मान लीजिए f:(-1,1) rightarrow R एक अवकलनीय फल | vedclass

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Question

(D) दिए गए अवकल समीकरण $(f^{\prime}(x))^4 = 16(f(x))^2$ से,हमारे पास $(f^{\prime}(x))^2 = \pm 4f(x)$ है।चूंकि $(f^{\prime}(x))^2 \geq 0$ है,इसलिए $4f(

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$4$ से अधिक

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(D) दिए गए अवकल समीकरण $(f^{\prime}(x))^4 = 16(f(x))^2$ से,हमारे पास $(f^{\prime}(x))^2 = \pm 4f(x)$ है।चूंकि $(f^{\prime}(x))^2 \geq 0$ है,इसलिए $4f(x) \geq 0$ होना चाहिए,अर्थात $f(x) \geq 0$।अतः,$(f^{\prime}(x))^2 = 4f(x)$,जिसका अर्थ है $f^{\prime}(x) = \pm 2\sqrt{f(x)}$।यदि $f(x) > 0$ है,तो $\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}} = \pm 2$ होगा। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $2\sqrt{f(x)} = \pm 2x + C$ प्राप्त होता है। चूँकि $f(0)=0$ है,इसलिए $C=0$ होगा,जिससे $\sqrt{f(x)} = \pm x$ प्राप्त होता है,जो $f(x) = x^2$ देता है।हम $f(x) = x^2$ और $f(x) = 0$ का उपयोग करके टुकड़ों में फलन बना सकते हैं जो $x=0$ पर अवकलनीय बना रहे। चूँकि ऐसे अनंत संयोजन संभव हैं,इसलिए ऐसे फलनों की संख्या $4$ से अधिक है।

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