यदि परवलय y^2 = 4ax की एक अभिलंब जीवा मूल बिं | vedclass

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Question

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $P(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ है।मान लीजिए कि यह अभिलंब परवलय को बिंदु $Q$ पर पुनः मिलता है।

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$\pm \sqrt{2}$

Vedclass · Answer

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $P(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ है।मान लीजिए कि यह अभिलंब परवलय को बिंदु $Q$ पर पुनः मिलता है। मूल बिंदु $O(0,0)$ परवलय का शीर्ष है।रेखाओं $OP$ और $OQ$ का संयुक्त समीकरण परवलय के समीकरण $y^2 = 4ax$ को अभिलंब समीकरण $\frac{y + tx}{2at + at^3} = 1$ का उपयोग करके समघातीय बनाकर प्राप्त किया जाता है:$y^2 = 4ax \left( \frac{y + tx}{2at + at^3} ight)$$y^2(2at + at^3) = 4ax(y + tx)$$4atx^2 + 4axy - (2at + at^3)y^2 = 0$चूंकि $OP$ और $OQ$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:$4at - (2at + at^3) = 0$$2at - at^3 = 0$$at(2 - t^2) = 0$अभिलंब जीवा के लिए $t 
eq 0$ है,इसलिए $t^2 = 2$,अर्थात $t = \pm \sqrt{2}$।अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है। इस अभिलंब की ढाल $m = -t$ है।अतः,ढाल $m = \mp \sqrt{2}$,जो $\pm \sqrt{2}$ के बराबर है।

यदि परवलय $y^2 = 4ax$ की एक अभिलंब जीवा मूल बिंदु पर समकोण अंतरित करती है,तो उस अभिलंब जीवा की ढाल क्या है?

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