int_0^3 (2+x^2) dx = | vedclass

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Question

(C) माना $f(x) = 2+x^2$ है। निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{bn} f\left(\fr

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$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[6n + \frac{1^2+2^2+\ldots+(3n)^2}{n^2} \right]$

Vedclass · Answer

(C) माना $f(x) = 2+x^2$ है। निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\int_a^b f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{bn} f\left(\frac{r}{n}\right)$ यहाँ,$\int_0^3 (2+x^2) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{3n} \left(2 + \left(\frac{r}{n}\right)^2\right)$ $= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ \sum_{r=1}^{3n} 2 + \sum_{r=1}^{3n} \frac{r^2}{n^2} \right]$ $= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ 2(3n) + \frac{1^2+2^2+\ldots+(3n)^2}{n^2} \right]$ $= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[ 6n + \frac{1^2+2^2+\ldots+(3n)^2}{n^2} \right]$.

$\int_0^3 (2+x^2) dx = $

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$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^3}\right)^{\frac{1}{n^3}}\left(1+\frac{8}{n^3}\right)^{\frac{4}{n^3}}\left(1+\frac{27}{n^3}\right)^{\frac{9}{n^3}} \ldots \left(1+\frac{n^3}{n^3}\right)^{\frac{n^2}{n^3}}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2 n-1} \frac{n^{2}}{n^{2}+4 r^{2}}$ का मान है:

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n+3}{n^2+1^2}+\frac{n+6}{n^2+2^2}+\frac{n+9}{n^2+3^2}+\ldots+\frac{2}{n}\right]=$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)=$

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