TS EAMCET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે દોલનોનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દોલન કરતું દળ છે અને $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
કિસ્સો $I$: જ્યારે $700 \,g$ દળ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેતું દળ $m_1 = 500 \,g + 400 \,g = 900 \,g = 0.9 \,kg$ છે. આવર્તકાળ $T_1 = 3 \,s$ છે.
$3 = 2 \pi \sqrt{\frac{0.9}{k}} \quad \dots(i)$
કિસ્સો $II$: જ્યારે $500 \,g$ દળ વધુ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેતું દળ $m_2 = 400 \,g = 0.4 \,kg$ છે. ધારો કે નવો આવર્તકાળ $T_2$ છે.
$T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{0.4}{k}} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T_2}{3} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{0.4}{k}}}{2 \pi \sqrt{\frac{0.9}{k}}} = \sqrt{\frac{0.4}{0.9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$
$T_2 = 3 \times \frac{2}{3} = 2 \,s$
આમ,તંત્ર $2 \,s$ ના આવર્તકાળ સાથે દોલન કરશે.

(D) આપેલ છે, કંપવિસ્તાર, $A = 0.2 \,cm = 2 \times 10^{-3} \,m$.
સરળ આવર્ત ગતિમાં મધ્યમાન સ્થાને વેગ એ મહત્તમ વેગ છે, $v_{\text{max}} = 5 \,m/s$.
આપણે જાણીએ છીએ કે મહત્તમ વેગનું સૂત્ર $v_{\text{max}} = A \omega$ છે.
તેથી, કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{v_{\text{max}}}{A}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા, $\omega = \frac{5}{2 \times 10^{-3}} = 2.5 \times 10^3 = 2500 \,rad/s$.

(A) આપેલ છે: બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન છે.
વાયુ $A$ નું દબાણ $P_A = 3P_B$ છે.
વાયુ $A$ ની ઘનતા $\rho_A = 2\rho_B$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT = \frac{m}{M}RT$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ આણ્વીય દળ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $P = \frac{\rho RT}{M}$,જેનો અર્થ છે $M = \frac{\rho RT}{P}$.
વાયુ $A$ માટે: $M_A = \frac{\rho_A RT}{P_A}$.
વાયુ $B$ માટે: $M_B = \frac{\rho_B RT}{P_B}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{M_A}{M_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{P_B}{P_A}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{M_A}{M_B} = \frac{2\rho_B}{\rho_B} \times \frac{P_B}{3P_B} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

(C) ધારો કે ગોળો અટકે તે પહેલાં તેણે પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h$ છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, કુલ પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા (સ્થાનાંતરીય + ચાકગતિ) મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે।
$K_{\text{rot}} + K_{\text{trans}} = mgh$
$\frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m v_{CM}^2 = mgh$
ગોળો ગબડતો હોવાથી, $v_{CM} = R\omega$ અને નક્કર ગોળા માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \left( \frac{2}{5} mR^2 \right) \left( \frac{v_{CM}}{R} \right)^2 + \frac{1}{2} m v_{CM}^2 = mgh$
$\frac{1}{5} m v_{CM}^2 + \frac{1}{2} m v_{CM}^2 = mgh$
$m$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$v_{CM}^2 \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{2} \right) = gh$
$v_{CM}^2 \left( \frac{2+5}{10} \right) = gh$
$\frac{7}{10} v_{CM}^2 = gh$
અહીં $v_{CM} = 10 \,m/s$ અને $g = 10 \,m/s^2$ આપેલ છે:
$\frac{7}{10} \times (10)^2 = 10 \times h$
$\frac{7}{10} \times 100 = 10h$
$70 = 10h$
$h = 7 \,m$

(A) આપેલ છે: દળ $M = 1 \, kg$, લંબાઈ $L = 5 \, m$.
પાતળા સળિયા માટે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{ML^2}{12}$ છે.
$I_{CM} = \frac{1 \times 5^2}{12} = \frac{25}{12} \approx 2.083 \, kg \cdot m^2$.
ભ્રમણાક્ષ એક છેડાથી $x = 1 \, m$ અંતરે છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મધ્યબિંદુ પર હોય છે, જે બંને છેડાથી $L/2 = 2.5 \, m$ અંતરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને નવી અક્ષ વચ્ચેનું અંતર $d = |2.5 \, m - 1 \, m| = 1.5 \, m$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, $I = I_{CM} + Md^2$.
$I = 2.083 + (1 \times 1.5^2) = 2.083 + 2.25 = 4.333 \, kg \cdot m^2$.
આમ, જડત્વની ચાકમાત્રા $4.33 \, kg \cdot m^2$ છે.

(C) આપેલ છે,નક્કર નળાકારનું દળ,$M = 10 \,kg$.
ત્રિજ્યા,$R = 40 \,cm = 0.4 \,m$.
લંબાઈ,$L = 9R = 9 \times 0.4 = 3.6 \,m$.
નક્કર નળાકારની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની અક્ષને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$I_{COM} = M \left( \frac{L^2}{12} + \frac{R^2}{4} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$I_{COM} = 10 \left( \frac{(3.6)^2}{12} + \frac{(0.4)^2}{4} \right)$
$I_{COM} = 10 \left( \frac{12.96}{12} + \frac{0.16}{4} \right)$
$I_{COM} = 10 (1.08 + 0.04) = 10 \times 1.12 = 11.2 \,kg-m^2$.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,નળાકારની ધારમાંથી પસાર થતી અને તેની અક્ષને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I'$ નીચે મુજબ છે:
$I' = I_{COM} + M \left( \frac{L}{2} \right)^2$
$I' = 11.2 + 10 \left( \frac{3.6}{2} \right)^2$
$I' = 11.2 + 10 (1.8)^2$
$I' = 11.2 + 10 (3.24) = 11.2 + 32.4 = 43.6 \,kg-m^2$.

(A) એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $dm = \lambda|x|dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સળિયાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ $AA$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાની ગણતરી કરો:
$I_{AA} = \int x^2 dm = \int_{-L/2}^{L/2} x^2 (\lambda|x|) dx = 2\lambda \int_{0}^{L/2} x^3 dx = 2\lambda \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^{L/2} = \frac{\lambda}{2} \left( \frac{L}{2} \right)^4 = \frac{\lambda L^4}{32}$.
આપેલ છે કે $\lambda = 16 \ kg/m^2$ અને $L = 1 \ m$,તેથી $I_{AA} = \frac{16 \times 1^4}{32} = 0.5 \ kg \cdot m^2$.
હવે,સળિયાનું કુલ દળ $M$ શોધો:
$M = \int_{-L/2}^{L/2} \lambda|x| dx = 2\lambda \int_0^{L/2} x dx = 2\lambda \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{L/2} = \lambda \left( \frac{L}{2} \right)^2 = \frac{\lambda L^2}{4}$.
$\lambda = 16$ અને $L = 1$ લેતા,$M = \frac{16 \times 1^2}{4} = 4 \ kg$.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષ $BB$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો:
$I_{BB} = I_{CM} + M h^2$,જ્યાં $h = L/2 = 0.5 \ m$.
$I_{BB} = 0.5 + 4 \times (0.5)^2 = 0.5 + 4 \times 0.25 = 0.5 + 1 = 1.5 \ kg \cdot m^2$.

(A) સપાટી પર ગબડતી વસ્તુનું સપાટી પરના બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિને કારણે ઉદ્ભવતું કોણીય વેગમાન અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતા કોણીય વેગમાનના સરવાળા જેટલું હોય છે.
$L_O = L_{\text{linear}} + L_{\text{rotational}} = MvR + I\omega$
વસ્તુ સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$v = R\omega$,તેથી $\omega = \frac{v}{R}$.
$L_O = MvR + I\left(\frac{v}{R}\right) = vR \left(M + \frac{I}{R^2}\right)$
નક્કર ગોળા માટે,$I_1 = \frac{2}{5}MR^2$. તેથી,$L_1 = vR \left(M + \frac{2}{5}M\right) = \frac{7}{5}MvR$.
નક્કર નળાકાર માટે,$I_2 = \frac{1}{2}MR^2$. તેથી,$L_2 = vR \left(M + \frac{1}{2}M\right) = \frac{3}{2}MvR$.
ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\frac{7}{5}MvR}{\frac{3}{2}MvR} = \frac{7}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{14}{15}$.

(B) આપેલ છે: ઢાળ $\theta = 30^{\circ}$, લંબાઈ $l = 60 \,cm = 0.6 \,m$, ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા એ તળિયે રહેલી સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
અહીં, $h = l \sin \theta = 0.6 \times \sin 30^{\circ} = 0.6 \times 0.5 = 0.3 \,m$.
નક્કર નળાકાર માટે, જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mr^2$ અને સરક્યા વિના ગબડવા માટે, $\omega = \frac{v}{r}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
$gh = \frac{3}{4}v^2 \Rightarrow v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$
$v = \sqrt{\frac{4 \times 10 \times 0.3}{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2 \,m/s$.

(C) આપેલ છે: ગ્રહ $360$ દિવસમાં $2$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ $2\pi$ રેડિયન ખૂણા જેટલું હોય છે.
તેથી,$2$ પરિભ્રમણમાં કપાયેલ કુલ ખૂણો $\theta = 2 \times 2\pi = 4\pi$ રેડિયન થાય.
લાગતો સમય $t = 360$ દિવસ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $\omega = \frac{\theta}{t}$.
કિંમતો મૂકતા: $\omega = \frac{4\pi}{360} = \frac{\pi}{90} \text{ rad day}^{-1}$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,આપણને $\omega \approx \frac{3.14159}{90} \approx 0.0349 \text{ rad day}^{-1}$ મળે છે.
આને વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં $3.49 \times 10^{-2} \text{ rad day}^{-1}$ તરીકે લખી શકાય,જે આશરે $3.5 \times 10^{-2} \text{ rad day}^{-1}$ છે.

(C) સળિયાની ચાકગતિ ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$
$M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા સળિયા માટે,જે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ ધરી પર ફરે છે,જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = \frac{M L^2}{12}$
આ કિંમતને ગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K_{rot} = \frac{1}{2} \left( \frac{M L^2}{12} \right) \omega^2 = \frac{1}{24} M L^2 \omega^2$ $(i)$
સળિયાનું દળ $M$ તેના કદ અને ઘનતાના સંદર્ભમાં નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (A \times L) \times \rho = A L \rho$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$K_{rot} = \frac{1}{24} (A L \rho) L^2 \omega^2 = \frac{1}{24} A L^3 \rho \omega^2$

(B) શીયરિંગ સ્ટ્રેસને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ સ્નિગ્ધ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનું સૂત્ર છે: $\text{Shearing Stress} = \frac{F}{A} = \eta \frac{dv}{dx}$.
નદીમાં,વેગ $v$ સપાટી પર $V$ થી બદલાઈને તળિયે (ઊંડાઈ $H$) $0$ થાય છે.
આમ,વેગ પ્રચલન (velocity gradient) $\frac{dv}{dx} = \frac{V}{H}$ છે.
આ કિંમતને સ્ટ્રેસના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\text{Shearing Stress} = \eta \frac{V}{H}$.

(A) $-10^{\circ} C$ તાપમાનના બરફને $110^{\circ} C$ તાપમાનની વરાળમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે નીચે મુજબના તબક્કાઓનો સમાવેશ થાય છે:
$1$. $-10^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી બરફને ગરમ કરવો: $Q_1 = m \cdot c_{\text{ice}} \cdot \Delta T = 0.04 \ kg \times 0.5 \ kcal/kg^{\circ} C \times 10^{\circ} C = 0.2 \ kcal$.
$2$. $0^{\circ} C$ તાપમાને બરફનું પાણીમાં રૂપાંતર: $Q_2 = m \cdot L_{\text{fusion}} = 0.04 \ kg \times 80 \ kcal/kg = 3.2 \ kcal$.
$3$. $0^{\circ} C$ થી $100^{\circ} C$ સુધી પાણીને ગરમ કરવું: $Q_3 = m \cdot c_{\text{water}} \cdot \Delta T = 0.04 \ kg \times 1 \ kcal/kg^{\circ} C \times 100^{\circ} C = 4.0 \ kcal$.
$4$. $100^{\circ} C$ તાપમાને પાણીનું વરાળમાં રૂપાંતર: $Q_4 = m \cdot L_{\text{vap}} = 0.04 \ kg \times 540 \ kcal/kg = 21.6 \ kcal$.
$5$. $100^{\circ} C$ થી $110^{\circ} C$ સુધી વરાળને ગરમ કરવી: $Q_5 = m \cdot c_{\text{steam}} \cdot \Delta T = 0.04 \ kg \times 0.48 \ kcal/kg^{\circ} C \times 10^{\circ} C = 0.192 \ kcal$.
કુલ ઉષ્મીય ઉર્જા $Q = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 + Q_5 = 0.2 + 3.2 + 4.0 + 21.6 + 0.192 = 29.192 \ kcal$.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં, એલિમેન્ટ દ્વારા શોષાયેલ પાવર એ આસપાસમાં ગુમાવેલા પાવર જેટલો હોય છે (ન્યૂટનનો શીતલનનો નિયમ)।
આપેલ છે, શોષાયેલ પાવર $P = 100 \,W$.
તેથી, $127^{\circ}C$ તાપમાને ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $100 \,J/s$ છે।
$127^{\circ}C$ થી $126^{\circ}C$ સુધીના નાના તાપમાનના ફેરફાર માટે, આપણે ધારી શકીએ કે ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર આશરે $100 \,W$ અચળ રહે છે।
એલિમેન્ટનું દળ $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s = 1 \,J/(g^{\circ}C) = 1000 \,J/(kg^{\circ}C)$.
$127^{\circ}C$ થી $126^{\circ}C$ સુધી ઠંડુ થવા માટે મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q = ms\Delta T = 0.1 \,kg \times 1000 \,J/(kg^{\circ}C) \times 1^{\circ}C = 100 \,J$.
લાગતો સમય $t = Q/P = 100 \,J / 100 \,W = 1.0 \,s$.

(A) આપેલ છે કે,દળ $m = 5 \,kg = 5000 \,g$.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c = 4.2 \,J / g^{\circ} C$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 20^{\circ} C$.
પાણીનું ઉત્કલન બિંદુ $T_2 = 100^{\circ} C$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 100^{\circ} C - 20^{\circ} C = 80^{\circ} C$.
આપવામાં આવતી ઉષ્મા ઉર્જાનું સૂત્ર $\Delta Q = m c \Delta T$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta Q = 5000 \,g \times 4.2 \,J / g^{\circ} C \times 80^{\circ} C$.
$\Delta Q = 5000 \times 4.2 \times 80 = 1680000 \,J$.
કિલોજૂલમાં રૂપાંતર કરતા: $\Delta Q = 1680 \,kJ$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,પદાર્થ $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતો ઉષ્માનો પ્રવાહ સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે સામાન્ય સપાટીનું તાપમાન $T$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $Q = \frac{KA \Delta T}{X}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો બંને સ્લેબ માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન હોય,તો:
$Q_A = Q_B$
$\frac{K_A (75^{\circ} C - T)}{X_A} = \frac{K_B (T - 50^{\circ} C)}{X_B}$
આપેલ છે કે $K_A = \frac{K_B}{2}$ અને $X_A = 2 X_B$,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{(K_B / 2) (75^{\circ} C - T)}{2 X_B} = \frac{K_B (T - 50^{\circ} C)}{X_B}$
$\frac{75^{\circ} C - T}{4} = T - 50^{\circ} C$
$75^{\circ} C - T = 4T - 200^{\circ} C$
$5T = 275^{\circ} C$
$T = 55^{\circ} C$
આમ,સામાન્ય સપાટીનું તાપમાન $55^{\circ} C$ છે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,સળિયા દ્વારા વહન પામતી ઉષ્મા સળિયાની સપાટી દ્વારા આસપાસના વાતાવરણમાં ઉષ્મા નયન અને વિકિરણ દ્વારા ગુમાવાય છે. ધારો કે $P$ એ સળિયાની પરિમિતિ છે અને $h$ એ ઉષ્મા સ્થાનાંતરણ ગુણાંક છે. ગરમ છેડાથી $x$ અંતરે ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $q = -kA \frac{dT}{dx}$ છે.
$dx$ જેટલા ઘટક દ્વારા આસપાસના વાતાવરણમાં ગુમાવાતી ઉષ્મા $dQ = hP(T - T_0) dx$ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,ઉષ્મા સંતુલન સમીકરણ $-kA \frac{d^2T}{dx^2} = hP(T - T_0)$ છે.
ધારો કે $\theta = T - T_0$,તો $\frac{d^2\theta}{dx^2} = \frac{hP}{kA} \theta$. આનું ઉકેલ $\theta = \theta_0 e^{-mx}$ છે,જ્યાં $m = \sqrt{\frac{hP}{kA}}$.
મીણ $l$ લંબાઈ સુધી ઓગળે છે જ્યાં તાપમાન $\theta$ એ ગલનબિંદુ $\theta_m$ સુધી પહોંચે છે. તેથી,$\theta_m = \theta_0 e^{-ml}$.
કારણ કે $\theta_m, \theta_0, h,$ અને $P$ બંને સળિયા માટે સમાન છે,તેથી $ml$ અચળ હોવું જોઈએ. તેથી,$l \propto \frac{1}{\sqrt{m^2}} \propto \sqrt{k}$.
આમ,$\frac{l_A}{l_B} = \sqrt{\frac{k_A}{k_B}}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{k_A}{k_B} = \frac{l_A^2}{l_B^2}$.

(C) સ્ટીફનના નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ઉષ્મા ગુમાવવાનો ચોખ્ખો દર $\frac{dQ}{dt} = \varepsilon \sigma A (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે અને $T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
ઉષ્માનો વ્યય $\frac{dQ}{dt} = -mc \frac{dT}{dt}$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે,તેથી $-mc \frac{dT}{dt} = \varepsilon \sigma A (T^4 - T_0^4)$.
ધારો કે $T = T_0 + \Delta T$,જ્યાં $\Delta T \ll T_0$. તો $T^4 - T_0^4 = (T_0 + \Delta T)^4 - T_0^4 = T_0^4 (1 + \frac{\Delta T}{T_0})^4 - T_0^4$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x \ll 1$,આપણને $T^4 - T_0^4 \approx T_0^4 (1 + \frac{4\Delta T}{T_0}) - T_0^4 = 4T_0^3 \Delta T$ મળે છે.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને $-\frac{dT}{dt} = \frac{\varepsilon \sigma A 4T_0^3}{mc} \Delta T = k(T - T_0)$ મળે છે,જ્યાં $k = \frac{4\varepsilon \sigma A T_0^3}{mc}$.
આ ન્યુટનનો શીતલનનો નિયમ છે,જે દર્શાવે છે કે તે સ્ટીફનના નિયમનો એક વિશિષ્ટ કિસ્સો છે.

(A) વિકિરણ દ્વારા ઉષ્મા સ્થાનાંતરણનો દર સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$. પદાર્થનું તાપમાન,આસપાસનું તાપમાન અને સપાટીની પ્રકૃતિ (એમિસિવિટી $e$) સમાન રહેતી હોવાથી,ઉષ્મા સ્થાનાંતરણનો દર નળાકારના સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\Rightarrow P \propto A$
$\Rightarrow \frac{P_2}{P_1} = \frac{A_2}{A_1} \Rightarrow P_2 = P_1 \times \frac{A_2}{A_1} \quad \dots(i)$
નળાકારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ સમાન રહે છે,તેથી $V = \pi r_1^2 l_1 = \pi r_2^2 l_2$.
$l_2 = l_1 \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = 5.0 \times \left( \frac{2.5}{0.5} \right)^2 = 5.0 \times 25 = 125 \ cm$.
નળાકારનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 2\pi r l + 2\pi r^2 = 2\pi r(l + r)$ છે.
$A_1 = 2\pi (2.5)(5.0 + 2.5) = 2\pi (2.5)(7.5) = 37.5\pi \ cm^2$.
$A_2 = 2\pi (0.5)(125 + 0.5) = 2\pi (0.5)(125.5) = 125.5\pi \ cm^2$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$P_2 = 1.0 \times \frac{125.5\pi}{37.5\pi} = \frac{125.5}{37.5} \approx 3.346 \ W \approx 3.35 \ W$.

(C) થર્મોસ બોટલની બે દીવાલો વચ્ચેની જગ્યાને શૂન્યાવકાશિત કરવામાં આવે છે જેથી ઉષ્માવહન (conduction) અને ઉષ્માનયન (convection) દ્વારા થતા ઉષ્માના વહનને અટકાવી શકાય.
જોકે,વિકિરણ (radiation) દ્વારા થતા ઉષ્માના વહન માટે કોઈ માધ્યમની જરૂર હોતી નથી અને તે શૂન્યાવકાશમાંથી પસાર થઈ શકે છે.
તેથી,બે દીવાલો વચ્ચેનું શૂન્યાવકાશ વિકિરણ દ્વારા થતા ઉષ્માના વહનને અટકાવતું નથી.
આમ,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ એ દબાણમાં થતા ફેરફાર અને કદમાં થતા આંશિક ફેરફારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ઘન પદાર્થો વાયુઓની તુલનામાં ખૂબ જ ઊંચો બલ્ક મોડ્યુલસ ધરાવે છે કારણ કે તેઓ ગીચ રીતે ગોઠવાયેલા હોય છે અને કદમાં ફેરફારનો પ્રતિકાર કરે છે.
તેથી,ઘન પદાર્થો સૌથી ઓછા સંકોચનીય છે,જ્યારે વાયુઓ સૌથી વધુ સંકોચનીય છે.
વિધાન $(B)$ દાવો કરે છે કે વાયુઓ સૌથી ઓછા સંકોચનીય છે,જે ખોટું છે.
ઘન પદાર્થોની અસંકોચનીયતા પાડોશી પરમાણુઓ વચ્ચેના મજબૂત આંતર-પરમાણુ બળો (ચુસ્ત જોડાણ) ને કારણે ઉદ્ભવે છે.
સંકોચનીયતાને બલ્ક મોડ્યુલસના વ્યસ્ત $(K = 1/B)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $t_1 = 20^{\circ} C$
અંતિમ તાપમાન $t_2 = 60^{\circ} C$
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = t_2 - t_1 = 60^{\circ} C - 20^{\circ} C = 40^{\circ} C$
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 10^{-5} {^{\circ} C}^{-1}$
પ્રારંભિક પરિમાણો $40 \text{ cm} \times 20 \text{ cm}$ છે.
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A = 40 \text{ cm} \times 20 \text{ cm} = 800 \text{ cm}^2$.
ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક $\beta = 2\alpha$ છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\Delta A = A \beta \Delta T = A (2\alpha) \Delta T$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta A = 800 \text{ cm}^2 \times (2 \times 10^{-5} {^{\circ} C}^{-1}) \times 40^{\circ} C$
$\Delta A = 800 \times 2 \times 10^{-5} \times 40 \text{ cm}^2$
$\Delta A = 64000 \times 10^{-5} \text{ cm}^2$
$\Delta A = 0.64 \text{ cm}^2$.

(B) ધારો કે $25^{\circ} C$ તાપમાને ધાતુની માપપટ્ટી વડે માપવામાં આવેલ સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ $L_s$ છે. માપપટ્ટી $0^{\circ} C$ તાપમાને અંકિત કરેલી છે,તેથી $25^{\circ} C$ તાપમાને તેની લંબાઈમાં વધારો થાય છે. માપપટ્ટી પરનું $1 \ m$ નું માપ $25^{\circ} C$ તાપમાને વાસ્તવિક લંબાઈ $L_{actual} = 1(1 + \alpha_{\text{metal}} \Delta T) = 1(1 + 20 \times 10^{-6} \times 25) = 1 + 0.0005 = 1.0005 \ m$ દર્શાવે છે.
આ $25^{\circ} C$ તાપમાને સ્ટીલના સળિયાની વાસ્તવિક લંબાઈ છે. ધારો કે $0^{\circ} C$ તાપમાને સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ $L_0$ છે.
સ્ટીલના સળિયા માટે ઉષ્મીય પ્રસરણનું સૂત્ર વાપરતા: $L_{actual} = L_0(1 + \alpha_{\text{steel}} \Delta T)$.
$1.0005 = L_0(1 + 12 \times 10^{-6} \times 25)$.
$1.0005 = L_0(1 + 0.0003) = L_0(1.0003)$.
$L_0 = \frac{1.0005}{1.0003} \approx 1.0001999 \ m \approx 1.0002 \ m$.

(D) આ પ્રક્રિયા ત્રણ તબક્કામાં વહેંચાયેલી છે:
તબક્કો $I$: $V_0$ થી $3V_0$ સુધીનું વિસ્તરણ જ્યાં $p = p_0(V/V_0)$.
કાર્ય $W_I = \int_{V_0}^{3V_0} p dV = \int_{V_0}^{3V_0} \frac{p_0}{V_0} V dV = \frac{p_0}{V_0} \left[ \frac{V^2}{2} \right]_{V_0}^{3V_0} = \frac{p_0}{2V_0} (9V_0^2 - V_0^2) = 4p_0 V_0$.
તબક્કો $II$: સમકદ પ્રક્રિયા (કદ $3V_0$ પર અચળ છે),તેથી કાર્ય $W_{II} = 0$.
તબક્કો $III$: $3V_0$ થી $V_0$ સુધીનું સમદાબી સંકોચન અચળ દબાણ $p_0$ પર.
કાર્ય $W_{III} = \int_{3V_0}^{V_0} p_0 dV = p_0 (V_0 - 3V_0) = -2p_0 V_0$.
કુલ કાર્ય $W_{\text{total}} = W_I + W_{II} + W_{III} = 4p_0 V_0 + 0 - 2p_0 V_0 = 2p_0 V_0$.

(C) આપેલ છે: દબાણ $p = 4 \times 10^5 \,N/m^2$, આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = 2000 \,J$, કદમાં ફેરફાર $\Delta V = 3 \times 10^{-3} \,m^3$.
વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $\Delta W = p \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta W = (4 \times 10^5) \times (3 \times 10^{-3}) = 12 \times 10^2 = 1200 \,J$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$, જ્યાં $\Delta U$ એ આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે.
તેથી, $\Delta U = \Delta Q - \Delta W$.
$\Delta U = 2000 \,J - 1200 \,J = 800 \,J$.

(A) કાર્નોટ ચક્રમાં,સ્ત્રોત અને સિંક બંનેની ઉષ્મા ધારણ ક્ષમતા અનંત માનવામાં આવે છે.
આ અનંત ઉષ્મા ક્ષમતાને કારણે,તેમાંથી ઉષ્મા લેવાથી કે તેમાં ઉષ્મા મુક્ત કરવાથી તેમના તાપમાનમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન સ્ત્રોતનું તાપમાન અચળ રહે છે.

(B) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે,$\eta_1 = 0.4$ અને $T_1 = 500 \ K$.
આ કિંમતો મૂકતા: $0.4 = 1 - \frac{T_2}{500} \Rightarrow \frac{T_2}{500} = 0.6 \Rightarrow T_2 = 300 \ K$.
હવે,બીજા કિસ્સા માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 0.5$ છે અને સિંકનું તાપમાન $T_2 = 300 \ K$ સમાન રહે છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $0.5 = 1 - \frac{300}{T_1}$.
ગોઠવણી કરતા $\frac{300}{T_1} = 0.5 \Rightarrow T_1 = \frac{300}{0.5} = 600 \ K$ મળે છે.

(A) ધારો કે $Q_1$ એ $T_1$ તાપમાને રહેલા સ્ત્રોતમાંથી એન્જિન $C_1$ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા છે,અને $Q_2$ એ $T_2$ તાપમાને $C_1$ દ્વારા મુક્ત કરાયેલી ઉષ્મા છે.
એન્જિન $C_1$ ની કાર્યક્ષમતા $\eta_1 = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1}$ છે.
એન્જિન $C_2$ એ $C_1$ દ્વારા મુક્ત કરાયેલી ઉષ્મા $Q_2$ શોષે છે અને $T_3$ તાપમાને ઉષ્મા $Q_3$ મુક્ત કરે છે.
એન્જિન $C_2$ ની કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 1 - \frac{T_3}{T_2} = \frac{Q_2 - Q_3}{Q_2}$ છે.
સંયુક્ત સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $W = W_1 + W_2 = (Q_1 - Q_2) + (Q_2 - Q_3) = Q_1 - Q_3$ છે.
સંયુક્ત સિસ્ટમ દ્વારા શોષાયેલી કુલ ઉષ્મા $Q_1$ છે.
સંયુક્ત એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_3}{Q_1} = 1 - \frac{Q_3}{Q_1}$ છે.
કાર્યક્ષમતાના સૂત્રો પરથી: $Q_2 = Q_1(1 - \eta_1) = Q_1 \frac{T_2}{T_1}$ અને $Q_3 = Q_2(1 - \eta_2) = Q_2 \frac{T_3}{T_2}$.
$Q_3$ ના સમીકરણમાં $Q_2$ ની કિંમત મૂકતા: $Q_3 = \left(Q_1 \frac{T_2}{T_1}\right) \frac{T_3}{T_2} = Q_1 \frac{T_3}{T_1}$.
તેથી,સંયુક્ત એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{Q_3}{Q_1} = 1 - \frac{T_3}{T_1}$ છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં કરવામાં આવતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta W = \frac{\mu R \Delta T}{\gamma - 1}$.
$1$ મોલ મોનોએટોમિક વાયુ માટે $(\mu = 1)$: $\Delta T = 20^{\circ} C$,$\gamma = 5/3$. તેથી,$W = \frac{1 \times R \times 20}{(5/3 - 1)} = \frac{20R}{2/3} = 30R$ ... $(i)$.
$6$ મોલ રિજિડ ડાયટોમિક વાયુ માટે $(\mu = 6)$: $\Delta T = 20^{\circ} C$,$\gamma = 7/5$. કાર્ય $W'$ નીચે મુજબ મળે છે: $W' = \frac{6 \times R \times 20}{(7/5 - 1)} = \frac{120R}{2/5} = \frac{120R \times 5}{2} = 300R$.
$W'$ ની $W$ સાથે સરખામણી કરતા: $W' = 300R = 10 \times (30R) = 10W$.

(A) આપેલ છે કે,આદર્શ વાયુનું પ્રારંભિક તાપમાન,દબાણ અને કદ $T_1 = T$,$p_1 = p$,અને $V_1 = V$ છે.
અંતિમ તાપમાન,દબાણ અને કદ $T_2 = T/2$,$p_2 = 2p$,અને $V_2 = ?$ છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ મુજબ,$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{p \times V}{T} = \frac{2p \times V_2}{T/2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{pV}{T} = \frac{4p V_2}{T}$.
બંને બાજુથી $p$ અને $T$ ને દૂર કરતા,આપણને $V = 4 V_2$ મળે છે.
તેથી,નવું કદ $V_2 = V/4$ થશે.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી $\Delta T = 0$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $\Delta U$ માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે,તેથી $\Delta U = n C_V \Delta T$.
કારણ કે $\Delta T = 0$ છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
તેથી,સમીકરણ $\Delta Q = \Delta W$ માં પરિણમે છે.
આનો અર્થ એ છે કે તંત્રને આપવામાં આવેલી તમામ ઉષ્મા તંત્ર દ્વારા કરવામાં આવતા બાહ્ય કાર્યમાં રૂપાંતરિત થાય છે.

(D) આદર્શ વાયુની એવી પ્રક્રિયા જેમાં તંત્ર અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે કોઈ ઉષ્માનું આદાન-પ્રદાન થતું નથી,તેને એડિયાબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.
આ પ્રક્રિયામાં,ઉષ્માનો ફેરફાર $dQ = 0$ હોય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dU = dQ - dW$,જે એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે $dU = -dW$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) ઘન પદાર્થ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્માનું સૂત્ર: $\Delta Q = m s \Delta T$ છે, જ્યાં $s$ એ ઘન પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
આપેલ કિંમતો: દળ $m = 2 \,kg$, શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q = 50 \,kJ = 50,000 \,J$, અને તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 70^{\circ} C - 20^{\circ} C = 50^{\circ} C$.
$s$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $s = \frac{\Delta Q}{m \cdot \Delta T}$.
કિંમતો મૂકતા: $s = \frac{50,000 \,J}{2 \,kg \times 50^{\circ} C} = \frac{50,000}{100} \,J / kg^{\circ} C = 500 \,J / kg^{\circ} C$.
તેથી, ઘન પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $500 \,J / kg^{\circ} C$ છે.

(A) આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય (state function) છે,જેનો અર્થ છે કે તે માત્ર તંત્રની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે.
તે પ્રારંભિક અવસ્થામાંથી અંતિમ અવસ્થા સુધી પહોંચવા માટે પસંદ કરેલા માર્ગ પર આધાર રાખતું નથી.
બંને પ્રક્રિયાઓ $I$ અને $II$ માં,તંત્ર અવસ્થા $A$ થી શરૂ થાય છે અને અવસ્થા $B$ પર સમાપ્ત થાય છે.
કારણ કે બંને પ્રક્રિયાઓ માટે પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ સમાન છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,$\Delta U_1 = \Delta U_2$.

(B) આપેલ છે કે,દોલનનો આવર્તકાળ $T$ એ $T \propto p^\alpha S^\beta E^\gamma$ અથવા $T = k p^\alpha S^\beta E^\gamma$ છે.
$T, p, S$ અને $E$ ના પરિમાણો મૂકતા:
$[M^0 L^0 T^1] = [ML^{-1} T^{-2}]^\alpha [ML^{-3}]^\beta [ML^2 T^{-2}]^\gamma$
$[M^0 L^0 T^1] = [M^{\alpha+\beta+\gamma} L^{-\alpha-3\beta+2\gamma} T^{-2\alpha-2\gamma}]$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$1) \alpha + \beta + \gamma = 0$
$2) -\alpha - 3\beta + 2\gamma = 0$
$3) -2\alpha - 2\gamma = 1$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$\alpha + \gamma = -\frac{1}{2}$.
આને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,$-\frac{1}{2} + \beta = 0 \implies \beta = \frac{1}{2}$.
હવે,$\beta = \frac{1}{2}$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$-\alpha - 3(\frac{1}{2}) + 2\gamma = 0 \implies -\alpha + 2\gamma = \frac{3}{2}$.
આપણી પાસે સિસ્ટમ છે:
$i) \alpha + \gamma = -\frac{1}{2}$
$ii) -\alpha + 2\gamma = \frac{3}{2}$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$3\gamma = 1 \implies \gamma = \frac{1}{3}$.
$\gamma = \frac{1}{3}$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$\alpha + \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} \implies \alpha = -\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = -\frac{5}{6}$.
આમ,$\alpha = -\frac{5}{6}, \beta = \frac{1}{2}, \gamma = \frac{1}{3}$.

(C) કોણીય વેગમાન $(L)$ એ રેખીય વેગમાન $(p)$ અને પરિભ્રમણની ધરીથી લંબ અંતર $(r)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$L = p \times r = m \times v \times r$.
તેના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
દળ $(m)$ = $[M]$
વેગ $(v)$ = $[LT^{-1}]$
અંતર $(r)$ = $[L]$
તેથી,કોણીય વેગમાનનું પરિમાણ = $[M] \times [LT^{-1}] \times [L] = [ML^2 T^{-1}]$.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ નું પરિમાણ નીચે મુજબ છે:
$[E] = \frac{[F]}{[q]} = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[A^1 T^1]} = [M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}] \quad ... (i)$
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0$ નું પરિમાણ લાંબા સીધા તાર માટે $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ સંબંધ પરથી અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા $u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}$ પરથી મેળવી શકાય છે. બળના નિયમ $F = qvB$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને મળે છે:
$[\mu_0] = [M^1 L^1 T^{-2} A^{-2}] \quad ... (ii)$
હવે,આપણે $\frac{E^2}{\mu_0}$ નું પરિમાણ ગણીએ:
$\left[\frac{E^2}{\mu_0}\right] = \frac{[E]^2}{[\mu_0]} = \frac{[M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]^2}{[M^1 L^1 T^{-2} A^{-2}]}$
$= \frac{[M^2 L^2 T^{-6} A^{-2}]}{[M^1 L^1 T^{-2} A^{-2}]}$
$= [M^{2-1} L^{2-1} T^{-6-(-2)} A^{-2-(-2)}]$
$= [M^1 L^1 T^{-4}] = [MLT^{-4}]$

(B) આપેલ પૃષ્ઠતાણ $T = 70 \text{ dynes/cm}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ dyne} = 10^{-5} \text{ N}$ અને $1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}$ થાય.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = 70 \times \frac{10^{-5} \text{ N}}{10^{-2} \text{ m}}$
$T = 70 \times 10^{-5 - (-2)} \text{ N/m}$
$T = 70 \times 10^{-3} \text{ N/m}$.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$,જ્યાં $Q$ એ સિસ્ટમને આપેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે,અને $W$ એ સિસ્ટમ દ્વારા થયેલ કાર્ય છે.
કોઈપણ બે અવસ્થાઓ વચ્ચેની પ્રક્રિયા માટે,$\Delta U$ એ અવસ્થા વિધેય છે અને બંને માર્ગો માટે સમાન રહે છે.
માર્ગ-$1$ માટે ($P$ દબાણે $V$ થી $3V$ સુધીની સમદાબી પ્રક્રિયા):
$W_1 = P(3V - V) = 2PV$.
આપેલ છે કે $Q_1 = 5PV$,તેથી $\Delta U = Q_1 - W_1 = 5PV - 2PV = 3PV$.
માર્ગ-$2$ માટે (જે સમકદ અને સમદાબી પ્રક્રિયાનો બનેલો છે):
થયેલ કાર્ય $W_2$ એ $P-V$ આલેખમાં માર્ગની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે.
$W_2 = \text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ} + \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = (2V)(P) + \frac{1}{2}(2V)(\frac{3}{2}P - P) = 2PV + \frac{1}{2}(2V)(\frac{1}{2}P) = 2PV + 0.5PV = 2.5PV$.
કારણ કે $\Delta U$ બંને માર્ગો માટે સમાન છે,$\Delta U = 3PV$.
આમ,$Q_2 = \Delta U + W_2 = 3PV + 2.5PV = 5.5PV = 11PV/2$.

(A) અહીં, ઉદગમ સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યું છે.
ડોપ્લર અસર મુજબ, જ્યારે ઉદગમ અવલોકનકારથી દૂર જાય છે, ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ વાસ્તવિક આવૃત્તિ કરતા ઓછી હોય છે.
આભાસી આવૃત્તિ $f^{\prime}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
જ્યાં:
$f = 2000 \,Hz$ (વાસ્તવિક આવૃત્તિ)
$v = 340 \,m/s$ (ધ્વનિનો વેગ)
$v_s = 72 \,km/h = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \,m/s$ (ઉદગમનો વેગ)
કિંમતો મૂકતા:
$f^{\prime} = 2000 \left( \frac{340}{340 + 20} \right)$
$f^{\prime} = 2000 \left( \frac{340}{360} \right)$
$f^{\prime} = 2000 \left( \frac{17}{18} \right) \approx 1888.89 \,Hz$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, આપણને $f^{\prime} \approx 1889 \,Hz$ મળે છે.

(A) ડોપ્લર અસર મુજબ, ઇમારત પરથી પરાવર્તિત થઈને ગતિશીલ અવલોકનકાર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી અવાજની આવૃત્તિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v + v_b}{v - v_b} \right) \quad ... (i)$
અહીં, $v = 340 \,m/s$ એ અવાજની ઝડપ છે.
$v_b = 72 \,km/h = 72 \times \frac{5}{18} \,m/s = 20 \,m/s$ એ બસની ઝડપ છે.
$f = 1.7 \,kHz$ એ હોર્ન દ્વારા ઉત્પન્ન થતી મૂળ આવૃત્તિ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા, આપણને મળે છે:
$f^{\prime} = 1.7 \left( \frac{340 + 20}{340 - 20} \right) \,kHz$
$f^{\prime} = 1.7 \left( \frac{360}{320} \right) \,kHz$
$f^{\prime} = 1.7 \times 1.125 \,kHz = 1.9125 \,kHz$
આ કિંમતને રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $f^{\prime} \approx 1.9 \,kHz$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી નજીકની કિંમત $1.8 \,kHz$ છે.

(B) આપેલ છે: ઉદગમની આવૃત્તિ, $f = 495 \,Hz$. ધ્વનિની ઝડપ, $v_s = u$. બંને ટ્રકની ઝડપ, $v_o = v_s' = 0.1 u$.
કિસ્સો $1$: જ્યારે ટ્રક એકબીજાની નજીક આવી રહ્યા હોય.
ગતિશીલ ઉદગમ અને ગતિશીલ અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર વાપરતા:
$v_1 = f \left( \frac{v_s + v_o}{v_s - v_s'} \right) = 495 \left( \frac{u + 0.1 u}{u - 0.1 u} \right) = 495 \left( \frac{1.1 u}{0.9 u} \right) = 495 \times \frac{11}{9} = 55 \times 11 = 605 \,Hz$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે ટ્રક એકબીજાને પસાર કરી ગયા હોય (દૂર જઈ રહ્યા હોય).
ગતિશીલ ઉદગમ અને ગતિશીલ અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર વાપરતા:
$v_2 = f \left( \frac{v_s - v_o}{v_s + v_s'} \right) = 495 \left( \frac{u - 0.1 u}{u + 0.1 u} \right) = 495 \left( \frac{0.9 u}{1.1 u} \right) = 495 \times \frac{9}{11} = 45 \times 9 = 405 \,Hz$.
તફાવતનું મૂલ્ય:
$|v_1 - v_2| = 605 \,Hz - 405 \,Hz = 200 \,Hz$.

(C) બંને છેડે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપમાં દરેક ખુલ્લા છેડે પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુ (antinode) હોવું આવશ્યક છે. જ્યારે કેન્દ્ર $(x = \frac{L}{2})$ પર એક વધારાનું છિદ્ર બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે આ બિંદુ પરની હવા વાતાવરણના સંપર્કમાં આવે છે,જે આ સ્થાને પણ પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુ બનવા માટે મજબૂર કરે છે.
લઘુત્તમ આવૃત્તિ (મૂળભૂત મોડ) માટે,સ્થિત તરંગમાં બંને છેડાઓ અને કેન્દ્રના છિદ્ર પર પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુઓ હોવા જોઈએ.
બે ક્રમિક પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ છે.
અહીં,છેડાના પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુ અને કેન્દ્રના પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર $\frac{L}{2}$ છે.
તેથી,$\frac{\lambda}{2} = \frac{L}{2} \implies \lambda = L = 25 \,cm = 0.25 \,m$.
આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$f = \frac{340}{0.25} = 1360 \,Hz$.

(A) આપેલ તરંગ વિધેય $y(x, t) = e^{-(\sqrt{a}x + \sqrt{b}t)^2}$ છે.
તરંગ ગતિ કરવા માટે, વિધેયનો તર્ક $(x \pm vt)$ સ્વરૂપમાં હોવો જોઈએ.
આપણે ઘાતાંકને $-(\sqrt{a}(x + \sqrt{\frac{b}{a}}t))^2$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આ $f(x + vt)$ સ્વરૂપમાં છે, જ્યાં $v = \sqrt{\frac{b}{a}}$.
$f(x + vt)$ સ્વરૂપનું વિધેય એ $v = \sqrt{\frac{b}{a}}$ ઝડપ સાથે ઋણ $x$-દિશામાં ગતિ કરતું તરંગ દર્શાવે છે.

(C) ઢળતી સપાટીના તળિયે (બિંદુ $P$ પર), દડાની સ્થિતિઊર્જા ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2} m v^2 = m g h$
$\Rightarrow v = \sqrt{2 g h} \quad \dots (i)$
શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિ પૂર્ણ કરવા માટે, તળિયે દડાનો વેગ ઓછામાં ઓછો $\sqrt{5 g R}$ હોવો જોઈએ.
$\Rightarrow v \geq \sqrt{5 g R}$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sqrt{2 g h} \geq \sqrt{5 g R}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$2 g h \geq 5 g R$
$h \geq \frac{5}{2} R$
અહીં $R = 20 \,cm$ આપેલ છે, તેથી ન્યૂનતમ ઊંચાઈ $h_{\min}$:
$h_{\min} = \frac{5}{2} \times 20 \,cm = 50 \,cm$

(D) જ્યારે કોઈ કણ શિરોલંબ વર્તુળમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે સર્વોચ્ચ બિંદુએ જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{\min} = \sqrt{gR}$
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે લઘુત્તમ ઝડપ એ ત્રિજ્યાના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે:
$v_{\min} \propto \sqrt{R}$
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે અને પ્રારંભિક લઘુત્તમ ઝડપ $(v_{\min})_1 = v$ છે.
ધારો કે નવી ત્રિજ્યા $R_2 = 2R$ છે અને નવી લઘુત્તમ ઝડપ $(v_{\min})_2$ છે.
સમપ્રમાણતાના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(v_{\min})_1}{(v_{\min})_2} = \sqrt{\frac{R_1}{R_2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v}{(v_{\min})_2} = \sqrt{\frac{R}{2R}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
નવી લઘુત્તમ ઝડપ માટે ઉકેલતા:
$(v_{\min})_2 = \sqrt{2}v$

(B) ધારો કે દોરીમાં તણાવ $T$ છે,પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ છે અને નળાકારનો કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ છે.
વજનબળ $mg$ નીચેની દિશામાં લાગે છે.
નીચે પડતા $m$ દળના પદાર્થ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$mg - T = ma \quad \dots(1)$
પોલા નળાકારની ભ્રમણગતિ માટે,ટોર્ક $\tau$ નીચે મુજબ મળે:
$\tau = TR = I\alpha$
પોલા નળાકારની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ છે અને રેખીય પ્રવેગ તથા કોણીય પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ $a = R\alpha$ (અથવા $\alpha = a/R$) છે:
$TR = (mR^2)(a/R)$
$T = ma \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$mg - ma = ma$
$mg = 2ma$
$a = g/2$

(C) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત વેગ $u$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_1 = \frac{1}{2} m u^2 = K$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટક $u \cos \theta$ અચળ રહે છે.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $KE_2$ નીચે મુજબ મળે:
$KE_2 = \frac{1}{2} m (u \cos \theta)^2$
$KE_2 = (\frac{1}{2} m u^2) \cos^2 \theta$
અહીં $KE_1 = K$ અને $\theta = 60^{\circ}$ મૂકતા:
$KE_2 = K \cos^2 60^{\circ}$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$KE_2 = K (\frac{1}{2})^2 = \frac{K}{4}$

(D) ધારો કે દોરડામાં તણાવ $T$ છે અને બ્લોકનો પ્રવેગ $a$ છે.
બ્લોક માટે: $mg - T = ma \Rightarrow 2g - T = 2a \Rightarrow T = 2(g - a) = 2(10 - a) = 20 - 2a$.
ગરગડી માટે: ટોર્ક $\tau = T \cdot R = I \alpha$.
કારણ કે $I = \frac{1}{2}MR^2$ અને $a = R\alpha$,તેથી $T \cdot R = (\frac{1}{2}MR^2) \cdot (\frac{a}{R}) = \frac{1}{2}Ma$.
અહીં $M = 2 \ kg$ આપેલ છે,તેથી $T = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot a = a$.
$T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $20 - 2a = a \Rightarrow 3a = 20 \Rightarrow a = \frac{20}{3} \ m/s^2$.

(B) સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta PE)$ એ $\Delta PE = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ શિરોલંબ સ્થાનાંતર છે।
શિરોલંબ સ્થાનાંતર શોધવા માટે, આપણે ગતિના શિરોલંબ ઘટકને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:
પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ, $u_y = 24 \, m/s$
પ્રવેગ, $a_y = -g = -10 \, m/s^2$
સમય, $t = 6 \, s$
ગતિના સમીકરણ $h = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$h = (24)(6) + \frac{1}{2}(-10)(6)^2$
$h = 144 - 5(36)$
$h = 144 - 180 = -36 \, m$
હવે, સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર ગણીએ:
$\Delta PE = mgh = (1 \, kg)(10 \, m/s^2)(-36 \, m)$
$\Delta PE = -360 \, J$

(A) બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકવામાં આવેલા ગજિયા ચુંબક પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = M B \sin \theta$.
અહીં,$\tau = 0.016 \text{ Nm}$,$B = 800 \text{ G} = 800 \times 10^{-4} \text{ T} = 8 \times 10^{-2} \text{ T}$,અને $\theta = 30^{\circ}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$0.016 = M \times (8 \times 10^{-2}) \times \sin(30^{\circ})$
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,તેથી:
$0.016 = M \times 8 \times 10^{-2} \times 0.5$
$0.016 = M \times 4 \times 10^{-2}$
$M = \frac{0.016}{0.04} = 0.4 \text{ Am}^2$.

(D) $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $Q$ વીજભાર ધરાવતા કણની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\mu = I A$
જ્યાં $I$ એ સમતુલ્ય પ્રવાહ છે,$I = \frac{Q}{T} = \frac{Q v}{2 \pi R}$,અને $A$ એ વર્તુળાકાર પથનું ક્ષેત્રફળ છે,$A = \pi R^2$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\mu = \left( \frac{Q v}{2 \pi R} \right) (\pi R^2) = \frac{Q v R}{2}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ છે કે ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ માત્ર વીજભાર $Q$,ઝડપ $v$ અને ત્રિજ્યા $R$ પર આધાર રાખે છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટના સૂત્રમાં કણનું દળ $m$ આવતું નથી,તેથી $Q$,$v$ અને $R$ ને અચળ રાખીને દળ બદલવાથી ચુંબકીય મોમેન્ટ પર કોઈ અસર થશે નહીં.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ અપરિવર્તિત રહેશે.

(A) કિસ્સો $1$: જ્યારે સ્વિચ $S$ ખુલ્લી હોય,ત્યારે $R_1$ અને $R_3$ શ્રેણીમાં છે. કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_3 = 6 + 6 = 12 \ \Omega$ થાય.
પરિપથમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12}{12} = 1 \ A$ છે.
$R_1$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = I \times R_1 = 1 \times 6 = 6 \ V$ થાય.
કિસ્સો $2$: જ્યારે સ્વિચ $S$ બંધ કરવામાં આવે,ત્યારે $R_1$ અને $R_2$ સમાંતર જોડાણમાં છે અને આ જોડાણ $R_3$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3 \ \Omega$ થાય.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq}' = R_3 + R_p = 6 + 3 = 9 \ \Omega$ થાય.
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I' = \frac{V}{R_{eq}'} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \ A$ થાય.
સમાંતર જોડાણના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત (જે $R_1$ ના બે છેડા વચ્ચેનું સ્થિતિમાન છે) $V_2 = I' \times R_p = \frac{4}{3} \times 3 = 4 \ V$ થાય.
$R_1$ ના સ્થિતિમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_2 - V_1 = 4 - 6 = -2 \ V$ થાય.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$F_m = F_c \Rightarrow qvB = \frac{mv^2}{r}$
આના પરથી, પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ મળે છે।
એક પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$ છે।
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f$ એ સમયગાળાનો વ્યસ્ત છે:
$f = \frac{1}{T} = \frac{qB}{2\pi m}$.
અહીં $2\pi$ અચળાંક હોવાથી, આવૃત્તિ $\frac{qB}{m}$ ના સમપ્રમાણમાં છે।

(A) ચુંબકીય ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{m}{r^3}$ છે.
પૃથ્વીને $m$ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે ગણવામાં આવે છે,તેથી વિષુવવૃત્ત પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર આ ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય ક્ષેત્રને અનુરૂપ છે.
તેથી,વિષુવવૃત્ત પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{m}{r^3}$ છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા અને $\theta$ ખૂણા ધરાવતી વર્તુળાકાર ચાપને કારણે કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સીધા ત્રિજ્યાવર્તી વિભાગો કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈ ફાળો આપતા નથી.
પરિપથ $1$ માટે: ક્ષેત્ર $3r$ ત્રિજ્યાની મોટી ચાપ અને $r$ ત્રિજ્યાની નાની ચાપને કારણે છે. કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં આ બે ચાપમાં પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતો હોવાથી,ક્ષેત્રોની બાદબાકી થાય છે: $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} (\frac{\pi}{3r} - \frac{\pi}{r}) = \frac{\mu_0 I}{4} (\frac{1}{r} - \frac{1}{3r}) = \frac{\mu_0 I}{6r}$.
પરિપથ $2$ માટે: ક્ષેત્ર $\pi/2$ ખૂણો આવરી લેતી $r$ અને $3r$ ત્રિજ્યાની બે ચાપને કારણે છે. ક્ષેત્રોની બાદબાકી થાય છે: $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} (\frac{\pi/2}{r} - \frac{\pi/2}{3r}) = \frac{\mu_0 I}{8} (\frac{2}{3r}) = \frac{\mu_0 I}{12r}$.
પરિપથ $3$ માટે: ક્ષેત્ર $3\pi/2$ ખૂણો આવરી લેતી $r$ અને $3r$ ત્રિજ્યાની બે ચાપને કારણે છે. ક્ષેત્રોની બાદબાકી થાય છે: $B_3 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi} (\frac{3\pi/2}{r} - \frac{3\pi/2}{3r}) = \frac{3\mu_0 I}{8} (\frac{2}{3r}) = \frac{\mu_0 I}{4r}$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $B_3 = 0.25 \frac{\mu_0 I}{r}$,$B_1 = 0.166 \frac{\mu_0 I}{r}$,$B_2 = 0.083 \frac{\mu_0 I}{r}$.
આમ,$B_3 > B_1 > B_2$.

(C) કાયમી ચુંબક બનાવવા માટે વપરાતા પદાર્થમાં ઊંચી રિટેન્ટિવિટી હોવી જોઈએ જેથી તે મજબૂત ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરી શકે.
વધુમાં,તેમાં ઊંચી કોર્સિવિટી હોવી જોઈએ જેથી તેનું ચુંબકીયકરણ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રો,તાપમાનમાં ફેરફાર અથવા સામાન્ય યાંત્રિક નુકસાન દ્વારા સરળતાથી નાશ ન પામે.
તેથી,ઊંચી રિટેન્ટિવિટી અને ઊંચી કોર્સિવિટી બંને ધરાવતો પદાર્થ ઈચ્છનીય છે.

(D) સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $(\mu_r)$ અને મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi_m)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\mu_r = 1 + \chi_m$
અહીં $\mu_r = 5500$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રને $\chi_m$ માટે ગોઠવતા:
$\chi_m = \mu_r - 1$
આપેલ કિંમત મૂકતા:
$\chi_m = 5500 - 1 = 5499$
આમ,મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $5499$ છે.

(C) ટોકામેક ટેકનોલોજીનો આધાર પ્લાઝ્માનું ચુંબકીય કેદ (Magnetic confinement) છે.
ટોકામેકમાં,ગરમ પ્લાઝ્માને ટોરસ (ડોનટ) આકારમાં રાખવા માટે મજબૂત ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
આ ચુંબકીય કેદ ઉચ્ચ તાપમાન ધરાવતા પ્લાઝ્માને રિએક્ટરની દીવાલોને સ્પર્શતા અટકાવે છે,જે નિયંત્રિત થર્મોન્યુક્લિયર ફ્યુઝન પ્રાપ્ત કરવા માટે અનિવાર્ય છે.

(C) આપેલ છે: આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = 10.5 \ eV$.
ફોટોઈલેક્ટ્રોનનો મહત્તમ વેગ $v = 1.6 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$.
ઈલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9 \times 10^{-31} \ kg$.
મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K.E._{\max} = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા મળે છે.
$K.E._{\max} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-31}) \times (1.6 \times 10^6)^2 = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times 2.56 \times 10^{12} = 11.52 \times 10^{-19} \ J$.
આને ઈલેક્ટ્રોન-વોલ્ટમાં ફેરવતા: $K.E._{\max} = \frac{11.52 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 7.2 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E = \phi + K.E._{\max}$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
$\phi = E - K.E._{\max} = 10.5 \ eV - 7.2 \ eV = 3.3 \ eV$.

(A) આપેલ છે:
ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(BE)$ $= 7.14 \text{ MeV}$
તત્વની કુલ $BE$ $= 28.6 \text{ MeV}$
આપણે જાણીએ છીએ કે કુલ બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયોનની સંખ્યા $(A)$ અને ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જાનો ગુણાકાર છે.
તેથી,$\text{ન્યુક્લિયોનની સંખ્યા} (A) = \frac{\text{કુલ BE}}{\text{ન્યુક્લિયોન દીઠ BE}}$
$A = \frac{28.6}{7.14} = 4$
આમ,તત્વમાં ન્યુક્લિયોનની સંખ્યા $4$ છે.

(B) એક $\alpha$-કણ $2$ પ્રોટોન અને $2$ ન્યુટ્રોનનો બનેલો હોય છે,જે હિલિયમ પરમાણુના ન્યુક્લિયસ $(_{2}^{4}He^{2+})$ સમાન છે.
તેમાં તેના બે કક્ષીય ઇલેક્ટ્રોનનો અભાવ હોવાથી,તેને દ્વિ-આયનીકૃત હિલિયમ પરમાણુ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી એક અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2} = 6 \,h)$ માં અડધી થઈ જાય છે.
ધારો કે $s$ એ સ્ત્રોતનું સ્વીકાર્ય સુરક્ષિત મૂલ્ય છે.
પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $32s$ છે.
$1$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી, એક્ટિવિટી = $32s / 2 = 16s$.
$2$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી, એક્ટિવિટી = $16s / 2 = 8s$.
$3$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી, એક્ટિવિટી = $8s / 2 = 4s$.
$4$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી, એક્ટિવિટી = $4s / 2 = 2s$.
$5$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી, એક્ટિવિટી = $2s / 2 = s$.
આમ, નમૂનો $5$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી સુરક્ષિત બને છે.
કુલ સમય $T = 5 \times T_{1/2} = 5 \times 6 \,h = 30 \,h$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય સંબંધ $N(t) = N_0 (1/2)^n$ ને અનુસરે છે, જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે, પ્રારંભિક દળ $N_0 = 60 \,g$ અને અંતિમ દળ $N(t) = 7.5 \,g$ છે.
આથી, $7.5 = 60 \times (1/2)^n$.
$(1/2)^n = 7.5 / 60 = 1/8 = (1/2)^3$.
તેથી, અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 3$ છે.
કુલ જરૂરી સમય $\Delta t = n \times T_{1/2} = 3 \times 5 \,s = 15 \,s$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે, ક્ષય પ્રક્રિયા આ મુજબ છે: $60 \,g \xrightarrow{5 \,s} 30 \,g \xrightarrow{5 \,s} 15 \,g \xrightarrow{5 \,s} 7.5 \,g$.
કુલ સમય = $5 \,s + 5 \,s + 5 \,s = 15 \,s$.

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો દર $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બે એકસાથે થતી ક્ષય પ્રક્રિયાઓ માટે,કુલ ક્ષય અચળાંક $\lambda_{\text{eff}} = \lambda_1 + \lambda_2$ થાય છે।
$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ હોવાથી,આપણને $\frac{\ln 2}{T_{\text{eff}}} = \frac{\ln 2}{t_1} + \frac{\ln 2}{t_2}$ મળે છે।
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{T_{\text{eff}}} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$ મળે,તેથી $T_{\text{eff}} = \frac{t_1 t_2}{t_1+t_2}$।
સરેરાશ આયુષ્ય $\langle t \rangle$ એ અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય સાથે $\langle t \rangle = \frac{T_{\text{eff}}}{\ln 2}$ સંબંધ ધરાવે છે।
$T_{\text{eff}}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\langle t \rangle = \frac{1}{\ln 2} \left( \frac{t_1 t_2}{t_1+t_2} \right)$ મળે છે।
$\ln 2 \approx 0.693 < 1$ હોવાથી,$\frac{1}{\ln 2} > 1$ થાય।
તેથી,$\langle t \rangle > \frac{t_1 t_2}{t_1+t_2}$ સાચું છે।

(A) પ્રારંભિક રેડિયોએક્ટિવિટી $A_0$ એ સુરક્ષિત મર્યાદા $A_s$ કરતા $4$ ગણી છે. આપણે એવો સમય $t$ શોધવો છે કે જેથી રેડિયોએક્ટિવિટી $A_t$ એ $A_s$ જેટલી થઈ જાય.
આપેલ છે, $A_t = \frac{A_0}{2^{t/T_{1/2}}}$, જ્યાં $T_{1/2} = 24 \,h$.
કારણ કે $A_t = A_s$ અને $A_0 = 4A_s$, તેથી:
$A_s = \frac{4A_s}{2^{t/24}}$
$2^{t/24} = 4$
$2^{t/24} = 2^2$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$\frac{t}{24} = 2$
$t = 48 \,h$.
આમ, જરૂરી ન્યૂનતમ સમય $48 \,h$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $T_{1/2} = 30 \,h$ આપેલ છે.
ધારો કે રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપનો પ્રારંભિક જથ્થો $N_0$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે બાકી રહેલો જથ્થો $N$ એ $N_0$ ના $12.5 \%$ હોય.
$N = 12.5 \% \text{ of } N_0 = \frac{12.5}{100} N_0 = \frac{1}{8} N_0$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્ર $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે:
$\frac{1}{8} N_0 = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\frac{1}{8} = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
$\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \left( \frac{1}{2} \right)^n$
તેથી, $n = 3$.
કારણ કે $n = \frac{t}{T_{1/2}}$, તેથી $t = n \times T_{1/2} = 3 \times 30 \,h = 90 \,h$.

(A) આપેલ છે: કીકીનો વ્યાસ, $d = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$. વસ્તુઓનું અંતર, $D = 20 \,m$. પ્રકાશની તરંગલંબાઇ, $\lambda = 600 \,nm = 6 \times 10^{-7} \,m$.
વર્તુળાકાર છિદ્ર (જેમ કે આંખની કીકી) માટે વિભેદન સીમા રેલેના માપદંડ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$
$D$ અંતરે રહેલી બે વસ્તુઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $y = \theta \times D$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y = \frac{1.22 \times 6 \times 10^{-7} \times 20}{2 \times 10^{-3}}$
$y = 1.22 \times 6 \times 10^{-4} \times 10 = 7.32 \times 10^{-3} \,m$
$y = 7.32 \,mm$.
આમ, માનવ આંખ દ્વારા પારખી શકાતું લઘુત્તમ અંતર $7.32 \,mm$ છે.

(A) લેન્સ માટે, મોટવણી $m = \frac{v}{u}$.
અહીં $m = \pm 4$ અને $f = 20 \,cm$ આપેલ છે.
કિસ્સો $1$: વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ $(m = -4)$.
$m = \frac{v}{u} = -4 \Rightarrow v = -4u$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{-4u} - \frac{1}{u} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{-1-4}{4u} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{-5}{4u} = \frac{1}{20}$.
$4u = -100 \Rightarrow u = -25 \,cm$.
આમ, જ્યારે પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક હોય ત્યારે વસ્તુ $25 \,cm$ ના અંતરે છે.
કિસ્સો $2$: આભાસી પ્રતિબિંબ $(m = +4)$.
$m = \frac{v}{u} = 4 \Rightarrow v = 4u$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{4u} - \frac{1}{u} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{1-4}{4u} = \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{-3}{4u} = \frac{1}{20}$.
$4u = -60 \Rightarrow u = -15 \,cm$.
આમ, જ્યારે પ્રતિબિંબ આભાસી હોય ત્યારે વસ્તુ $15 \,cm$ ના અંતરે છે.

(D) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે પ્રતિબિંબ લેન્સની જમણી બાજુએ મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચાય છે,તેથી પ્રતિબિંબ અંતર $v = +f$ થાય.
બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f = +f$ હોય છે.
આ કિંમતોને લેન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
$\frac{1}{u} = \frac{1}{f} - \frac{1}{f} = 0$
$u = \infty$
તેથી,પ્રતિબિંબ મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચાય તે માટે વસ્તુને અનંત અંતરે મૂકવી પડે.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે: વસ્તુ અંતર $u_1 = -8 \,cm$, કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = +4 \,cm$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $\frac{1}{v_1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{-8} = \frac{1}{8}$, તેથી $v_1 = +8 \,cm$. આ પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે: લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 6 \,cm$ છે. બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ તેની પાછળ $8 \,cm$ અંતરે છે, જે અંતર્ગોળ લેન્સની પાછળ $8 - 6 = 2 \,cm$ અંતરે છે. આમ, અંતર્ગોળ લેન્સ માટે $u_2 = +2 \,cm$ અને $f_2 = -4 \,cm$. લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $\frac{1}{v_2} = \frac{1}{-4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$, તેથી $v_2 = +4 \,cm$. આનો અર્થ એ છે કે અંતિમ પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સની જમણી બાજુએ $4 \,cm$ અંતરે રચાય છે.
વસ્તુ બહિર્ગોળ લેન્સની ડાબી બાજુએ $8 \,cm$ અંતરે છે. વસ્તુ અને બહિર્ગોળ લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $8 \,cm$ છે, લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $6 \,cm$ છે, અને અંતર્ગોળ લેન્સ તથા અંતિમ પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $4 \,cm$ છે. વસ્તુ અને અંતિમ પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું કુલ અંતર $8 + 6 + 4 = 18 \,cm$ છે.

(D) આપેલ છે, $m_1 = 4$ અને $m_2 = 3$.
વસ્તુના બે સ્થાન વચ્ચેનું અંતર $|u_2 - u_1| = 2 \,cm$ છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાતા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે, મોટવણી $m = \frac{f}{f+u}$ છે. વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે $u$ ઋણ હોય છે, તેથી ધારો કે $u = -x$. તો $m = \frac{f}{f-x}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા $f-x = \frac{f}{m}$, અથવા $x = f(1 - \frac{1}{m}) = f(\frac{m-1}{m})$ મળે.
$m_1 = 4$ માટે, $u_1 = f(\frac{4-1}{4}) = \frac{3f}{4}$.
$m_2 = 3$ માટે, $u_2 = f(\frac{3-1}{3}) = \frac{2f}{3}$.
બંને વચ્ચેનું અંતર $u_1 - u_2 = 2 \,cm$ છે.
$\frac{3f}{4} - \frac{2f}{3} = 2$.
$\frac{9f - 8f}{12} = 2$.
$\frac{f}{12} = 2 \Rightarrow f = 24 \,cm$.

(D)
ગોલીય સપાટી દ્વારા વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
આપેલ છે:
વસ્તુનું અંતર $u = -45 \,cm$ (સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ)
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = +15 \,cm$
હવાનો વક્રીભવનાંક $\mu_1 = 1$
કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_2 = 1.5$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1}{-45} = \frac{1.5 - 1}{15}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{45} = \frac{0.5}{15}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{45} = \frac{1}{30}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{30} - \frac{1}{45}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{3 - 2}{90} = \frac{1}{90}$
$v = 1.5 \times 90 = +135 \,cm$
આમ, પ્રતિબિંબ સપાટીની જમણી બાજુએ $135 \,cm$ અંતરે રચાશે।

(C) આપેલ છે: બે સુસંબદ્ધ સમતલ તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi = 60^{\circ}$ છે.
બે સુસંબદ્ધ તરંગોની પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે.
બંને તરંગોની તીવ્રતા સમાન હોવાથી,$I_1 = I_2 = I$ લેતા.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_R = I + I + 2\sqrt{I \cdot I} \cos 60^{\circ}$
$I_R = 2I + 2I \cos 60^{\circ}$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$I_R = 2I + 2I \left( \frac{1}{2} \right)$
$I_R = 2I + I = 3I$.
આમ,પરિણામી તીવ્રતા $3I$ મળે છે.

(C) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
ધારો કે $AB$ વસ્તુ છે અને $A^{\prime}B^{\prime}$ પ્રતિબિંબ છે.
અહીં,$AB = l$,$A^{\prime}B^{\prime} = l^{\prime}$,અને વસ્તુ અંતર $u = -X$ છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં અંતર્ગોળ અરીસા માટે $f = -F$ છે:
$\frac{1}{-F} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-X}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{X} - \frac{1}{F} = \frac{F-X}{FX}$
$v = \frac{FX}{F-X}$
મુખ્ય અક્ષ પર મૂકેલી નાની વસ્તુ માટે,રેખીય મોટવણી $M$ નીચે મુજબ મળે છે:
$M = \frac{l^{\prime}}{l} = -\frac{dv}{du} = -\frac{d}{du} \left( \frac{fu}{u-f} \right) = -\frac{f^2}{(u-f)^2}$
$u = -X$ અને $f = -F$ મૂકતા:
$M = -\frac{(-F)^2}{(-X - (-F))^2} = -\frac{F^2}{(F-X)^2}$
રેખીય મોટવણીનું મૂલ્ય:
$\left| \frac{l^{\prime}}{l} \right| = \left( \frac{F}{F-X} \right)^2$

(A) ટેલિસ્કોપ માટે વિભેદન મર્યાદા અથવા કોણીય વિભેદનનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\alpha_{\min} = \frac{1.22 \lambda}{D}$
આપેલ કિંમતો:
$\alpha_{\min} = 3.0 \times 10^{-7} \text{ rad}$
$\lambda = 525 \text{ nm} = 525 \times 10^{-9} \text{ m}$
ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના વ્યાસ $(D)$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$D = \frac{1.22 \lambda}{\alpha_{\min}}$
કિંમતો મૂકતા:
$D = \frac{1.22 \times 525 \times 10^{-9}}{3.0 \times 10^{-7}}$
$D = \frac{640.5 \times 10^{-9}}{3.0 \times 10^{-7}}$
$D = 213.5 \times 10^{-2} \text{ m} = 2.135 \text{ m}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $D = 2.1 \text{ m}$ છે.

(A) સામાન્ય ગોઠવણ (normal adjustment) માં ખગોળીય ટેલિસ્કોપની મોટવણી $(m)$ એ ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_o)$ અને આઈ-પીસની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_e)$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $f_o = 100 \ cm$ અને $f_e = 5 \ cm$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $m = \frac{f_o}{f_e}$.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{100}{5} = 20$.
તેથી,ટેલિસ્કોપની મોટવણી $20$ છે.

(C) શૂન્યાવકાશમાં,તમામ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો,તેમની આવૃત્તિ કે તરંગલંબાઇને ધ્યાનમાં લીધા વિના,સમાન ઝડપે ગતિ કરે છે,જે $c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$ છે.
તેથી,શૂન્યાવકાશમાં લાલ પ્રકાશ અન્ય રંગો કરતા ઝડપથી ગતિ કરે છે તે વિધાન ખોટું છે,કારણ કે શૂન્યાવકાશમાં સફેદ પ્રકાશના તમામ રંગો સમાન ઝડપે ગતિ કરે છે.
વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે જાંબલી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ સૌથી ઓછી હોય છે અને તેનું વિચલન સૌથી વધુ થાય છે.
વિકલ્પ $B$ સાચો છે કારણ કે કોઈપણ ભૌતિક માધ્યમમાં લાલ પ્રકાશનો વક્રીભવનાંક જાંબલી પ્રકાશ કરતા ઓછો હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $v = c/n$ મુજબ લાલ પ્રકાશ માટે ઝડપ વધારે હોય છે.
વિકલ્પ $D$ સાચો છે કારણ કે ફ્લિન્ટ ગ્લાસની વિભાજન શક્તિ અને વક્રીભવનાંક સામાન્ય રીતે ક્રાઉન ગ્લાસ કરતા વધારે હોય છે.

(C) પ્રિઝમ સંયોજન દ્વારા વિચલન વગરના વિભાજન માટે,કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$\delta_{net} = \delta_1 - \delta_2 = 0$
$\Rightarrow \delta_1 = \delta_2$
પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન $\delta = A(\mu - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$A_1(\mu_1 - 1) = A_2(\mu_2 - 1)$.
આપેલ છે: $A_1 = 9^{\circ}$,$\mu_1 = 1.4$,અને $\mu_2 = 1.6$.
કિંમતો મૂકતા:
$9^{\circ} \times (1.4 - 1) = A \times (1.6 - 1)$
$9^{\circ} \times 0.4 = A \times 0.6$
$A = \frac{9 \times 0.4}{0.6} = \frac{3.6}{0.6} = 6^{\circ}$.

(B) ધારો કે $\delta_m$ એ લઘુત્તમ વિચલન કોણ છે અને $A$ એ પ્રિઝમનો કોણ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta_m}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
આપેલ છે કે $\mu = \sqrt{2}$ અને $\delta_m = A$,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sqrt{2} = \frac{\sin \left(\frac{A+A}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin A}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{2} = \frac{2 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$
$\sqrt{2} = 2 \cos \left(\frac{A}{2}\right)$
$\cos \left(\frac{A}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
કારણ કે $\cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$\frac{A}{2} = 45^{\circ}$
$A = 90^{\circ}$

(C) વિચલન વગરના વિભાજન માટે,સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$\delta - \delta^{\prime} = 0 \Rightarrow A(\mu - 1) - A^{\prime}(\mu^{\prime} - 1) = 0$
જ્યાં:
$A = 6^{\circ}$ (પ્રથમ પ્રિઝમનો ખૂણો)
$\mu = 1.5$ (પ્રથમ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક)
$A^{\prime} = ?$ (બીજા પ્રિઝમનો ખૂણો)
$\mu^{\prime} = 1.75$ (બીજા પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક)
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$A^{\prime}(\mu^{\prime} - 1) = A(\mu - 1)$
$A^{\prime}(1.75 - 1) = 6(1.5 - 1)$
$A^{\prime}(0.75) = 6(0.5)$
$A^{\prime} = \frac{6 \times 0.5}{0.75} = \frac{3}{0.75} = 4^{\circ}$
આમ,બીજા પ્રિઝમનો ખૂણો $4^{\circ}$ છે.

(A) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. પ્રકાશનું કિરણ પ્રિઝમની સપાટી $AB$ ને લંબ રૂપે પ્રવેશે છે,તેથી તે વિચલિત થયા વિના પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે અને સપાટી $AC$ પર આપાત થાય છે.
પ્રિઝમ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,સપાટી $AC$ પર આપાતકોણ $i = 90^{\circ} - \theta$ છે.
સપાટી $AC$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i$ એ ક્રાંતિકોણ $i_c$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$\theta$ ના મહત્તમ મૂલ્ય માટે,આપણે $i = i_c$ લઈએ છીએ.
ક્રાંતિકોણની સ્થિતિ માટે સપાટી $AC$ પર સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(i_c) = \frac{\mu_{\text{liquid}}}{\mu_{\text{glass}}}$
$i = 90^{\circ} - \theta$ અને આપેલ વક્રીભવનાંકની કિંમતો મૂકતા:
$\sin(90^{\circ} - \theta) = \frac{1.2}{1.5}$
$\cos(\theta) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(0.8)$.

(B) આપેલ છે: ઝેનર વોલ્ટેજ $V_z = 6 \, V$, લોડ કરંટ $I_L = 4 \, mA$, અને ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_{in} = 10 \, V$.
આપણને આપેલ છે કે ઝેનર કરંટ $I_Z$ એ લોડ કરંટ $I_L$ કરતા પાંચ ગણો છે.
તેથી, $I_Z = 5 \times I_L = 5 \times 4 \, mA = 20 \, mA$.
શ્રેણી અવરોધ $R_S$ માંથી વહેતો કુલ કરંટ $I_S$ એ ઝેનર કરંટ અને લોડ કરંટનો સરવાળો છે:
$I_S = I_Z + I_L = 20 \, mA + 4 \, mA = 24 \, mA = 24 \times 10^{-3} \, A$.
શ્રેણી અવરોધ $R_S$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ એ ઇનપુટ વોલ્ટેજ અને ઝેનર વોલ્ટેજ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$V_S = V_{in} - V_z = 10 \, V - 6 \, V = 4 \, V$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, શ્રેણી અવરોધ $R_S$ નું મૂલ્ય:
$R_S = \frac{V_S}{I_S} = \frac{4 \, V}{24 \times 10^{-3} \, A} = \frac{4000}{24} \, \Omega \approx 166.67 \, \Omega$.
નજીકના મૂલ્યમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા, આપણને $R_S \approx 167 \, \Omega$ મળે છે.

(D) આપેલ પરિપથ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
લોડ અવરોધ $R_L$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_L = V_Z = 10 \text{ V}$ છે.
$4 \text{ k}\Omega$ ના શ્રેણી અવરોધ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_R = 60 \text{ V} - 10 \text{ V} = 50 \text{ V}$ છે.
$4 \text{ k}\Omega$ અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_R}{R} = \frac{50 \text{ V}}{4 \times 10^3 \Omega} = 12.5 \times 10^{-3} \text{ A} = 12.5 \text{ mA}$ છે.
લોડ અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_L = \frac{V_L}{R_L} = \frac{10 \text{ V}}{2 \times 10^3 \Omega} = 5 \text{ mA}$ છે.
નોડ પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,$I = I_Z + I_L$,તેથી $I_Z = I - I_L = 12.5 \text{ mA} - 5 \text{ mA} = 7.5 \text{ mA}$ મળે.
આમ,પ્રવાહો $I = 12.5 \text{ mA}$,$I_Z = 7.5 \text{ mA}$ અને $I_L = 5 \text{ mA}$ છે.

(C) ઝેનર ડાયોડ એ એક ખાસ પ્રકારનો સેમિકન્ડક્ટર ડાયોડ છે જે રિવર્સ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં કાર્ય કરવા માટે બનાવવામાં આવ્યો છે.
ચોક્કસ બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ મેળવવા માટે,ઝેનર ડાયોડના $p$-વિસ્તાર અને $n$-વિસ્તાર બંનેને ભારે ડોપિંગ (heavily doped) કરવામાં આવે છે.
આ ભારે ડોપિંગને કારણે ડેપ્લેશન લેયર ખૂબ જ પાતળું બને છે.
જ્યારે રિવર્સ બાયસ વોલ્ટેજ લાગુ કરવામાં આવે છે અને તે બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ સુધી પહોંચે છે,ત્યારે પાતળા ડેપ્લેશન લેયર પરના ઉચ્ચ વિદ્યુત ક્ષેત્રને કારણે ઝેનર બ્રેકડાઉનને લીધે પ્રવાહમાં ઝડપથી વધારો થાય છે.

(A) આપેલ છે: ડાયોડના બે છેડા વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ તફાવત, $V_D = 0.5 \, V$.
ફોરવર્ડ બાયસમાં મહત્તમ પ્રવાહ, $i = 20 \, mA = 20 \times 10^{-3} \, A$.
બેટરીનો કુલ વોલ્ટેજ $V$ એ શ્રેણી અવરોધ $R_S$ અને ડાયોડના પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_D$ ના સરવાળા જેટલો હોય છે।
શ્રેણી અવરોધ $R_S = 125 \, \Omega$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_R = i \times R_S$ દ્વારા મળે છે।
$V_R = (20 \times 10^{-3} \, A) \times (125 \, \Omega) = 2.5 \, V$.
બેટરીનો કુલ વોલ્ટેજ $V = V_R + V_D$ છે।
$V = 2.5 \, V + 0.5 \, V = 3.0 \, V$.

(B) ફોસ્ફરસ એ પંચસંયોજક (pentavalent) અશુદ્ધિ છે,જે દાતા (donor) પરમાણુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
જ્યારે તેને આંતરિક (intrinsic) સેમિકન્ડક્ટરમાં ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે તે $n$-પ્રકારનું સેમિકન્ડક્ટર બનાવે છે.
આ અશુદ્ધિ પરમાણુઓ દ્વારા નિર્મિત દાતા ઉર્જા સ્તર કન્ડક્શન બેન્ડની બરાબર નીચે હોય છે.
તેથી,અશુદ્ધિ સ્તરો કન્ડક્શન બેન્ડના તળિયાની નજીક હોય છે.

(B) $p-n-p$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,કલેક્ટર પ્રવાહ $(I_C)$ એ એમિટર પ્રવાહ $(I_E)$ કરતા થોડો ઓછો હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે એમિટર-બેઝ જંકશન ફોરવર્ડ બાયસ્ડ હોય છે,જેના કારણે એમિટરમાંથી મોટાભાગના ચાર્જ કેરિયર્સ (હોલ્સ) બેઝ તરફ ગતિ કરે છે.
બેઝ ખૂબ જ પાતળો અને હળવો ડોપ્ડ હોવાથી,આ હોલ્સનો માત્ર એક નાનો ભાગ બેઝમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન સાથે પુનઃસંયોજન પામે છે,જેના પરિણામે નાનો બેઝ પ્રવાહ $(I_B)$ ઉત્પન્ન થાય છે.
મોટાભાગના હોલ્સ કલેક્ટર-બેઝ જંકશનને ઓળંગીને કલેક્ટર સુધી પહોંચે છે.
ટ્રાન્ઝિસ્ટર માટે કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,સંબંધ $I_E = I_B + I_C$ છે.
જેથી $I_B > 0$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $I_C < I_E$.

(D) $p-n-p$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,મુખ્ય વિદ્યુતભાર વાહકો હોલ્સ (holes) હોય છે.
જ્યારે ટ્રાન્ઝિસ્ટરને બાહ્ય પરિપથ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુત પ્રવાહ મુખ્યત્વે સેમિકન્ડક્ટર મટીરીયલમાં હોલ્સના વહન દ્વારા વહે છે.

(A) આપેલ છે કે, કરંટ ગેઇન $\alpha = 0.98$ (કારણ કે $\alpha < 1$, તે કોમન બેઝ કોન્ફિગરેશન દર્શાવે છે).
કોમન એમિટર કોન્ફિગરેશન માટે, કરંટ ગેઇન $\beta$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha} = \frac{0.98}{1 - 0.98} = \frac{0.98}{0.02} = 49$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોમન એમિટર કોન્ફિગરેશનમાં કલેક્ટર કરંટમાં ફેરફાર $\Delta I_C$ અને બેઝ કરંટમાં ફેરફાર $\Delta I_B$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta I_B = 0.5 \,mA$, તેથી $\Delta I_C$ ની ગણતરી નીચે મુજબ કરી શકાય:
$\Delta I_C = \beta \times \Delta I_B = 49 \times 0.5 \,mA = 24.5 \,mA$.

(B) આપેલ છે, $n-p-n$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં બેઝ કરંટ, $I_B = 2 \text{ mA} = 2 \times 10^{-3} \text{ A}$.
કારણ કે $95 \%$ ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોન કલેક્ટર સુધી પહોંચે છે, તેથી કલેક્ટર કરંટ $I_C$ અને એમિટર કરંટ $I_E$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$I_C = 0.95 I_E \Rightarrow I_E = \frac{I_C}{0.95} \dots (i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે એમિટર, કલેક્ટર અને બેઝ કરંટ વચ્ચેનો સંબંધ છે:
$I_E = I_C + I_B$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $I_E$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{I_C}{0.95} = I_C + 2 \times 10^{-3}$
$\frac{I_C}{0.95} - I_C = 2 \times 10^{-3}$
$I_C \left( \frac{1}{0.95} - 1 \right) = 2 \times 10^{-3}$
$I_C \left( \frac{1 - 0.95}{0.95} \right) = 2 \times 10^{-3}$
$I_C \left( \frac{0.05}{0.95} \right) = 2 \times 10^{-3}$
$I_C \left( \frac{1}{19} \right) = 2 \times 10^{-3}$
$I_C = 38 \times 10^{-3} \text{ A} = 38 \text{ mA}$.

(C) આપેલ લોજિક સર્કિટમાં એક $NOT$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
ઇનપુટ $A$ ને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે,જે આઉટપુટ $\bar{A}$ આપે છે.
આ આઉટપુટ $\bar{A}$ અને ઇનપુટ $B$ ને ત્યારબાદ $OR$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે.
$OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ તેના ઇનપુટ્સનો સરવાળો છે.
તેથી,સર્કિટનું અંતિમ આઉટપુટ $Y = \bar{A} + B$ છે.

(D) $NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A+B}$ છે,જ્યાં $A$ અને $B$ ઇનપુટ છે અને $Y$ આઉટપુટ છે.
$NOR$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
| $A$ | $B$ | $Y = \overline{A+B}$ |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ |
| $0$ | $1$ | $0$ |
| $1$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
ટ્રુથ ટેબલ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે જ્યારે બધા ઇનપુટ ($A$ અને $B$) $LOW$ $(0)$ હોય,ત્યારે $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $HIGH$ $(1)$ મળે છે.

(D) $A=1, B=1$ અને $D=1$ ની શરત સંતોષવા માટે,આપણે દરેક પરિપથનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ:
$(a)$ આઉટપુટ $D = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$ છે. $A=1, B=1$ માટે,$D = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ થાય.
$(b)$ આઉટપુટ $D = \overline{(\bar{A} + B) + (A + \bar{B})}$ છે. $A=1, B=1$ માટે,$D = \overline{(0 + 1) + (1 + 0)} = \overline{1 + 1} = 0$ થાય.
$(c)$ આઉટપુટ $D = (A + B) \cdot (\bar{A} + \bar{B}) = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B$ છે. $A=1, B=1$ માટે,$D = 0$ થાય.
$(d)$ આઉટપુટ $D = A \cdot B + \bar{A} \cdot \bar{B}$ છે. $A=1, B=1$ માટે,$D = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 + 0 = 1$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ માં દર્શાવેલ પરિપથ શરતનું પાલન કરે છે.

(D) ફુલ-વેવ રેક્ટિફાયર $AC$ ઇનપુટ સાયકલના બંને અર્ધ ભાગોને પલ્સિંગ $DC$ આઉટપુટમાં રૂપાંતરિત કરે છે.
જ્યારે કેપેસિટર ફિલ્ટરને લોડ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તે રેક્ટિફાઇડ આઉટપુટ વોલ્ટેજના વધતા ભાગ દરમિયાન ચાર્જ થાય છે અને ઘટતા ભાગ દરમિયાન લોડ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે.
આ પ્રક્રિયા આઉટપુટ વોલ્ટેજમાં રિપલ ઘટાડે છે,જેના પરિણામે એક સરળ $DC$ આઉટપુટ મળે છે જે શૂન્ય સુધી ઘટતું નથી.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે ગ્રાફ પલ્સિંગ $DC$ આઉટપુટ દર્શાવે છે જે કેપેસિટરની ફિલ્ટરિંગ ક્રિયાને કારણે શૂન્યથી ઉપર રહે છે,તે વિકલ્પ $D$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 14$ અને દળ ક્રમાંક $A = 29$ છે.
પ્રોટોનની સંખ્યા $Z = 14$ છે.
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = A - Z = 29 - 14 = 15$ છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m$ નીચે મુજબ મળે છે: $\Delta m = [Z m_p + N m_n] - M_{nucleus}$.
$\Delta m = [14 \times 1.007276 u + 15 \times 1.008664 u] - 28.976495 u$.
$\Delta m = [14.101864 u + 15.129960 u] - 28.976495 u$.
$\Delta m = 29.231824 u - 28.976495 u = 0.255329 u$.
બંધન ઉર્જા $B.E. = \Delta m \times 931.5 MeV/u$.
$B.E. = 0.255329 \times 931.5 MeV \approx 237.84 MeV$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $237.86 MeV$ છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$.
$n=2 \rightarrow n=1$ સંક્રમણ માટે,ઊર્જા $E_1$ છે:
$E_1 = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = 13.6 \times \frac{3}{4} \text{ eV}$.
$n=3 \rightarrow n=2$ સંક્રમણ માટે,ઊર્જા $E_2$ છે:
$E_2 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \times \frac{5}{36} \text{ eV}$.
હવે,ગુણોત્તર $E_2 / E_1$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{13.6 \times (5/36)}{13.6 \times (3/4)} = \frac{5}{36} \times \frac{4}{3} = \frac{5}{9 \times 3} = \frac{5}{27}$.

(B) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $m$ ને મેસેજ સિગ્નલના પીક વોલ્ટેજ $(V_2)$ અને કેરિયર સિગ્નલના પીક વોલ્ટેજ $(V_1)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી $m = \frac{V_2}{V_1}$.
એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશનમાં,સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિઓ $v_{+} = v_1 + v_2$ અને $v_{-} = v_1 - v_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $v_{+} + v_{-} = (v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 2v_1$.
તેથી,કેરિયર આવૃત્તિ $v_1 = \frac{v_{+} + v_{-}}{2}$ થાય છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનો વેગ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$
કારણ કે $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ દર્શાવે છે,તેના પરિમાણો $[LT^{-1}]$ છે.
તેથી,$\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ ના પરિમાણો $c^2$ ના પરિમાણો સમાન છે:
$[\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}] = [c^2] = [LT^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}]$.

(C) ન્યુક્લિયર બળો એ પ્રકૃતિમાં સૌથી શક્તિશાળી બળો છે, જે ન્યુક્લિયસની અંદર ખૂબ જ નાના અંતરે (સામાન્ય રીતે $r \approx 10^{-15} \,m$) કાર્ય કરે છે.
આ બળો પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનને એકસાથે બાંધી રાખવા માટે જવાબદાર છે, જે પ્રોટોન વચ્ચેના સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણને દૂર કરે છે.
તેથી, ન્યુક્લિયર બળો એ ટૂંકા અંતરના આકર્ષી બળો છે.