किसी वक्र पर किसी बिंदु पर,स्पर्श रेखा की ढाल | vedclass

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Question

(A) प्रश्न के अनुसार,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = x + xy$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dy}

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$y=2 e^{\frac{x^2}{2}}-1$

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(A) प्रश्न के अनुसार,स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = x + xy$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} - xy = x$. यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है,जहाँ $P(x) = -x$ और $Q(x) = x$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -x dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$ है। हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ द्वारा दिया जाता है। $y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = \int x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} dx + c$. मान लीजिए $t = -\frac{x^2}{2}$,तो $dt = -x dx$,इसलिए $x dx = -dt$. $y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = -\int e^t dt + c = -e^t + c = -e^{-\frac{x^2}{2}} + c$. चूंकि वक्र $(0, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=1$ रखने पर: $1 \cdot e^0 = -e^0 + c \Rightarrow 1 = -1 + c \Rightarrow c = 2$. अतः,$y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = -e^{-\frac{x^2}{2}} + 2$. $e^{-\frac{x^2}{2}}$ से भाग देने पर,हमें $y = -1 + 2e^{\frac{x^2}{2}}$ या $y = 2e^{\frac{x^2}{2}} - 1$ प्राप्त होता है।

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