Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $Q$ અને $R$ કેન્દ્ર અને $r_1 = 4$ તથા $r_2 = 1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે. તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $QR = r_1 + r_2 = 4 + 1 = 5$ છે.
ધારો કે સામાન્ય સ્પર્શકો બિંદુ $P$ પર મળે છે. કેન્દ્રોને જોડતી રેખા $QR$ એ $P$ માંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે $\alpha$ એવો ખૂણો છે કે જેથી સ્પર્શકો વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $2\alpha$ થાય. મોટા વર્તુળના કેન્દ્ર,સ્પર્શબિંદુ અને $P$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\sin \alpha = \frac{r_1 - r_2}{QR} = \frac{4 - 1}{5} = \frac{3}{5}$ મળે.
$\sin \alpha = \frac{3}{5}$ હોવાથી,$\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$ મળે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 2\alpha$ છે.
તેથી,$\sin \theta = \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$.

(D) આપેલ વર્તુળો:
$S_1: x^2 + y^2 - 2y - 3 = 0$
કેન્દ્ર $C_1 = (0, 1)$,ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{0^2 + (-1)^2 - (-3)} = 2$.
$S_2: x^2 + y^2 - 8x - 18y + 93 = 0$
કેન્દ્ર $C_2 = (4, 9)$,ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-4)^2 + (-9)^2 - 93} = 2$.
બંને વર્તુળોની ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી,બંનેને સ્પર્શતા સૌથી નાના વર્તુળનું કેન્દ્ર એ $C_1$ અને $C_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ થશે.
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{0 + 4}{2}, \frac{1 + 9}{2} \right) = (2, 5)$.

(B) આપેલા બિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_1, y_2)$ અને $(x_2, y_1)$ છે.
આ બિંદુઓ યામ અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતા લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ છે.
દરેક લંબચોરસ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે કારણ કે તેના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
વધુમાં,આ બિંદુઓ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ સમીકરણ ધરાવતા વર્તુળ પર આવેલા છે.
તેથી,આ ચારેય બિંદુઓ એકવર્તુળીય (concyclic) છે.

(D) $x$-અક્ષ પરના બિંદુઓ $(a, 0)$ અને $(c, 0)$ તથા $y$-અક્ષ પરના બિંદુઓ $(0, b)$ અને $(0, d)$ માટે,જો $ac = bd$ હોય,તો તે ચાર બિંદુઓ એકવર્તુળીય હોય છે.
આથી,આપેલા બિંદુઓ એકવર્તુળીય છે.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 8$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2\sqrt{2}$ છે.
સ્પર્શકનું બિંદુ $A(2, 2)$ મળે છે.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ $4$ હોવાથી,$B$ ના યામ $(2, -2)$ અથવા $(-2, 2)$ મળે છે.

(B) કણ $C_1$ વર્તુળ પર $(1, 0)$ થી શરૂ થાય છે.
દરેક વર્તુળ $C_k$ પર,કણ $k$ સેમીની ચાપ કાપે છે.
કેન્દ્ર પર આ ચાપ દ્વારા બનતો ખૂણો $\theta_k = \frac{k}{k} = 1$ રેડિયન છે.
$C_k$ પર ગતિ પૂર્ણ કર્યા પછી,કણ ત્રિજ્યાવર્તી રીતે $C_{k+1}$ પર જાય છે.
$n$ વર્તુળો પછી કુલ ખૂણો $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ રેડિયન થાય છે.
જ્યારે કુલ ખૂણો $2\pi$ નો ગુણાંક હોય ત્યારે કણ ધન $x$-અક્ષને ઓળંગે છે.
$2\pi \approx 6.28$ હોવાથી,પ્રથમ વખત $n=7$ પર તે ધન $x$-અક્ષને ઓળંગશે.

(A) કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા આંતરેલા ખૂણાનું સૂત્ર $\theta = \frac{l}{r}$ છે,જ્યાં $\theta$ રેડિયનમાં ખૂણો છે,$l$ ચાપની લંબાઈ છે અને $r$ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે ચાપની લંબાઈ સમાન છે,તેથી $l_1 = l_2 = l$ લો.
આપણને $\theta_1 = 75^{\circ}$ અને $\theta_2 = 120^{\circ}$ આપેલ છે.
અંશને રેડિયનમાં ફેરવતા: $\theta_1 = 75 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{12}$ રેડિયન અને $\theta_2 = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$ રેડિયન.
કારણ કે $r = \frac{l}{\theta}$,ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_1}{r_2} = \frac{l/\theta_1}{l/\theta_2} = \frac{\theta_2}{\theta_1}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2\pi/3}{5\pi/12} = \frac{2}{3} \times \frac{12}{5} = \frac{8}{5}$.
આમ,ગુણોત્તર $8:5$ છે.

(B) ધારો કે માંગેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. તે $y-$અક્ષને $(0,2)$ આગળ સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(r, 2)$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ નું કેન્દ્ર $O(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $R = 4$ છે.
વર્તુળો અંતઃસ્પર્શતા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના તફાવત જેટલું હોવું જોઈએ.
કેન્દ્રો $(r, 2)$ અને $(0, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{r^2 + 2^2} = \sqrt{r^2 + 4}$ છે.
અંતઃસ્પર્શ માટે,$\sqrt{r^2 + 4} = R - r = 4 - r$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $r^2 + 4 = (4 - r)^2$.
$r^2 + 4 = 16 - 8r + r^2$.
$8r = 12$.
$r = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

(B) ધારો કે ત્રણ વર્તુળોના કેન્દ્રો $2$ લંબાઈની બાજુવાળો સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે. વર્તુળના કેન્દ્રથી મોટા ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુ સુધીનું અંતર $1$ છે. ત્રિકોણ $ABC$ નો ખૂણો $60^{\circ}$ છે કારણ કે વર્તુળો સમપ્રમાણમાં ગોઠવાયેલા છે.
ભૂમિતિ મુજબ,પાયો $BC$ એ નીચેના બે વર્તુળોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $(2)$ અને કેન્દ્રોથી શિરોબિંદુઓ $B$ અને $C$ સુધીના અંતરના આડા પ્રક્ષેપણનો સરવાળો છે. ત્રિજ્યા $1$ અને ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાથી,કેન્દ્રના પ્રક્ષેપણથી શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર $1 \cdot \cot(30^{\circ}) = \sqrt{3}$ છે.
આમ,$BC = \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 2(1+\sqrt{3})$.
$ABC$ એ $a = 2(1+\sqrt{3})$ બાજુવાળો સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,પરિવૃત ત્રિજ્યા $R = \frac{a}{2 \sin(60^{\circ})} = \frac{2(1+\sqrt{3})}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 2(\frac{1}{\sqrt{3}} + 1)$ થાય.

(B) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે $S_1: x^2 + y^2 - 1 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(x^2 + y^2 - 1) - (x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1) = 0$.
આ સાદું રૂપ આપતા $2x + 2y - 2 = 0$,અથવા $x + y = 1$ મળે છે.
રેખા $x + y = 1$ યામ અક્ષોને $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ બિંદુએ છેદે છે.
આ રેખા અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{A} = \frac{1}{1/2} = 2$.

(C) પ્રથમ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - (-4)} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x - 4y + 16 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (4, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{4^2 + 2^2 - 16} = \sqrt{16 + 4 - 16} = 2$ છે.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ છે.
અહીં $d = r_1 + r_2$ $(5 = 3 + 2)$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોય,ત્યારે સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $3$ થાય છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$ છે. કેન્દ્ર $(3, 4)$ છે અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ છે.
કેન્દ્ર $(3, 4)$ થી રેખા $4x - 3y + 15 = 0$ નું લંબ અંતર $p = \frac{|4(3) - 3(4) + 15|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{15}{5} = 3$ છે.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ $= 2 \sqrt{R^2 - p^2} = 2 \sqrt{5^2 - 3^2} = 2 \times 4 = 8$ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ ત્યારે મહત્તમ થાય જ્યારે તેની ઊંચાઈ મહત્તમ હોય. મહત્તમ ઊંચાઈ $h = R + p = 5 + 3 = 8$ છે.
તેથી,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32 \ sq. \ units$ થાય.

(C) નાના અર્ધવર્તુળોની ત્રિજ્યા $R_1 = R_2 = 6 \ cm$ લો.
મોટા અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 12 \ cm$ લો.
જરૂરી વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ અને તેનું કેન્દ્ર $D$ લો.
મોટા અર્ધવર્તુળના કેન્દ્ર $(C)$ થી જરૂરી વર્તુળના કેન્દ્ર $D$ સુધીનું અંતર $12 - r$ છે.
નાના અર્ધવર્તુળના કેન્દ્ર $(O_1)$ થી કેન્દ્ર $D$ સુધીનું અંતર $6 + r$ છે.
$\Delta DO_1C$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$CD^2 + O_1C^2 = DO_1^2$
$(12 - r)^2 + 6^2 = (6 + r)^2$
$144 - 24r + r^2 + 36 = 36 + 12r + r^2$
$144 = 36r$
$r = 4 \ cm$.

(A) આ પ્રદેશ બે અસમતાઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$1$. $x^2 + y^2 \leqslant 1$ (ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો અંદરનો ભાગ).
$2$. $x + y \geqslant 1$ (રેખા $x + y = 1$ ની ઉપરનો અથવા તેના પરનો ભાગ).
આ બે પ્રદેશોનો છેદગણ એક વર્તુળાકાર વૃત્તખંડ છે.
રેખા $x + y = 1$ એ $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $x + y - 1 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|0 + 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
$r = 1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં,કેન્દ્રથી $d$ અંતરે આવેલી જીવા દ્વારા કપાતા વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ $A = r^2 \cos^{-1}(\frac{d}{r}) - d\sqrt{r^2 - d^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$r = 1$ અને $d = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મૂકતા:
$A = (1)^2 \cos^{-1}(\frac{1/\sqrt{2}}{1}) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2}$
$A = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - \frac{1}{2}}$
$A = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે વ્યાસ $PR = 2r$ છે. $PQ$ અને $RS$ એ અનુક્રમે $P$ અને $R$ પરના સ્પર્શકો હોવાથી,$PQ \perp PR$ અને $RS \perp PR$ થાય.
વર્તુળ પર $X$ બિંદુ હોવાથી અને $PR$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle PXR = 90^{\circ}$ થાય.
$\triangle PXR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$(PR)^2 = (PX)^2 + (RX)^2$ થાય.
સ્પર્શકોની ભૂમિતિ પરથી,$PQ \cdot RS = (PR)^2$ મળે છે.
તેથી,$PQ \cdot RS = (PX)^2 + (RX)^2$ થાય.

(D) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 4x + 2y - 4 = 0$ છે.
કેન્દ્ર $C(-2, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3$ છે.
બિંદુ $P(1, 1/2)$ અને કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{3\sqrt{5}}{2}$ છે.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો $\sin(\theta/2) = \frac{r}{d} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
તેથી,$\cos \theta = \cos^2(\theta/2) - \sin^2(\theta/2) = \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}(-3/5)$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 12x - 20y + 120 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $(x + 6)^2 + (y - 10)^2 = 16 = 4^2$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $B(-6, 10)$ અને ત્રિજ્યા $r = 4$ છે.
બિંદુ $P(2, 5)$ લો. $x-$અક્ષને સ્પર્શતા ટૂંકા માર્ગ માટે,$P$ નું $x-$અક્ષ પર પ્રતિબિંબ $P'(2, -5)$ મેળવો.
$P$ થી વર્તુળ સુધીનું ટૂંકું અંતર જે $x-$અક્ષને સ્પર્શે છે તે $P'$ થી કેન્દ્ર $B$ સુધીના અંતરમાંથી ત્રિજ્યા $r$ બાદ કરવાથી મળે છે.
અંતર $P'B = \sqrt{(-6 - 2)^2 + (10 - (-5))^2} = \sqrt{(-8)^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.
ટૂંકા માર્ગની લંબાઈ $P'B - r = 17 - 4 = 13$ છે.

(D) આપેલ છે કે $C_1$ ની ત્રિજ્યા $r_1 = r$ અને $C_2$ ની ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{r}{2}$ છે.
$r = \frac{1}{3} PQ$ હોવાથી,$PQ = 3r$ મળે.
આકૃતિ પરથી,$AB$ એ સામાન્ય સ્પર્શક છે. ટ્રાન્સવર્સ સામાન્ય સ્પર્શકની લંબાઈનું સૂત્ર $L = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = 3r, r_1 = r, r_2 = \frac{r}{2}$.
$AB = \sqrt{(3r)^2 - (r + \frac{r}{2})^2}$
$AB = \sqrt{9r^2 - (\frac{3r}{2})^2}$
$AB = \sqrt{9r^2 - \frac{9r^2}{4}}$
$AB = \sqrt{\frac{36r^2 - 9r^2}{4}} = \sqrt{\frac{27r^2}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} r$.

(B) ધારો કે $O$ એ સમકેન્દ્રી વર્તુળોનું કેન્દ્ર છે. $S_1$ ને સ્પર્શતા બે સમાંતર સ્પર્શકો $S_1$ ને $M$ અને $N$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. સ્પર્શકો સમાંતર હોવાથી,$MN$ એ $S_1$ નો વ્યાસ છે,તેથી $OM = ON = 1$ થાય.
ધારો કે સ્પર્શકો $S_2$ ને $A$ અને $B$ બિંદુએ છેદે છે. $\triangle OMA$ માં,$OM = 1$ અને $OA = 2$ ($S_2$ ની ત્રિજ્યા).
$AM$ એ $S_1$ નો સ્પર્શક હોવાથી,$\angle OMA = 90^\circ$. તેથી,$\cos(\angle MOA) = \frac{OM}{OA} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\angle MOA = \frac{\pi}{3}$.
તે જ રીતે,બીજા સ્પર્શક માટે,$\angle NOB = \frac{\pi}{3}$.
કેન્દ્ર આગળ ચાપ $AB$ દ્વારા બનતો ખૂણો $\angle AOB = \pi - (\angle MOA + \angle NOB) = \pi - (\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3}$ થાય.
ચાપ $AB$ ની લંબાઈ $= r \cdot \theta = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણ $(x - 2)(x - 4) + (y - 3)(y - 5) = 0$ એ એક વર્તુળ દર્શાવે છે જેમાં $A(2, 3)$ અને $B(4, 5)$ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ છે.
વ્યાસ $AB$ ની લંબાઈ $\sqrt{(4 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \sqrt{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$AB$ ને પાયો લેતા,પાયાની લંબાઈ $2\sqrt{2}$ છે.
તેથી,$\frac{1}{2} \times (2\sqrt{2}) \times h = \sqrt{2}$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $h = 1$ મળે છે.
વેધ $h$ એ બિંદુ $C$ થી વ્યાસ $AB$ પરના લંબ અંતરને દર્શાવે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{AB}{2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ છે,અને જરૂરી વેધ $h = 1$ એ ત્રિજ્યા કરતા ઓછો હોવાથી,$AB$ ની બંને બાજુએ $1$ એકમ અંતરે $AB$ ને સમાંતર બે જીવાઓ મળે છે.
આ દરેક બે જીવાઓ વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,બિંદુ $C$ માટે કુલ $2 + 2 = 4$ શક્ય સ્થાનો છે.

(A) સૌથી નાના વર્તુળ માટે,બિંદુ $(1, 2)$ અને રેખા $x + y - 7 = 0$ પરના તેના પ્રક્ષેપને જોડતો રેખાખંડ વ્યાસ તરીકે કાર્ય કરે છે.
રેખા $x + y - 7 = 0$ (ઢાળ $-1$) ને લંબ રેખાખંડનો ઢાળ $1$ થાય.
તેથી,$(1, 2)$ અને $(h, k)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $\frac{k - 2}{h - 1} = 1 \implies k = h + 1$.
બિંદુ $(h, k)$ રેખા પર હોવાથી,$h + (h + 1) - 7 = 0 \implies 2h = 6 \implies h = 3, k = 4$.
વર્તુળનું સમીકરણ: $(x - 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 4) = 0 \implies x^2 + y^2 - 4x - 6y + 11 = 0$.
અહીં $g = -2, f = -3, c = 11$.
$(g + 2f + 3c) = -2 + 2(-3) + 3(11) = -2 - 6 + 33 = 25$.

(A) $z\bar{z} = 1$ સમીકરણ એ $r = 1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું છે.
$(4 - 3i)z + (4 + 3i)\bar{z} - 15 = 0$ સમીકરણને $8x + 6y - 15 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $8x + 6y - 15 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|-15|}{\sqrt{8^2 + 6^2}} = \frac{15}{10} = 1.5$ છે.
વર્તુળ અને રેખા વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $|d - r| = |1.5 - 1| = 0.5 = 1/2$ થાય.

(B) ધારો કે $AC = 3x$ અને $CB = x$. તેથી $AB = 4x$.
બિંદુ $C$ માટે પાવર ઓફ પોઈન્ટ પ્રમેય મુજબ,$AC \cdot CB = CD \cdot CE$.
ધારો કે $h_1 = 3$ અને $h_2 = 2$ એ $D$ અને $E$ થી $AB$ પરના લંબ અંતર છે.
$\triangle D C B'$ માં,$CD = \frac{3}{\sin \alpha}$.
$\triangle E C B''$ માં,$CE = \frac{2}{\sin \alpha}$.
તેથી,$(3x)(x) = \frac{6}{\sin^2 \alpha} \implies 3x^2 = \frac{6}{\sin^2 \alpha} \implies x = \frac{\sqrt{2}}{\sin \alpha}$.
$AB = 4x = \frac{4\sqrt{2}}{\sin \alpha}$.
$AB$ ન્યૂનતમ હોવા માટે,$\sin \alpha = 1$ એટલે કે $\alpha = \frac{\pi}{2}$.
તેથી $r = 4\sqrt{2}$.
$r\alpha = (4\sqrt{2}) \cdot \frac{\pi}{2} = 2\sqrt{2}\pi$.

(D) વર્તુળ $C_1: x^2 + y^2 - 4x + 6y + 1 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $(2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - 1} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ છે.
$C_2$ નું કેન્દ્ર $(2, -3)$ નું $x$-અક્ષ પરનું પ્રતિબિંબ $(2, 3)$ છે. $C_2$ ની ત્રિજ્યા પણ $2\sqrt{3}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2-2)^2 + (3 - (-3))^2} = 6$ છે.
$C_1$ નો $C_2$ માં સામાન્ય ન હોય તેવો ભાગ = $C_1$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ - છેદન ભાગનું ક્ષેત્રફળ.
છેદન ભાગનું ક્ષેત્રફળ $= 2r^2 \cos^{-1}(\frac{d}{2r}) - \frac{d}{2} \sqrt{4r^2 - d^2} = 24(\frac{\pi}{6}) - 3\sqrt{12} = 4\pi - 6\sqrt{3}$.
માગેલ ક્ષેત્રફળ $= 12\pi - (4\pi - 6\sqrt{3}) = 8\pi + 6\sqrt{3}$.

(D) ધારો કે $A, B, C$ પર કેન્દ્રિત વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1, r_2, r_3$ છે.
વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી:
$r_1 + r_2 = AB = 3$
$r_1 + r_3 = AC = 4$
$r_2 + r_3 = BC = 5$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(r_1 + r_2 + r_3) = 3 + 4 + 5 = 12$, તેથી $r_1 + r_2 + r_3 = 6$.
હવે, આપણે ત્રિજ્યાઓ શોધીએ:
$r_3 = (r_1 + r_2 + r_3) - (r_1 + r_2) = 6 - 3 = 3$
$r_2 = (r_1 + r_2 + r_3) - (r_1 + r_3) = 6 - 4 = 2$
$r_1 = (r_1 + r_2 + r_3) - (r_2 + r_3) = 6 - 5 = 1$
ત્રણેય વર્તુળોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $\pi r_1^2 + \pi r_2^2 + \pi r_3^2 = \pi(1^2 + 2^2 + 3^2) = \pi(1 + 4 + 9) = 14\pi$ થાય.

(A) ધારો કે વર્તુળ $S: x^2 + y^2 - 3x + 1 = 0$ અને રેખા $L: 2x - y - 2 = 0$ છે.
બિંદુ $(m, 1)$ વર્તુળની અંદર હોય તે માટે,$S(m, 1) < 0$:
$m^2 + 1^2 - 3m + 1 < 0$ $\Rightarrow m^2 - 3m + 2 < 0$ $\Rightarrow (m-1)(m-2) < 0$ $\Rightarrow m \in (1, 2)$.
બિંદુ $(m, 1)$ રેખા $L$ ની તે જ બાજુએ હોય જે બાજુ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(1.5, 0)$ છે,તે માટે:
$L(1.5, 0) = 2(1.5) - 0 - 2 = 1 > 0$.
તેથી,નાના પ્રદેશ માટે આપણે $L(m, 1) < 0$ ની જરૂર છે:
$2m - 1 - 2 < 0$ $\Rightarrow 2m < 3$ $\Rightarrow m < 1.5$.
$m \in (1, 2)$ અને $m < 1.5$ ને જોડતા,આપણને $m \in (1, 1.5)$ મળે છે.
અંતરાલ $(1, 1.5)$ માં કોઈ પૂર્ણાંક સંખ્યા નથી.
તેથી,પૂર્ણાંક સંખ્યાઓની સંખ્યા $0$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $|x - 1| + |y - 4| = 6$ છે. આ એક ચોરસ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $(1, 4)$ છે.
ચોરસની બાજુઓ રેખાઓ $\pm(x - 1) \pm(y - 4) = 6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. એક બાજુ $(x - 1) + (y - 4) = 6$ છે,જે $x + y - 11 = 0$ તરીકે સરળ બને છે.
આ વક્રને સ્પર્શતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1, 4)$ થી રેખા $x + y - 11 = 0$ નું લંબ અંતર છે:
$r = \left| \frac{1 + 4 - 11}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \right| = \left| \frac{-6}{\sqrt{2}} \right| = 3\sqrt{2}$.
કેન્દ્ર $(1, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r = 3\sqrt{2}$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = (3\sqrt{2})^2$
$x^2 + y^2 - 2x - 8y - 1 = 0$.

(C) યામ $A(0, 0)$,$B(1, \sqrt{3})$,અને $C(2, 0)$ છે.
અહીં $AB = 2$,$BC = 2$,અને $AC = 2$ હોવાથી,$\Delta ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
ભૂમિતિ મુજબ,રેખા $BP$ એ $BC$ ને લંબ છે.
$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{0-\sqrt{3}}{2-1} = -\sqrt{3}$ છે.
$BP \perp BC$ હોવાથી,$BP$ નો ઢાળ $m_{BP} = -\frac{1}{m_{BC}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.

(C) ધારો કે બે વર્તુળોની ત્રિજ્યા $r_1 = 2$ અને $r_2 = 4$ છે. કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = r_1 + r_2 = 2 + 4 = 6$ છે.
ત્રિકોણ $\triangle QPR$ માં,ખૂણો $\angle QPR = 90^\circ$ છે કારણ કે $P$ પરનો સામાન્ય સ્પર્શક ખૂણા $\angle QPR$ ને દુભાગે છે.
તેથી,$QR^2 = PQ^2 + PR^2$.
સામાન્ય બાહ્ય સ્પર્શક $QR$ ની લંબાઈ $\sqrt{d^2 - (r_2 - r_1)^2} = \sqrt{6^2 - (4 - 2)^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$QR^2 = 32$.
આપણે $PQ^2 + QR^2 + RP^2 = (PQ^2 + PR^2) + QR^2 = QR^2 + QR^2 = 2 \times QR^2$ શોધવાનું છે.
કિંમત મૂકતા,આપણને $2 \times 32 = 64$ મળે છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x - 2)^2}{3^2} + \frac{(y + 2)^2}{2^2} = 1$ છે. તેનું કેન્દ્ર $(2, -2)$ છે અને અર્ધ-અક્ષો $a=3, b=2$ છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 4 = 0$ છે. પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 1$. તેનું કેન્દ્ર $(2, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2-2)^2 + (-1 - (-2))^2} = 1$ છે.
બંને વક્રો બિંદુ $(2, 0)$ આગળ એકબીજાને સ્પર્શે છે. તેથી,તેમના સામાન્ય સ્પર્શકની સંખ્યા $1$ છે.

(B) બિંદુ $P(-1, 3)$ ની વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 8 = 0$ સાપેક્ષ પાવર $PA \times PB = (PT)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $PT$ એ $P$ થી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ છે.
બિંદુનો પાવર ગણતા:
$(PT)^2 = (-1)^2 + (3)^2 - 2(-1) + 4(3) - 8$
$(PT)^2 = 1 + 9 + 2 + 12 - 8 = 16$
આમ,$PA \times PB = 16$.
ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $PA$ અને $PB$ માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{PA + PB}{2} \geq \sqrt{PA \times PB}$
$PA + PB \geq 2 \sqrt{16}$
$PA + PB \geq 2 \times 4 = 8$
$PA + PB$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $8$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $\left( \frac{1 + \sqrt{2} a}{2}, \frac{1 - \sqrt{2} a}{2} \right)$ છે. નોંધો કે $P$ એ વર્તુળ $2x^2 + 2y^2 - (1 + \sqrt{2} a)x - (1 - \sqrt{2} a)y = 0$ પર આવેલું છે.
ધારો કે રેખા $x + y = 0$ એ જીવા $PQ$ ને બિંદુ $M(h, -h)$ પર દુભાગે છે.
$M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$Q$ ના યામ $(2h - x_P, -2h - y_P)$ થશે.
$Q$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા અને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $h$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે: $8h^2 - 6\sqrt{2}ah + 1 + 2a^2 = 0$.
જીવાઓ ભિન્ન હોવા માટે,આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $\Delta > 0$ હોવો જોઈએ.
$\Delta = (-6\sqrt{2}a)^2 - 4(8)(1 + 2a^2) > 0$
$72a^2 - 32 - 64a^2 > 0$
$8a^2 - 32 > 0$
$a^2 - 4 > 0$
$(a - 2)(a + 2) > 0$
આમ,$a \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

(C) $R = 1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત નિયમિત ષટ્કોણ માટે,બાજુની લંબાઈ ત્રિજ્યા જેટલી હોય છે,તેથી $A_0A_1 = A_1A_2 = 1$.
રેખાખંડ $A_0A_4$ એ વર્તુળની જીવા છે. નિયમિત ષટ્કોણમાં,કેન્દ્ર પર બનતો ખૂણો $60^\circ$ હોય છે. $A_0A_4$ જીવા કેન્દ્ર પર $120^\circ$ નો ખૂણો આંતરે છે.
વર્તુળની જીવાની લંબાઈ $2R \sin(\theta/2)$ સૂત્ર મુજબ,$A_0A_4 = 2(1) \sin(120^\circ/2) = 2 \sin(60^\circ) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
આમ,$A_0A_1$,$A_1A_2$ અને $A_0A_4$ ની લંબાઈનો ગુણાકાર $(1) \times (1) \times (\sqrt{3}) = \sqrt{3}$ થાય.

(A) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે. ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓ $A, B, C$ છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $Area = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિશ્ચિત વર્તુળ માટે,જ્યારે $\sin A \sin B \sin C$ મહત્તમ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય છે.
$A+B+C = \pi$ હોવાથી,$\sin A \sin B \sin C$ નો ગુણાકાર ત્યારે મહત્તમ થાય છે જ્યારે $A = B = C = \frac{\pi}{3}$ હોય.
આમ,ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવો જોઈએ.

(C) બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા ન્યૂનતમ હોય ત્યારે,તે બે બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ વર્તુળનો વ્યાસ બને છે.
આપેલા બિંદુઓ $A(1, 0)$ અને $B(0, 1)$ છે.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
આપેલા બિંદુઓ મૂકતા:
$(x - 1)(x - 0) + (y - 0)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + y(y - 1) = 0$
$x^2 - x + y^2 - y = 0$
$x^2 + y^2 - x - y = 0$

(B) કારણ કે $\angle ACB = 90^{\circ}$,બિંદુ $C$ એ $AB$ વ્યાસવાળા વર્તુળ પર આવેલું છે.
વ્યાસ $AB$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(3 - (-2))^2 + (5 - (-7))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \frac{13}{2}$ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 13 \times h = \frac{82}{3}$.
આમ,વેધ $h = \frac{164}{39} \approx 4.2$.
ત્રિકોણની મહત્તમ શક્ય ઊંચાઈ (જે વર્તુળની ત્રિજ્યા છે) $R = 6.5$ છે,અને $h < R$ હોવાથી,વ્યાસ $AB$ ની બંને બાજુએ ઊંચાઈ માટે બે શક્ય સ્થાનો છે.
દરેક ઊંચાઈ $h < R$ માટે,વર્તુળ પર બે બિંદુઓ $C$ છે જે ક્ષેત્રફળની શરત સંતોષે છે.
તેથી,આવા $2$ બિંદુઓ $C$ શક્ય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $(x - 2)(x - 4) + (y - 3)(y - 5) = 0$ એ $AB$ વ્યાસવાળું વર્તુળ દર્શાવે છે,જ્યાં $A = (2, 3)$ અને $B = (4, 5)$ છે.
વ્યાસ $AB$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(4 - 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AB \times h = \sqrt{2}$ છે.
$AB = 2\sqrt{2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times h = \sqrt{2}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\sqrt{2} \times h = \sqrt{2}$ થાય,તેથી $h = 1$ મળે.
વેધ $h$ એ બિંદુ $C$ થી રેખાખંડ $AB$ પરનું લંબ અંતર છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{AB}{2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ છે,અને $h = 1 < r$ હોવાથી,$AB$ થી $1$ એકમ અંતરે આવેલી બે રેખાઓ વર્તુળને છેદે છે.
આ બેમાંથી દરેક રેખા વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે. તેથી,બિંદુ $C$ માટે $4$ શક્ય સ્થાનો છે.

(B) આપેલ વક્ર $xy = c$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ છે.
વક્રો એકબીજાને સ્પર્શતા હોવાથી,તેઓ સ્પર્શ બિંદુઓ પર સામાન્ય સ્પર્શક ધરાવે છે.
સંમિતિ દ્વારા,જો $P(x, y)$ એ સ્પર્શ બિંદુ હોય,તો $Q(-x, -y)$ પણ સ્પર્શ બિંદુ છે.
બંને બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ પર આવેલા છે.
રેખાખંડ $PQ$ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે કારણ કે બિંદુઓ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
વર્તુળ પર $P$ અને $Q$ હોવાથી અને રેખા $PQ$ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી હોવાથી,$PQ$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ ની ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
તેથી,સ્પર્શ બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર એ વર્તુળનો વ્યાસ છે,જે $2r = 2(1) = 2$ થાય.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 4 = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $O_1 = (-1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 3$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $O_2 = (h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
બંને વર્તુળો બિંદુ $P(2, 2)$ પર બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,$P$ એ $O_1O_2$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$(2, 2) = \left( \frac{-1 + h}{2}, \frac{2 + k}{2} \right).$
તેથી,$h = 5$ અને $k = 2.$
વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $(x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 3^2$ એટલે કે $x^2 + y^2 - 10x - 4y + 20 = 0$ થાય.
$x-$અક્ષ પર કપાતા અંતઃખંડની લંબાઈ $2\sqrt{g^2 - c} = 2\sqrt{(-5)^2 - 20} = 2\sqrt{5}$ થાય.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 5x - y + 5 = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x - 5/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 3/2$ મળે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $C = (5/2, 1/2)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3/2}$ છે.
$PQ$ નું અંતર ત્યારે મહત્તમ થાય જ્યારે $Q$ એ $P$ અને $C$ માંથી પસાર થતી રેખા પર હોય.
$PC$ નું અંતર $\sqrt{(5/2 - 0)^2 + (1/2 - (-2))^2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ છે.
$PQ$ નું મહત્તમ અંતર $PC + r = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$ છે.
તેથી,$(PQ)^2$ ની મહત્તમ કિંમત $\left( \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \right)^2 = 14 + 5\sqrt{3}$ થાય.

(B) વર્તુળનો વ્યાસ $4 \, \text{units}$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2 \, \text{units}$ છે.
ધારો કે જીવાઓ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલા ખૂણા $2\theta$ અને $2\phi$ છે.
આપેલ છે કે $2\theta = \cos^{-1}(1/7) \Rightarrow \cos(2\theta) = 1/7$.
સૂત્ર $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2\cos^2\theta - 1 = 1/7$ $\Rightarrow 2\cos^2\theta = 8/7$ $\Rightarrow \cos^2\theta = 4/7$ $\Rightarrow \cos\theta = 2/\sqrt{7}$.
કેન્દ્રથી પ્રથમ જીવાનું અંતર $d_1 = r \cos\theta = 2 \times (2/\sqrt{7}) = 4/\sqrt{7}$ છે.
આપેલ છે કે $2\phi = \sec^{-1}(7)$ $\Rightarrow \sec(2\phi) = 7$ $\Rightarrow \cos(2\phi) = 1/7$.
સૂત્ર $\cos(2\phi) = 2\cos^2\phi - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2\cos^2\phi - 1 = 1/7$ $\Rightarrow 2\cos^2\phi = 8/7$ $\Rightarrow \cos^2\phi = 4/7$ $\Rightarrow \cos\phi = 2/\sqrt{7}$.
કેન્દ્રથી બીજી જીવાનું અંતર $d_2 = r \cos\phi = 2 \times (2/\sqrt{7}) = 4/\sqrt{7}$ છે.
જીવાઓ કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુએ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું કુલ અંતર $d_1 + d_2 = 4/\sqrt{7} + 4/\sqrt{7} = 8/\sqrt{7}$ થાય.

(B) વર્તુળોના સમીકરણો છે:
$C_1: x^2 + y^2 - 10x - 10y + \lambda = 0$,કેન્દ્ર $O_1 = (5, 5)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{50 - \lambda}$.
$C_2: x^2 + y^2 - 4x - 4y + 6 = 0$,કેન્દ્ર $O_2 = (2, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{2}$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = O_1O_2 = 3\sqrt{2}$.
બે સામાન્ય સ્પર્શકો માટે,શરત $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ છે.
$|\sqrt{50 - \lambda} - \sqrt{2}| < 3\sqrt{2} < \sqrt{50 - \lambda} + \sqrt{2}$.
આ ઉકેલતા,આપણને $\lambda > 18$ અને $\lambda < 42$ મળે છે.
તેથી,જરૂરી અંતરાલ $(18, 42)$ છે.

(D) વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 4$ છે.
વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2y = 0$ માટે,તેને $x^2 + (y - 1)^2 = 1$ તરીકે લખી શકાય,તેથી કેન્દ્ર $C_2 = (0, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(0 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = 1$ છે.
ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો $r_1 + r_2 = 4 + 1 = 5$ છે.
ત્રિજ્યાઓનો તફાવત $|r_1 - r_2| = |4 - 1| = 3$ છે.
અહીં $d < |r_1 - r_2|$ (કારણ કે $1 < 3$) હોવાથી,નાનું વર્તુળ મોટા વર્તુળની અંદર આવેલું છે.
તેથી,આ બે વર્તુળો માટે કોઈ સામાન્ય સ્પર્શક નથી.

(A) ધારો કે આપેલ વર્તુળ $S_1: x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $A(-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 5$ છે.
ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $B(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r_2$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $O(1, -1)$ છે. વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો $A, O, B$ સમરેખ છે અને $O$ એ $AB$ નું $r_1 : r_2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$r_2 = 5$ મળે છે.

(B) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x - 8y + (25 - a^2) = 0$ છે.
વ્યાપક સ્વરૂપ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g = -3$,$f = -4$,અને $c = 25 - a^2$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, 4)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ છે.
$r = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 - (25 - a^2)} = \sqrt{9 + 16 - 25 + a^2} = \sqrt{a^2} = |a|$.
વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા એ કેન્દ્રના $y$-યામના માનાંક જેટલી હોય.
તેથી,$|a| = |4|$,જેનો અર્થ છે કે $a = \pm 4$.

(A) વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0$ માટે,કેન્દ્ર $(3, -1)$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3^2 + (-1)^2 - 0} = \sqrt{10}$ છે.
ચકાસો કે કેન્દ્ર $(3, -1)$ એ રેખા $2x + y = 5$ પર છે કે નહીં: $2(3) + (-1) = 6 - 1 = 5$. કેન્દ્ર રેખા પર હોવાથી,રેખા એ વર્તુળનો વ્યાસ (અને તેથી અભિલંબ) છે. તેથી,વિધાન $2$ સાચું છે.
વિધાન $1$ માટે,$2x + y = 5$ રેખા પર કેન્દ્ર ધરાવતા અને $\sqrt{10}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અનંત વર્તુળો શક્ય છે. તેથી,વિધાન $1$ ખોટું છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ વર્તુળ $C_1$ છે જેની ત્રિજ્યા $r_1 = 1$ છે અને કેન્દ્ર $(0,0)$ પર છે.
બીજું વર્તુળ $C_2$ છે જેની ત્રિજ્યા $r_2$ છે અને કેન્દ્ર $(h,k)$ પર છે.
$C_2$ નો ચાપ $C_1$ ના પરિઘ પર $60^o$ નો ખૂણો આંતરે છે.
આંતરિક ખૂણાના પ્રમેય મુજબ,જો ચાપ કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા વર્તુળનો ભાગ હોય,તો $C_1$ ના કેન્દ્ર પર આંતરેલો ખૂણો $120^o$ થાય.
જો કે,બીજા વર્તુળના કેન્દ્રનું સ્થાન પ્રથમ વર્તુળના સંદર્ભમાં નિશ્ચિત નથી.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર અથવા છેદનબિંદુ દ્વારા બનતી જીવાની લંબાઈ જાણ્યા વગર,ત્રિજ્યા $r_2$ નક્કી કરી શકાતી નથી.
તેથી,આપેલી માહિતી $r_2$ શોધવા માટે અપૂરતી છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 3x = 0$ છે.
તેનું કેન્દ્ર $B = \left( -\frac{3}{2}, 0 \right)$ છે અને ત્રિજ્યા $\frac{3}{2}$ છે.
રેખા $y = mx + 1$ એ $y$-અક્ષને $A(0, 1)$ માં છેદે છે.
બે છેદબિંદુઓ $x$-અક્ષથી સમાન અંતરે અને વિરુદ્ધ બાજુએ હોવાથી,રેખાએ વર્તુળના કેન્દ્ર $B$ માંથી પસાર થવું જોઈએ.
$B\left( -\frac{3}{2}, 0 \right)$ ને $y = mx + 1$ માં મૂકતા:
$0 = m\left( -\frac{3}{2} \right) + 1$
$\frac{3}{2}m = 1$
$3m = 2$
$3m - 2 = 0$.

(C) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2 + y^2 - 8x - 2y + 1 = 0$ અને $C_2: x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0$ છે.
$C_1$ માટે,કેન્દ્ર $(4, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{4^2 + 1^2 - 1} = \sqrt{16} = 4$ છે.
$C_2$ માટે,કેન્દ્ર $(-3, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 - 0} = \sqrt{25} = 5$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{7^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}$ છે.
અહીં $\sqrt{49} < \sqrt{74} < \sqrt{81}$ હોવાથી,$7 < d < 9$ મળે છે.
વળી,$r_1 + r_2 = 4 + 5 = 9$ અને $|r_1 - r_2| = |4 - 5| = 1$ છે.
$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ હોવાથી,વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $2$ છે.

(A) ધારો કે ત્રણ વર્તુળોની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $b, a, c$ છે,જ્યાં $a$ એ $b$ અને $c$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે મોટા વર્તુળોની વચ્ચે મૂકાયેલ સૌથી નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા $r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળો વચ્ચેના સામાન્ય સ્પર્શકની લંબાઈ $L = \sqrt{(r_1+r_2)^2 - (r_1-r_2)^2} = 2\sqrt{r_1r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે વર્તુળોના $x$-અક્ષ સાથેના સ્પર્શબિંદુઓ અનુક્રમે $A, B, C$ છે.
અંતર $AB = 2\sqrt{ab}$ ($b$ અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળો વચ્ચે).
અંતર $BC = 2\sqrt{ac}$ ($a$ અને $c$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળો વચ્ચે).
અંતર $AC = 2\sqrt{bc}$ ($b$ અને $c$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળો વચ્ચે).
સૌથી નાનું વર્તુળ અન્ય બેની વચ્ચે હોવાથી,આપણી પાસે $AC = AB + BC$ છે.
$2\sqrt{bc} = 2\sqrt{ab} + 2\sqrt{ac}$.
બંને બાજુઓને $2\sqrt{abc}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{c}} + \frac{1}{\sqrt{b}}$.