જો $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^2 - px + q = 0$ ના બીજ હોય,તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ શોધો જેના બીજ $(\alpha^2 - \beta^2)(\alpha^3 - \beta^3)$ અને $\alpha^3\beta^2 + \alpha^2\beta^3$ હોય (જ્યાં $S = p[p^4 - 5p^2q + 5q^2]$ અને $P = p^2q^2(p^4 - 5p^2q + 4q^2)$).

ધારો કે $a, b, c$ એ ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓની લંબાઈ છે જે શરત $(a^2+b^2)x^2-2b(a+c)x+(b^2+c^2)=0$ નું પાલન કરે છે. જો $x$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો ગણ અંતરાલ $(\alpha, \beta)$ હોય,તો $12(\alpha^2+\beta^2)$ ની કિંમત શોધો.

જો $a, b, c$ વાસ્તવિક હોય અને $x^3 - 3b^2x + 2c^3$ એ $x - a$ અને $x - b$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો:

જો $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right)$ હોય,તો $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ ની કિંમત શોધો.

$x$ માં એક દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતી વખતે,એક વિદ્યાર્થીએ તેનું અચળ પદ ખોટી રીતે લખ્યું અને તેના બીજ $5$ અને $9$ મેળવ્યા. બીજા વિદ્યાર્થીએ તે જ સમીકરણનું અચળ પદ અને $x^2$ નો સહગુણક અનુક્રમે $12$ અને $4$ તરીકે સાચી રીતે લખ્યો. જો $s$,$p$ અને $\Delta$ એ સાચા સમીકરણના બીજનો સરવાળો,બીજનો ગુણાકાર અને વિવેચક દર્શાવતા હોય,તો $\frac{\Delta}{3p+s}$ ની કિંમત શોધો.

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો: કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,
$I.$ $n^2+3$ એ ક્યારેય $17$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$II.$ $n^2+4$ એ ક્યારેય $17$ વડે વિભાજ્ય નથી.
તો,