यदि सदिश vec{b}, vec{c}, vec{d} समतलीय नहीं ह | vedclass

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Question

(A) माना $\vec{x} = (\vec{a} 	imes \vec{b}) 	imes(\vec{c} 	imes \vec{d}) + (\vec{a} 	imes \vec{c}) 	imes(\vec{d} 	imes \vec{b}) + (\vec{a} 	ime

Vedclass · Accepted Answer

$\vec{a}$ के समांतर

Vedclass · Answer

(A) माना $\vec{x} = (\vec{a} 	imes \vec{b}) 	imes(\vec{c} 	imes \vec{d}) + (\vec{a} 	imes \vec{c}) 	imes(\vec{d} 	imes \vec{b}) + (\vec{a} 	imes \vec{d}) 	imes(\vec{b} 	imes \vec{c})$ है।सदिश सर्वसमिका $(\vec{p} 	imes \vec{q}) 	imes \vec{r} = (\vec{p} \cdot \vec{r})\vec{q} - (\vec{q} \cdot \vec{r})\vec{p}$ का उपयोग करते हुए,प्रत्येक पद का विस्तार करने पर:$1$. $(\vec{a} 	imes \vec{b}) 	imes(\vec{c} 	imes \vec{d}) = [\vec{a} \vec{c} \vec{d}]\vec{b} - [\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a}$$2$. $(\vec{a} 	imes \vec{c}) 	imes(\vec{d} 	imes \vec{b}) = [\vec{a} \vec{d} \vec{b}]\vec{c} - [\vec{c} \vec{d} \vec{b}]\vec{a}$$3$. $(\vec{a} 	imes \vec{d}) 	imes(\vec{b} 	imes \vec{c}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d} - [\vec{d} \vec{b} \vec{c}]\vec{a}$इनका योग करने पर:$\vec{x} = ([\vec{a} \vec{c} \vec{d}]\vec{b} + [\vec{a} \vec{d} \vec{b}]\vec{c} + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d}) - ([\vec{b} \vec{c} \vec{d}] + [\vec{c} \vec{d} \vec{b}] + [\vec{d} \vec{b} \vec{c}])\vec{a}$चूंकि अदिश त्रिक गुणन चक्रीय होता है,$[\vec{b} \vec{c} \vec{d}] = [\vec{c} \vec{d} \vec{b}] = [\vec{d} \vec{b} \vec{c}]$ है।अतः,$\vec{a}$ का गुणांक $-3[\vec{b} \vec{c} \vec{d}]$ है।अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म के अनुसार,$[\vec{a} \vec{c} \vec{d}]\vec{b} + [\vec{a} \vec{d} \vec{b}]\vec{c} + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d} = [\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a}$ होता है।इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\vec{x} = [\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a} - 3[\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a} = -2[\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a}$ प्राप्त होता है।चूंकि $\vec{x}$,$\vec{a}$ का एक अदिश गुणज है,इसलिए यह $\vec{a}$ के समांतर है।

यदि सदिश $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ समतलीय नहीं हैं,तो सदिश $(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d})+(\vec{a} \times \vec{c}) \times(\vec{d} \times \vec{b})+(\vec{a} \times \vec{d}) \times(\vec{b} \times \vec{c})$ है

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यदि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} - 4\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} + \lambda \hat{j} + 3\hat{k}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$ है,तो:

चतुष्फलक का आयतन ज्ञात कीजिए,जिसके शीर्ष सदिशों $-i + j + k$,$i - j + k$ और $i + j - k$ द्वारा दिए गए हैं,जहाँ चौथा शीर्ष मूल बिंदु है।

सदिश $c \cdot (b+c) \times (a+b+c)$ किसके बराबर है?

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