Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Gujarati

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 10x + 12y + c = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(-5, -6)$ છે અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{(-5)^2 + (-6)^2 - c} = \sqrt{25 + 36 - c} = \sqrt{61 - c}$ છે.
વર્તુળમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,બાજુની લંબાઈ $a = R\sqrt{3}$ થાય.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (R\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2$ છે.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $27\sqrt{3}$ હોવાથી,$\frac{3\sqrt{3}}{4} R^2 = 27\sqrt{3}$ મળે.
$R^2 = 27 \times \frac{4}{3} = 36$.
$R^2 = 61 - c$ હોવાથી,$61 - c = 36$ મળે.
તેથી,$c = 61 - 36 = 25$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x + 8y - 103 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(3, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{9 + 16 + 103} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$ છે.
ચોરસના શિરોબિંદુઓ $(3 \pm 8, -4 \pm 8)$ એટલે કે $(11, 4), (11, -12), (-5, 4), (-5, -12)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ શિરોબિંદુઓના અંતર:
$\sqrt{11^2 + 4^2} = \sqrt{137}$
$\sqrt{11^2 + (-12)^2} = \sqrt{265}$
$\sqrt{(-5)^2 + 4^2} = \sqrt{41}$
$\sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = 13$
સૌથી નાનું અંતર $\sqrt{41}$ છે.

(B) ધારો કે બે વર્તુળોના કેન્દ્રો $A$ અને $B$ છે. સમાન ત્રિજ્યા હોવાથી,ધારો કે ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળો $D(0, 1)$ અને $E(0, -1)$ માં છેદે છે.
પ્રથમ વર્તુળનું કેન્દ્ર $A(-h, 0)$ અને બીજાનું $B(h, 0)$ ધારો.
વર્તુળ $A(-h, 0)$ નું સમીકરણ $(x+h)^2 + y^2 = r^2$ છે. તે $(0, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$h^2 + 1 = r^2$ મળે.
$(0, 1)$ આગળનો સ્પર્શક $AD$ ને લંબ છે. $AD$ નો ઢાળ $\frac{1}{h}$ છે,તેથી સ્પર્શકનો ઢાળ $-h$ થાય.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = -h(x - 0)$ એટલે કે $y = -hx + 1$ છે.
આ રેખા બીજા વર્તુળના કેન્દ્ર $B(h, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = -h(h) + 1$,એટલે કે $h^2 = 1$,તેથી $h = 1$.
કેન્દ્રો $A(-1, 0)$ અને $B(1, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $1 - (-1) = 2$ થાય.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = 4$ છે. કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $x + y - n = 0$ નું અંતર $p = \frac{|0 + 0 - n|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{n}{\sqrt{2}}$ છે.
જીવા અસ્તિત્વમાં રહે તે માટે $p < r$ હોવું જોઈએ,તેથી $\frac{n}{\sqrt{2}} < 4$,જેનો અર્થ છે કે $n < 4\sqrt{2} \approx 5.65$. $n \in N$ હોવાથી,$n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
જીવાની લંબાઈ $L = 2\sqrt{r^2 - p^2} = 2\sqrt{16 - \frac{n^2}{2}} = \sqrt{64 - 2n^2}$ છે.
લંબાઈનો વર્ગ $L^2 = 64 - 2n^2$ છે.
$n = 1$ માટે,$L^2 = 64 - 2(1) = 62$.
$n = 2$ માટે,$L^2 = 64 - 2(4) = 56$.
$n = 3$ માટે,$L^2 = 64 - 2(9) = 46$.
$n = 4$ માટે,$L^2 = 64 - 2(16) = 32$.
$n = 5$ માટે,$L^2 = 64 - 2(25) = 14$.
વર્ગોનો સરવાળો $62 + 56 + 46 + 32 + 14 = 210$ થાય છે.

(B) ધારો કે લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(-8, 5)$ અને $B(6, 5)$ છે. $AB$ એ લંબચોરસની બાજુ હોવાથી,$AB$ ની લંબાઈ $= |6 - (-8)| = 14$ થાય.
ધારો કે અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $D(-8, k)$ અને $C(6, k)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વિકર્ણ $AC$ (અથવા $BD$) નું મધ્યબિંદુ છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{-8 + 6}{2}, \frac{5 + k}{2} \right) = \left( -1, \frac{5 + k}{2} \right)$.
કેન્દ્ર વ્યાસ $3y = x + 7$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3\left( \frac{5 + k}{2} \right) = -1 + 7$
$3\left( \frac{5 + k}{2} \right) = 6$
$\frac{5 + k}{2} = 2$
$5 + k = 4$
$k = -1$.
બાજુ $BC$ ની લંબાઈ $= |5 - (-1)| = 6$ થાય.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= AB \times BC = 14 \times 6 = 84 \text{ sq. units}$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(3, r)$ અથવા $(3, -r)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $x-$ અક્ષને $(3, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી તેનું સમીકરણ $(x - 3)^2 + (y - r)^2 = r^2$ અથવા $(x - 3)^2 + (y + r)^2 = r^2$ થાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 6x + 9 + y^2 \mp 2ry + r^2 = r^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - 6x \mp 2ry + 9 = 0$ મળે.
$y-$ અંતઃખંડ $2\sqrt{f^2 - c}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $f = \mp r$ અને $c = 9$.
અંતઃખંડની લંબાઈ $8$ આપેલ છે,તેથી $2\sqrt{r^2 - 9} = 8$.
$\sqrt{r^2 - 9} = 4 \implies r^2 - 9 = 16 \implies r^2 = 25 \implies r = 5$.
વર્તુળોના સમીકરણો $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 9 = 0$ અને $x^2 + y^2 - 6x - 10y + 9 = 0$ છે.
બીજા સમીકરણમાં $(3, 10)$ બિંદુ ચકાસતા: $(3)^2 + (10)^2 - 6(3) - 10(10) + 9 = 9 + 100 - 18 - 100 + 9 = 0$.
આમ,વર્તુળ $(3, 10)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) આપેલ છે: ચાપની લંબાઈ $l = 37.4 \, cm$ અને કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$.
પ્રથમ, ખૂણાને અંશમાંથી રેડિયનમાં ફેરવો: $\theta = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \, \text{રેડિયન}$.
ચાપની લંબાઈના સૂત્ર $l = r\theta$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $r$ ત્રિજ્યા છે, આપણને મળે $r = \frac{l}{\theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{37.4}{\pi / 3} = \frac{37.4 \times 3}{\pi}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ નો ઉપયોગ કરતા, $r = \frac{37.4 \times 3 \times 7}{22}$.
$r = \frac{112.2 \times 7}{22} = \frac{785.4}{22} = 35.7 \, cm$.

(A) મિનિટ કાંટાની લંબાઈ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે,$r = 1.5 \, \text{cm}$.
$60$ મિનિટમાં,મિનિટ કાંટો એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ ($360^\circ$ અથવા $2\pi$ રેડિયન) પૂર્ણ કરે છે.
$40$ મિનિટમાં,કાપેલ પરિભ્રમણનો ભાગ $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ છે.
તેથી,કેન્દ્ર પર બનતો ખૂણો $\theta = \frac{2}{3} \times 2\pi = \frac{4\pi}{3}$ રેડિયન થાય.
છેડા દ્વારા કાપેલ અંતર $l$ એ ચાપની લંબાઈના સૂત્ર $l = r\theta$ દ્વારા મળે છે.
$l = 1.5 \times \frac{4\pi}{3} = 0.5 \times 4\pi = 2\pi \, \text{cm}$.
$\pi = 3.14$ લેતા,આપણને $l = 2 \times 3.14 = 6.28 \, \text{cm}$ મળે છે.

(A) વર્તુળનો વ્યાસ $= 40 \, cm$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r) = \frac{40}{2} \, cm = 20 \, cm$.
ધારો કે $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળમાં $AB$ એ $20 \, cm$ લંબાઈની જીવા છે.
$\Delta OAB$ માં,$OA = OB = r = 20 \, cm$ અને $AB = 20 \, cm$.
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,$\Delta OAB$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$ રેડિયન.
ચાપની લંબાઈ $(l)$ શોધવાનું સૂત્ર $l = r \theta$ છે.
$l = 20 \times \frac{\pi}{3} = \frac{20 \pi}{3} \, cm$.
આમ,લઘુચાપની લંબાઈ $\frac{20 \pi}{3} \, cm$ છે.

(B) ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $r_{1}$ અને $r_{2}$ છે.
ધારો કે $l$ લંબાઈનો ચાપ $r_{1}$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ $60^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે અને તે જ લંબાઈનો ચાપ $r_{2}$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ $75^{\circ}$ નો ખૂણો આંતરે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l = r \theta$,જ્યાં $\theta$ રેડિયનમાં છે.
ખૂણાઓને રેડિયનમાં ફેરવતા:
$60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ રેડિયન}$.
$75^{\circ} = \frac{5\pi}{12} \text{ રેડિયન}$.
ચાપની લંબાઈ સમાન હોવાથી,$l = r_{1} \times \frac{\pi}{3} = r_{2} \times \frac{5\pi}{12}$.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા,$\frac{r_{1}}{3} = \frac{5r_{2}}{12}$ મળે.
તેથી,$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{5 \times 3}{12} = \frac{5}{4}$.
તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $5: 4$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=25$ છે.
આ સમીકરણ $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(h, k) = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{25} = 5$ છે.
બિંદુ $P(-2.5, 3.5)$ નું વર્તુળના કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી અંતર $d$ શોધતા:
$d = \sqrt{(-2.5 - 0)^{2} + (3.5 - 0)^{2}}$
$d = \sqrt{6.25 + 12.25}$
$d = \sqrt{18.5} \approx 4.3$.
અહીં $d \approx 4.3 < 5$ (ત્રિજ્યા) હોવાથી,બિંદુનું કેન્દ્રથી અંતર ત્રિજ્યા કરતા ઓછું છે.
તેથી,બિંદુ $(-2.5, 3.5)$ વર્તુળની અંદર આવેલું છે.

(B) આપેલ વિધાન $p$ અસત્ય છે.
વર્તુળની જીવાની વ્યાખ્યા મુજબ,તે રેખાખંડના બંને અંત્યબિંદુઓ વર્તુળ પર હોવા જોઈએ.
ત્રિજ્યા એ વર્તુળના કેન્દ્ર અને વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુને જોડતો રેખાખંડ છે.
ત્રિજ્યાના બંને અંત્યબિંદુઓ વર્તુળ પર હોતા નથી (એક અંત્યબિંદુ કેન્દ્ર છે),તેથી તે જીવાની વ્યાખ્યાનું પાલન કરતી નથી.

(B) આપેલ વિધાન $q$ અસત્ય છે.
જો જીવા એ વર્તુળનો વ્યાસ ન હોય,તો કેન્દ્ર તે જીવાને દુભાગશે નહીં.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,વર્તુળનું કેન્દ્ર જીવાને ત્યારે જ દુભાગે છે જો તે જીવા વર્તુળનો વ્યાસ હોય.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^{2} + y^{2} - 2x - 4y + 4 = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ મળે.
તેથી,કેન્દ્ર $(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
રેખા $3x + 4y - k = 0$ વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
અંતર $d = \frac{|3(1) + 4(2) - k|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} < 1$.
$\frac{|11 - k|}{5} < 1$.
$|11 - k| < 5$.
$-5 < 11 - k < 5$.
$-16 < -k < -6$.
$6 < k < 16$.
$k$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15$ છે.
આવા મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા $9$ છે.

(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\alpha, 2-\alpha)$ છે કારણ કે તે રેખા $x+y=2$ પર આવેલું છે.
વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\alpha > 0$ અને $2-\alpha > 0$,જેનો અર્થ છે કે $0 < \alpha < 2$.
વર્તુળ રેખાઓ $x=3$ અને $y=2$ ને સ્પર્શે છે. ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્રથી આ રેખાઓનું અંતર છે:
$r = |3-\alpha| = |2-(2-\alpha)| = |\alpha|$.
$0 < \alpha < 2$ હોવાથી,$|3-\alpha| = 3-\alpha$ અને $|\alpha| = \alpha$ મળે.
ત્રિજ્યા માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$3-\alpha = \alpha$
$2\alpha = 3$
$\alpha = \frac{3}{2}$.
ત્રિજ્યા $r = \alpha = \frac{3}{2}$.
વર્તુળનો વ્યાસ $2r = 2 \times \frac{3}{2} = 3$ છે.

(B) ધારો કે $P$ ના યામ $(3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ છે.
$PQ$ વ્યાસ હોવાથી,$Q$ ના યામ $(-3 \cos \theta, -3 \sin \theta)$ થશે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax+By+C=0$ પરના લંબની લંબાઈ $\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
રેખા $x+y-2=0$ માટે,લંબની લંબાઈઓ:
$\alpha = \frac{|3 \cos \theta + 3 \sin \theta - 2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|3(\cos \theta + \sin \theta) - 2|}{\sqrt{2}}$
$\beta = \frac{|-3 \cos \theta - 3 \sin \theta - 2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-(3(\cos \theta + \sin \theta) + 2)|}{\sqrt{2}} = \frac{|3(\cos \theta + \sin \theta) + 2|}{\sqrt{2}}$
તેથી,$\alpha \beta = \frac{|(3(\cos \theta + \sin \theta) - 2)(3(\cos \theta + \sin \theta) + 2)|}{2} = \frac{|9(\cos \theta + \sin \theta)^2 - 4|}{2}$
$(\cos \theta + \sin \theta)^2 = 1 + \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha \beta = \frac{|9(1 + \sin 2\theta) - 4|}{2} = \frac{|9 + 9 \sin 2\theta - 4|}{2} = \frac{|5 + 9 \sin 2\theta|}{2}$
$\sin 2\theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,$\alpha \beta$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{5 + 9(1)}{2} = \frac{14}{2} = 7$ મળે છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ છે,જેનું કેન્દ્ર $O(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
ધારો કે જીવા $AB$ ની લંબાઈ $AB=r$ છે.
ધારો કે $M$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $OM \perp AB$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OAM$ માં,$OA=r$ (ત્રિજ્યા) અને $AM = \frac{AB}{2} = \frac{r}{2}$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OM^{2} = OA^{2} - AM^{2} = r^{2} - (\frac{r}{2})^{2} = \frac{3r^{2}}{4}$.
તેથી,$OM = \frac{r\sqrt{3}}{2}$.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $2x-y+3=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|2(0) - (0) + 3|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$ છે.
$OM = d$ લેતા,$\frac{r\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{\sqrt{5}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{3r^{2}}{4} = \frac{9}{5}$.
તેથી,$r^{2} = \frac{9}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{12}{5}$.

(B) પ્રથમ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-10x-10y+41=0$ માટે:
કેન્દ્ર $C_{1} = (5, 5)$,ત્રિજ્યા $r_{1} = 3$.
બીજા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-16x-10y+80=0$ માટે:
કેન્દ્ર $C_{2} = (8, 5)$,ત્રિજ્યા $r_{2} = 3$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 3$ છે.
અહીં $d = r_{1} = r_{2} = 3$ હોવાથી,દરેક વર્તુળ બીજાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
આથી,વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે કેન્દ્રો એકબીજાના પરિઘ પર છે,અંદર નહીં.

(C) પ્રથમ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-10x-10y+41=0$ માટે:
કેન્દ્ર $A = (5, 5)$,ત્રિજ્યા $R_{1} = \sqrt{5^{2}+5^{2}-41} = \sqrt{9} = 3$.
બીજા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-22x-10y+137=0$ માટે:
કેન્દ્ર $B = (11, 5)$,ત્રિજ્યા $R_{2} = \sqrt{11^{2}+5^{2}-137} = \sqrt{9} = 3$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $AB = \sqrt{(11-5)^{2}+(5-5)^{2}} = 6$.
અહીં $AB = R_{1} + R_{2} = 3 + 3 = 6$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
તેથી,વર્તુળોને માત્ર એક જ સામાન્ય બિંદુ છે.

(B) વર્તુળોના કેન્દ્રો નીચે મુજબ છે:
વર્તુળ $M: (0, 0)$
વર્તુળ $N: (1, 0)$
વર્તુળ $O: (1, 1)$
વર્તુળ $P: (0, 1)$
બાજુઓની લંબાઈ:
$MN = 1, NO = 1, OP = 1, PM = 1$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી અને પાસપાસેની બાજુઓ કાટખૂણે હોવાથી,આ આકૃતિ ચોરસ છે.

(B) ધારો કે $PA = AQ = \lambda$.
$PQ \perp OB$ હોવાથી,વર્તુળમાં છેદતી જીવાઓના ગુણધર્મ મુજબ,$OA \cdot AB = PA \cdot AQ$ થાય.
આપેલ છે કે $OA = 1$ અને $OB = 13$,તેથી $AB = OB - OA = 13 - 1 = 12$.
કિંમતો મૂકતા,$1 \cdot 12 = \lambda \cdot \lambda$.
$\lambda^2 = 12 \Rightarrow \lambda = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$.
$\Delta PQB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times PQ \times AB$.
$PQ = PA + AQ = \lambda + \lambda = 2\lambda = 4 \sqrt{3}$ હોવાથી,
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (4 \sqrt{3}) \times 12 = 2 \sqrt{3} \times 12 = 24 \sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે $P$ એ વર્તુળ $(x-1)^{2} + (y-1)^{2} = 1$ પરનું બિંદુ છે.
આપણે $P$ ને $(1 + \cos \theta, 1 + \sin \theta)$ તરીકે દર્શાવી શકીએ.
આપેલ $A(1, 4)$ અને $B(1, -5)$ માટે,$(PA)^{2} + (PB)^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$(PA)^{2} = (1 + \cos \theta - 1)^{2} + (1 + \sin \theta - 4)^{2} = 10 - 6 \sin \theta$.
$(PB)^{2} = (1 + \cos \theta - 1)^{2} + (1 + \sin \theta + 5)^{2} = 37 + 12 \sin \theta$.
સરવાળો કરતા,$(PA)^{2} + (PB)^{2} = 47 + 6 \sin \theta$.
આ પદ મહત્તમ ત્યારે થાય જ્યારે $\sin \theta = 1$ હોય.
$\sin \theta = 1$ માટે,$\cos \theta = 0$,તેથી $P = (1, 2)$.
બિંદુઓ $P(1, 2)$,$A(1, 4)$ અને $B(1, -5)$ છે.
બધા બિંદુઓનો $x$-યામ $1$ હોવાથી,તેઓ $x = 1$ રેખા પર આવેલા છે,જે એક સીધી રેખા છે.

(D) વક્ર પરના તમામ બિંદુઓ પરના અભિલંબ એક નિશ્ચિત બિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થતા હોવાથી,વક્ર વર્તુળ હોવું જોઈએ જેનું કેન્દ્ર $(a, b)$ છે.
વર્તુળ પરના બિંદુઓ $A(3, -3)$ અને $B(4, -2\sqrt{2})$ છે.
$A$ અને $B$ વર્તુળ પર હોવાથી,કેન્દ્ર $C(a, b)$ થી તેમનું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું થાય.
તેથી,$CA^{2} = CB^{2}$.
$(a - 3)^{2} + (b + 3)^{2} = (a - 4)^{2} + (b + 2\sqrt{2})^{2}$
$a^{2} - 6a + 9 + b^{2} + 6b + 9 = a^{2} - 8a + 16 + b^{2} + 4\sqrt{2}b + 8$
$-6a + 6b + 18 = -8a + 4\sqrt{2}b + 24$
$2a + (6 - 4\sqrt{2})b = 6$
$2$ વડે ભાગતા,$a + (3 - 2\sqrt{2})b = 3$ મળે.
$a + 3b - 2\sqrt{2}b = 3$
$a - 2\sqrt{2}b + 3b = 3 \quad ... (1)$
આપેલ છે કે $a - 2\sqrt{2}b = 3 \quad ... (2)$
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$3 + 3b = 3$,જેનો અર્થ છે કે $3b = 0$,તેથી $b = 0$.
$b = 0$ ને $(2)$ માં મૂકતા,$a - 2\sqrt{2}(0) = 3$,તેથી $a = 3$.
તેથી,$a^{2} + b^{2} + ab = (3)^{2} + (0)^{2} + (3)(0) = 9 + 0 + 0 = 9$.

(A) સામાન્ય સ્પર્શક $4x + 3y = 10$ છે. તેનો ઢાળ $m = -\frac{4}{3}$ છે.
કેન્દ્રોને જોડતી રેખા સ્પર્શબિંદુ $(1, 2)$ આગળ સ્પર્શકને લંબ હોવાથી,કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = \frac{3}{4}$ થાય.
ધારો કે આ રેખા $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\tan \theta = \frac{3}{4}$.
આથી $\sin \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{4}{5}$ મળે.
કેન્દ્રો $C_{1}$ અને $C_{2}$ એ $(1, 2)$ થી આ રેખા પર $5 \text{ units}$ ના અંતરે આવેલા છે.
રેખાના પ્રાચલ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,કેન્દ્રોના યામ $(x, y) = (1 \pm 5 \cos \theta, 2 \pm 5 \sin \theta)$ મળે.
$(x, y) = (1 \pm 5(\frac{4}{5}), 2 \pm 5(\frac{3}{5})) = (1 \pm 4, 2 \pm 3)$.
આમ,કેન્દ્રો $(1 + 4, 2 + 3) = (5, 5)$ અને $(1 - 4, 2 - 3) = (-3, -1)$ છે.
તેથી,$(\alpha, \beta) = (5, 5)$ અને $(\gamma, \delta) = (-3, -1)$.
માટે,$|(\alpha + \beta)(\gamma + \delta)| = |(5 + 5)(-3 - 1)| = |(10)(-4)| = |-40| = 40$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-2x+4y+1=0$ છે. કેન્દ્ર $B(1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r=2$ છે.
$AB = \sqrt{(3-1)^{2} + (1-(-2))^{2}} = \sqrt{13}$.
કાટકોણ $\triangle ABP$ માં,$AP = \sqrt{AB^{2} - BP^{2}} = \sqrt{13-4} = 3$.
$AR = \frac{AP^{2}}{AB} = \frac{9}{\sqrt{13}}$ અને $BR = \frac{BP^{2}}{AB} = \frac{4}{\sqrt{13}}$.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{\text{Area } \triangle APQ}{\text{Area } \triangle BPQ} = \frac{AR}{BR} = \frac{9/\sqrt{13}}{4/\sqrt{13}} = \frac{9}{4}$.
તેથી,$8 \times \frac{9}{4} = 18$.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2,3)$ છે અને તે ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે. ત્રિજ્યા $r = OC = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$ છે.
$OC$ નો ઢાળ $m_{OC} = \frac{3}{2}$ છે.
$CP \perp OC$ અને $CQ \perp OC$ હોવાથી,રેખા $PQ$ એ $OC$ ને લંબ છે. રેખા $PQ$ નો ઢાળ $m = -\frac{2}{3}$ છે.
$C(2,3)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{2}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાના પ્રચલિત સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$P$ અને $Q$ ના યામ $(2 \pm r \cos \theta, 3 \pm r \sin \theta)$ મળે.
$r = \sqrt{13}$,$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{13}}$,અને $\sin \theta = -\frac{2}{\sqrt{13}}$ લેતા:
$x = 2 \pm 3 = 5$ અથવા $-1$.
$y = 3 \mp 2 = 1$ અથવા $5$.
આમ,બિંદુઓ $(5, 1)$ અને $(-1, 5)$ છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=2^{2}$ છે. કેન્દ્ર $C(1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r=2$ છે.
બિંદુ $P(-1, 1)$ માંથી સ્પર્શકો $A(1, 1)$ અને $B(-1, 3)$ પર સ્પર્શે છે.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ $\sqrt{(1 - (-1))^{2} + (1 - 3)^{2}} = 2\sqrt{2}$ છે.
આપેલ છે કે $AD = AB = 2\sqrt{2}$.
સમાન લંબાઈની જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય છે. $\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $4$ ચોરસ એકમ મળે છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $y$-અક્ષને $(0, 6)$ પર સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રનો $y$-યામ $k = 6$ છે અને ત્રિજ્યા $r = |h|$ છે.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^{2} + (y - 6)^{2} = h^{2}$ થાય.
આ વર્તુળ $x$-અક્ષ પર $6 \sqrt{5}$ લંબાઈનો અંતઃખંડ કાપે છે. સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા,$(x - h)^{2} + (0 - 6)^{2} = h^{2}$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $(x - h)^{2} + 36 = h^{2}$ અથવા $(x - h)^{2} = h^{2} - 36$ થાય.
વર્ગમૂળ લેતા,$x - h = \pm \sqrt{h^{2} - 36}$,તેથી $x = h \pm \sqrt{h^{2} - 36}$.
$x$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ આ બે $x$-કિંમતો વચ્ચેનો તફાવત છે: $(h + \sqrt{h^{2} - 36}) - (h - \sqrt{h^{2} - 36}) = 2 \sqrt{h^{2} - 36}$.
આપેલ છે કે અંતઃખંડ $6 \sqrt{5}$ છે,તેથી $2 \sqrt{h^{2} - 36} = 6 \sqrt{5}$,એટલે કે $\sqrt{h^{2} - 36} = 3 \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$h^{2} - 36 = 9 \times 5 = 45$,તેથી $h^{2} = 81$,જેનો અર્થ છે કે $h = \pm 9$.
ત્રિજ્યા $r = |h|$ હોવાથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 9$ થાય.

(D) વર્તુળ $x$-અક્ષને $(1, 0)$ પર સ્પર્શતું હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k) = (1, r)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
કેન્દ્ર $(1, r)$ થી રેખા $x + y = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|1 + r|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{|r + 1|}{\sqrt{2}}$ છે.
જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $2$ હોવાથી,અડધી લંબાઈ $1$ થાય.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$r^{2} = d^{2} + 1^{2}$.
$d$ ની કિંમત મૂકતા,$r^{2} = \left(\frac{r + 1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + 1$.
$r^{2} = \frac{(r + 1)^{2}}{2} + 1$.
$2r^{2} = r^{2} + 2r + 1 + 2$.
$r^{2} - 2r - 3 = 0$.
$(r - 3)(r + 1) = 0$.
$r > 0$ હોવાથી,$r = 3$.
તેથી,$h = 1$,$k = 3$,અને $r = 3$.
$h + k + r = 1 + 3 + 3 = 7$.

(C) રેખાઓ $L_{1}: 4x - 3y + K_{1} = 0$ અને $L_{2}: 4x - 3y + K_{2} = 0$ છે.
$L_{1}$ એ $(-1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4(-1) - 3(2) + K_{1} = 0 \Rightarrow K_{1} = 10$.
$L_{2}$ એ $(3, -6)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4(3) - 3(-6) + K_{2} = 0 \Rightarrow K_{2} = -30$.
સમાંતર સ્પર્શકો વચ્ચેનું અંતર એ વ્યાસ $2r = \frac{|10 - (-30)|}{5} = 8$ છે,તેથી $r = 4$.
કેન્દ્ર એ $(-1, 2)$ અને $(3, -6)$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(1, -2)$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 16$ છે.

(B) બિંદુઓ $A(3, 4)$,$B(4, 3)$ અને $C(0, 5)$ છે.
આ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 25$ છે.
રેખાખંડ $BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{3-5}{4-0} = -\frac{1}{2}$ છે.
$z(x, y)$ અને $z_{1}(3, 4)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ ને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = 2$ થશે.
આ રેખાનું સમીકરણ $y - 4 = 2(x - 3)$ એટલે કે $y = 2x - 2$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y = 2x - 2$ મૂકતા:
$x^2 + (2x - 2)^2 = 25$
$5x^2 - 8x - 21 = 0$
$(5x + 7)(x - 3) = 0$.
$z \neq z_{1}$ હોવાથી,$x = -7/5$ મળે.
તેથી $y = -24/5$ મળે.
આમ,$z$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{24}{7}\right) - \pi$.

(B) ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. વર્તુળ $A(2, -1)$ અને $B(3, 4)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{2+3}{2}, \frac{-1+4}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{4 - (-1)}{3 - 2} = 5$ છે.
લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_{\perp} = -\frac{1}{5}$ છે.
લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - \frac{3}{2} = -\frac{1}{5}(x - \frac{5}{2})$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 5y = 10$ થાય છે.
આપેલ છે કે કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $(x-5)^2 + (k-1)^2 = \frac{13}{2}$ વર્તુળ પર છે,તેથી $(h-5)^2 + (k-1)^2 = \frac{13}{2}$.
વળી,$h + 5k = 10$,તેથી $h = 10 - 5k$.
$h$ ની કિંમત વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(10 - 5k - 5)^2 + (k - 1)^2 = \frac{13}{2} \implies (5 - 5k)^2 + (k - 1)^2 = \frac{13}{2}$.
$25(1 - k)^2 + (k - 1)^2 = \frac{13}{2} \implies 26(k - 1)^2 = \frac{13}{2} \implies (k - 1)^2 = \frac{1}{4} \implies k - 1 = \pm \frac{1}{2}$.
જો $k = \frac{3}{2}$ હોય,તો $h = 10 - 5(\frac{3}{2}) = \frac{5}{2}$. કેન્દ્ર $(\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$ મળે છે,જે મધ્યબિંદુ $M$ છે. આ કિસ્સામાં $AB$ વ્યાસ બને છે,જે શક્ય નથી.
જો $k = \frac{1}{2}$ હોય,તો $h = 10 - 5(\frac{1}{2}) = \frac{15}{2}$. કેન્દ્ર $C = (\frac{15}{2}, \frac{1}{2})$ મળે છે.
ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = CA^2 = (\frac{15}{2} - 2)^2 + (\frac{1}{2} - (-1))^2 = (\frac{11}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 = \frac{121}{4} + \frac{9}{4} = \frac{130}{4} = \frac{65}{2}$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $4x^{2} + 4y^{2} - 12x + 8y + k = 0$ છે. $4$ વડે ભાગતા,$x^{2} + y^{2} - 3x + 2y + k/4 = 0$ મળે.
કેન્દ્ર $(3/2, -1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \frac{\sqrt{13 - k}}{2}$ છે.
$(i)$ બિંદુ $(1, -1/3)$ વર્તુળની અંદર અથવા પર હોવાથી,$S(1, -1/3) \leq 0$ થાય,જે $k \leq 92/9$ આપે છે.
(ii) વર્તુળ ચોથા ચરણમાં હોવા માટે,કેન્દ્રથી અક્ષોનું અંતર ત્રિજ્યા કરતા વધારે હોવું જોઈએ. $x$-અક્ષથી અંતર $1$ છે,તેથી $r \leq 1 \Rightarrow k \geq 9$.
આમ,$k \in (9, 92/9]$.

(C) ધારો કે બાજુ $AB$ ના અંત્યબિંદુઓ $A(1, 2)$ અને $B(3, 6)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $m = \frac{6-2}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $y - 2 = 2(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2x - y = 0$ થાય છે.
આપેલ વ્યાસ $2x - y + 4 = 0$ છે.
ઢાળ સમાન હોવાથી,બાજુ $AB$ વ્યાસને સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓ $2x - y = 0$ અને $2x - y + 4 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|4 - 0|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$ છે.
વર્તુળમાં અંતર્ગત લંબચોરસમાં વ્યાસ એ બાજુ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક હોવાથી,વ્યાસથી બાજુ $AB$ નું અંતર એ બીજી બાજુ $BC$ ની લંબાઈ કરતા અડધું હોય છે.
તેથી,$\frac{BC}{2} = \frac{4}{\sqrt{5}}$,જેનો અર્થ છે કે $BC = \frac{8}{\sqrt{5}}$.
બાજુ $AB$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(3-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
લંબચોરસ $R$ નું ક્ષેત્રફળ $= AB \times BC = (2\sqrt{5}) \times \left(\frac{8}{\sqrt{5}}\right) = 16$.

(D) આપેલ પ્રથમ વર્તુળ $S: x^{2}+y^{2}-2 \sqrt{2} x-6 \sqrt{2} y+14=0$ છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C$ એ $(\sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r_{1} = \sqrt{(\sqrt{2})^{2} + (3\sqrt{2})^{2} - 14} = \sqrt{2 + 18 - 14} = \sqrt{6}$ છે.
બીજું વર્તુળ $S_{1}: (x-2 \sqrt{2})^{2}+(y-2 \sqrt{2})^{2}=r^{2}$ છે,જેનું કેન્દ્ર $O(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ છે.
પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ એ બીજા વર્તુળની જીવા છે. ધારો કે આ જીવા $PQ$ છે. બીજા વર્તુળના કેન્દ્ર $O$ થી પ્રથમ વર્તુળના કેન્દ્ર $C$ સુધીનું અંતર $d = |OC| = \sqrt{(2\sqrt{2}-\sqrt{2})^{2} + (2\sqrt{2}-3\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{(\sqrt{2})^{2} + (-\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{2+2} = 2$ છે.
બીજા વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r)$,કેન્દ્ર $O$ થી જીવા સુધીનું અંતર $(d=2)$,અને પ્રથમ વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r_{1}=\sqrt{6})$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,આપણી પાસે $r^{2} = d^{2} + r_{1}^{2}$ છે.
$r^{2} = 2^{2} + (\sqrt{6})^{2} = 4 + 6 = 10$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} - \sqrt{2}x - \sqrt{2}y = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $f = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^{2} + f^{2} - c} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$ છે.
કારણ કે $\angle BAC = \frac{\pi}{2}$,બાજુ $BC$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
તેથી,$BC = 2r = 2(1) = 2$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC = \sqrt{BC^{2} - AB^{2}} = \sqrt{2^{2} - (\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 1$.

(C) વર્તુળ $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1$ છે જેનું કેન્દ્ર $C(1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે. ધારો કે $Q(t, t^{2})$ એ પરવલય $y=x^{2}$ પરનું બિંદુ છે.
$P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર ત્યારે ન્યૂનતમ હોય જ્યારે $Q$ એ વર્તુળના કેન્દ્ર $C$ માંથી પસાર થતા અભિલંબ પર હોય. આમ,$Q$ આગળ પરવલયનો અભિલંબ કેન્દ્ર $C(1, -1)$ માંથી પસાર થવો જોઈએ.
$Q(t, t^{2})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{T} = 2t$ છે. તેથી અભિલંબનો ઢાળ $m_{N} = -\frac{1}{2t}$ થાય.
રેખા $CQ$ નો ઢાળ $\frac{t^{2}-(-1)}{t-1} = \frac{t^{2}+1}{t-1}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{t^{2}+1}{t-1} = -\frac{1}{2t} \Rightarrow 2t^{3}+3t-1=0$.
ધારો કે $f(t) = 2t^{3}+3t-1$. $f(1/4) < 0$ અને $f(1/2) > 0$ હોવાથી,$t \in (1/4, 1/2)$ મળે છે.
વર્તુળ પરનું બિંદુ $P$ એ રેખા $CQ$ અને વર્તુળનું છેદબિંદુ છે. $P$ નો $x$-યામ $x_P = 1 + \cos \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ રેખા $CQ$ નો ખૂણો છે. ગણતરી કરતા $x_P$ એ $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ અંતરાલમાં મળે છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-x+2y=\frac{11}{4}$ છે.
વર્ગ પૂર્ણ કરતા,$(x-\frac{1}{2})^{2}+(y+1)^{2}=4=2^{2}$ મળે.
આમ,ત્રિજ્યા $r=2$ અને કેન્દ્ર $C(\frac{1}{2}, -1)$ છે.
$\triangle PQR$ માં,$CP=CQ=CR=r=2$.
$C$ માંથી પસાર થતી રેખા $CP$ સાથે $\frac{\pi}{4}$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી $\angle PCQ = \angle PCR = \frac{\pi}{4}$.
$\triangle PCQ$ માં,$CP=CQ=2$ અને $\angle PCQ = \frac{\pi}{4}$.
પાયો $QR = 2r \sin(\frac{\angle QCR}{2}) = 2(2) \sin(\frac{\pi}{4}) = 2\sqrt{2}$.
$P$ થી $QR$ પરનો વેધ $h = r \cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times QR \times h = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{2}) \times \sqrt{2} = 2$.

(C) વર્તુળ $c_{1}$ નું કેન્દ્ર $(1, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_{1} = \sqrt{10-\alpha}$ છે.
રેખા $x-y+1=0$ માં કેન્દ્ર $(1, 3)$ નું પ્રતિબિંબ $(2, 2)$ મળે છે.
વર્તુળ $c_{2}$ નું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+\frac{38}{5}=0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, 2)$ છે.
વર્તુળ $c_{2}$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{4+4-\frac{38}{5}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$ છે.
પ્રતિબિંબમાં ત્રિજ્યા સમાન રહેતી હોવાથી,$r_{1}^{2} = r^{2} \Rightarrow 10-\alpha = \frac{2}{5}$.
તેથી,$\alpha = \frac{48}{5}$.
આમ,$\alpha+6r^{2} = \frac{48}{5} + 6(\frac{2}{5}) = 12$.

(A) ધારો કે વર્તુળ $C_1$ ની ત્રિજ્યા $2a$ છે. કેન્દ્ર $C$ ને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર અને $AB$ ને $X$-અક્ષ પર લો. તેથી $B = (2a, 0)$,$A = (-2a, 0)$,$C = (0, 0)$,અને $D = (-a, 0)$.
$E$ એ $C_1$ પર છે અને $EC \perp AB$ હોવાથી,$E$ ના યામ $(0, 2a)$ છે.
$F$ એ $C_2$ પર છે (વ્યાસ $AC$,કેન્દ્ર $D(-a, 0)$,ત્રિજ્યા $a$) અને $DF \perp AB$ હોવાથી,$F$ ના યામ $(-a, -a)$ છે.
આપણે $\sin \angle FEC$ શોધવાનું છે. ધારો કે $\angle FEC = \theta$.
સદિશ $\vec{EC} = C - E = (0, 0) - (0, 2a) = (0, -2a)$.
સદિશ $\vec{EF} = F - E = (-a, -a) - (0, 2a) = (-a, -3a)$.
$\vec{EC}$ અને $\vec{EF}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{EC} \cdot \vec{EF}}{|\vec{EC}| |\vec{EF}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{EC} \cdot \vec{EF} = (0)(-a) + (-2a)(-3a) = 6a^2$.
$|\vec{EC}| = \sqrt{0^2 + (-2a)^2} = 2a$.
$|\vec{EF}| = \sqrt{(-a)^2 + (-3a)^2} = \sqrt{a^2 + 9a^2} = a\sqrt{10}$.
$\cos \theta = \frac{6a^2}{(2a)(a\sqrt{10})} = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

(B) ગણ $S = \{(x, y) : |x| + 2|y| = 1\}$ એ કાર્તેઝિયન સમતલમાં એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ દર્શાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(1, 0), (-1, 0), (0, 1/2)$ અને $(0, -1/2)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્ર ધરાવતું અને $S$ સાથે અરિક્ત છેદ ધરાવતું સૌથી નાનું વર્તુળ એ આ સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં અંતઃવૃત છે.
આ અંતઃવૃતની ત્રિજ્યા $r$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી સમબાજુ ચતુષ્કોણની કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર છે.
પ્રથમ ચરણમાં આવેલી બાજુ ધ્યાનમાં લો,જે રેખા $x + 2y = 1$ અથવા $x + 2y - 1 = 0$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું લંબ અંતર $r = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$A = 1, B = 2, C = -1$ અને $(x_0, y_0) = (0, 0)$ મૂકતા:
$r = \frac{|1(0) + 2(0) - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(C) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $d_1 = 10$ અને $d_2 = 4$ છે. વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \theta = \frac{1}{2} \times 10 \times 4 \times \sin \theta = 20 \sin \theta$ છે.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ ત્યારે થાય જ્યારે $\sin \theta = 1$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.
જ્યારે વિકર્ણો કાટખૂણે છેદે,ત્યારે તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ બને છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુ $s = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29}$ છે.
પરિમિતિ $P = 4s = 4\sqrt{29}$ છે.
$\sqrt{29} \approx 5.385$ હોવાથી,$P \approx 21.54$,જે $(21, 22]$ અંતરાલમાં આવે છે.

(B) ધારો કે વ્યાસ $AB = x$ છે.
$AB$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle ACB = 90^\circ$ અને $\angle ADB = 90^\circ$ થાય.
$\triangle ACB$ માં,$BC = \sqrt{x^2 - 1}$.
$\triangle ADB$ માં,$AD = \sqrt{x^2 - 9}$.
ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ACDB$ માટે ટોલેમીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$AB \cdot CD + AC \cdot DB = AD \cdot BC$
$x(2) + (1)(3) = \sqrt{x^2 - 9} \cdot \sqrt{x^2 - 1}$
$2x + 3 = \sqrt{(x^2 - 9)(x^2 - 1)}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(2x + 3)^2 = (x^2 - 9)(x^2 - 1)$
$4x^2 + 12x + 9 = x^4 - 10x^2 + 9$
$x^4 - 14x^2 - 12x = 0$
$x \neq 0$ હોવાથી,$x^3 - 14x - 12 = 0$ મળે.
ધારો કે $f(x) = x^3 - 14x - 12$.
$f(4) = -4$.
$f(4.1) = -0.479$.
$f(4.2) = 3.288$.
$f(4.1) < 0$ અને $f(4.2) > 0$ હોવાથી,ઉકેલ $[4.1, 4.2)$ અંતરાલમાં છે.

(D) લંબચોરસ $R$,વર્તુળ $C$ અને ત્રિકોણ $T$ ની પરિમિતિ પર સામાન્ય બિંદુઓની મહત્તમ શક્ય સંખ્યા $6$ છે. આ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ આકારોને એવી રીતે ગોઠવી શકાય છે કે જેથી તેમની સીમાઓ $6$ અલગ-અલગ બિંદુઓ પર છેદે.

(A) ધારો કે પ્રથમ ચરણના પ્રદેશ $R$ માં સમાયેલ સૌથી મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(r, r)$ પર હશે કારણ કે તે પ્રથમ ચરણમાં શક્ય તેટલું મોટું હોવા માટે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેને સ્પર્શતું હોવું જોઈએ.
આ વર્તુળ ડિસ્ક $x^2+y^2 \leq 1$ ની સીમાને પણ આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે,જે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્રિત $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી નાના વર્તુળના કેન્દ્ર $(r, r)$ સુધીનું અંતર $\sqrt{r^2+r^2} = r\sqrt{2}$ છે.
આંતરિક સ્પર્શ માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યાઓના તફાવત જેટલું હોવું જોઈએ: $1 - r = r\sqrt{2}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $1 = r(1+\sqrt{2})$ મળે છે,તેથી $r = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1$.
આ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi(\sqrt{2}-1)^2 = \pi(2 + 1 - 2\sqrt{2}) = \pi(3-2\sqrt{2})$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(0,0)$ છે. $A = (1, 0)$,$B = (\cos \theta, \sin \theta)$,અને $P = (\cos(\theta/2), \sin(\theta/2))$.
$\triangle AOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \sin \theta$ છે.
$\triangle APB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sin(\theta/2)(1 - \cos(\theta/2))$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\frac{1}{2} \sin \theta}{\sin(\theta/2)(1 - \cos(\theta/2))} = \sqrt{5} + 2$.
તેથી,$\frac{\cos(\theta/2)}{1 - \cos(\theta/2)} = \sqrt{5} + 2$.
ઉકેલતા,$\cos(\theta/2) = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ મળે છે.
હવે,$2\theta$ માટે ગુણોત્તર $\frac{\cos \theta}{1 - \cos \theta}$ છે.
$\cos \theta = 2\cos^2(\theta/2) - 1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $= \frac{(\sqrt{5} - 1)/4}{1 - (\sqrt{5} - 1)/4} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(D) આપેલ છે કે $\angle AOB = \theta$ અને ત્રિજ્યા $OF = OA = OB = d$ છે.
$\triangle ODB$ માં,$BD = OB \sin \theta = d \sin \theta$ થાય.
કારણ કે $E$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $ED = \frac{1}{2} BD = \frac{d}{2} \sin \theta$ થાય.
ધારો કે $F$ એ ચાપ $AB$ પરનું બિંદુ છે જેથી $EF \parallel OA$ થાય. ધારો કે $FM \perp OA$ જ્યાં $M$ એ $OA$ પર છે. તેથી $FM = ED = \frac{d}{2} \sin \theta$ થાય.
$\triangle OFM$ માં,$\sin \alpha = \frac{FM}{OF} = \frac{\frac{d}{2} \sin \theta}{d} = \frac{1}{2} \sin \theta$,જ્યાં $\alpha = \angle AOF$ છે.
આમ,$\alpha = \sin^{-1}(\frac{1}{2} \sin \theta)$ મળે.
ચાપ $AF$ ની લંબાઈ $d \alpha$ અને ચાપ $AB$ ની લંબાઈ $d \theta$ છે.
ચાપ $AF$ ની લંબાઈ અને ચાપ $AB$ ની લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{d \alpha}{d \theta} = \frac{\alpha}{\theta} = \frac{\sin^{-1}(\frac{1}{2} \sin \theta)}{\theta}$ થાય.

(B) ધારો કે $O$ એ વર્તુળ $C_1$ નું કેન્દ્ર છે અને $O'$ એ વર્તુળ $C_2$ નું કેન્દ્ર છે. કેન્દ્રોને જોડતી રેખાને $x$-અક્ષ તરીકે લો.
વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $R-r$ છે.
ધારો કે $M$ એ $P$ નો $OO'$ રેખા પરનો પ્રક્ષેપ છે. $l$ એ $C_1$ ને $P$ આગળ સ્પર્શતી હોવાથી,$PM \perp OO'$,તેથી $PM = r$.
ધારો કે $N$ એ $B$ નો $OO'$ રેખા પરનો પ્રક્ષેપ છે. $l$ એ $OO'$ ને સમાંતર હોવાથી,$BN = PM = r$.
$\triangle O'NB$ માં,$O'B = R$ અને $BN = r$.
આપેલ છે કે $R^2 = 2r^2$,તેથી $R = \sqrt{2}r$.
તેથી $O'N = \sqrt{O'B^2 - BN^2} = \sqrt{2r^2 - r^2} = r$.
$O'N = BN = r$ હોવાથી,$\triangle O'NB$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,તેથી $\angle BO'N = 45^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\angle AO'M = 45^{\circ}$.
આમ,$\angle AO'B = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 90^{\circ}$.
જીવા $AB$ દ્વારા કેન્દ્ર $O'$ આગળ બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
તે જ જીવા $AB$ દ્વારા વર્તુળ $C_2$ ના પરિઘ પરના કોઈપણ બિંદુ $O$ આગળ બનતો ખૂણો કેન્દ્ર આગળ બનતા ખૂણા કરતા અડધો હોય છે.
તેથી,$\angle AOB = \frac{1}{2} \angle AO'B = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$.

(B) ધારો કે $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $1$ અને $2$ લંબાઈની જીવાઓ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ ખૂણા બનાવે છે.
ધારો કે $2\theta$ એ $1$ લંબાઈની જીવા દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો છે,અને $2\alpha$ એ $2$ લંબાઈની જીવા દ્વારા કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો છે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{1/2}{r} = \frac{1}{2r}$ અને $\sin \alpha = \frac{1}{r}$ થાય.
કેન્દ્રની આસપાસના ખૂણાઓનો સરવાળો $3(2\theta) + 3(2\alpha) = 360^{\circ}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta + \alpha = 60^{\circ}$.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા,$\cos(\theta + \alpha) = \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$.
સૂત્ર $\cos(\theta + \alpha) = \cos \theta \cos \alpha - \sin \theta \sin \alpha = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\sin \theta = \frac{1}{2r}$ હોવાથી,$\cos \theta = \sqrt{1 - \frac{1}{4r^2}} = \frac{\sqrt{4r^2-1}}{2r}$.
$\sin \alpha = \frac{1}{r}$ હોવાથી,$\cos \alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{r^2}} = \frac{\sqrt{r^2-1}}{r}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\sqrt{4r^2-1}}{2r} \cdot \frac{\sqrt{r^2-1}}{r} - \frac{1}{2r} \cdot \frac{1}{r} = \frac{1}{2}$.
$\frac{\sqrt{(4r^2-1)(r^2-1)}}{2r^2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2r^2} = \frac{r^2+1}{2r^2}$.
$\sqrt{(4r^2-1)(r^2-1)} = r^2+1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(4r^2-1)(r^2-1) = (r^2+1)^2$.
$4r^4 - 5r^2 + 1 = r^4 + 2r^2 + 1$.
$3r^4 = 7r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{7}{3}$.
તેથી,$r = \sqrt{\frac{7}{3}}$.

(B) વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $x^2+y^2=1$ છે.
રેખા $L_t$ એ $(0,1)$ અને $(t,0)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $\frac{x}{t} + \frac{y}{1} = 1$ છે,જે $y = 1 - \frac{x}{t}$ માં પરિણમે છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $x^2 + (1 - \frac{x}{t})^2 = 1$.
$x^2 + 1 - \frac{2x}{t} + \frac{x^2}{t^2} = 1$.
$x^2(1 + \frac{1}{t^2}) = \frac{2x}{t}$.
$x^2(\frac{t^2+1}{t^2}) = \frac{2x}{t} \implies x = 0$ અથવા $x = \frac{2t}{1+t^2}$.
બિંદુ $(0,1)$ એ $x=0$ ને અનુરૂપ છે. બીજું બિંદુ $Q_t$ માટે $x = \frac{2t}{1+t^2}$ છે.
ત્યારબાદ $y = 1 - \frac{2}{1+t^2} = \frac{t^2-1}{t^2+1}$.
ધારો કે $t = \tan \theta$. તો $x = \sin 2\theta$ અને $y = -\cos 2\theta$.
$t \in [1, 1+\sqrt{2}]$ માટે,$\theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{8}]$.
ખૂણો $2\theta$ એ $\frac{\pi}{2}$ થી $\frac{3\pi}{4}$ સુધી બદલાય છે.
ઉગમબિંદુ આગળ આંતરાતો ખૂણો: $\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.