TS EAMCET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) હવામાં બ્લોકનું વજન, $w_{\text{air}} = 6000 \,N$.
પાણીમાં બ્લોકનું વજન, $w_{\text{water}} = 4000 \,N$.
બ્લોક પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે: $F_B = w_{\text{air}} - w_{\text{water}} = 6000 - 4000 = 2000 \,N$.
બ્લોકનું કુલ કદ $(V_{\text{total}})$ એ વિસ્થાપિત પાણીના કદ જેટલું છે: $V_{\text{total}} = \frac{F_B}{\rho_{\text{water}} \cdot g} = \frac{2000}{1000 \cdot 10} = 0.2 \,m^3$.
લોખંડના દ્રવ્યનું વાસ્તવિક કદ $(V_{\text{iron}})$ હવામાં તેના વજન પરથી ગણવામાં આવે છે: $V_{\text{iron}} = \frac{w_{\text{air}}}{\rho_{\text{iron}} \cdot g} = \frac{6000}{6000 \cdot 10} = 0.1 \,m^3$.
પોલાણનું કદ $(V_{\text{cavity}})$ એ કુલ કદ અને લોખંડના કદ વચ્ચેનો તફાવત છે: $V_{\text{cavity}} = V_{\text{total}} - V_{\text{iron}} = 0.2 \,m^3 - 0.1 \,m^3 = 0.1 \,m^3$.

$(A)$ મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા, $R = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$.
નાના ટીપાની સંખ્યા, $n = 10^6$.
પારોનું પૃષ્ઠતાણ, $T = 435 \times 10^{-3} \,N/m$.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા ટીપાને $n$ નાના ટીપામાં વિભાજિત કરવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = T \times \Delta A$, જ્યાં $\Delta A$ એ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો છે。
મોટા ટીપાનું પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_1 = 4 \pi R^2$ છે。
જો $r$ એ દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા હોય, તો કદના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$, જેનાથી $r = R / n^{1/3}$ મળે છે。
$n$ નાના ટીપાનું કુલ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_2 = n \times 4 \pi r^2 = n \times 4 \pi (R / n^{1/3})^2 = 4 \pi R^2 n^{1/3}$ થાય。
ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો $\Delta A = A_2 - A_1 = 4 \pi R^2 (n^{1/3} - 1)$ છે。
કિંમતો મૂકતા:
$W = 4 \times \pi \times (10^{-2})^2 \times 435 \times 10^{-3} \times ((10^6)^{1/3} - 1)$
$W = 4 \times 3.14159 \times 10^{-4} \times 435 \times 10^{-3} \times (100 - 1)$
$W = 4 \times 3.14159 \times 435 \times 10^{-7} \times 99$
$W \approx 54.1 \times 10^{-3} \,J$.

(B) મોટા ટીપાનું કદ $n$ નાના ટીપાના કુલ કદ જેટલું હોય છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
આના પરથી,$r^3 = \frac{R^3}{n}$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{R}{n^{1/3}}$.
મોટા ટીપાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi R^2$ છે.
$n$ નાના ટીપાનું કુલ પૃષ્ઠફળ $A' = n \times 4 \pi r^2$ છે.
$r = R n^{-1/3}$ મૂકતા,$A' = n \times 4 \pi (R n^{-1/3})^2 = n \times 4 \pi R^2 n^{-2/3} = 4 \pi R^2 n^{1/3}$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A' - A = 4 \pi R^2 n^{1/3} - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^2 (n^{1/3} - 1)$.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = T \times \Delta A = 4 \pi R^2 (n^{1/3} - 1) T$ છે.

(A) પ્રવાહીના પ્રવાહ માટે રેનોલ્ડ્સ નંબર $R_e = \frac{2 v \rho r}{\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ પ્રવાહનો વેગ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે અને $\eta$ એ પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા છે.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_1 v_1 = A_2 v_2$,જ્યાં $A = \pi r^2$. તેથી,$\pi r_1^2 v_1 = \pi r_2^2 v_2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$.
રેનોલ્ડ્સ નંબરનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{v_1 r_1}{v_2 r_2} = \left(\frac{r_2^2}{r_1^2}\right) \times \left(\frac{r_1}{r_2}\right) = \frac{r_2}{r_1}$ છે.
આપેલ છે કે $r = r_0 e^{-\alpha x}$,તેથી $r_1 = r_0 e^{-\alpha x_1}$ અને $r_2 = r_0 e^{-\alpha (x_1 + 3)}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{r_0 e^{-\alpha (x_1 + 3)}}{r_0 e^{-\alpha x_1}} = e^{-\alpha (x_1 + 3) + \alpha x_1} = e^{-3 \alpha}$.
$\alpha = \frac{1}{3} \text{ m}^{-1}$ આપેલ હોવાથી,આપણને $\frac{R_1}{R_2} = e^{-3(1/3)} = e^{-1} = \frac{1}{e}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: સાદા આવર્ત દોલકની આવૃત્તિ $f = 1 \ Hz$ અને કળા $\theta = 1 \ \text{રેડિયન}$.
સાદા આવર્ત દોલકની કળા $\theta = \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $t$ એ સમય છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 1 = 2 \pi \ \text{rad/s}$ છે.
કળાને શૂન્ય કરવા માટે,આપણે સમયના ઉગમબિંદુને $\Delta t$ જેટલું ખસેડવું પડશે જેથી નવી કળા શૂન્ય થાય.
$\theta = \omega \Delta t$ લેતા,$1 = (2 \pi) \Delta t$ મળે છે.
તેથી,$\Delta t = \frac{1}{2 \pi} \ s$.
આપણે હાલની કળાને દૂર કરવા માટે ઉગમબિંદુને પાછળની તરફ ખસેડવું પડે,તેથી આ સ્થાનાંતર $-\frac{1}{2 \pi} \ s$ હોવું જોઈએ.

(A) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને $B = -\frac{p}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં $p$ એ દબાણ છે અને $\frac{\Delta V}{V}$ એ કદ વિકૃતિ છે.
તેથી, આંશિક સંકોચન $-\frac{\Delta V}{V} = \frac{p}{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કૂવાના તળિયે દબાણ $p = \rho g h$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = 1500 \, kg/m^3$, $g = 10 \, m/s^2$, $h = 2000 \, m$, અને $B = 8 \times 10^8 \, N/m^2$.
આંશિક સંકોચન ($\%$ માં) $= \frac{\rho g h}{B} \times 100$.
$= \frac{1500 \times 10 \times 2000}{8 \times 10^8} \times 100$.
$= \frac{3 \times 10^7}{8 \times 10^8} \times 100 = \frac{3}{80} \times 100 = 3.75 \%$.

(B) આપેલ છે: બલ્ક મોડ્યુલસ $B = 2 \times 10^9 \ N/m^2$.
કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = -2 \% = -0.02 = -\frac{1}{50}$ છે.
બલ્ક મોડ્યુલસનું સૂત્ર $B = -\frac{\Delta p}{\Delta V/V}$ છે,જ્યાં $\Delta p$ એ દબાણમાં થતો ફેરફાર છે.
દબાણ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $\Delta p = -B \left( \frac{\Delta V}{V} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta p = -(2 \times 10^9) \times (-0.02)$.
$\Delta p = 2 \times 10^9 \times 0.02 = 4 \times 10^7 \ N/m^2$.

(A) કેપ્લરના બીજા નિયમ (ક્ષેત્રફળનો નિયમ) મુજબ,સૂર્ય અને ગ્રહને જોડતો ત્રિજ્યા સદિશ સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ આંતરે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,સૂર્ય $(S)$ લંબગોળ કક્ષાના એક કેન્દ્ર (focus) પર છે.
ગ્રહ દ્વારા $DAB$ માર્ગમાં આંતરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ ચાપ $DAB$ અને રેખાઓ $SD$ તથા $SB$ દ્વારા ઘેરાયેલો વિસ્તાર છે.
ગ્રહ દ્વારા $BCD$ માર્ગમાં આંતરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ ચાપ $BCD$ અને રેખાઓ $SB$ તથા $SD$ દ્વારા ઘેરાયેલો વિસ્તાર છે.
સૂર્ય બાજુ $A$ ની નજીક હોવાથી,$DAB$ માર્ગમાં ગ્રહ દ્વારા આંતરાયેલું ક્ષેત્રફળ એ $BCD$ માર્ગમાં આંતરાયેલા ક્ષેત્રફળ કરતા ઓછું છે.
તેથી,$DAB$ માર્ગ કાપવા માટે લાગતો સમય $BCD$ માર્ગ કાપવા માટે લાગતા સમય કરતા ઓછો છે.

(B) આપેલ છે: સ્લેબની બાજુ $L = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$, જાડાઈ $t = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$, શીયરિંગ બળ $F = 10^5 \text{ N}$, સ્થાનાંતર $x = 0.2 \text{ mm} = 0.2 \times 10^{-3} \text{ m}$.
બળ લાગતી સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = L \times t = 0.5 \text{ m} \times 0.1 \text{ m} = 0.05 \text{ m}^2$.
શીયર સ્ટ્રેસ $= \frac{F}{A} = \frac{10^5}{0.05} = 2 \times 10^6 \text{ N/m}^2$.
શીયર સ્ટ્રેઈન $= \frac{x}{L} = \frac{0.2 \times 10^{-3} \text{ m}}{0.5 \text{ m}} = 0.4 \times 10^{-3} = 4 \times 10^{-4}$.
શીયર મોડ્યુલસ $\eta = \frac{\text{શીયર સ્ટ્રેસ}}{\text{શીયર સ્ટ્રેઈન}} = \frac{2 \times 10^6}{4 \times 10^{-4}} = 0.5 \times 10^{10} \text{ N/m}^2 = 5 \times 10^9 \text{ N/m}^2 = 5 \text{ GPa}$.

(D) ધારો કે $L_0$ એ તારની મૂળભૂત લંબાઈ છે અને $Y$ એ દ્રવ્યનો યંગ મોડ્યુલસ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,લંબાઈમાં વધારો $\Delta L = L - L_0 = \frac{T L_0}{A Y}$,જ્યાં $T$ એ તણાવ બળ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$L = L_0 + \frac{L_0 T}{A Y} = L_0 \left(1 + \frac{T}{A Y}\right)$.
આપેલ શરતો માટે:
$L_1 = L_0 \left(1 + \frac{T_1}{A Y}\right) \implies L_1 - L_0 = \frac{L_0 T_1}{A Y} \quad \dots (i)$
$L_2 = L_0 \left(1 + \frac{T_2}{A Y}\right) \implies L_2 - L_0 = \frac{L_0 T_2}{A Y} \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{L_1 - L_0}{L_2 - L_0} = \frac{T_1}{T_2}$
$T_2(L_1 - L_0) = T_1(L_2 - L_0)$
$L_1 T_2 - L_0 T_2 = L_2 T_1 - L_0 T_1$
$L_1 T_2 - L_2 T_1 = L_0 T_2 - L_0 T_1 = L_0(T_2 - T_1)$
$L_0 = \frac{L_1 T_2 - L_2 T_1}{T_2 - T_1}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે, યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l}$
લંબાઈમાં થતા ફેરફાર $(\Delta l)$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta l = \frac{F \cdot l}{A \cdot Y}$
આપેલ કિંમતો:
બળ $(F)$ = $80 \,kN = 80 \times 10^3 \,N$
લંબાઈ $(l)$ = $1 \,m$
ત્રિજ્યા $(r)$ = $10 \,mm = 10 \times 10^{-3} \,m = 10^{-2} \,m$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ = $\pi r^2 = \pi \times (10^{-2} \,m)^2 = \pi \times 10^{-4} \,m^2$
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ = $2 \times 10^{11} \,N/m^2$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta l = \frac{80 \times 10^3 \times 1}{(\pi \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^{11})}$
$\Delta l = \frac{80 \times 10^3}{\pi \times 2 \times 10^7}$
$\Delta l = \frac{40}{\pi} \times 10^{-4} \,m = \frac{4}{\pi} \times 10^{-3} \,m$
કારણ કે $10^{-3} \,m = 1 \,mm$, તેથી:
$\Delta l = \frac{4}{\pi} \,mm$

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેસ (તણાવ પ્રતિબળ) અને લોન્ગીટ્યુડિનલ સ્ટ્રેઈન (રેખીય વિકૃતિ) નો ગુણોત્તર છે.
જો $L$ લંબાઈ અને $A$ આડછેદના ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સળિયા કે તાર પર તેની સપાટીને લંબરૂપે $F$ જેટલું ખેંચાણ બળ લગાડવામાં આવે,જેનાથી લંબાઈમાં $\Delta L$ જેટલો વધારો થાય,તો:
$\text{ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેસ} = \frac{F}{A}$
$\text{લોન્ગીટ્યુડિનલ સ્ટ્રેઈન} = \frac{\Delta L}{L}$
તેથી,$Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
આમ,યંગ મોડ્યુલસ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા બળ (પ્રતિબળ) ને લંબાઈમાં થતા આંશિક ફેરફાર (રેખીય વિકૃતિ) સાથે સંબંધિત કરે છે.

(A) તાર $A$ માટે: લંબાઈ $L_A = L$,ત્રિજ્યા $R_A = R$,ક્ષેત્રફળ $A_A = \pi R^2$.
તાર $B$ માટે: લંબાઈ $L_B = 3L$,ત્રિજ્યા $R_B = 2R$,ક્ષેત્રફળ $A_B = \pi (2R)^2 = 4\pi R^2$.
જ્યારે તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય અને $F$ બળ વડે ખેંચવામાં આવે,ત્યારે બંને તારમાં તણાવ સમાન હોય છે.
લંબાઈમાં વધારો $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે બંને તારમાં લંબાઈનો વધારો સમાન છે,તેથી $\Delta L_A = \Delta L_B$.
$\frac{F L_A}{A_A Y_A} = \frac{F L_B}{A_B Y_B}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{F L}{(\pi R^2) Y_A} = \frac{F (3L)}{(4\pi R^2) Y_B}$
$\frac{1}{Y_A} = \frac{3}{4 Y_B}$
ગુણોત્તર મેળવતા:
$\frac{Y_B}{Y_A} = \frac{3}{4}$.

(D) કોઈપણ સમીકરણ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચું હોવા માટે,ઘાતાંકીય વિધેયનો ઘાતાંક પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
$E=E_0 e^{-t / t_0}$ સમીકરણમાં,પદ $-t / t_0$ એ બે સમયનો ગુણોત્તર છે,જે પરિમાણરહિત છે.
$E$ અને $E_0$ બંને ઊર્જા દર્શાવતા હોવાથી,તેમનું પરિમાણીય સૂત્ર $[M L^2 T^{-2}]$ સમાન છે.
તેથી,$E=E_0 e^{-t / t_0}$ સમીકરણ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સુસંગત છે કારણ કે ઘાતાંકીય અવયવ $e^{-t / t_0}$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
અન્ય વિકલ્પો પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ખોટા છે કારણ કે તેમના ઘાતાંક પરિમાણરહિત નથી અથવા બંને બાજુના પરિમાણો સમાન નથી.

(D) મહત્તમ ઊંચાઈએ, અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે। ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u - gt$ નો ઉપયોગ કરતા, $0 = u - 10 \times 5$, જે આપણને $u = 50 \,m/s$ આપે છે।
$n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $s_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે।
$2^{nd}$ સેકન્ડ માટે $(n=2)$: $s_2 = 50 - \frac{10}{2}(2 \times 2 - 1) = 50 - 5(3) = 35 \,m$.
$7^{th}$ સેકન્ડ માટે $(n=7)$: $s_7 = 50 - \frac{10}{2}(2 \times 7 - 1) = 50 - 5(13) = 50 - 65 = -15 \,m$. અંતરનું મૂલ્ય $15 \,m$ છે।
$2^{nd}$ સેકન્ડ અને $7^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{35}{15} = \frac{7}{3}$ થાય છે।

(A) ધારો કે પ્રારંભિક સ્થાન $A$ છે અને જે બિંદુએ દડો પકડાય છે તે $B$ છે. સૌથી ઊંચું બિંદુ $P$ છે.
પ્રારંભિક ઝડપ $u = 20 \,m/s$.
સ્થાનાંતર $s = 5 \,m$ માટે ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5 = 20t - \frac{1}{2}(10)t^2$
$5 = 20t - 5t^2$
$5$ વડે ભાગતા:
$1 = 4t - t^2$
$t^2 - 4t + 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \,s$.
દડો નીચે આવતી વખતે પકડાય છે, તેથી આપણે સમયનું મોટું મૂલ્ય લઈશું:
$t = 2 + \sqrt{3} \,s$.

(C) કણનું સ્થાન વિધેય $y(t) = 10 t e^{-2 t}$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
કણ ક્યારે ક્ષણિક રીતે અટકે છે તે શોધવા માટે,આપણે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં $y(t)$ નું વિકલન કરીને તેનો વેગ $v$ મેળવીએ છીએ:
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (10 t e^{-2 t})$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$v = 10 [t \cdot (-2 e^{-2 t}) + e^{-2 t} \cdot 1] = 10 e^{-2 t} (1 - 2 t)$.
જ્યારે $v = 0$ થાય ત્યારે કણ ક્ષણિક રીતે અટકે છે,જેનો અર્થ છે કે $1 - 2 t = 0$,તેથી $t = \frac{1}{2} \ s$.
હવે,ઉગમબિંદુથી અંતર શોધવા માટે $t = \frac{1}{2} \ s$ ને સ્થાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y(\frac{1}{2}) = 10 \times (\frac{1}{2}) \times e^{-2 \times (\frac{1}{2})} = 5 \times e^{-1} = \frac{5}{e} \ m$.

(C) કણનો પ્રવેગ $f = f_0 \left(1 - \frac{t}{T}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $f = \frac{dv}{dt}$,વેગ $v$ એ પ્રવેગનું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરવાથી મળે છે:
$v = \int f dt = \int f_0 \left(1 - \frac{t}{T}\right) dt = f_0 \left(t - \frac{t^2}{2T}\right) + C$.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે $v = 0$,તેથી સંકલનનો અચળાંક $C = 0$ મળે છે.
આમ,કોઈપણ સમયે $t$ પર વેગ $v = f_0 \left(t - \frac{t^2}{2T}\right)$ છે.
જ્યારે $f = 0$ થાય ત્યારે પ્રવેગ શૂન્ય બને છે,જેનો અર્થ છે કે $1 - \frac{t}{T} = 0$,તેથી $t = T$.
વેગના સમીકરણમાં $t = T$ મૂકતા:
$v = f_0 \left(T - \frac{T^2}{2T}\right) = f_0 \left(T - \frac{T}{2}\right) = \frac{f_0 T}{2}$.

(D) આપેલ છે,$m=1 \ kg$. બળ $F(t) = 2 \sin t \hat{i} + 3 \cos t \hat{j}$.
$F = m a$ હોવાથી,અને $m=1$,$a = F = \frac{dv}{dt}$.
$v_x = \int_0^{\pi/2} 2 \sin t \ dt = [-2 \cos t]_0^{\pi/2} = 2 \ m/s$.
$v_y = \int_0^{\pi/2} 3 \cos t \ dt = [3 \sin t]_0^{\pi/2} = 3 \ m/s$.
વેગનું મૂલ્ય $|v| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \ m/s$.
હવે,$v_x(t) = \int_0^t 2 \sin t' dt' = 2(1 - \cos t)$ અને $v_y(t) = \int_0^t 3 \cos t' dt' = 3 \sin t$.
સ્થાન $x = \int_0^{\pi/2} 2(1 - \cos t) dt = 2[t - \sin t]_0^{\pi/2} = 2(\frac{\pi}{2} - 1) = \pi - 2$.
સ્થાન $y = \int_0^{\pi/2} 3 \sin t dt = 3[-\cos t]_0^{\pi/2} = 3(0 - (-1)) = 3$.
સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય $|r| = \sqrt{(\pi-2)^2 + 3^2} = \sqrt{\pi^2 - 4\pi + 13}$.

(C) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
બસ $A$ નો વેગ,$v_A = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$ (પૂર્વ તરફ).
બસ $B$ નો વેગ,$v_B = 18 \ km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5 \ m/s$ (પશ્ચિમ તરફ).
ધારો કે પૂર્વ તરફની દિશા ધન છે. તો,$v_A = +10 \ m/s$ અને $v_B = -5 \ m/s$.
બસ $A$ ની સાપેક્ષમાં બસ $B$ નો સાપેક્ષ વેગ નીચે મુજબ છે:
$v_{BA} = v_B - v_A = (-5) - (10) = -15 \ m/s$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બસ $B$,બસ $A$ ની સાપેક્ષમાં પશ્ચિમ તરફ ગતિ કરતી દેખાય છે.
તેથી,બસ $A$ ને બસ $B$ એ $15 \ m/s$ ની ઝડપે પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ ગતિ કરતી દેખાશે.

(A) બે કાર $A$ અને $B$ ની ગતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે。
કાર $B$ ની સાપેક્ષમાં કાર $A$ નો સાપેક્ષ વેગ:
$v_{AB} = v_A - v_B = 15 \,m/s - 10 \,m/s = 5 \,m/s$
કાર $B$ ને સંપૂર્ણપણે ઓવરટેક કરવા માટે, કાર $A$ એ બંને કારની લંબાઈના સરવાળા જેટલું અંતર કાપવું પડે:
$s = 4 \,m + 4 \,m = 8 \,m$
ઓવરટેક પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય:
$t = \frac{s}{v_{AB}} = \frac{8 \,m}{5 \,m/s} = 1.6 \,s$

(B) સ્થાનનું સમીકરણ $x(t) = \alpha + \beta t^2$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 8 \ m$,તેથી સમીકરણ $x(t) = 8 + \beta t^2$ બને છે.
$t_1 = 2 \ s$ અને $t_2 = 4 \ s$ વચ્ચે સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$t_1 = 2 \ s$ પર સ્થાન: $x(2) = 8 + \beta(2)^2 = 8 + 4\beta$.
$t_2 = 4 \ s$ પર સ્થાન: $x(4) = 8 + \beta(4)^2 = 8 + 16\beta$.
સ્થાનમાં ફેરફાર $\Delta x = x(4) - x(2) = (8 + 16\beta) - (8 + 4\beta) = 12\beta$.
સમયગાળો $\Delta t = 4 - 2 = 2 \ s$.
આપેલ છે કે $v_{avg} = 12 \ m/s$,તેથી $12 = \frac{12\beta}{2}$.
$12 = 6\beta$,જેનો અર્થ છે કે $\beta = 2 \ m/s^2$.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ છે.
$1$. વ્યક્તિ $30 \,m$ ઉત્તર દિશામાં ગતિ કરે છે: સ્થાન $(0, 30)$ થાય છે.
$2$. ત્યારબાદ $20 \,m$ પૂર્વ દિશામાં ગતિ કરે છે: સ્થાન $(20, 30)$ થાય છે.
$3$. અંતે $30 \sqrt{2} \,m$ દક્ષિણ-પશ્ચિમ દિશામાં ગતિ કરે છે. દક્ષિણ-પશ્ચિમ દિશા દક્ષિણ અને પશ્ચિમ અક્ષો સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. આ સ્થાનાંતરના ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$\Delta x = -30 \sqrt{2} \cos(45^{\circ}) = -30 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = -30 \,m$
$\Delta y = -30 \sqrt{2} \sin(45^{\circ}) = -30 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = -30 \,m$
નવું સ્થાન = $(20 - 30, 30 - 30) = (-10, 0)$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી $(-10, 0)$ સુધીનું સ્થાનાંતર પશ્ચિમ દિશામાં $10 \,m$ છે.

(C) આપેલ છે કે પદાર્થ દ્વારા કાપેલ અંતરનો ગુણોત્તર $1: 2$ છે.
ધારો કે $v_1$ ઝડપ સાથે કાપેલ અંતર $s$ છે. તો,$v_2$ ઝડપ સાથે કાપેલ અંતર $2s$ થશે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલ અંતર ભાગ્યા કુલ લીધેલ સમય.
કુલ અંતર = $s + 2s = 3s$.
પ્રથમ ભાગ માટે લીધેલ સમય,$t_1 = \frac{s}{v_1}$.
બીજા ભાગ માટે લીધેલ સમય,$t_2 = \frac{2s}{v_2}$.
કુલ સમય,$T = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_1} + \frac{2s}{v_2} = s \left( \frac{1}{v_1} + \frac{2}{v_2} \right) = s \left( \frac{v_2 + 2v_1}{v_1 v_2} \right)$.
સરેરાશ ઝડપ,$v_{\text{avg}} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{3s}{s \left( \frac{v_2 + 2v_1}{v_1 v_2} \right)} = \frac{3 v_1 v_2}{v_2 + 2v_1}$.

(C) વર્તુળાકાર માર્ગ પર $v$ જેટલી અચળ ઝડપથી ગતિ કરતા પદાર્થ માટે, કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$a = \frac{v^2}{r}$
આપેલ છે કે ઝડપ $v = 10 \,ms^{-1}$, આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$a = \frac{(10)^2}{r} = \frac{100}{r}$
આ દર્શાવે છે કે પ્રવેગ $a$ એ ત્રિજ્યા $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(a \propto \frac{1}{r})$.
તેથી, આ સંબંધ દર્શાવતો આલેખ એ લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) છે, જે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) આપેલ છે,ટ્રકનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 54 \,km/h = 54 \times \frac{5}{18} = 15 \,m/s$.
અંતિમ વેગ,$v = 0$.
પ્રતિપ્રવેગ,$a = -10 \,m/s^2$.
ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 = u^2 + 2as$.
કિંમતો મૂકતા,$(0)^2 = (15)^2 + 2 \times (-10) \times s$.
$0 = 225 - 20s$.
$20s = 225$.
$s = \frac{225}{20} = 11.25 \,m$.

(A) મોટરબાઈકની ગતિને ત્રણ ભાગમાં વહેંચવામાં આવી છે: પ્રવેગ, અચળ વેગ અને પ્રતિપ્રવેગ.
$1$. પ્રવેગનો તબક્કો ($A$ થી $B$):
પ્રારંભિક વેગ $u = 0$, અંતિમ વેગ $v = 10 \,m/s$, પ્રવેગ $a = 0.5 \,m/s^2$.
$v = u + at$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$10 = 0 + 0.5 \times t_{AB} \Rightarrow t_{AB} = \frac{10}{0.5} = 20 \,s$.
$2$. અચળ વેગનો તબક્કો ($B$ થી $C$):
અંતર $d = 10 \,km = 10000 \,m$, વેગ $v = 10 \,m/s$.
સમય $t_{BC} = \frac{d}{v} = \frac{10000 \,m}{10 \,m/s} = 1000 \,s$.
$3$. પ્રતિપ્રવેગનો તબક્કો ($C$ થી $D$):
પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \,m/s$, અંતિમ વેગ $v = 0$, પ્રતિપ્રવેગ $a' = 0.2 \,m/s^2$.
$v = u - a't$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 10 - 0.2 \times t_{CD} \Rightarrow 0.2 \times t_{CD} = 10 \Rightarrow t_{CD} = \frac{10}{0.2} = 50 \,s$.
કુલ સમય $T = t_{AB} + t_{BC} + t_{CD} = 20 \,s + 1000 \,s + 50 \,s = 1070 \,s$.

(B) ધારો કે કણ $t$ સમયમાં બિંદુ $P$ પર પહોંચે છે. સમક્ષિતિજ અંતર નીચે મુજબ છે:
$x = u \cos \theta \cdot t$
$10 = u \cos 45^{\circ} \cdot t$
$10 = u \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot t \implies t = \frac{10 \sqrt{2}}{u} \quad \dots (i)$
શિરોલંબ અંતર નીચે મુજબ છે:
$y = u \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2} g t^2$
$7.5 = u \sin 45^{\circ} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2$
$7.5 = u \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot t - 5 t^2 \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $t$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$7.5 = u \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left( \frac{10 \sqrt{2}}{u} \right) - 5 \left( \frac{10 \sqrt{2}}{u} \right)^2$
$7.5 = 10 - 5 \cdot \frac{100 \cdot 2}{u^2}$
$7.5 = 10 - \frac{1000}{u^2}$
$\frac{1000}{u^2} = 10 - 7.5 = 2.5$
$u^2 = \frac{1000}{2.5} = 400$
$u = 20 \ m/s$

(A) ધારો કે $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે.
પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{v}_1 = u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}$ છે.
$t$ સમય પછી,વેગ સદિશ $\vec{v}_2 = u \cos \theta \hat{i} + (u \sin \theta - gt) \hat{j}$ થશે.
ગતિની દિશા પ્રારંભિક દિશાને લંબ હોવાથી,બંને વેગ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ: $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$.
$(u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}) \cdot (u \cos \theta \hat{i} + (u \sin \theta - gt) \hat{j}) = 0$
$u^2 \cos^2 \theta + u \sin \theta (u \sin \theta - gt) = 0$
$u^2 \cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta - ugt \sin \theta = 0$
$u^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = ugt \sin \theta$
$u^2 = ugt \sin \theta$
$t = \frac{u}{g \sin \theta}$
અહીં $u = 15 \ m/s$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે:
$t = \frac{15}{10 \times \sin 30^{\circ}} = \frac{15}{10 \times 0.5} = \frac{15}{5} = 3 \ s$.

(A) પ્રોજેક્ટાઈલને બિંદુ $A$ પરથી લોન્ચ કરવામાં આવે છે. બિંદુ $C$ અને $D$ ની વચ્ચે પડવા માટે, પ્રોજેક્ટાઈલની અવધિ (Range) $R$ એ શરત $AB + BC \leq R \leq AB + BC + CD$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
આકૃતિ પરથી, $AB = 8 \,m$, $BC = 12 \,m$, અને $CD = 4.2 \,m$ છે.
તેથી, લઘુત્તમ અવધિ $R_{min} = 8 + 12 = 20 \,m$ અને મહત્તમ અવધિ $R_{max} = 8 + 12 + 4.2 = 24.2 \,m$ છે.
પ્રોજેક્ટાઈલની અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
અહીં $\theta = 15^{\circ}$ આપેલ છે, તેથી $2\theta = 30^{\circ}$ અને $\sin 30^{\circ} = 0.5$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $20 \leq \frac{u^2 \times 0.5}{10} \leq 24.2$.
$20 \leq \frac{u^2}{20} \leq 24.2$.
$400 \leq u^2 \leq 484$.
વર્ગમૂળ લેતા, આપણને $20 \,m/s \leq u \leq 22 \,m/s$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, $21.5 \,m/s$ આ રેન્જમાં આવે છે. તેથી, વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(B) ધારો કે પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 45^{\circ}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુ $P$ પર,ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે અને પ્રક્ષેપણ બિંદુ $O$ થી સમક્ષિતિજ અંતર $R/2 = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
ઉત્સેધકોણ $\alpha$ એ મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુ $P$ દ્વારા પ્રક્ષેપણ બિંદુ $O$ પર સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle POM$ માં,આપણી પાસે છે:
$\tan \alpha = \frac{H}{R/2} = \frac{\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}}{\frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}} = \frac{\sin \theta}{2 \cos \theta} = \frac{1}{2} \tan \theta$.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા:
$\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan 45^{\circ} = \frac{1}{2} (1) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ, $u = 10 \,m/s$.
સમક્ષિતિજ સાથે પ્રક્ષિપ્ત કોણ $60^{\circ}$ છે અને ઢળતા સમતલનો ખૂણો $\alpha = 30^{\circ}$ છે।
ઢળતા સમતલની સાપેક્ષે પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે।
ઢળતા સમતલ પર અવધિ $R$ માટેનું સૂત્ર:
$R = \frac{2 u^2 \cos 60^{\circ} \sin(60^{\circ} - 30^{\circ})}{g \cos^2 30^{\circ}}$
$R = \frac{2 \times (10)^2 \times (1/2) \times \sin 30^{\circ}}{10 \times (\sqrt{3}/2)^2}$
$R = \frac{200 \times 0.5 \times 0.5}{10 \times 0.75} = \frac{50}{7.5} = \frac{20}{3} \,m$.

(B) ધારો કે લક્ષ્યનું અંતર $d$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 15^{\circ}$ માટે,અવધિ $R_1 = \frac{u^2 \sin(30^{\circ})}{g} = \frac{u^2}{2g}$ છે.
આપેલ છે કે તે $10 \ m$ ટૂંકું પડે છે,તેથી $R_1 = d - 10$,એટલે કે $\frac{u^2}{2g} = d - 10$ (સમીકરણ $i$).
$\theta = 45^{\circ}$ માટે,અવધિ $R_2 = \frac{u^2 \sin(90^{\circ})}{g} = \frac{u^2}{g}$ છે.
આપેલ છે કે તે $10 \ m$ આગળ પડે છે,તેથી $R_2 = d + 10$,એટલે કે $\frac{u^2}{g} = d + 10$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ ને સમીકરણ $ii$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{2} = \frac{d - 10}{d + 10}$ મળે છે.
$d$ માટે ઉકેલતા,$d + 10 = 2d - 20$,જે $d = 30 \ m$ આપે છે.
$d = 30$ ને સમીકરણ $ii$ માં મૂકતા,$\frac{u^2}{g} = 30 + 10 = 40$ મળે છે.
$d = 30 \ m$ પર લક્ષ્યને અથડાવવા માટે,$R = 30 = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = 40 \sin 2\theta$ લઈએ.
આમ,$\sin 2\theta = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(B) આપેલ છે, પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \text{ m/s}$.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ કરતા બમણી છે, એટલે કે $R = 2H$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ અને $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
આ કિંમતોને આપેલી શરતમાં મૂકતા:
$\frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = 2 \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$
$\frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{g}$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin^2 \theta$
$2 \cos \theta = \sin \theta \Rightarrow \tan \theta = 2$.
$\tan \theta = 2$ માટે, આપણી પાસે એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં લંબ $= 2$ અને પાયો $= 1$ છે. કર્ણ $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ થશે.
તેથી, $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
હવે, અવધિ $R$ ની ગણતરી કરીએ:
$R = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{5^2 \times 2 \times (\frac{2}{\sqrt{5}}) \times (\frac{1}{\sqrt{5}})}{10}$
$R = \frac{25 \times 2 \times 2}{10 \times 5} = \frac{100}{50} = 2 \text{ m}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
કાર $A$ નો વેગ ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં છે:
$\vec{v}_A = -120 \hat{i} \text{ km/h}$
કાર $B$ નો વેગ ઋણ $y$-અક્ષની દિશામાં છે:
$\vec{v}_B = -50 \hat{j} \text{ km/h}$
કાર $A$ ની સાપેક્ષે કાર $B$ નો સાપેક્ષ વેગ નીચે મુજબ મળે છે:
$\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$
$\vec{v}_{BA} = (-50 \hat{j}) - (-120 \hat{i})$
$\vec{v}_{BA} = 120 \hat{i} - 50 \hat{j}$
સાપેક્ષ ઝડપ એ સાપેક્ષ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{(120)^2 + (-50)^2}$
$|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{14400 + 2500}$
$|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{16900}$
$|\vec{v}_{BA}| = 130 \text{ km/h}$

(C) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
નદીનો વેગ,$v_r = 3 \,m/s$.
પાણીની સાપેક્ષે હોડીનો વેગ,$v_b = 15 \,m/s$.
નદીની પહોળાઈ,$d = AB = 200 \,m$.
આપણે આડું અંતર (ડ્રિફ્ટ),$BC$ શોધવાનું છે.
હોડીને નદી પાર કરવા માટે લાગતો સમય:
$t = \frac{d}{v_b} = \frac{200}{15} = \frac{40}{3} \,s$.
નદીના પ્રવાહને કારણે હોડી દ્વારા કપાતું આડું અંતર:
$BC = v_r \times t = 3 \times \frac{40}{3} = 40 \,m$.

(C) આપેલ છે: પુલની ઊંચાઈ $h = 45 \ m$. દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m \ s^{-1}$. ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
શિરોલંબ ગતિ માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$.
અહીં $u = 0$ હોવાથી,$45 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$.
$45 = 5t^2 \implies t^2 = 9 \implies t = 3 \ s$.
દડાને પાણીની સપાટી સુધી પહોંચતા $3 \ s$ લાગે છે.
આ સમય દરમિયાન,હોડીએ અથડામણના બિંદુ પર પહોંચવા માટે $12 \ m$ નું અંતર કાપવું પડે.
હોડીની ઝડપ $v = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{12 \ m}{3 \ s} = 4 \ m \ s^{-1}$.

(A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણ અચળ ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ પર,વેગ સદિશ $\vec{v}$ તે બિંદુએ વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે. આ દિશા ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે,જેને ટ્રાન્સવર્સ (સ્પર્શકીય) દિશા કહેવામાં આવે છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec{a}_c$ છે,જે હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર $O$ તરફ હોય છે. આ દિશા ત્રિજ્યાની દિશામાં હોય છે,જેને ત્રિજ્યાવર્તી દિશા કહેવામાં આવે છે.
તેથી,વેગ ટ્રાન્સવર્સ છે અને પ્રવેગ ત્રિજ્યાવર્તી છે.

(C) સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ હોય છે. તેથી,કણનો પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે કેન્દ્રગામી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત હોય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ હંમેશા કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત હોવાથી,તે હંમેશા સ્થાન સદિશ $r$ (કેન્દ્રથી માપવામાં આવેલ) ને સમાંતર અને વેગ સદિશ $v$ (જે માર્ગને સ્પર્શક છે) ને લંબ હોય છે.
$1$. પ્રવેગ $a$ એ વેગ $v$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ: $v \cdot a = 0$.
$2$. પ્રવેગ $a$ એ કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત હોવાથી,તે સ્થાન સદિશ $r$ સાથે એકરેખસ્થ છે. બે સદિશો જે એકરેખસ્થ (સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર) હોય તેમનો ક્રોસ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે: $r \times a = 0$.
આમ,સાચું વિધાન $v \cdot a = 0$ અને $r \times a = 0$ છે.

$(A)$ આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 1 \,m$, કેન્દ્રત્યાગી બળ $F = 4 \times 10^{-12} \,N$, પ્રોટોનનું દળ $m = 1.6 \times 10^{-27} \,kg$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કેન્દ્રત્યાગી બળનું સૂત્ર $F = m \omega^2 r$ છે.
કોણીય ઝડપ $\omega$ શોધવા માટે સૂત્રને ગોઠવતા, $\omega^2 = \frac{F}{mr}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\omega^2 = \frac{4 \times 10^{-12}}{1.6 \times 10^{-27} \times 1}$.
$\omega^2 = \frac{4}{1.6} \times 10^{-12 - (-27)} = 2.5 \times 10^{15} = 25 \times 10^{14}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\omega = \sqrt{25 \times 10^{14}} = 5 \times 10^7 \,rad/s$.

(A) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ (Wien's displacement law) મુજબ,$\lambda_m \cdot T = b$,જ્યાં $\lambda_m$ એ કૃષ્ણ પદાર્થમાંથી મહત્તમ ઉર્જાના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ છે,$b$ એ વીનનો અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda_m = \frac{b}{T}$.
તેથી,$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$,જેને $\lambda_m \propto T^{-1}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) જ્યારે $r$ ત્રિજ્યાનો એક નાનો ગોળો $R$ ત્રિજ્યાની અંતર્ગોળ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પથની અસરકારક ત્રિજ્યા $(R - r)$ થાય છે.
સંપર્ક બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક $\tau = -mg(R-r)\sin\theta \approx -mg(R-r)\theta$ છે.
સંપર્ક બિંદુને અનુલક્ષીને ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + mr^2 = \frac{2}{5}mr^2 + mr^2 = \frac{7}{5}mr^2$ છે.
ગતિનું સમીકરણ $\tau = I\alpha$ છે,તેથી $-mg(R-r)\theta = \frac{7}{5}mr^2 \frac{d^2\theta}{dt^2}$.
આના પરથી $\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{5g(R-r)}{7r^2}\theta$ મળે છે.
જો કે,જો ગોળો ઘર્ષણ વિના સરકતો હોય તેમ માનવામાં આવે,તો આ ગતિ $l = (R-r)$ લંબાઈના સાદા લોલક જેવી જ છે.
આપેલ છે કે $r << R$,તેથી અસરકારક લંબાઈ $l \approx R$.
આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ થશે.

(A) દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્લોક સ્પ્રિંગ સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે તે માટે, બ્લોકનો ઉપરની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
જ્યારે ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $a = \omega^2 x$ એ $g$ જેટલો થાય ત્યારે બ્લોક સંપર્ક ગુમાવે છે, જ્યાં $x$ એ સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં, સ્પ્રિંગનું સંકોચન $x_0 = \frac{mg}{k} = \frac{10 \times 10}{400} = 0.25 \text{ m} = 25 \text{ cm}$ થાય છે.
જ્યારે બ્લોક તેના દોલનના સૌથી ઉપરના બિંદુ પર હોય છે, ત્યારે પુનઃસ્થાપક બળ નીચેની તરફ લાગે છે. જ્યારે ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $g$ જેટલો થાય ત્યારે બ્લોક સંપર્ક ગુમાવે છે. $SHM$ માં મહત્તમ ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $\omega^2 A$ છે, જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે, તેથી જો $A > x_0$ હોય તો બ્લોક સંપર્ક ગુમાવશે.
પ્રશ્ન તે વિસ્તરણ (અથવા કુદરતી લંબાઈથી સ્થાનાંતર) વિશે પૂછે છે કે જેના પર સંપર્ક ગુમાવાય છે. બ્લોક ત્યારે સંપર્ક ગુમાવે છે જ્યારે સ્પ્રિંગનું બળ શૂન્ય થાય છે, જે ત્યારે થાય છે જ્યારે સ્પ્રિંગ તેની કુદરતી લંબાઈ પર પાછી આવે છે ($x = 0$ કુદરતી લંબાઈના સંદર્ભમાં).
જોકે, આ પ્રમાણભૂત સમસ્યાના સંદર્ભમાં, બ્લોક ત્યારે સંપર્ક ગુમાવે છે જ્યારે ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $g$ જેટલો થાય. આ સંતુલન સ્થિતિ પર થાય છે જો કંપવિસ્તાર $A = x_0 = 25 \text{ cm}$ હોય.

(D) $SHM$ કરતી વસ્તુની સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x = \frac{a}{2}$,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે:
$U = \frac{1}{2} k \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} k \frac{a^2}{4} = \frac{1}{8} k a^2$ ... $(i)$
વસ્તુની ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} k (a^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = \frac{a}{2}$ મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} k \left(a^2 - \frac{a^2}{4}\right) = \frac{1}{2} k \left(\frac{3 a^2}{4}\right) = \frac{3}{8} k a^2$ ... (ii)
ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{K}{U} = \frac{\frac{3}{8} k a^2}{\frac{1}{8} k a^2} = 3$.

(A) આપેલ છે: દડાઓના દળ $m_1 = 100 \ g = 0.1 \ kg$ અને $m_2 = 200 \ g = 0.2 \ kg$.
$t = 0.4 \ s$ સમયે,પ્રથમ દડા માટે પતનનો સમય $t_1 = 0.4 \ s$ છે.
પ્રથમ દડા દ્વારા કાપેલ અંતર $s_1 = \frac{1}{2} g t_1^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.4)^2 = 5 \times 0.16 = 0.8 \ m$.
$t = 0.4 \ s$ સમયે,બીજા દડા માટે પતનનો સમય $t_2 = 0.4 - 0.2 = 0.2 \ s$ છે.
બીજા દડા દ્વારા કાપેલ અંતર $s_2 = \frac{1}{2} g t_2^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.2)^2 = 5 \times 0.04 = 0.2 \ m$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું મુક્તિ બિંદુથી અંતર $s_{cm} = \frac{m_1 s_1 + m_2 s_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $s_{cm} = \frac{0.1 \times 0.8 + 0.2 \times 0.2}{0.1 + 0.2} = \frac{0.08 + 0.04}{0.3} = \frac{0.12}{0.3} = 0.4 \ m$.

(B) $SHM$ માં કણનો પ્રવેગ $a(t) = -\omega^2 x = -\omega^2 A \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતિમ સ્થાન પર,$x = A$ $(t = 0)$,અને સંતુલન સ્થાન પર,$x = 0$ $(t = \frac{\pi}{2\omega})$.
સરેરાશ પ્રવેગ $A_{\text{avg}}$ ને $\frac{1}{\Delta t} \int_{0}^{\Delta t} a(t) dt$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અહીં,$\Delta t = \frac{\pi}{2\omega}$.
$A_{\text{avg}} = \frac{1}{\pi / 2\omega} \int_{0}^{\pi / 2\omega} \omega^2 A \cos(\omega t) dt = \frac{2\omega}{\pi} [A \sin(\omega t)]_{0}^{\pi / 2\omega} = \frac{2\omega A}{\pi} (1 - 0) = \frac{2\omega^2 A}{\pi}$.
મહત્તમ પ્રવેગ $A_{\max} = \omega^2 A$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{A_{\text{avg}}}{A_{\max}} = \frac{2\omega^2 A / \pi}{\omega^2 A} = \frac{2}{\pi}$ થાય છે.

(A) કણનું સ્થાનાંતર $x=x_0 \cos \left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = -x_0 \omega \sin \left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right)$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = -x_0 \omega^2 \cos \left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પ્રવેગને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$a = x_0 \omega^2 \cos \left(\omega t - \frac{\pi}{4} + \pi\right) = x_0 \omega^2 \cos \left(\omega t + \frac{3\pi}{4}\right)$.
$a = A \cos(\omega t - \delta)$ સ્વરૂપ સાથે સરખાવવા માટે,આપણે ફેઝને $\omega t - (-\frac{3\pi}{4})$ તરીકે લખીએ છીએ.
આમ,$A = x_0 \omega^2$ અને $\delta = -\frac{3\pi}{4}$ મળે છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે વેગ $v$ અને સ્થાનાંતર $x$ ને જોડતું સમીકરણ આપેલ છે:
$4v^2 = 25 - x^2$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$v^2 = \frac{1}{4}(25 - x^2) = \frac{1}{4}(5^2 - x^2)$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$v = \frac{1}{2}\sqrt{5^2 - x^2} \quad ... (i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $SHM$ માં વેગનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે:
$v = \omega\sqrt{A^2 - x^2} \quad ... (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{2} \ rad/s$
કંપવિસ્તાર $A = 5 \ m$
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$T = \frac{2\pi}{\omega}$
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi \ s$

(A) બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} = a \sin(\omega t)\hat{i} + a(1 - \cos(\omega t))\hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ સ્થાન સદિશનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = a\omega \cos(\omega t)\hat{i} + a\omega \sin(\omega t)\hat{j}$.
પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ એ વેગ સદિશનું સમયની સાપેક્ષ વિકલન છે:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -a\omega^2 \sin(\omega t)\hat{i} + a\omega^2 \cos(\omega t)\hat{j}$.
$\vec{v}$ અને $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,આપણે ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos \theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{v}| |\vec{a}|}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{v} \cdot \vec{a}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{v} \cdot \vec{a} = (a\omega \cos(\omega t))(-a\omega^2 \sin(\omega t)) + (a\omega \sin(\omega t))(a\omega^2 \cos(\omega t))$
$\vec{v} \cdot \vec{a} = -a^2\omega^3 \cos(\omega t)\sin(\omega t) + a^2\omega^3 \sin(\omega t)\cos(\omega t) = 0$.
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,તેથી $\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = 6 \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)$ આપેલ છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left[6 \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)\right] = -6 \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right) \times 2 \pi = -12 \pi \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)$.
પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left[-12 \pi \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)\right] = -12 \pi \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right) \times 2 \pi = -24 \pi^2 \cos \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3}\right)$.
$t = 1 \ s$ સમયે,પ્રવેગ:
$a = -24 \pi^2 \cos \left(2 \pi(1) + \frac{\pi}{3}\right) = -24 \pi^2 \cos \left(2 \pi + \frac{\pi}{3}\right)$.
કારણ કે $\cos(2 \pi + \theta) = \cos \theta$,તેથી $\cos \left(2 \pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$a = -24 \pi^2 \times \frac{1}{2} = -12 \pi^2 \ m/s^2$.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = 12 \pi^2 \ m/s^2$ થાય.

(A) ધારો કે $\phi_0$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે।
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ છે:
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ --- $(i)$
આપેલ છે કે ફોટોનની પ્રારંભિક ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = 2.4 \text{ eV}$ છે।
જ્યારે તરંગલંબાઇમાં $50 \%$ ઘટાડો થાય છે, ત્યારે નવી તરંગલંબાઇ $\lambda' = \frac{\lambda}{2}$ થાય છે।
ફોટોનની નવી ઉર્જા $E' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{hc}{\lambda / 2} = 2 \left( \frac{hc}{\lambda} \right) = 2 \times 2.4 \text{ eV} = 4.8 \text{ eV}$ થાય છે।
નવો મહત્તમ વેગ $v' = 3v$ છે, તેથી નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K'_{\max} = \frac{1}{2} m (3v)^2 = 9 \left( \frac{1}{2} m v^2 \right) = 9 K_{\max}$ થાય।
બીજા કિસ્સા માટે ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$9 K_{\max} = E' - \phi_0 = 4.8 - \phi_0$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી, $K_{\max} = 2.4 - \phi_0$।
આ કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$9(2.4 - \phi_0) = 4.8 - \phi_0$
$21.6 - 9\phi_0 = 4.8 - \phi_0$
$8\phi_0 = 21.6 - 4.8 = 16.8$
$\phi_0 = \frac{16.8}{8} = 2.1 \text{ eV}$.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ એ $K_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2 = E - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$E_1 = 4 \text{ eV}$ અને $\phi_0 = 2 \text{ eV}$:
$\frac{1}{2} m v_1^2 = 4 - 2 = 2 \text{ eV} \quad \dots(i)$
બીજા કિસ્સા માટે,$E_2 = 2.5 \text{ eV}$ અને $\phi_0 = 2 \text{ eV}$:
$\frac{1}{2} m v_2^2 = 2.5 - 2 = 0.5 \text{ eV} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{1}{2} m v_1^2}{\frac{1}{2} m v_2^2} = \frac{2}{0.5}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = 4$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{4} = 2$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$E_K = E - \phi_0$,જ્યાં $E_K$ એ ગતિ ઊર્જા છે,$E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi_0$ એ ધાતુની સપાટીનું વર્ક ફંક્શન છે.
આના પરથી,આપણને મળે છે $E = E_K + \phi_0$ ... $(i)$.
જ્યારે આપાત ફોટોનની ઊર્જામાં $20 \%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવી ઊર્જા $E'$ એ $E' = E + 0.2E = 1.2E$ થાય છે.
નવી ગતિ ઊર્જા $E_K'$ એ $E_K' = E' - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $E' = E_K' + \phi_0$ ... (ii).
સમીકરણ (ii) માં $E' = 1.2E$ મૂકતા,આપણને મળે છે $1.2E = E_K' + \phi_0$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$E = 0.5 + \phi_0$. આ કિંમતને સુધારેલા સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$1.2(0.5 + \phi_0) = 0.8 + \phi_0$
$0.6 + 1.2\phi_0 = 0.8 + \phi_0$
$1.2\phi_0 - \phi_0 = 0.8 - 0.6$
$0.2\phi_0 = 0.2$
$\phi_0 = 1.0 \ eV$.

(B) આપેલ છે, વર્ક ફંક્શન $\phi = 2.4 \text{ eV}$.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં હાઈડ્રોજન પરમાણુને આયનીકૃત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $E_i = 13.6 \text{ eV}$ છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રોન દ્વારા હાઈડ્રોજન પરમાણુનું આયનીકરણ કરવા માટે, ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $(KE)$ હાઈડ્રોજન પરમાણુની આયનીકરણ ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ.
તેથી, $KE_{max} = 13.6 \text{ eV}$.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $E = KE_{max} + \phi$, જ્યાં $E = \frac{hc}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1240}{\lambda} = 13.6 + 2.4$.
$\frac{1240}{\lambda} = 16$.
$\lambda = \frac{1240}{16} = 77.5 \text{ nm}$.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં ઉર્જાનું સમીકરણ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e V_0 = h \nu - \phi_0 \Rightarrow V_0 = \frac{h \nu}{e} - \frac{\phi_0}{e}$ $\ldots$ $(i)$
જ્યાં $V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આવૃત્તિ છે,અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $\nu' = 2\nu$ થાય છે.
નવું સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V_0' = \frac{h(2\nu)}{e} - \frac{\phi_0}{e} = \frac{2h\nu}{e} - \frac{\phi_0}{e}$
આને આપણે આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$V_0' = 2\left(\frac{h\nu}{e} - \frac{\phi_0}{e}\right) + \frac{\phi_0}{e}$
સમીકરણ $(i)$ ને આ પદમાં મૂકતા:
$V_0' = 2V_0 + \frac{\phi_0}{e}$
કારણ કે $\frac{\phi_0}{e} > 0$,તેથી સાબિત થાય છે કે $V_0' > 2V_0$.
આમ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ બમણા કરતા વધારે થશે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટો-ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(KE)_{\max }$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $(KE)_{\max } = h\nu - \phi_0$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે,અને $\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = (KE)_{\max }$ અને $x = \nu$,આપણને ઢાળ $m = h$ મળે છે.
જેহেতু $h$ (પ્લાન્કનો અચળાંક) એ સાર્વત્રિક અચળાંક છે,તેથી $(KE)_{\max }$ વિરુદ્ધ $\nu$ ના આલેખનો ઢાળ બધી ધાતુઓ માટે સમાન હોય છે અને તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર હોય છે.

(D) સાચું વિધાન વિકલ્પ $(D)$ માં આપેલ છે.
વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ:
વિકલ્પ $(A)$ ખોટો છે કારણ કે ફોટોનનું સ્થિર દળ શૂન્ય હોય છે,તેમ છતાં તેમની ઉર્જાને કારણે તેઓ વેગમાન ધરાવે છે $(p = E/c)$.
વિકલ્પ $(B)$ ખોટો છે કારણ કે વિદ્યુતચુંબકીય બળ એ નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ બંને કરતા ઘણું વધારે પ્રબળ છે.
વિકલ્પ $(C)$ ખોટો છે કારણ કે ન્યુક્લિયસની સ્થિરતા માટે પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ જવાબદાર છે,નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ નહીં.
વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે કારણ કે વિદ્યુતચુંબકીય બળો લાંબા અંતરના બળો છે અને તેને પ્રસરણ માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોતી નથી.

(B) ધાતુની સપાટીનું વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = 2.5 \,eV$ છે।
આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda = 310 \,nm$ છે।
અચળાંક $hc = 1240 \,eV-nm$ આપેલ છે।
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = eV_0$ સંબંધ ધરાવે છે,તેથી:
$eV_0 = \frac{1240 \,eV-nm}{310 \,nm} - 2.5 \,eV$
$eV_0 = 4 \,eV - 2.5 \,eV$
$eV_0 = 1.5 \,eV$
તેથી,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0 = 1.5 \,V$ થાય।

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગને લંબરૂપે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય બળ $F = q(v \times B)$ દરેક ક્ષણે વેગ સદિશને લંબરૂપે લાગે છે.
બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = F \cdot ds = 0$ થાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે,તેથી ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
જોકે,કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતો હોવાથી વેગ સદિશની દિશા સતત બદલાતી રહે છે,તેથી વેગમાન $p = mv$ બદલાય છે કારણ કે વેગમાન એ સદિશ રાશિ છે.
તેથી,વેગમાન બદલાય છે જ્યારે ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.

(A) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 70$,ત્રિજ્યા $r = 10 \,cm = 0.1 \,m$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2 \times 10^{-3} \,T$,પ્રવાહ $I = 2.2 \,A$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ગૂંચળાના સમતલને લંબ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે.
ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = N B A \cos \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\phi = 70 \times (2 \times 10^{-3}) \times (\pi \times (0.1)^2) \times \cos 0^{\circ}$.
$\phi = 140 \times 10^{-3} \times \pi \times 0.01 = 1.4 \pi \times 10^{-3} \,Wb$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$\phi = 1.4 \times 3.14 \times 10^{-3} \approx 4.4 \times 10^{-3} \,Wb$.
કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય કરવા માટે,ગૂંચળામાં વહેતા પ્રવાહને કારણે ઉત્પન્ન થતું ફ્લક્સ બાહ્ય ફ્લક્સ જેટલું હોવું જોઈએ: $\phi = L I$.
$L = \frac{\phi}{I} = \frac{4.4 \times 10^{-3}}{2.2} = 2 \times 10^{-3} \,H = 2 \,mH$.

(D) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા અનંત લંબાઈના સીધા તારથી $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પ્રશ્નમાં,તાર $Y$-અક્ષ પર છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ $xz$-સમતલમાં $Y$-અક્ષ પર કેન્દ્રિત વર્તુળો છે.
વર્તુળાકાર લૂપ $xy$-સમતલમાં છે. લૂપ પરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ એ $xz$-સમતલમાં હોય છે (ખાસ કરીને,તે $Y$-અક્ષ અને તારથી ત્રિજ્યાવર્તી સદિશને લંબ હોય છે).
$xy$-સમતલમાં રહેલા લૂપનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $Z$-અક્ષની દિશામાં હોય છે (એટલે કે,$\vec{A} = A \hat{k}$).
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ હંમેશા $xz$-સમતલમાં હોવાથી અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $Z$-અક્ષની દિશામાં હોવાથી,લૂપના દરેક બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A} = \int B dA \cos(90^\circ) = 0$ થાય.

(B) કોઈલમાં ઉત્પન્ન થતું આત્મ-પ્રેરિત emf $(E)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = L \left| \frac{dI}{dt} \right|$
આપેલ છે:
$E = 200 \,V$
પ્રવાહમાં ફેરફાર, $\Delta I = 10 \,A - 0 \,A = 10 \,A$
સમયગાળો, $\Delta t = 1.5 \,s$
પ્રવાહના ફેરફારનો દર, $\frac{dI}{dt} = \frac{10 \,A}{1.5 \,s} = \frac{10}{1.5} \,A/s$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$200 = L \times \left( \frac{10}{1.5} \right)$
$L = \frac{200 \times 1.5}{10}$
$L = 20 \times 1.5 = 30 \,H$
તેથી, કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $30 \,H$ છે.

(C) બે સમકેન્દ્રીય ગૂંચળા માટે અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ નું સૂત્ર,જ્યાં $r \ll R$ છે,તે $M = \frac{\mu_0 \pi N_1 N_2 r^2}{2 R}$ છે.
અહીં,$N_1$ અને $N_2$ એ અનુક્રમે અંદરના અને બહારના ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા છે,$r$ એ અંદરના ગૂંચળાની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ બહારના ગૂંચળાની ત્રિજ્યા છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $M \propto r^2$.
સાપેક્ષ ત્રુટિના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{\Delta M}{M} = 2 \frac{\Delta r}{r}$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta r}{r} \times 100 \% = 2 \%$ છે.
તેથી,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta M}{M} \times 100 \% = 2 \times (2 \%) = 4 \%$ થશે.

(A) સ્થાનાંતર પ્રવાહનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt} = \varepsilon_0 \frac{\Delta \phi_E}{\Delta t}$
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E = E \cdot A$ અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ છે, તેથી:
$I_d = \varepsilon_0 \frac{A}{d} \frac{\Delta V}{\Delta t}$
આપેલ કિંમતો:
$\Delta V = 200 \, V$
$\Delta t = 1 \, \mu s = 10^{-6} \, s$
$d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$
$A = 20 \, cm^2 = 20 \times 10^{-4} \, m^2$
$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$
આ કિંમતો મૂકતા:
$I_d = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 20 \times 10^{-4} \times 200}{10^{-3} \times 10^{-6}}$
$I_d = \frac{8.85 \times 20 \times 200 \times 10^{-16}}{10^{-9}}$
$I_d = 35400 \times 10^{-7} \, A = 3.54 \times 10^{-3} \, A \approx 3.5 \, mA$

(A) પ્રકાશના સમાંતર કિરણપુંજની તીવ્રતા $I$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$ ... $(i)$
જ્યાં $E_0$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર છે,$\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે:
$I = \frac{15}{\pi} \text{ W/m}^2$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2 \implies \varepsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \text{ F/m}$
$c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$
સમીકરણ $(i)$ ને $E_0^2$ માટે ગોઠવતા:
$E_0^2 = \frac{2I}{\varepsilon_0 c} = \frac{2I \times 4 \pi}{(4 \pi \varepsilon_0) c}$
કિંમતો મૂકતા:
$E_0^2 = \frac{2 \times (15/\pi) \times 4 \pi}{(1 / (9 \times 10^9)) \times 3 \times 10^8}$
$E_0^2 = \frac{120}{3 \times 10^8 / 9 \times 10^9} = \frac{120}{1/30} = 120 \times 30 = 3600$
$E_0 = \sqrt{3600} = 60 \text{ N/C}$

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\vec{E} \times \vec{B}$ ને સમાંતર હોય છે.
આપેલ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા $\hat{B} = \hat{i} - \hat{j}$ છે.
આપેલ છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્રની દિશા $\hat{E} = \hat{i} + \hat{j}$ છે.
પ્રસરણની દિશા $\hat{n}$ એ વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના એકમ સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે:
$\hat{n} = \hat{E} \times \hat{B} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (\hat{i} - \hat{j})$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$\hat{n} = (\hat{i} \times \hat{i}) - (\hat{i} \times \hat{j}) + (\hat{j} \times \hat{i}) - (\hat{j} \times \hat{j})$.
એકમ સદિશોના ગુણધર્મો $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\hat{n} = 0 - \hat{k} - \hat{k} - 0 = -2\hat{k}$.
આમ,દિશા $-2\hat{k}$ હોવાથી,તરંગ $-z$-દિશામાં ગતિ કરે છે.

(B) ઉદગમ દ્વારા ઉત્સર્જિત સરેરાશ પાવર $P_{\text{avg}} = 4 \% \text{ of } 100 \,W = \frac{4}{100} \times 100 \,W = 4 \,W$ છે.
$r = 2 \,m$ અંતરે, વિકિરણ $A = 4 \pi r^2 = 4 \pi (2)^2 = 16 \pi \,m^2$ જેટલા ગોળાકાર પૃષ્ઠફળ પર ફેલાય છે.
સરેરાશ તીવ્રતા $I_{\text{avg}} = \frac{P_{\text{avg}}}{A} = \frac{4}{16 \pi} = \frac{1}{4 \pi} \,W/m^2$ મળે છે.
વળી, વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની સરેરાશ તીવ્રતા અને rms વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\text{rms}}$ વચ્ચેનો સંબંધ $I_{\text{avg}} = \varepsilon_0 c E_{\text{rms}}^2$ છે, જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
તીવ્રતા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1}{4 \pi} = \varepsilon_0 c E_{\text{rms}}^2$.
$E_{\text{rms}}^2$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $E_{\text{rms}}^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 c} = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \right) \times \frac{1}{c}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $E_{\text{rms}}^2 = (9 \times 10^9) \times \frac{1}{3 \times 10^8} = 3 \times 10 = 30$.
તેથી, $E_{\text{rms}} = \sqrt{30} \,V/m$ મળે છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટમાં $X$-ray ને ઉચ્ચ-ઊર્જા ધરાવતા વિકિરણ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જેની તરંગલંબાઇ સામાન્ય રીતે $10^{-8} \,m$ થી $10^{-12} \,m$ ની વચ્ચે હોય છે।
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, $10^{-10} \,m$ આ શ્રેણીમાં આવે છે, તેથી તે $X$-ray માટે એક લાક્ષણિક તરંગલંબાઇ છે.

(A) આપેલ છે કે,ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = \frac{4}{3}$.
રેખીય ડાયઇલેક્ટ્રિક પદાર્થ માટે,ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ અને વિદ્યુત સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = 1 + \chi$ છે.
તેથી,$\chi = K - 1$.
ધ્રુવીભવન $P$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સાથે $P = \chi \varepsilon_0 E$ દ્વારા સંબંધિત છે,તેથી $\varepsilon_0$ ના સંદર્ભમાં સસેપ્ટિબિલિટી $\chi = (K - 1) \varepsilon_0$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
$K$ ની આપેલી કિંમત મૂકતા:
$\chi = \left( \frac{4}{3} - 1 \right) \varepsilon_0$
$\chi = \left( \frac{4 - 3}{3} \right) \varepsilon_0$
$\chi = \frac{\varepsilon_0}{3}$.

(B) આપેલ છે કે,અંતર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = 20 \ cm$ છે.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = 2f = 2 \times 20 \ cm = 40 \ cm$ થાય.
વસ્તુનું અંતર $u = 40 \ cm$ છે.
જ્યારે વસ્તુને વક્રતા કેન્દ્ર પર $(u = R)$ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે અંતર્ગોળ અરીસા દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક,ઉલટું અને વસ્તુના કદ જેટલું જ હોય છે,અને તે વક્રતા કેન્દ્ર પર જ રચાય છે.

(D) $1$. વાહક ગોળાકાર કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે કારણ કે કવચ પરના વિદ્યુતભારો આંતરિક ક્ષેત્રને નાબૂદ કરવા માટે પોતાની જાતે પુનઃવિતરિત થાય છે. તેથી, કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવેલા વિદ્યુતભાર $q_1$ પર લાગતું બળ $F_1 = q_1 \times E_{in} = q_1 \times 0 = 0$ છે。
$2$. કવચની બહાર $x$ અંતરે મૂકવામાં આવેલા વિદ્યુતભાર $q_2$ માટે, ગોસના નિયમ મુજબ કવચ તેના કેન્દ્ર પર સ્થિત બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ તરીકે વર્તે છે. આ ઉપરાંત, કેન્દ્ર પરનો વિદ્યુતભાર $q_1$ પણ $q_2$ પર બળ લગાડે છે。
$3$. $q_2$ ના સ્થાન પર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ $Q$ અને $q_1$ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે, જે $E_{total} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{x^2} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1}{x^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q+q_1}{x^2}$ છે。
$4$. $q_2$ પર લાગતું બળ $F_2 = q_2 \times E_{total} = \frac{q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q+q_1}{x^2}$ થાય છે.

(B) પ્રોટોન એ ધન વીજભારિત કણ છે. જ્યારે તેને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = qE$ અનુભવે છે.
પ્રોટોનને આ કુલંબ બળની વિરુદ્ધ દિશામાં ખસેડવા માટે,પ્રોટોન પર કાર્ય કરવા માટે બાહ્ય બળ લગાડવું જરૂરી છે.
કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર કુદરતી રીતે પ્રોટોનને તેની પોતાની દિશામાં ધકેલે છે,તેથી તેને વિરુદ્ધ દિશામાં ખસેડવા માટે સિસ્ટમને ઉર્જા પૂરી પાડવા માટે બાહ્ય એજન્સીની જરૂર પડે છે.
તેથી,આ કાર્ય કરવા માટે કોઈ બાહ્ય સ્ત્રોતમાંથી ઉર્જાનો ઉપયોગ થાય છે.

(B) ઋણ વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર વિદ્યુતભાર તરફની દિશામાં હોય છે.
ધારો કે બે ઋણ વિદ્યુતભારો $-Q$,$(0, a)$ અને $(0, -a)$ પર આવેલા છે. બિંદુ $P$ એ ધન $x$-અક્ષ પર $(x, 0)$ પર છે.
$(0, a)$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}_1$ એ $P$ થી $(0, a)$ તરફની દિશામાં છે.
$(0, -a)$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}_2$ એ $P$ થી $(0, -a)$ તરફની દિશામાં છે.
વિદ્યુતભારોના મૂલ્યો સમાન હોવાથી અને $P$ થી તેમના અંતર સમાન હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન છે,એટલે કે $|\vec{E}_1| = |\vec{E}_2|$.
જ્યારે આ સદિશોના ઘટકો પાડવામાં આવે છે,ત્યારે $y$-ઘટકો ($E_{1y}$ અને $E_{2y}$) મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
$x$-ઘટકો ($E_{1x}$ અને $E_{2x}$) બંને ઋણ $x$-દિશામાં છે.
તેથી,બિંદુ $P$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર ઋણ $x$-દિશામાં હોય છે.

(B) ધારો કે સમઘનનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ છે. સમઘનના શિરોબિંદુઓ $(\pm L/2, \pm L/2, \pm L/2)$ પર છે.
જો આઠેય શિરોબિંદુઓ પર $+q$ વિદ્યુતભાર હોત,તો સંમિતિને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોત.
ધારો કે એક શિરોબિંદુ (ધારો કે $(-L/2, -L/2, -L/2)$) પર $+q$ ને બદલે $-q$ વિદ્યુતભાર છે.
આપેલ ગોઠવણી માટે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{total}$ છે.
જો આઠેય શિરોબિંદુઓ પર $+q$ વિદ્યુતભાર હોત તો વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{all} = 0$ હોત.
ધારો કે $(-L/2, -L/2, -L/2)$ શિરોબિંદુ પર $+q$ વિદ્યુતભારને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}_{vertex}$ છે.
તેથી,$\vec{E}_{total} = \vec{E}_{all} - \vec{E}_{vertex} + \vec{E}_{(-q)} = 0 - \vec{E}_{vertex} - \vec{E}_{vertex} = -2\vec{E}_{vertex}$.
કોઈપણ શિરોબિંદુથી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $r = \sqrt{(L/2)^2 + (L/2)^2 + (L/2)^2} = \sqrt{3L^2/4} = \frac{\sqrt{3}L}{2}$ છે.
કેન્દ્ર પર એક વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|E_{vertex}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{3L^2/4} = \frac{4}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ છે.
કારણ કે $\vec{E}_{total} = -2\vec{E}_{vertex}$,તેનું મૂલ્ય $|E_{total}| = 2 |E_{vertex}| = 2 \times \frac{4}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right) = \frac{8}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ છે.
આને $|E| = \alpha \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{8}{3}$ મળે છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત અવાહક ઘન ગોળાને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E = \begin{cases} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q r}{R^3} ; & \text{માટે } r < R \\ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2} ; & \text{માટે } r \geq R \end{cases}$
$r < R$ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ અંતર $r$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે $(E \propto r)$,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$r \geq R$ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(E \propto 1/r^2)$,જે અતિવલય વક્ર દર્શાવે છે.
આમ,આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે,$r = R$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે,અને ત્યારબાદ $r > R$ માટે વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમ મુજબ ઘટે છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
ગોસનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ સપાટીના કદ કે આકાર પર આધારિત નથી; તે ફક્ત તેની અંદર રહેલા ચોખ્ખા વિદ્યુતભાર પર આધાર રાખે છે.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક ફ્લક્સ $\phi = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ છે.
જો બાજુની લંબાઈ બદલીને $\frac{2}{3} l$ કરવામાં આવે,તો ભૌમિતિક ફેરફારને કારણે ફ્લક્સ પર કોઈ અસર થતી નથી.
જો બંધિત વિદ્યુતભાર બમણો કરવામાં આવે,તો નવો વિદ્યુતભાર $Q' = 2Q$ થાય છે.
નવું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi'$ એ $\phi' = \frac{Q'}{\varepsilon_0} = \frac{2Q}{\varepsilon_0} = 2 \left( \frac{Q}{\varepsilon_0} \right) = 2 \phi$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,નવું વિદ્યુત ફ્લક્સ $2 \phi$ થશે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{\text{net}}}{\varepsilon_0}$ છે.
જો કોઈ બંધ સપાટી કોઈ વિદ્યુતભાર ધરાવતી ન હોય $(q_{\text{net}} = 0)$,તો સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
જોકે,આનો અર્થ એ નથી કે સપાટી પર દરેક જગ્યાએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર સપાટીમાંથી પસાર થઈ શકે છે,જે એક બિંદુએ દાખલ થાય અને બીજા બિંદુએ બહાર નીકળે,જેના પરિણામે દરેક જગ્યાએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થયા વગર પણ કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય થઈ શકે છે.
તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે.

(B) સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન $\Phi = a r^2 + b$ આપેલ છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $\Phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{d\Phi}{dr}$ છે.
તેથી,$E = -\frac{d}{dr}(a r^2 + b) = -2ar$.
ગોસના નિયમના વિકલન સ્વરૂપ મુજબ,વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર વચ્ચેનો સંબંધ $\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ છે.
ગોલીય યામ પદ્ધતિમાં,ત્રિજ્યાવર્તી ક્ષેત્ર $E(r)$ માટે ડાયવર્જન્સ $\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 E) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ થાય છે.
$E = -2ar$ મૂકતા:
$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 (-2ar)) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$.
$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(-2a r^3) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$.
$\frac{1}{r^2} (-6a r^2) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$.
$-6a = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$.
તેથી,$\rho = -6a \varepsilon_0$.

(B) અનંત અવાહક શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર અને સ્થિતિમાનના તફાવત વચ્ચેના સંબંધ $|dV| = |E| dr$ નો ઉપયોગ કરતા,$\Delta V$ સ્થિતિમાન તફાવત ધરાવતા બે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો વચ્ચેનું અંતર $r = \frac{\Delta V}{E}$ થાય.
$E$ ની કિંમત મૂકતા,$r = \frac{\Delta V \cdot 2 \varepsilon_0}{\sigma} = \frac{\Delta V}{2 \pi \sigma (1 / 4 \pi \varepsilon_0)}$ મળે.
અહીં $\Delta V = 90 \text{ V}$,$\sigma = 2 \times 10^{-7} \text{ C/m}^2$,અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2$ આપેલ છે.
તેથી,$r = \frac{90}{2 \pi \times 2 \times 10^{-7} \times 9 \times 10^9} = \frac{90}{3600 \pi} \text{ m} = \frac{1}{40 \pi} \text{ m} = \frac{1000}{40 \pi} \text{ mm} = \frac{25}{\pi} \text{ mm}$.

(D) વિદ્યુત સ્થિતિમાન એ અદિશ રાશિ છે. $9$ વિદ્યુતભારોને કારણે કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = 9 \times \frac{Kq}{R} = \frac{9Kq}{R} \quad \dots(i)$
વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સદિશ રાશિ છે. $10$ બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણમાં,જો તમામ $10$ ખૂણાઓ પર વિદ્યુતભારો હાજર હોત,તો સંમિતિને કારણે કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોત (દરેક વિરુદ્ધ ખૂણા પરના વિદ્યુતભારો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે).
ધારો કે ખૂટતો વિદ્યુતભાર $10$ મા ખૂણા પર છે. જો આપણે $10$ મા ખૂણા પર $+q$ અને $-q$ વિદ્યુતભાર મૂકીએ,તો ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર તે ખૂણા પરના $-q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર જેટલું જ હશે,કારણ કે બાકીના $10$ વિદ્યુતભારો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
આમ,કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય:
$E = \frac{Kq}{R^2} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{V}{E} = \frac{\frac{9Kq}{R}}{\frac{Kq}{R^2}} = 9R$

(C) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. અંતર $AC = CB = L$ છે. બિંદુ $D$ એ $B$ થી $L$ અંતરે છે,તેથી $AD = 3L$ અને $BD = L$ થાય.
$Q$ વિદ્યુતભારને અર્ધવર્તુળ $CRD$ પર ગતિ કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ તંત્રની સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = U_{\text{final}} - U_{\text{initial}}$
જ્યારે $Q$ એ $C$ પર હોય ત્યારે પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_{\text{initial}}$:
$U_{\text{initial}} = \frac{kqQ}{AC} + \frac{k(-q)Q}{BC} + \frac{kq(-q)}{AB} = \frac{kqQ}{L} - \frac{kqQ}{L} - \frac{kq^2}{2L} = -\frac{kq^2}{2L}$
જ્યારે $Q$ એ $D$ પર હોય ત્યારે અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_{\text{final}}$:
$U_{\text{final}} = \frac{kqQ}{AD} + \frac{k(-q)Q}{BD} + \frac{kq(-q)}{AB} = \frac{kqQ}{3L} - \frac{kqQ}{L} - \frac{kq^2}{2L} = -\frac{2kqQ}{3L} - \frac{kq^2}{2L}$
$W = (-\frac{2kqQ}{3L} - \frac{kq^2}{2L}) - (-\frac{kq^2}{2L}) = -\frac{2kqQ}{3L}$
$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ મૂકતા:
$W = -\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{qQ}{L} = -\frac{qQ}{6\pi\varepsilon_0 L}$

(B) તારમાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ વિદ્યુતક્ષેત્ર (સ્થિતિમાનના તફાવતને કારણે) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર (જો લાગુ પડતું હોય તો) દ્વારા સંચાલિત થાય છે. આ બળોને વિદ્યુતચુંબકીય બળ હેઠળ વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. પરમાણુ સ્તરે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નગણ્ય હોય છે,જ્યારે સ્ટ્રોંગ અને વીક ન્યુક્લિયર બળો માત્ર ન્યુક્લિયસની અંદર જ કાર્ય કરે છે. તેથી,પ્રભાવી બળ વિદ્યુતચુંબકીય બળ છે.

(A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સર્પાકારના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $dr$ જાડાઈ ધરાવતા એક નાના વર્તુળાકાર ઘટકનો વિચાર કરો.
આ ઘટકમાં કુલ આંટાની સંખ્યા $dN = \frac{N}{b-a} dr$ છે.
આ ઘટકમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ $di = I \cdot dN = \frac{N I}{b-a} dr$ છે.
આ ઘટકને કારણે સર્પાકારના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB = \frac{\mu_0 di}{2r} = \frac{\mu_0 N I}{2(b-a)} \frac{dr}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = a$ થી $r = b$ સુધી સંકલન કરતા,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ મળે છે:
$B = \int_a^b \frac{\mu_0 N I}{2(b-a)} \frac{dr}{r} = \frac{\mu_0 N I}{2(b-a)} \ln \left( \frac{b}{a} \right)$.
અહીં $N = 100$,$I = 1 \text{ A}$,$a = 1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}$,અને $b = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 100 \times 1}{2(2 \times 10^{-2} - 1 \times 10^{-2})} \ln \left( \frac{2 \times 10^{-2}}{1 \times 10^{-2}} \right)$
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-2}} \ln(2) = 2 \pi \times 10^{-3} \ln(2) \text{ T}$.
$1 \text{ T} = 10^3 \text{ mT}$ હોવાથી,$B = 2 \pi \ln(2) \text{ mT}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે:
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ,$G = 100 \Omega$
શંટ અવરોધ,$S = 0.1 \Omega$
ગેલ્વેનોમીટરમાં મહત્તમ વિચલન પ્રવાહ,$I_g = 100 \mu A = 100 \times 10^{-6} A = 10^{-4} A$
એમીટર માટે,ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ અવરોધ સમાંતર જોડાણમાં હોય છે. બંને વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$V_{AB} = I_g G = (I - I_g) S$
કિંમતો મૂકતા:
$(100 \times 10^{-6}) \times 100 = (I - 100 \times 10^{-6}) \times 0.1$
$10^{-2} = (I - 10^{-4}) \times 10^{-1}$
$0.1 = I - 0.0001$
$I = 0.1 + 0.0001 = 0.1001 A$
મિલીએમ્પિયરમાં રૂપાંતર કરતા:
$I = 0.1001 \times 1000 mA = 100.1 mA$
આમ,પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $100.1 mA$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી પ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નું સૂત્ર $\tau = |\vec{m} \times \vec{B}| = N I A B \sin \theta$ છે, જ્યાં $\theta$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ (કોઈલના સમતલને લંબ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે。
અહીં આપેલ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર કોઈલના સમતલને લંબ છે, તેથી ક્ષેત્રફળ સદિશ (જે કોઈલના સમતલને લંબ હોય છે) એ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર થશે。
તેથી, ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ થશે。
કારણ કે $\sin(0^\circ) = 0$ છે, તેથી ટોર્ક $\tau = N I A B \sin(0^\circ) = 0$ થશે।

(C) બે ચુંબકોને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ જોડવામાં આવ્યા છે. $Y$-અક્ષ પરના ચુંબક $(M_1)$ ને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેની અક્ષીય રેખા પર છે,જ્યારે $X$-અક્ષ પરના ચુંબક $(M_2)$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર છે.
$M$ ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવતા ટૂંકા ચુંબક માટે,$R$ અંતરે અક્ષીય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{axial}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{R^3}$ અને વિષુવવૃત્તીય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{equatorial}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{R^3}$ છે.
બિંદુ $P$ પર આ ક્ષેત્રો એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_{\text{net}} = \sqrt{B_{\text{axial}}^2 + B_{\text{equatorial}}^2} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{R^3}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{R^3}\right)^2}$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M}{R^3} \sqrt{2^2 + 1^2} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\sqrt{5}M}{R^3}$
આપેલ છે કે $B_{\text{net}} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M_0}{R^3}$,તેથી બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\sqrt{5}M}{R^3} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{M_0}{R^3}$
$\sqrt{5}M = M_0 \implies M = \frac{M_0}{\sqrt{5}}$

(B) આપેલ છે: પ્રવાહ ઘનતા $J = (2 \times 10^{10}) r^2 \text{ A/m}^2$, સ્થિતિમાન $V = 50 \text{ V}$, સમય $t = 100 \text{ s}$, અને ત્રિજ્યા $R = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$.
ઉષ્મા તરીકે વ્યય થતી ઉર્જા $E = VIt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ, $I = \int J dA$ નો ઉપયોગ કરીને કુલ પ્રવાહ $I$ શોધો, જ્યાં $dA = 2 \pi r dr$.
$I = \int_{0}^{R} (2 \times 10^{10} r^2) (2 \pi r dr) = 4 \pi \times 10^{10} \int_{0}^{2 \times 10^{-3}} r^3 dr$.
$I = 4 \pi \times 10^{10} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{2 \times 10^{-3}} = \pi \times 10^{10} \times (2 \times 10^{-3})^4$.
$I = \pi \times 10^{10} \times 16 \times 10^{-12} = 16 \pi \times 10^{-2} = 0.16 \pi \text{ A}$.
હવે, ઉર્જા $E = VIt = 50 \times (0.16 \pi) \times 100$ ગણો.
$E = 5000 \times 0.16 \pi = 800 \pi \text{ J}$.

(B) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા નળાકાર વાહક માટે,વાહકની અક્ષથી $r$ અંતરે આવેલા બહારના બિંદુ $P$ (જ્યાં $r > R$) પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
અહીં,$\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,અને $r$ એ વાહકના કેન્દ્રથી બિંદુ $P$ સુધીનું ત્રિજ્યાવર્તી અંતર છે.

(B) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{total} = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તાર વર્તુળાકાર લૂપનો ચોથો ભાગ હોવાથી,કેન્દ્ર પર આંતરેલો ખૂણો $90^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન છે.
કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો આંતરતા ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ છે.
ક્વાર્ટર રીંગ માટે,$\theta = \frac{\pi}{2}$ છે.
$\theta$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $B = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 I}{8 R}$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $\frac{\mu_0 I}{8 R}$ છે.

(B) લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે $(n = N/L)$.
આપેલ છે:
લંબાઈ $L = 50 \ cm = 0.5 \ m$
આંટાની સંખ્યા $N = 400$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \pi \times 10^{-3} \ T$
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
સૌ પ્રથમ,એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યાની ગણતરી કરો:
$n = \frac{N}{L} = \frac{400}{0.5} = 800 \ turns/m$
હવે,$B = \mu_0 n I$ સૂત્રમાં કિંમતો મૂકો:
$4 \pi \times 10^{-3} = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 800 \times I$
$I = \frac{4 \pi \times 10^{-3}}{4 \pi \times 10^{-7} \times 800}$
$I = \frac{10^{-3}}{10^{-7} \times 800} = \frac{10^4}{800} = \frac{100}{8} = 12.5 \ A$.

(D) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. નિયમિત ષટ્કોણ $6$ સમાન સીધા તારના ટુકડાઓનો બનેલો છે.
પ્રથમ,આપણે એક પ્રવાહ ખંડ $AB$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી કરીશું.
$\triangle OAM$ માં,કેન્દ્ર $O$ થી ખંડ $AB$ સુધીનું લંબ અંતર $r$ એ $OM$ છે.
ષટ્કોણ નિયમિત હોવાથી,$\triangle OAB$ એ $R$ બાજુઓ ધરાવતો સમબાજુ ત્રિકોણ છે. તેથી,$OM = R \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} R$.
ખંડ $AB$ ને કારણે બિંદુ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\theta_1 = \theta_2 = 30^{\circ}$.
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (\frac{\sqrt{3}}{2} R)} (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{3} \pi R} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{3} \pi R}$.
કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ તમામ $6$ ખંડોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે:
$B = 6 \times B_1 = 6 \times \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{3} \pi R} = \frac{3 \mu_0 I}{\sqrt{3} \pi R} = \frac{\sqrt{3} \mu_0 I}{\pi R}$.

(A) આપેલ છે: સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી, $\mu_r = \frac{800}{\pi}$.
વિદ્યુતપ્રવાહ, $I = 2 \text{ A}$.
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા, $n = 1000 \text{ m}^{-1}$.
સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H = nI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$H = 1000 \times 2 = 2000 \text{ A/m} = 2 \times 10^3 \text{ A/m}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu H = \mu_0 \mu_r H$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (\frac{800}{\pi}) \times (2 \times 10^3)$.
$B = 4 \times 10^{-7} \times 800 \times 2 \times 10^3$.
$B = 6400 \times 10^{-4} \text{ T} = 0.64 \text{ T}$.
$1 \text{ T} = 1000 \text{ mT}$ હોવાથી, $B = 0.64 \times 1000 \text{ mT} = 640 \text{ mT}$.

(A) સોલેનોઇડના અક્ષીય બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 n I}{2}(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સોલેનોઇડની અંદરના બિંદુ (કેન્દ્ર) માટે,$\theta_1 = 0^{\circ}$ અને $\theta_2 = 180^{\circ}$ છે.
તેથી,$B_{\text{center}} = \frac{\mu_0 n I}{2}(\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ}) = \frac{\mu_0 n I}{2}(1 - (-1)) = \mu_0 n I$.
સોલેનોઇડના છેડા પરના બિંદુ માટે,$\theta_1 = 90^{\circ}$ અને $\theta_2 = 180^{\circ}$ છે.
તેથી,$B_{\text{end}} = \frac{\mu_0 n I}{2}(\cos 90^{\circ} - \cos 180^{\circ}) = \frac{\mu_0 n I}{2}(0 - (-1)) = \frac{\mu_0 n I}{2}$.
કેન્દ્ર અને છેડા પરના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર $\frac{B_{\text{center}}}{B_{\text{end}}} = \frac{\mu_0 n I}{\frac{\mu_0 n I}{2}} = 2$ થાય છે.

(B) આપેલ છે: તારનું દળ, $m = 0.2 \,kg$. તારની લંબાઈ, $l = 1.5 \,m$. વિદ્યુતપ્રવાહ, $I = 2 \,A$. ગુરુત્વપ્રવેગ, $g = 10 \,m/s^2$.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F_m = I l B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર તારને લંબ હોવાથી, $\theta = 90^{\circ}$, તેથી $F_m = I l B$.
તાર હવામાં લટકતો રહે તે માટે, ઉપરની તરફ લાગતું ચુંબકીય બળ તારના નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_m = w$
$I l B = m g$
$B$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$B = \frac{m g}{I l}$
$B = \frac{0.2 \times 10}{2 \times 1.5}$
$B = \frac{2}{3} \approx 0.67 \,T$
તેથી, ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $0.67 \,T$ છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને $N$ આંટા ધરાવતા ગૂંચળાના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે $I$ પ્રવાહ પસાર થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
અહીં,$R = 1 \ m$,$N = 80$,$I = 0.2 \ A$ છે અને બિંદુ ગૂંચળાંઓની વચ્ચે છે,તેથી બંને ગૂંચળાંઓ માટે $x = 1 \ m$ થશે.
$B_1 = B_2 = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 80 \times 0.2 \times 1^2}{2(1^2 + 1^2)^{3/2}} = \frac{64\pi \times 10^{-7}}{2(2)^{3/2}} = \frac{32\pi \times 10^{-7}}{2\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}\pi \times 10^{-7} \ T$.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}} = B_1 + B_2 = 16\sqrt{2}\pi \times 10^{-7} \ T$.
માઇક્રોટેસ્લામાં રૂપાંતર કરતા $(1 \ \mu T = 10^{-6} \ T)$:
$B_{\text{net}} = 1.6\sqrt{2}\pi \ \mu T \approx 7.1 \ \mu T$.

(B) સોલેનોઇડમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U = \frac{B^2 V}{2 \mu_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$V$ એ કદ છે અને $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે.
આપેલ છે કે બંને સોલેનોઇડમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા સમાન છે,તેથી $U_X = U_Y$.
તેથી,$\frac{B_X^2 V_X}{2 \mu_0} = \frac{B_Y^2 V_Y}{2 \mu_0}$,જેનું સાદું રૂપ $B_X^2 V_X = B_Y^2 V_Y$ થાય છે.
કદ $V = A \times L$ હોવાથી,આપણી પાસે $B_X^2 A_X L_X = B_Y^2 A_Y L_Y$ છે.
આપેલ છે કે $A_Y = 2 A_X$ અને $L_Y = 2 L_X$,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$B_X^2 A_X L_X = B_Y^2 (2 A_X) (2 L_X)$.
$B_X^2 A_X L_X = 4 B_Y^2 A_X L_X$.
બંને બાજુ $A_X L_X$ વડે ભાગતા,આપણને $B_X^2 = 4 B_Y^2$ મળે છે.
આમ,$\frac{B_X^2}{B_Y^2} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{|B_X|}{|B_Y|} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(D) સોલેનોઈડ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: $I = 20 \ A$,$l = 2 \ m$,$B = 20 \ mT = 20 \times 10^{-3} \ T$,અને વ્યાસ $d = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 1.5 \times 10^{-2} \ m$.
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n$ ની ગણતરી:
$n = \frac{B}{\mu_0 I} = \frac{20 \times 10^{-3}}{4 \pi \times 10^{-7} \times 20} = \frac{10^4}{4 \pi} \ m^{-1}$.
કુલ આંટાની સંખ્યા $N = n \times l = \frac{10^4}{4 \pi} \times 2 = \frac{10^4}{2 \pi}$.
તારની લંબાઈ એ કુલ આંટાની સંખ્યા અને એક આંટાના પરિઘનો ગુણાકાર છે:
$L_{wire} = N \times (2 \pi r) = \left( \frac{10^4}{2 \pi} \right) \times (2 \pi \times 1.5 \times 10^{-2}) = 10^4 \times 1.5 \times 10^{-2} = 1.5 \times 10^2 \ m = 150 \ m$.

(C) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા અનંત સીધા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર (ઉપરની તરફ) માટે,બિંદુ $P$ પર (તેનાથી $x+y$ અંતરે) ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની અંદરની તરફ (નીચેની તરફ) હોય છે અને તેનું મૂલ્ય $B_I = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (x+y)}$ છે.
$i$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર (નીચેની તરફ) માટે,બિંદુ $P$ પર (તેનાથી $y$ અંતરે) ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની બહારની તરફ (ઉપરની તરફ) હોય છે અને તેનું મૂલ્ય $B_i = \frac{\mu_0 i}{2 \pi y}$ છે.
બિંદુ $P$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,બંને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$B_I = B_i$
$\frac{\mu_0 I}{2 \pi (x+y)} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi y}$
$\frac{I}{x+y} = \frac{i}{y}$
$i = I \left( \frac{y}{x+y} \right)$

(A) ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times (2l)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે અને $(2l)$ એ ધ્રુવો વચ્ચેનું અંતર (ચુંબકીય લંબાઈ) છે.
જ્યારે ગજિયા ચુંબકને ચાપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ અચળ રહે છે,પરંતુ બે ધ્રુવો વચ્ચેનું સીધું અંતર ઘટે છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ એ ધ્રુવો વચ્ચેના અંતરના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ મૂળ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ કરતા ઓછી હશે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ ઘટે છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A = (\frac{q}{T}) (\pi r^2) = (\frac{q \omega}{2 \pi}) (\pi r^2) = \frac{1}{2} q \omega r^2$ છે.
કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = m(\omega r)r = m \omega r^2$ છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ અને કોણીય વેગમાનના મૂલ્યનો ગુણોત્તર $\frac{M}{L} = \frac{\frac{1}{2} q \omega r^2}{m \omega r^2} = \frac{q}{2m}$ થાય.
આ ગુણોત્તરને ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.