यदि lim _{n rightarrow infty} sum_{r=1}^n fra | vedclass

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Question

(C) दी गई सीमा अभिव्यक्ति: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{r^4+n^4}=p$. हम योग को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\lim _{n \rightarro

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$2$

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(C) दी गई सीमा अभिव्यक्ति: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{r^4+n^4}=p$. हम योग को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{n^4 \left(1+\frac{r^4}{n^4}\right)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 (r/n)^3}{1+(r/n)^4} \cdot \frac{1}{n}$. निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $x = \frac{r}{n}$ और $dx = \frac{1}{n}$ है। जैसे ही $n \rightarrow \infty$,योग $0$ से $1$ तक के समाकल में बदल जाता है: $p = \int_0^1 \frac{4x^3}{1+x^4} dx$. मान लीजिए $t = 1+x^4$,तो $dt = 4x^3 dx$ होगा। जब $x=0$,तो $t=1$ है। जब $x=1$,तो $t=2$ है। अतः,$p = \int_1^2 \frac{dt}{t} = [\ln t]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$. इसलिए,$e^p = e^{\ln 2} = 2$.

यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{4 r^3}{r^4+n^4}=p$ है,तो $e^p=$

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निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए: $\int_{-1}^{1} e^{x} dx$

$\mathop {Lim}\limits_{n \to \infty } \,\,\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{n}{{{n^2} + {k^2}{x^2}}}} $,$x > 0$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n+3}{n^2+1^2}+\frac{n+6}{n^2+2^2}+\frac{n+9}{n^2+3^2}+\ldots+\frac{2}{n}\right]=$

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