यदि int frac{x+1}{sqrt{2x-1}} , dx = f(x) sqr | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{x+1}{\sqrt{2x-1}} \, dx$. $2x-1 = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $x = \frac{t^2+1}{2}$ और $dx = t \, dt$ प्राप्त होता है। अत

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$\frac{1}{3}(x+4)$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{x+1}{\sqrt{2x-1}} \, dx$. $2x-1 = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $x = \frac{t^2+1}{2}$ और $dx = t \, dt$ प्राप्त होता है। अतः $x+1 = \frac{t^2+1}{2} + 1 = \frac{t^2+3}{2}$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{(\frac{t^2+3}{2}) t \, dt}{t} = \int \frac{t^2+3}{2} \, dt$. $I = \frac{1}{2} (\frac{t^3}{3} + 3t) + c = \frac{t^3}{6} + \frac{3t}{2} + c$. $\frac{t}{6}$ उभयनिष्ठ लेने पर: $I = \frac{t}{6} (t^2 + 9) + c$. $t = \sqrt{2x-1}$ वापस रखने पर: $I = \frac{\sqrt{2x-1}}{6} (2x-1+9) + c = \frac{\sqrt{2x-1}}{6} (2x+8) + c$. $I = \sqrt{2x-1} \cdot \frac{2(x+4)}{6} + c = \sqrt{2x-1} \cdot \frac{x+4}{3} + c$. $f(x) \sqrt{2x-1} + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \frac{x+4}{3}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{x+1}{\sqrt{2x-1}} \, dx = f(x) \sqrt{2x-1} + c$ है,(जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}} dx = a(1+x^2)^{\frac{3}{2}} + b \sqrt{1+x^2} + c$,(जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है)। $a+b$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{\sqrt{2} \sin x}{\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int {{e^{{{\cos }^2}x}}\sin 2x\,dx = }$

$\int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} \, dx = $

यदि $\int {\frac{{\left( {2x + 3} \right)dx}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1}}} = C - \frac{1}{{f(x)}}$ जहाँ $f(x)$,$ax^2 + bx + c$ के रूप में है,तो $(a + b + c)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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