System of circles Questions in Gujarati

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2-4x+6y+13-a^2=0$ અને $x^2+y^2-10x-2y+17=0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = |a|$.
બીજા વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (5, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2 = 5$.
બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદવા માટેની શરત $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$||a| - 3| < 5 < |a| + 3$.
$5 < |a| + 3$ પરથી $|a| > 2$ મળે,એટલે કે $a \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
$||a| - 3| < 5$ પરથી $-2 < |a| < 8$ મળે,એટલે કે $a \in (-8, 8)$.
બંને શરતોને જોડતા,$a \in (-8, -2) \cup (2, 8)$.

(D) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+4x+4y-10=0$ અને $S_2: x^2+y^2-6x-6y+10=0$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-2, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 3\sqrt{2}$.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (3, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 2\sqrt{2}$.
સ્પર્શબિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $C_1C_2$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
$P = (1, 1)$.
બાહ્ય સમરૂપતાનું કેન્દ્ર $Q$ એ રેખાખંડ $C_1C_2$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે.
$Q = (13, 13)$.
$P(1, 1)$ અને $Q(13, 13)$ ને વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ તરીકે લેતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)(x-13) + (y-1)(y-13) = 0$ થાય.
$x^2 + y^2 - 14x - 14y + 26 = 0$.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2+2x-6y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 - 1} = 3$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-4x+2y+4=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (2, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{2^2 + (-1)^2 - 4} = 1$ છે.
આંતરિક સમાનતાનું કેન્દ્ર $(h, k)$ એ કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું $r_1 : r_2 = 3 : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$(h, k) = \left( \frac{3(2) + 1(-1)}{3+1}, \frac{3(-1) + 1(3)}{3+1} \right) = \left( \frac{5}{4}, 0 \right)$.
આમ,$h = \frac{5}{4}$,તેથી $4h = 5$.

(B) બે વર્તુળો $S=0$ અને $S'=0$ ની રેડિકલ ધરી $S-S'=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ અને $S' \equiv x^2+y^2-6x-4y+4=0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(2g+6)x + (2f+4)y + (c-4) = 0$.
આને આપેલ રેડિકલ ધરી $x+y=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{2g+6}{1} = \frac{2f+4}{1} = \frac{c-4}{0}$.
$\frac{c-4}{0}$ પરથી,$c-4=0$,તેથી $c=4$.
$\frac{2g+6}{1} = \frac{2f+4}{1}$ પરથી,$2g+6 = 2f+4$,જેનું સાદું રૂપ $2g-2f = -2$ અથવા $g-f = -1$ થાય છે.
વળી,વર્તુળ $S$ ની ત્રિજ્યા $1$ છે,તેથી $\sqrt{g^2+f^2-c} = 1$,જેનો અર્થ છે $g^2+f^2-4 = 1$ અથવા $g^2+f^2 = 5$.
$f = g+1$ હોવાથી,ત્રિજ્યાના સમીકરણમાં મૂકતા: $g^2 + (g+1)^2 = 5$.
$g^2 + g^2 + 2g + 1 = 5 \implies 2g^2 + 2g - 4 = 0 \implies g^2 + g - 2 = 0$.
$(g+2)(g-1) = 0$,તેથી $g=1$ અથવા $g=-2$.
જો $g=1$,તો $f=2$,તેથી $g+f=3$.
જો $g=-2$,તો $f=-1$,તેથી $g+f=-3$.
આમ,$g+f = \pm 3$.

(B) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-16x-20y+164-r^2=0$ અને $S_2: x^2+y^2-8x-14y+29=0$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (8, 10)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (4, 7)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 6$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(8-4)^2+(10-7)^2} = 5$ છે.
બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદવા માટેની શરત $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$ છે.
તેથી,$|r-6| < 5 < r+6$.
આ ઉકેલતા $1 < r < 11$ મળે છે.
તેથી $r$ ની મહત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $10$ છે.

(A) વર્તુળ $S: x^2 + y^2 - a^2 = 0$ અને રેખા $L: x \cos \alpha + y \sin \alpha - P = 0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ છે.
$x^2 + y^2 - a^2 + \lambda(x \cos \alpha + y \sin \alpha - P) = 0$
$x^2 + y^2 + \lambda x \cos \alpha + \lambda y \sin \alpha - a^2 - \lambda P = 0$ $(i)$
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right)$ છે.
કારણ કે રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ એ વ્યાસ $\overline{AB}$ છે,તેથી વર્તુળનું કેન્દ્ર આ રેખા પર હોવું જોઈએ.
કેન્દ્રને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}\right) \cos \alpha + \left(-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right) \sin \alpha = P$
$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = P$
$-\frac{\lambda}{2} = P \Rightarrow \lambda = -2P$
સમીકરણ $(i)$ માં $\lambda = -2P$ મૂકતા:
$x^2 + y^2 - 2Px \cos \alpha - 2Py \sin \alpha - a^2 - (-2P)P = 0$
$x^2 + y^2 - 2Px \cos \alpha - 2Py \sin \alpha + 2P^2 - a^2 = 0$

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2+y^2-14 x+6 y+33=0$ $(i)$
$x^2+y^2+30 x-2 y+1=0$ $(ii)$
વર્તુળ $(i)$ માટે,કેન્દ્ર $O_1(7, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{7^2 + (-3)^2 - 33} = \sqrt{49+9-33} = \sqrt{25} = 5$ છે.
વર્તુળ $(ii)$ માટે,કેન્દ્ર $O_2(-15, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-15)^2 + 1^2 - 1} = \sqrt{225+1-1} = \sqrt{225} = 15$ છે.
સમાનતાના કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ એ કેન્દ્રો $O_1$ અને $O_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું તેમની ત્રિજ્યાઓના ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 5 : 15 = 1 : 3$ માં અંતઃવિભાજન અને બહિર્વિભાજન કરે છે.
અંતઃવિભાજન બિંદુ $C_1 = \left( \frac{1(-15) + 3(7)}{1+3}, \frac{1(1) + 3(-3)}{1+3} \right) = \left( \frac{-15+21}{4}, \frac{1-9}{4} \right) = \left( \frac{6}{4}, \frac{-8}{4} \right) = \left( \frac{3}{2}, -2 \right)$.
બહિર્વિભાજન બિંદુ $C_2 = \left( \frac{1(-15) - 3(7)}{1-3}, \frac{1(1) - 3(-3)}{1-3} \right) = \left( \frac{-15-21}{-2}, \frac{1+9}{-2} \right) = \left( \frac{-36}{-2}, \frac{10}{-2} \right) = (18, -5)$.
$C_1 C_2$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
યામો મૂકતા,$(x - \frac{3}{2})(x - 18) + (y + 2)(y + 5) = 0$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા,$(2x - 3)(x - 18) + 2(y^2 + 7y + 10) = 0$ મળે.
$2x^2 - 36x - 3x + 54 + 2y^2 + 14y + 20 = 0$.
$2x^2 + 2y^2 - 39x + 14y + 74 = 0$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1+1+2g+2f+c=0$,જે $2g+2f+c+2=0$ $(i)$ માં પરિણમે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+3x-5y+7=0$ ને લંબ હોવાથી,$2g(3/2) + 2f(-5/2) = c+7$,જે $3g-5f-c-7=0$ (ii) માં પરિણમે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-6x-10y+9=0$ ને લંબ હોવાથી,$2g(-3) + 2f(-5) = c+9$,જે $6g+10f+c+9=0$ (iii) માં પરિણમે છે.
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા: $5g-3f-5=0$ (iv).
$(i)$ માંથી $c = -2g-2f-2$ મેળવીને (iii) માં મૂકતા: $4g+8f+7=0$ $(v)$.
(iv) અને $(v)$ ઉકેલતા,$g = 19/52$ અને $f = -55/52$ મળે છે.
તેથી કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-19/52, 55/52)$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-2$,$f=3$,અને $c=-12$ મળે છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C$ એ $(-g, -f) = (2, -3)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-2)^2+(3)^2-(-12)} = \sqrt{4+9+12} = \sqrt{25} = 5$ છે.
ધારો કે $O(-3, 2)$ એ વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર છે. પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ એ વર્તુળ $S$ ની જીવા છે.
કેન્દ્રો $O(-3, 2)$ અને $C(2, -3)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
$S$ ના કેન્દ્ર,પ્રથમ વર્તુળના કેન્દ્ર અને જીવા પરના બિંદુ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,વર્તુળ $S$ ની ત્રિજ્યા $R$ એ $R^2 = r^2 + d^2$ દ્વારા મળે છે.
$R^2 = 5^2 + (5\sqrt{2})^2 = 25 + 50 = 75$.
$R = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
તે $(1,-1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1+1+2g-2f+c=0$,એટલે કે $2g-2f+c=-2$ $(i)$.
$(1,-1)$ આગળનો અભિલંબ સ્પર્શક $2x+3y+1=0$ ને લંબ છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $-2/3$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $3/2$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y-(-1) = \frac{3}{2}(x-1)$,એટલે કે $3x-2y-5=0$ છે.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ અભિલંબ પર છે,તેથી $-3g+2f=5$ (ii).
વર્તુળ એ $(0,-1)$ અને $(-2,3)$ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ ધરાવતા વર્તુળ $x^2+y^2+2x-2y-3=0$ ને લંબ છે.
લંબતાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ મુજબ $2g(1) + 2f(-1) = c-3$,એટલે કે $2g-2f-c=-3$ (iii).
$(i)$ અને (iii) નો સરવાળો કરતા $4g-4f=-5$ મળે છે.
સમીકરણો ઉકેલતા $g=-5/2, f=-5/4, c=1/2$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા વર્તુળનું સમીકરણ $2x^2+2y^2-10x-5y+1=0$ મળે છે.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2+6x+8y+24=0$ માટે,કેન્દ્ર $O_1 = (-3, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 1$.
વર્તુળ $x^2+y^2-6x-8y+9=0$ માટે,કેન્દ્ર $O_2 = (3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 4$.
કેન્દ્રો $O_1$ અને $O_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = 10$ છે.
સમાનતાના કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2 d r_1 r_2}{|r_1^2 - r_2^2|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = 10, r_1 = 1, r_2 = 4$.
અંતર $= \frac{2 \times 10 \times 1 \times 4}{|1^2 - 4^2|} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3}$.

(C) આપેલ વર્તુળોના કેન્દ્રો $C_1(1, 3+\sqrt{7})$ અને $C_2(4, 3)$ છે.
તેમની ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 3$ અને $r_2 = \sqrt{25-k^2}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = 4$ છે.
બે સામાન્ય સ્પર્શકો માટે,શરત $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ હોવી જોઈએ.
આ શરત ઉકેલતા $k^2 < 24$ મળે છે.
$k \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$k$ ના શક્ય મૂલ્યો $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4$ છે.
આમ,કુલ $9$ મૂલ્યો શક્ય છે.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2-a^2=0$ અને રેખા $x \cos \alpha+y \sin \alpha-p=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $x^2+y^2-a^2+\lambda(x \cos \alpha+y \sin \alpha-p)=0$ છે.
આ સૌથી નાનું વર્તુળ હોવા માટે,તેનું કેન્દ્ર રેખા $x \cos \alpha+y \sin \alpha=p$ પર હોવું જોઈએ.
વર્તુળ $x^2+y^2+\lambda x \cos \alpha+\lambda y \sin \alpha-(a^2+\lambda p)=0$ નું કેન્દ્ર $\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right)$ છે.
કેન્દ્રને રેખાના સમીકરણ $x \cos \alpha+y \sin \alpha=p$ માં મૂકતા:
$\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}\right) \cos \alpha + \left(-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right) \sin \alpha = p$
$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = p$
$-\frac{\lambda}{2} (1) = p$
$\lambda = -2p$.

(C) ધારો કે $P(x_1, y_1)$ એ બિંદુ છે. વર્તુળ $S=0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S}$ છે.
આપેલ વર્તુળોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$S_1: x^2+y^2-8x+40=0$
$S_2: x^2+y^2-5x+16=0$
$S_3: x^2+y^2-8x+16y+160=0$
સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોવાથી,$S_1 = S_2 = S_3$:
$S_1 = S_3$ લેતા:
$-8x_1+40 = -8x_1+16y_1+160$ $\Rightarrow 16y_1 = -120$ $\Rightarrow y_1 = -\frac{15}{2}$
$S_1 = S_2$ લેતા:
$-8x_1+40 = -5x_1+16$ $\Rightarrow 3x_1 = 24$ $\Rightarrow x_1 = 8$
તેથી,બિંદુ $P$ એ $\left(8, -\frac{15}{2}\right)$ છે.

(D) વર્તુળ $S = x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ માટે, કેન્દ્ર $C_1 = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2 + 2^2 - (-4)} = 3$ છે.
વર્તુળ $S^{\prime} = x^2 + y^2 + 4x + 4y + 4 = 0$ માટે, કેન્દ્ર $C_2 = (-2, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 - 4} = 2$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_2 = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ છે.
સીધા સામાન્ય સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{(C_1 C_2)^2 - (r_1 - r_2)^2}$ દ્વારા મળે છે.
$L = \sqrt{5^2 - (3 - 2)^2} = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$.
તેથી, $T_1$ અને $T_1^{\prime}$ વચ્ચેનું અંતર $2 \sqrt{6}$ છે.

(C) બે સમકેન્દ્રી વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2-4x-6y+9=0$ અને $x^2+y^2-4x-6y+12=0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C(2, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{2^2+3^2-9} = \sqrt{4+9-9} = 2$ છે.
બીજા વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C(2, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2+3^2-12} = \sqrt{4+9-12} = 1$ છે.
બિંદુ $P$ એ બહારના વર્તુળ પર છે,તેથી $PC = R = 2$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle PQC$ માં (જ્યાં $\angle PQC = 90^\circ$ છે કારણ કે $PQ$ સ્પર્શક છે),આપણી પાસે $\cos \theta = \frac{QC}{PC} = \frac{r}{R} = \frac{1}{2}$ છે.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{3}$.
$\triangle CQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times (CQ) \times (CR) \times \sin(2\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $CQ = CR = r = 1$,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 1^2 \times \sin(2 \times \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \times \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ચોરસ એકમ થાય.

(D) વર્તુળ $S \equiv x^2+y^2-2x-6y+3=0$ અને રેખા $L \equiv 2x+y=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ છે.
$x^2+y^2-2x-6y+3 + \lambda(2x+y) = 0$
$x^2+y^2 + x(2\lambda-2) + y(\lambda-6) + 3 = 0$.
આ જીવા $2x+y=0$ એ નવા વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર રેખા $2x+y=0$ પર હોવું જોઈએ.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1-\lambda, \frac{6-\lambda}{2})$ છે.
કેન્દ્રને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $2(1-\lambda) + \frac{6-\lambda}{2} = 0$.
$4 - 4\lambda + 6 - \lambda = 0$ $\Rightarrow 5\lambda = 10$ $\Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+y^2 + x(4-2) + y(2-6) + 3 = 0$.
$x^2+y^2+2x-4y+3 = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(-2, 1)$ માટે: $(-2)^2 + (1)^2 + 2(-2) - 4(1) + 3 = 4 + 1 - 4 - 4 + 3 = 0$.
આમ,વર્તુળ બિંદુ $(-2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2-2x+ky+1=0$ અને $S_2: x^2+y^2-kx-2y+1=0$ છે.
રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે,જે $(-2+k)x + (k+2)y = 0$ છે.
આપેલ વિકલ્પો તપાસતા,સાચો વિકલ્પ $(1, 3)$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
$C$ એ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2g+2f+c = -2$ (સમીકરણ $1$).
વર્તુળ $C$ એ $x^2+y^2-2x=0$ ના પરિઘને દુભાગે છે. સામાન્ય જીવા એ રેડિકલ અક્ષ $2(g+1)x+2fy+c=0$ છે.
આ રેખા $x^2+y^2-2x=0$ ના કેન્દ્ર $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી $2(g+1)(1)+c=0$,એટલે કે $2g+c = -2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ પરથી $f=0$ મળે છે.
$C$ એ $x^2+y^2+2y-3=0$ ને લંબ હોવાથી,$2g_1g_2+2f_1f_2 = c_1+c_2$ શરત મુજબ $c=3$ મળે છે.
સમીકરણ $2$ માં $c=3$ મૂકતા $g = -\frac{5}{2}$ મળે છે.
તેથી વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (\frac{5}{2}, 0)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+C=0 \quad (i)$ છે.
વર્તુળ $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2g+2f+C=-2 \quad (ii)$.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+C_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+C_2=0$ લંબચ્છેદી હોવાની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=C_1+C_2$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+4x-5=0$ માટે,$4g=C-5 \quad (iii)$.
વર્તુળ $x^2+y^2-4y+3=0$ માટે,$-4f=C+3 \quad (iv)$.
$(iii)$ અને $(iv)$ પરથી,$g+f=-2 \quad (v)$.
$(ii)$ અને $(v)$ પરથી,$g=-\frac{3}{4}$ અને $f=-\frac{5}{4}$ મળે છે.
તેથી,કેન્દ્ર $(-g, -f) = \left(\frac{3}{4}, \frac{5}{4}\right)$ થાય.

(A) ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2px-2qy+C=0$ છે.
આ વર્તુળ આપેલા વર્તુળોને લંબચ્છેદી રીતે છેદે છે,તેથી આપણે શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2-2x-4y+4=0$ માટે: $2(-p)(-1) + 2(-q)(-2) = C+4 \Rightarrow 2p+4q = C+4$ $(i)$.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2+2x-4y+1=0$ માટે: $2(-p)(1) + 2(-q)(-2) = C+1 \Rightarrow -2p+4q = C+1$ $(ii)$.
ત્રીજા વર્તુળ $x^2+y^2-4x-2y-11=0$ માટે: $2(-p)(-2) + 2(-q)(-1) = C-11 \Rightarrow 4p+2q = C-11$ $(iii)$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $(2p+4q) - (-2p+4q) = (C+4) - (C+1)$ $\Rightarrow 4p = 3$ $\Rightarrow p = 3/4$.
$p=3/4$ ને $(i)$ અને $(iii)$ માં મૂકતા:
$(i)$ $\Rightarrow 2(3/4) + 4q = C+4$ $\Rightarrow 3/2 + 4q = C+4$ $\Rightarrow 4q - C = 5/2$.
$(iii)$ $\Rightarrow 4(3/4) + 2q = C-11$ $\Rightarrow 3 + 2q = C-11$ $\Rightarrow 2q - C = -14$.
આ બંનેની બાદબાકી કરતા: $(4q-C) - (2q-C) = 5/2 - (-14)$ $\Rightarrow 2q = 33/2$ $\Rightarrow q = 33/4$.
આમ,$p+q = 3/4 + 33/4 = 36/4 = 9$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy=0$ છે (કારણ કે તે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે).
વર્તુળ $S_1 \equiv x^2+y^2+6x-15=0$ માટે,$2g_1=6, 2f_1=0, c_1=-15$. લંબચ્છેદતાની શરત $2gg_1+2ff_1=c+c_1$ છે,જે $2g(3)+2f(0)=0-15$ $\Rightarrow 6g=-15$ $\Rightarrow g=-\frac{5}{2}$ આપે છે.
વર્તુળ $S_2 \equiv x^2+y^2-8y-10=0$ માટે,$2g_2=0, 2f_2=-8, c_2=-10$. લંબચ્છેદતાની શરત $2gg_2+2ff_2=c+c_2$ છે,જે $2g(0)+2f(-4)=0-10$ $\Rightarrow -8f=-10$ $\Rightarrow f=\frac{5}{4}$ આપે છે.
$g$ અને $f$ ની કિંમતો $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^2+y^2+2(-\frac{5}{2})x+2(\frac{5}{4})y=0$ મળે છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2x^2+2y^2-10x+5y=0$ મળે છે.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2-2x+2y+1=0$ અને $x^2+y^2+2x-2y+k=0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2+(-1)^2-1} = 1$.
બીજા વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-1)^2+1^2-k} = \sqrt{2-k}$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \frac{1^2 + (\sqrt{2-k})^2 - (2\sqrt{2})^2}{2(1)(\sqrt{2-k})} = \frac{1 + 2 - k - 8}{2\sqrt{2-k}} = \frac{-5-k}{2\sqrt{2-k}}$.
તેથી,$\sqrt{2-k} = -5-k$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2-k = (-5-k)^2 = 25 + k^2 + 10k$.
$k^2 + 11k + 23 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$k = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 4(23)}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 92}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{29}}{2}$.
કારણ કે $\sqrt{29}$ અસંમેય છે,તેથી $k$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(A) બે વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ અને $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ લંબચ્છેદી હોય તો શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
આપેલ $S: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + 4 = 0$ અને $C_1: x^2 + y^2 - 4x - 4y - 4 = 0$.
શરત લાગુ પાડતા: $2g(-2) + 2f(-2) = 4 - 4$ $\Rightarrow -4g - 4f = 0$ $\Rightarrow g + f = 0$.
ધારો કે $r_1$ એ $S$ ની ત્રિજ્યા છે,તેથી $r_1^2 = g^2 + f^2 - 4$.
આપેલ છે કે $S$ એ $C_2: x^2 + y^2 + 4x + 4y + 4 = 0$ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
કેન્દ્રો $O_1 = (-g, -f)$ અને $O_2 = (-2, -2)$ છે. અંતર $d^2 = (-g + 2)^2 + (-f + 2)^2 = (g - 2)^2 + (f - 2)^2$.
$C_2$ ની ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{2^2 + 2^2 - 4} = 2$ છે.
વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{r_1^2 + 4 - ((g - 2)^2 + (f - 2)^2)}{2r_1(2)}$.
$2r_1 = r_1^2 + 4 - (g^2 - 4g + 4 + f^2 - 4f + 4) = r_1^2 + 4 - (g^2 + f^2 - 4(g + f) + 8)$.
$g + f = 0$ અને $g^2 + f^2 = r_1^2 + 4$ હોવાથી,$2r_1 = r_1^2 + 4 - (r_1^2 + 4 - 0 + 8) = r_1^2 + 4 - r_1^2 - 12 = -8$.
માનાંક લેતા,$2r_1 = 8$,તેથી $r_1 = 4$.

(C) બે વર્તુળો લંબકોણીય હોય જો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોય.
વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ માટે,લંબકોણીયતાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
વર્તુળ $1$: $g_1 = -2, f_1 = -3, c_1 = k$.
વર્તુળ $2$: $g_2 = 4, f_2 = -2, c_2 = 11$.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$2(-2)(4) + 2(-3)(-2) = k + 11$
$-16 + 12 = k + 11$
$-4 = k + 11$
$k = -15$.

(C) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x^2+y^2+6x+4y-12) + \lambda(x^2+y^2-4x-6y-12) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (6-4\lambda)x + (4-6\lambda)y - 12(1+\lambda) = 0$
$(1+\lambda)$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 + 2\left(\frac{3-2\lambda}{1+\lambda}\right)x + 2\left(\frac{2-3\lambda}{1+\lambda}\right)y - 12 = 0$ મળે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ છે.
અહીં $r = \sqrt{13}$ આપેલ છે,તેથી $g^2+f^2-c = 13$.
$\left(\frac{3-2\lambda}{1+\lambda}\right)^2 + \left(\frac{2-3\lambda}{1+\lambda}\right)^2 - (-12) = 13$
$\frac{9+4\lambda^2-12\lambda + 4+9\lambda^2-12\lambda}{(1+\lambda)^2} = 1$
$13\lambda^2 - 24\lambda + 13 = 1 + 2\lambda + \lambda^2$
$12\lambda^2 - 26\lambda + 12 = 0 \Rightarrow 6\lambda^2 - 13\lambda + 6 = 0$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $(2\lambda-3)(3\lambda-2) = 0$,તેથી $\lambda = \frac{3}{2}$ અથવા $\lambda = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ માટે,સમીકરણ $x^2+y^2+2x-12=0$ છે.
$\lambda = \frac{3}{2}$ માટે,સમીકરણ $x^2+y^2-2y-12=0$ છે.

(A) વર્તુળોના સમૂહનો ઉપયોગ કરતા,$S_1: x^2+y^2+13x-3y=0$ અને $S_2: 2x^2+2y^2+4x-7y-25=0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_2 + \lambda S_1 = 0$ છે.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2x^2+2y^2+4x-7y-25 + \lambda(x^2+y^2+13x-3y) = 0$.
વર્તુળ $(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=1$ મૂકતા:
$2(1)^2+2(1)^2+4(1)-7(1)-25 + \lambda(1^2+1^2+13(1)-3(1)) = 0$.
$-24 + 12\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2x^2+2y^2+4x-7y-25 + 2(x^2+y^2+13x-3y) = 0$.
$4x^2+4y^2+30x-13y-25 = 0$.

(C) આપેલ વર્તુળો:
$x^2+y^2-4x-6y+12=0 \dots(1)$
કેન્દ્ર $C_1 = (2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 1$.
$x^2+y^2+4x-2y-4=0 \dots(2)$
કેન્દ્ર $C_2 = (-2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$.
આંતરિક સમાનતા કેન્દ્ર એ કેન્દ્રોને જોડતા રેખાખંડનું $r_1 : r_2 = 1 : 3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ:
$C = \left(\frac{1(-2) + 3(2)}{1+3}, \frac{1(1) + 3(3)}{1+3}\right) = \left(1, \frac{5}{2}\right)$.

(A) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-4x-6y+k=0$ અને $S_2: x^2+y^2+8x-4y+11=0$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{13-k}$.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(-4, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{37}$.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \left| \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2} \right|$.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ હોવાથી,$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2} = \left| \frac{13-k + 9 - 37}{6\sqrt{13-k}} \right| \Rightarrow 3\sqrt{13-k} = |15+k|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $9(13-k) = (15+k)^2$.
$k^2 + 39k + 108 = 0 \Rightarrow (k+36)(k+3) = 0$.
તેથી $k = -36$ અથવા $k = -3$. વિકલ્પ મુજબ જવાબ $-36$ છે.

(C) બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબચ્છેદી હોય તેની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ છે.
$S$ અને $S'$ માટે,$2g(-2)+2f(-3)=c+11 \implies -4g-6f=c+11$ $(i)$.
$S$ અને $S''$ માટે,$2g(-5)+2f(-2)=c+21 \implies -10g-4f=c+21$ $(ii)$.
$S$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે. તે ધન યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજક $(y=x)$ પર હોવાથી,$-f = -g$,એટલે કે $f=g$ $(iii)$.
$f=g$ ને $(i)$ અને $(ii)$ માં મૂકતા:
$-10f = c+11$ $(iv)$
$-14f = c+21$ $(v)$
$(iv)$ માંથી $(v)$ બાદ કરતા: $4f = -10 \implies f = -2.5$.
તેથી $g = -2.5$.
$(iv)$ પરથી,$c = -10(-2.5) - 11 = 25 - 11 = 14$.
અંતે,$2g+2f+c = 2(-2.5)+2(-2.5)+14 = -5-5+14 = 4$.

(C) ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે. કેન્દ્ર $(-g,-f)$ છે.
આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ અને $C_2: x^2+y^2-10x+12y+52=0$ છે.
$C_1$ માટે,$g_1=-1, f_1=-2, c_1=-4$. $C_2$ માટે,$g_2=-5, f_2=6, c_2=52$.
બે વર્તુળો લંબછેદી રીતે છેદે તેની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ છે.
$C_1$ માટે: $2g(-1)+2f(-2)=c-4 \Rightarrow 2g+4f=-c+4$ $(i)$.
$C_2$ માટે: $2g(-5)+2f(6)=c+52 \Rightarrow 10g-12f=-c-52$ (ii).
$(i)$ પરથી,$c = 4-2g-4f$. (ii) માં મૂકતા: $10g-12f = -(4-2g-4f)-52 = 2g+4f-56$.
$8g-16f = -56$ $\Rightarrow g-2f = -7$ $\Rightarrow g = 2f-7$ (iii).
$c = 18-8f$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{5f^2-20f+31} = \sqrt{5(f-2)^2+11}$.
ન્યૂનતમ માટે $f=2$ લેતા,$g = -3$ મળે.
તેથી કેન્દ્ર $(-g,-f) = (3,-2)$ થાય.

(D) ધારો કે જરૂરી વર્તુળ $S_3: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2-4x-6y+4=0$ અને $S_2: x^2+y^2+6x-4y+15=0$ છે.
$S_3$ એ $S_1$ ને લંબરૂપે છેદતું હોવાથી,$2g(-2) + 2f(-3) = c + 4 \implies 4g + 6f + c = -4 \dots(1)$.
$S_3$ એ $S_2$ ને લંબરૂપે છેદતું હોવાથી,$2g(3) + 2f(-2) = c + 15 \implies 6g - 4f - c = 15 \dots(2)$.
$S_3$ એ $(1,1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$2g + 2f + c = -2 \dots(3)$.
સમીકરણો ઉકેલતા,$g=\frac{4}{3}, f=-\frac{7}{6}, c=-\frac{7}{3}$ મળે છે.
તેથી,$5g + 2f + c = 5(\frac{4}{3}) + 2(-\frac{7}{6}) - \frac{7}{3} = 2$.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+ax+4=0$ અને $S_2: x^2+y^2+by+4=0$ છે.
કેન્દ્રો $C_1 = (\frac{-a}{2}, 0)$ અને $C_2 = (0, \frac{-b}{2})$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\sqrt{a^2-16}}{2}$ અને $r_2 = \frac{\sqrt{b^2-16}}{2}$ છે.
વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શે તે માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = r_1 + r_2$ થાય.
$\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{a^2-16} + \sqrt{b^2-16}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $a^2+b^2 = a^2-16 + b^2-16 + 2\sqrt{(a^2-16)(b^2-16)}$.
$32 = 2\sqrt{(a^2-16)(b^2-16)} \Rightarrow 16 = \sqrt{(a^2-16)(b^2-16)}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા: $256 = a^2b^2 - 16a^2 - 16b^2 + 256$.
$a^2b^2 = 16(a^2+b^2)$.
$16a^2b^2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{16} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}$.

(A-IV, B-I, C-III, D-II) આપેલ વર્તુળો $S_\alpha: x^2+y^2+2\alpha x+k=0$ અને $S_\beta: x^2+y^2+2\beta y-k=0$ છે,જ્યાં $k>0$.
$(A)$ $S_\alpha=0$ માટે,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\alpha^2-k}$ છે. બિંદુ વર્તુળ માટે,$r=0$,તેથી $\alpha^2-k=0 \Rightarrow \alpha = \pm \sqrt{k}$. કેન્દ્ર $(-\alpha, 0) = (\mp \sqrt{k}, 0)$ છે. આમ,બિંદુ વર્તુળો $(\pm \sqrt{k}, 0)$ છે. જે (iv) સાથે સુસંગત છે.
$(B)$ $S_\beta=0$ માટે,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\beta^2-(-k)} = \sqrt{\beta^2+k}$ છે. $k>0$ હોવાથી,તમામ વાસ્તવિક $\beta$ માટે $\beta^2+k > 0$ છે. તેથી,$r$ ક્યારેય $0$ હોઈ શકે નહીં. બિંદુ વર્તુળો અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી. જે $(i)$ સાથે સુસંગત છે.
$(C)$ $S_\alpha=0$ માટે,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\alpha^2-k}$ છે. જો $\alpha^2 < k$ હોય,તો ત્રિજ્યા કાલ્પનિક છે,એટલે કે વર્તુળો અસ્તિત્વમાં નથી. જો $\alpha^2 > k$ હોય,તો વર્તુળો વાસ્તવિક છે અને ન છેદતા છે. જે (iii) સાથે સુસંગત છે.
$(D)$ $S_\beta=0$ માટે,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\beta^2+k}$ છે. આ $y$-અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળોનું કુટુંબ છે. વિવિધ $\beta$ માટે તેમની ત્રિજ્યા અલગ હોવાથી,તેઓ છેદતા છે. જે (ii) સાથે સુસંગત છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-(iv), B-(i), C-(iii), D-(ii)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2 g x + 2 f y + c = 0$ છે.
તે આપેલા વર્તુળોને લંબચ્છેદી હોવાથી,આપણે શરત $2 g g_1 + 2 f f_1 = c + c_1$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$S_1: x^2 + y^2 - 2 x + 6 y = 0$ માટે,$-2 g + 6 f = c$ મળે.
$S_2: x^2 + y^2 - 4 x - 2 y + 6 = 0$ માટે,$-4 g - 2 f = c + 6$ મળે.
$S_3: x^2 + y^2 - 12 x + 2 y + 3 = 0$ માટે,$-12 g + 2 f = c + 3$ મળે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $g = 0$,$f = -3/4$,અને $c = -9/2$ મળે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 3/2 y - 9/2 = 0$ છે.
બિંદુ $(0, 3)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x x_1 + y y_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x_1, y_1) = (0, 3)$,$g = 0$,$f = -3/4$,અને $c = -9/2$ મૂકતા:
$x(0) + y(3) + 0(x + 0) - 3/4(y + 3) - 9/2 = 0$.
$3 y - 3/4 y - 9/4 - 18/4 = 0$.
$9/4 y = 27/4$.
$y = 3$.

(D) ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
તે $(1,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1^2+0^2+2g(1)+2f(0)+c=0$,જે $2g+c=-1$ આપે છે (સમીકરણ $1$).
વર્તુળ $x^2+y^2-2x+4y+1=0$ ને લંબ છે. લંબચ્છેદી હોવાની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ મુજબ $-2g+4f=c+1$ (સમીકરણ $2$).
વર્તુળ $x^2+y^2+6x-2y+1=0$ ને પણ લંબ છે. આથી $6g-2f=c+1$ (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા $8g-6f=0$ મળે,એટલે કે $f = \frac{4}{3}g$.
આ કિંમત સમીકરણ $1$ અને $2$ માં મૂકતા $g=0, f=0, c=-1$ મળે છે.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (0,0)$ છે.

(C) ધારો કે $S_1$ એ $(2, 3)$ કેન્દ્ર અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. તેનું સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-3)^2 = a^2$ છે,જે $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 - a^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $S_2$ એ $(5, 6)$ કેન્દ્ર અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. તેનું સમીકરણ $(x-5)^2 + (y-6)^2 = a^2$ છે,જે $x^2 + y^2 - 10x - 12y + 61 - a^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 - a^2) - (x^2 + y^2 - 10x - 12y + 61 - a^2) = 0$
$6x + 6y - 48 = 0 \Rightarrow x + y = 8$.
વર્તુળો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.
અહીં $g_1 = -2, f_1 = -3, c_1 = 13 - a^2$ અને $g_2 = -5, f_2 = -6, c_2 = 61 - a^2$.
$2(-2)(-5) + 2(-3)(-6) = (13 - a^2) + (61 - a^2)$
$20 + 36 = 74 - 2a^2$ $\Rightarrow 56 = 74 - 2a^2$ $\Rightarrow 2a^2 = 18$ $\Rightarrow a^2 = 9$ $\Rightarrow a = 3$.
$a = 3$ ને વિકલ્પોમાં મૂકતા:
$(C)$ $(3, 5) \Rightarrow 3 + 5 = 8$. જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(C) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે.
અહીં,$S_1 = x^2+y^2-8x-6y+21$ અને $S_2 = x^2+y^2-2x-15$.
સમીકરણ: $(x^2+y^2-8x-6y+21) + \lambda(x^2+y^2-2x-15) = 0$.
વર્તુળ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=2$ મૂકતા:
$(1+4-8-12+21) + \lambda(1+4-2-15) = 0$
$6 - 12\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$(x^2+y^2-8x-6y+21) + \frac{1}{2}(x^2+y^2-2x-15) = 0$
$2$ વડે ગુણતા:
$2x^2+2y^2-16x-12y+42 + x^2+y^2-2x-15 = 0$
$3x^2+3y^2-18x-12y+27 = 0$
$3$ વડે ભાગતા:
$x^2+y^2-6x-4y+9 = 0$.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2-4x-4y+7=0$ અને $x^2+y^2-12x-10y+45=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્રો અને ત્રિજ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
પ્રથમ વર્તુળ માટે: $C_1 = (2, 2)$ અને $r_1 = \sqrt{2^2+2^2-7} = \sqrt{8-7} = 1$.
બીજા વર્તુળ માટે: $C_2 = (6, 5)$ અને $r_2 = \sqrt{6^2+5^2-45} = \sqrt{36+25-45} = \sqrt{16} = 4$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(6-2)^2+(5-2)^2} = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = 5$.
અહીં $C_1C_2 = r_1+r_2 = 1+4 = 5$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
સ્પર્શબિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $C_1C_2$ નું $r_1:r_2 = 1:4$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P = \left(\frac{1(6)+4(2)}{1+4}, \frac{1(5)+4(2)}{1+4}\right) = \left(\frac{6+8}{5}, \frac{5+8}{5}\right) = \left(\frac{14}{5}, \frac{13}{5}\right)$.

(C) ધારો કે જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ છે.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબચ્છેદી હોય તો $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ થાય.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2-6x+8=0$ માટે,$g_1=-3, f_1=0, c_1=8$. તેથી,$2g(-3)+2f(0)=0+8$ $\Rightarrow -6g=8$ $\Rightarrow g=-\frac{4}{3}$.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-2x-2y-7=0$ માટે,$g_2=-1, f_2=-1, c_2=-7$. તેથી,$2g(-1)+2f(-1)=0-7 \Rightarrow -2g-2f=-7$.
$g=-\frac{4}{3}$ મૂકતા,$-2(-\frac{4}{3})-2f=-7$ $\Rightarrow \frac{8}{3}+7=2f$ $\Rightarrow 2f=\frac{29}{3}$.
સમીકરણમાં $g$ અને $f$ ની કિંમત મૂકતા: $x^2+y^2+2(-\frac{4}{3})x+2(\frac{29}{6})y=0 \Rightarrow x^2+y^2-\frac{8}{3}x+\frac{29}{3}y=0$.
$3$ વડે ગુણતા,$3x^2+3y^2-8x+29y=0$ મળે.

(D) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2 + y^2 - 2x + 8y + 13 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 - 4x + 6y + 11 = 0$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2 + (-4)^2 - 13} = 2$.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - 11} = \sqrt{2}$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2 = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-3 - (-4))^2} = \sqrt{2}$.
વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2r_1r_2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta = \frac{2 - 4 - 2}{4\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = 135^{\circ}$.

(D) આપેલ છે કે,વર્તુળ $S_1 \equiv x^2+y^2+6x-2y+k=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2+2x-6y-15=0$.
જ્યારે $S_1$ એ $S_2$ ના પરિઘને દુભાગે છે,ત્યારે $S_1$ અને $S_2$ ની સામાન્ય જીવા એ $S_2$ નો વ્યાસ બને છે.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ છે.
$(x^2+y^2+6x-2y+k) - (x^2+y^2+2x-6y-15) = 0$.
$4x + 4y + k + 15 = 0$.
આ જીવા $S_2$ નો વ્યાસ હોવાથી,તે $S_2$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
$S_2$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1, 3)$ છે.
$(-1, 3)$ ને જીવાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$4(-1) + 4(3) + k + 15 = 0$.
$-4 + 12 + k + 15 = 0$.
$8 + k + 15 = 0$.
$k + 23 = 0$.
$k = -23$.

(A) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2-2x-8y+8=0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C_1(1, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 3$ છે.
બીજું વર્તુળ $C_2: x^2+y^2-8x+15=0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C_2(4, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$ છે.
બહારનું સમાનતાનું કેન્દ્ર $P$ એ કેન્દ્રો $C_1(1, 4)$ અને $C_2(4, 0)$ ને જોડતી રેખાનું $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજન કરે છે.
$P = \left(\frac{11}{2}, -2\right)$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m$ ધારો. $P$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $2mx - 2y - 11m - 4 = 0$ છે.
$C_2(4, 0)$ થી આ રેખાનું અંતર $r_2 = 1$ છે:
$\left|\frac{-3m-4}{\sqrt{4m^2+4}}\right| = 1$
$(3m+4)^2 = 4(m^2+1)$
$5m^2 + 24m + 12 = 0$.
બીજના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$m_1+m_2 = -\frac{24}{5}$.

(D) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2-4x+6y+4=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2x-2y-2=0$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{2^2+(-3)^2-4} = 3$ છે.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-1)^2+1^2-(-2)} = 2$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 1)^2} = 5$ છે.
$r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5 = C_1C_2$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને $P$ બિંદુએ બહારથી સ્પર્શે છે.
સંપર્ક બિંદુ $P$ એ $C_1C_2$ ને $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$P = \left( \frac{1}{5}, -\frac{3}{5} \right)$.
$P$ આગળનો સામાન્ય સ્પર્શક એ બંને વર્તુળોની રેડિકલ અક્ષ છે,જે $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2-4x+6y+4) - (x^2+y^2+2x-2y-2) = 0$
$-6x + 8y + 6 = 0$
$-2$ વડે ભાગતા,$3x - 4y - 3 = 0$ મળે છે.
$ax+by+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=3, b=-4, c=-3$.
તેથી,$\frac{a}{c} = \frac{3}{-3} = -1$.