Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણો $S_1: x^{2} + y^{2} - 2ax + c^{2} = 0$ અને $S_2: x^{2} + y^{2} - 2by + c^{2} = 0$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (a, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{a^{2} - c^{2}}$.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (0, b)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{b^{2} - c^{2}}$.
બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે જો તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોય,એટલે કે $C_1C_2 = r_1 + r_2$.
$C_1C_2 = \sqrt{(a-0)^{2} + (0-b)^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$.
તેથી,$\sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{a^{2} - c^{2}} + \sqrt{b^{2} - c^{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $a^{2} + b^{2} = (a^{2} - c^{2}) + (b^{2} - c^{2}) + 2\sqrt{(a^{2} - c^{2})(b^{2} - c^{2})}$.
$a^{2} + b^{2} = a^{2} + b^{2} - 2c^{2} + 2\sqrt{(a^{2} - c^{2})(b^{2} - c^{2})}$.
$2c^{2} = 2\sqrt{(a^{2} - c^{2})(b^{2} - c^{2})}$.
$c^{2} = \sqrt{(a^{2} - c^{2})(b^{2} - c^{2})}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા: $c^{4} = (a^{2} - c^{2})(b^{2} - c^{2}) = a^{2}b^{2} - a^{2}c^{2} - b^{2}c^{2} + c^{4}$.
$a^{2}c^{2} + b^{2}c^{2} = a^{2}b^{2}$.
$a^{2}b^{2}c^{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{c^{2}}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\angle PRQ = \frac{\pi}{2}$,તેથી બિંદુ $R$ એ $PQ$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળ પર હોવું જોઈએ.
$PQ$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(6-3)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
$\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times PQ \times h = 6$.
$\frac{1}{2} \times 5 \times h = 6 \implies h = \frac{12}{5} = 2.4$.
ત્રિકોણની મહત્તમ ઊંચાઈ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,જે $r = \frac{PQ}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ છે.
અહીં $h = 2.4 < 2.5$ હોવાથી,$PQ$ ને સમાંતર બે રેખાઓ મળે જે $PQ$ ની બંને બાજુએ $2.4$ એકમના અંતરે હોય.
દરેક રેખા વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બિંદુ $R$ માટે કુલ $2 + 2 = 4$ શક્ય સ્થાનો છે.

(D) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 2$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = C_1C_2 = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$ છે.
જો છેદકોણ $\theta$ હોય,તો $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$.
કિંમતો મૂકતા,$\cos \theta = \frac{2 + 4 - 2}{2 \times \sqrt{2} \times 2} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = 45^\circ$.

(B) બિંદુ $P(x_1, y_1)$ માટે વર્તૂળ $S: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ની સાપેક્ષે બિંદુની પાવર $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છેદતી જીવાઓના પ્રમેય મુજબ,$PA \cdot PB = |S_1|$.
અહીં $P(3, 11)$ અને વર્તૂળ $x^2 + y^2 - 9 = 0$ આપેલ છે,તેથી $S_1 = (3)^2 + (11)^2 - 9$.
$S_1 = 9 + 121 - 9 = 121$.
તેથી,$PA \cdot PB = 121$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-h, -k)$ છે જ્યાં $h, k > 0$ (કારણ કે તે ત્રીજા ચરણમાં છે).
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = |-k| = k$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x + h)^2 + (y + k)^2 = k^2$ છે.
કેન્દ્ર $(-h, -k)$ રેખા $x - y - 1 = 0$ પર હોવાથી,$-h - (-k) - 1 = 0$,એટલે કે $k - h = 1$,અથવા $h = k - 1$.
વર્તુળ રેખા $4x - 3y + 4 = 0$ ને પણ સ્પર્શે છે. કેન્દ્ર $(-h, -k)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $k$ જેટલું છે.
$\frac{|4(-h) - 3(-k) + 4|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = k$
$\frac{|-4h + 3k + 4|}{5} = k$
$h = k - 1$ મૂકતા:
$|-4(k - 1) + 3k + 4| = 5k$
$|-4k + 4 + 3k + 4| = 5k$
$|-k + 8| = 5k$
કિસ્સો $1$: $-k + 8 = 5k$ $\Rightarrow 6k = 8$ $\Rightarrow k = \frac{4}{3}$. તેથી $h = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
કિસ્સો $2$: $-k + 8 = -5k$ $\Rightarrow 4k = -8$ $\Rightarrow k = -2$ (શક્ય નથી કારણ કે $k > 0$).
આમ,કેન્દ્ર $(-\frac{1}{3}, -\frac{4}{3})$ અને $r = \frac{4}{3}$ છે.
સમીકરણ $(x + \frac{1}{3})^2 + (y + \frac{4}{3})^2 = (\frac{4}{3})^2$ છે.
$x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} + y^2 + \frac{8}{3}y + \frac{16}{9} = \frac{16}{9}$.
$x^2 + y^2 + \frac{2}{3}x + \frac{8}{3}y + \frac{1}{9} = 0$.
$9$ વડે ગુણતા: $9(x^2 + y^2) + 6x + 24y + 1 = 0$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $2(x^2 + y^2) - 7x + 9y - 11 = 0$ છે.
સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 - \frac{7}{2}x + \frac{9}{2}y - \frac{11}{2} = 0$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$x_1 = 2$,$y_1 = 3$,$g = -\frac{7}{4}$,$f = \frac{9}{4}$,અને $c = -\frac{11}{2}$ છે.
સ્પર્શકની લંબાઈ $= \sqrt{2^2 + 3^2 - \frac{7}{2}(2) + \frac{9}{2}(3) - \frac{11}{2}}$.
$= \sqrt{4 + 9 - 7 + \frac{27}{2} - \frac{11}{2}}$.
$= \sqrt{6 + \frac{16}{2}} = \sqrt{6 + 8} = \sqrt{14}$.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે ચકાસીએ છીએ કે કયા બિંદુઓ વર્તુળ $x^2 + y^2 \leq 6$ ની અંદર આવેલા છે.
$(2, 3/4)$ માટે,$2^2 + (3/4)^2 = 4.5625 < 6$ (અંદર).
$(5/2, 3/4)$ માટે,$(5/2)^2 + (3/4)^2 = 6.8125 > 6$ (બહાર).
$(1/4, -1/4)$ માટે,$(1/4)^2 + (-1/4)^2 = 0.125 < 6$ (અંદર).
$(1/8, 1/4)$ માટે,$(1/8)^2 + (1/4)^2 = 0.03125 < 6$ (અંદર).
રેખા $2x - 3y - 1 = 0$ વર્તુળને વિભાજિત કરે છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માટે $2(0) - 3(0) - 1 = -1 < 0$ થાય છે.
નાનો ભાગ એ પ્રદેશ છે જ્યાં $2x - 3y - 1 > 0$ થાય.
વર્તુળની અંદરના બિંદુઓ માટે ચકાસણી:
$1$. $(2, 3/4): 2(2) - 3(3/4) - 1 = 0.75 > 0$ (નાના ભાગમાં).
$2$. $(1/4, -1/4): 2(1/4) - 3(-1/4) - 1 = 0.25 > 0$ (નાના ભાગમાં).
$3$. $(1/8, 1/4): 2(1/8) - 3(1/4) - 1 = -1.5 < 0$ (નાના ભાગની બહાર).
આમ,નાના ભાગમાં $2$ બિંદુઓ આવેલા છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 1$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $x + y - 1 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $x + y - 1 = 0$ પરના લંબ અંતર $d$ ની ગણતરી કરતા,$d = \frac{|0 + 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
અંત:ખંડની લંબાઈનું સૂત્ર $L = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$L = 2\sqrt{1^2 - (1/\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{1 - 1/2} = 2\sqrt{1/2} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને $(1, 0)$ આગળ સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્રનું $x$-અક્ષથી અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય,એટલે કે $r = |k|$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = k^2$ છે.
વર્તુળ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(1 - h)^2 + (0 - k)^2 = k^2$,જેનું સાદું રૂપ $(1 - h)^2 = 0$ થાય,એટલે કે $h = 1$.
વર્તુળ $(2, -3)$ માંથી પણ પસાર થાય છે,તેથી $(2 - 1)^2 + (-3 - k)^2 = k^2$.
$1 + (9 + 6k + k^2) = k^2$.
$10 + 6k = 0$.
$6k = -10$,તેથી $k = -5/3$.
ત્રિજ્યા $r = |k| = |-5/3| = 5/3$.
વર્તુળનો વ્યાસ $2r = 2 \times (5/3) = 10/3$ થાય.

(D) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 - ax = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (a/2, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = |a/2|$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 = c^2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = c$ છે.
બે વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શે જો તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવત જેટલું હોય: $d = |r_1 \pm r_2|$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(a/2 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = |a/2|$.
$d = r_1 + r_2$ લેતા $|a/2| = |a/2| + c$ મળે,જેનો અર્થ છે $c = 0$ (શક્ય નથી કારણ કે $c > 0$).
$d = |r_1 - r_2|$ લેતા $|a/2| = | |a/2| - c |$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(a/2)^2 = (|a/2| - c)^2$.
$(a/2)^2 = (a/2)^2 - 2|a/2|c + c^2$.
$0 = -|a|c + c^2$.
$|a|c = c^2$.
$c > 0$ હોવાથી,$c$ વડે ભાગતા $|a| = c$ મળે છે.

(C) ધારો કે વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ છે. વ્યાસ $PR$ એ $x$-અક્ષ પર છે જ્યાં $P = (-r, 0)$ અને $R = (r, 0)$ છે.
$P(-r, 0)$ આગળનો સ્પર્શક $x = -r$ અને $R(r, 0)$ આગળનો સ્પર્શક $x = r$ છે.
ધારો કે $Q = (-r, y_1)$ અને $S = (r, y_2)$ છે.
રેખા $PS$ નું સમીકરણ $y = \frac{y_2}{2r}(x + r)$ અને રેખા $RQ$ નું સમીકરણ $y = \frac{y_1}{-2r}(x - r)$ મળે છે.
છેદબિંદુ $X(x, y)$ માટે $y^2 = \frac{y_1 y_2}{4r^2}(r^2 - x^2)$ મળે છે. $X$ વર્તુળ પર હોવાથી $y^2 = r^2 - x^2$ થાય,તેથી $y_1 y_2 = 4r^2$ મળે.
$PQ = |y_1|$ અને $RS = |y_2|$ હોવાથી $PQ \cdot RS = 4r^2$ થાય.
$X$ માંથી પસાર થતી અને $PR$ ને લંબ જીવાની લંબાઈ $2h = \frac{2PQ \cdot RS}{PQ + RS}$ મળે છે.

(B) ધારો કે ત્રણ વર્તુળોના કેન્દ્રો $A, B$ અને $C$ છે. દરેક વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ હોવાથી,કોઈપણ બે કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $2r$ છે. આમ,$ABC$ એ $2r$ બાજુવાળો સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
ધારો કે $O$ એ આ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર છે. મધ્યકેન્દ્ર $O$ થી કોઈપણ શિરોબિંદુ (દા.ત. $A$) સુધીનું અંતર $OA = \frac{\text{બાજુ}}{\sqrt{3}} = \frac{2r}{\sqrt{3}}$ છે.
ધારો કે $R$ એ મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે જે ત્રણેય વર્તુળોને અંદરથી સ્પર્શે છે. આ મોટા વર્તુળનું કેન્દ્ર પણ $O$ જ હશે.
ત્રિજ્યા $R$ એ મધ્યકેન્દ્ર $O$ થી નાના વર્તુળના કેન્દ્ર $(A)$ સુધીના અંતર અને તે નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $(r)$ નો સરવાળો છે.
તેથી,$R = OA + r = \frac{2r}{\sqrt{3}} + r = r \left( \frac{2}{\sqrt{3}} + 1 \right) = \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right)r$.

(A) વર્તુળના કેન્દ્રને બિંદુ $D$ સાથે જોડતી રેખાનો ઢાળ $\tan \theta = \frac{3/2 - 1}{3\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
આ રેખા $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
બિંદુઓ $E$ અને $F$ કેન્દ્ર $(\sqrt{3}, 1)$ થી $1$ એકમના અંતરે અનુક્રમે $150^{\circ}$ અને $-90^{\circ}$ ના ખૂણે આવેલા છે.
બિંદુ $E$ માટે: $x = \sqrt{3} + 1 \cdot \cos(150^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $y = 1 + 1 \cdot \sin(150^{\circ}) = \frac{3}{2}$.
બિંદુ $F$ માટે: $x = \sqrt{3} + 1 \cdot \cos(-90^{\circ}) = \sqrt{3}$ અને $y = 1 + 1 \cdot \sin(-90^{\circ}) = 0$.
આમ,$E = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2} \right)$ અને $F = (\sqrt{3}, 0)$.

(B) વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ છે.
તેને $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -3$ અને $f = 4$ મળે છે.
વર્તૂળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (3, -4)$ છે.
ધારો કે જીવા જે બિંદુએ દુભાગે છે તે બિંદુ $M(5, -3)$ છે.
જીવા એ ત્રિજ્યા $CM$ ને લંબ હોય છે.
ત્રિજ્યા $CM$ નો ઢાળ $m_{CM} = \frac{-3 - (-4)}{5 - 3} = \frac{1}{2}$ છે.
જીવા ત્રિજ્યાને લંબ હોવાથી,જીવાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_{CM}} = -2$ થાય.
બિંદુ $M(5, -3)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -2$ ઢાળ ધરાવતી જીવાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
$y - (-3) = -2(x - 5)$
$y + 3 = -2x + 10$
$2x + y - 7 = 0$.

(C) ધારો કે જીવા $(1, 7)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. $m$ ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ $y - 7 = m(x - 1)$ છે,જે $mx - y + (7 - m) = 0$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખાનું અંતર $d = \frac{|7 - m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 100$ (ત્રિજ્યા $r = 10$) માટે,$d < 10$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પ $C$ માટે,$3x + 4y - 31 = 0$,ઉગમબિંદુથી અંતર $d = \frac{31}{5} = 6.2 < 10$ છે. આ રેખા $(1, 7)$ માંથી પસાર થાય છે કારણ કે $3(1) + 4(7) - 31 = 0$. તેથી,આ એક માન્ય જીવા છે.

(A) રેખા $L_1: \lambda x - y + 1 = 0$ અક્ષોને $(0, 1)$ અને $(-1/\lambda, 0)$ માં છેદે છે.
રેખા $L_2: x - 2y + 3 = 0$ અક્ષોને $(0, 3/2)$ અને $(-3, 0)$ માં છેદે છે.
જો વર્તુળ આ ચાર બિંદુઓમાંથી પસાર થાય,તો તે બિંદુઓ એક જ વર્તુળ પર હોવા જોઈએ.
ચાર બિંદુઓ $(x_1, 0), (x_2, 0), (0, y_1), (0, y_2)$ એક જ વર્તુળ પર હોય જો $x_1 x_2 = y_1 y_2$ થાય.
અહીં,$x$-અંત:ખંડ $-1/\lambda$ અને $-3$ છે,અને $y$-અંત:ખંડ $1$ અને $3/2$ છે.
તેથી,$(-1/\lambda) \times (-3) = 1 \times (3/2)$.
$3/\lambda = 3/2$.
આમ,$\lambda = 2$.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ દુભાગતી વર્તૂળ $x^2 + y^2 = r^2$ ની જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વર્તૂળ $x^2 + y^2 - 16 = 0$ છે,તેથી $S = x^2 + y^2 - 16$.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (2, -1)$ છે.
$T = x x_1 + y y_1 - 16 = 2x - y - 16$.
$S_1 = x_1^2 + y_1^2 - 16 = (2)^2 + (-1)^2 - 16 = 4 + 1 - 16 = -11$.
$T = S_1$ લેતા,આપણને $2x - y - 16 = -11$ મળે છે.
$2x - y = 16 - 11$.
$2x - y = 5$.

(B) આપેલા વર્તુળોના સમીકરણો $x^2 + (y - 1)^2 = 3^2$ અને $(x - 1)^2 + y^2 = 5^2$ છે.
કેન્દ્રો $C_1 = (0, 1)$ અને $C_2 = (1, 0)$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 3$ અને $r_2 = 5$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ છે.
એક વર્તુળ બીજાની અંદર હોવાની શરત તપાસતા: $|r_2 - r_1| = |5 - 3| = 2$.
અહીં $d < |r_2 - r_1|$ (કારણ કે $\sqrt{2} < 2$) હોવાથી,એક વર્તુળ સંપૂર્ણપણે બીજાની અંદર આવેલું છે.

(C) નાના વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ અને કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે.
મોટા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = R^2$ ધારો.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $x + y - 2 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|0 + 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \sqrt{2}$ છે.
વર્તુળ દ્વારા રેખા પર બનતા અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - d^2}$ છે.
નાના વર્તુળ માટે,અંતઃખંડ $L_1 = 2\sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2}$.
મોટા વર્તુળ માટે,અંતઃખંડ $L_2 = 2\sqrt{R^2 - 2}$.
આપેલ છે કે $L_2 - L_1 = 1$,તેથી $L_2 = 1 + 2\sqrt{2}$.
$2\sqrt{R^2 - 2} = 1 + 2\sqrt{2} \implies 4(R^2 - 2) = 1 + 8 + 4\sqrt{2} = 9 + 4\sqrt{2}$.
$4R^2 = 17 + 4\sqrt{2} \implies R^2 = 4.25 + \sqrt{2}$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(a \cos \theta_1, a \sin \theta_1)$,$B(a \cos \theta_2, a \sin \theta_2)$ અને $C(a \cos \theta_3, a \sin \theta_3)$ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી અને તે $x^2 + y^2 = a^2$ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોવાથી,ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર વર્તુળના કેન્દ્ર $(0, 0)$ સાથે સંપાતી થાય છે.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(G) = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(0, 0)$ લેતા,આપણને મળે:
$\frac{a \cos \theta_1 + a \cos \theta_2 + a \cos \theta_3}{3} = 0 \implies \cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3 = 0$
$\frac{a \sin \theta_1 + a \sin \theta_2 + a \sin \theta_3}{3} = 0 \implies \sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3 = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વર્તુળ $x^2 + y^2 + 8x - 2y - 9 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-4, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 - (-9)} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26}$.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 8y - 7 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (1, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{1^2 + (-4)^2 - (-7)} = \sqrt{1 + 16 + 7} = \sqrt{24}$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d^2 = (C_1C_2)^2 = (1 - (-4))^2 + (-4 - 1)^2 = 5^2 + (-5)^2 = 25 + 25 = 50$.
છેદકોણ $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{26 + 24 - 50}{2 \sqrt{26} \sqrt{24}} = \frac{50 - 50}{2 \sqrt{624}} = 0$.
તેથી,$\cos \theta = 0$ હોવાથી,$\theta = 90^o$ મળે.

(B) વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(2, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2 + 4^2 - (-5)} = \sqrt{25} = 5$ છે.
રેખા $3x - 4y - m = 0$ માટે,કેન્દ્રથી લંબ અંતર $d = \frac{|3(2) - 4(4) - m|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-10 - m|}{5}$ છે.
બે ભિન્ન બિંદુઓ માટે $d < r$ હોવું જોઈએ,તેથી $\frac{|-10 - m|}{5} < 5$.
$|-10 - m| < 25$,એટલે કે $-25 < -10 - m < 25$.
$-15 < -m < 35$,તેથી $-35 < m < 15$.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $S(x, y) = x^2 + y^2 - x + y - 1 = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 1)$ નું સ્થાન શોધવા માટે,આપણે યામને $S$ માં મૂકીએ.
$S(1, 1) = (1)^2 + (1)^2 - (1) + (1) - 1$.
$S(1, 1) = 1 + 1 - 1 + 1 - 1$.
$S(1, 1) = 1$.
અહીં $S(1, 1) > 0$ હોવાથી,બિંદુ $(1, 1)$ વર્તુળની બહાર આવેલું છે.

(A) વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$ છે.
તેને $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -1$,$f = 2$,અને $c = -4$ મળે છે.
વર્તૂળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (1, -2)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 - (-4)} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
રેખા $2x - y - 1 = 0$ નું કેન્દ્ર $(1, -2)$ થી લંબ અંતર $d$ શોધતા:
$d = \frac{|2(1) - (-2) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 + 2 - 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$.
અહીં $d < r$ હોવાથી $(\frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.34 < 3)$,રેખા વર્તૂળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,આ રેખા વર્તૂળની જીવા છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(-1, 0)$,$B(1, 0)$ અને $C(0, y_c)$ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,બાજુ $AB = BC = AC$ થાય.
બાજુ $AB$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(1 - (-1))^2 + (0 - 0)^2} = 2$.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{બાજુ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3}$.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $(0, 0)$ છે. ત્રીજું શિરોબિંદુ $C$ એ $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર એટલે કે $y$-અક્ષ પર આવેલું છે. તેથી,$C = (0, \sqrt{3})$ અથવા $(0, -\sqrt{3})$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર એ તેનું મધ્યકેન્દ્ર છે. $C = (0, \sqrt{3})$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{-1+1+0}{3}, \frac{0+0+\sqrt{3}}{3}) = (0, \frac{1}{\sqrt{3}})$ છે.
ત્રિજ્યા $R$ એ મધ્યકેન્દ્ર $(0, \frac{1}{\sqrt{3}})$ થી $(1, 0)$ સુધીનું અંતર છે,તેથી $R^2 = (1-0)^2 + (0 - \frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
પરિવૃતનું સમીકરણ $x^2 + (y - \frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}$ છે.
તે જ રીતે,$C = (0, -\sqrt{3})$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $(0, -\frac{1}{\sqrt{3}})$ મળે,જેનું સમીકરણ $x^2 + (y + \frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}$ થાય.

(A) વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 4x - 7y - 12 = 0$ છે.
$x-$અક્ષ પરનો અંત:ખંડ મેળવવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકીશું.
$y = 0$ મૂકતા,આપણને $x^2 + 0^2 + 4x - 7(0) - 12 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 4x - 12 = 0$ થાય છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x + 6)(x - 2) = 0$ મળે છે.
તેથી $x = -6$ અને $x = 2$ મળે છે.
વર્તૂળ $x-$અક્ષને $(-6, 0)$ અને $(2, 0)$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$x-$અક્ષ પરનો અંત:ખંડ આ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|2 - (-6)| = |2 + 6| = 8$ થાય છે.

(A) આપેલ અંત:વૃતનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 4 = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર (અંત:કેન્દ્ર) $(-2, 3)$ છે અને તેની અંત:ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 - 4} = \sqrt{4 + 9 - 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,અંત:કેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્ર એક જ હોય છે.
તેથી,પરિકેન્દ્ર $(-2, 3)$ છે.
વળી,સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિત્રિજ્યા $R$ એ અંત:ત્રિજ્યા $r$ કરતા બમણી હોય છે,તેથી $R = 2r = 2 \times 3 = 6$.
પરિવૃતનું સમીકરણ $(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = R^2$ થાય.
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 6^2$.
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 36$.
$x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 - 36 = 0$.
$x^2 + y^2 + 4x - 6y - 23 = 0$.

(C) આપેલ શરત $(x_i - 2)^2 + (y_i - 3)^2 = R^2$ સૂચવે છે કે ત્રણેય શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,અને $(x_3, y_3)$ એ $(2, 3)$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળ પર આવેલા છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,પરિકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર એક જ બિંદુએ હોય છે.
તેથી,ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(G) = (2, 3)$ છે.
મધ્યકેન્દ્રના યામ $G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ દ્વારા મળે છે.
યામ સરખાવતા,$\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = 2 \implies x_1 + x_2 + x_3 = 6$ અને $\frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} = 3 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 9$.
આ કિંમતોને $2(x_1 + x_2 + x_3) + 3(y_1 + y_2 + y_3)$ માં મૂકતા:
$= 2(6) + 3(9) = 12 + 27 = 39$.

(B) વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
જો વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોય,તો કેન્દ્રથી $x$-અક્ષનું લંબ અંતર એ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલું હોય.
કેન્દ્ર $(-g, -f)$ થી $x$-અક્ષ $(y = 0)$ નું અંતર $|-f| = |f|$ છે.
તેથી,$|f| = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$f^2 = g^2 + f^2 - c$.
આનું સાદુંરૂપ આપતા,$g^2 = c$ મળે છે.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(h, k)$ છે. કેન્દ્ર રેખા $3y = x + 10$ પર હોવાથી,$3k = h + 10$,અથવા $h = 3k - 10$ મળે.
વર્તુળમાં અંતર્ગત લંબચોરસ $ABCD$ માટે,તેનું કેન્દ્ર $O$ એ વિકર્ણ $AC$ અને $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે. વળી,કોઈપણ જીવાનો લંબદ્વિભાજક કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
બિંદુઓ $A(-6, 7)$ અને $B(4, 7)$ વર્તુળ પર છે. રેખાખંડ $AB$ સમક્ષિતિજ છે કારણ કે $y$-યામ સમાન છે.
$AB$ નો લંબદ્વિભાજક એ $AB$ ના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા છે. $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{-6+4}{2}, \frac{7+7}{2}) = (-1, 7)$ છે.
આમ,$AB$ નો લંબદ્વિભાજક $x = -1$ છે.
કેન્દ્ર $O(h, k)$ આ લંબદ્વિભાજક પર હોવાથી,$h = -1$ મળે.
$h = 3k - 10$ માં $h = -1$ મૂકતા,$-1 = 3k - 10$,એટલે કે $3k = 9$,તેથી $k = 3$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(-1, 3)$ છે.
બાજુ $AB$ ની લંબાઈ $|4 - (-6)| = 10$ છે.
કેન્દ્ર $O(-1, 3)$ થી રેખા $AB$ $(y=7)$ નું અંતર $|7 - 3| = 4$ છે.
વર્તુળમાં અંતર્ગત લંબચોરસમાં,કેન્દ્રથી બાજુ $AB$ નું અંતર એ બીજી બાજુ $AD$ ની લંબાઈનું અડધું હોય છે.
તેથી,$\frac{AD}{2} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $AD = 8$.
લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= AB \times AD = 10 \times 8 = 80$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ છે. બાજુઓ $BC, CA,$ અને $AB$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરેલા વર્તુળોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$S_1: (x-x_B)(x-x_C) + (y-y_B)(y-y_C) = 0$
$S_2: (x-x_C)(x-x_A) + (y-y_C)(y-y_A) = 0$
$S_3: (x-x_A)(x-x_B) + (y-y_A)(y-y_B) = 0$
$S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ છે,જે $C$ માંથી $AB$ પરના વેધનું સમીકરણ દર્શાવે છે.
તે જ રીતે,$S_2$ અને $S_3$ ની રેડિકલ ધરી $A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ છે.
આ રેડિકલ ધરીઓનું છેદબિંદુ એ ત્રણેય વેધનું સંગમબિંદુ છે,જેને ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે.

(C) બે વર્તુળો વચ્ચેનો છેદકોણ $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_1$ અને $r_2$ એ ત્રિજ્યાઓ છે અને $d$ એ કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે.
જો $\theta = 0^{\circ}$ હોય,તો $\cos 0^{\circ} = 1$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $r_1^2 + r_2^2 - d^2 = 2r_1r_2$ થાય.
ગોઠવતા $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 = (r_1 - r_2)^2$ મળે.
આમ,$d = |r_1 - r_2|$.
આ શરત દર્શાવે છે કે બે વર્તુળો એકબીજાને અંદરની તરફ એક બિંદુએ સ્પર્શે છે.

(A) વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 25$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 5$ છે.
રેખા બિંદુ $P(-\sqrt{8}, \sqrt{8})$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - \sqrt{8} = -1(x + \sqrt{8})$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 0$ થાય છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $x + y = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 0$ છે.
અંતર $d = 0$ હોવાથી,રેખા વર્તૂળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,જીવા $AB$ એ વર્તૂળનો વ્યાસ છે.
વ્યાસની લંબાઈ $2r = 2 \times 5 = 10$ થાય.

(B) વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 3x = 0$ છે.
$y = mx + 1$ ને વર્તૂળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + (mx + 1)^2 + 3x = 0$
$x^2 + m^2x^2 + 2mx + 1 + 3x = 0$
$(1 + m^2)x^2 + (2m + 3)x + 1 = 0$.
ધારો કે આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે. આ છેદબિંદુઓના $x$-યામ દર્શાવે છે.
બિંદુઓ $y$-અક્ષથી સમાન અંતરે અને વિરૂદ્ધ બાજુએ હોવાથી,$x_1 = -x_2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $x_1 + x_2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $-b/a$ થાય છે.
તેથી,$-(2m + 3) / (1 + m^2) = 0$.
આથી $2m + 3 = 0$ મળે છે.

(A) વર્તૂળનું આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 3 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$2g = 2 \implies g = 1$ અને $2f = 4 \implies f = 2$ મળે છે.
વર્તૂળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1, -2)$ છે.
ધારો કે વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{x_1 + 1}{2} = -1 \implies x_1 + 1 = -2 \implies x_1 = -3$.
$\frac{y_1 + 0}{2} = -2 \implies y_1 = -4$.
આમ,વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(-3, -4)$ છે.

(A) આપેલા બિંદુઓ $A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$,$B(a \cos \beta, a \sin \beta)$ અને $C(a \cos \gamma, a \sin \gamma)$ છે.
આ બિંદુઓ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ કેન્દ્ર અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ પર આવેલા છે,કારણ કે ઉગમબિંદુથી દરેક બિંદુનું અંતર $\sqrt{(a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2} = \sqrt{a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = a$ થાય છે.
ત્રિકોણના ત્રણેય શિરોબિંદુઓ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત વર્તુળ પર આવેલા હોવાથી,ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 3 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = 1$ અને $f = 2$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1, -2)$ છે.
ધારો કે $Q(\alpha, \beta)$ એ બિંદુ $P(1, 0)$ ની વ્યાસાંતે સામેનું બિંદુ છે.
કેન્દ્ર એ વ્યાસ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{1 + \alpha}{2} = -1$ $\Rightarrow 1 + \alpha = -2$ $\Rightarrow \alpha = -3$
$\frac{0 + \beta}{2} = -2 \Rightarrow \beta = -4$
આમ,બિંદુ $Q$ એ $(-3, -4)$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2, 4)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2 + 4^2 - (-5)} = \sqrt{4 + 16 + 5} = 5$ છે.
રેખા $3x - 4y - m = 0$ વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર $d < r$ હોવું જોઈએ.
$d = \frac{|3(2) - 4(4) - m|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-10 - m|}{5} = \frac{|10 + m|}{5}$.
શરત મુજબ,$\frac{|10 + m|}{5} < 5 \implies |10 + m| < 25$.
તેથી,$-25 < 10 + m < 25 \implies -35 < m < 15$.

(A) આપેલ સમીકરણો $x^2 + y^2 - ax = 0$ અને $x^2 + y^2 = c^2$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (\frac{a}{2}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = |\frac{a}{2}|$ છે.
બીજા વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = |c|$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(\frac{a}{2} - 0)^2 + (0 - 0)^2} = |\frac{a}{2}|$ છે.
બે વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શે છે જો તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવત જેટલું હોય,એટલે કે $d = |r_1 \pm r_2|$.
$|\frac{a}{2}| = ||\frac{a}{2}| \pm |c||$.
કિસ્સો $1$: $|\frac{a}{2}| = |\frac{a}{2}| + |c| \Rightarrow |c| = 0$ (વર્તુળ માટે શક્ય નથી).
કિસ્સો $2$: $|\frac{a}{2}| = | |\frac{a}{2}| - |c| |$.
આ સૂચવે છે કે $|\frac{a}{2}| = |c| - |\frac{a}{2}|$ (ધારી લઈએ કે $|c| > |\frac{a}{2}|$).
આમ,$2|\frac{a}{2}| = |c|$,જે $|a| = c$ માં પરિણમે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(1,h)$ છે.
વર્તુળ $x-$અક્ષને $(1,0)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે,તેથી વર્તુળની ત્રિજ્યા $|h|$ છે.
વર્તુળ $(2,3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી અંતર $CB$ એ ત્રિજ્યા $|h|$ જેટલું હોવું જોઈએ.
$CB^2 = h^2$
$(2-1)^2 + (3-h)^2 = h^2$
$1^2 + (9 - 6h + h^2) = h^2$
$1 + 9 - 6h = 0$
$10 = 6h$
$h = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
વર્તુળનો વ્યાસ $2|h| = 2 \times \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળ $T$ ની ત્રિજ્યા $r$ છે. $T$ નું કેન્દ્ર $(0, y)$ છે અને તે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = |y|$ થાય.
વર્તુળ $T$ એ વર્તુળ $C$ ને બહારથી સ્પર્શે છે,તેથી તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોય.
$C$ નું કેન્દ્ર $(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $R = 1$ છે.
$T$ નું કેન્દ્ર $(0, y)$ અને ત્રિજ્યા $r = y$ છે.
કેન્દ્રો $(1, 1)$ અને $(0, y)$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(1-0)^2 + (1-y)^2} = \sqrt{1 + (1-y)^2}$ છે.
ત્રિજ્યાઓના સરવાળા $R + r = 1 + y$ સાથે સરખાવતા:
$\sqrt{1 + (1-y)^2} = 1 + y$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1 + (1 - 2y + y^2) = (1 + y)^2$
$2 - 2y + y^2 = 1 + 2y + y^2$
$2 - 2y = 1 + 2y$
$4y = 1$
$y = \frac{1}{4}$
આમ,$T$ ની ત્રિજ્યા $\frac{1}{4}$ છે.

(D) કારણ કે $\angle PRQ = 90^{\circ}$,બિંદુ $R$ એ $PQ$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તુળ પર હોવું જોઈએ.
વ્યાસ $PQ$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(6-3)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
આ વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{5}{2} = 2.5$ છે.
$\Delta RPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = 5$.
$\frac{1}{2} \times 5 \times h = 5 \implies h = 2$.
અહીં,$h$ એ રેખાખંડ $PQ$ થી બિંદુ $R$ નું લંબ અંતર છે.
વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુનું વ્યાસ $PQ$ થી મહત્તમ અંતર ત્રિજ્યા $r = 2.5$ છે,અને આપણને $h = 2$ ની જરૂર હોવાથી,ઉપરના અર્ધવર્તુળ પર બે બિંદુઓ અને નીચેના અર્ધવર્તુળ પર બે બિંદુઓ મળે છે જે આ શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,આવા $4$ બિંદુઓ $R$ મળે છે.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 11$ છે. કેન્દ્ર $(2, 3)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{11}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $x + y - 1 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(2, 3)$ થી રેખા $x + y - 1 = 0$ પરના લંબ અંતર $d$ ની ગણતરી $d = \frac{|2 + 3 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ મુજબ થાય છે.
અહીં $d = \sqrt{8}$ અને $r = \sqrt{11}$ હોવાથી,$d < r$ મળે છે.
કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા કરતા ઓછું હોવાથી,રેખા વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.

(A) ધારો કે $AB$ એ વર્તુળ દ્વારા રેખા પર કાપવામાં આવેલી જીવા છે અને $CD$ એ કેન્દ્ર $C(3, -1)$ થી જીવા $AB$ પર દોરેલો લંબ છે.
કેન્દ્રમાંથી દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,તેથી $AD = \frac{1}{2} AB = \frac{6}{2} = 3$.
બિંદુ $(3, -1)$ થી રેખા $2x - 5y + 18 = 0$ પરના લંબ $CD$ ની લંબાઈ:
$CD = \frac{|2(3) - 5(-1) + 18|}{\sqrt{2^2 + (-5)^2}} = \frac{|6 + 5 + 18|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{29}{\sqrt{29}} = \sqrt{29}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle CAD$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,ત્રિજ્યા $r = CA$ છે:
$r^2 = CA^2 = AD^2 + CD^2 = 3^2 + (\sqrt{29})^2 = 9 + 29 = 38$.
કેન્દ્ર $(3, -1)$ અને ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = 38$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 38$.

(C) ધારો કે $(2, 0), (0, 1)$ અને $(4, 5)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + k = 0$ છે.
બિંદુઓ મૂકતા:
$(2, 0)$ માટે: $4 + 4g + k = 0 \Rightarrow 4g + k = -4$
$(0, 1)$ માટે: $1 + 2f + k = 0 \Rightarrow 2f + k = -1$
$(4, 5)$ માટે: $16 + 25 + 8g + 10f + k = 0 \Rightarrow 8g + 10f + k = -41$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$k = -4 - 4g$
$2f = -1 - k = -1 - (-4 - 4g) = 3 + 4g \Rightarrow f = \frac{3}{2} + 2g$
ત્રીજા સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $8g + 10(\frac{3}{2} + 2g) + (-4 - 4g) = -41$
$8g + 15 + 20g - 4 - 4g = -41$ $\Rightarrow 24g = -52$ $\Rightarrow g = -\frac{13}{6}$
તેથી $k = -4 - 4(-\frac{13}{6}) = -4 + \frac{26}{3} = \frac{14}{3}$
અને $f = \frac{3}{2} + 2(-\frac{13}{6}) = \frac{9-26}{6} = -\frac{17}{6}$
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - \frac{13}{3}x - \frac{17}{3}y + \frac{14}{3} = 0$ છે.
બિંદુ $(0, c)$ વર્તુળ પર હોવાથી:
$0^2 + c^2 - \frac{13}{3}(0) - \frac{17}{3}c + \frac{14}{3} = 0$
$3c^2 - 17c + 14 = 0$
$(3c - 14)(c - 1) = 0$
આમ,$c = \frac{14}{3}$ અથવા $c = 1$.

(D) વર્તુળનું આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = -2$,$f = -1$,અને $c = -20$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(-g, -f) = (2, 1)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 - (-20)} = \sqrt{4 + 1 + 20} = \sqrt{25} = 5$ છે.
બિંદુ $P(10, 7)$ અને કેન્દ્ર $C(2, 1)$ વચ્ચેનું અંતર $CP = \sqrt{(10 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ છે.
વર્તુળથી બિંદુ $P$ નું મહત્તમ અંતર $CP + r = 10 + 5 = 15$ દ્વારા મળે છે.

(A) ધારો કે વ્યાસ $AB$ એ ત્રિકોણનો પાયો છે. પાયા $AB$ ની લંબાઈ અચળ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AB \times h$.
$AB$ અચળ હોવાથી,જ્યારે વેધ $h$ મહત્તમ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય.
વેધ $h$ એ બિંદુ $C$ થી વ્યાસ $AB$ સુધીનું લંબ અંતર છે. આ અંતર ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $C$ એ અર્ધવર્તુળના સૌથી ઊંચા બિંદુ પર હોય,જે $AC = BC$ હોય ત્યારે થાય છે.
તેથી,જ્યારે ત્રિકોણ $ABC$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોય ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોય છે.

(C) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 10x + 16 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (5, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{5^2 - 16} = 3$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = r$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 5$ છે.
બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટેની શરત $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$|3 - r| < 5 < 3 + r$ મળે છે.
$5 < 3 + r$ પરથી $r > 2$ મળે છે.
$|3 - r| < 5$ પરથી $r < 8$ મળે છે.
આમ,$2 < r < 8$ થાય.

(A) ગણિતનો અચળાંક $\pi$ એ વર્તુળના પરિઘ અને તેના વ્યાસનો ગુણોત્તર દર્શાવે છે. તેનું આશરે મૂલ્ય $3.14$ છે.