MHT CET 2024 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया फलन $g(u) = 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$ है।
सम/विषम की जाँच करने के लिए,हम $g(-u)$ का मूल्यांकन करते हैं:
$g(-u) = 2 \tan^{-1}(e^{-u}) - \frac{\pi}{2}$.
सर्वसमिका $\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\tan^{-1}(e^{-u}) = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(e^{-u})$ है।
इसे $g(-u)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$g(-u) = 2(\frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(e^{-u})) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 2 \cot^{-1}(e^{-u})$.
चूंकि $\cot^{-1}(e^{-u}) = \tan^{-1}(e^u)$,हमें प्राप्त होता है:
$g(-u) = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(e^u) = -(2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}) = -g(u)$.
अतः,$g(u)$ एक विषम फलन है।
एकदिष्टता की जाँच करने के लिए,हम अवकलज $g'(u)$ ज्ञात करते हैं:
$g'(u) = \frac{d}{du} [2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}] = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^u)^2} \cdot e^u = \frac{2e^u}{1 + e^{2u}}$.
चूंकि सभी $u \in (-\infty, \infty)$ के लिए $e^u > 0$,इसलिए $g'(u) > 0$ है।
अतः,$g(u)$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ में निरंतर वर्धमान फलन है।

(B) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} |x| + [x], & -1 \le x < 1 \\ x + |x|, & 1 \le x < 2 \\ x + [x], & 2 \le x \le 3 \end{cases}$.
$-1 \le x < 0$ के लिए,$f(x) = -x + (-1) = -(x+1)$.
$0 \le x < 1$ के लिए,$f(x) = x + 0 = x$.
$1 \le x < 2$ के लिए,$f(x) = x + x = 2x$.
$2 \le x < 3$ के लिए,$f(x) = x + 2$.
$x = 3$ के लिए,$f(3) = 3 + [3] = 3 + 3 = 6$.
सांतत्य की जाँच:
$x = 0$ पर: $LHL = \lim_{x \to 0^-} -(x+1) = -1$,$RHL = \lim_{x \to 0^+} x = 0$. चूँकि $LHL \neq RHL$,इसलिए $f$ बिंदु $x = 0$ पर असतत है।
$x = 1$ पर: $LHL = \lim_{x \to 1^-} x = 1$,$RHL = \lim_{x \to 1^+} 2x = 2$. चूँकि $LHL \neq RHL$,इसलिए $f$ बिंदु $x = 1$ पर असतत है।
$x = 2$ पर: $LHL = \lim_{x \to 2^-} 2x = 4$,$RHL = \lim_{x \to 2^+} (x+2) = 4$. चूँकि $LHL = RHL = f(2) = 4$,इसलिए $f$ बिंदु $x = 2$ पर सतत है।
$x = 3$ पर: $LHL = \lim_{x \to 3^-} (x+2) = 5$,$f(3) = 6$. चूँकि $LHL \neq f(3)$,इसलिए $f$ बिंदु $x = 3$ पर असतत है।
अतः,$f$ बिंदुओं $x = 0, 1, 3$ (तीन बिंदु) पर असतत है।

(B) माना $I = \int \left(1+x-\frac{1}{x}\right) e^{x+\frac{1}{x}} ~d x$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \left[ x e^{x+\frac{1}{x}} \left(1-\frac{1}{x^2}\right) + e^{x+\frac{1}{x}} \right] d x$.
यह $\int [x f'(x) + f(x)] dx$ के रूप में है,जहाँ $f(x) = e^{x+\frac{1}{x}}$.
चूँकि $\frac{d}{dx} (e^{x+\frac{1}{x}}) = e^{x+\frac{1}{x}} \cdot (1 - \frac{1}{x^2}) = f'(x)$,
अतः समाकलन का मान $x f(x) + c$ होता है।
इस प्रकार,$I = x e^{x+\frac{1}{x}} + c$.

(B) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1}(2x) + \tan^{-1}(3x) = \frac{\pi}{4}$
सूत्र $\tan^{-1}(a) + \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{2x+3x}{1-(2x)(3x)}\right) = \frac{\pi}{4}$
$\frac{5x}{1-6x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$
$5x = 1 - 6x^2$
$6x^2 + 5x - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(6x - 1)(x + 1) = 0$
इससे $x = \frac{1}{6}$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि शर्त $x \geq 0$ है,इसलिए हम $x = -1$ को अस्वीकार करते हैं।
अतः,$x = \frac{1}{6}$ ही एकमात्र हल है।
इसलिए,समुच्चय $A = \{\frac{1}{6}\}$ एक एकल समुच्चय है।

(D) दिया गया समीकरण: $\tan^{-1}(2x) + \tan^{-1}(3x) = \frac{\pi}{4}$
सर्वसमिका $\tan^{-1}(A) + \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{2x + 3x}{1 - (2x)(3x)}\right) = \frac{\pi}{4}$
$\frac{5x}{1 - 6x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$\frac{5x}{1 - 6x^2} = 1$
$5x = 1 - 6x^2$
$6x^2 + 5x - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $6x^2 + 6x - x - 1 = 0$
$6x(x + 1) - 1(x + 1) = 0$
$(6x - 1)(x + 1) = 0$
इससे $x = \frac{1}{6}$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि समुच्चय $A$,$x \geq 0$ के लिए परिभाषित है,इसलिए हम $x = -1$ को अस्वीकार करते हैं।
अतः,$x = \frac{1}{6}$ ही एकमात्र हल है।
इसलिए,समुच्चय $A = \{\frac{1}{6}\}$ एक एकल समुच्चय है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right)=\frac{\pi}{2}$
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$।
अतः,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = \frac{\pi}{2}$।
$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$।
अब,$\cos^{-1}\left(\frac{12}{13}\right) = \sin^{-1}\left(\sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2}\right) = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{169-144}{169}}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)$।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,$\frac{x}{13} = \frac{5}{13}$,जिससे $x = 5$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $\cot ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})-\tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})=x$
सर्वसमिका $\cot ^{-1}(y) = \tan ^{-1}(\frac{1}{y})$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{\cos \alpha}}\right)-\tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})=x$
सूत्र $\tan ^{-1}(A) - \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{1}{\sqrt{\cos \alpha}}-\sqrt{\cos \alpha}}{1+\frac{1}{\sqrt{\cos \alpha}} \cdot \sqrt{\cos \alpha}}\right]=x$
$\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{1-\cos \alpha}{\sqrt{\cos \alpha}}}{2}\right]=x$
$\tan x = \frac{1-\cos \alpha}{2\sqrt{\cos \alpha}}$
अब,$\sin x = \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}$
$\sin x = \frac{2\sin^2(\alpha/2)}{2\cos^2(\alpha/2)} = \tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

(C) दिया गया समीकरण $\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}+\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}=\frac{\pi}{2}$ है।
$\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}$ को परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $x(x+1) \geq 0$ होना चाहिए।
$\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$ को परिभाषित होने के लिए,तर्क को $0 \leq \sqrt{x^2+x+1} \leq 1$ को संतुष्ट करना चाहिए,जिसका अर्थ है $0 \leq x^2+x+1 \leq 1$।
असमिका $x^2+x+1 \leq 1$ सरल होकर $x^2+x \leq 0$,या $x(x+1) \leq 0$ हो जाती है।
$x(x+1) \geq 0$ और $x(x+1) \leq 0$ को संयोजित करने पर,हमारे पास $x(x+1) = 0$ होना चाहिए।
इससे $x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 0$ है,तो समीकरण $\tan ^{-1} \sqrt{0} + \sin ^{-1} \sqrt{1} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ बन जाता है।
यदि $x = -1$ है,तो समीकरण $\tan ^{-1} \sqrt{0} + \sin ^{-1} \sqrt{1} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ बन जाता है।
दोनों मान समीकरण को संतुष्ट करते हैं,इसलिए $2$ वास्तविक हल हैं।

(D) माना कि $x = \sin ^{-1} \frac{4}{5} + \sin ^{-1} \frac{5}{13} + \sin ^{-1} \frac{16}{65}$ है।
सबसे पहले,$\sin ^{-1} \frac{4}{5}$ और $\sin ^{-1} \frac{5}{13}$ को $\tan ^{-1}$ रूप में बदलें:
$\sin ^{-1} \frac{4}{5} = \tan ^{-1} \frac{4}{3}$ और $\sin ^{-1} \frac{5}{13} = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$।
अब,$\tan ^{-1} \frac{4}{3} + \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ का योग ज्ञात करें:
$\tan ^{-1} \left(\frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{4}{3} \times \frac{5}{12}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{16+5}{12}}{\frac{36-20}{36}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{21}{12} \times \frac{36}{16}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{63}{16}\right)$।
चूंकि $\tan ^{-1} \frac{63}{16} = \cot ^{-1} \frac{16}{63}$,हम इसे $\sin ^{-1}$ रूप में बदलते हैं। माना $\theta = \tan ^{-1} \frac{63}{16}$,तो $\tan \theta = \frac{63}{16}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{63}{65}$।
अतः,$\sin ^{-1} \frac{63}{65} + \sin ^{-1} \frac{16}{65} = \frac{\pi}{2}$ ($\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ और $\sin ^{-1} \frac{16}{65} = \cos ^{-1} \frac{63}{65}$ का उपयोग करके)।
व्यंजक $2 \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{2}$ हो जाता है।

(C) निहितार्थ $p \rightarrow r$ केवल तब असत्य होता है जब $p$ का मान $T$ हो और $r$ का मान $F$ हो।
यहाँ,$p \rightarrow (\sim p \vee \sim q)$ असत्य है।
इसका अर्थ है कि $p = T$ और $(\sim p \vee \sim q) = F$ है।
चूँकि $p = T$,इसलिए $\sim p = F$ होगा।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(F \vee \sim q) = F$ प्राप्त होता है।
वियोजन (disjunction) के असत्य होने के लिए,दोनों घटकों का असत्य होना आवश्यक है।
अतः,$\sim q = F$,जिसका अर्थ है कि $q = T$ है।
इसलिए,सत्यता मान $p = T$ और $q = T$ हैं।

(A) निहितार्थ $p \rightarrow (q \vee r)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती $p$ सत्य हो और परिणामी $(q \vee r)$ असत्य हो।
चूंकि $(q \vee r)$ असत्य है,इसलिए $q$ और $r$ दोनों को असत्य होना चाहिए।
अतः,सत्यता मान $p = T, q = F, r = F$ हैं।

(C) $BARRACK$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $A, A, R, R, B, C, K$.
स्थिति $I$: सभी चार अक्षर अलग हों। ${A, R, B, C, K}$ में से $4$ अक्षर चुनने पर।
तरीकों की संख्या $= {}^{5}C_{4} \times 4! = 5 \times 24 = 120$.
स्थिति $II$: दो अक्षर समान $(R, R)$ और दो अलग हों। ${A, B, C, K}$ में से $2$ अक्षर चुनने पर।
तरीकों की संख्या $= {}^{4}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 6 \times 12 = 72$.
स्थिति $III$: दो अक्षर समान $(A, A)$ और दो अलग हों। ${R, B, C, K}$ में से $2$ अक्षर चुनने पर।
तरीकों की संख्या $= {}^{4}C_{2} \times \frac{4!}{2!} = 6 \times 12 = 72$.
स्थिति $IV$: दो अक्षर $A, A$ और दो $R, R$ हों।
तरीकों की संख्या $= \frac{4!}{2!2!} = 6$.
कुल शब्दों की संख्या $= 120 + 72 + 72 + 6 = 270$.

(D) मान लीजिए कि तीन खंडों से चुने गए प्रश्नों की संख्या $(n_1, n_2, n_3)$ है,जहाँ $n_1 + n_2 + n_3 = 5$ और $i = 1, 2, 3$ के लिए $n_i \ge 1$ है।
$(n_1, n_2, n_3)$ के संभावित संयोजन $(3, 1, 1), (1, 3, 1), (1, 1, 3), (2, 2, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 2)$ हैं।
प्रश्नों को चुनने के तरीकों की संख्या संयोजनों के गुणनफल के योग द्वारा दी जाती है:
$= ({ }^5C_3 \times { }^5C_1 \times { }^5C_1) + ({ }^5C_1 \times { }^5C_3 \times { }^5C_1) + ({ }^5C_1 \times { }^5C_1 \times { }^5C_3) + ({ }^5C_2 \times { }^5C_2 \times { }^5C_1) + ({ }^5C_2 \times { }^5C_1 \times { }^5C_2) + ({ }^5C_1 \times { }^5C_2 \times { }^5C_2)$
$= (10 \times 5 \times 5) + (5 \times 10 \times 5) + (5 \times 5 \times 10) + (10 \times 10 \times 5) + (10 \times 5 \times 10) + (5 \times 10 \times 10)$
$= 250 + 250 + 250 + 500 + 500 + 500$
$= 2250$

(B) $8$ पुरुषों और $5$ महिलाओं में से $11$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है।
जब कम से कम $6$ पुरुष शामिल हों,तो समिति में हो सकते हैं:
($6$ पुरुष और $5$ महिलाएं),($7$ पुरुष और $4$ महिलाएं),या ($8$ पुरुष और $3$ महिलाएं)।
$m = {}^{8}C_{6} \times {}^{5}C_{5} + {}^{8}C_{7} \times {}^{5}C_{4} + {}^{8}C_{8} \times {}^{5}C_{3}$
$m = (28 \times 1) + (8 \times 5) + (1 \times 10) = 28 + 40 + 10 = 78$.
जब कम से कम $3$ महिलाएं शामिल हों,तो समिति में हो सकते हैं:
($3$ महिलाएं और $8$ पुरुष),($4$ महिलाएं और $7$ पुरुष),या ($5$ महिलाएं और $6$ पुरुष)।
$n = {}^{5}C_{3} \times {}^{8}C_{8} + {}^{5}C_{4} \times {}^{8}C_{7} + {}^{5}C_{5} \times {}^{8}C_{6}$
$n = (10 \times 1) + (5 \times 8) + (1 \times 28) = 10 + 40 + 28 = 78$.
अतः,$m = n = 78$.

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$k^2 + 2k + k + 2k + 5k^2 = 1$
$6k^2 + 5k = 1$
$6k^2 + 5k - 1 = 0$
$6k^2 + 6k - k - 1 = 0$
$6k(k + 1) - 1(k + 1) = 0$
$(6k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि $P(X) \geq 0$,इसलिए $k$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $k = \frac{1}{6}$ (क्योंकि $k = -1$ संभव नहीं है)।
हमें $P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)$ ज्ञात करना है।
$P(X > 2) = k + 2k + 5k^2 = 3k + 5k^2$.
$k = \frac{1}{6}$ रखने पर:
$P(X > 2) = 3(\frac{1}{6}) + 5(\frac{1}{6})^2$
$P(X > 2) = \frac{1}{2} + \frac{5}{36}$
$P(X > 2) = \frac{18}{36} + \frac{5}{36} = \frac{23}{36}$.

(A) हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $k \sum_{x=0}^{\infty} (x+1) \left(\frac{1}{5}\right)^x = 1$.
श्रेणी का विस्तार करने पर: $k \left[ 1 + 2\left(\frac{1}{5}\right) + 3\left(\frac{1}{5}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{5}\right)^3 + \ldots \right] = 1$.
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जिसका रूप $\sum_{n=0}^{\infty} (a+nd)r^n = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2}$ है,जहाँ $a=1, d=1, r=\frac{1}{5}$.
योग की गणना करने पर: $k \left[ \frac{1}{1-\frac{1}{5}} + \frac{1 \times \frac{1}{5}}{(1-\frac{1}{5})^2} \right] = 1$.
$k \left[ \frac{5}{4} + \frac{1/5}{16/25} \right] = 1 \Rightarrow k \left[ \frac{5}{4} + \frac{5}{16} \right] = 1$.
$k \left[ \frac{20+5}{16} \right] = 1 \Rightarrow k \left( \frac{25}{16} \right) = 1 \Rightarrow k = \frac{16}{25}$.
अब,$P(X=0) = k(0+1)\left(\frac{1}{5}\right)^0 = k(1)(1) = k$.
अतः,$P(X=0) = \frac{16}{25}$.

(B) माना त्रिभुज के कोण $4x, x$ और $x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $4x + x + x = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $6x = 180^{\circ}$,अतः $x = 30^{\circ}$।
कोण $120^{\circ}, 30^{\circ}$ और $30^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$।
अतः,$a = k \sin 120^{\circ}$,$b = k \sin 30^{\circ}$ और $c = k \sin 30^{\circ}$।
सबसे बड़ी भुजा $a$ है ($120^{\circ}$ के सम्मुख)।
सबसे बड़ी भुजा और परिमाप का अनुपात $\frac{a}{a+b+c} = \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 120^{\circ} + \sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}+2}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$।

(A) दिया गया समीकरण: $(81)^{\sin ^2 x} + (81)^{\cos ^2 x} = 30 \dots (i)$
माना $y = 81^{\sin ^2 x}$.
तब $81^{\cos ^2 x} = 81^{(1 - \sin ^2 x)} = \frac{81}{81^{\sin ^2 x}} = \frac{81}{y}$.
समीकरण $(i)$ में मान रखने पर,$y + \frac{81}{y} = 30$.
$y^2 - 30y + 81 = 0$.
$(y - 27)(y - 3) = 0$.
अतः $y = 27$ या $y = 3$.
स्थिति $1$: $81^{\sin ^2 x} = 27 \implies 3^{4 \sin ^2 x} = 3^3 \implies 4 \sin ^2 x = 3 \implies \sin ^2 x = \frac{3}{4} \implies \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $x \in [0, \pi]$,$\sin x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$.
स्थिति $2$: $81^{\sin ^2 x} = 3 \implies 3^{4 \sin ^2 x} = 3^1 \implies 4 \sin ^2 x = 1 \implies \sin ^2 x = \frac{1}{4} \implies \sin x = \pm \frac{1}{2}$.
चूंकि $x \in [0, \pi]$,$\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
मूल $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ हैं।
अतः,कुल मूलों की संख्या $4$ है।

(B) दो रेखाओं $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ के प्रतिच्छेद करने की शर्त $\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$,$(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$,$(x_2, y_2, z_2) = (3, k, 0)$,और $(a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 1)$.
सारणिक इस प्रकार होगा: $\left|\begin{array}{ccc} 3-1 & k-(-1) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$.
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & k+1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $2(3(1) - 4(2)) - (k+1)(2(1) - 4(1)) - 1(2(2) - 3(1)) = 0$.
$2(3-8) - (k+1)(2-4) - 1(4-3) = 0$.
$2(-5) - (k+1)(-2) - 1(1) = 0$.
$-10 + 2k + 2 - 1 = 0$.
$2k - 9 = 0$.
$k = \frac{9}{2}$.

(A) रेखा $\vec{r}$ पर किसी भी बिंदु $Q$ को $Q(1 - 3\mu, -1 + \mu, 2 + 5\mu)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
दिए गए $P(3, 2, 6)$ के लिए,सदिश $\vec{PQ}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\vec{PQ} = (1 - 3\mu - 3)\hat{i} + (-1 + \mu - 2)\hat{j} + (2 + 5\mu - 6)\hat{k} = (-3\mu - 2)\hat{i} + (\mu - 3)\hat{j} + (5\mu - 4)\hat{k}$.
चूंकि $\vec{PQ}$ समतल $x - 4y + 3z = 1$ के समांतर है,इसलिए इसे समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$.
$1(-3\mu - 2) - 4(\mu - 3) + 3(5\mu - 4) = 0$.
$-3\mu - 2 - 4\mu + 12 + 15\mu - 12 = 0$.
$8\mu - 2 = 0$.
$8\mu = 2 \Rightarrow \mu = \frac{1}{4}$.

(A) रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-m}{2}$ समतल $2x-4y+z=7$ में स्थित है।
सबसे पहले,बिंदु $(4, 2, m)$ रेखा पर स्थित है,इसलिए इसे समतल पर भी स्थित होना चाहिए।
बिंदु $(4, 2, m)$ को समतल के समीकरण $2x-4y+z=7$ में रखने पर:
$2(4) - 4(2) + m = 7$
$8 - 8 + m = 7$
$m = 7$
दूसरा,रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 1, 2)$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -4, 1)$ के लंबवत होना चाहिए।
डॉट प्रोडक्ट की जाँच करने पर: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$.
चूँकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,रेखा समतल के समानांतर है। चूँकि बिंदु $(4, 2, 7)$ समतल पर स्थित है,इसलिए पूरी रेखा समतल में स्थित है।
अतः,$m$ का मान $7$ है।

(B) समीकरण $a \cos x + b \sin x = c$ के रूप में है,जिसका हल तभी संभव है जब $-\sqrt{a^2 + b^2} \leq c \leq \sqrt{a^2 + b^2}$ हो।
यहाँ,$a = 7$,$b = 5$,और $c = 2k + 1$ है।
अतः,$-\sqrt{7^2 + 5^2} \leq 2k + 1 \leq \sqrt{7^2 + 5^2}$।
$-\sqrt{49 + 25} \leq 2k + 1 \leq \sqrt{49 + 25}$।
$-\sqrt{74} \leq 2k + 1 \leq \sqrt{74}$।
चूंकि $\sqrt{74} \approx 8.602$,इसलिए $-8.602 \leq 2k + 1 \leq 8.602$।
सभी पक्षों से $1$ घटाने पर: $-9.602 \leq 2k \leq 7.602$।
$2$ से भाग देने पर: $-4.801 \leq k \leq 3.801$।
$k$ के पूर्णांक मान $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ हैं।
ऐसे पूर्णांक मानों की कुल संख्या $8$ है।

(D) $2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 > 0$ . . . . . . $(i)$
मान लीजिए $y = \sin x$ है।
अतः असमिका $2 y^2 + 3 y - 2 > 0$ हो जाती है।
गुणनखंड करने पर,$(2 y - 1)(y + 2) > 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin x$ हमेशा $\geq -1$ होता है,इसलिए $(y + 2)$ हमेशा धनात्मक है।
अतः,$2 y - 1 > 0$,जिसका अर्थ है $\sin x > \frac{1}{2}$।
मानक अंतराल के लिए,यह $x \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right)$ देता है।
दिया गया है $x^2 - x - 2 < 0$,जिसके गुणनखंड $(x - 2)(x + 1) < 0$ होते हैं।
इसका अर्थ है $x \in (-1, 2)$।
$x \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right)$ और $x \in (-1, 2)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,जहाँ $\frac{\pi}{6} \approx 0.52$ और $\frac{5 \pi}{6} \approx 2.61$ है,प्रतिच्छेदन $\left(\frac{\pi}{6}, 2\right)$ प्राप्त होता है।

(D) समुच्चय $P$ के लिए: $\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta$
$\Rightarrow \sin \theta = (\sqrt{2} + 1) \cos \theta$
$\Rightarrow \tan \theta = \sqrt{2} + 1$
समुच्चय $Q$ के लिए: $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta$
$\Rightarrow \cos \theta = (\sqrt{2} - 1) \sin \theta$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \tan \theta$
$\Rightarrow \tan \theta = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$
चूँकि दोनों समुच्चय $P$ और $Q$,$\theta$ के उन समान मानों को दर्शाते हैं जो $\tan \theta = \sqrt{2} + 1$ को संतुष्ट करते हैं,इसलिए $P = Q$।

(D) माना $AD$,$\triangle ABC$ में शीर्ष $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका है।
माध्यिका सदिश $\overline{AD}$ का सूत्र $\overline{AD} = \frac{\overline{AB} + \overline{AC}}{2}$ है।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\overline{AD} = \frac{(3 \hat{i} + 4 \hat{k}) + (5 \hat{i} - 2 \hat{j} + 4 \hat{k})}{2}$
$\overline{AD} = \frac{8 \hat{i} - 2 \hat{j} + 8 \hat{k}}{2}$
$\overline{AD} = 4 \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}$
अब,माध्यिका $\overline{AD}$ की लंबाई (परिमाण) ज्ञात करते हैं:
$|\overline{AD}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2}$
$|\overline{AD}| = \sqrt{16 + 1 + 16}$
$|\overline{AD}| = \sqrt{33}$ इकाई।

(A) दिया गया है,$|\overline{a}|=1, |\overline{b}|=1$ और $|\overline{c}|=2$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c})\overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b})\overline{c}$ का उपयोग करने पर:
$\overline{a} \times (\overline{a} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c})\overline{a} - (\overline{a} \cdot \overline{a})\overline{c}$.
चूंकि $|\overline{a}|=1$,इसलिए $\overline{a} \cdot \overline{a} = 1$.
इस मान को दिए गए समीकरण $\overline{a} \times (\overline{a} \times \overline{c}) + \overline{b} = \overline{0}$ में रखने पर:
$(\overline{a} \cdot \overline{c})\overline{a} - \overline{c} + \overline{b} = \overline{0}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर $(\overline{a} \cdot \overline{c})\overline{a} - \overline{c} = -\overline{b}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का परिमाण का वर्ग लेने पर:
$|(\overline{a} \cdot \overline{c})\overline{a} - \overline{c}|^2 = |-\overline{b}|^2$.
$(\overline{a} \cdot \overline{c})^2 |\overline{a}|^2 + |\overline{c}|^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c})(\overline{a} \cdot \overline{c}) = |\overline{b}|^2$.
$(\overline{a} \cdot \overline{c})^2(1) + 4 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = 1$.
$-(\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = -3 \Rightarrow (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = 3$.
अतः,$\overline{a} \cdot \overline{c} = \sqrt{3}$ (चूंकि कोण न्यून है,इसलिए $\cos \theta > 0$).
$|\overline{a}||\overline{c}| \cos \theta = \sqrt{3} \Rightarrow (1)(2) \cos \theta = \sqrt{3}$.
$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$.

(B) तीन सदिशों के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए। अतः,हमारे पास सारणिक समीकरण है:
$\left|\begin{array}{ccc} -\lambda^2 & 1 & 1 \\ 1 & -\lambda^2 & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda^2 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$-\lambda^2(\lambda^4 - 1) - 1(-\lambda^2 - 1) + 1(1 + \lambda^2) = 0$
$-\lambda^6 + \lambda^2 + \lambda^2 + 1 + 1 + \lambda^2 = 0$
$-\lambda^6 + 3\lambda^2 + 2 = 0$
$\lambda^6 - 3\lambda^2 - 2 = 0$
माना $t = \lambda^2$ है। तब समीकरण $t^3 - 3t - 2 = 0$ हो जाता है।
मानों की जाँच करने पर,$t = -1$ के लिए,$(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$ है। अतः $(t+1)$ एक गुणनखंड है।
$(t+1)(t^2 - t - 2) = 0$
$(t+1)(t+1)(t-2) = 0$
$(t+1)^2(t-2) = 0$
इस प्रकार,$t = -1$ या $t = 2$ है।
चूँकि $t = \lambda^2$ है,हमारे पास $\lambda^2 = -1$ (कोई वास्तविक हल नहीं) या $\lambda^2 = 2$ है।
वास्तविक $\lambda$ के लिए,$\lambda = \pm \sqrt{2}$ है।
अतः,$\lambda$ के दो भिन्न वास्तविक मान प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया है: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}=\frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}| \overline{a}$
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a}$
दिए गए समीकरण की तुलना सूत्र से करने पर,हम देखते हैं कि $\overline{b}$ का गुणांक शून्य होना चाहिए क्योंकि समीकरण के दाईं ओर $\overline{b}$ का कोई पद नहीं है। अतः,$(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 0$.
अब,$\overline{a}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है: $-(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$
डॉट प्रोडक्ट की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta$,हमारे पास है:
$-|\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$
चूंकि सदिश शून्येतर हैं,हम $|\overline{b}||\overline{c}|$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\cos \theta = -\frac{1}{3}$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है:
$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
चूंकि $\theta$ दो सदिशों के बीच का कोण है,$0 \le \theta \le \pi$,इसलिए $\sin \theta$ धनात्मक होना चाहिए:
$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

(A) बिंदुओं के निर्देशांक $P(-2, -1)$,$Q(4, 0)$,$R(3, 3)$,और $S(-3, 2)$ हैं।
भुजाओं की ढाल (slopes) की गणना करें:
$m_{PQ} = \frac{0 - (-1)}{4 - (-2)} = \frac{1}{6}$
$m_{SR} = \frac{3 - 2}{3 - (-3)} = \frac{1}{6}$
$m_{QR} = \frac{3 - 0}{3 - 4} = \frac{3}{-1} = -3$
$m_{PS} = \frac{2 - (-1)}{-3 - (-2)} = \frac{3}{-1} = -3$
चूँकि $m_{PQ} = m_{SR}$ और $m_{QR} = m_{PS}$ है,सम्मुख भुजाएँ समांतर हैं,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
अब,भुजाओं की लंबाई की जाँच करें:
$PQ = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$
$QR = \sqrt{(3 - 4)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10}$
चूँकि $PQ \neq QR$,यह समचतुर्भुज नहीं है।
आसन्न भुजाओं की ढाल का गुणनफल जाँचें:
$m_{PQ} \times m_{QR} = \frac{1}{6} \times (-3) = -0.5 \neq -1$.
चूँकि ढाल का गुणनफल $-1$ नहीं है,आसन्न भुजाएँ लंबवत नहीं हैं,इसलिए यह आयत नहीं है।
अतः,$PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है,जो न तो समचतुर्भुज है और न ही आयत।

(A) दिया गया है कि $\overline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ और $\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}$ है।
सबसे पहले,$\overline{a}$ का परिमाण ज्ञात करते हैं: $|\overline{a}|=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{4+1+4}=3$.
अब,सदिश गुणनफल $\overline{a} \times \overline{b}$ ज्ञात करते हैं:
$\overline{a} \times \overline{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\overline{a} \times \overline{b}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{4+4+1}=3$ है।
चूंकि $\overline{c}$ और $\overline{a} \times \overline{b}$ के बीच का कोण $\theta = 30^{\circ}$ है,सदिश गुणनफल के परिमाण का सूत्र उपयोग करने पर:
$|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin(30^{\circ})$.
मान रखने पर: $3 = 3 \times |\overline{c}| \times \frac{1}{2}$.
इससे $|\overline{c}| = 2$ प्राप्त होता है।
अब,शर्त $|\overline{c}-\overline{a}|=3$ का उपयोग करते हैं। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\overline{c}|^2 + |\overline{a}|^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 3^2$.
$|\overline{c}|=2$ और $|\overline{a}|=3$ रखने पर:
$2^2 + 3^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9$.
$4 + 9 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9$.
$13 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9$.
$2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4$.
$\overline{a} \cdot \overline{c} = 2$.

(C) माना $\vec{d_1} = 8 \hat{i} - 6 \hat{j}$ और $\vec{d_2} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} - 12 \hat{k}$ समांतर चतुर्भुज के विकर्ण हैं।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ की गणना करें:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 8 & -6 & 0 \\ 3 & 4 & -12 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-6)(-12) - (0)(4)) - \hat{j}((8)(-12) - (0)(3)) + \hat{k}((8)(4) - (-6)(3))$
$= 72 \hat{i} + 96 \hat{j} + 50 \hat{k}$.
अब,इसका परिमाण $|\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ ज्ञात करें:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{72^2 + 96^2 + 50^2} = \sqrt{5184 + 9216 + 2500} = \sqrt{16900} = 130$.
अंत में,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 130 = 65$ वर्ग इकाई है।

(A) माना $\overline{a}$ और $\overline{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
चूंकि $\overline{a}$ और $\overline{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overline{a}| = 1$ और $|\overline{b}| = 1$ है।
सदिश $5 \overline{a} + 4 \overline{b}$ और $\overline{a} - 2 \overline{b}$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल $0$ होगा।
$(5 \overline{a} + 4 \overline{b}) \cdot (\overline{a} - 2 \overline{b}) = 0$
$5(\overline{a} \cdot \overline{a}) - 10(\overline{a} \cdot \overline{b}) + 4(\overline{b} \cdot \overline{a}) - 8(\overline{b} \cdot \overline{b}) = 0$
$5|\overline{a}|^2 - 6(\overline{a} \cdot \overline{b}) - 8|\overline{b}|^2 = 0$
यहाँ $|\overline{a}| = 1, |\overline{b}| = 1$ और $\overline{a} \cdot \overline{b} = \cos \theta$ रखने पर:
$5(1)^2 - 6 \cos \theta - 8(1)^2 = 0$
$5 - 6 \cos \theta - 8 = 0$
$-6 \cos \theta = 3$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$।

(C) दिया गया है $\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\overline{b}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\overline{c}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$।
चूँकि $\overline{v}$,$\overline{a}$ और $\overline{b}$ के समतल में स्थित है,हम लिख सकते हैं $\overline{v} = m\overline{a} + n\overline{b}$।
$\overline{v} = m(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + n(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = (m+n)\hat{i} + (m-n)\hat{j} + (m+n)\hat{k} \quad \dots(i)$
$\overline{v}$ का $\overline{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\overline{v} \cdot \overline{c}}{|\overline{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
$|\overline{c}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$।
अतः,$\frac{(m+n)(1) + (m-n)(-1) + (m+n)(-1)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
$m+n - m+n - m-n = 1 \implies n-m = 1 \implies n = m+1$।
$n = m+1$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\overline{v} = (m+m+1)\hat{i} + (m-(m+1))\hat{j} + (m+m+1)\hat{k} = (2m+1)\hat{i} - \hat{j} + (2m+1)\hat{k}$।
यदि $m=1$ हो,तो $\overline{v} = 3\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$,जो विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(B) दिया गया है: $|\overline{a}|=2, |\overline{b}|=4, |\overline{c}|=4$।
शर्त के अनुसार,$\overline{b}$ का $\overline{a}$ पर प्रक्षेप = $\overline{c}$ का $\overline{a}$ पर प्रक्षेप।
$\frac{\overline{b} \cdot \overline{a}}{|\overline{a}|} = \frac{\overline{c} \cdot \overline{a}}{|\overline{a}|} \Rightarrow \overline{b} \cdot \overline{a} = \overline{c} \cdot \overline{a} \Rightarrow (\overline{b} - \overline{c}) \cdot \overline{a} = 0 \dots (i)$।
साथ ही,$\overline{b}, \overline{c}$ पर लंबवत है,इसलिए $\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$।
अब,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b} - \overline{c}|^2 + 2 \overline{a} \cdot (\overline{b} - \overline{c})$।
$(i)$ का उपयोग करने पर,$2 \overline{a} \cdot (\overline{b} - \overline{c}) = 0$।
अतः,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + |\overline{c}|^2 - 2(\overline{b} \cdot \overline{c})$।
मान रखने पर: $|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = (2)^2 + (4)^2 + (4)^2 - 2(0) = 4 + 16 + 16 = 36$।
इसलिए,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}| = \sqrt{36} = 6$।

(B) $L-R$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z_1 = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है।
जब एक संधारित्र को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो परिपथ $L-C-R$ परिपथ बन जाता है।
$L-C-R$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z_2 = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होती है।
चूंकि $(X_L - X_C)^2 < X_L^2$ (यह मानते हुए कि परिपथ अनुनाद में नहीं है जहाँ $X_L = X_C$),इसलिए कुल प्रतिबाधा $Z_2$,$Z_1$ से कम है।
$AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,$I = \frac{V}{Z}$ होता है।
चूंकि प्रतिबाधा $Z$ घटती है,इसलिए परिपथ में बहने वाली प्रत्यावर्ती धारा $I$ बढ़ जाती है।

(C) $LR$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z_{LR} = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है।
जब एक संधारित्र को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो परिपथ $LCR$ परिपथ बन जाता है।
$LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z_{LCR} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $(X_L - X_C)^2 < X_L^2$ (यह मानते हुए कि $X_C$ शून्य नहीं है),परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ कम हो जाती है।
$AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,$I = \frac{V}{Z}$।
चूंकि $I \propto \frac{1}{Z}$,प्रतिबाधा $Z$ में कमी के कारण परिपथ में प्रवाहित होने वाली प्रत्यावर्ती धारा $I$ बढ़ जाती है।

(D) $A.C.$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_L = \omega L = 2\pi f L$ प्रेरणिक प्रतिघात है।
जब कुंडली में लोहे की छड़ डाली जाती है,तो कोर की पारगम्यता बढ़ जाती है,जिससे कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $L$ काफी बढ़ जाता है।
जैसे-जैसे $L$ बढ़ता है,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2\pi f L$ बढ़ जाता है।
परिणामस्वरूप,परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ बढ़ जाती है।
चूंकि परिपथ में धारा $I = V/Z$ होती है,इसलिए $Z$ में वृद्धि होने से बल्ब से होकर बहने वाली धारा $I$ कम हो जाती है।
चूंकि बल्ब की चमक $I^2 R$ के समानुपाती होती है,इसलिए धारा में कमी आने से बल्ब की चमक कम हो जाती है।

(A) जब '$l$' लंबाई की एक चालक छड़ '$B$' समान चुंबकीय क्षेत्र में अपने एक सिरे के परितः '$\omega$' कोणीय वेग से घूमती है,तो प्रेरित e.m.f. '$e$' का सूत्र इस प्रकार है:
$e = \frac{1}{2} B \omega l^2$
हम जानते हैं कि कोणीय वेग '$\omega$' घूर्णन की आवृत्ति '$n$' (प्रति सेकंड चक्कर) से इस प्रकार संबंधित है:
$\omega = 2 \pi n$
'$\omega$' का यह मान e.m.f. समीकरण में रखने पर:
$e = \frac{1}{2} B (2 \pi n) l^2$
$e = B \pi n l^2$
प्रति सेकंड चक्करों की संख्या '$n$' ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$n = \frac{e}{B \pi l^2}$

(C) सोलेनोइड के स्व-प्रेरकत्व का सूत्र $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ है।
जब लोहे की क्रोड को प्रवेश कराया जाता है,तो पारगम्यता $\mu = \mu_0 \mu_r$ हो जाती है। नया प्रेरकत्व $L'$ का मान $L' = \frac{\mu_0 \mu_r (N')^2 A}{l}$ है।
यहाँ $\mu_r = 1000$ और $N' = \frac{N}{10}$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $L' = \frac{\mu_0 \times 1000 \times (N/10)^2 A}{l} = \frac{\mu_0 \times 1000 \times N^2 A}{100 \times l} = 10 \times \left( \frac{\mu_0 N^2 A}{l} \right)$.
चूँकि प्रारंभिक प्रेरकत्व $L = 0.1 \ H$ है,इसलिए $L' = 10 \times L = 10 \times 0.1 \ H = 1 \ H$ होगा।

(B) मान लीजिए $r$ प्रत्येक शीर्ष से समबाहु त्रिभुज के केंद्र तक की दूरी है।
तीनों आवेशों के कारण केंद्र पर विद्युत विभव $V$ प्रत्येक आवेश के कारण विभव का बीजगणितीय योग है:
$V = V_{2q} + V_{-q} + V_{-q} = \frac{k(2q)}{r} + \frac{k(-q)}{r} + \frac{k(-q)}{r} = \frac{k}{r} (2q - q - q) = 0$.
अतः,केंद्र पर विभव शून्य है।
विद्युत क्षेत्र के लिए,आधार पर स्थित दो $-q$ आवेशों के कारण क्षेत्र का परिणामी आधार की ओर होगा,जबकि शीर्ष पर स्थित $2q$ आवेश के कारण क्षेत्र उससे दूर (नीचे की ओर) होगा। चूंकि इन क्षेत्रों के परिमाण एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते हैं,इसलिए केंद्र पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य नहीं है।

(C) बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{Kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि $r_1$ बिंदु $A$ (जहाँ आवेश $q_1 = 2 \mu C$ है) से दूरी है और $r_2$ बिंदु $B$ (जहाँ आवेश $q_2 = -3 \mu C$ है) से दूरी है,जहाँ कुल विभव शून्य है।
कुल विभव शून्य होने के लिए,विभव का योग शून्य होना चाहिए: $V_A + V_B = 0$.
$\frac{K(2 \times 10^{-6})}{r_1} + \frac{K(-3 \times 10^{-6})}{r_2} = 0$
$\frac{2}{r_1} = \frac{3}{r_2}$
$\frac{r_2}{r_1} = \frac{3}{2}$
चूंकि $A$ और $B$ के बीच की कुल दूरी $1 \ m$ है,इसलिए $r_1 + r_2 = 1 \ m$,जिसका अर्थ है $r_2 = 1 - r_1$.
इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{1 - r_1}{r_1} = \frac{3}{2}$
$2(1 - r_1) = 3r_1$
$2 - 2r_1 = 3r_1$
$5r_1 = 2$
$r_1 = \frac{2}{5} = 0.4 \ m$.
अतः,बिंदु $A$ से दूरी $0.4 \ m$ है।

(C) मीटर स्केल अपने गुरुत्व केंद्र पर टिकी हुई है,जो $50 \text{ cm}$ का निशान है।
स्केल के संतुलन में रहने के लिए,धुरी बिंदु ($50 \text{ cm}$ निशान) के सापेक्ष क्लॉकवाइज टॉर्क और एंटी-क्लॉकवाइज टॉर्क बराबर होने चाहिए।
धुरी से पहले भार '$w$' की दूरी $d_1 = |50 \text{ cm} - 20 \text{ cm}| = 30 \text{ cm}$ है।
धुरी से दूसरे भार $(25 \text{ g})$ की दूरी $d_2 = |74 \text{ cm} - 50 \text{ cm}| = 24 \text{ cm}$ है।
आघूर्ण के सिद्धांत को लागू करने पर: $w \times d_1 = 25 \text{ g} \times d_2$.
$w \times 30 \text{ cm} = 25 \text{ g} \times 24 \text{ cm}$.
$w = (25 \times 24) / 30 = 600 / 30 = 20 \text{ g}$.
अतः,वस्तु का भार $20 \text{ g}$ है।

(C) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह पर,$T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है।
पृथ्वी की सतह से $h = R$ ऊँचाई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g_h$ का मान $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{(R+R)^2} = \frac{GM}{4R^2} = \frac{g}{4}$ होता है।
ऊँचाई $h$ पर आवर्तकाल $T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_h}}$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{g}{g_h}} = \sqrt{\frac{g}{g/4}} = \sqrt{4} = 2$।

(D) एक सामान्य द्विपरमाणुक गैस अणु में $3$ स्थानांतरीय और $2$ घूर्णन स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं,जो कुल $5$ स्वतंत्रता की कोटियाँ बनाती हैं।
जब एक अतिरिक्त कंपन विधा पर विचार किया जाता है,तो यह $2$ स्वतंत्रता की कोटियाँ जोड़ती है (एक गतिज ऊर्जा के लिए और एक स्थितिज ऊर्जा के लिए)।
अतः,स्वतंत्रता की कोटियों की कुल संख्या $f = 5 + 2 = 7$ है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{f}{2} R$ द्वारा दी जाती है।
$f = 7$ रखने पर,हमें $C_V = \frac{7}{2} R$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: $\frac{R}{C_v} = 0.4$
$C_V = \frac{R}{0.4} = \frac{R}{2/5} = \frac{5R}{2}$
हम जानते हैं कि आदर्श गैस के लिए,$C_P = C_V + R$ होता है।
$C_V$ का मान रखने पर: $C_P = \frac{5R}{2} + R = \frac{7R}{2}$
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma$ को $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ द्वारा दिया जाता है।
$\gamma = \frac{7R/2}{5R/2} = \frac{7}{5} = 1.4$
एक दृढ़ द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है।
स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{fR}{2} = \frac{5R}{2}$ होती है।
चूंकि गणना की गई $C_V$ का मान एक दृढ़ द्वि-परमाणुक गैस के मान से मेल खाता है,इसलिए गैस दृढ़ द्वि-परमाणुक अणुओं से बनी है।

(C) वृत्ताकार कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,जिसका अर्थ है कि त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ है।
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान रखने पर,हमें $B = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{\frac{A}{\pi}}}$ प्राप्त होता है।
धारा $I$ के लिए हल करने पर,$I = \frac{2B}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ प्राप्त होता है।
कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $m$,$m = IA$ के रूप में परिभाषित है।
$I$ का व्यंजक रखने पर,$m = \left( \frac{2B}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}} \right) \times A$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$m = \frac{2B}{\mu_0} \frac{A^{1/2}}{\pi^{1/2}} \times A = \frac{2B A^{3/2}}{\mu_0 \pi^{1/2}}$ प्राप्त होता है।

(C) प्रतिचुंबकीय (diamagnetic) पदार्थों की चुंबकीय प्रवृत्ति ऋणात्मक $(\chi < 0)$ होती है।
- स्पष्टीकरण: प्रतिचुंबकीय पदार्थ बाहरी चुंबकीय क्षेत्रों के प्रति एक कमजोर ऋणात्मक प्रवृत्ति प्रदर्शित करते हैं, जिसका अर्थ है कि वे चुंबकीय क्षेत्रों द्वारा थोड़े प्रतिकर्षित होते हैं।
- अनुचुंबकीय या लौहचुंबकीय पदार्थों के विपरीत, जिनकी प्रवृत्ति धनात्मक होती है, प्रतिचुंबकीय पदार्थ आरोपित चुंबकीय क्षेत्र की विपरीत दिशा में एक प्रेरित चुंबकीय आघूर्ण विकसित करते हैं।
- बाहरी चुंबकीय क्षेत्र हटा दिए जाने पर वे अपने चुंबकीय गुणों को बनाए नहीं रखते हैं।

(B) केशिका नली में द्रव के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र है: $h = \frac{2 T \cos \theta}{r g \rho}$।
चूँकि $h, T, r$ और $g$ तीनों द्रवों के लिए समान हैं,इसलिए $\cos \theta \propto \rho$ होगा।
दिया गया है कि $\rho_1 > \rho_2 > \rho_3$,इसलिए $\cos \theta_1 > \cos \theta_2 > \cos \theta_3$ प्राप्त होता है।
कोसाइन फलन $[0, \frac{\pi}{2}]$ अंतराल में एक घटता हुआ फलन है,इसलिए $\cos \theta$ का मान जितना अधिक होगा,$\theta$ का मान उतना ही कम होगा।
अतः,$\theta_1 < \theta_2 < \theta_3$ होगा।
चूँकि द्रव केशिका में ऊपर चढ़ता है,इसलिए संपर्क कोण न्यून कोण $(0 \le \theta < \frac{\pi}{2})$ होना चाहिए।
इस प्रकार,सही संबंध $0 \le \theta_1 < \theta_2 < \theta_3 < \frac{\pi}{2}$ है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ ज्ञात करने का सूत्र $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है।
वॉच ग्लास में दोलन करने वाले गोले के मामले में,लोलक की प्रभावी लंबाई $L$,वॉच ग्लास की वक्रता त्रिज्या $R$ के बराबर होती है।
यहाँ,$R = L = 1.6 \ m$ और $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{1.6}{10}}$
$T = 2 \pi \sqrt{0.16}$
$T = 2 \pi \times 0.4$
$T = 0.8 \pi \ s$.

(D) निकाय $(a)$ के लिए: प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eff} = K$ है। आवर्तकाल $T_a = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ है।
निकाय $(b)$ के लिए: दो स्प्रिंग श्रेणीक्रम में हैं। प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $\frac{1}{K_{eff}} = \frac{1}{K} + \frac{1}{K} = \frac{2}{K}$ है,इसलिए $K_{eff} = \frac{K}{2}$ है। आवर्तकाल $T_b = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K/2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2m}{K}} = \sqrt{2} T_a$ है।
निकाय $(c)$ के लिए: दो स्प्रिंग समांतर क्रम में हैं। प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eff} = K + K = 2K$ है। आवर्तकाल $T_c = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{2K}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (2 \pi \sqrt{\frac{m}{K}}) = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$ है।
$T_b = \sqrt{2} T_a$ और $T_c = \frac{T_a}{\sqrt{2}}$ से,हम $T_a = \sqrt{2} T_c$ लिख सकते हैं।
इसे $T_b$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $T_b = \sqrt{2} (\sqrt{2} T_c) = 2 T_c$ प्राप्त होता है।

(A) $3$-हाइड्रॉक्सीब्यूटेनॉइक एसिड ($\beta$-हाइड्रॉक्सीब्यूट्रिक एसिड) और $3$-हाइड्रॉक्सीपेंटेनॉइक एसिड ($\beta$-हाइड्रॉक्सीवैलेरिक एसिड) के संघनन बहुलकीकरण (condensation polymerization) द्वारा बनने वाले सह-बहुलक (copolymer) को पॉली-$\beta$-हाइड्रॉक्सीब्यूटायरेट-को-$\beta$-हाइड्रॉक्सीवैलेरेट कहा जाता है,जिसे संक्षेप में $PHBV$ कहते हैं।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$n(HO-CH(CH_3)-CH_2-COOH) + n(HO-CH(CH_2CH_3)-CH_2-COOH)$ $\rightarrow [-O-CH(CH_3)-CH_2-CO-O-CH(CH_2CH_3)-CH_2-CO-]_n + 2nH_2O$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) थर्मोप्लास्टिक पॉलिमर में सहसंयोजक बंधों द्वारा व्यापक क्रॉस-लिंकिंग नहीं होती है। ऐसी क्रॉस-लिंकिंग थर्मोसेटिंग पॉलिमर की विशेषता है।

(A) $(1)$ फ्लैक्स का पौधा: लिनन एक प्राकृतिक रेशा है जो फ्लैक्स के पौधे ($Linum$ $usitatissimum$) से प्राप्त होता है। ये रेशे फ्लैक्स के पौधे के तने से प्राप्त किए जाते हैं और अपनी मजबूती,टिकाऊपन और सांस लेने की क्षमता के लिए जाने जाते हैं। लिनन मनुष्यों द्वारा उपयोग किए जाने वाले सबसे पुराने कपड़ा रेशों में से एक है।
$(2)$ कपास का पौधा: कपास के रेशे कपास के पौधे $(Gossypium)$ से आते हैं,फ्लैक्स से नहीं। कपास का उपयोग सूती कपड़े जैसे कपड़े बनाने के लिए व्यापक रूप से किया जाता है,लेकिन यह लिनन से एक अलग सामग्री है।
$(3)$ गन्ने का पौधा: गन्ने का पौधा,जैसे गन्ना या बांस,लिनन का स्रोत नहीं है। हालांकि,बांस के रेशों का उपयोग कुछ मामलों में कपड़ा बनाने के लिए किया जाता है,लेकिन यह लिनन का स्रोत नहीं है।
$(4)$ रबर का पौधा: रबर रबर के पेड़ ($Hevea$ $brasiliensis$) के लेटेक्स से आता है और इसका उपयोग रबर के उत्पाद बनाने के लिए किया जाता है,न कि लिनन के कपड़े के लिए।

(A) $-CO-NH-$ लिंकेज एमाइड समूहों की विशेषता है,जो पॉलियामाइड्स (जैसे नायलॉन) और कुछ संघनन बहुलकों में पाए जाते हैं।
यूरिया फॉर्मेल्डिहाइड रेजिन,यूरिया और फॉर्मेल्डिहाइड के बीच संघनन अभिक्रिया द्वारा बनता है।
यूरिया फॉर्मेल्डिहाइड रेजिन की संरचना: $[-NH-CO-NH-CH_2-]_n$ है।
इस संरचना में स्पष्ट रूप से $-CO-NH-$ लिंकेज मौजूद है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $Glyptal$ एक पॉलिएस्टर है जो ग्लिसरॉल और थैलिक एनहाइड्राइड के संघनन बहुलकीकरण द्वारा प्राप्त किया जाता है। इसका उपयोग पेंट और लैकर के निर्माण में किया जाता है।

(A) ओरलॉन,जिसे पॉलीएक्रिलोनाइट्राइल $(PAN)$ के रूप में भी जाना जाता है,एक सिंथेटिक बहुलक है जो ऊन के समान दिखता है और इसका उपयोग ऊन के विकल्प के रूप में किया जाता है। यह एक्रिलोनाइट्राइल एकलक के बहुलकीकरण द्वारा प्राप्त किया जाता है,जिसका रासायनिक सूत्र $CH_2=CHCN$ है।

(D) $Dacron$ और $Nylon \ 6$: संश्लेषित बहुलक।
$Wool$: प्राकृतिक बहुलक।
$Cellulose \ nitrate$: अर्ध-संश्लेषित बहुलक।

(D) पॉलीएक्रिलोनाइट्राइल $(PAN)$ का उपयोग एक्रिलिक फाइबर के रूप में ऊन के विकल्प के रूप में किया जाता है।
इन कृत्रिम रेशों का उपयोग अक्सर ऐसे कपड़े बनाने के लिए किया जाता है जो ऊन की तरह दिखते हैं,जैसे कि कपड़ों और कंबल में।

(B) Buna-$S$ एक सिंथेटिक रबर है जो सोडियम उत्प्रेरक की उपस्थिति में $1,3-$ब्यूटाडाइन और स्टाइरीन के सह-बहुलकीकरण (copolymerization) द्वारा बनता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$n(CH_2=CH-CH=CH_2) + n(C_6H_5CH=CH_2) \xrightarrow{Na} -[CH_2-CH=CH-CH_2-CH(C_6H_5)-CH_2]_n-$

(C) नायलॉन $6$ को कैप्रोलैक्टम को पानी के साथ उच्च तापमान $(533-543 \ K)$ पर गर्म करके तैयार किया जाता है।
इस प्रक्रिया के दौरान,चक्रीय कैप्रोलैक्टम रिंग में एमाइड बॉन्ड टूट जाता है,जिससे रिंग ओपनिंग पॉलीमराइजेशन होता है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$\epsilon$-कैप्रोलैक्टम ($n$ अणु) $\xrightarrow{H_2O, 533-543 \ K} [NH-(CH_2)_5-CO]_n$ (नायलॉन $6$)।

(D) पॉलिएस्टर रेशों का उपयोग आमतौर पर टेरीवूल जैसे मिश्रित कपड़े बनाने के लिए किया जाता है,जो पॉलिएस्टर और ऊन का मिश्रण है।

(D) $1$. यह योगात्मक बहुलकीकरण द्वारा बनता है: प्राकृतिक रबर आइसोप्रिन इकाइयों के योगात्मक बहुलकीकरण द्वारा बनता है। यह सही है।
$2$. यह एक रैखिक बहुलक है: प्राकृतिक रबर मुख्य रूप से आइसोप्रिन का एक रैखिक बहुलक है,हालांकि इसमें थोड़ी मात्रा में शाखाएं हो सकती हैं। यह सही है।
$3$. इसमें $C=C$ का $cis$ विन्यास होता है: प्राकृतिक रबर की प्राथमिक संरचना $cis-1,4-polyisoprene$ होती है,जो इसे लचीलापन प्रदान करती है। यह सही है।
$4$. इसमें मोनोमर इकाइयों के रूप में ब्यूटाडाइन और स्टाइरीन होते हैं: यह गलत है। ब्यूटाडाइन और स्टाइरीन सिंथेटिक रबर के मोनोमर हैं जिन्हें स्टाइरीन-ब्यूटाडाइन रबर $(SBR)$ के रूप में जाना जाता है,न कि प्राकृतिक रबर के। प्राकृतिक रबर में आइसोप्रिन $(2-methyl-1,3-butadiene)$ इसके मोनोमर के रूप में होता है।

(A) नियोप्रीन एक सिंथेटिक रबर (इलास्टोमर) है जो क्लोरोप्रीन ($2-$क्लोरो$-1,3-$ब्यूटाडाइन) के फ्री रेडिकल पॉलिमराइजेशन द्वारा बनता है।
यह एक होमोपॉलिमर है,को-पॉलिमर नहीं,क्योंकि यह एक ही प्रकार के मोनोमर इकाई से बनता है।
इसका उपयोग गैसोलीन के परिवहन के लिए होज़ पाइप तैयार करने में किया जाता है क्योंकि यह तेल और रसायनों के प्रति प्रतिरोधी है।
मोनोमर क्लोरोप्रीन $(CH_2=CCl-CH=CH_2)$ एक असंतृप्त यौगिक है।
इसलिए,यह कथन कि यह एक को-पॉलिमर है,गलत है।

(C) पॉलीथीन (विकल्प $C$) एक थर्मोप्लास्टिक बहुलक है। थर्मोप्लास्टिक वे पदार्थ हैं जो एक विशिष्ट तापमान से ऊपर नरम या सांचे में ढलने योग्य हो जाते हैं और ठंडा होने पर ठोस हो जाते हैं। उन्हें अपने रासायनिक गुणों को खोए बिना कई बार पिघलाया और फिर से ढाला जा सकता है। पॉलीथीन,जिसे आमतौर पर पॉलीइथाइलीन के रूप में जाना जाता है,का उपयोग इसकी लचीलेपन,मजबूती और पुनर्चक्रण क्षमता के कारण पैकेजिंग फिल्मों,कंटेनरों और केबलों के इन्सुलेशन जैसे अनुप्रयोगों में व्यापक रूप से किया जाता है।
यूरिया फॉर्मेल्डिहाइड रेजिन (विकल्प $A$) और बेकेलाइट (विकल्प $B$) थर्मोसेटिंग बहुलक के उदाहरण हैं,जो गर्म होने के बाद स्थायी रूप से कठोर हो जाते हैं और उन्हें फिर से नहीं ढाला जा सकता है।
ब्यूना-$N$ (विकल्प $D$) एक सिंथेटिक रबर है,थर्मोप्लास्टिक नहीं।

(A) दिया गया बहुलक $-(CH_2-CH(CONH_2))_n-$ है,जो पॉलीएक्रिलामाइड है।
पॉलीएक्रिलामाइड का निर्माण मोनोमर एक्रिलामाइड $(CH_2=CH-CONH_2)$ के योग बहुलकीकरण (addition polymerization) द्वारा होता है।
इसलिए,सही मोनोमर एक्रिलामाइड है।

(B) डेक्रॉन (जिसे टेरिलीन के रूप में भी जाना जाता है) एक पॉलिएस्टर है जो एथिलीन ग्लाइकॉल (एक डाइहाइड्रिक अल्कोहल) और टेरेफ्थेलिक एसिड (एक एरोमैटिक डाइकार्बोक्सिलिक एसिड) के जिंक एसीटेट-एंटीमनी ट्राइऑक्साइड उत्प्रेरक की उपस्थिति में $420-460 \ K$ तापमान पर संघनन बहुलकीकरण (condensation polymerization) द्वारा बनता है।

(D) $PHBV$ (Poly-$\beta$-hydroxybutyrate-co-$\beta$-hydroxyvalerate) एक पॉलिएस्टर है जो $3$-हाइड्रॉक्सीब्यूटेनॉइक एसिड और $3$-हाइड्रॉक्सीपेंटेनॉइक एसिड के सह-बहुलकीकरण (copolymerization) द्वारा बनता है।
इसकी बहुलक श्रृंखला में एस्टर लिंकेज $(-COO-)$ मौजूद होता है,जैसा कि नीचे दिखाया गया है:
$[-O-CH(CH_3)-CH_2-CO-O-CH(CH_2CH_3)-CH_2-CO-]_n$.

(B) $PVC$ (पॉलीविनाइल क्लोराइड) का उपयोग पानी के पाइप,रेनकोट आदि बनाने के लिए किया जाता है।

(A) दिए गए बहुलकों की रासायनिक संरचनाएँ इस प्रकार हैं:
$1$. $PAN$ (पॉलीएक्रिलोनाइट्राइल): इसका एकलक एक्रिलोनाइट्राइल,$CH_2=CH-CN$ है। बहुलक की संरचना $[-CH_2-CH(CN)-]_n$ है। इसमें साइनो समूह $(-CN)$ में नाइट्रोजन परमाणु होता है।
$2$. नायलॉन $6$: यह कैप्रोलैक्टम से बना एक पॉलियामाइड है। इसकी संरचना $[-CO-(CH_2)_5-NH-]_n$ है। इसमें एमाइड लिंकेज $(-CONH-)$ में नाइट्रोजन होता है।
$3$. नायलॉन $6,6$: यह हेक्सामिथिलीन डायमीन और एडिपिक एसिड से बना एक पॉलियामाइड है। इसमें एमाइड लिंकेज में नाइट्रोजन होता है।
$4$. नायलॉन $2-6$: यह ग्लाइसिन और एमिनोकैप्रोइक एसिड का पॉलियामाइड कोपॉलीमर है। इसमें भी नाइट्रोजन होता है।
नोट: दिए गए सभी विकल्पों में नाइट्रोजन उपस्थित है। यदि प्रश्न का अर्थ एमाइड लिंकेज की अनुपस्थिति है,तो $PAN$ सही उत्तर है क्योंकि इसमें नाइट्राइल समूह $(-CN)$ होता है।

(D) पॉलीस्टायरीन एक बहुलक है जो सुगंधित (aromatic) स्टायरीन अणुओं की मोनोमेरिक इकाइयों से बना होता है।
पॉलीस्टायरीन का उपयोग फोम-आधारित उत्पादों के निर्माण में व्यापक रूप से किया जाता है,जिसमें इसके हल्के वजन और इन्सुलेटिंग गुणों के कारण डिस्पोजेबल कप और प्लेट शामिल हैं।

(B) $HO-CH_2-CH_2-OH$ मोनोमर को एथिलीन ग्लाइकॉल के रूप में जाना जाता है।
इसका उपयोग डेक्रॉन (जिसे टेरिलीन भी कहा जाता है) की तैयारी में किया जाता है।
डेक्रॉन एक पॉलिएस्टर है जो $420-460 \ K$ तापमान पर जिंक एसीटेट-एंटीमनी ट्राइऑक्साइड उत्प्रेरक की उपस्थिति में एथिलीन ग्लाइकॉल और टेरेफ्थेलिक एसिड के संघनन बहुलकीकरण (condensation polymerization) द्वारा बनता है।
अभिक्रिया: $n \ HO-CH_2-CH_2-OH + n \ HOOC-C_6H_4-COOH \rightarrow [-O-CH_2-CH_2-O-CO-C_6H_4-CO-]_n + 2n \ H_2O$.

(A) यूरिया-फॉर्मेल्डिहाइड रेजिन एक थर्मोसेटिंग बहुलक है जो यूरिया $(NH_2CONH_2)$ और फॉर्मेल्डिहाइड $(HCHO)$ के संघनन बहुलकीकरण द्वारा बनता है।
इस अभिक्रिया में मिथाइल यूरिया व्युत्पन्न बनते हैं,जो बाद में क्रॉस-लिंक्ड नेटवर्क संरचना बनाने के लिए और अधिक संघनित होते हैं।
इस प्रक्रिया के दौरान बनने वाली रैखिक बहुलक श्रृंखला की पुनरावृत्ति इकाई को $[NH-CO-NH-CH_2]_n$ के रूप में दर्शाया जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) बहुलकों को उनके अंतर-आणविक बलों के आधार पर विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है,जैसे इलास्टोमर,रेशे (fibres),थर्मोप्लास्टिक बहुलक और थर्मोसेटिंग बहुलक।
- $Fibres$ धागा बनाने वाले ठोस पदार्थ होते हैं जिनमें उच्च तन्यता शक्ति और उच्च मापांक होता है।
- $Polyesters$ (जैसे पॉलीइथाइलीन टेरेफ्थेलेट या $PET$) रेशों के उत्कृष्ट उदाहरण हैं क्योंकि इनमें हाइड्रोजन बॉन्डिंग या द्विध्रुव-द्विध्रुव इंटरैक्शन जैसे मजबूत अंतर-आणविक बल होते हैं,जो उन्हें कपड़ा अनुप्रयोगों के लिए लंबे,पतले धागों में बदलने की अनुमति देते हैं।
- $Vulcanized$ $rubber$ एक इलास्टोमर है,जबकि $Polythene$ और $Polyvinyls$ थर्मोप्लास्टिक बहुलक हैं।

(D) तीसरी पंक्ति के संक्रमण तत्व $5d$ श्रेणी से संबंधित हैं।
इनमें से,रूथेनियम $(Ru)$ और ओस्मियम $(Os)$ $+8$ की उच्चतम ऑक्सीकरण अवस्था प्रदर्शित करते हैं।
यह $RuO_4$ और $OsO_4$ जैसे यौगिकों में देखा जाता है।

(A) माना कि $Fe$ की ऑक्सीकरण अवस्था $x$ है।
$\left[ Fe(CN)_6 \right]^{4-}$ संकुल में,$CN^-$ लिगेंड पर आवेश $-1$ होता है।
अतः,समीकरण इस प्रकार है: $x + 6(-1) = -4$।
$x - 6 = -4$।
$x = +2$।
अतः,$Fe$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+2$ है।

(D) अक्रिस्टलीय (amorphous) ठोस प्रकृति में समदैशिक होते हैं,जिसका अर्थ है कि वे हर दिशा में अपवर्तनांक,विद्युत चालकता आदि जैसे भौतिक गुणों के लिए समान परिमाण प्रदर्शित करते हैं।
धात्विक कांच एक अक्रिस्टलीय ठोस है।
इसलिए,यह प्रकृति में समदैशिक है।

(B) क्रिस्टलीय ठोस प्रकृति में विषमदैशिक (anisotropic) होते हैं,जिसका अर्थ है कि उनके भौतिक गुण जैसे अपवर्तनांक,तापीय चालकता और विद्युत चालकता अलग-अलग दिशाओं में मापने पर भिन्न होते हैं। इसलिए,यह कथन कि क्रिस्टलीय ठोस समदैशिक होते हैं,गलत है।

(B) $(1)$ नैनोरोड्स: $1D$ संरचना: एक आयाम में विस्तारित (लंबाई),अन्य दो में सीमित (चौड़ाई और ऊंचाई)।
$(2)$ नैनोपार्टिकल्स: $0D$ संरचना: किसी भी आयाम में विस्तारित नहीं,सभी दिशाओं में सीमित (आमतौर पर गोलाकार)।
$(3)$ थिन फिल्म्स: $2D$ संरचना: एक आयाम में पतली (मोटाई) लेकिन अन्य दो में विस्तारित (लंबाई और चौड़ाई)।
$(4)$ फाइबर्स: $1D$ संरचना: एक आयाम में विस्तारित (लंबाई),अन्य दो में सीमित।

(B) $bcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 2$ है।
इकाई सेल का द्रव्यमान घनत्व $(\rho)$ और आयतन $(a^3)$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है,जो $\rho \times a^3 = 3 \times 10^{-22} \ g$ है।
$0.3 \ g$ धातु में इकाई सेलों की संख्या $= \frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{एक इकाई सेल का द्रव्यमान}} = \frac{0.3 \ g}{3 \times 10^{-22} \ g} = 1.0 \times 10^{21}$ इकाई सेल।
चूंकि प्रत्येक $bcc$ इकाई सेल में $2$ परमाणु होते हैं,इसलिए परमाणुओं की कुल संख्या $2 \times (1.0 \times 10^{21}) = 2.0 \times 10^{21}$ परमाणु है।

(B) एक-आयामी नैनो-सामग्री: एक-आयामी नैनो-सामग्री में एक आयाम नैनो स्केल से बाहर होता है और दो आयाम नैनो स्केल के भीतर होते हैं। आप इसे एक तार के रूप में देख सकते हैं। $1D$ नैनो-सामग्री के उदाहरणों में नैनोट्यूब,नैनोरोड्स और नैनोवायर शामिल हैं।

(A) $X$-Ray Diffraction $(XRD)$:
- यह एक प्रयोगात्मक तकनीक है जिसका उपयोग क्रिस्टल की परमाणु और आणविक संरचना निर्धारित करने के लिए किया जाता है,जिसमें क्रिस्टलीय जालक आपतित $X$-ray किरणों को कई विशिष्ट दिशाओं में विवर्तित (diffract) करता है।
- इसका उपयोग मुख्य रूप से क्रिस्टल की त्रि-आयामी आणविक संरचना प्राप्त करने के लिए किया जाता है।
- उच्च सांद्रता वाले शुद्ध नमूने को क्रिस्टलीकृत किया जाता है और विवर्तन पैटर्न का विश्लेषण करने के लिए इन क्रिस्टलों को $X$-ray बीम के संपर्क में लाया जाता है।

(A) तत्व $B$ के परमाणु $ccp$ संरचना बनाते हैं। मान लीजिए $B$ परमाणुओं की संख्या $n$ है।
उत्पन्न चतुष्फलकीय रिक्तियों की संख्या $2n$ होती है।
$A$ के परमाणु इन चतुष्फलकीय रिक्तियों का $1/3$ भाग घेरते हैं।
अतः,$A$ परमाणुओं की संख्या $= 2n \times 1/3 = 2n/3$ है।
$A$ परमाणुओं और $B$ परमाणुओं का अनुपात $(2n/3) : n = 2/3 : 1 = 2 : 3$ है।
इसलिए,यौगिक का सूत्र $A_2B_3$ है।

(B) सिलिका $(SiO_2)$ एक सहसंयोजक ठोस (जिसे नेटवर्क ठोस भी कहा जाता है) है।
इस संरचना में,सिलिकॉन और ऑक्सीजन परमाणु एक निरंतर त्रि-आयामी नेटवर्क में मजबूत सहसंयोजक बंधों द्वारा जुड़े होते हैं।
यह व्यापक बंधन सिलिका को उच्च कठोरता और बहुत उच्च गलनांक प्रदान करता है।

(C) $fcc$ इकाई सेल के लिए, कोर लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $\sqrt{2} a = 4 r$ है।
$a$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $a = 2 \sqrt{2} r$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $r = 139 \ pm = 139 \times 10^{-10} \ cm$।
मान रखने पर: $a = 2 \times 1.414 \times 139 \ pm = 393.1 \ pm$।
सेंटीमीटर में बदलने पर: $a = 393.1 \times 10^{-10} \ cm = 3.93 \times 10^{-8} \ cm$।

(B) $fcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 4$ है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{n \times M}{a^3 \times N_{A}}$ है,जहाँ $a^3$ इकाई सेल का आयतन $(V)$ है।
$V$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $V = a^3 = \frac{n \times M}{\rho \times N_{A}}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $V = \frac{4 \times 27 \ g \ mol^{-1}}{16.0 \times 10^{23} \ g \ cm^{-3} \ mol^{-1}}$.
$V = \frac{108}{16.0 \times 10^{23}} \ cm^3 = 6.75 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(B) $bcc$ इकाई सेल में,$8$ कोने वाले परमाणु होते हैं,जिनमें से प्रत्येक इकाई सेल में $\frac{1}{8}$ का योगदान देता है,और $1$ काय-केंद्रित (body-centered) परमाणु होता है,जो इकाई सेल में $1$ का योगदान देता है।
कणों की कुल संख्या = $(\frac{1}{8} \times 8) + 1 = 1 + 1 = 2$.

(A) धातु का द्रव्यमान $m = 10.8 \ g$ है।
एक इकाई कोष्ठिका का द्रव्यमान घनत्व $(\rho)$ और आयतन $(a^3)$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है,जो $\rho a^3 = 7.2 \times 10^{-22} \ g$ है।
इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या धातु के कुल द्रव्यमान को एक इकाई कोष्ठिका के द्रव्यमान से विभाजित करके ज्ञात की जाती है:
$\text{इकाई कोष्ठिकाओं की संख्या} = \frac{m}{\rho a^3} = \frac{10.8 \ g}{7.2 \times 10^{-22} \ g} = 1.5 \times 10^{22}$.

(C) सरल घनीय एकक कोष्ठिका के लिए, कोर लंबाई $(a)$ और परमाणु त्रिज्या $(r)$ के बीच संबंध $a = 2r$ होता है।
दी गई कोर लंबाई $(a) = 380 \ pm$ है।
अतः, त्रिज्या $(r) = \frac{a}{2} = \frac{380 \ pm}{2} = 190 \ pm$।

(D) $bcc$ इकाई सेल में $2$ परमाणु होते हैं।
$bcc$ इकाई सेल की संकुलन क्षमता $68\%$ होती है,जिसका अर्थ है कि इकाई सेल के कुल आयतन का $68\%$ भाग परमाणुओं द्वारा घेरा जाता है।
परमाणुओं द्वारा घेरा गया आयतन $= 0.68 \times \text{इकाई सेल का आयतन}$.
परमाणुओं द्वारा घेरा गया आयतन $= 0.68 \times 1.5 \times 10^{-22} \ cm^3 = 1.02 \times 10^{-22} \ cm^3$.

(D) $hcp$ संरचनाओं में,प्रत्येक गोला $12$ पड़ोसी गोलों से घिरा होता है: $6$ अपनी परत में,$3$ ऊपर की परत में और $3$ नीचे की परत में।
अतः,$hcp$ संरचना में किसी भी गोले की समन्वय संख्या $12$ होती है।

(B) $FCC$ जालक के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 4$ है।
घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_{A}}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\rho = \frac{63 \ g \ mol^{-1} \times 4}{28 \ cm^3 \ mol^{-1}}$.
$\rho = \frac{252}{28} \ g \ cm^{-3} = 9.0 \ g \ cm^{-3}$.

(D) इकाई सेल के घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{n \times M}{a^3 \times N_{A}}$ है।
यहाँ,$fcc$ संरचना के लिए प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 4$ है।
मोलर द्रव्यमान $M = 63.5 \ g \ mol^{-1}$ दिया गया है।
इकाई सेल का आयतन $V = a^3$ है।
सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a^3 = \frac{n \times M}{\rho \times N_{A}}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $a^3 = \frac{4 \times 63.5}{5.5 \times 10^{24}}$।
$a^3 = \frac{254}{5.5 \times 10^{24}} = 4.618 \times 10^{-23} \ cm^3$।

(A) एकक कोष्ठिका का आयतन $V_{total} = 1.5 \times 10^{-22} \ cm^3$ दिया गया है।
$bcc$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) एकक कोष्ठिका में संकुलन क्षमता $68 \%$ होती है।
अतः,रिक्त आयतन (void volume) का प्रतिशत $100 \% - 68 \% = 32 \%$ है।
रिक्त आयतन $= 32 \% \text{ of } V_{total} = 0.32 \times 1.5 \times 10^{-22} \ cm^3$.
रिक्त आयतन $= 0.48 \times 10^{-22} \ cm^3 = 4.8 \times 10^{-23} \ cm^3$.

(A) $bcc$ इकाई सेल के लिए, कोर लंबाई $a$ और परमाणु त्रिज्या $r$ के बीच संबंध $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$ है।
$r$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, $r = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ प्राप्त होता है।
दी गई मान $a = 530 \ pm$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$r = \frac{530 \times \sqrt{3}}{4} \approx \frac{530 \times 1.732}{4} = \frac{917.96}{4} \approx 229.5 \ pm$.
अतः, धातु परमाणु की त्रिज्या $229.5 \ pm$ है।

(B) $bcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 2$ है।
घनत्व $(\rho)$ का सूत्र $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_{A}}$ है।
दिया गया है: $\rho = 8.6 \ g \ cm^{-3}$ और $a^3 \times N_{A} = 22.0 \ cm^3 \ mol^{-1}$।
मान रखने पर: $8.6 \ g \ cm^{-3} = \frac{M \times 2}{22.0 \ cm^3 \ mol^{-1}}$।
अतः,$M = \frac{8.6 \times 22.0}{2} = \frac{189.2}{2} = 94.6 \ g \ mol^{-1}$।

(A) ट्राइक्लिनिक क्रिस्टल प्रणाली क्रिस्टलोग्राफी में सात क्रिस्टल प्रणालियों में से एक है। इस प्रणाली में,इकाई कोशिका सबसे कम समरूपता (symmetry) द्वारा पहचानी जाती है: तीनों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है,और उनके बीच के कोण भी अलग-अलग होते हैं और $90^{\circ}$ नहीं होते हैं।
ट्राइक्लिनिक प्रणाली की विशेषताएं:
- इकाई कोशिका में $a \neq b \neq c$ (सभी भुजाएं अलग-अलग लंबाई की होती हैं)।
- अक्षों के बीच के कोण $\alpha \neq \beta \neq \gamma$ हैं,और सभी $90^{\circ}$ नहीं हैं।
ट्राइक्लिनिक प्रणाली में केवल एक ही प्रकार की इकाई कोशिका होती है,जो कि प्रिमिटिव (सरल) इकाई कोशिका है। समरूपता की कमी के कारण,अन्य प्रकार की इकाई कोशिकाएं (जैसे बॉडी-सेंटर्ड या फेस-सेंटर्ड) संभव नहीं हैं।
इसलिए,ट्राइक्लिनिक क्रिस्टल प्रणाली में उपस्थित विभिन्न प्रकार की इकाई कोशिकाओं की कुल संख्या $1$ है।

(C) एक सरल घनीय $(SCC)$ इकाई सेल की संकुलन क्षमता $52.4 \%$ होती है।
अतः,रिक्त स्थान (void space) का प्रतिशत $100 \% - 52.4 \% = 47.6 \%$ है।
दिया गया है,इकाई सेल का आयतन = $5.5 \times 10^{-22} \ cm^3$।
रिक्त स्थान का आयतन = $5.5 \times 10^{-22} \ cm^3$ का $47.6 \%$।
रिक्त स्थान का आयतन = $\frac{47.6}{100} \times 5.5 \times 10^{-22} \ cm^3 = 2.618 \times 10^{-22} \ cm^3 \approx 2.619 \times 10^{-22} \ cm^3$।

(B) फलक-केंद्रित घनीय $(fcc)$ इकाई सेल में,परमाणु कोनों पर और प्रत्येक फलक के केंद्र में उपस्थित होते हैं।
कोनों पर परमाणुओं की संख्या $= 8 \times \frac{1}{8} = 1$.
फलक केंद्रों पर परमाणुओं की संख्या $= 6 \times \frac{1}{2} = 3$.
परमाणुओं की कुल संख्या $= 1 + 3 = 4$.

(B) $BCC$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) इकाई सेल में,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $(Z)$ $2$ होती है।
परमाणु की त्रिज्या $(r)$ और कोर की लंबाई $(a)$ के बीच संबंध $r = \frac{\sqrt{3}a}{4}$ है।
एक परमाणु का आयतन $V_{atom} = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
परमाणुओं द्वारा घेरा गया कुल आयतन $(V)$ $Z \times V_{atom} = 2 \times \frac{4}{3} \pi \left( \frac{\sqrt{3}a}{4} \right)^3$ है।
$V = \frac{8}{3} \pi \left( \frac{3 \sqrt{3} a^3}{64} \right) = \frac{\sqrt{3} \pi a^3}{8}$।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(D) $bcc$ इकाई सेल के लिए,प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या $n = 2$ है।
घनत्व का सूत्र $\rho = \frac{M \times n}{a^3 \times N_A}$ है।
इकाई सेल का आयतन $a^3 = \frac{M \times n}{\rho \times N_A}$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $a^3 = \frac{23 \ g \ mol^{-1} \times 2}{1 \ g \ cm^{-3} \times 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}}$.
$a^3 = \frac{46}{6.022 \times 10^{23}} \ cm^3 \approx 7.638 \times 10^{-23} \ cm^3$.
अतः,आयतन लगभग $7.6 \times 10^{-23} \ cm^3$ है।