જો $\bar{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\bar{b} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,અને $\bar{c} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ હોય,તો $6$ એકમ માન ધરાવતો સદિશ,જે સદિશ $2\bar{a} - \bar{b} + 3\bar{c}$ ને સમાંતર હોય,તે શોધો.

ધારો કે $O$ ઉગમબિંદુ છે,$A$ અને $B$ બે બિંદુઓ છે જેના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $-3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ અને $4 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k}$ છે. ધારો કે $P$ એક એવું બિંદુ છે કે જેથી $P$ માંથી પસાર થતી અને $\overrightarrow{OB}$ ને સમાંતર રેખા $OA$ ને $L$ માં મળે છે અને $P$ માંથી પસાર થતી બીજી રેખા જે $\overrightarrow{OA}$ ને સમાંતર છે તે $OB$ ને $M$ માં મળે છે. જો $L$ એ $OA$ નું $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે અને $M$ એ $OB$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે,તો $O$ થી $P$ નું અંતર શોધો.

સદિશો $\vec{AB} = 3\hat{i} + 4\hat{k}$ અને $\vec{AC} = 5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુઓ છે. $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગાની લંબાઈ શોધો.

ધારો કે $u$ અને $v$ એ $\mathbb{R}^2$ માં અસમરેખ સદિશો છે. ધારો કે $w$ એ $v$ પર $u$ નો લંબ પ્રક્ષેપ સદિશ છે. બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(i)$ $\mathbb{R}^2$ માં કોઈપણ સદિશને $u$ અને $v$ ના સુરેખ સંયોજન તરીકે લખી શકાય છે.
(ii) $w$ ને $u$ અને $v$ ના સુરેખ સંયોજન તરીકે $w = au + bv$ સ્વરૂપે લખી શકાય છે,જ્યાં $a$ અને $b$ બંને શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.

નીચેનાનો સાચું કે ખોટું માં જવાબ આપો.
$\vec{a}$ અને $-\vec{a}$ સમરેખ (collinear) છે.

જો $\vec{r} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$,$\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$,અને $\vec{c} = -2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ હોય અને $\vec{r} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b} + \gamma\vec{c}$ હોય,તો -