ધારો કે $\overline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ અને $\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}$ છે. ધારો કે $\overline{c}$ એક એવો સદિશ છે કે જેથી $|\bar{c}-\bar{a}|=3$ અને $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}|=3$ થાય અને $\overline{c}$ તથા $\overline{a} \times \overline{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ હોય,તો $\overline{a} \cdot \overline{c}$ ની કિંમત શોધો.

જો $(a \times b)^{2} + (a \cdot b)^{2} = 144$ અને $|a| = 4$ હોય,તો $|b|$ ની કિંમત શોધો.

જો $a, b$ અને $c$ એકમ સદિશો હોય કે જેથી $a + b - c = 0$ થાય,તો $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો થાય?

$\vec{a}, \vec{b}, \text{ અને } \vec{c}$ એ ત્રણ સદિશો છે કે જેથી $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7$ થાય. જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અનુક્રમે સદિશો $\vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{a}, \vec{a}+\vec{b}$ ને લંબ હોય,તો $\sqrt{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2-2} = $

જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા બિંદુઓ સમતલીય હોય અને $(\sin A)\vec{a} + (2\sin 2B)\vec{b} + (3\sin 3C)\vec{c} - 4\vec{d} = \vec{0}$ હોય,તો $\frac{21}{8}(\sin^2 A + \sin^2 2B + \sin^2 3C)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

ધારો કે $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,અને $\overrightarrow{b}$ તથા $\overrightarrow{c}$ બે શૂન્યેતર સદિશો છે જેથી $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = |\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|$ અને $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ થાય. નીચેના બે વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(A)$ તમામ $\lambda \in R$ માટે $|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}| \geq |\overrightarrow{a}|$.
$(B)$ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{c}$ હંમેશા સમાંતર છે.