{x}{1 + x})^{2017}}{1 - \frac{x}{1 + x}}$
આનું સાદું રૂપ આપતા $S = (1 + x)^{2017} - x^{2017}$ મળે છે.
આપણે $(1 + x)^{2017} - x^{2017}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{17}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ,$(1 + x)^{2017} = \sum_{k=0}^{2017} \binom{2017}{k} x^k.$
તેથી $x^{17}$ નો સહગુણક $\binom{2017}{17} = \frac{2017!}{17! 2000!}$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $(1 + x)^{101} (1 - x + x^2)^{100}$ છે.
આપણે તેને $(1 + x) (1 + x)^{100} (1 - x + x^2)^{100}$ તરીકે લખી શકીએ.
$= (1 + x) [(1 + x)(1 - x + x^2)]^{100}$.
નિત્યસમ $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1 + x)(1 - x + x^2) = 1 + x^3$ મળે.
તેથી,પદાવલિ $(1 + x)(1 + x^3)^{100}$ બને છે.
$(1 + x^3)^{100}$ ના વિસ્તરણમાં $100 + 1 = 101$ પદો છે.
$(1 + x)$ વડે ગુણતા,$(1 + x)(1 + x^3)^{100} = (1 + x^3)^{100} + x(1 + x^3)^{100}$ મળે.
દરેક ભાગમાં $101$ પદો છે,અને કોઈ પણ પદ સમાન નથી,તેથી કુલ પદોની સંખ્યા $101 + 101 = 202$ થાય.

(D) આપેલ પદાવલિ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = (1 + x)^{1000}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{x}{1 + x}$ અને $n = 1001$ પદો છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{(1 + x)^{1000} \left[ 1 - \left( \frac{x}{1 + x} \right)^{1001} \right]}{1 - \frac{x}{1 + x}}$
સાદુરૂપ આપતા,$S = (1 + x)^{1001} - x^{1001}$ મળે છે.
આપણે $(1 + x)^{1001} - x^{1001}$ માં $x^{50}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
તેથી,$x^{50}$ નો સહગુણક $^{1001}C_{50} = \frac{1001!}{50!951!}$ થશે.

(A) આપેલ છે કે $1 + x^4 + x^5 = \sum\limits_{i = 0}^5 a_i (1 + x)^i.$
ધારો કે $y = 1 + x$,તેથી $x = y - 1$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$1 + (y - 1)^4 + (y - 1)^5 = \sum\limits_{i = 0}^5 a_i y^i.$
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$(y - 1)^4 = y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1$
$(y - 1)^5 = y^5 - 5y^4 + 10y^3 - 10y^2 + 5y - 1$
આ પદોનો $1$ સાથે સરવાળો કરતા:
$1 + (y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1) + (y^5 - 5y^4 + 10y^3 - 10y^2 + 5y - 1) = y^5 - 4y^4 + 6y^3 - 4y^2 + y + 1.$
તેની સરખામણી $\sum\limits_{i = 0}^5 a_i y^i = a_5 y^5 + a_4 y^4 + a_3 y^3 + a_2 y^2 + a_1 y + a_0$ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$a_5 = 1, a_4 = -4, a_3 = 6, a_2 = -4, a_1 = 1, a_0 = 1.$
આમ,$a_2 = -4$.

(C) $(1 - 3x)^{15}$ નું વિસ્તરણ $\sum_{k=0}^{15} \binom{15}{k} (-3x)^k = 1 - 45x + 945x^2 - 12285x^3 + \dots$ છે.
$x^2$ નો સહગુણક: $945 - 45a + b = 0 \Rightarrow 45a - b = 945$.
$x^3$ નો સહગુણક: $-12285 + 945a - 45b = 0 \Rightarrow 21a - b = 273$.
બાદબાકી કરતા $24a = 672 \Rightarrow a = 28$ મળે છે.
$a = 28$ મુકતા $b = 315$ મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = (x+\sqrt{x^{2}-1})^{6}+(x-\sqrt{x^{2}-1})^{6}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(a+b)^n + (a-b)^n = 2[^{n}C_{0}a^n + ^{n}C_{2}a^{n-2}b^2 + ^{n}C_{4}a^{n-4}b^4 + ^{n}C_{6}a^{n-6}b^6]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 2[^{6}C_{0}x^{6} + ^{6}C_{2}x^{4}(x^{2}-1) + ^{6}C_{4}x^{2}(x^{2}-1)^{2} + ^{6}C_{6}(x^{2}-1)^{3}]$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = 2[1 \cdot x^{6} + 15(x^{6}-x^{4}) + 15x^{2}(x^{4}-2x^{2}+1) + 1(x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1)]$.
$f(x) = 2[x^{6} + 15x^{6}-15x^{4} + 15x^{6}-30x^{4}+15x^{2} + x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1]$.
$f(x) = 2[32x^{6} - 48x^{4} + 18x^{2} - 1]$.
$f(x) = 64x^{6} - 96x^{4} + 36x^{2} - 2$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$\alpha = -96$ અને $\beta = 36$.
તેથી,$\alpha - \beta = -96 - 36 = -132$.

(A) આપેલ પદાવલિ $(1+x+x^{2})^{10} = (1 + x(1+x))^{10}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_{k} y^{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1+x+x^{2})^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}^{10}C_{k} x^{k} (1+x)^{k}$.
$x^{4}$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,આપણે $x^{k} (1+x)^{k}$ ના પદો જોઈએ:
$k=2$ માટે: ${}^{10}C_{2} x^{2} (1+x)^{2} = {}^{10}C_{2} x^{2} (1 + 2x + x^{2}) = {}^{10}C_{2} x^{2} + 2({}^{10}C_{2}) x^{3} + {}^{10}C_{2} x^{4}$. સહગુણક ${}^{10}C_{2} = 45$ છે.
$k=3$ માટે: ${}^{10}C_{3} x^{3} (1+x)^{3} = {}^{10}C_{3} x^{3} (1 + 3x + \dots) = {}^{10}C_{3} x^{3} + 3({}^{10}C_{3}) x^{4} + \dots$. સહગુણક $3 \times {}^{10}C_{3} = 3 \times 120 = 360$ છે.
$k=4$ માટે: ${}^{10}C_{4} x^{4} (1+x)^{4} = {}^{10}C_{4} x^{4} (1 + \dots) = {}^{10}C_{4} x^{4} + \dots$. સહગુણક ${}^{10}C_{4} = 210$ છે.
$x^{4}$ નો કુલ સહગુણક $= 45 + 360 + 210 = 615$.

દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(a+b)^n$ નું વિસ્તરણ $\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k} b^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = x^2$,$b = \frac{3}{x}$,અને $n = 4$ છે.
$\left(x^2 + \frac{3}{x}\right)^4 = {^4C_0}(x^2)^4 + {^4C_1}(x^2)^3\left(\frac{3}{x}\right) + {^4C_2}(x^2)^2\left(\frac{3}{x}\right)^2 + {^4C_3}(x^2)\left(\frac{3}{x}\right)^3 + {^4C_4}\left(\frac{3}{x}\right)^4$
$= 1 \cdot x^8 + 4 \cdot x^6 \cdot \frac{3}{x} + 6 \cdot x^4 \cdot \frac{9}{x^2} + 4 \cdot x^2 \cdot \frac{27}{x^3} + 1 \cdot \frac{81}{x^4}$
$= x^8 + 12x^5 + 54x^2 + \frac{108}{x} + \frac{81}{x^4}$

(A) આપણે $98$ ને $(100-2)$ તરીકે દર્શાવીએ છીએ અને દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$.
$(100-2)^5 = \binom{5}{0}(100)^5 - \binom{5}{1}(100)^4(2) + \binom{5}{2}(100)^3(2^2) - \binom{5}{3}(100)^2(2^3) + \binom{5}{4}(100)(2^4) - \binom{5}{5}(2^5)$.
$= 1 \times 10000000000 - 5 \times 100000000 \times 2 + 10 \times 1000000 \times 4 - 10 \times 10000 \times 8 + 5 \times 100 \times 16 - 1 \times 32$.
$= 10000000000 - 1000000000 + 40000000 - 800000 + 8000 - 32$.
$= 9039207968$.

આપણે $(1.01)^{1000000}$ ને $(1 + 0.01)^{1000000}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,તેનું વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
$(1 + 0.01)^{1000000} = \binom{1000000}{0} + \binom{1000000}{1}(0.01) + \binom{1000000}{2}(0.01)^2 + \dots + (0.01)^{1000000}$.
પ્રથમ બે પદોને ધ્યાનમાં લેતા:
$= 1 + (1000000 \times 0.01) + \text{અન્ય ધન પદો}$.
$= 1 + 10000 + \text{અન્ય ધન પદો}$.
$= 10001 + \text{અન્ય ધન પદો}$.
વિસ્તરણના તમામ પદો ધન હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે $10001 + \text{અન્ય ધન પદો} > 10000$.
તેથી,$(1.01)^{1000000} > 10000$.

દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(a+b)^{n}$ નું વિસ્તરણ $\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k} b^{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1-2x)^{5}$ પદાવલિ માટે,$a=1$,$b=-2x$,અને $n=5$ છે.
$(1-2x)^{5} = {5 \choose 0}(1)^{5} + {5 \choose 1}(1)^{4}(-2x) + {5 \choose 2}(1)^{3}(-2x)^{2} + {5 \choose 3}(1)^{2}(-2x)^{3} + {5 \choose 4}(1)^{1}(-2x)^{4} + {5 \choose 5}(-2x)^{5}$
$= 1(1) + 5(-2x) + 10(4x^{2}) + 10(-8x^{3}) + 5(16x^{4}) + 1(-32x^{5})$
$= 1 - 10x + 40x^{2} - 80x^{3} + 80x^{4} - 32x^{5}$

દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,$\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{2}\right)^{5}$ નું વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
$\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{2}\right)^{5} = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} \left(\frac{2}{x}\right)^{5-k} \left(-\frac{x}{2}\right)^{k}$
$= \binom{5}{0}\left(\frac{2}{x}\right)^{5} - \binom{5}{1}\left(\frac{2}{x}\right)^{4}\left(\frac{x}{2}\right) + \binom{5}{2}\left(\frac{2}{x}\right)^{3}\left(\frac{x}{2}\right)^{2} - \binom{5}{3}\left(\frac{2}{x}\right)^{2}\left(\frac{x}{2}\right)^{3} + \binom{5}{4}\left(\frac{2}{x}\right)\left(\frac{x}{2}\right)^{4} - \binom{5}{5}\left(\frac{x}{2}\right)^{5}$
$= 1 \cdot \frac{32}{x^{5}} - 5 \cdot \frac{16}{x^{4}} \cdot \frac{x}{2} + 10 \cdot \frac{8}{x^{3}} \cdot \frac{x^{2}}{4} - 10 \cdot \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{8} + 5 \cdot \frac{2}{x} \cdot \frac{x^{4}}{16} - 1 \cdot \frac{x^{5}}{32}$
$= \frac{32}{x^{5}} - \frac{40}{x^{3}} + \frac{20}{x} - 5x + \frac{5x^{3}}{8} - \frac{x^{5}}{32}$

દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,$(a + b)^n$ નું વિસ્તરણ $\sum_{k=0}^{n} {^nC_k} a^{n-k} b^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(2x - 3)^6$ પદાવલિ માટે,$a = 2x$,$b = -3$,અને $n = 6$ છે.
$(2x - 3)^6 = {^6C_0}(2x)^6(-3)^0 + {^6C_1}(2x)^5(-3)^1 + {^6C_2}(2x)^4(-3)^2 + {^6C_3}(2x)^3(-3)^3 + {^6C_4}(2x)^2(-3)^4 + {^6C_5}(2x)^1(-3)^5 + {^6C_6}(2x)^0(-3)^6$
$= 1(64x^6)(1) + 6(32x^5)(-3) + 15(16x^4)(9) + 20(8x^3)(-27) + 15(4x^2)(81) + 6(2x)(-243) + 1(1)(729)$
$= 64x^6 - 576x^5 + 2160x^4 - 4320x^3 + 4860x^2 - 2916x + 729$.

દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,પદાવલિ $\left(\frac{x}{3}+\frac{1}{x}\right)^{5}$ નું વિસ્તરણ નીચે મુજબ કરી શકાય:
$\left(\frac{x}{3}+\frac{1}{x}\right)^{5} = {}^{5}C_{0}\left(\frac{x}{3}\right)^{5} + {}^{5}C_{1}\left(\frac{x}{3}\right)^{4}\left(\frac{1}{x}\right) + {}^{5}C_{2}\left(\frac{x}{3}\right)^{3}\left(\frac{1}{x}\right)^{2} + {}^{5}C_{3}\left(\frac{x}{3}\right)^{2}\left(\frac{1}{x}\right)^{3} + {}^{5}C_{4}\left(\frac{x}{3}\right)\left(\frac{1}{x}\right)^{4} + {}^{5}C_{5}\left(\frac{1}{x}\right)^{5}$
$= 1 \cdot \frac{x^{5}}{243} + 5 \cdot \frac{x^{4}}{81} \cdot \frac{1}{x} + 10 \cdot \frac{x^{3}}{27} \cdot \frac{1}{x^{2}} + 10 \cdot \frac{x^{2}}{9} \cdot \frac{1}{x^{3}} + 5 \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{x^{4}} + 1 \cdot \frac{1}{x^{5}}$
$= \frac{x^{5}}{243} + \frac{5x^{3}}{81} + \frac{10x}{27} + \frac{10}{9x} + \frac{5}{3x^{3}} + \frac{1}{x^{5}}$

દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{6}$ નું વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{6} = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} \left(\frac{1}{x}\right)^{k}$
$= \binom{6}{0}x^{6} + \binom{6}{1}x^{5}\left(\frac{1}{x}\right) + \binom{6}{2}x^{4}\left(\frac{1}{x^{2}}\right) + \binom{6}{3}x^{3}\left(\frac{1}{x^{3}}\right) + \binom{6}{4}x^{2}\left(\frac{1}{x^{4}}\right) + \binom{6}{5}x\left(\frac{1}{x^{5}}\right) + \binom{6}{6}\left(\frac{1}{x^{6}}\right)$
$= 1 \cdot x^{6} + 6 \cdot x^{4} + 15 \cdot x^{2} + 20 \cdot 1 + 15 \cdot \frac{1}{x^{2}} + 6 \cdot \frac{1}{x^{4}} + 1 \cdot \frac{1}{x^{6}}$
$= x^{6} + 6x^{4} + 15x^{2} + 20 + \frac{15}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} + \frac{1}{x^{6}}$

(A) $96$ ને બે સંખ્યાઓના તફાવત તરીકે દર્શાવી શકાય છે જેની ઘાત ગણવી સરળ છે,અને પછી દ્વિપદી પ્રમેય લાગુ કરી શકાય છે.
તેને $96 = 100 - 4$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$(96)^{3} = (100 - 4)^{3}$.
દ્વિપદી પ્રમેયના સૂત્ર $(a - b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(100 - 4)^{3} = \binom{3}{0}(100)^{3} - \binom{3}{1}(100)^{2}(4) + \binom{3}{2}(100)(4)^{2} - \binom{3}{3}(4)^{3}$
$= (1)(1000000) - 3(10000)(4) + 3(100)(16) - (1)(64)$
$= 1000000 - 120000 + 4800 - 64$
$= 880000 + 4800 - 64$
$= 884800 - 64$
$= 884736$

(A) આપણે $102$ ને $(100 + 2)$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} {\binom{n}{k}} a^{n-k} b^k$.
અહીં,$a = 100$,$b = 2$,અને $n = 5$.
$(100 + 2)^5 = \binom{5}{0}(100)^5 + \binom{5}{1}(100)^4(2) + \binom{5}{2}(100)^3(2)^2 + \binom{5}{3}(100)^2(2)^3 + \binom{5}{4}(100)(2)^4 + \binom{5}{5}(2)^5$.
$= 1(10000000000) + 5(100000000)(2) + 10(1000000)(4) + 10(10000)(8) + 5(100)(16) + 1(32)$.
$= 10000000000 + 1000000000 + 40000000 + 800000 + 8000 + 32$.
$= 11040808032$.

(A) આપણે $101$ ને $(100 + 1)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
અહીં,$a = 100$,$b = 1$,અને $n = 4$ છે.
$(100 + 1)^4 = \binom{4}{0}(100)^4 + \binom{4}{1}(100)^3(1) + \binom{4}{2}(100)^2(1)^2 + \binom{4}{3}(100)(1)^3 + \binom{4}{4}(1)^4$
$= 1 \times 100000000 + 4 \times 1000000 + 6 \times 10000 + 4 \times 100 + 1$
$= 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1$
$= 104060401$

(A) આપણે $99$ ને $(100 - 1)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(a - b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^{k}$.
$(99)^{5} = (100 - 1)^{5} = \binom{5}{0}(100)^{5} - \binom{5}{1}(100)^{4} + \binom{5}{2}(100)^{3} - \binom{5}{3}(100)^{2} + \binom{5}{4}(100)^{1} - \binom{5}{5}(1)^{5}$.
$= 1(10000000000) - 5(100000000) + 10(1000000) - 10(10000) + 5(100) - 1$.
$= 10000000000 - 500000000 + 10000000 - 100000 + 500 - 1$.
$= 9500000000 + 9900000 + 499$.
$= 9509900499$.

(A) દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $(1.1)^{10000}$ નું વિસ્તરણ નીચે મુજબ કરીએ છીએ:
$(1.1)^{10000} = (1 + 0.1)^{10000}$
$= {^{10000}}C_0 (1)^{10000} + {^{10000}}C_1 (1)^{9999} (0.1) + \text{અન્ય ધન પદો}$
$= 1 + 10000 \times 0.1 + \text{અન્ય ધન પદો}$
$= 1 + 1000 + \text{અન્ય ધન પદો}$
$= 1001 + \text{અન્ય ધન પદો}$
વિસ્તરણના તમામ પદો ધન હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે $1001 + \text{અન્ય ધન પદો} > 1000$.
તેથી,$(1.1)^{10000} > 1000$.

(A) દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$
$(a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$
બંને પદોની બાદબાકી કરતા:
$(a+b)^4 - (a-b)^4 = 8a^3b + 8ab^3 = 8ab(a^2 + b^2)$
હવે,$a = \sqrt{3}$ અને $b = \sqrt{2}$ મૂકતા:
$8(\sqrt{3})(\sqrt{2})((\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2) = 8\sqrt{6}(3 + 2) = 8\sqrt{6}(5) = 40\sqrt{6}$.

(A) દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$(x+1)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} = \binom{6}{0}x^6 + \binom{6}{1}x^5 + \binom{6}{2}x^4 + \binom{6}{3}x^3 + \binom{6}{4}x^2 + \binom{6}{5}x + \binom{6}{6}$
$(x-1)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} (-1)^k = \binom{6}{0}x^6 - \binom{6}{1}x^5 + \binom{6}{2}x^4 - \binom{6}{3}x^3 + \binom{6}{4}x^2 - \binom{6}{5}x + \binom{6}{6}$
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા,એકી ઘાતવાળા પદો ઉડી જશે:
$(x+1)^6 + (x-1)^6 = 2[\binom{6}{0}x^6 + \binom{6}{2}x^4 + \binom{6}{4}x^2 + \binom{6}{6}]$
$= 2[1 \cdot x^6 + 15 \cdot x^4 + 15 \cdot x^2 + 1]$
હવે,$x = \sqrt{2}$ મૂકતા:
$(\sqrt{2}+1)^6 + (\sqrt{2}-1)^6 = 2[(\sqrt{2})^6 + 15(\sqrt{2})^4 + 15(\sqrt{2})^2 + 1]$
$= 2[8 + 15(4) + 15(2) + 1]$
$= 2[8 + 60 + 30 + 1]$
$= 2[99] = 198$

(N/A) દ્વિપદી પ્રમેય (Binomial Theorem) મુજબ,આપણી પાસે વિસ્તરણ છે:
$\sum\limits_{r = 0}^n {^nC_r a^{n - r} b^r} = (a + b)^n$
ઉપરના સમીકરણમાં $a = 1$ અને $b = 3$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sum\limits_{r = 0}^n {^nC_r (1)^{n - r} (3)^r} = (1 + 3)^n$
કારણ કે $(1)^{n - r} = 1$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$\sum\limits_{r = 0}^n {3^r \,^nC_r} = 4^n$
આમ,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.

(A) $(a+b)^{n}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં $(r+1)^{th}$ પદ $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ત્રણ પદો:
$T_{1} = a^{n} = 729$ $(1)$
$T_{2} = n a^{n-1} b = 7290$ $(2)$
$T_{3} = \frac{n(n-1)}{2} a^{n-2} b^{2} = 30375$ $(3)$
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{n b}{a} = 10$ $(4)$
$(3)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{(n-1) b}{2 a} = \frac{25}{6} \Rightarrow \frac{(n-1) b}{a} = \frac{25}{3}$ $(5)$
$(4)$ અને $(5)$ નો ઉપયોગ કરીને:
$n=6, a=3, b=5$ મળે છે.

(A) દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
$(1+2x)^{6} = 1 + 12x + 60x^2 + 160x^3 + 240x^4 + 192x^5 + 64x^6$
$(1-x)^{7} = 1 - 7x + 21x^2 - 35x^3 + 35x^4 - 21x^5 + 7x^6 - x^7$
ગુણાકારમાં $x^5$ નો સહગુણક મેળવવા માટે,આપણે એવા પદોનો ગુણાકાર કરીએ છીએ જેનો ઘાતાંકનો સરવાળો $5$ થાય:
$1 \times (-21x^5) = -21x^5$
$(12x) \times (35x^4) = 420x^5$
$(60x^2) \times (-35x^3) = -2100x^5$
$(160x^3) \times (21x^2) = 3360x^5$
$(240x^4) \times (-7x) = -1680x^5$
$(192x^5) \times (1) = 192x^5$
સહગુણકોનો સરવાળો: $-21 + 420 - 2100 + 3360 - 1680 + 192 = 171$
આમ,$x^5$ નો સહગુણક $171$ છે.

(N/A) સાબિત કરવા માટે કે $(a-b)$ એ $(a^{n}-b^{n})$ નો અવયવ છે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે $a^{n}-b^{n} = k(a-b)$,જ્યાં $k$ એ પૂર્ણાંક છે.
આપણે $a$ ને $(a-b)+b$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$a^{n} = ((a-b)+b)^{n}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$a^{n} = \sum_{r=0}^{n} {^{n}C_{r}} (a-b)^{n-r} b^{r}$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$a^{n} = {^{n}C_{0}}(a-b)^{n} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-1}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}(a-b)b^{n-1} + {^{n}C_{n}}b^{n}$.
કારણ કે ${^{n}C_{0}} = 1$ અને ${^{n}C_{n}} = 1$,આપણી પાસે $a^{n} = (a-b)^{n} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-1}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}(a-b)b^{n-1} + b^{n}$ છે.
બંને બાજુથી $b^{n}$ બાદ કરતા,$a^{n}-b^{n} = (a-b)^{n} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-1}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}(a-b)b^{n-1}$.
$(a-b)$ સામાન્ય લેતા,આપણને $a^{n}-b^{n} = (a-b) [ (a-b)^{n-1} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-2}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}b^{n-1} ]$ મળે છે.
ધારો કે $k = [ (a-b)^{n-1} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-2}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}b^{n-1} ]$,જે એક પૂર્ણાંક છે.
આમ,$a^{n}-b^{n} = k(a-b)$,જે સાબિત કરે છે કે $(a-b)$ એ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $a^{n}-b^{n}$ નો અવયવ છે.

(A) ધારો કે $a = \sqrt{3}$ અને $b = \sqrt{2}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$(a+b)^6 - (a-b)^6 = 2 [\binom{6}{1} a^5 b + \binom{6}{3} a^3 b^3 + \binom{6}{5} a b^5]$
$= 2 [6 a^5 b + 20 a^3 b^3 + 6 a b^5]$
$a = \sqrt{3}$ અને $b = \sqrt{2}$ મૂકતા:
$= 2 [6(9\sqrt{3})(\sqrt{2}) + 20(3\sqrt{3})(2\sqrt{2}) + 6(\sqrt{3})(4\sqrt{2})]$
$= 2 [54\sqrt{6} + 120\sqrt{6} + 24\sqrt{6}]$
$= 2 [198\sqrt{6}]$
$= 396\sqrt{6}$

(A) ધારો કે $x = a^{2}$ અને $y = \sqrt{a^{2}-1}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $(x+y)^{4} + (x-y)^{4} = 2(x^{4} + 6x^{2}y^{2} + y^{4})$.
$x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= 2[(a^{2})^{4} + 6(a^{2})^{2}(\sqrt{a^{2}-1})^{2} + (\sqrt{a^{2}-1})^{4}]$
$= 2[a^{8} + 6a^{4}(a^{2}-1) + (a^{2}-1)^{2}]$
$= 2[a^{8} + 6a^{6} - 6a^{4} + (a^{4} - 2a^{2} + 1)]$
$= 2[a^{8} + 6a^{6} - 5a^{4} - 2a^{2} + 1]$
$= 2a^{8} + 12a^{6} - 10a^{4} - 4a^{2} + 2$.

(A) આપણે $0.99 = 1 - 0.01$ લખી શકીએ.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 - x)^n = {^nC_0} - {^nC_1}x + {^nC_2}x^2 - \dots$
$(1 - 0.01)^5$ માટે,પ્રથમ ત્રણ પદો છે:
$(1 - 0.01)^5 \approx {^5C_0}(1)^5 - {^5C_1}(1)^4(0.01) + {^5C_2}(1)^3(0.01)^2$
$= 1 - 5(0.01) + 10(0.0001)$
$= 1 - 0.05 + 0.001$
$= 0.95 + 0.001 = 0.951$
આમ,આશરે કિંમત $0.951$ છે.

ધારો કે $a = 1 + \frac{x}{2}$ અને $b = \frac{2}{x}$. તો પદાવલિ $(a - b)^4$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$.
$a$ અને $b$ ની કિંમત મૂકતા:
$= (1 + \frac{x}{2})^4 - 4(1 + \frac{x}{2})^3(\frac{2}{x}) + 6(1 + \frac{x}{2})^2(\frac{2}{x})^2 - 4(1 + \frac{x}{2})(\frac{2}{x})^3 + (\frac{2}{x})^4$
$= (1 + \frac{x}{2})^4 - \frac{8}{x}(1 + \frac{x}{2})^3 + \frac{24}{x^2}(1 + x + \frac{x^2}{4}) - \frac{32}{x^3}(1 + \frac{x}{2}) + \frac{16}{x^4}$
$= (1 + \frac{x}{2})^4 - \frac{8}{x}(1 + \frac{x}{2})^3 + \frac{24}{x^2} + \frac{24}{x} + 6 - \frac{32}{x^3} - \frac{16}{x^2} + \frac{16}{x^4}$
$= (1 + \frac{x}{2})^4 - \frac{8}{x}(1 + \frac{x}{2})^3 + \frac{8}{x^2} + \frac{24}{x} + 6 - \frac{32}{x^3} + \frac{16}{x^4} \quad \dots(1)$
$(1 + \frac{x}{2})^4 = 1 + 4(\frac{x}{2}) + 6(\frac{x^2}{4}) + 4(\frac{x^3}{8}) + \frac{x^4}{16} = 1 + 2x + \frac{3x^2}{2} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{16} \quad \dots(2)$
$(1 + \frac{x}{2})^3 = 1 + 3(\frac{x}{2}) + 3(\frac{x^2}{4}) + \frac{x^3}{8} = 1 + \frac{3x}{2} + \frac{3x^2}{4} + \frac{x^3}{8} \quad \dots(3)$
$(2)$ અને $(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$= (1 + 2x + \frac{3x^2}{2} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{16}) - \frac{8}{x}(1 + \frac{3x}{2} + \frac{3x^2}{4} + \frac{x^3}{8}) + \frac{8}{x^2} + \frac{24}{x} + 6 - \frac{32}{x^3} + \frac{16}{x^4}$
$= 1 + 2x + \frac{3x^2}{2} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{16} - \frac{8}{x} - 12 - 6x - x^2 + \frac{8}{x^2} + \frac{24}{x} + 6 - \frac{32}{x^3} + \frac{16}{x^4}$
$= \frac{16}{x^4} - \frac{32}{x^3} + \frac{8}{x^2} + \frac{16}{x} + \frac{x^4}{16} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^2}{2} - 4x - 5$.

(A) દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,આપેલ પદાવલિ $(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2})^{3}$ નું વિસ્તરણ નીચે મુજબ કરી શકાય:
$[(3 x^{2}-2 a x)+3 a^{2}]^{3}$
$= {^3}C_0(3 x^{2}-2 a x)^{3} + {^3}C_1(3 x^{2}-2 a x)^{2}(3 a^{2}) + {^3}C_2(3 x^{2}-2 a x)(3 a^{2})^{2} + {^3}C_3(3 a^{2})^{3}$
$= (3 x^{2}-2 a x)^{3} + 3(9 x^{4}-12 a x^{3}+4 a^{2} x^{2})(3 a^{2}) + 3(3 x^{2}-2 a x)(9 a^{4}) + 27 a^{6}$
$= (3 x^{2}-2 a x)^{3} + 81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+36 a^{4} x^{2} + 81 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x + 27 a^{6}$
$= (3 x^{2}-2 a x)^{3} + 81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+117 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x + 27 a^{6} \quad \dots(1)$
હવે,દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(3 x^{2}-2 a x)^{3}$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$(3 x^{2}-2 a x)^{3} = (3 x^{2})^{3} - 3(3 x^{2})^{2}(2 a x) + 3(3 x^{2})(2 a x)^{2} - (2 a x)^{3}$
$= 27 x^{6} - 54 a x^{5} + 36 a^{2} x^{4} - 8 a^{3} x^{3} \quad \dots(2)$
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$= 27 x^{6} - 54 a x^{5} + 117 a^{2} x^{4} - 116 a^{3} x^{3} + 117 a^{4} x^{2} - 54 a^{5} x + 27 a^{6}$

(D) મધ્યક $\text{Mean} = \frac{\sum_{i=0}^{n} x_i f_i}{\sum_{i=0}^{n} f_i}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$x_i = 2^i$ અને $f_i = {}^nC_i$.
તેથી,$\text{Mean} = \frac{\sum_{i=0}^{n} 2^i {}^nC_i}{\sum_{i=0}^{n} {}^nC_i}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{i=0}^{n} {}^nC_i = (1+1)^n = 2^n$.
વળી,$\sum_{i=0}^{n} 2^i {}^nC_i = (1+2)^n = 3^n$.
આમ,$\text{Mean} = \frac{3^n}{2^n}$.
આપેલ છે કે $\text{Mean} = \frac{728}{2^n}$,તેથી $\frac{3^n - 1}{2^n} = \frac{728}{2^n}$ (કારણ કે $x=0$ માટે $2^0=1$ અને $f_0={}^nC_0=1$).
આથી $3^n - 1 = 728$,એટલે કે $3^n = 729$.
$3^6 = 729$ હોવાથી,$n = 6$.

(A) આપણે $\frac{3^{200}}{8}$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ શોધવો છે.
$\frac{3^{200}}{8} = \frac{(3^2)^{100}}{8} = \frac{9^{100}}{8}$.
આપણે $9$ ને $(1 + 8)$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$\frac{9^{100}}{8} = \frac{(1 + 8)^{100}}{8}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 8)^{100} = 1 + \binom{100}{1}8 + \binom{100}{2}8^2 + \dots + \binom{100}{100}8^{100}$.
આને $8$ વડે ભાગતા,$\frac{(1 + 8)^{100}}{8} = \frac{1}{8} + \binom{100}{1} + \binom{100}{2}8 + \dots + \binom{100}{100}8^{99}$.
અહીં $\binom{100}{1} + \binom{100}{2}8 + \dots + \binom{100}{100}8^{99}$ એ પૂર્ણાંક છે,ધારો કે તે $k$ છે.
તેથી $\frac{3^{200}}{8} = k + \frac{1}{8}$.
અપૂર્ણાંક ભાગ $\{ p \}$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$\left\{\frac{3^{200}}{8}\right\} = \left\{ k + \frac{1}{8} \right\} = \frac{1}{8}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_{k} x^{k} = (1+x)^{n}$.
આપેલ $A = \sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_{k} \left[ (-\frac{1}{2})^{k} + (-\frac{3}{4})^{k} + (-\frac{7}{8})^{k} + (-\frac{15}{16})^{k} + (-\frac{31}{32})^{k} \right]$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$A = (1 - \frac{1}{2})^{n} + (1 - \frac{3}{4})^{n} + (1 - \frac{7}{8})^{n} + (1 - \frac{15}{16})^{n} + (1 - \frac{31}{32})^{n}$.
$A = (\frac{1}{2})^{n} + (\frac{1}{4})^{n} + (\frac{1}{8})^{n} + (\frac{1}{16})^{n} + (\frac{1}{32})^{n}$.
$A = \frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2^{2n}} + \frac{1}{2^{3n}} + \frac{1}{2^{4n}} + \frac{1}{2^{5n}}$.
આ $5$ પદો માટે $a = \frac{1}{2^{n}}$ અને $r = \frac{1}{2^{n}}$ સાથેની સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
$A = \frac{1}{2^{n}} \left( \frac{1 - (\frac{1}{2^{n}})^{5}}{1 - \frac{1}{2^{n}}} \right) = \frac{1 - \frac{1}{2^{5n}}}{2^{n}-1}$.
આમ,$(2^{n}-1)A = 1 - \frac{1}{2^{5n}}$.
આપેલ $63A = 1 - \frac{1}{2^{30}}$ સાથે સરખાવતા,$2^{n}-1 = 63$ અને $5n = 30$.
$2^{n} = 64 \Rightarrow n = 6$ અને $5n = 30 \Rightarrow n = 6$.
તેથી,$n = 6$.

(C) આપણે $3 \times 7^{22} + 2 \times 10^{22} - 44$ ને $18$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$3(1+6)^{22} + 2(1+9)^{22} - 44 \equiv 3(1 + 22 \times 6) + 2(1 + 22 \times 9) - 44 \pmod{18}$
$\equiv 3(1 + 132) + 2(1 + 198) - 44 \pmod{18}$
$\equiv 3(7) + 2(1) - 44 \pmod{18}$
$\equiv 21 + 2 - 44 \pmod{18}$
$\equiv 23 - 44 \pmod{18}$
$\equiv -21 \pmod{18}$
$\equiv 15 \pmod{18}$.
આમ,શેષ $15$ છે.