Tangent and normal to a circle Questions in Hindi

(B) वृत्त का समीकरण $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25$ है। केंद्र $(2,3)$ और त्रिज्या $5$ है।
बिंदु $(5,7)$ पर त्रिज्या की ढाल $m_r = \frac{7-3}{5-2} = \frac{4}{3}$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = -\frac{1}{m_r} = -\frac{3}{4}$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y-7 = -\frac{3}{4}(x-5) \implies 3x+4y-43=0$ है।
स्पर्शरेखा का $x-$अंतःखंड $y=0$ रखने पर $x = \frac{43}{3}$ प्राप्त होता है।
अभिलंब की ढाल $m_n = \frac{4}{3}$ है।
अभिलंब का समीकरण $y-7 = \frac{4}{3}(x-5) \implies 4x-3y+1=0$ है।
अभिलंब का $x-$अंतःखंड $y=0$ रखने पर $x = -\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज के शीर्ष $(-\frac{1}{4}, 0)$,$(\frac{43}{3}, 0)$ और $(5, 7)$ हैं।
आधार $b = \frac{43}{3} - (-\frac{1}{4}) = \frac{175}{12}$ और ऊँचाई $h = 7$ है।
क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \frac{175}{12} \times 7 = \frac{1225}{24}$ है।
अतः,$24A = 1225$।

(A) परवलय $y^{2}=4x$ पर स्पर्श बिंदु को $A(t^{2}, 2t)$ मानिए।
बिंदु $A(t^{2}, 2t)$ पर परवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + t^{2}$ है,जिसे $x - ty + t^{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $(x-3)^{2} + y^{2} = 9$ की भी स्पर्श रेखा है,जिसका केंद्र $(3, 0)$ और त्रिज्या $r=3$ है,केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
$\left| \frac{3 - t(0) + t^{2}}{\sqrt{1^{2} + (-t)^{2}}} \right| = 3$
$\left| 3 + t^{2} \right| = 3\sqrt{1 + t^{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3 + t^{2})^{2} = 9(1 + t^{2})$
$9 + t^{4} + 6t^{2} = 9 + 9t^{2}$
$t^{4} - 3t^{2} = 0$
$t^{2}(t^{2} - 3) = 0$
चूंकि बिंदु प्रथम चतुर्थांश में हैं,$t > 0$,इसलिए $t^{2} = 3$,जिससे $t = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,परवलय पर स्पर्श बिंदु $A(t^{2}, 2t) = (3, 2\sqrt{3})$ है। इसलिए,$a=3$ और $b=2\sqrt{3}$।
स्पर्श रेखा का समीकरण $x - \sqrt{3}y + 3 = 0$ है।
वृत्त पर स्पर्श बिंदु $B(c, d)$ केंद्र $(3, 0)$ से स्पर्श रेखा $x - \sqrt{3}y + 3 = 0$ पर लंब का पाद है।
लंब के पाद $(c, d)$ के लिए सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{c-3}{1} = \frac{d-0}{-\sqrt{3}} = -\frac{1(3) - \sqrt{3}(0) + 3}{1^{2} + (-\sqrt{3})^{2}} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$
$c - 3 = -\frac{3}{2} \Rightarrow c = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$
$d = -\sqrt{3} \times (-\frac{3}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
हमें $2(a+c) = 2(3 + \frac{3}{2}) = 2(\frac{9}{2}) = 9$ ज्ञात करना है।

(D) परवलय $y^{2} = 4Ax$ के लिए बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_{1} = 2A(x + x_{1})$ होता है।
यहाँ,$4A = 8$,इसलिए $A = 2$ है।
बिंदु $(2, -4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y(-4) = 4(x + 2)$ है।
$-4y = 4x + 8 \Rightarrow x + y + 2 = 0$ है।
यह रेखा $x + y + 2 = 0$ वृत्त $x^{2} + y^{2} = a$ की भी स्पर्श रेखा है।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $x + y + 2 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{a}$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी $d = \frac{|0 + 0 + 2|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
चूंकि $d = \sqrt{a}$ है,इसलिए $\sqrt{a} = \sqrt{2}$,जिसका अर्थ है कि $a = 2$ है।

(C) दी गई रेखाएं $L_{1}: 4x + 3y + 2 = 0$ और $L_{2}: 3x - 4y - 11 = 0$ हैं। इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ स्पर्श बिंदु है।
समीकरणों को हल करने पर:
$4x + 3y = -2$ ($4$ से गुणा करने पर): $16x + 12y = -8$
$3x - 4y = 11$ ($3$ से गुणा करने पर): $9x - 12y = 33$
इनका योग करने पर $25x = 25$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 1$ है।
$x = 1$ को $4(1) + 3y = -2$ में रखने पर,$3y = -6$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = -2$ है। अतः,$Q = (1, -2)$ है।
रेखा $L_{1}$,$Q$ पर वृत्त का अभिलंब है क्योंकि यह केंद्र $P$ से होकर गुजरती है। $L_{2}$ की ढाल $m = \frac{3}{4}$ है। अभिलंब $L_{1}$ की ढाल $-\frac{4}{3}$ है।
केंद्र $P$,$L_{1}$ पर $Q$ से $5$ इकाई की दूरी पर स्थित है। अभिलंब $L_{1}$ (दिशा $(3, -4)$) के अनुदिश इकाई सदिश $(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$ है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष के नीचे है,केंद्र $P = Q + 5(\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}) = (1 + 3, -2 - 4) = (4, -6)$ है।
अब,$P(4, -6)$ से रेखा $5x - 12y + 51 = 0$ की दूरी की गणना करें:
दूरी $= \left| \frac{5(4) - 12(-6) + 51}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \right| = \left| \frac{20 + 72 + 51}{13} \right| = \frac{143}{13} = 11$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-2x-4y=0$ है। केंद्र $C(1, 2)$ और त्रिज्या $R = \sqrt{5}$ है।
$O(0,0)$ पर स्पर्श रेखा $x+2y=0$ है।
$P(1+\sqrt{5}, 2)$ पर स्पर्श रेखा $x=1+\sqrt{5}$ है।
बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(1+\sqrt{5}, -\frac{1+\sqrt{5}}{2})$ प्राप्त होते हैं।
स्पर्श रेखा की लंबाई $L = OQ = \frac{5+\sqrt{5}}{2}$ है।
त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल $\frac{RL^{3}}{R^{2}+L^{2}}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,क्षेत्रफल $\frac{5+3\sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त के अभिलंबों के समीकरण:
$y+2x=\sqrt{11}+7\sqrt{7}$ $(i)$
$2y+x=2\sqrt{11}+6\sqrt{7}$ $(ii)$
केंद्र $(h, k)$ ज्ञात करने के लिए इन समीकरणों को हल करने पर:
$h = \frac{8\sqrt{7}}{3}$ और $k = \sqrt{11}+\frac{5\sqrt{7}}{3}$.
त्रिज्या $r$ केंद्र से स्पर्श रेखा की लंबवत दूरी है:
$r = 4\sqrt{\frac{7}{5}} \implies r^{2} = \frac{112}{5}$.
$(5h-8k)^{2}+5r^{2}$ की गणना करने पर:
$5h-8k = -8\sqrt{11} \implies (5h-8k)^{2} = 704$.
$5r^{2} = 112$.
कुल योग $704 + 112 = 816$ है।

(A) वृत्त $C_{1}$ का केंद्र $(2, 0)$ और त्रिज्या $2$ है। इसका समीकरण $(x-2)^2 + y^2 = 4$ है,जो $x^2 + y^2 - 4x = 0$ के रूप में सरल होता है।
रेखा $y = 2x$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2 + (2x)^2 - 4x = 0$,जिससे $5x^2 - 4x = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$x = 0$ ($O$ पर) या $x = 4/5$ ($A$ पर)।
$x = 4/5$ के लिए,$y = 2(4/5) = 8/5$। अतः,$A = (4/5, 8/5)$।
$OA$ की ढाल $m = 2$ है। मान लीजिए $\theta$ वह कोण है जो $OA$,$x$-अक्ष के साथ बनाता है,इसलिए $\tan \theta = 2$।
$C_{2}$ के बिंदु $A$ पर स्पर्श रेखा त्रिज्या $OA$ के लंबवत है। स्पर्श रेखा की ढाल $-1/2$ होगी।
बिंदु $A(4/5, 8/5)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 8/5 = -1/2(x - 4/5)$ है,जो $x + 2y = 4$ में सरल होता है।
$x$-अंतःखंड $P$ के लिए $y=0$ रखने पर,$x=4$,अतः $P = (4, 0)$।
$y$-अंतःखंड $Q$ के लिए $x=0$ रखने पर,$2y=4$,अतः $y=2$,$Q = (0, 2)$।
दूरी $AP = \sqrt{(4 - 4/5)^2 + (0 - 8/5)^2} = \frac{8\sqrt{5}}{5}$।
दूरी $QA = \sqrt{(0 - 4/5)^2 + (2 - 8/5)^2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$।
अनुपात $QA : AP = \frac{2\sqrt{5}}{5} : \frac{8\sqrt{5}}{5} = 2 : 8 = 1 : 4$।

(C) वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{169}{4}} = \frac{13}{2}$ है।
मान लीजिए $C$ वृत्त का केंद्र है और $M$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है। चूंकि $AB = 12$,इसलिए $AM = 6$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle AMC$ में,$AC = \frac{13}{2}$ और $AM = 6$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{(\frac{13}{2})^2 - 6^2} = \sqrt{\frac{169}{4} - 36} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$ है।
मान लीजिए $\angle ACM = \theta$ है। तब $\sin \theta = \frac{AM}{AC} = \frac{12}{13}$ और $\cos \theta = \frac{CM}{AC} = \frac{5}{13}$ है।
$\triangle PAC$ में,$\angle PAC = 90^\circ$ है क्योंकि $PA$ एक स्पर्श रेखा है।
$\triangle PAC$ में,$AM$ कर्ण $PC$ पर लंब है। इसलिए,$AM^2 = PM \cdot MC$ है।
$6^2 = PM \cdot \frac{5}{2} \implies 36 = PM \cdot \frac{5}{2} \implies PM = \frac{72}{5}$ है।
बिंदु $P$ की जीवा $AB$ से दूरी $PM$ है।
अतः,$5(PM) = 5 \cdot \frac{72}{5} = 72$ है।

(C) माना $O$ वृत्त का केंद्र है। $OR$,$\angle PRQ$ का कोण समद्विभाजक है। माना $M$,$PQ$ और $OR$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। चूंकि $RP=RQ$,$\triangle RPQ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,और $RM \perp PQ$ तथा $PM = MQ = \frac{1}{2} PQ = 3$ है।
समकोण $\triangle RPM$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:
$RM^2 = PR^2 - PM^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow RM = 4$.
माना $\angle PRM = \theta$ है। तब $\tan \theta = \frac{PM}{RM} = \frac{3}{4}$ है।
समकोण $\triangle OPR$ में (जहाँ $\angle OPR = 90^\circ$ क्योंकि $PR$ स्पर्श रेखा है),$\angle ORP = \theta$ है। अतः,$\tan \theta = \frac{OP}{PR} = \frac{r}{5}$ है।
$\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{r}{5} = \frac{3}{4} \Rightarrow r = \frac{15}{4}$.

(A) चूंकि $PR$ व्यास है,इसलिए $\angle PQR = 90^\circ$ है। अतः,$PQ$ और $QR$ की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ है।
$m_{PQ} = \frac{10-2}{9-(-3)} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
$m_{QR} = \frac{4-10}{\alpha-9} = \frac{-6}{\alpha-9}$.
चूंकि $m_{PQ} \cdot m_{QR} = -1$,इसलिए $\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{-6}{\alpha-9}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{-4}{\alpha-9} = -1$ $\Rightarrow \alpha-9 = 4$ $\Rightarrow \alpha = 13$.
अतः,$R = (13, 4)$। वृत्त का केंद्र $O$,$PR$ का मध्य-बिंदु है,$O = \left(\frac{-3+13}{2}, \frac{2+4}{2}\right) = (5, 3)$।
$Q(9, 10)$ पर स्पर्शरेखा त्रिज्या $OQ$ के लंबवत है। $m_{OQ} = \frac{10-3}{9-5} = \frac{7}{4}$।
स्पर्शरेखा $QS$ की प्रवणता $= -\frac{4}{7}$।
$QS$ का समीकरण: $y-10 = -\frac{4}{7}(x-9)$ $\Rightarrow 7y - 70 = -4x + 36$ $\Rightarrow 4x + 7y = 106 \quad (1)$।
$R(13, 4)$ पर स्पर्शरेखा त्रिज्या $OR$ के लंबवत है। $m_{OR} = \frac{4-3}{13-5} = \frac{1}{8}$।
स्पर्शरेखा $RS$ की प्रवणता $= -8$।
$RS$ का समीकरण: $y-4 = -8(x-13)$ $\Rightarrow y-4 = -8x + 104$ $\Rightarrow 8x + y = 108 \quad (2)$।
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर: $(2)$ से,$y = 108 - 8x$। इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4x + 7(108 - 8x) = 106$ $\Rightarrow 4x + 756 - 56x = 106$ $\Rightarrow 52x = 650$ $\Rightarrow x = \frac{650}{52} = 12.5 = \frac{25}{2}$।
$y = 108 - 8(\frac{25}{2}) = 108 - 100 = 8$।
$S = (12.5, 8)$। चूंकि $S$,$2x - ky = 1$ पर स्थित है:
$2(12.5) - k(8) = 1$ $\Rightarrow 25 - 8k = 1$ $\Rightarrow 8k = 24$ $\Rightarrow k = 3$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 3x + 10y - 15 = 0$ है।
बिंदु $A(4, -11)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $5x - 12y - 152 = 0$ है।
बिंदु $B(8, -5)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x = 8$ है।
दोनों स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $C = (8, -\frac{28}{3})$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $3x - 2y - 34 = 0$ है।
केंद्र $C$ से रेखा $AB$ की लंबवत दूरी ही त्रिज्या $r$ है:
$r = \frac{|3(8) - 2(-\frac{28}{3}) - 34|}{\sqrt{13}} = \frac{2 \sqrt{13}}{3}$.

(A) वक्र $S_1: y^2=2x$ और $S_2: x^2+y^2=4x$ हैं।
बिंदु $P(2,2)$ दोनों वक्रों पर स्थित है।
$S_1$ पर $P(2,2)$ पर स्पर्श रेखा $T_1: x-2y+2=0$ है।
$S_2$ पर $P(2,2)$ पर स्पर्श रेखा $T_2: y=2$ है।
तीसरी रेखा $L_3: x+y+2=0$ है।
त्रिभुज के शीर्ष:
$T_1$ और $T_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $P(2,2)$.
$T_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $Q(-2,0)$.
$T_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $R(-4,2)$.
भुजाओं की लंबाई:
$PQ = \sqrt{20}$,$QR = \sqrt{8}$,$RP = 6$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = 6$.
परिवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{8} \cdot 6}{24} = \sqrt{10}$.
अतः,$r^2 = 10$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + y - 5 = 0$ है।
केंद्र $C = (1, -\frac{1}{2})$ और त्रिज्या $r = \frac{5}{2}$ है।
स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{S_1} = \frac{5}{4}$ है।
केंद्र $C$ से बिंदु $R$ की दूरी $d = \frac{5\sqrt{5}}{4}$ है।
त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{r L^3}{r^2 + L^2} = \frac{(\frac{5}{2}) \cdot (\frac{5}{4})^3}{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{5}{4})^2} = \frac{5}{8}$.

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+4y+8=0$ है। वृत्त का केंद्र $C(3, -2)$ है।
चूँकि $OP$ और $OQ$ मूल बिंदु $O(0, 0)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $\angle OPO = 90^\circ$ और $\angle OQO = 90^\circ$ है।
अतः,$OP$ और $OQ$ मूल बिंदु $O$ और केंद्र $C(3, -2)$ पर समकोण बनाते हैं।
$OC$ को व्यास मानकर बनाया गया वृत्त $\triangle OPQ$ का परिवृत्त है।
$O(0, 0)$ और $C(3, -2)$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण:
$(x-0)(x-3) + (y-0)(y+2) = 0$
$x^2 - 3x + y^2 + 2y = 0$
$x^2 + y^2 - 3x + 2y = 0$
यह वृत्त $(\alpha, \frac{1}{2})$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$\alpha^2 + (\frac{1}{2})^2 - 3\alpha + 2(\frac{1}{2}) = 0$
$\alpha^2 + \frac{1}{4} - 3\alpha + 1 = 0$
$\alpha^2 - 3\alpha + \frac{5}{4} = 0$
$4\alpha^2 - 12\alpha + 5 = 0$
$(2\alpha - 1)(2\alpha - 5) = 0$
अतः,$\alpha = \frac{1}{2}$ या $\alpha = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{19} + \frac{y^2}{15} = 1$ है।
प्रवणता $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{19m^2 + 15}$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ की स्पर्श रेखा भी है,अतः केंद्र $(0,0)$ से इसकी लंबवत दूरी $4$ है।
$\left| \frac{\pm \sqrt{19m^2 + 15}}{\sqrt{m^2 + 1}} \right| = 4$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$19m^2 + 15 = 16m^2 + 16$,जिससे $3m^2 = 1$ प्राप्त होता है,अतः $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta = \frac{\pi}{6}$ का कोण बनाती है।
दीर्घवृत्त का लघु अक्ष $y$-अक्ष है,अतः स्पर्श रेखा लघु अक्ष के साथ $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ का कोण बनाती है।

(A) केंद्र $(\alpha, \beta)$ अभिलंब रेखा $4x + 3y = 1$ पर स्थित है,इसलिए $4\alpha + 3\beta = 1$,जिससे $\beta = \frac{1 - 4\alpha}{3}$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(\alpha, \beta)$ से दो स्पर्श रेखाओं $3x + 4y - 24 = 0$ और $3x - 4y - 32 = 0$ की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$r = \left| \frac{3\alpha + 4\beta - 24}{5} \right| = \left| \frac{3\alpha - 4\beta - 32}{5} \right|$.
$\beta = \frac{1 - 4\alpha}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$r = \left| \frac{3\alpha + 4(\frac{1 - 4\alpha}{3}) - 24}{5} \right| = \left| \frac{-7\alpha - 68}{15} \right|$.
$r = \left| \frac{3\alpha - 4(\frac{1 - 4\alpha}{3}) - 32}{5} \right| = \left| \frac{25\alpha - 100}{15} \right| = \left| \frac{5(\alpha - 4)}{3} \right|$.
$r$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$|-7\alpha - 68| = |25\alpha - 100|$.
स्थिति $1$: $-7\alpha - 68 = 25\alpha - 100$ $\Rightarrow 32 = 32\alpha$ $\Rightarrow \alpha = 1$.
तब $\beta = -1$ और त्रिज्या $r = 5$ है। चूँकि $r < 8$,यह मान्य है।
स्थिति $2$: $-7\alpha - 68 = -(25\alpha - 100) \Rightarrow \alpha = \frac{28}{3}$.
तब $r = \frac{80}{9} \approx 8.88$ है। चूँकि $r > 8$,यह अमान्य है।
अतः,$\alpha = 1, \beta = -1, r = 5$.
$\alpha - \beta + r = 1 - (-1) + 5 = 7$.

(D) वृत्त का समीकरण $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=50$ है,अतः केंद्र $C(\alpha, \beta)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ है।
चूंकि वृत्त रेखा $x+y=0$ को बिंदु $P$ पर स्पर्श करता है,केंद्र $C(\alpha, \beta)$ से रेखा $x+y=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी $d = \frac{|\alpha+\beta|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|\alpha+\beta|}{\sqrt{2}}$.
$d = r$ रखने पर,हमें $\frac{|\alpha+\beta|}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$|\alpha+\beta| = 5 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 10$.
चूंकि $\alpha, \beta > 0$,इसलिए $\alpha+\beta = 10$ है।
अतः,$(\alpha+\beta)^2 = 10^2 = 100$.

(A) वृत्त का केंद्र दो व्यासों $2x - 3y = 5$ और $3x - 4y = 7$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
पहले समीकरण को $4$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर,हमें $8x - 12y = 20$ और $9x - 12y = 21$ प्राप्त होता है।
दूसरे में से पहले को घटाने पर $x = 1$ प्राप्त होता है। $x = 1$ को $2(1) - 3y = 5$ में रखने पर,$-3y = 3$,अतः $y = -1$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,केंद्र $C$ $(1, -1)$ है।
रेखा $AB$,$A\left(-\frac{22}{7}, -4\right)$ और $B\left(-\frac{1}{7}, 3\right)$ से होकर गुजरती है। $AB$ की ढाल $m = \frac{3 - (-4)}{-1/7 - (-22/7)} = \frac{7}{21/7} = \frac{7}{3}$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $y - 3 = \frac{7}{3}(x + \frac{1}{7})$ है,जो सरल होकर $3y - 9 = 7x + 1$ या $7x - 3y + 10 = 0$ हो जाता है।
चूंकि रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती है,इसलिए यह $P$ पर स्पर्शरेखा है। अतः,$CP$,$AB$ के लंबवत है।
$CP$ की ढाल $-\frac{1}{7/3} = -\frac{3}{7}$ है। $C(1, -1)$ से गुजरने वाली रेखा $CP$ का समीकरण $y + 1 = -\frac{3}{7}(x - 1)$ है,जो सरल होकर $7y + 7 = -3x + 3$ या $3x + 7y + 4 = 0$ हो जाता है।
समीकरणों $7x - 3y = -10$ और $3x + 7y = -4$ को हल करने पर:
पहले को $7$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर: $49x - 21y = -70$ और $9x + 21y = -12$ प्राप्त होता है।
इनका योग करने पर $58x = -82$,अतः $x = \alpha = -\frac{41}{29}$ प्राप्त होता है।
$x = -\frac{41}{29}$ को $3x + 7y = -4$ में रखने पर: $3(-\frac{41}{29}) + 7y = -4 \implies -\frac{123}{29} + 7y = -4 \implies 7y = -4 + \frac{123}{29} = \frac{7}{29} \implies y = \beta = \frac{1}{29}$।
अंत में,$17\beta - \alpha = 17(\frac{1}{29}) - (-\frac{41}{29}) = \frac{17 + 41}{29} = \frac{58}{29} = 2$।

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x-4y-11=0$ है। सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें केंद्र $C(3, 2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $PA$ और $PB$ बिंदु $P(1,8)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए त्रिज्याएँ $CA$ और $CB$ क्रमशः बिंदुओं $A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाओं के लंबवत हैं। अतः,$\angle PAC = 90^\circ$ और $\angle PBC = 90^\circ$ है।
इसका अर्थ है कि बिंदु $A$ और $B$ उस वृत्त पर स्थित हैं जिसका व्यास $PC$ है। त्रिभुज $PAB$ इस वृत्त के अंतर्गत है,इसलिए $\triangle PAB$ का परिवृत्त वह वृत्त है जिसका व्यास $PC$ है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ होता है।
$P(1,8)$ और $C(3,2)$ का उपयोग करने पर:
$(x-1)(x-3) + (y-8)(y-2) = 0$
$x^2 - 4x + 3 + y^2 - 10y + 16 = 0$
$x^2 + y^2 - 4x - 10y + 19 = 0$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) परवलय $y^2 = 4x$ है,अतः $a = 1$ है। नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(1, 2)$ और $(1, -2)$ हैं।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $(at^2, 2at)$ बिंदु पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ होता है। यहाँ $a = 1$ है,इसलिए अभिलंब $y = -tx + 2t + t^3$ होगा।
$(1, 2)$ पर $t = 1$,अतः अभिलंब $y = -x + 2 + 1$ यानी $x + y = 3$ है।
$(1, -2)$ पर $t = -1$,अतः अभिलंब $y = -(-1)x + 2(-1) + (-1)^3$ यानी $x - y = 3$ है।
अभिलंब $x + y - 3 = 0$ और $x - y - 3 = 0$ हैं। ये रेखाएँ वृत्त $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = r^2$ की स्पर्श रेखाएँ हैं,जिसका केंद्र $(3, -2)$ है।
केंद्र $(3, -2)$ से रेखा $x + y - 3 = 0$ की लंबवत दूरी $r = \frac{|3 + (-2) - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
अतः,$r^2 = 2$.

(C) वृत्त का केंद्र $P(0, \alpha)$ और त्रिज्या $r$ है। रेखा $2x - y = 0$ बिंदु $A_1$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।
केंद्र $(0, \alpha)$ से रेखा $2x - y = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर है:
$\frac{|2(0) - \alpha|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = r \implies \frac{|-\alpha|}{\sqrt{5}} = r \implies \alpha = r\sqrt{5}$.
दिया गया है कि $\alpha + r = 5 + \sqrt{5}$,इसलिए $\alpha = r\sqrt{5}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$r\sqrt{5} + r = 5 + \sqrt{5} \implies r(\sqrt{5} + 1) = \sqrt{5}(\sqrt{5} + 1) \implies r = \sqrt{5}$.
अतः $\alpha = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$. इस प्रकार,केंद्र $P(0, 5)$ है।
बिंदु $A_1$,$P(0, 5)$ से रेखा $2x - y = 0$ पर डाले गए लंब का पाद है:
$\frac{x - 0}{2} = \frac{y - 5}{-1} = -\frac{2(0) - 5}{2^2 + (-1)^2} = \frac{5}{5} = 1$.
$x = 2(1) = 2$ और $y - 5 = -1 \implies y = 4$. अतः,$A_1 = (2, 4)$.
चूंकि $A_1 B_1$ एक व्यास है,केंद्र $P(0, 5)$ $A_1 B_1$ का मध्य बिंदु है। मान लीजिए $B_1 = (x_1, y_1)$:
$\frac{x_1 + 2}{2} = 0 \implies x_1 = -2$.
$\frac{y_1 + 4}{2} = 5 \implies y_1 + 4 = 10 \implies y_1 = 6$.
अतः,$B_1 = (-2, 6)$.
परिणामों का मिलान करने पर:
$(P) \alpha = 5 \rightarrow (4)$
$(Q) r = \sqrt{5} \rightarrow (2)$
$(R) A_1 = (2, 4) \rightarrow (5)$
$(S) B_1 = (-2, 6) \rightarrow (3)$
इसलिए,सही विकल्प $(P) \rightarrow (4), (Q) \rightarrow (2), (R) \rightarrow (5), (S) \rightarrow (3)$ है।

(B) दिया गया वक्र $x^2 = y - 6$ है,जिसे $y = x^2 + 6$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(1, 7)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dy}{dx} = 2x$।
बिंदु $(1, 7)$ पर,ढाल $m = 2(1) = 2$ है।
बिंदु $(1, 7)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 7 = 2(x - 1)$ है,जो सरल होकर $2x - y + 5 = 0$ हो जाता है।
यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 + 16x + 12y + C = 0$ को स्पर्श करती है। वृत्त का केंद्र $(-8, -6)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2 - C} = \sqrt{64 + 36 - C} = \sqrt{100 - C}$ है।
केंद्र $(-8, -6)$ से रेखा $2x - y + 5 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए:
$r = \frac{|2(-8) - (-6) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-16 + 6 + 5|}{\sqrt{5}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $r^2 = 5$ प्राप्त होता है,इसलिए $100 - C = 5$,जिसका अर्थ है कि $C = 95$।

(D) दिया गया वक्र $xy = 100$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(5, 20)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{20}{5} = -4$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 20 = -4(x - 5) \implies y - 20 = -4x + 20 \implies 4x + y - 40 = 0$ है।
अभिलंब की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{1}{4}$ है।
अभिलंब का समीकरण $y - 20 = \frac{1}{4}(x - 5) \implies 4y - 80 = x - 5 \implies x - 4y + 75 = 0$ है।
संयुक्त समीकरण $(4x + y - 40)(x - 4y + 75) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $4x^2 - 16xy + 300x + xy - 4y^2 + 75y - 40x + 160y - 3000 = 0$.
सरल करने पर: $4x^2 - 15xy - 4y^2 + 260x + 235y - 3000 = 0$.
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,कोई भी विकल्प सही नहीं है।

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $ax^2 = 2y^2 - b$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2ax = 4y \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2ax}{4y} = \frac{ax}{2y}$।
बिंदु $(1, -1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$m = \frac{a(1)}{2(-1)} = -\frac{a}{2}$।
दी गई रेखा $x + y = 0$ है,जिसे $y = -x$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $-1$ है।
चूंकि रेखा वक्र को $(1, -1)$ पर स्पर्श करती है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$-\frac{a}{2} = -1 \implies a = 2$।
अब,$a = 2$ और बिंदु $(1, -1)$ को मूल वक्र समीकरण में रखने पर:
$2(1)^2 = 2(-1)^2 - b$
$2 = 2 - b \implies b = 0$।
अतः,$a = 2$ और $b = 0$ मान प्राप्त होते हैं।

(C) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण $x=3 \cos \theta$ और $y=3 \sin \theta$ हैं।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर,हमें $x^2+y^2 = 9(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 9$ प्राप्त होता है,जो $r=3$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर स्पर्श बिंदु $x_1 = 3 \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{3}{\sqrt{2}}$ और $y_1 = 3 \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।
वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ होता है।
मान रखने पर,हमें $x(\frac{3}{\sqrt{2}}) + y(\frac{3}{\sqrt{2}}) = 9$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $\frac{\sqrt{2}}{3}$ से गुणा करने पर,हमें $x+y = 3\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त के अभिलंब उसके केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं। $(x - 1)(y - 2) = 0$ को देखते हुए,वृत्त का केंद्र $(1, 2)$ है।
चूंकि रेखा $3x + 4y = 6$ वृत्त की स्पर्श रेखा है,त्रिज्या $r$ केंद्र $(1, 2)$ से रेखा $3x + 4y - 6 = 0$ की लंबवत दूरी है।
$r = \frac{|3(1) + 4(2) - 6|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 6|}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$.
केंद्र $(h, k) = (1, 2)$ और त्रिज्या $r = 1$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1^2$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 1$.
$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$.

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=4$ है। बिंदु $P(\sqrt{3}, 1)$ वृत्त पर स्थित है।
बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $xx_1+yy_1=r^2$ है,जो $\sqrt{3}x+y=4$ देता है।
स्पर्शरेखा के लिए,$y=0$ रखने पर $X$-अंतःखंड $x = \frac{4}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $A(\frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$ है।
वृत्त के किसी भी बिंदु पर अभिलंब केंद्र $(0, 0)$ से होकर गुजरता है। $(0, 0)$ और $(\sqrt{3}, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ या $x - \sqrt{3}y = 0$ है।
अभिलंब का $X$-अंतःखंड मूल बिंदु $O(0, 0)$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(\frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$ और $P(\sqrt{3}, 1)$ हैं।
$X$-अक्ष पर त्रिभुज का आधार $OA = \frac{4}{\sqrt{3}}$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई $P$ का $y$-निर्देशांक है,जो $1$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{\sqrt{3}} \times 1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2=36$ है,जिसका केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r=6$ है।
दी गई रेखा $5x+y=2$ है,जिसे $y=-5x+2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1=-5$ है।
स्पर्श रेखा इस रेखा पर लंब है,इसलिए इसकी ढाल $m$ को $m \times (-5) = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए,जिससे $m = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
$m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y = mx + c$ या $mx - y + c = 0$ होता है। यहाँ,$\frac{1}{5}x - y + c = 0$,जो $x - 5y + 5c = 0$ में सरल हो जाता है।
केंद्र $(0,0)$ से स्पर्श रेखा $x - 5y + 5c = 0$ की दूरी त्रिज्या $r=6$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी के सूत्र $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ का उपयोग करते हुए,$6 = \frac{|0 - 0 + 5c|}{\sqrt{1^2+(-5)^2}}$।
$6 = \frac{|5c|}{\sqrt{26}} \implies |5c| = 6\sqrt{26} \implies 5c = \pm 6\sqrt{26}$।
$5c$ का मान $x - 5y + 5c = 0$ में रखने पर,हमें $x - 5y \pm 6\sqrt{26} = 0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=36$ है,अतः त्रिज्या $r=6$ और केंद्र $(0,0)$ है।
रेखा $5x+y-2=0$ पर लंब रेखा का रूप $x-5y+k=0$ होगा।
केंद्र $(0,0)$ से स्पर्श रेखा $x-5y+k=0$ की दूरी त्रिज्या $r=6$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ का उपयोग करने पर,$6 = \frac{|1(0)-5(0)+k|}{\sqrt{1^2+(-5)^2}}$.
$6 = \frac{|k|}{\sqrt{26}}$,जिसका अर्थ है $|k| = 6\sqrt{26}$.
अतः,$k = \pm 6\sqrt{26}$.
स्पर्श रेखाओं के समीकरण $x-5y \pm 6\sqrt{26}=0$ हैं।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+6x-4y-12=0$ है।
केंद्र $C(-3, 2)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
बिंदु $P(-4, -5)$ से केंद्र $C$ की दूरी $d = \sqrt{1^2 + 7^2} = 5\sqrt{2}$ है।
स्पर्श रेखा और केंद्र को जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण $\theta = 45^\circ$ है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल $25$ है और दो त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल $\frac{25\pi}{4}$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $25 - \frac{25\pi}{4} = 25\left(\frac{4-\pi}{4}\right)$ वर्ग इकाई है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=2^2$ है,इसलिए त्रिज्या $r=2$ और केंद्र $O=(0,0)$ है।
बिंदु $P$ का निर्देशांक $(-4,0)$ है। दूरी $OP = 4$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAP$ में (जहाँ $\angle OAP = 90^\circ$ क्योंकि $PA$ एक स्पर्श रेखा है),
$OA = r = 2$ और $OP = 4$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,$AP = \sqrt{OP^2 - OA^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ है।
$\triangle OAP$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times OA \times AP = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।
चूँकि चतुर्भुज $PAOB$ दो सर्वांगसम त्रिभुजों $\triangle OAP$ और $\triangle OBP$ से बना है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(A) वृत्त का समीकरण $(x-7)^2+(y+1)^2=25$ है।
वृत्त का केंद्र $C(7, -1)$ है और त्रिज्या $r = 5$ है।
मूल बिंदु $O(0, 0)$ से केंद्र $C(7, -1)$ की दूरी $d = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50}$ है।
माना स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2 \alpha$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sin(\alpha) = \frac{r}{d}$ है।
अतः,$\sin(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{50}}$ है।
इसलिए,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2 \arcsin\left(\frac{5}{\sqrt{50}}\right)$ है।

(A) माना परवलय $y^2 = 4x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है,जहाँ $a = 1$ है। अतः,$y = mx + \frac{1}{m}$।
इसे $mx - y + \frac{1}{m} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह रेखा वृत्त $(x-3)^2 + y^2 = 9$ की भी स्पर्श रेखा है,जिसका केंद्र $(3, 0)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
केंद्र $(3, 0)$ से रेखा $mx - y + \frac{1}{m} = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $3$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|m(3) - 0 + \frac{1}{m}|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 3$
$|3m + \frac{1}{m}| = 3\sqrt{m^2 + 1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3m + \frac{1}{m})^2 = 9(m^2 + 1)$
$9m^2 + 6 + \frac{1}{m^2} = 9m^2 + 9$
$\frac{1}{m^2} = 3 \implies m^2 = \frac{1}{3} \implies m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूंकि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के ऊपर है,हम धनात्मक ढाल $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ लेंगे।
स्पर्श रेखा के समीकरण में $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ रखने पर: $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$,अर्थात $x - \sqrt{3}y + 3 = 0$।

(A) वृत्त $x^2+y^2=5$ के बिंदु $(1, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x x_1 + y y_1 = r^2$ के अनुसार $x(1) + y(-2) = 5$ अर्थात $x - 2y = 5$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 20 = 0$ के लिए स्पर्श बिंदु इस रेखा पर स्थित होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(3, -1)$ के लिए: $3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5$। यह बिंदु स्पर्श रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(3, -1)$ है।

(B) वृत्त $x^2+y^2=a^2$ के बिंदु $P(\theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x \cos \theta + y \sin \theta = a$ होता है।
यहाँ,त्रिज्या $a = 5$ और कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$x \cos \frac{\pi}{3} + y \sin \frac{\pi}{3} = 5$
$x \left( \frac{1}{2} \right) + y \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 5$
पूरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + \sqrt{3} y = 10$.

(C) दिया गया वृत्त समीकरण $x^2+y^2-6x-5y-1=0$ है। इसे $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-3$ और $f=-2.5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (3, 2.5)$ है।
मान लीजिए व्यास का दूसरा सिरा $(x_2, y_2)$ है। चूंकि केंद्र $(3, 2.5)$ व्यास के सिरों $(-1, 3)$ और $(x_2, y_2)$ का मध्यबिंदु है,इसलिए:
$\frac{-1+x_2}{2} = 3 \Rightarrow x_2 = 7$
$\frac{3+y_2}{2} = 2.5 \Rightarrow y_2 = 2$
अतः,दूसरा सिरा $(7, 2)$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ होता है।
$(x_1, y_1) = (7, 2)$,$g=-3$,$f=-2.5$,और $c=-1$ रखने पर:
$7x + 2y - 3(x+7) - 2.5(y+2) - 1 = 0$
$7x + 2y - 3x - 21 - 2.5y - 5 - 1 = 0$
$4x - 0.5y - 27 = 0$
$2$ से गुणा करने पर,$8x - y - 54 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=4$ है,अतः त्रिज्या $r = 2$ है।
दी गई रेखा $x+2y+3=0$ है,जिसे $y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।
चूँकि स्पर्श रेखाएँ इस रेखा के समांतर हैं,इसलिए उनकी ढाल भी $m = -\frac{1}{2}$ होगी।
$m$ ढाल वाली $x^2+y^2=r^2$ वृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm r\sqrt{1+m^2}$ होता है।
$m = -\frac{1}{2}$ और $r = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y = -\frac{1}{2}x \pm 2\sqrt{1 + (-\frac{1}{2})^2}$
$y = -\frac{1}{2}x \pm 2\sqrt{1 + \frac{1}{4}}$
$y = -\frac{1}{2}x \pm 2\sqrt{\frac{5}{4}}$
$y = -\frac{1}{2}x \pm 2 \times \frac{\sqrt{5}}{2}$
$y = -\frac{1}{2}x \pm \sqrt{5}$
$2$ से गुणा करने पर:
$2y = -x \pm 2\sqrt{5}$
$x+2y = \pm 2\sqrt{5}$

(D) वृत्त $x^2+y^2=(8)^2$ की त्रिज्या $r=8$ और केंद्र $(0,0)$ है।
बिंदु $P$ के निर्देशांक $\theta = \frac{2\pi}{3}$ के लिए:
$P \equiv (8 \cos \frac{2\pi}{3}, 8 \sin \frac{2\pi}{3}) = (-4, 4\sqrt{3})$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ होता है।
मान रखने पर: $-4x + 4\sqrt{3}y = 64$।
$-4$ से भाग देने पर: $x - \sqrt{3}y + 16 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}-6x-4y+9=0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-3, f=-2, c=9$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (3, 2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-3)^{2}+(-2)^{2}-9} = \sqrt{9+4-9} = \sqrt{4} = 2$ है।
यह जांचने के लिए कि रेखा $4x+3y-8=0$ एक स्पर्शरेखा है या नहीं,हम केंद्र $(3, 2)$ से रेखा की लंबवत दूरी $d$ की गणना करते हैं:
$d = \left|\frac{4(3)+3(2)-8}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\right| = \left|\frac{12+6-8}{\sqrt{16+9}}\right| = \left|\frac{10}{5}\right| = 2$.
चूंकि लंबवत दूरी $d$ त्रिज्या $r$ के बराबर है $(d=r=2)$,इसलिए यह रेखा वृत्त की स्पर्शरेखा है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ है।
केंद्र $(3, -2)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
रेखा $4x+3y+5=0$ के समानांतर रेखा का समीकरण $4x+3y+k=0$ है।
केंद्र से स्पर्श रेखा की दूरी त्रिज्या के बराबर होती है:
$\frac{|4(3)+3(-2)+k|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}} = 5$
$|6+k| = 25$
$k = 19$ या $k = -31$।
अतः,स्पर्श रेखाओं के समीकरण $4x+3y+19=0$ और $4x+3y-31=0$ हैं।

(A) वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ है।
वृत्त पर किसी बिंदु $P$ को $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ है।
बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_{t} = -\cot \theta$ है।
इसलिए,अभिलंब की ढाल $m_{n} = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ होगी।
अभिलंब का समीकरण:
$y - r \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - r \cos \theta)$.
$y \cos \theta - r \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - r \sin \theta \cos \theta$.
$x \sin \theta - y \cos \theta = 0$.

(B) बिंदु $(3,2)$ से वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y-2 = m(x-3)$ है,अर्थात $mx-y+(2-3m)=0$ है।
वृत्त के केंद्र $(0,0)$ से स्पर्श रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r=2$ के बराबर होती है।
अतः,$\frac{|2-3m|}{\sqrt{m^{2}+1}} = 2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2-3m)^{2} = 4(m^{2}+1)$ है।
$4-12m+9m^{2} = 4m^{2}+4$ है।
$5m^{2}-12m = 0$ है।
$m(5m-12) = 0$ है।
इस प्रकार,ढाल $m_{1} = 0$ और $m_{2} = \frac{12}{5}$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$|m_{1}-m_{2}| = \frac{12}{5}$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=13$ दिया गया है।
चूंकि बिंदुओं का भुज $x=2$ है,इसे वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$2^{2}+y^{2}=13$
$4+y^{2}=13$
$y^{2}=9$
$y=\pm 3$।
अतः,स्पर्श बिंदु $(2, 3)$ और $(2, -3)$ हैं।
वृत्त $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ के बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_{1}+yy_{1}=r^{2}$ होता है।
बिंदु $(2, 3)$ के लिए: $2x+3y=13$।
बिंदु $(2, -3)$ के लिए: $2x-3y=13$।
अतः,स्पर्श रेखाओं के समीकरण $2x+3y=13$ और $2x-3y=13$ हैं।

(C) वृत्त $x^2 + y^2 = 25$ है,जिसका केंद्र $O(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
$P(1, 7)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{1^2 + 7^2 - 25} = \sqrt{1 + 49 - 25} = \sqrt{25} = 5$ है।
चतुर्भुज $PQOR$ में,$PQ$ और $PR$ स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $PQ = PR = 5$ है।
साथ ही,$OQ = OR = 5$ (वृत्त की त्रिज्याएँ)।
स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है,इसलिए $\angle OQP = \angle ORP = 90^{\circ}$ है।
चतुर्भुज $PQOR$ दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों $\triangle PQO$ और $\triangle PRO$ से बना है।
$\triangle PQO$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5 \text{ वर्ग इकाई}$ है।
चतुर्भुज $PQOR$ का कुल क्षेत्रफल $= 2 \times 12.5 = 25 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(C) वृत्त $x^2+y^2=2^2$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 2$ है।
दूरी $OP = \sqrt{(-4-0)^2 + (0-0)^2} = 4$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PBO$ में,स्पर्श रेखा की लंबाई $PB = \sqrt{OP^2 - OB^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ है।
चतुर्भुज $PAOB$ का क्षेत्रफल $\triangle PBO$ और $\triangle PAO$ के क्षेत्रफलों का योग है।
चूँकि $\triangle PBO \cong \triangle PAO$,इसलिए $PAOB$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{Area}(\triangle PBO)$ है।
$\triangle PBO$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times PB \times OB = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 2 = 2\sqrt{3}$ है।
अतः,चतुर्भुज $PAOB$ का क्षेत्रफल $= 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=25$ है,इसलिए केंद्र $O(0,0)$ और त्रिज्या $r=5$ है।
माना $P$ बिंदु $(1,7)$ है। दूरी $OP = \sqrt{1^2+7^2} = \sqrt{1+49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
माना $T$ स्पर्श बिंदु है। समकोण त्रिभुज $\triangle OPT$ में,$\sin(\angle OPT) = \frac{OT}{OP} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
इसलिए,$\angle OPT = 45^{\circ}$ है।
दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2 \times \angle OPT = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) परवलय $y^{2}=4x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{a}{m}$ होता है,जहाँ $a=1$ है। अतः,$y=mx+\frac{1}{m}$।
यह रेखा वृत्त $(x-3)^{2}+y^{2}=9$ को भी स्पर्श करती है,जिसका केंद्र $(3,0)$ और त्रिज्या $r=3$ है।
केंद्र $(3,0)$ से रेखा $mx-y+\frac{1}{m}=0$ की लंबवत दूरी $3$ होनी चाहिए:
$\frac{|m(3)-0+\frac{1}{m}|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}}=3$
$|3m+\frac{1}{m}|=3\sqrt{m^{2}+1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(3m+\frac{1}{m})^{2}=9(m^{2}+1)$
$9m^{2}+6+\frac{1}{m^{2}}=9m^{2}+9$
$\frac{1}{m^{2}}=3$ $\Rightarrow m^{2}=\frac{1}{3}$ $\Rightarrow m=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूंकि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के ऊपर है,इसलिए हम $m=\frac{1}{\sqrt{3}}$ लेते हैं।
स्पर्श रेखा के समीकरण में $m$ का मान रखने पर:
$y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+\sqrt{3}$
$\sqrt{3}$ से गुणा करने पर $\sqrt{3}y=x+3$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का समीकरण $2x^{2} + 2y^{2} - 3x + 4y = 0$ है। $2$ से विभाजित करने पर,हमें मानक रूप प्राप्त होता है: $x^{2} + y^{2} - \frac{3}{2}x + 2y = 0$।
यहाँ,$AB$ बिंदु $B(2, 1)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई को दर्शाता है।
बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ से वृत्त $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + 2gx_{1} + 2fy_{1} + c}$ द्वारा दी जाती है।
$B(2, 1)$ के निर्देशांकों को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$AB = \sqrt{(2)^{2} + (1)^{2} - \frac{3}{2}(2) + 2(1)}$
$AB = \sqrt{4 + 1 - 3 + 2}$
$AB = \sqrt{4} = 2 \text{ इकाई}$.

(C) दिया गया वृत्त का समीकरण: $x^2 + y^2 = 16x$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 16x + y^2 = 0$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x - 8)^2 + y^2 = 64$
अतः,केंद्र $(8, 0)$ है और त्रिज्या $r = 8$ है।
चूंकि रेखा $3x + 4y - k = 0$ वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(8, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 8$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
$8 = \frac{|3(8) + 4(0) - k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
$8 = \frac{|24 - k|}{5}$
$|24 - k| = 40$
स्थिति $1$: $24 - k = 40 \Rightarrow k = -16$
स्थिति $2$: $24 - k = -40 \Rightarrow k = 64$
अतः,$k$ के मान $-16$ और $64$ हैं।

(A) बिंदु $(-5, -4)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y+4 = m(x+5)$ है,जिसे $mx - y + (5m - 4) = 0$ लिखा जा सकता है।
वृत्त $x^{2}+y^{2}+4x+6y+8=0$ के लिए,केंद्र $(-2, -3)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{(-2)^{2} + (-3)^{2} - 8} = \sqrt{5}$ है।
चूंकि रेखा स्पर्श रेखा है,केंद्र $(-2, -3)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|m(-2) - (-3) + (5m - 4)|}{\sqrt{m^{2} + 1}} = \sqrt{5}$
$|3m - 1| = \sqrt{5} \sqrt{m^{2} + 1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3m - 1)^{2} = 5(m^{2} + 1)$
$9m^{2} - 6m + 1 = 5m^{2} + 5$
$4m^{2} - 6m - 4 = 0$
$(2m + 1)(m - 2) = 0$
अतः,$m = 2$ या $m = -\frac{1}{2}$।
$m = 2$ के लिए: $2x - y + 6 = 0$।
$m = -\frac{1}{2}$ के लिए: $x + 2y + 13 = 0$।