Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Gujarati

(B) $1.$ રેખા $PQ: \sqrt{3}x + y - 6 = 0$ ના બિંદુ $D\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
અભિલંબ $CD$ નું સમીકરણ $y - \frac{3}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(x - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \Rightarrow x - \sqrt{3}y = 0$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $1$ હોવાથી અને કેન્દ્ર $C(h, k)$ એ $PQ$ થી $1$ અંતરે અને $x - \sqrt{3}y = 0$ પર હોવાથી,$C = (\sqrt{3}, 1)$ મળે.
આમ,વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $(x - \sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$ છે. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
$2.$ સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે. રેખાઓ $CE$ અને $CF$ એ $CD$ સાથે અનુક્રમે $120^\circ$ અને $240^\circ$ ના ખૂણા બનાવે છે.
ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરતા,$F = (\sqrt{3}, 0)$ અને $E = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ મળે. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.
$3.$ બાજુ $QR$ એ $E\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $\sqrt{3}$ છે,તેથી $y - \frac{3}{2} = \sqrt{3}\left(x - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \Rightarrow y = \sqrt{3}x$. બાજુ $RP$ એ $F(\sqrt{3}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $0$ છે,તેથી $y = 0$. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 4$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-3, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
$L_1$ જીવા હોવા માટે,કેન્દ્રથી અંતર $2$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
$STATEMENT-1$ સાચું છે કારણ કે $L_2$ હંમેશા વ્યાસ હોતો નથી.
$STATEMENT-2$ ખોટું છે કારણ કે જો $L_1$ વ્યાસ હોય,તો $L_2$ પણ જીવા બની શકે છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2x+4y-p=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x+1)^2+(y+2)^2 = p+5$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{p+5}$ છે.
યામ અક્ષો સાથે બરાબર ત્રણ સામાન્ય બિંદુઓ મેળવવા માટે,વર્તુળ કાં તો એક અક્ષને સ્પર્શતું હોવું જોઈએ અને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતું હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શે છે,ત્યારે $|-2| = \sqrt{p+5} \Rightarrow p = -1$.
કિસ્સો $2$: વર્તુળ $y$-અક્ષને સ્પર્શે છે,ત્યારે $|-1| = \sqrt{p+5} \Rightarrow p = -4$.
કિસ્સો $3$: વર્તુળ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે $p = 0$.
આમ,$p$ ની $3$ શક્ય કિંમતો છે,પરંતુ આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $2$ છે.

(D) ધારો કે $A_1$ અને $A_2$ એ વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ ના કેન્દ્રો છે અને $M$ એ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર છે. $A_1A_2 = 6$ હોવાથી,$A_1P = PA_2 = 3$. $P$ માંથી પસાર થતો સામાન્ય સ્પર્શક $C_1$ ને $B_1$ માં અને $C$ ને $B_2$ માં સ્પર્શે છે. સમપ્રમાણતા મુજબ,તે $C_2$ ને પણ $B_1$ માં સ્પર્શે છે.
$\triangle A_1B_1P$ માં,$\angle A_1B_1P = 90^\circ$. $A_1B_1 = 1$ અને $A_1P = 3$. તેથી,$\sin \alpha = \frac{A_1B_1}{A_1P} = \frac{1}{3}$,જ્યાં $\alpha = \angle A_1PB_1$.
તેથી $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
$\triangle MPB_2$ માં,$\angle MB_2P = 90^\circ$. $MP = r + 1$. $\angle MPB_2 = 90^\circ - \alpha$. તેથી,$\cos \alpha = \frac{r}{r+1} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $r = 8$ મળે છે.

(C) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 2$ લો. કેન્દ્ર આગળ $\theta$ ખૂણો આંતરતી જીવાનું કેન્દ્રથી અંતર $d = r \cos(\theta/2)$ છે.
બે જીવાઓ માટે,આંતરેલા ખૂણા $\theta_1 = \frac{\pi}{k}$ અને $\theta_2 = \frac{2\pi}{k}$ છે.
કેન્દ્રથી આ જીવાઓનું અંતર $d_1 = 2 \cos(\frac{\pi}{2k})$ અને $d_2 = 2 \cos(\frac{\pi}{k})$ છે.
બંને જીવાઓ કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુએ હોય તો અંતર $d_1 + d_2 = \sqrt{3} + 1$ થાય.
$2 \cos(\frac{\pi}{2k}) + 2 \cos(\frac{\pi}{k}) = \sqrt{3} + 1$.
$\theta = \frac{\pi}{k}$ લેતા,$2 \cos(\frac{\theta}{2}) + 2 \cos(\theta) = \sqrt{3} + 1$.
$k=3$ માટે,$\cos(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
તેથી,$2(\frac{\sqrt{3}+1}{2}) = \sqrt{3}+1$. આમ $k=3$ મળે છે.
$[k] = [3] = 3$.

(B) ધારો કે વર્તુળ $C: x^2 + y^2 - 6 = 0$ છે અને રેખા $L: 2x - 3y - 1 = 0$ છે.
પ્રથમ,તપાસો કે કયા બિંદુઓ વર્તુળ $x^2 + y^2 \leq 6$ ની અંદર છે:
$1$. $(2, 3/4)$ માટે: $2^2 + (3/4)^2 = 4 + 9/16 = 73/16 = 4.5625 < 6$ (અંદર).
$2$. $(5/2, 3/4)$ માટે: $(5/2)^2 + (3/4)^2 = 25/4 + 9/16 = 109/16 = 6.8125 > 6$ (બહાર).
$3$. $(1/4, -1/4)$ માટે: $(1/4)^2 + (-1/4)^2 = 1/16 + 1/16 = 2/16 = 0.125 < 6$ (અંદર).
$4$. $(1/8, 1/4)$ માટે: $(1/8)^2 + (1/4)^2 = 1/64 + 1/16 = 5/64 = 0.078 < 6$ (અંદર).
હવે,તપાસો કે આ બિંદુઓ રેખા $L(x, y) = 2x - 3y - 1$ ની કઈ બાજુએ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ લેતા $L(0, 0) = -1 < 0$ મળે છે. નાનો ભાગ તે છે જેમાં કેન્દ્ર નથી.
$1$. $(2, 3/4)$ માટે: $L = 2(2) - 3(3/4) - 1 = 4 - 9/4 - 1 = 0.75 > 0$.
$2$. $(1/4, -1/4)$ માટે: $L = 2(1/4) - 3(-1/4) - 1 = 0.25 > 0$.
$3$. $(1/8, 1/4)$ માટે: $L = 2(1/8) - 3(1/4) - 1 = -1.5 < 0$.
આમ,$L > 0$ હોય તેવા $2$ બિંદુઓ નાના ભાગમાં છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $(x-3)^2+(y+2)^2=25$ છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $C(3, -2)$ છે.
ધારો કે $R$ એ જીવા $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. $R$ એ રેખા $y=mx+1$ પર આવેલું હોવાથી,તેના યામ $(x_R, mx_R+1)$ છે. આપેલ છે કે $x_R = -\frac{3}{5}$,તેથી $y_R = m(-\frac{3}{5}) + 1 = \frac{-3m+5}{5}$.
આમ,$R = (-\frac{3}{5}, \frac{-3m+5}{5})$.
રેખાખંડ $CR$ એ જીવા $PQ$ ને લંબ છે. $PQ$ નો ઢાળ $m$ છે,તેથી $CR$ નો ઢાળ $-\frac{1}{m}$ હોવો જોઈએ.
$CR$ નો ઢાળ $= \frac{y_R - (-2)}{x_R - 3} = \frac{\frac{-3m+5}{5} + 2}{-\frac{3}{5} - 3} = \frac{-3m+5+10}{-3-15} = \frac{-3m+15}{-18} = \frac{m-5}{6}$.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{m-5}{6} = -\frac{1}{m}$.
$m(m-5) = -6 \Rightarrow m^2 - 5m + 6 = 0$.
$(m-2)(m-3) = 0$,તેથી $m=2$ અથવા $m=3$.
બંને કિંમતો $m=2$ અને $m=3$ એ શરત $2 \leq m < 4$ નું પાલન કરે છે.

(A) બિંદુ $A(2,3)$ નું રેખા $8x-6y-23=0$ થી અંતર $d = \frac{|8(2)-6(3)-23|}{\sqrt{8^2+(-6)^2}} = \frac{|-25|}{10} = 2.5 = \frac{5}{2}$ છે.
$B$ એ $A$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,$AB = 2d = 5$ થાય.
વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ $r_A = 2$ અને $r_B = 1$ છે.
સામાન્ય સ્પર્શક માટે,$\frac{CA}{CB} = \frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{1}$ થાય.
તેથી $CA = 2CB$ અને $CA = CB + AB$ હોવાથી,$CA = \frac{CA}{2} + 5$ મળે.
આમ,$\frac{CA}{2} = 5$,એટલે કે $CA = 10$.

(B) ધારો કે $\triangle OPQ$ ના પરિવર્તુળનું કેન્દ્ર $C(h, k)$ છે.
$O(0, 0)$ એ ત્રિકોણનું શિરોબિંદુ હોવાથી,પરિવર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
જીવા $PQ$ નું સમીકરણ $2x + 4y = 5$ છે.
$OC$ રેખા $PQ$ ને લંબ છે અને $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $OC$ પર આવેલું છે.
$PQ$ નો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
તેથી $OC$ નો ઢાળ $2$ છે.
$OC$ રેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = 2x$ છે.
કેન્દ્ર $C(h, k)$ એ $y = 2x$ પર આવેલું છે,તેથી $k = 2h$.
વળી,$C(h, k)$ એ રેખા $x + 2y = 4$ પર આવેલું છે.
$k = 2h$ ને $x + 2y = 4$ માં મૂકતા,$h + 2(2h) = 4 \Rightarrow 5h = 4 \Rightarrow h = \frac{4}{5}$.
તેથી,$k = 2(\frac{4}{5}) = \frac{8}{5}$,એટલે કે $C = (\frac{4}{5}, \frac{8}{5})$.
$C$ એ $\triangle OPQ$ નું પરિકેન્દ્ર હોવાથી,$CO = CP = CQ = r_{circum}$.
$CO^2 = (\frac{4}{5})^2 + (\frac{8}{5})^2 = \frac{16+64}{25} = \frac{80}{25} = \frac{16}{5}$.
$C(\frac{4}{5}, \frac{8}{5})$ થી રેખા $2x + 4y - 5 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|2(\frac{4}{5}) + 4(\frac{8}{5}) - 5|}{\sqrt{2^2 + 4^2}} = \frac{3}{\sqrt{20}}$.
$\triangle CPQ$ માં,$CP^2 = d^2 + PM^2$. $PM^2 = r^2 - OM^2$.
$OM = \frac{|-5|}{\sqrt{20}} = \frac{5}{\sqrt{20}}$.
$PM^2 = r^2 - \frac{25}{20} = r^2 - \frac{5}{4}$.
$CP^2 = \frac{9}{20} + r^2 - \frac{5}{4} = r^2 - \frac{16}{20} = r^2 - \frac{4}{5}$.
$\frac{16}{5} = r^2 - \frac{4}{5} \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = 2$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે. એક શિરોબિંદુ $A$ એ $x$-અક્ષ $(y=0)$ અને રેખા $x+y+1=0$ નું છેદબિંદુ છે,જે $A(-1,0)$ આપે છે.
ધારો કે શિરોબિંદુ $B$ એ રેખા $x+y+1=0$ પર છે,તેથી $B(\alpha, -\alpha-1)$.
$B$ માંથી $AC$ ($x$-અક્ષ પર) પરનો વેધ એ $H(1,1)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x=1$ છે. $B$ આ રેખા પર હોવાથી,$\alpha=1$,તેથી $B(1,-2)$.
ધારો કે શિરોબિંદુ $C$ એ $x$-અક્ષ પર છે,તેથી $C(\beta, 0)$.
$A(-1,0)$ માંથી $BC$ પરનો વેધ $H(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે. $AH$ નો ઢાળ $m_{AH} = \frac{1-0}{1-(-1)} = \frac{1}{2}$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{-2-0}{1-\beta} = \frac{2}{\beta-1}$ છે.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$m_{AH} \cdot m_{BC} = -1$ $\Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\beta-1} = -1$ $\Rightarrow \beta-1 = -1$ $\Rightarrow \beta=0$. તેથી $C(0,0)$.
શિરોબિંદુઓ $A(-1,0)$,$B(1,-2)$,અને $C(0,0)$ છે.
પરિવર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+gx+fy+c=0$ છે. તે $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$c=0$.
$(-1,0)$ માંથી પસાર થતા: $1-g=0 \Rightarrow g=1$.
$(1,-2)$ માંથી પસાર થતા: $1+4+g-2f=0$ $\Rightarrow 5+1-2f=0$ $\Rightarrow 2f=6$ $\Rightarrow f=3$.
સમીકરણ $x^2+y^2+x+3y=0$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળ $(x-h)^2 + y^2 = r^2$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(h, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ $R$ માં સમાયેલ હોવાથી,તે પરવલય $y^2 = 4-x$ ને કોઈ બિંદુ $(\alpha, \beta)$ પર સ્પર્શતું હોવું જોઈએ.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^2 = 4-x$ મૂકતા: $(x-h)^2 + 4-x = r^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - (2h+1)x + (h^2+4-r^2) = 0$ થાય છે.
સ્પર્શક હોવા માટે,વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $D = (2h+1)^2 - 4(h^2+4-r^2) = 0$.
$4h^2 + 4h + 1 - 4h^2 - 16 + 4r^2 = 0 \Rightarrow 4h + 4r^2 = 15 \Rightarrow h = \frac{15-4r^2}{4}$.
વળી,વર્તુળ $x \geq 0$ માં સમાયેલ હોવું જોઈએ,તેથી ડાબું બિંદુ $h-r \geq 0 \Rightarrow h \geq r$.
$h$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{15-4r^2}{4} \geq r \Rightarrow 15-4r^2 \geq 4r \Rightarrow 4r^2 + 4r - 15 \leq 0$.
$4r^2 + 4r - 15 = 0$ ઉકેલતા: $r = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(4)(-15)}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{8} = \frac{-4 \pm 16}{8}$.
$r > 0$ હોવાથી,$r = \frac{12}{8} = 1.5$.
$r = 1.5$ માટે,$h = \frac{15 - 4(2.25)}{4} = \frac{15-9}{4} = 1.5$.
વર્તુળ $(x-1.5)^2 + y^2 = 2.25$ છે. $y^2 = 4-x$ સાથે છેદબિંદુ: $(x-1.5)^2 + 4-x = 2.25 \Rightarrow x^2 - 3x + 2.25 + 4 - x = 2.25 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow \alpha = 2$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને $(3, 0)$ અથવા $(-3, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(\pm 3, -f)$ છે અને ત્રિજ્યા $|f|$ છે.
$x$-અક્ષને સ્પર્શવાની શરત મુજબ $g^2 = c$ છે.
કેન્દ્રનો $x$-યામ $3$ અથવા $-3$ હોવાથી,$g = -3$ અથવા $g = 3$ મળે,તેથી $g^2 = 9$ અને $c = 9$ મળે.
$y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2 \sqrt{f^2 - c} = 2 \sqrt{7}$ છે,તેથી $f^2 - c = 7$.
$c = 9$ મૂકતા,$f^2 - 9 = 7$,એટલે કે $f^2 = 16$,તેથી $f = \pm 4$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x \pm 8y + 9 = 0$ મળે.
તેથી,સાચા વર્તુળો $x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0$ અને $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$ છે.

(B) ને $(0,0)$,$B$ ને $(1,0)$,અને $C$ ને $(0,3)$ પર મૂકો.
$\triangle ABC$ ના પરિવર્તુળનો વ્યાસ $BC$ છે. કેન્દ્ર $C_1$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$.
પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{1^2+3^2}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તે $AB$ $(y=0)$ અને $AC$ $(x=0)$ ને પ્રથમ ચરણમાં સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $C_2 = (r, r)$ છે.
નાનું વર્તુળ પરિવર્તુળને અંદરની તરફ સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_2 = R - r$ હોવું જોઈએ.
$C_1 C_2^2 = (r - \frac{1}{2})^2 + (r - \frac{3}{2})^2 = (R - r)^2 = (\frac{\sqrt{10}}{2} - r)^2$.
$r^2 - 4r + \sqrt{10}r = 0$.
$r > 0$ હોવાથી,$r = 4 - \sqrt{10} \approx 0.838$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,$r \approx 0.84$.

(D) $n$ વર્તુળો $G_i$ ના કેન્દ્રો $2r$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતો નિયમિત બહુકોણ બનાવે છે. $G$ ના કેન્દ્રથી કોઈપણ $G_i$ ના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $R+r$ છે.
$G$ ના કેન્દ્ર અને બે નજીકના વર્તુળો $G_i$ અને $G_{i+1}$ ના કેન્દ્રો દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને,આપણને મળે છે:
$\sin(\frac{\pi}{n}) = \frac{r}{R+r}$
$\frac{R+r}{r} = \operatorname{cosec}(\frac{\pi}{n}) \implies R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{n}) - 1)$.
$(A)$ $n=4$ માટે,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{4}) - 1) = r(\sqrt{2}-1)$. આમ,$(\sqrt{2}-1)r = R$. તેથી $(\sqrt{2}-1)r < R$ વિધાન $FALSE$ છે.
$(B)$ $n=5$ માટે,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{5}) - 1)$. $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{5}) \approx 1.701$ હોવાથી,$R \approx 0.701r$,એટલે કે $r > R$. તેથી $r < R$ વિધાન $FALSE$ છે.
$(C)$ $n=8$ માટે,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{8}) - 1)$. $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{8}) > \operatorname{cosec}(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$ હોવાથી,$R > r(\sqrt{2}-1)$,જેનો અર્થ છે કે $(\sqrt{2}-1)r < R$. આ $TRUE$ છે.
$(D)$ $n=12$ માટે,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{12}) - 1)$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{12}) = \sqrt{2}(\sqrt{3}+1) \approx 3.86$. આમ $R = r(\sqrt{2}(\sqrt{3}+1) - 1)$. સ્પષ્ટપણે,$\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)r > R$. આ $TRUE$ છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $C$ અને $D$ છે.

(D) વર્તુળ $x$-અક્ષને $(a, 0)$ પર સ્પર્શે છે અને $x$-અક્ષની નીચે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(a, -r)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે,જ્યાં $r > 0$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - a)^2 + (y + r)^2 = r^2$ છે,જેનું સાદુંરૂપ $x^2 + y^2 - 2ax + 2ry + a^2 = 0$ થાય છે.
આને $x^2 + y^2 - \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2a$,$\beta = 2r$,અને $\gamma = a^2$ મળે છે.
વર્તુળ $y$-અક્ષ પર $b$ લંબાઈનો અંતઃખંડ કાપે છે. સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા,$y^2 + \beta y + \gamma = 0$ મળે છે. જેના બીજ $y_1, y_2$ છે અને $|y_1 - y_2| = b$.
બીજના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|y_1 - y_2| = \sqrt{\beta^2 - 4\gamma} = b$,તેથી $b^2 = \beta^2 - 4\gamma$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(2a, b^2)$ એ $(\alpha, \beta^2 - 4\gamma)$ બરાબર છે.

(B) રેખા $AB$ એ $x+y=1$ છે. $AB$ નો ઢાળ $-1$ છે. $AB$ ને લંબ અને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા (કારણ કે $AB$ નું મધ્યબિંદુ $y=x$ રેખા પર છે) $y=x$ છે.
$y=x$ ને $x^2+y^2=4$ સાથે ઉકેલતા,આપણને $2x^2=4$ મળે છે,તેથી $x^2=2$,$x=\pm \sqrt{2}$. આમ,$C=(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ અને $D=(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.
જીવા $CD$ ની લંબાઈ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે,જે $2r = 2(2) = 4$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી જીવા $AB$ નું અંતર $d = \frac{|0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ $2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{4-\frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{14}$ છે.
કારણ કે $CD$ એ $AB$ ને લંબ છે,ચતુષ્કોણ $ADBC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{વિકર્ણ}_1 \times \text{વિકર્ણ}_2 = \frac{1}{2} \times AB \times CD = \frac{1}{2} \times \sqrt{14} \times 4 = 2\sqrt{14}$ થાય.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(h, k)$ છે. વર્તુળ $A(4, 2)$ અને $B(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $AB$ નો લંબદ્વિભાજક કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થશે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M(\frac{4+0}{2}, \frac{2+2}{2}) = (2, 2)$ છે.
$A$ અને $B$ ના $y$-યામ સમાન હોવાથી,$AB$ એક આડી રેખા છે. તેનો લંબદ્વિભાજક શિરોલંબ રેખા $x = 2$ છે.
તેથી,કેન્દ્રનો $x$-યામ $h = 2$ છે.
કેન્દ્ર $3x + 2y + 2 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,$x = 2$ મૂકતા:
$3(2) + 2k + 2 = 0$ $\Rightarrow 6 + 2k + 2 = 0$ $\Rightarrow 2k = -8$ $\Rightarrow k = -4$.
આમ,કેન્દ્ર $O(2, -4)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $O(2, -4)$ થી $A(4, 2)$ સુધીનું અંતર છે:
$r^2 = (4 - 2)^2 + (2 - (-4))^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40$.
જીવાનું મધ્યબિંદુ $N(1, 2)$ છે. કેન્દ્ર $O(2, -4)$ થી $N(1, 2)$ સુધીનું અંતર $ON$ છે:
$ON^2 = (1 - 2)^2 + (2 - (-4))^2 = (-1)^2 + 6^2 = 1 + 36 = 37$.
જીવાની લંબાઈ $2 \sqrt{r^2 - ON^2} = 2 \sqrt{40 - 37} = 2 \sqrt{3}$ છે.

(A) રેખાઓ $x+y=3$ અને $x-y=3$ એ $(3, 0)$ માં છેદે છે. આ રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજકો $y=0$ અને $x=3$ છે. વર્તુળો બંને રેખાઓને સ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો ખૂણાના દ્વિભાજક $y=0$ પર હોવા જોઈએ. ધારો કે કેન્દ્ર $(a, 0)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(a, 0)$ થી રેખા $x+y-3=0$ નું લંબ અંતર છે,તેથી $r = \frac{|a+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|a-3|}{\sqrt{2}}$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x-a)^2 + y^2 = r^2 = \frac{(a-3)^2}{2}$ છે.
વર્તુળ $(-9, 4)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$(-9-a)^2 + 4^2 = \frac{(a-3)^2}{2}$ મળે.
$2((a+9)^2 + 16) = (a-3)^2$
$2(a^2 + 18a + 81 + 16) = a^2 - 6a + 9$
$2a^2 + 36a + 194 = a^2 - 6a + 9$
$a^2 + 42a + 185 = 0$
$(a+37)(a+5) = 0$
આમ,$a = -37$ અથવા $a = -5$.
$a = -37$ માટે,$r_1 = \frac{|-37-3|}{\sqrt{2}} = \frac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}$,તેથી $r_1^2 = 800$.
$a = -5$ માટે,$r_2 = \frac{|-5-3|}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$,તેથી $r_2^2 = 32$.
ત્રિજ્યાઓના વર્ગોનો તફાવત $|800 - 32| = 768$ થાય.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(4,6), B(-1,5), C(0,0)$ અને $D(k, 3k)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{5-6}{-1-4} = \frac{1}{5}$ અને $BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{5-0}{-1-0} = -5$ છે.
$m_{AB} \cdot m_{BC} = -1$ હોવાથી,$\angle ABC = 90^\circ$ થાય.
તેથી,$AC$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે. વ્યાસ $AC$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-4)(x-0) + (y-6)(y-0) = 0$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$ છે.
બિંદુ $D(k, 3k)$ વર્તુળ પર હોવાથી,$k^2 + (3k)^2 - 4k - 6(3k) = 0$.
$10k^2 - 22k = 0 \implies k = \frac{11}{5}$ (કારણ કે $k \neq 0$).
વર્તુળનું કેન્દ્ર $AC$ નું મધ્યબિંદુ $(2, 3)$ છે. ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = (2-0)^2 + (3-0)^2 = 13$ છે.
તેથી,$10k + r^2 = 10(\frac{11}{5}) + 13 = 22 + 13 = 35$.

(C) વર્તુળ $C_1$ ત્રીજા ચરણમાં છે,તેની ત્રિજ્યા $r_1 = 3$ છે અને તે બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $A(-3, -3)$ છે.
$C_1$ નું સમીકરણ $(x+3)^2 + (y+3)^2 = 3^2$ છે.
$C_2$ નું કેન્દ્ર $B(1, 3)$ છે. ધારો કે $C_2$ ની ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
કેન્દ્રો $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,$AB = r_1 + r_2$. તેથી,$2\sqrt{13} = 3 + r_2$,જે આપણને $r_2 = 2\sqrt{13} - 3$ આપે છે.
સ્પર્શબિંદુ $P(\alpha, \beta)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $r_1 : r_2 = 3 : (2\sqrt{13} - 3)$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = \frac{r_1 x_B + r_2 x_A}{r_1 + r_2} = \frac{3(1) + (2\sqrt{13} - 3)(-3)}{2\sqrt{13}} = \frac{3 - 6\sqrt{13} + 9}{2\sqrt{13}} = \frac{12 - 6\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} - 3$.
$\beta = \frac{r_1 y_B + r_2 y_A}{r_1 + r_2} = \frac{3(3) + (2\sqrt{13} - 3)(-3)}{2\sqrt{13}} = \frac{9 - 6\sqrt{13} + 9}{2\sqrt{13}} = \frac{18 - 6\sqrt{13}}{2\sqrt{13}} = \frac{9}{\sqrt{13}} - 3$.
હવે,$\beta - \alpha = (\frac{9}{\sqrt{13}} - 3) - (\frac{6}{\sqrt{13}} - 3) = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
તેથી,$(\beta - \alpha)^2 = (\frac{3}{\sqrt{13}})^2 = \frac{9}{13}$.
અહીં,$m = 9$ અને $n = 13$ છે. $\operatorname{gcd}(9, 13) = 1$ હોવાથી,$m + n = 9 + 13 = 22$.

(B) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2+2x+2y-3=0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને $(x+1)^2+(y+1)^2=5$ મળે છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{5}$ છે.
કેન્દ્ર $C(-1, -1)$ થી રેખા $2x+y+13=0$ નું અંતર $d = \frac{|2(-1) + (-1) + 13|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-2-1+13|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$ છે.
વર્તુળ પરના બિંદુનું રેખાથી મહત્તમ અંતર $d + r$ થાય.
તેથી,$\lambda_{max} = 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે અને તે $A(2, 4)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ એ ઉગમબિંદુથી $A$ સુધીનું અંતર છે:
$R = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
વર્તુળમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર એક જ હોય છે.
મધ્યકેન્દ્રથી શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર એ પરિત્રિજ્યા $R$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા મધ્યકેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને તેની કુલ લંબાઈ $L = \frac{3}{2}R$ છે.
$R = 2\sqrt{5}$ મૂકતા:
$L = \frac{3}{2} \times 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$ એકમ.

(B) આપણી પાસે રેખા $y = x$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x = 0$ નું સમીકરણ છે.
આપેલ રેખા અને વર્તુળના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y = x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + x^2 - 2x = 0$
$2x^2 - 2x = 0$
$2x(x - 1) = 0$
$x = 0, 1$
જ્યારે $x = 0$ હોય ત્યારે $y = 0$; જ્યારે $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 1$.
આમ,વ્યાસ $AB$ ના અંત્યબિંદુઓના યામ $(0, 0)$ અને $(1, 1)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
બિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(1, 1)$ મૂકતા:
$(x - 0)(x - 1) + (y - 0)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + y(y - 1) = 0$
$x^2 - x + y^2 - y = 0$
$x^2 + y^2 - x - y = 0$

(C) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1, 2)$ અને વર્તુળ પરના બિંદુ $(4, 6)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $r = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2}$
$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ એકમ.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A = \pi (5)^2 = 25 \pi$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-14x-10y-151=0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-7$,$f=-5$,અને $c=-151$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (7, 5)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-7)^2+(-5)^2-(-151)} = \sqrt{49+25+151} = \sqrt{225} = 15$ છે.
બિંદુ $P(2, -7)$ અને કેન્દ્ર $C(7, 5)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(7-2)^2 + (5-(-7))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$ છે.
અંતર $d=13$ એ ત્રિજ્યા $r=15$ કરતા ઓછું હોવાથી,બિંદુ $P$ વર્તુળની અંદર આવેલું છે.
વર્તુળની અંદરના બિંદુ માટે,વર્તુળથી લઘુત્તમ અંતર $r-d = 15-13 = 2$ અને મહત્તમ અંતર $r+d = 15+13 = 28$ થાય છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ છે.
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -2$,$f = -1$,અને $c = -20$ મળે છે.
કેન્દ્ર $C = (-g, -f) = (2, 1)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 - (-20)} = \sqrt{4 + 1 + 20} = \sqrt{25} = 5$.
અંતર $AC = \sqrt{(10 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
લઘુત્તમ અંતર $AM = AC - r = 10 - 5 = 5$.
$MM'$ એ વ્યાસ હોવાથી,$M'$ એ $A$ થી સૌથી દૂરનું બિંદુ છે.
મહત્તમ અંતર $AM' = AC + r = 10 + 5 = 15$.
આમ,લંબાઈ $5$ અને $15$ એકમ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 - 2x + y^2 - 4y = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{5}$ છે.
રેખા $x - 2y - m = 0$ વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,કેન્દ્ર $(1, 2)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
અંતર $d = \frac{|1 - 2(2) - m|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-3 - m|}{\sqrt{5}} = \frac{|m + 3|}{\sqrt{5}}$.
$d < r$ લેતા,$\frac{|m + 3|}{\sqrt{5}} < \sqrt{5}$.
$|m + 3| < 5$.
$-5 < m + 3 < 5$.
$-8 < m < 2$.
$m \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$m$ ના શક્ય મૂલ્યો $\{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\}$ છે.
આમ,કુલ મૂલ્યોની સંખ્યા $9$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: 3x - 4y + 4 = 0$ અને $L_2: 6x - 8y - 7 = 0$ છે.
$L_2$ ને $3x - 4y - \frac{7}{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાઓ સમાંતર છે અને વર્તુળના સ્પર્શકો છે,તેથી તેમની વચ્ચેનું અંતર વર્તુળના વ્યાસ $D$ જેટલું થાય.
$D = \frac{|4 - (-7/2)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|4 + 3.5|}{5} = \frac{7.5}{5} = 1.5$.
વ્યાસ $D = 1.5$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{D}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 = \frac{3}{4}$ એકમ થાય.

(B) બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-\alpha}{\cos \theta} = \frac{y-\beta}{\sin \theta} = k$ છે,જ્યાં $k$ એ $P$ થી રેખા પરના કોઈપણ બિંદુનું અંતર દર્શાવે છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\alpha + k \cos \theta, \beta + k \sin \theta)$ છે.
આ બિંદુ વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ પર હોવાથી:
$(\alpha + k \cos \theta)^{2} + (\beta + k \sin \theta)^{2} = r^{2}$
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$k^{2} + 2k(\alpha \cos \theta + \beta \sin \theta) + (\alpha^{2} + \beta^{2} - r^{2}) = 0$
આ $k$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. ધારો કે તેના બીજ $k_{1}$ અને $k_{2}$ છે,જે $PA$ અને $PB$ ની લંબાઈ દર્શાવે છે.
બીજનો ગુણાકાર $PA \cdot PB = k_{1}k_{2}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણના અચળ પદ જેટલો થાય છે:
$PA \cdot PB = \alpha^{2} + \beta^{2} - r^{2}$.

(A) સ્પર્શબિંદુ એ કેન્દ્ર $(-1, 1)$ માંથી રેખા $x + 2y + 4 = 0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(h, k)$ છે.
કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને આપેલી રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $2$ છે (કારણ કે $x + 2y + 4 = 0$ નો ઢાળ $-1/2$ છે).
આ લંબ રેખાનું સમીકરણ $y - 1 = 2(x + 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 2x + 3$ થાય છે.
$y = 2x + 3$ ને આપેલ રેખાના સમીકરણ $x + 2(2x + 3) + 4 = 0$ માં મૂકતા:
$x + 4x + 6 + 4 = 0$
$5x + 10 = 0$
$x = -2$.
$x = -2$ ને $y = 2x + 3$ માં મૂકતા:
$y = 2(-2) + 3 = -1$.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(-2, -1)$ છે.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2-x=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (\frac{1}{2}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 0^2 - 0} = \frac{1}{2}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+x=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-\frac{1}{2}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + 0^2 - 0} = \frac{1}{2}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2} = 1$ છે.
ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો $r_1 + r_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ છે.
અહીં $C_1C_2 = r_1 + r_2$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે,ત્યારે સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $3$ હોય છે.

(A) ધારો કે વર્તુળ $x^{2} + y^{2} - 6x + 2y - 54 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $O(3, -1)$ છે.
ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ છે.
$OM$ એ જીવા $2x - 5y + 18 = 0$ ને લંબ છે,તેથી $OM$ નો ઢાળ રેખાના ઢાળનો વિરોધી વ્યસ્ત થાય.
રેખા $2x - 5y + 18 = 0$ નો ઢાળ $m = \frac{2}{5}$ છે.
તેથી,$OM$ નો ઢાળ $-\frac{5}{2}$ થાય.
$OM$ નો ઢાળ $\frac{k + 1}{h - 3}$ પણ થાય.
સરખાવતા: $\frac{k + 1}{h - 3} = -\frac{5}{2} \Rightarrow 5h + 2k = 13$.
$M(h, k)$ રેખા પર હોવાથી,$2h - 5k = -18$.
સમીકરણો ઉકેલતા $h = 1$ અને $k = 4$ મળે છે.
આમ,મધ્યબિંદુ $(1, 4)$ છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-4x-10y+25=0$ છે.
આને વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $C = (2, 5)$ મળે છે.
ધારો કે $M(1, 2)$ એ જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
જીવા એ બિંદુ $M$ પર ત્રિજ્યા $CM$ ને લંબ હોય છે.
$CM$ નો ઢાળ $m_{CM} = \frac{2-5}{1-2} = \frac{-3}{-1} = 3$ છે.
જીવા $AB$ એ $CM$ ને લંબ હોવાથી,જીવા $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = -\frac{1}{m_{CM}} = -\frac{1}{3}$ થાય.
બિંદુ $M(1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $-\frac{1}{3}$ ઢાળ ધરાવતી જીવાનું સમીકરણ:
$y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 1)$
$3(y - 2) = -(x - 1)$
$3y - 6 = -x + 1$
$x + 3y = 7$.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2=9$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 3$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2\alpha x+2y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (-\alpha, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{\alpha^2+1-1} = |\alpha|$ છે.
વર્તુળો આંતરિક રીતે સ્પર્શતા હોવાથી,$C_1C_2 = |r_1 - r_2|$.
$C_1C_2 = \sqrt{\alpha^2 + 1}$.
તેથી,$\sqrt{\alpha^2 + 1} = |3 - |\alpha||$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\alpha^2 + 1 = 9 + \alpha^2 - 6|\alpha|$.
$6|\alpha| = 8 \Rightarrow |\alpha| = \frac{4}{3}$.
તેથી,$\alpha^3 = \frac{64}{27}$.

(D) પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2+8x-6y-24=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-4, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 7$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-4x+10y+20=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (2, -5)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_2 = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2} = 10$ છે.
અહીં $C_1 C_2 = r_1 + r_2 = 10$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બાહ્ય રીતે સ્પર્શે છે.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2-6x-14y+48=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1$ એ $(3, 7)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{3^2+7^2-48} = \sqrt{10}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-6x=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2$ એ $(3, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3-3)^2+(7-0)^2} = 7$ છે.
અહીં $r_1 + r_2 = \sqrt{10} + 3 \approx 6.16$ છે.
તેથી $d > r_1 + r_2$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાથી અલગ છે.
આમ,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $4$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-10x=0$ છે.
$y=2x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+(2x)^2-10x=0$
$x^2+4x^2-10x=0$
$5x^2-10x=0$
$5x(x-2)=0$
તેથી,$x=0$ અથવા $x=2$.
જો $x=0$,તો $y=2(0)=0$. જો $x=2$,તો $y=2(2)=4$.
જીવાના અંત્યબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(2,4)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ છે.
બિંદુઓ $(0,0)$ અને $(2,4)$ મૂકતા:
$(x-0)(x-2)+(y-0)(y-4)=0$
$x(x-2)+y(y-4)=0$
$x^2-2x+y^2-4y=0$
$x^2+y^2-2x-4y=0$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ $A(5,7)$,$B(2,-2)$ અને $C(-2,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
કેન્દ્રથી દરેક બિંદુનું અંતર $r$ હોવાથી,$r^2 = (h-2)^2 + (k+2)^2 = (h+2)^2 + k^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $h^2 - 4h + 4 + k^2 + 4k + 4 = h^2 + 4h + 4 + k^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$-8h + 4k = -4$,એટલે કે $2h - k = 1$ $(1)$.
તે જ રીતે,$(h-5)^2 + (k-7)^2 = (h+2)^2 + k^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $h^2 - 10h + 25 + k^2 - 14k + 49 = h^2 + 4h + 4 + k^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$-14h - 14k = -70$,એટલે કે $h + k = 5$ $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,$3h = 6$,તેથી $h = 2$. $h=2$ ને $(2)$ માં મૂકતા,$k = 3$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(2, 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(2, 3)$ થી $(-2, 0)$ સુધીનું અંતર છે:
$r = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ એકમ.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
વર્તુળ બિંદુઓ $(0,0), (x,0)$ અને $(0,y)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,કેન્દ્રથી દરેક બિંદુનું અંતર ત્રિજ્યા $R$ જેટલું થાય.
$h^2 + k^2 = (h-x)^2 + k^2 = h^2 + (k-y)^2$
$h^2 + k^2 = (h-x)^2 + k^2$ પરથી,$h^2 = h^2 - 2hx + x^2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2hx = x^2$,તેથી $h = \frac{x}{2}$.
$h^2 + k^2 = h^2 + (k-y)^2$ પરથી,$k^2 = k^2 - 2ky + y^2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2ky = y^2$,તેથી $k = \frac{y}{2}$.
આમ,કેન્દ્રના યામ $\left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)$ છે.

(A) આપેલ છે કે,વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(3,4)$ છે.
વર્તુળ $5x+12y-11=0$ રેખાને સ્પર્શે છે,તેથી વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(3,4)$ થી રેખા પરના લંબ અંતર જેટલી થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax+by+c=0$ પરના લંબ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$r = \frac{|5(3)+12(4)-11|}{\sqrt{5^2+12^2}}$
$r = \frac{|15+48-11|}{\sqrt{25+144}}$
$r = \frac{|52|}{\sqrt{169}}$
$r = \frac{52}{13} = 4$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \pi(4)^2 = 16\pi$ ચોરસ એકમ.

(B) રેખાનું સમીકરણ $x + y - 1 = 0$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ લેતા,તેનું કેન્દ્ર $(\pm r, \pm r)$ થશે.
કેન્દ્રથી રેખાનું લંબઅંતર $r$ હોવું જોઈએ.
ગણતરી કરતા,પ્રથમ ચરણમાં $2$ વર્તુળો,બીજા ચરણમાં $1$ વર્તુળ અને ચોથા ચરણમાં $1$ વર્તુળ મળે છે.
આમ,કુલ $4$ વર્તુળો શક્ય છે.

(D) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતા અને $y = x + 1$ રેખા પર વ્યાસ ધરાવતા સૌથી નાના વર્તુળ માટે,વર્તુળનું કેન્દ્ર એ ઉગમબિંદુનો $y = x + 1$ રેખા પરનો લંબપાદ (projection) હોવો જોઈએ.
રેખા $y = x + 1$ ને $x - y + 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $x - y + 1 = 0$ ને લંબ અને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x + y = k$ સ્વરૂપમાં હોય.
તે $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$0 + 0 = k$,એટલે કે $k = 0$.
તેથી લંબ રેખા $x + y = 0$ અથવા $y = -x$ છે.
કેન્દ્ર શોધવા માટે,$y = x + 1$ અને $y = -x$ નું છેદબિંદુ શોધીએ.
$y = -x$ ને $y = x + 1$ માં મૂકતા,$-x = x + 1$,જેનો અર્થ છે $2x = -1$,એટલે કે $x = -\frac{1}{2}$.
તેથી $y = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
આમ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^{2} + y^{2} - 4x - 2y - 20 = 0$.
$x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -2, f = -1, c = -20$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, 1)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^{2} + f^{2} - c} = \sqrt{(-2)^{2} + (-1)^{2} - (-20)} = \sqrt{4 + 1 + 20} = \sqrt{25} = 5$.
ધારો કે $P$ એ બિંદુ $(10, 7)$ છે અને $C$ એ કેન્દ્ર $(2, 1)$ છે.
$P$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(10 - 2)^{2} + (7 - 1)^{2}} = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
વર્તુળથી બિંદુનું ન્યૂનતમ અંતર $d - r = 10 - 5 = 5$ છે.
વર્તુળથી બિંદુનું મહત્તમ અંતર $d + r = 10 + 5 = 15$ છે.
આમ,ન્યૂનતમ અને મહત્તમ અંતર અનુક્રમે $5$ અને $15$ છે.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1)$ એ વર્તુળ $S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ની બહાર ત્યારે હોય જો $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c > 0$ થાય.
વિકલ્પ $(A)$ માટે,$S = x^2 + y^2 - 8x$.
$(5, -7)$ મૂકતા:
$S_1 = 5^2 + (-7)^2 - 8(5) = 25 + 49 - 40 = 34$.
$34 > 0$ હોવાથી,બિંદુ $(5, -7)$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x = 0$ ની બહાર આવેલું છે.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+3x+2y-8=0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=\frac{3}{2}$,$f=1$,અને $c=-8$ મળે છે.
$y$-અક્ષ દ્વારા બનતા અંતઃખંડની લંબાઈનું સૂત્ર $2\sqrt{f^{2}-c}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
લંબાઈ $= 2\sqrt{(1)^{2}-(-8)}$
$= 2\sqrt{1+8}$
$= 2\sqrt{9}$
$= 2 \times 3 = 6$.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-4x=0$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2,0)$ છે.
ધારો કે જીવાનું દ્વિભાજન બિંદુ $M(1,0)$ છે.
કેન્દ્ર $C(2,0)$ અને મધ્યબિંદુ $M(1,0)$ ને જોડતી રેખા જીવાને લંબ હોય છે.
રેખા $CM$ નો ઢાળ $m_{CM} = \frac{0-0}{1-2} = 0$ છે.
જીવા $CM$ ને લંબ હોવાથી અને $CM$ એ આડી રેખા (x-અક્ષ) હોવાથી,જીવા શિરોલંબ રેખા હશે.
$(1,0)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાનું સમીકરણ $x=1$ છે.
આ જીવાનો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે વિકલ્પો તપાસીએ કે કઈ રેખા આ જીવાને લંબ છે. શિરોલંબ રેખાને લંબ રેખા આડી રેખા હોય.
આપેલા વિકલ્પોમાં,$y=1$ એ આડી રેખા છે.
તેથી,જીવા એ $y=1$ રેખાને લંબ છે.

(D) ચાપની લંબાઈ $s$ માટેનું સૂત્ર: $s = 2 \pi r \times \frac{\theta}{360^{\circ}}$
અહીં $s = 44 \ m$ અને $\theta = 72^{\circ}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $44 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times \frac{72}{360^{\circ}}$
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{72}{360} = \frac{1}{5}$
તેથી,$44 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times \frac{1}{5}$
$44 = \frac{44}{35} \times r$
$r = \frac{44 \times 35}{44} = 35 \ m$
આમ,દોરડાની લંબાઈ $35 \ m$ છે.

(A) બિંદુઓ $P = (4 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ અને $Q = (4 \cos (\theta+60^{\circ}), 4 \sin (\theta+60^{\circ}))$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જીવા $PQ$ ની લંબાઈ:
$PQ = \sqrt{(4 \cos (\theta+60^{\circ}) - 4 \cos \theta)^2 + (4 \sin (\theta+60^{\circ}) - 4 \sin \theta)^2}$
$PQ = 4 \sqrt{(\cos (\theta+60^{\circ}) - \cos \theta)^2 + (\sin (\theta+60^{\circ}) - \sin \theta)^2}$
$PQ = 4 \sqrt{\cos^2 (\theta+60^{\circ}) + \cos^2 \theta - 2 \cos (\theta+60^{\circ}) \cos \theta + \sin^2 (\theta+60^{\circ}) + \sin^2 \theta - 2 \sin (\theta+60^{\circ}) \sin \theta}$
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$PQ = 4 \sqrt{1 + 1 - 2 (\cos (\theta+60^{\circ}) \cos \theta + \sin (\theta+60^{\circ}) \sin \theta)}$
$\cos (A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$PQ = 4 \sqrt{2 - 2 \cos ((\theta+60^{\circ}) - \theta)}$
$PQ = 4 \sqrt{2 - 2 \cos 60^{\circ}}$
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$PQ = 4 \sqrt{2 - 2 \times \frac{1}{2}} = 4 \sqrt{2 - 1} = 4 \times 1 = 4$.

(A) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વૃત્તાંશની પરિમિતિ $P = l + 2r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l = r\theta$ એ ચાપની લંબાઈ છે અને $\theta$ એ રેડિયનમાં ખૂણો છે.
અર્ધવર્તુળના ચાપની લંબાઈ $\pi r$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વૃત્તાંશની પરિમિતિ અર્ધવર્તુળના ચાપની લંબાઈ જેટલી છે:
$r\theta + 2r = \pi r$
બંને બાજુ $r$ વડે ભાગતા ($r \neq 0$ હોવાથી):
$\theta + 2 = \pi$
$\theta = \pi - 2$
આમ,વૃત્તાંશના કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\pi - 2$ રેડિયન છે.

(B) ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r_1$ અને $r_2$ છે.
આપેલ છે કે બંને વર્તુળો માટે ચાપની લંબાઈ $l$ સમાન છે.
ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $l = r \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ રેડિયનમાં છે.
પ્રથમ વર્તુળ માટે,$l = r_1 \times (30^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}) = r_1 \times \frac{\pi}{6}$.
બીજા વર્તુળ માટે,$l = r_2 \times (78^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}) = r_2 \times \frac{13\pi}{30}$.
ચાપની લંબાઈ સમાન હોવાથી,$r_1 \times \frac{\pi}{6} = r_2 \times \frac{13\pi}{30}$.
બંને બાજુ $\pi$ વડે ભાગતા,$\frac{r_1}{6} = \frac{13r_2}{30}$ મળે.
તેથી,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{13 \times 6}{30} = \frac{13}{5}$.