KVPY 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है और टकराने वाली वस्तुओं के द्रव्यमान समान हैं,इसलिए गतिमान द्रव्यमान की कुल ऊर्जा स्थिर द्रव्यमान में स्थानांतरित हो जाती है।
अतः,टक्कर के बाद ब्लॉक का वेग टक्कर से ठीक पहले गोले के स्थानांतरण वेग के बराबर होता है।
गोले के लिए,यदि $v$ तल के निचले भाग पर द्रव्यमान केंद्र का स्थानांतरण वेग है और $\omega$ कोणीय गति है,तो ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
यहाँ,$\omega = \frac{v}{R}$ और एक ठोस गोले के लिए,$I = \frac{2}{5}mR^2$ है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5}mR^2 \right) \left( \frac{v}{R} \right)^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$
$h = 7 \, m$ और $g = 10 \, m/s^2$ लेने पर:
$v = \sqrt{\frac{10}{7} \times 10 \times 7} = \sqrt{100} = 10 \, m/s$.
अतः,टक्कर के बाद ब्लॉक का वेग $10 \, m/s$ है।

(D) जब सेब को छोड़ा जाता है,तो वह एक अजड़त्वीय निर्देश तंत्र (त्वरित ट्रेन) में होता है।
इस फ्रेम में,सेब दो निरंतर त्वरणों का अनुभव करता है:
$1$. गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण,$a_2 = g$ (नीचे की ओर)।
$2$. छद्म-त्वरण (pseudo-acceleration),$a_1 = -a$ (ट्रेन के त्वरण की विपरीत दिशा में,जहाँ $a$ ट्रेन का त्वरण है)।
चूंकि दोनों त्वरण स्थिर हैं और निश्चित दिशाओं में कार्य करते हैं,इसलिए परिणामी त्वरण $a_{\text{net}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ का परिमाण और दिशा भी स्थिर रहती है।
लड़की के सापेक्ष सेब का प्रारंभिक वेग शून्य होने के कारण,सेब परिणामी त्वरण सदिश की दिशा में एक सीधी रेखा में गति करेगा।
इसलिए,लड़की द्वारा देखे गए गिरते हुए सेब का प्रक्षेप पथ चलती ट्रेन की दिशा के विपरीत एक झुकी हुई सीधी रेखा होगी।

(B) जब व्यक्ति ट्रेन से उतरता है,तो प्लेटफॉर्म पर संपर्क बिंदु के परितः उसका कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$L_{\text{initial}} = L_{\text{final}}$
प्रारंभ में,व्यक्ति $m$ द्रव्यमान के एक कण के रूप में कार्य करता है जो जमीन से $h = l/2$ की ऊंचाई पर $v$ वेग से गति कर रहा है। अतः,$L_{\text{initial}} = m v (l/2)$.
उतरने के बाद,व्यक्ति जमीन पर स्थिर एक सिरे के परितः घूमने वाली $l$ लंबाई की एक दृढ़ छड़ के रूप में कार्य करता है। एक सिरे के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{m l^2}{3}$ होता है।
अतः,$m v (l/2) = I \omega$
$m v (l/2) = \left( \frac{m l^2}{3} \right) \omega$
$\omega$ के लिए हल करने पर:
$\omega = \frac{3 v (l/2)}{l^2} = \frac{3 v}{2 l}$
यहाँ $v = 2 \, m/s$ और $l = 1.5 \, m$ दिया गया है:
$\omega = \frac{3 \times 2}{2 \times 1.5} = \frac{6}{3} = 2 \, rad/s$.

(D) चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
माना $M$ का प्रारंभिक वेग $u_1$ है,और $M$ तथा $M/2$ के अंतिम वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं।
रैखिक संवेग का संरक्षण:
$M u_1 = M v_1 + (M/2) v_2$
$u_1 = v_1 + v_2/2$
$2 u_1 = 2 v_1 + v_2$ ... $(i)$
गतिज ऊर्जा का संरक्षण:
$(1/2) M u_1^2 = (1/2) M v_1^2 + (1/2) (M/2) v_2^2$
$u_1^2 = v_1^2 + v_2^2/2$
$2 u_1^2 = 2 v_1^2 + v_2^2$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ से,$u_1 = (2 v_1 + v_2) / 2$. इस मान को समीकरण (ii) में रखने पर:
$2 ((2 v_1 + v_2) / 2)^2 = 2 v_1^2 + v_2^2$
$2 (4 v_1^2 + v_2^2 + 4 v_1 v_2) / 4 = 2 v_1^2 + v_2^2$
$(4 v_1^2 + v_2^2 + 4 v_1 v_2) / 2 = 2 v_1^2 + v_2^2$
$4 v_1^2 + v_2^2 + 4 v_1 v_2 = 4 v_1^2 + 2 v_2^2$
$4 v_1 v_2 = v_2^2$
चूंकि $v_2 \neq 0$,इसलिए $v_2 = 4 v_1$ प्राप्त होता है।
अतः,$M$ और $M/2$ के अंतिम वेगों का अनुपात $x = v_1 / v_2 = 1 / 4$ है।

(C) वस्तु पर कार्य करने वाला बल $F = k - \beta t^2$ है।
कण का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{k - \beta t^2}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
त्वरण शून्य होता है जब $k - \beta t^2 = 0$,जिसका अर्थ है $t^2 = \frac{k}{\beta} = \frac{8}{2} = 4$,अतः $t = 2 \, s$।
चूँकि $a = \frac{dv}{dt}$,इसलिए $dv = \frac{k - \beta t^2}{m} \, dt$ होगा।
$t = -2 \, s$ से $t = 2 \, s$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{v_i}^{v_f} dv = \int_{-2}^{2} \frac{k - \beta t^2}{m} \, dt$
$v_f - (-15) = \frac{1}{2/3} \int_{-2}^{2} (8 - 2t^2) \, dt = \frac{3}{2} \left[ 8t - \frac{2t^3}{3} \right]_{-2}^{2}$
$v_f + 15 = \frac{3}{2} \left[ (16 - 16/3) - (-16 + 16/3) \right] = \frac{3}{2} \left[ 32 - 32/3 \right] = \frac{3}{2} \left( \frac{64}{3} \right) = 32$
$v_f = 32 - 15 = 17 \, m/s$।

(D) पृथ्वी पर सूर्य से प्राप्त विकिरण की तीव्रता (सौर स्थिरांक) निम्न प्रकार है:
$S_{1} = \frac{P}{4 \pi R_{0}^{2}} = \frac{4 \pi R_{s}^{2} \cdot \sigma \cdot T_{s}^{4}}{4 \pi R_{0}^{2}} = \sigma \left( \frac{R_{s}}{R_{0}} \right)^{2} T_{s}^{4}$ ....................$(i)$
जहाँ $R_{s}$ सूर्य की त्रिज्या है,$R_{0}$ पृथ्वी-सूर्य की दूरी $(1 \,AU)$ है,$\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन स्थिरांक है,और $T_{s}$ सूर्य का तापमान है।
अब,पृथ्वी की सतह पर तारकीय पिंड से प्राप्त विकिरण की तीव्रता है:
$S_{2} = \frac{\sigma (50 R_{s})^{2}}{(2 \times 10^{10} R_{0})^{2}} \cdot (2 T_{s})^{4}$
$S_{2} = \frac{2500 \cdot R_{s}^{2}}{4 \times 10^{20} \cdot R_{0}^{2}} \cdot 16 \cdot T_{s}^{4}$
$S_{2} = \frac{2500 \times 16}{4 \times 10^{20}} \cdot \sigma \left( \frac{R_{s}}{R_{0}} \right)^{2} T_{s}^{4}$
$S_{2} = \frac{40000}{4 \times 10^{20}} \cdot S_{1} = 10^{4} \times 10^{-20} \cdot S_{1} = 10^{-16} S_{1}$
अतः,अनुपात $\frac{S_{2}}{S_{1}} = 10^{-16}$ है।

(A) बिंदु $P$ (स्रोत $R$ के ठीक सामने) पर न्यूनतम तीव्रता के लिए,$S$ और $R$ से $P$ तक पहुँचने वाली ध्वनि तरंगों के बीच पथ का अंतर तरंग दैर्ध्य के आधे का विषम गुणज होना चाहिए।
पथ का अंतर $\Delta x = SP - RP$ द्वारा दिया जाता है।
ज्यामिति के अनुसार,$RP = 12 \,m$ और $RS = 5 \,m$ है। इसलिए,$SP = \sqrt{RP^2 + RS^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \,m$ है।
पथ का अंतर $\Delta x = 13 \,m - 12 \,m = 1 \,m$ है।
विनाशी व्यतिकरण (न्यूनतम) के लिए,$\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
$\lambda = \frac{v}{f}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 = (2n + 1) \frac{v}{2f}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f = \frac{(2n + 1)v}{2}$।
चूँकि $v = 330 \,m/s$ दिया गया है,$f = \frac{(2n + 1) \times 330}{2} = (2n + 1) \times 165$ है।
$n = 0$ के लिए,$f = 165 \,Hz$ है।
$n = 1$ के लिए,$f = 3 \times 165 = 495 \,Hz$ है।
$n = 2$ के लिए,$f = 5 \times 165 = 825 \,Hz$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$495 \,Hz$ एक संभावित मान है।

(A) प्रक्रिया का समीकरण $p V^2 = \beta$ है।
चूंकि गैस आदर्श है,यह आदर्श गैस समीकरण $p V = n R T$ का पालन करती है।
आदर्श गैस समीकरण से,हम लिख सकते हैं $p = \frac{n R T}{V}$।
इस मान को प्रक्रिया समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\left(\frac{n R T}{V}\right) V^2 = \beta$,जो सरल होकर $n R T V = \beta$ हो जाता है।
दिए गए मान:
$n = 0.02 \, mol$
$R = 8.31 \, J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$
$T = 20^{\circ} C = 293 \, K$
$V = 1500 \, cm^3 = 1.5 \times 10^{-3} \, m^3$।
अब,$\beta$ की गणना करते हैं:
$\beta = n R T V = (0.02) \times (8.31) \times (293) \times (1.5 \times 10^{-3})$।
$\beta = 0.02 \times 8.31 \times 293 \times 0.0015 \approx 0.0729 \, Pa \cdot m^6$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$\beta$ का मान लगभग $7.5 \times 10^{-2} \, Pa \cdot m^6$ है।

(B) यह मानते हुए कि कोई ऊष्मा हानि नहीं होती है,कैलोरीमीटर में तरल द्वारा प्राप्त ऊष्मा,हीटर द्वारा प्रदान की गई ऊष्मा के बराबर होती है।
$Q = m S \Delta T = P t$
जहाँ $m$ तरल का द्रव्यमान है,$S$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है,और $T_f - T_i = \Delta T$ है।
$\Rightarrow m S (T_f - T_i) = P t$
$\Rightarrow T_f = \left( \frac{P}{m S} \right) t + T_i$
इस समीकरण की तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
ढलान $= \frac{P}{m S} = \frac{P}{C}$,जहाँ $C = m S$ तरल की ऊष्मा धारिता है।
चूंकि ढलान $\frac{P}{C}$ है,इसलिए ऊष्मा धारिता $C$ ग्राफ के ढलान के व्युत्क्रमानुपाती है $(C \propto \frac{1}{\text{slope}})$।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) गैसों के मिश्रण के लिए,रुद्धोष्म सूचकांक (adiabatic index) $\gamma_{\text{mix}}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}$
यहाँ $n_1 = 1$ मोल,$\gamma_1 = 5/3$ और $n_2 = n$ मोल,$\gamma_2 = 7/5$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ और $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$ होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\gamma_{\text{mix}} = \frac{n_1 \frac{\gamma_1 R}{\gamma_1 - 1} + n_2 \frac{\gamma_2 R}{\gamma_2 - 1}}{n_1 \frac{R}{\gamma_1 - 1} + n_2 \frac{R}{\gamma_2 - 1}} = \frac{n_1 \frac{\gamma_1}{\gamma_1 - 1} + n_2 \frac{\gamma_2}{\gamma_2 - 1}}{n_1 \frac{1}{\gamma_1 - 1} + n_2 \frac{1}{\gamma_2 - 1}}$
गैस $A$ के लिए: $\frac{\gamma_1}{\gamma_1 - 1} = \frac{5/3}{2/3} = 2.5$ और $\frac{1}{\gamma_1 - 1} = \frac{1}{2/3} = 1.5$ है।
गैस $B$ के लिए: $\frac{\gamma_2}{\gamma_2 - 1} = \frac{7/5}{2/5} = 3.5$ और $\frac{1}{\gamma_2 - 1} = \frac{1}{2/5} = 2.5$ है।
मान रखने पर: $\frac{19}{13} = \frac{1(2.5) + n(3.5)}{1(1.5) + n(2.5)}$.
$19(1.5 + 2.5n) = 13(2.5 + 3.5n)$.
$28.5 + 47.5n = 32.5 + 45.5n$.
$2n = 4 \Rightarrow n = 2$.

(C) चूंकि प्लेटें एक-दूसरे को स्पर्श नहीं करती हैं, इसलिए ऊष्मा का आदान-प्रदान विकिरण के रूप में होता है।
स्थिर अवस्था में, मध्य प्लेट द्वारा प्राप्त ऊष्मा = इसके द्वारा खोई गई ऊष्मा।
मान लीजिए कि प्रत्येक प्लेट का क्षेत्रफल $A$ है, उत्सर्जन क्षमता $\varepsilon$ है, और स्टीफन-बोल्ट्जमैन स्थिरांक $\sigma$ है। मान लीजिए कि मध्य प्लेट का तापमान $T_1$ है।
बाहरी प्लेटों से मध्य प्लेट द्वारा प्राप्त ऊष्मा $Q_{in} = A \varepsilon \sigma T^4 + A \varepsilon \sigma (2T)^4$ है।
मध्य प्लेट अपनी दोनों सतहों से विकिरण उत्सर्जित करती है, इसलिए खोई गई ऊष्मा $Q_{out} = 2 A \varepsilon \sigma T_1^4$ है।
$Q_{in} = Q_{out}$ को बराबर करने पर:
$A \varepsilon \sigma T^4 + A \varepsilon \sigma (16T^4) = 2 A \varepsilon \sigma T_1^4$
$17 T^4 = 2 T_1^4$
$T_1^4 = \frac{17}{2} T^4 = 8.5 T^4$
$T_1 = (8.5)^{1/4} T \approx 1.71 T$.
अतः, तापमान $1.7 T$ के करीब है।

(A) छड़ की लंबाई अपरिवर्तित रहती है। इसका अर्थ है कि ठंडा होने के कारण हुआ संकुचन,लटके हुए भार के कारण हुए विस्तार के बराबर है।
तापीय विकृति = भार के कारण उत्पन्न विकृति
$\alpha \Delta \theta = \frac{\Delta l}{l}$
चूंकि यंग मापांक $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ है,इसलिए $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{YA}$ होता है।
इस मान को तापीय विकृति के समीकरण में रखने पर:
$\alpha \Delta \theta = \frac{F}{YA}$
$\Delta \theta = \frac{F}{YA \alpha}$
यहाँ $F = 5000 \, N$,$Y = 4 \times 10^{12} \, N/m^{2}$,$A = 10^{-4} \, m^{2}$,और $\alpha = 2.5 \times 10^{-6} \, K^{-1}$ दिए गए हैं:
$\Delta \theta = \frac{5000}{4 \times 10^{12} \times 10^{-4} \times 2.5 \times 10^{-6}}$
$\Delta \theta = \frac{5000}{1000} = 5^{\circ} C$
चूंकि $\Delta \theta = 20^{\circ} C - T = 5^{\circ} C$,इसलिए हमें $T = 15^{\circ} C$ प्राप्त होता है।

(D) तली से $y$ ऊँचाई पर $dy$ चौड़ाई की एक पट्टी पर विचार करें। सतह के नीचे इस पट्टी की गहराई $(h-y)$ है।
इस गहराई पर दबाव $P = \rho_w g(h-y)$ है।
$dA = L \cdot dy$ क्षेत्रफल वाली पट्टी पर बल $dF = P \cdot dA = \rho_w g(h-y) L \cdot dy$ है।
तली के अक्ष ($y=0$ पर) के परितः टॉर्क $d\tau = dF \cdot y = \rho_w g L (h-y) y \cdot dy$ है।
कुल टॉर्क $\tau_1$ के लिए $y=0$ से $y=h$ तक समाकलन करने पर:
$\tau_1 = \int_{0}^{h} \rho_w g L (hy - y^2) dy = \rho_w g L \left[ \frac{hy^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{h} = \rho_w g L \left( \frac{h^3}{2} - \frac{h^3}{3} \right) = \frac{\rho_w g L h^3}{6}$.
दूसरे मामले में,ऊँचाई $h' = h/2$ और लंबाई $L' = L/2$ है। टॉर्क $\tau_2$ इस प्रकार है:
$\tau_2 = \int_{0}^{h/2} \rho_w g L' (h' - y) y \cdot dy = \int_{0}^{h/2} \rho_w g \left(\frac{L}{2}\right) \left(\frac{h}{2} - y\right) y \cdot dy$
$= \frac{\rho_w g L}{2} \left[ \frac{h}{2} \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{h/2} = \frac{\rho_w g L}{2} \left[ \frac{h}{4} \left(\frac{h^2}{4}\right) - \frac{1}{3} \left(\frac{h^3}{8}\right) \right]$
$= \frac{\rho_w g L}{2} \left[ \frac{h^3}{16} - \frac{h^3}{24} \right] = \frac{\rho_w g L}{2} \left[ \frac{3h^3 - 2h^3}{48} \right] = \frac{\rho_w g L h^3}{2 \cdot 48} = \frac{\rho_w g L h^3}{96}$.
अतः,$\frac{\tau_1}{\tau_2} = \frac{\rho_w g L h^3 / 6}{\rho_w g L h^3 / 96} = \frac{96}{6} = 16$.

(D) माना वाल्व खोलने से पहले पात्रों $C_{1}$ और $C_{2}$ में उपस्थित गैस के मोलों की संख्या क्रमशः $n_{1}$ और $n_{2}$ है।
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करने पर:
$n_{1} = \frac{pV}{R(300)}$
$n_{2} = \frac{5p(4V)}{R(400)} = \frac{20pV}{400R} = \frac{pV}{20R}$
जब वाल्व खोला जाता है,तो गैस तब तक बहती है जब तक कि $C_{1}$ और $C_{2}$ दोनों में दाब $p_{0}$ समान न हो जाए।
माना नए मोलों की संख्या $n_{1}'$ और $n_{2}'$ है:
$n_{1}' = \frac{p_{0}V}{R(300)}$
$n_{2}' = \frac{p_{0}(4V)}{R(400)} = \frac{p_{0}V}{100R}$
चूंकि कुल मोलों की संख्या संरक्षित रहती है $(n_{1} + n_{2} = n_{1}' + n_{2}')$:
$\frac{pV}{300R} + \frac{20pV}{400R} = \frac{p_{0}V}{300R} + \frac{p_{0}V}{100R}$
$\frac{p}{300} + \frac{p}{20} = p_{0} \left( \frac{1}{300} + \frac{3}{300} \right)$
$\frac{p + 15p}{300} = p_{0} \left( \frac{4}{300} \right)$
$16p = 4p_{0} \Rightarrow p_{0} = 4p$
अब,गर्म पात्र $(C_{2})$ और ठंडे पात्र $(C_{1})$ में मोलों का अनुपात:
$\frac{n_{2}'}{n_{1}'} = \frac{p_{0}(4V) / R(400)}{p_{0}V / R(300)} = \frac{4/400}{1/300} = \frac{1/100}{1/300} = 3$
अतः,गर्म पात्र में गैस के मोलों की संख्या ठंडे पात्र की तुलना में तीन गुनी है।

(B) मुक्त सिरे से $x$ दूरी पर स्थित एक खंड पर तनाव $T = m g = \mu x g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ रस्सी की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
रस्सी पर तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{\mu x g}{\mu}} = \sqrt{g x}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $v = \sqrt{g x}$,जैसे-जैसे स्पंद ऊपर जाता है,गति बढ़ती है (जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है)।
$x$ दूरी तय करने में लिए गए समय $t$ को खोजने के लिए,हम $v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{g x}$ का उपयोग करते हैं।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $dx / \sqrt{x} = \sqrt{g} dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $0$ से $x$ और $0$ से $t$ तक समाकलन करने पर,हमें $\int_{0}^{x} x^{-1/2} dx = \int_{0}^{t} \sqrt{g} dt$ प्राप्त होता है।
$2\sqrt{x} = \sqrt{g} t$,जिसका अर्थ है $t = 2\sqrt{\frac{x}{g}}$।
कुल लंबाई $L$ के लिए,लिया गया समय $t = 2\sqrt{\frac{L}{g}}$ है,इसलिए $t \propto \sqrt{L}$।

(C) छेद से बाहर निकलने वाले पानी का वेग $v_{e} = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है।
पानी की धार की क्षैतिज परास (range) $x = v_{e} \times t$ है,जहाँ $t$ ऊँचाई $H$ से गिरने का समय है।
चूँकि $H = \frac{1}{2}gt^{2}$,इसलिए $t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ है।
अतः,$x = \sqrt{2gh} \times \sqrt{\frac{2H}{g}} = 2\sqrt{hH}$।
पानी को बाल्टी में गिरने के लिए बाल्टी की गति $v$ को परास $x$ के परिवर्तन की दर के बराबर होना चाहिए:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2\sqrt{hH}) = 2\sqrt{H} \frac{d}{dt}(\sqrt{h}) = 2\sqrt{H} \cdot \frac{1}{2\sqrt{h}} \cdot \frac{dh}{dt} = \sqrt{\frac{H}{h}} \cdot \frac{dh}{dt}$।
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) से,$A_{0} \left(-\frac{dh}{dt}\right) = A v_{e} = A \sqrt{2gh}$।
इसलिए,$\frac{dh}{dt} = -\frac{A}{A_{0}} \sqrt{2gh}$।
इस मान को $v$ के व्यंजक में रखने पर (परिमाण लेने पर): $v = \sqrt{\frac{H}{h}} \cdot \frac{A}{A_{0}} \sqrt{2gh} = \frac{A}{A_{0}} \sqrt{2gH}$।
यहाँ $A = 5 \, cm^{2}$,$A_{0} = 500 \, cm^{2}$,$g = 10 \, m/s^{2}$ और $H = 5 \, m$ दिया गया है:
$v = \left(\frac{5}{500}\right) \sqrt{2 \times 10 \times 5} = \frac{1}{100} \times \sqrt{100} = \frac{10}{100} = 0.1 \, m/s$।

(C) दी गई स्थिति में, पानी द्वारा प्राप्त शुद्ध ऊष्मा, हीटर द्वारा उत्पन्न ऊष्मा और न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार खोई गई ऊष्मा के बीच का अंतर है।
मान लीजिए $i$ धारा है, $R_{1}$ हीटर का प्रतिरोध है, $m$ पानी का द्रव्यमान है, $S$ विशिष्ट ऊष्मा धारिता है, $T$ पानी का तापमान है, $T_{0}$ परिवेश का तापमान है और $K$ एक स्थिरांक है।
ऊष्मा प्राप्ति की दर इस प्रकार है:
$i^{2} R_{1} - K(T - T_{0}) = m S \left(\frac{dT}{dt}\right)$
अवकल समीकरण बनाने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dT}{dt} = \frac{i^{2} R_{1}}{m S} - \frac{K}{m S}(T - T_{0})$
$\frac{dT}{dt} = \left(\frac{i^{2} R_{1} + K T_{0}}{m S}\right) - \frac{K}{m S} T$
मान लीजिए $A = \frac{i^{2} R_{1} + K T_{0}}{m S}$ और $B = -\frac{K}{m S}$। तब:
$\frac{dT}{dt} = A + BT$
इस समीकरण का समाकलन करने पर तापमान $T$ और समय $t$ के बीच एक घातांकीय संबंध प्राप्त होता है:
$T(t) = T_{final} - (T_{final} - T_{initial}) e^{-kt}$
यह एक वक्र को दर्शाता है जो प्रारंभिक तापमान से शुरू होता है और स्थिर-अवस्था तापमान की ओर बढ़ता है। इस व्यवहार को ग्राफ $C$ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(B) मान लीजिए कि $R$ त्रिज्या का एक बुलबुला इस तरह फैलता है कि उसकी सतह $v$ गति से चलती है। पानी में $x$ त्रिज्या $(x \ge R)$ और $dx$ मोटाई वाले एक गोलाकार कवच पर विचार करें।
पानी के असंपीड्य होने के कारण,किसी भी गोलाकार सतह से आयतन प्रवाह दर स्थिर होनी चाहिए।
बुलबुले की सतह पर (त्रिज्या $R$),प्रवाह दर $4 \pi R^{2} v$ है।
केंद्र से $x$ दूरी पर,प्रवाह दर $4 \pi x^{2} v_{x}$ है,जहाँ $v_{x}$ दूरी $x$ पर पानी का वेग है।
इन दोनों को बराबर करने पर,$4 \pi x^{2} v_{x} = 4 \pi R^{2} v$,जिससे $v_{x} = \frac{R^{2} v}{x^{2}}$ प्राप्त होता है।
$dx$ मोटाई वाले गोलाकार कवच का द्रव्यमान $dm = \rho (4 \pi x^{2} dx)$ है।
इस कवच की गतिज ऊर्जा $dK = \frac{1}{2} dm v_{x}^{2} = \frac{1}{2} (4 \pi x^{2} \rho dx) \left( \frac{R^{2} v}{x^{2}} \right)^{2}$ है।
सरल करने पर,$dK = 2 \pi \rho R^{4} v^{2} \frac{dx}{x^{2}}$ प्राप्त होता है।
कुल गतिज ऊर्जा $K$ का मान $x = R$ से $x = \infty$ तक समाकलन करने पर प्राप्त होगा:
$K = \int_{R}^{\infty} 2 \pi \rho R^{4} v^{2} \frac{dx}{x^{2}} = 2 \pi \rho R^{4} v^{2} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{R}^{\infty} = 2 \pi \rho R^{4} v^{2} \left( 0 - (-\frac{1}{R}) \right) = 2 \pi \rho R^{3} v^{2}$.

(A) दिया गया है कि वर्नियर पैमाने के $10$ विभाजन $(VSD)$ मुख्य पैमाने के $11$ विभाजनों $(MSD)$ से मेल खाते हैं।
इसलिए,$10 \,VSD = 11 \,MSD$,जिसका अर्थ है कि $1 \,VSD = \frac{11}{10} \,MSD = 1.1 \,MSD$.
वर्नियर कैलीपर का अल्पतमांक $(LC)$ एक मुख्य पैमाने के विभाजन और एक वर्नियर पैमाने के विभाजन के बीच का अंतर है।
$LC = 1 \,MSD - 1 \,VSD$
मान रखने पर:
$LC = 1 \,MSD - 1.1 \,MSD = -0.1 \,MSD$.
चूंकि अल्पतमांक एक परिमाण (magnitude) है,हम इसका निरपेक्ष मान लेते हैं:
$|LC| = |-0.1 \,MSD| = 0.1 \,MSD$.
यह दिया गया है कि $1 \,MSD = 1 \,mm$,इसलिए अल्पतमांक $0.1 \times 1 \,mm = 0.1 \,mm$ है।

(B) गेंद का वेग दूरी-समय ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है।
दिए गए ग्राफ का अंतिम भाग एक सीधी रेखा है,जो यह दर्शाता है कि वेग स्थिर है,अर्थात सीमांत वेग प्राप्त हो गया है।
ग्राफ के डेटा से,हम रैखिक भाग पर दो बिंदु चुन सकते हैं: $(t_1 = 1.6 \, s, x_1 = 0.3 \, m)$ और $(t_2 = 1.9 \, s, x_2 = 0.4 \, m)$।
सीमांत वेग $v$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$v = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$
$v = \frac{0.4 - 0.3}{1.9 - 1.6}$
$v = \frac{0.1}{0.3} \approx 0.33 \, m/s$।
अतः,सीमांत वेग $0.33 \, m/s$ के सबसे निकट है।

(D) गेंद का आवर्तकाल $T = 1.5 \, s$ है।
$t = 8.3 \, s$ में,पूरे किए गए चक्करों की संख्या $n = \frac{8.3}{1.5} = 5.533$ है।
$5$ पूर्ण चक्करों के बाद $(t = 7.5 \, s)$,गेंद $t = 0 \, s$ वाली अपनी प्रारंभिक स्थिति पर वापस आ जाती है।
शेष समय $\Delta t = 8.3 - 7.5 = 0.8 \, s$ है।
कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1.5} = \frac{4\pi}{3} \, rad/s$ है।
$\Delta t = 0.8 \, s$ में तय किया गया कोण $\theta = \omega \Delta t = \left(\frac{4\pi}{3}\right) \times 0.8 = \frac{3.2\pi}{3} \approx 1.067\pi \, rad$ है।
यह कोण $\pi \, rad$ $(180^\circ)$ से थोड़ा अधिक है।
चूंकि कोण लगभग $192^\circ$ है,इसलिए गेंद प्रारंभिक स्थिति के व्यासीय रूप से विपरीत बिंदु के बहुत करीब है।
व्यास के लिए विस्थापन $2R = 2 \times 1 = 2 \, m$ है।
अतः,विस्थापन का परिमाण $2 \, m$ के सबसे निकट है।

(A) माना कि जब कण अर्धगोले से अलग होता है तो उसकी चाल $v$ है।
चूँकि सतह चिकनी है,इसलिए कोई घर्षण नहीं है और यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
कण अर्धगोले के शीर्ष से विरामावस्था से चलना शुरू करता है (क्षैतिज सतह से $R$ ऊँचाई)।
शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा $U_i = mgR$ है।
$h$ ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U_f = mgh$ है।
$h$ ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$U_i = U_f + K_f$
$mgR = mgh + \frac{1}{2}mv^2$
$mg(R-h) = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2g(R-h)$
$v = \sqrt{2g(R-h)}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) आदर्श गैस समीकरण से,हमारे पास $p V=n R T$ है।
एक मोल आदर्श गैस के लिए,$n=1$,इसलिए समीकरण $p V=R T$ हो जाता है।
यहाँ,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,जिसका मान लगभग $8.314 \ J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ है।
समीकरण $p V=R T$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है जिसका ढाल $R$ के बराबर है।
बिंदुदार रेखा $p V=T$ को दर्शाती है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली $1$ ढाल वाली एक सीधी रेखा है।
चूंकि $R \approx 8.314 > 1$,इसलिए रेखा $p V=R T$ का ढाल रेखा $p V=T$ के ढाल से अधिक होना चाहिए।
इसलिए,वह ग्राफ जिसमें ठोस रेखा ($p V=R T$ को दर्शाती है) का ढाल बिंदुदार रेखा ($p V=T$ को दर्शाती है) से अधिक है,सही निरूपण है।

(B) वर्षा द्वारा प्राप्त जल का सतह क्षेत्र $A = 600 \, km^2 = 600 \times (10^3)^2 \, m^2 = 6 \times 10^8 \, m^2$ है।
औसत वार्षिक वर्षा $h = 2.4 \, m$ है।
वर्षा द्वारा प्राप्त जल का कुल आयतन $V = A \times h = 6 \times 10^8 \times 2.4 = 14.4 \times 10^8 \, m^3 = 1.44 \times 10^9 \, m^3$ है।
चूंकि $1 \, m^3 = 1000 \, L$,लीटर में कुल आयतन $1.44 \times 10^9 \times 10^3 = 1.44 \times 10^{12} \, L$ है।
संरक्षित जल की मात्रा कुल आयतन का $10 \%$ है: $V_{cons} = 0.10 \times 1.44 \times 10^{12} \, L = 1.44 \times 10^{11} \, L$ है।
इस संरक्षित जल द्वारा मुंबई की वार्षिक पानी की आवश्यकता का कितना प्रतिशत पूरा होता है,यह $\frac{1.44 \times 10^{11}}{1.4 \times 10^{12}} \times 100 \approx 10 \%$ है।

(D) टक्कर प्रत्यास्थ है,इसलिए रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के अनुसार:
$M V = M V^{\prime} + m v \implies M(V - V^{\prime}) = m v \dots (i)$
गतिज ऊर्जा संरक्षण के अनुसार:
$\frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} M V^{\prime 2} + \frac{1}{2} m v^2 \implies M(V^2 - V^{\prime 2}) = m v^2 \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{M(V^2 - V^{\prime 2})}{M(V - V^{\prime})} = \frac{m v^2}{m v}$
$\frac{(V - V^{\prime})(V + V^{\prime})}{(V - V^{\prime})} = v$
$V + V^{\prime} = v$
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(A) लगाया गया बल रेत के कणों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
सबसे पहले,हम उस वेग $v$ की गणना करते हैं जिसके साथ रेत का कण रेत-घड़ी के तल से टकराता है। चूंकि कण विराम अवस्था से शुरू होता है $(u = 0)$ और तल तक पहुँचने में $t = 2 \, s$ का समय लेता है,गति के समीकरण $v = u + gt$ का उपयोग करते हुए ($g = 10 \, m/s^2$ लेते हुए):
$v = 0 + 10 \times 2 = 20 \, m/s$.
तल से टकराने पर एक कण के संवेग में परिवर्तन (यह मानते हुए कि वह रुक जाता है) है:
$\Delta p = m(v - u_{final}) = m(v - 0) = mv$.
यहाँ $m = 0.2 \, g = 0.2 \times 10^{-3} \, kg$ दिया गया है,इसलिए:
$\Delta p = 0.2 \times 10^{-3} \, kg \times 20 \, m/s = 4 \times 10^{-3} \, kg \cdot m/s$.
चूंकि प्रति सेकंड $100$ कण गिरते हैं,इसलिए संवेग परिवर्तन की कुल दर (जो औसत बल के बराबर है) है:
$F = n \times \Delta p = 100 \times 4 \times 10^{-3} \, N = 0.4 \, N$.
अतः,लगाया गया औसत बल $0.4 \, N$ है।

(C) हॉट एयर बैलून के ऊपर उठने के लिए,उत्प्लावन बल (buoyant force) बैलून,पेलोड और अंदर की गर्म हवा के कुल वजन से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए $V$ बैलून का आयतन है,$\rho_o$ बाहर की हवा का घनत्व है,और $\rho_i$ अंदर की गर्म हवा का घनत्व है।
$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (5.85)^3 \approx 838.5 \, m^3$.
आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए,$PV = nRT = \frac{m}{M} RT$,इसलिए $\rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}$.
बलों को संतुलित करने पर: $V \rho_o g = V \rho_i g + m_{payload} g$.
$V(\rho_o - \rho_i) = 210$.
$V \frac{PM}{R} \left( \frac{1}{T_o} - \frac{1}{T_i} \right) = 210$.
मान रखने पर: $838.5 \times \frac{10^5 \times 30 \times 10^{-3}}{8.31} \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{T_i} \right) = 210$.
$302647 \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{T_i} \right) = 210$.
$\frac{1}{300} - \frac{1}{T_i} \approx 0.0006938$.
$\frac{1}{T_i} \approx 0.003333 - 0.0006938 = 0.002639$.
$T_i \approx 378.9 \, K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_i \approx 378.9 - 273 = 105.9^{\circ} C$.
अतः,तापमान $105^{\circ} C$ के करीब है।

(C) दिया गया है:
हृदय स्तर पर रक्तचाप,$P_{\text{heart}} = 13.3 \,kPa = 13300 \,Pa$.
रक्त का घनत्व,$\rho = 10^3 \,kg/m^3$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,m/s^2$.
पैर से हृदय की ऊँचाई,$h_1 = 1.3 \,m$.
हृदय से सिर की ऊँचाई,$h_2 = 1.7 \,m - 1.3 \,m = 0.4 \,m$.
पैर के स्तर पर दबाव $P_{\text{foot}} = P_{\text{heart}} + \rho g h_1$ द्वारा दिया जाता है।
$P_{\text{foot}} = 13300 + (10^3 \times 10 \times 1.3) = 13300 + 13000 = 26300 \,Pa = 26.3 \,kPa$.
सिर के स्तर पर दबाव $P_{\text{head}} = P_{\text{heart}} - \rho g h_2$ द्वारा दिया जाता है।
$P_{\text{head}} = 13300 - (10^3 \times 10 \times 0.4) = 13300 - 4000 = 9300 \,Pa = 9.3 \,kPa$.
पैर के क्षेत्र और सिर के क्षेत्र में $BP$ का अनुपात है:
$\text{Ratio} = \frac{P_{\text{foot}}}{P_{\text{head}}} = \frac{26.3}{9.3} \approx 2.828$.
यह मान $3$ के सबसे करीब है।

(A) म्यूओन लगभग $200 \, m_{e}$ द्रव्यमान और $\pm e$ आवेश वाला एक अस्थिर प्राथमिक कण है।
यहाँ,एक ऋण म्यूओन प्रोटॉन से बंधा हुआ है।
अतः,$m = 200 \, m_{e}$ और $M = 1836 \, m_{e}$ (क्योंकि प्रोटॉन का द्रव्यमान इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान का $1836$ गुना होता है)।
निकाय का समानित द्रव्यमान (reduced mass) है,
$m^{\prime} = \frac{m M}{m + M} = \frac{200 \, m_{e} \times 1836 \, m_{e}}{200 \, m_{e} + 1836 \, m_{e}} \approx 180 \, m_{e}$.
चूंकि म्यूओन का द्रव्यमान प्रोटॉन के द्रव्यमान के तुलनीय है,इसलिए हमें समानित द्रव्यमान की गणना करके नाभिक की गति को ध्यान में रखना होगा।
हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_{n} = \frac{m e^{4}}{8 \varepsilon_{0}^{2} h^{2} n^{2}}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,म्यूओनिक परमाणु में म्यूओन की ऊर्जा $E_{n}^{\prime} = \frac{m^{\prime} e^{4}}{8 \varepsilon_{0}^{2} h^{2} n^{2}} = 180 \, E_{n}$ होगी।
$n = 3$ से $n = 2$ तक बामर संक्रमण पर विचार करते हुए,ऊर्जा का अंतर $\Delta E^{\prime} = E_{n=3}^{\prime} - E_{n=2}^{\prime} = \frac{hc}{\lambda}$ है।
$\Delta E^{\prime} = 180 \times (E_{n=3} - E_{n=2}) = 180 \times \left( \frac{-13.6 \, \text{eV}}{3^{2}} - \frac{-13.6 \, \text{eV}}{2^{2}} \right) = 180 \times 1.89 \, \text{eV} = 340.2 \, \text{eV}$.
$\lambda = \frac{hc}{\Delta E^{\prime}} = \frac{1240 \, \text{eV} \cdot \text{nm}}{340.2 \, \text{eV}} \approx 3.65 \, \text{nm}$ का उपयोग करते हुए।
यह तरंगदैर्घ्य $X$-किरणों की परास ($0.01 \, \text{nm}$ से $10 \, \text{nm}$) में आती है।

(B) थॉमसन मॉडल में,धनात्मक आवेश $R$ त्रिज्या के गोले में समान रूप से वितरित होता है। $r > R$ दूरी पर स्थित इलेक्ट्रॉन के लिए,विद्युत क्षेत्र केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश $e$ के समान होता है। स्थितिज ऊर्जा $U(r) = -e^2 / (4 \pi \epsilon_0 r)$ है।
$n=1$ के लिए बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त $mvr = n\hbar$ लागू करने पर,हमें $mvr = \hbar$ प्राप्त होता है। अभिकेंद्र बल स्थिर-वैद्युत बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $mv^2 / r = e^2 / (4 \pi \epsilon_0 r^2)$,जिससे $mv^2 = e^2 / (4 \pi \epsilon_0 r)$ प्राप्त होता है।
बल समीकरण में $v = \hbar / (mr)$ प्रतिस्थापित करने पर: $m(\hbar / mr)^2 = e^2 / (4 \pi \epsilon_0 r) \implies \hbar^2 / (mr^2) = e^2 / (4 \pi \epsilon_0 r) \implies r = 4 \pi \epsilon_0 \hbar^2 / (me^2) = a_0$,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या $(0.53 \,\mathring A)$ है।
चूंकि गणना की गई त्रिज्या $r = a_0 = 0.53 \,\mathring A$ गोले की त्रिज्या $R = 0.25 \,\mathring A$ से अधिक है,इसलिए इलेक्ट्रॉन गोले के बाहर परिक्रमा करता है। इस क्षेत्र में,विभव बिंदु आवेश के विभव के समतुल्य है। अतः,ऊर्जा स्तर मानक बोहर मॉडल के समान हैं,और मूल अवस्था ऊर्जा $-13.6 \, eV$ है।

(A) छड़ का प्रतिरोध $R = \frac{\rho l}{A}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि आयतन $V_{vol} = Al$ स्थिर रहता है,हम $R = \frac{\rho l^2}{V_{vol}}$ लिख सकते हैं।
जब छड़ को थोड़ी मात्रा $\Delta l$ से खींचा जाता है,तो लंबाई में परिवर्तन $l' = l + \Delta l$ होता है। नया प्रतिरोध $R' = \frac{\rho (l + \Delta l)^2}{V_{vol}} \approx \frac{\rho (l^2 + 2l \Delta l)}{V_{vol}} = R + \frac{2 \rho l \Delta l}{V_{vol}}$ है।
प्रतिरोध में परिवर्तन $\Delta R = R' - R = \frac{2 \rho l \Delta l}{V_{vol}} = \frac{2 \rho l^2}{V_{vol}} \cdot \frac{\Delta l}{l} = 2R \varepsilon$ है,जहाँ $\varepsilon = \frac{\Delta l}{l}$ विकृति है।
छड़ के सिरों पर वोल्टेज $V = iR$ है। वोल्टेज में परिवर्तन $\Delta V = i \Delta R = i(2R \varepsilon) = (2iR) \varepsilon$ है।
चूंकि $i$ और $R$ स्थिर हैं,$\Delta V$ सीधे विकृति $\varepsilon$ के समानुपाती है $(\Delta V \propto \varepsilon)$।
इसलिए,कुल वोल्टेज $V_{total} = V_{initial} + \Delta V = V_{initial} + (2iR) \varepsilon$ है। यह प्रारंभिक वोल्टेज $V_{initial}$ से शुरू होकर धनात्मक ढाल के साथ एक रैखिक संबंध को दर्शाता है।

(C) $m$ द्रव्यमान और $\nu$ आवृत्ति वाला एक फोटोन पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में $H$ ऊँचाई से गिरता है।
जब फोटोन पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में गिरता है,तो यह अतिरिक्त ऊर्जा प्राप्त करता है। इसलिए,
अंतिम फोटोन ऊर्जा = प्रारंभिक फोटोन ऊर्जा + ऊर्जा में वृद्धि
$h \nu' = h \nu + m g H$
$m = \frac{h \nu}{c^{2}}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h \nu' = h \nu + \left( \frac{h \nu}{c^{2}} \right) g H$
$\nu' = \nu \left( 1 + \frac{g H}{c^{2}} \right)$
अतः,आवृत्ति में आंशिक परिवर्तन है:
$\frac{\nu' - \nu}{\nu} = \frac{g H}{c^{2}}$
यहाँ $g = 10 \, m/s^{2}$,$H = 1000 \, m$,और $c = 3 \times 10^{8} \, m/s$ दिया गया है:
$\frac{\Delta \nu}{\nu} = \frac{10 \times 1000}{(3 \times 10^{8})^{2}} = \frac{10^{4}}{9 \times 10^{16}} \approx 1.11 \times 10^{-13}$
यह मान $10^{-13}$ के करीब है।

(C) यह तथ्य कि पोलराइज़र को घुमाने पर परावर्तित प्रकाश की तीव्रता शून्य हो जाती है,यह दर्शाता है कि परावर्तित प्रकाश समतल-ध्रुवित है। यह तब होता है जब प्रकाश ब्रूस्टर कोण $\theta_p$ पर आपतित होता है।
ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,माध्यम का अपवर्तनांक $n$,$n = \tan \theta_p$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पानी का अपवर्तनांक लाल प्रकाश की तुलना में नीले प्रकाश के लिए अधिक होता है $(n_{\text{blue}} > n_{\text{red}})$,इसलिए $\tan \theta_B > \tan \theta_R$ होता है,जिसका अर्थ है कि $\theta_B > \theta_R$।
ब्रूस्टर कोण पर,परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत होती हैं। परावर्तन और अपवर्तन की ज्यामिति से,आपतन कोण $\theta_p$ और अपवर्तन कोण $r$ के लिए $\theta_p + r = 90^{\circ}$ होता है। चूंकि प्रकाश हवा से पानी में यात्रा करता है,इसलिए अपवर्तन कोण $r$ आपतन कोण $\theta_p$ से कम होता है (क्योंकि $n_{\text{water}} > n_{\text{air}}$)। इसलिए,$\theta_p > r$,जिसका अर्थ है कि $\theta_p + \theta_p > \theta_p + r = 90^{\circ}$,यानी $2\theta_p > 90^{\circ}$,या $\theta_p > 45^{\circ}$।
इस प्रकार,हमारे पास $\theta_B > \theta_R > 45^{\circ}$ है।

(A) $r$ त्रिज्या वाले गोलाकार चालक का विभव $V$,जिस पर $q$ आवेश है,$V = \frac{k q}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ स्थिरवैद्युत स्थिरांक है।
चूंकि आवेश को एक बार में एक इलेक्ट्रॉन जोड़कर बढ़ाया जाता है,कण पर कुल आवेश $q$ क्वांटाइज्ड है,यानी $q = n e$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है और $e$ प्राथमिक आवेश है।
विभव के सूत्र में $q = n e$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{k (n e)}{r}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि जैसे-जैसे प्रत्येक इलेक्ट्रॉन कण में जोड़ा जाता है,विभव $V$ अलग-अलग चरणों में बढ़ता है।
इसलिए,कुल आवेश $q$ बनाम लागू वोल्टेज $V$ का ग्राफ एक स्टेप फंक्शन होगा,जहाँ आवेश विभव की एक विशिष्ट सीमा के लिए $e$ के प्रत्येक पूर्णांक गुणज पर स्थिर रहता है,और फिर जैसे ही अगला इलेक्ट्रॉन जोड़ा जाता है,यह अगले स्तर पर कूद जाता है।

(B) वलय पर कुल आवेश $q_{\text{total}}$ आवेश घनत्व $\lambda$ का परिधि पर समाकलन है:
$q_{\text{total}} = \int_0^{2\pi} \lambda (r d\theta) = \int_0^{2\pi} \frac{q \sin^2 \theta}{\pi r} (r d\theta) = \frac{q}{\pi} \int_0^{2\pi} \sin^2 \theta d\theta$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = (1 - \cos 2\theta) / 2$ का उपयोग करने पर:
$q_{\text{total}} = \frac{q}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{q}{2\pi} [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{2\pi} = \frac{q}{2\pi} (2\pi) = q$
चूंकि वलय के सभी बिंदु केंद्र से $r$ दूरी पर हैं,इसलिए केंद्र पर विद्युत विभव $V$ है:
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac{dq}{r} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 r} \int dq = \frac{q_{\text{total}}}{4\pi \varepsilon_0 r} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}$
आवेश $Q$ को केंद्र से अनंत तक ले जाने में विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य $W = Q(V_{\text{centre}} - V_{\infty})$ है। चूंकि $V_{\infty} = 0$:
$W = Q \cdot V = \frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 r}$

(B) $\beta^{-}$ क्षय में, प्रक्रिया को इस प्रकार दर्शाया जाता है:
${ }_{Z}^{A} X \longrightarrow { }_{Z+1}^{A} Y + { }_{-1}^{0} \beta + \bar{\nu}$
यदि केवल एक इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होता (स्थिति $I$), तो इलेक्ट्रॉन एक निश्चित मात्रा में ऊर्जा ले जाता, जिसके परिणामस्वरूप वक्र $(a)$ में दिखाए गए अनुसार एक तीक्ष्ण, मोनोएनर्जेटिक शिखर प्राप्त होता।
हालाँकि, वास्तव में (स्थिति $II$), क्षय ऊर्जा उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन $(\beta^{-})$ और एंटीन्यूट्रिनो $(\bar{\nu})$ के बीच साझा की जाती है। चूँकि ऊर्जा दो कणों के बीच वितरित होती है, इसलिए उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों में ऊर्जा की एक निरंतर सीमा होती है, जिसके परिणामस्वरूप वक्र $(b)$ में दिखाया गया व्यापक स्पेक्ट्रम प्राप्त होता है।
इसलिए, स्थिति $I$ का संबंध $(a)$ से है और स्थिति $II$ का संबंध $(b)$ से है।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि संधारित्र पर आवेश $q$ स्थिर रहता है,इसलिए प्लेटों के बीच विभवांतर $V = \frac{q}{C}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$C$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{q d}{\varepsilon_0 A}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q$,$\varepsilon_0$ और $A$ स्थिर हैं,इसलिए $V \propto d$ होता है।
इसका अर्थ है कि $V$ बनाम $d$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। हालाँकि,एक वास्तविक भौतिक संधारित्र में,जब प्लेटें संपर्क में होती हैं $(d=0)$,तो धारिता अनंत नहीं होती है और प्लेटों के सीमित आकार और किनारों के प्रभावों के कारण विभवांतर शून्य नहीं होता है। इसलिए,ग्राफ $d$ के एक छोटे धनात्मक मान से शुरू होता है और एक सीधी रेखा है,जो मूल बिंदु से नहीं गुजरती है।

(B) सिस्टम के पारस्परिक प्रेरकत्व $M$ की गणना करने के लिए,हम पारस्परिकता के सिद्धांत का उपयोग करते हैं,जो बताता है कि $M_{12} = M_{21} = M$ होता है।
मान लीजिए कि लंबे बाहरी सोलेनोइड (सोलेनोइड $1$) से धारा $I_{1}$ प्रवाहित हो रही है। इस सोलेनोइड द्वारा इसके अंदर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एकसमान होता है और इसे $B = \mu_{0} N I_{1}$ द्वारा दिया जाता है।
छोटे आंतरिक सोलेनोइड (सोलेनोइड $2$) से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi_{21}$ आंतरिक सोलेनोइड में फेरों की संख्या,चुंबकीय क्षेत्र और आंतरिक सोलेनोइड के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल का गुणनफल है।
आंतरिक सोलेनोइड में फेरों की संख्या = $n \times l$.
आंतरिक सोलेनोइड का क्षेत्रफल = $\pi r^{2}$.
इसलिए,$\phi_{21} = (n l) \times B \times (\pi r^{2}) = (n l) \times (\mu_{0} N I_{1}) \times (\pi r^{2})$.
परिभाषा के अनुसार,$\phi_{21} = M I_{1}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $M = \mu_{0} N n l \pi r^{2} = \pi \mu_{0} r^{2} n N l$ प्राप्त होता है।

(D) $L$ लंबाई के एक-आयामी बॉक्स में एक इलेक्ट्रॉन के लिए,ऊर्जा स्तर $E_{n} = n^{2} \left( \frac{h^{2}}{8 m_{e} L^{2}} \right) = n^{2} \alpha$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$.
पाउली के अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,प्रत्येक ऊर्जा स्तर में दो इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं।
$4$ इलेक्ट्रॉनों के लिए,मूल अवस्था विन्यास में $n=1$ स्तर ($2$ इलेक्ट्रॉन) और $n=2$ स्तर ($2$ इलेक्ट्रॉन) भर जाते हैं।
मूल अवस्था ऊर्जा $U_{0}$ इन $4$ इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा का योग है: $U_{0} = 2(E_{1}) + 2(E_{2}) = 2(1^{2} \alpha) + 2(2^{2} \alpha) = 2 \alpha + 8 \alpha = 10 \alpha$.
प्रथम उत्तेजित अवस्था तब प्राप्त होती है जब एक इलेक्ट्रॉन $n=2$ से $n=3$ में जाता है। नई कुल ऊर्जा $U_{0} - E_{2} + E_{3} = 10 \alpha - 4 \alpha + 9 \alpha = 15 \alpha = U_{0} + 5 \alpha$ है।
द्वितीय उत्तेजित अवस्था तब प्राप्त होती है जब एक इलेक्ट्रॉन $n=1$ से $n=3$ में जाता है। नई कुल ऊर्जा $U_{0} - E_{1} + E_{3} = 10 \alpha - 1 \alpha + 9 \alpha = 18 \alpha = U_{0} + 8 \alpha$ है।
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(A) $t=0$ पर,संधारित्र अनावेशित है और प्रेरक का फ्लक्स $\phi$ है।
$\phi = L I$ संबंध का उपयोग करते हुए,$t=0$ पर सर्किट में प्रारंभिक धारा $I_{0} = \phi / L$ है।
यह सर्किट एक $LC$ दोलक बनाता है। संधारित्र पर आवेश $q$ के लिए अवकल समीकरण $L \frac{d^{2} q}{d t^{2}} + \frac{q}{C} = 0$ है,जो $\frac{d^{2} q}{d t^{2}} + \omega_{0}^{2} q = 0$ में सरल हो जाता है,जहाँ $\omega_{0} = 1 / \sqrt{LC}$ है।
आवेश के लिए सामान्य समाधान $q(t) = A \sin(\omega_{0} t + \delta)$ है।
चूंकि $q(0) = 0$,इसलिए $\delta = 0$,अतः $q(t) = A \sin(\omega_{0} t)$।
धारा $I(t) = \frac{dq}{dt} = A \omega_{0} \cos(\omega_{0} t)$ है।
$t=0$ पर,$I(0) = A \omega_{0} = I_{0} = \phi / L$।
इसलिए,$A = \phi / (L \omega_{0})$।
$A$ का मान रखने पर,धारा $I(t) = (\phi / L) \cos(\omega_{0} t)$ प्राप्त होती है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) प्राथमिक इंद्रधनुष के निर्माण में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:
$1$. जब सूर्य का प्रकाश एक गोलाकार पानी की बूंद में प्रवेश करता है,तो यह अपवर्तन और विक्षेपण से गुजरता है।
$2$. इसके बाद प्रकाश बूंद की आंतरिक सतह से टकराता है और पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरता है।
$3$. अंत में,प्रकाश बूंद से बाहर निकलता है,जहाँ पानी से हवा में प्रवेश करते समय यह फिर से अपवर्तन का अनुभव करता है।
इसलिए,प्रक्रियाओं का सही क्रम है: अपवर्तन,पूर्ण आंतरिक परावर्तन और अपवर्तन।
यह विकल्प $(A)$ के अनुरूप है।

(C) $1$ लैपटॉप के लिए बिजली की आवश्यकता $P_1 = 90 \,W$ है।
$10$ लैपटॉप के लिए कुल बिजली की आवश्यकता $P = 10 \times 90 = 900 \,W = 0.9 \,kW$ है।
चूंकि $UPS$ की क्षमता $1 \,kVA$ है,यह $900 \,W$ का भार उठा सकता है (पावर फैक्टर $\approx 1$ मानते हुए),इसलिए कथन $I$ सही है।
$5 \,h$ में,सभी लैपटॉप द्वारा उपयोग की गई विद्युत ऊर्जा $E = P \times t = 0.9 \,kW \times 5 \,h = 4.5 \,kWh$ है।
बिजली की लागत = $4.5 \,kWh \times ₹ 5.00/kWh = ₹ 22.50$। अतः,कथन $III$ सही है।
$220 \,V$ के इनपुट वोल्टेज के लिए,$10$ लैपटॉप द्वारा खींची गई धारा $I = P/V = 900 \,W / 220 \,V \approx 4.1 \,A$ है।
चूंकि $4.1 \,A > 3 \,A$,इसलिए $3 \,A$ का फ्यूज उड़ जाएगा। अतः,कथन $II$ गलत है।
इसलिए,कथन $I$ और $III$ सही हैं।

(C) सही उत्तर $C$ है।
फ्रॉस्टेड ग्लास की सतह खुरदरी होती है जो प्रकाश का अनियमित परावर्तन और अपवर्तन करती है,जिससे कांच पारभासी दिखाई देता है।
जब फ्रॉस्टेड सतह पर एक पारदर्शी चिपकने वाली टेप लगाई जाती है,तो चिपकने वाला गोंद कांच की सतह की सूक्ष्म अनियमितताओं (खुरदरेपन) को भर देता है।
चूंकि चिपकने वाले गोंद का अपवर्तनांक कांच के अपवर्तनांक के बहुत करीब होता है,इसलिए गोंद और कांच के बीच का इंटरफेस ऑप्टिकली चिकना हो जाता है।
यह सतह पर प्रकाश के प्रकीर्णन को कम करता है,जिससे प्रकाश अधिक नियमित रूप से गुजर पाता है,जो कांच के उस विशिष्ट क्षेत्र को पारदर्शी बना देता है।

(D) प्रिज्म $B$,प्रिज्म $A$ के सापेक्ष उल्टा है। इसलिए,प्रिज्म $A$ और $B$ द्वारा प्रकाश का विक्षेपण विपरीत दिशाओं में होता है।
निर्गत किरण के सफेद होने के लिए,संयोजन द्वारा उत्पन्न कुल विचलन और कुल विक्षेपण शून्य होना चाहिए। इसके लिए दोनों प्रिज्मों में मौजूद तरल पदार्थों के अपवर्तनांक समान होने चाहिए,जो तभी संभव है जब दोनों प्रिज्म एक ही तापमान पर हों।
यदि प्रिज्म अलग-अलग तापमान पर हैं,तो उनके अपवर्तनांक भिन्न होंगे क्योंकि पानी का अपवर्तनांक तापमान पर निर्भर करता है। परिणामस्वरूप,प्रिज्म $A$ द्वारा उत्पन्न विक्षेपण,प्रिज्म $B$ द्वारा पूरी तरह से समाप्त नहीं होगा।
विकल्प $(d)$ में,प्रिज्म $A$ $70^{\circ} C$ पर है और प्रिज्म $B$ $7^{\circ} C$ पर है। चूंकि उनके अपवर्तनांक अलग-अलग हैं,इसलिए $A$ और $B$ द्वारा उत्पन्न विक्षेपण समान और विपरीत नहीं हैं। अतः,प्रिज्म $B$ के दाईं ओर की किरण विक्षेपित रहेगी और रंगीन दिखाई देगी।

(C) नाभिकीय त्रिज्या $R = r_0 A^{1/3}$ द्वारा दी जाती है।
नाभिक का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (r_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi r_0^3 A$ है।
नाभिकीय द्रव्यमान लगभग $M = A \times m_p$ है,जहाँ $m_p$ एक न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन या न्यूट्रॉन) का द्रव्यमान है।
नाभिकीय घनत्व $\rho$ को $\rho = \frac{M}{V} = \frac{A \cdot m_p}{\frac{4}{3} \pi r_0^3 A} = \frac{3 m_p}{4 \pi r_0^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $m_p$ और $r_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए नाभिकीय घनत्व $\rho$ द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है।
अतः,$^{238}U$ का नाभिकीय द्रव्यमान घनत्व $^{119}Sn$ के समान ही है।

(A) नाभिक की प्रारंभिक स्थिर-विद्युत ऊर्जा $U_1 = \frac{k Z^2 e^2}{R}$ है।
चूंकि नाभिकीय पदार्थ का घनत्व स्थिर होता है,इसलिए नाभिक का आयतन उसके द्रव्यमान संख्या $A$ के समानुपाती होता है। यदि नाभिक दो समान पुत्री नाभिकों में विभाजित होता है,तो प्रत्येक की द्रव्यमान संख्या $A/2$ होगी। चूंकि $R \propto A^{1/3}$,इसलिए प्रत्येक पुत्री नाभिक की त्रिज्या $r = R / 2^{1/3}$ होगी।
दो पुत्री नाभिकों की अंतिम स्थिर-विद्युत ऊर्जा $U_2$ (जब वे दूर हों) दोनों की ऊर्जाओं का योग है:
$U_2 = 2 \times \frac{k (Z/2)^2 e^2}{r} = 2 \times \frac{k (Z^2/4) e^2}{R / 2^{1/3}} = \frac{k Z^2 e^2}{2 R} \times 2^{1/3} = \frac{k Z^2 e^2}{R} \times 2^{1/3-1} = \frac{k Z^2 e^2}{R} \times 2^{-2/3}$.
$2^{2/3} \approx 1.587$ का उपयोग करने पर,$2^{-2/3} \approx 1 / 1.587 \approx 0.63$ प्राप्त होता है।
अतः,$U_2 \approx 0.63 U_1$.
स्थिर-विद्युत ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_1 - U_2 = U_1 - 0.63 U_1 = 0.37 U_1 \approx 0.375 \frac{k Z^2 e^2}{R}$ है।

(D) $h$ ऊंचाई से गिरने का समय $t = \sqrt{\frac{2h}{a_{\text{net}}}}$ द्वारा दिया जाता है।
नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g$ और ऊपर की ओर विद्युत क्षेत्र $E$ में $Q$ आवेश वाले $M$ द्रव्यमान का शुद्ध त्वरण $a_{\text{net}} = g - \frac{QE}{M}$ होता है।
चूंकि $M_1$,$M_2$ से पहले फर्श से टकराता है,इसलिए $M_1$ द्वारा लिया गया समय $(t_1)$,$M_2$ द्वारा लिए गए समय $(t_2)$ से कम है: $t_1 < t_2$.
इसका अर्थ है $\sqrt{\frac{2h}{a_1}} < \sqrt{\frac{2h}{a_2}}$,जो सरल होकर $a_1 > a_2$ हो जाता है।
शुद्ध त्वरण के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$g - \frac{Q_1 E}{M_1} > g - \frac{Q_2 E}{M_2}$
दोनों पक्षों से $g$ घटाने पर:
$-\frac{Q_1 E}{M_1} > -\frac{Q_2 E}{M_2}$
$-1$ से गुणा करने पर असमानता का चिह्न उलट जाता है:
$\frac{Q_1 E}{M_1} < \frac{Q_2 E}{M_2}$
$E$ से विभाजित करने पर (चूंकि $E > 0$):
$\frac{Q_1}{M_1} < \frac{Q_2}{M_2}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$M_2 Q_1 < M_1 Q_2$,या $M_1 Q_2 > M_2 Q_1$ प्राप्त होता है।

(C) प्रिज्म समद्विबाहु है और $\angle Q = 120^{\circ}$ है। चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle P = \angle R = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ}$ है।
किरणें फलक $PQ$ पर लंबवत आपतित होती हैं,इसलिए वे बिना किसी विचलन के प्रिज्म में प्रवेश करती हैं और फलक $PR$ पर $i = 30^{\circ}$ के आपतन कोण पर टकराती हैं।
किसी किरण के फलक $PR$ से बाहर निकलने के लिए,उसे अपवर्तन की शर्त $n \sin i < 1$ (जहाँ $n$ प्रिज्म का अपवर्तनांक है) को पूरा करना होगा।
यदि $n \sin i \geq 1$ है,तो फलक $PR$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है।
यहाँ,$i = 30^{\circ}$ है,इसलिए $\sin i = 0.5$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त $n \times 0.5 \geq 1$ है,जिसका अर्थ है कि $n \geq 2$ होना चाहिए।
किरण $1$ $(n=1.85)$ और $2$ $(n=1.95)$ के लिए,$n < 2$ है,इसलिए वे फलक $PR$ से अपवर्तित होकर बाहर निकलती हैं।
किरण $3$ $(n=2.05)$ और $4$ $(n=2.15)$ के लिए,$n > 2$ है,इसलिए वे फलक $PR$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करती हैं और फलक $QR$ की ओर निर्देशित होती हैं।
चूंकि इन परावर्तित किरणों के लिए फलक $QR$ पर आपतन कोण क्रांतिक कोण से कम है,इसलिए किरण $3$ और $4$ फलक $QR$ से बाहर निकलती हैं।

(C) प्रकाश किरण पानी की सतह से तभी बाहर निकलेगी जब आपतन कोण $i$, क्रांतिक कोण $i_c$ से कम या उसके बराबर हो।
पानी-हवा इंटरफ़ेस के लिए क्रांतिक कोण $i_c$ इस प्रकार है:
$\sin i_c = \frac{1}{n} = \frac{1}{1.33} \approx 0.7519$
$i_c = \sin^{-1}(0.7519) \approx 48.75^{\circ}$
लेजर एक ऊर्ध्वाधर तल में घूमता है। जब ऊर्ध्वाधर के साथ इसका कोण $-i_c$ और $+i_c$ के बीच होता है, तो यह पानी की सतह से बाहर प्रकाश उत्सर्जित करेगा। इस प्रकार, कुल कोणीय सीमा जिसके लिए प्रकाश बाहर निकलता है, $2i_c$ है।
लेजर की कोणीय गति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{60} \, \text{rad/s}$ है।
वह समय $t$ जिसके लिए प्रकाश बाहर निकलता है, इस प्रकार है:
$t = \frac{\text{कोणीय सीमा}}{\omega} = \frac{2i_c}{\omega}$
$i_c$ को रेडियन में बदलने पर:
$i_c = 48.75^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} \approx 0.8508 \, \text{rad}$
$t = \frac{2 \times 0.8508}{\frac{2\pi}{60}} = \frac{0.8508 \times 60}{\pi} \approx 16.25 \, s$.
दिए गए समाधान के अनुसार $i_c \approx 50^{\circ}$ का उपयोग करते हुए:
$t = \frac{2 \times 50}{360} \times 60 = \frac{100}{6} = 16.67 \, s$.

(B) सर्किट $(a)$ में,वोल्टमीटर $1 \,\Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है,और एमीटर $1 \,\Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में है। मान लीजिए $R_V$ वोल्टमीटर का प्रतिरोध है और $R_A$ एमीटर का प्रतिरोध है। $1 \,\Omega$ प्रतिरोध पर वोल्टेज $V = I_1 \times 1$ है। एमीटर से गुजरने वाली धारा $I_2 = V / R_A = I_1 / R_A$ है। कुल धारा $I = I_1 + I_2 = I_1(1 + 1/R_A)$ है। वोल्टमीटर का पाठ्यांक $V_m = I \times R_V$ है। वोल्टेज और धारा का अनुपात $V_m / I = R_V = 1000 \,\Omega$ है। सर्किट $(a)$ से,प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq} = R_V + (1 \parallel R_A) \approx R_V = 1000 \,\Omega$ है।
सर्किट $(b)$ में,एमीटर $1 \,\Omega$ प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है,और वोल्टमीटर $1 \,\Omega$ प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में है। प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq} = R_A + (1 \parallel R_V) \approx R_A + 1 = 0.999 \,\Omega$ है। चूंकि $R_V$ बड़ा है,$1 \parallel R_V \approx 1 \,\Omega$ है। अतः $R_A + 1 = 0.999$,जिसका अर्थ है $R_A \approx 0$ (या $10^{-3} \,\Omega$)।
इस प्रकार,$R_V = 10^3 \,\Omega$ और $R_A = 10^{-3} \,\Omega$ है।